波导场方程

波导场方程

波导场方程：是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程,其本征值为c或β。当给定波导的边界条件时,求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”

射线方程

物理意义：

•将光线轨迹(由r描述)和空间折射率分布(n)联系起来;

•由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式;

•dr/dS是光线切向斜率, 对于均匀波导，n为常数,光线以直线形式传播;对于渐变波导,n是r的函数,则dr/ds为一变量, 这表明光线将发生弯曲。而且可以证明,光线总是向折射率高的区域弯曲。

模式的基本特征

----每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波;

----每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件;

----模式具有确定的相速群速和横场分布.

----模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。

模式命名

•根据场的纵向分量E z和H z的存在与否,可将模式命名为:

(1)横电磁模(TEM): E z＝H z＝0;

(2)横电模(TE): E z＝0, H z≠0;

(3)横磁模(TM): E z≠0,H z＝0;

(4)混杂模(HE或EH):E z≠0, H z≠0。

•光纤中存在的模式多数为HE(EH)模,有时也出现TE(TM)模。

典型光线传播轨迹

重要参数

•归一化工作频率：

•

•归一化横向传播常数：

•

•归一化横向衰减常数：

•数值孔径: 定义光纤数值孔径NA为入射媒质折射率与最大入射角的正弦值之积,即

•相对折射率差:

•

光线分类判据

判据:

当g(r)≥0时,光线存在;

当g(r)＜0时,为光线禁区；

当g(r) = 0时,为内外散焦面。

约束光线

条件: n2＜n(r0) cosθz(r0)＜n1

光线存在区域: r g1 < r < r g2

内散焦面半径：r g1

外散焦面半径：r g2

隧道光线

条件:0< n(r0) cosθz(r0)<√n22－(r02/a2)n2(r0)sin2θz(r0)cos2θφ(r0)

内散焦面半径: r = r r1

导模

•存在条件：n2k0＜β＜n1k0

•场分布特点: 在r g1

漏模

•存在条件：√n22k02－(ι2－1/4)／a2<β< n2k0

•场分布特点: 在rι1＜r＜rι2的区域以及r＞rι3的区域均为传播场;在其它区域为消逝场。这时,原来限制在纤芯内传播的导模功率透过rι2＜r＜rι3的隧道泄漏到包层之中, 故又称为“隧道模”。由于包层材料具有较大损耗,这就引起了传输损耗

辐射模

•存在条件：0<β< √n22k02－(ι2－1/4)／a2

•场分布特点:在r>r r1的所有区域均为传播场。这时,光能量直接地、不受阻挡地向包层中辐射并被损耗掉,光纤已经完全失去了波导约束模式功率的作用。很明显,辐射模,是一种不受约束的模式。

两种方法的比较

•传播常数：

•导模：约束光线

•漏模：隧道光线

•辐射模：折射光线

•TE/TM模：子午光线

•HE/EH模：倾斜光线

传播常数

传播常数b ：z方向单位长度位相变化率

波矢量k的z-分量

芯区：c为实数

包层：c为纯虚数

模式分类的物理意义

•偏振特性: TE模与TM模是偏振方向相互正交的线偏振波;HE模与EH模则是椭圆偏振波, 其中HE模偏振旋转方向与波行进方向一致(符合右手定则),EH模偏振旋转方向则与光波行进方向相反;

•场强关系: EH模电场占优势,而HE模磁场占优势;(E z,H z)<<(E t,H t),模式近似为横场分布；

•相位关系: EH模的H z分量超前于E z90°,HE模的H z分量落后于E z90°。

模式本征值

•模式的截止与远离截止:

–临近截止: W=0 , 场在包层中不衰减

–远离截止: W→∞, 场在包层中不存在

•截止与远离截止条件:

模式临近截止远离截止

TE0m(TM0m) J0(U c)＝0 J1(U∞)＝0

HE lm J l-2(U c)＝0 J l-1(U∞)＝0

EH lm J l (U c)＝0 J l+1(U∞)＝0

*除了HE1m模式以外,U不能为零

•模式本征值: U c

色散曲线

•色散曲线

–结构参数给定的光纤中,模式分布是固定的。可根据本征值方程式利用数值计算得到各导模传播常数β与光纤归一化频率V值的关系曲线,称之为色散

曲线。因此,本征值方程又叫色散方程。

•色散曲线分析

–图中每一条曲线都相应于一个导模。

–平行于纵轴的竖线与色散曲线的交点数就是光纤中允许存在的导模数。由交点纵坐标可求出相应导模的传播常数β。

–给定V值, V=Vc, 则Vc越大导模数越多;反之亦然。

–当Vc＜2.405时, 在光纤中只存在HE11模,其它导模均截止, 为单模传输;

线偏振模的本征解

•LP lm模只有四个不为零的场分量,可以是E y、H x、E z和H z；也可以是与之正交的E x、

H y、E z和H z。它们分别沿y方向和x方向偏振。

•LP lm模由HE l+1,m模式与EH l-1,m迭加构成。

LPιm模式本征值