第2讲：麦克斯韦方程组的微分形式

Φ = ∫ Ax ( x, y, z) dydz − ∫ Ax ( x − ∆x, y, z) dydz
1
1′
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第2讲 2/10
+∫ Ay ( x, y + ∆y, z) dxdz − ∫ Ay ( x, y, z) dxdz
2
2′
+∫ Az ( x, y, z + ∆z) dxdy − ∫ Az ( x, y, z) dxdy
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x+∆x
y + ∆y
x
∫ Α ⋅ ds = ∫ Αx ( x, y)dx + ∫ Αy ( x + ∆x, y)dy + ∫ Αx ( x, y + ∆y)dx
C
x
y
x+∆x
1
2
3
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第2讲 5/10
y
⎡ ⎢⎣
J
+ ε0
∂Ε ⎤ ∂t ⎥⎦
0 = ∇ ⋅ J + ∂ρ ∂t
3. 磁场
∇
⋅
⎧⎨∇ ⎩
×
Ε
=
−µ0
∂Η ∂t
⎫ ⎬ ⎭
0
=
−
∂ ∂t
⎡⎣∇
⋅
µ0Η ⎤⎦
⇒
∇
⋅ ( µ0Η
)
=
0
4. 矢量恒等式
b
∫ Ε ⋅ dl = Φ (a) − Φ (b)
a
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第2讲 3/10
Ν
∫ A ⋅ ds = ∑ ∫ A ⋅ dsi
s
i =1 Ν→∞
dsi
N
∑( ) = lim
N→0 ∆vn →0
i =1
∇iA
∆vi
= ∫ ∇ ⋅ Adv v
∫v ∇ ⋅ Adv = ∫s A ⋅ da
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Markus Zahn 教授 第2讲：麦克斯韦方程组的微分形式
I. 散度定理 1. 散度运算
图1-13 穿过封闭表面的净通量告诉我们在封闭体积内是否存在源或阱。
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∫ A ⋅ds = ∫ div( A)dv
S
v
∫ A ⋅ ds
divA = lim S ∆v→0 ∆v
c
J
⋅
da
+
d dt
∫
v
ρ dv
=
0
∫ 2.
s
⎡ ⎢⎣
J
+ ε0
∂Ε ∂t
⎤ ⎦⎥
⋅
da
=
0
EQS限制
∇ ⋅ J + ∂ρ = 0 ∂t
∇
⋅
⎡ ⎢⎣
J
+ ε0
∂Ε ⎤ ∂t ⎥⎦
=
0
MQS限制
∇ × Ε ≈ 0, Ε = −∇Φ
∇
×
Ε
=
−µ0
∂Η ∂t
∇ ⋅ Ε = −∇ ⋅ (∇Φ) = −∇2Φ = ρ （泊松方程）
divA = lim S
= ∂Ax + ∂Ay + ∂Az
∆v→0 ∆v
∂x ∂y ∂z
∇
算子：
∇
=
ix
∂ ∂x
+
iy
∂ ∂y
+
iz
∂ ∂z
divA = ∇ ⋅ A = ∂Ax + ∂Ay + ∂Az ∂x ∂y ∂z
2. 高斯积分定理
图1-17 对矢量通量的非零贡献只能从穿过包围体积的外表面的通量得到。 (a) 在体积内部，离开一个微分体积元的通量恰好进入相邻的体积。 (b) 分隔体积的公共表面两侧向外的法线方向是相反的。
Curl (Α) = lim c
da n dan →0
n
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第2讲 4/10
斯托克斯（Stokes）定理
周线 C
∫s ∇ × Α ⋅ da = ∫C Α ⋅ ds
图1-19 (a) 用来定义环量的无穷小微型矩形周线。 (b) 右手确定法则垂直于周线的正方向。
第2讲 8/10
如果 a = b
∫ Ε ⋅dl = Φ (a) − Φ (a) = 0
c
Ε = −∇Φ
∫ ∇Φ ⋅dl = 0
c
∫ ∇ ×(∇f) ⋅da = ∫ ∇f ⋅dl = 0 ⇒ ∇× (∇f) = 0
s
c
IV. 自由空间中的麦克斯韦方程组小结
积分形式
微分形式
法拉第定律
∫ ∫ c
Ε ⋅ dl
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第2讲 7/10
3. 微分形式的法拉第定律
∫
c
Ε
⋅
ds
=
∫
s
(∇
×
Ε)
⋅
da
=
−
d dt
∫
s
µ0Η
⋅
da
∇×
Ε
=
−µ0
∂Η ∂t
4. 微分形式的安培定律
∫ ∫ ∫ ∫ c
H
⋅ ds
=
s
∇×H
⋅ da
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Ν
∑ ∫ ∫ lim
N →∞
i =1
dCi
Α ⋅ dsi
=
C
Α ⋅ ds
N →∞
= ∑ (∇ × Α)⋅ dai i =1
= ∫ (∇ × Α)⋅ da
s
无环量
非零环量
