不等式与不等式组期末专题复习讲义(常考专题)

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不等式与不等式组期末复习讲义

常考专题一 不等式的性质

主要考查利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确，题型以选择题为主．

例1 ：下列式子中，一元一次不等式有( )①314x -≥；②1263

x +

；③136x

-

；④

0x

π

；⑤

132

362

x x -+-；

⑥2

x xy y +≥；⑦0x

.

A .6个

B .5个

C .4个

D .3个

解析：③中

1

x

不是整式，⑥中含2个未知数，所以③⑥不是一元一次不等式，①②④⑤⑦都是一元一次不等式，故选B .

例2： 若a b >，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．a m b m +>+ B ．()()

2211a m b m +>+ C ．22

a b -

<-

D ．2

2

a b >

解析：根据不等式的性质针对四个选项进行分析即可．A ．根据不等式的基本性质1，可知a m b m +>+一定成立；B ．根据不等式的基本性质2，∵2

10m +>，∴()()

2211a m b m +>+一定成立；C ．根据不等式的基本性质3，∵102-

<，∴22

a b

-<-一定成立；D ．根据不等式的基本性质3，a ，b 若都为负数，则2

2

a b >不成立．

思维点拨 本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．此类题目也可以用举反例的方法排除．

常考专题二 一元一次不等式(组)的解法

解一元一次不等式(组)是数学学习中必须掌握的基本运算技能，是解决实际问题的基础，解不等式(组)时，要严格依据不等式的性质按照解不等式(组)的步骤进行．

例3： 解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来：

(1)672x x ≤-；(2)()5431,121.2

5x x x x +<+⎧⎪

⎨--≤⎪

⎩①②

分析：(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来；(2)分别解不等式，并把

解集在数轴上表示出来．

解：(1)解不等式得2x ≥，在数轴上表示如下：

(2)解不等式①，得1

2

x <-，解不等式②，得3x ≤， 在数轴上表示如下：

故不等式组的解集为1

2

x <-

． 思维点拨 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法是整章的重点，要熟悉它们的解法，一方面要注意每个步骤的易错之处，另一方面要正确地画出数轴，找出解集，进一步确定特殊解．

2

常考专题三 一元一次不等式(组)的特殊解

例4： 若m 是不等式组()218,3216

3x x x x -<+⎧⎪

⎨--<⎪

⎩①②的最大整数解．求

220161m m m ++++…的值．

分析：先求出不等式组的解集，在解集中找出最大整数解，即是m 的值，

再把m 的值代入所求代数式求值即可．

解：由不等式①，得2x >-． 由不等式②，得0x <．

所以不等式组的解集为20x -<<． 解集中最大的整数为1-，所以1m =-．

把1m =-代入2

2016

1m m m ++++…中，得 原式()()()

2

2016

1111=+-+-++-…

11111=-+-++… 1=．

思路归纳 求不等式(组)的特殊解时，先求出解集，再找满足条件的解，一般是求最大(小)整数解，非负(正)整数解，正(负)整数解．

常考专题四 求解不等式(组)中的字母参数问题

当不等式(组)与方程(组)、字母参数这些知识综合时，要认真理解题意，寻求解决的方法．

类型1 已知不等式的一个解，求字母的取值

例5： 已知3x =是关于x 的不等式22323

ax x

x +-

>

的解，求a 的取值范围．

分析：先根据不等式的解的定义，将3x =代入不等式，得到

32

922

a +-

>，解此不等式，即可求出x 的取值范围． 解：∵3x =是关于x 的不等式22323

ax x

x +->

的解，∴32922a +->，解得4a <．

思维点拨 本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，比较简单，根据不等式的解的定义得出32

922

a +-

>是解题的关键．

例6： 已知关于x 的不等式组0,325x a x +≤⎧⎨+>⎩①

②

的整数解共有3个，求a

的取值范围．

分析：先求出不等式的解集，用含有a 的代数式表示出来，再根据整数解的个数，确定a 的取值范围．

解：由不等式①，得x a ≤-． 由不等式②，得1x >． 因为不等式组有解，

所以该不等式组的解集为1x a <≤-． 又因为只有3个整数解，即为2，3，4． 所以a -的取值范围为45a ≤-<， 则54a -<≤-．

思维点拨 解此类问题时应特别注意不等式中等号的取舍．

3

类型2 根据二元一次方程组和解不等式求字母取值

例7： 关于x ，y 的二元一次方程组5323,

x y x y p

+=⎧⎨

+=⎩的解是正整数，

则整数p 的值为____．

解析：把p 看成常数，求出方程组的解，再根据题意转化成关于p 的不

等式组，求解即可．解方程组5323,x y x y p +=⎧⎨+=⎩得233,

2

523

2p x p y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵x ，y 是正

整数，∴2330,2

5230,

2

p

p -⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩解得232353p <<，∵p 为整数，∴5p =或6或7，

又∵x ，y 是正整数，∴6p =时，x ，y 不是整数，不合题意舍去，∴5p =或7．

答案：5或7

解题方法 本题运用了常量法，常量法是将题中的某一未知字母视为常数，用这个字母表示未知数，再根据未知数的取值范围来确定未知字母的取值．在不等式(组)与方程(组)的综合应用中，常会用到常量法，将方程(组)的问题转化为解不等式(组)，求字母取值的问题．

例8： 已知关于x 、y 的的方程组3,

26x y x y a -=⎧⎨

+=⎩

的解满足不等式

3x y +<，求实数a 的取值范围．

分析：先解方程组，求得x 、y 的值，再根据3x y +<，解不等式即可．

解：由3,26x y x y a -=⎧⎨

+=⎩可得21,

2 2.

x a y a =+⎧⎨=-⎩

∵3x y +<，∴21223a a ++-<，∴1a <．

思维点拨 本题是一元一次不等式和二元一次方程组的综合题，用a 分别表示出x ，y ，再解不等式是解题的关键．

类型3 已知不等式组解集的情况求字母的取值

例9： 已知关于x 的不等式组521,0

x x a -≥-⎧⎨

->⎩①②

无解，求a 的取值范围．

分析：把a 看成常数，解不等式组，再根据原不等式组无解，求出a 的取值范围．

解：解不等式①，得3x ≤， 解不等式②，得x a >，

因为该不等式组无解，所以不等式①和②的解集在数轴上的表示如图所示：

所以3a >．

当3a =时，代入不等式组，解得3x ≤，且3x >， 此时，不等式组无解，满足题意． 所以a 的取值范围为3a ≥．

思维点拨 “3a =”这种特殊情况易被忽视，检验等号是否满足题意在解题时必不可少．