图1-20 具有旋度的速度场情况下的流体力图转动浆轮，当右手手指按照旋转方向弯曲时，
旋度分量与拇指所指方向一致。
3
3′
Φ
≈
∆x∆y∆z
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
⎡⎣
Ax
(
x,
y,
z)
−
Ax (
∆x
x
−
∆x,
y,
z
)⎤⎦
+
⎣⎡
Ay
(
x,
y
+
∆y, z)
∆y
−
Ay
(
x,
y,
z
)⎦⎤
+
⎣⎡
Az
(
wenku.baidu.com
x,
y,
z
+
∆z )
∆z
−
Az
(
x,
y,
z
)⎦⎤
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
≈
∆v
⎡ ⎢ ⎣
∂Ax ∂x
+
∂Ay ∂y
+
∂Az ∂z
⎤ ⎥ ⎦
∫ A ⋅ ds
+ ∫ Αy ( x, y)dy y + ∆y 4
=
∆x∆y
⎡ ⎢
⎡⎣Αx
(
x,
y
)
−
Αx
(
x,
y
+
∆y
)⎤⎦
+
⎣⎡Α
y
(
x
+
∆x,
y
)
−
Α
y
(
x,
y
)⎦⎤
⎤ ⎥
⎢⎣
∆y
∆x
⎥⎦
=
daz
⎡ ∂Αy
⎢ ⎣
∂x
−
∂Αx ∂y
⎤ ⎥ ⎦
Curl (Α) = ∫ Α ⋅ ds = ∂Αy − ∂Αx
z
daz
=
−µ0
d dt
s
H
⋅ da
安培定律
∫ ∫ ∫ c
Η ⋅ dl
=
s
J
⋅ da + ε0
d dt
s
Ε ⋅ da
高斯定律
∫ ε0Ε ⋅ da = ∫ ρdv
s
v
∫ µ0Η ⋅ da = 0
s
∇
×
Ε
=
−µ0
∂Η ∂t
∇×Η
=
J
+ ε0
∂Ε ∂t
∇⋅(ε0Ε) = ρ ∇ ⋅(µ0Η) = 0
电荷守恒
1.
∫
∇2Α = −µ0 J ， ∇ ⋅ A = 0
A (x, y, z) = ∫∫∫
µ0 J ( x′, y′, z′) dx′dy′dz′
1
π4 x′,y′,z′
⎡⎣(x − x′)2
+ ( y − y′)2
+
(
z
−
z′
)2
⎤ ⎦
2
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第2讲 10/10
∂x ∂y
由对称性得：
Curl (Α) ∫= Α ⋅ ds = ∂Αx − ∂Αz
y
day
∂z ∂x
Curl (Α) ∫= Α ⋅ ds = ∂Αz − ∂Αy
x
dax
∂y ∂z
CurlΑ
=
ix
⎡ ⎢ ⎣
∂Αz ∂y
−
∂Α y ∂z
⎤ ⎥ ⎦
+
iy
⎡ ∂Αx ⎢⎣ ∂z
−
∂Αz ∂x
⎤ ⎥⎦
+
iz
⎡ ∂Αy
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图1-14 矢量A穿过闭合面S的通量由其垂直于表面的分量的面积分所给定。矢量面积元 dS位于单位法向n方向上。
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图1-15 用来定义矢量散度的无穷小矩形体积。
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ε0
∇×Η = J
Φ (x, y, z) = ∫∫∫
ρ (x′, y′, z′) dx′dy′dz′
1
πε 4 x′,y′,z′ 0
⎡⎣(x − x′)2
+ ( y − y′)2
+
(
z
−
z′
)2
⎤ ⎦
2
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第2讲 9/10
∇ ⋅(µ0Η) = 0 ⇒ µ0Η = ∇× Α
3. 微分形式的高斯定理
∫ ε0E ⋅ da = ∫ ∇ ⋅(ε0Ε)dv = ∫ ρdv
s
v
v
∇ ⋅(ε0E) = ρ
∫ µ0Η ⋅ da = ∫ ∇ ⋅(µ0Η)dv = 0
s
v
∇ ⋅(µ0Η) = 0
Ⅱ. 斯托克斯定理 1. 旋度运算
∫ A ⋅ ds = ∫ Curl ( A)⋅ da
c
s
∫ Α ⋅ ds
⎢ ⎣
∂x
−
∂Αx ∂y
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢
ix
iy
iz
⎤ ⎥
=
det
⎢ ⎢
∂ ∂x
∂ ∂y
∂⎥ ∂z ⎥
⎢
⎥
⎢⎣ Ax Ay Az ⎥⎦
= ∇×Α
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2. 斯托克斯积分定理
图1-23 分布在任意表面上的许多微分周线，只有沿着边界周线L的那部分表面对环量有不为零的贡献。
=
s
J
⋅ da +
d dt
s
ε0E ⋅da
∇×
H
=
J
+ε0
∂E ∂t
III. 麦克斯韦方程组的应用
1. 矢量恒等式
lim
c→0
∫
Α ⋅ ds
=
0
=
∫
(∇×
Α)⋅ da
=
∫ ∇ ⋅ (∇ ×
Α)dv
c
s
v
∇⋅(∇×Α) = 0
2. 电荷守恒
∇ ⋅ ⎧⎨∇ × Η ⎩
=
J
+ε0
∂Ε ⎫
∂t
⎬ ⎭
0
=
∇
⋅