圆与直线方程较难题(供参考)

1、 已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所

包围的图形的面积等于多少

2、 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆

心到直线:20l x y -=的距离为55

，求该圆的方程． 3、 已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C 到直线y=-x 的距离等于 2．

（1）求圆C 的方程；

（2）若直线 l ：xm+yn=1（m ＞2，n ＞2）与圆C 相切，求mn 的最小值．

4、 在平面直角坐标系xoy 中，以C （1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+32+1=0相切． （I ）

求圆C 的方程；（II ）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．

5、 已知圆C ：x 2+（y-2）2=5，直线l ：mx-y+1=0．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总

有两个不同交点；（2）若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．

6、 一动圆被两条直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长分别为6和2，求动圆圆心的轨迹方程．

7、 求过圆x 2+y 2+2x-4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程．

8、 已知过点A （-1，0）的动直线l 与圆C ：x 2+（y-3）2=4相交于P ，Q 两点，M 是PQ

中点，l 与直线m ：x+3y+6=0相交于N ．

（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；

（2）当 PQ=23时，求直线l 的方程；

（3）探索 •AM AN 是否与直线l 的倾斜角有关？．

9、 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线 l ：y=43x-12

，被圆M 所截的弦长为 3，且圆心M 在直线l 的下方．

（I ）求圆M 的方程；

（II ）设A （0，t ），B （0，t+6）（-5≤t ≤-2），若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值

10、 1、（2011•陕西）如图，设P 是圆2x +2

y =25上的动点， 点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且|MD|=

45|PD| （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

45的直线被C 所截线段的长度． 11、 已知圆C ：2(1)x ++2y =8．

（1）求过点Q （3，0）的圆C 的切线l 的方程；

（2）如图定点A （1，0），M 为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N

在CM 上，且满足 AM =2AP ，NP •AM =0，求N 点的轨迹方程

1. P(x,y)

PA²=4PB²

所以(x+2)²+y²=4[(x-1)²+y²]

x²+4x+4+y²=4x²-8x+4+4y²

x²-4x+y²=0

(x-2)²+y²=4

2.设圆心为P(a,b),半径为r,

则P到X轴、Y轴距离分别为|b|、|a|.

由题设知圆P截X轴所得劣弧所对的圆心角为90度,知圆P所截X轴所得的弦长为 (根2)*r,故

r^2=2b

又圆P截Y轴所得弦长为2,所以有

r^2=a^2+1

从而得

2b^2-a^2=1

又P(a,b)到直线x-2y=0的距离为

d=|a-2b|/根5

--->5d^2=a^2+4b^2-4ab>=a^2+4b^2-2(a^2+b^2)=2b^2-a^2=1

当a=b时上式等号成立,

此时,5d^2=1,从而d取得最小值.

由此有{a=b,2b^2-a^2=1}

--->a=b=1,或a=b=-1

由于r^2=2b^2,则r=根2

于是,所求圆的方程是:

(x-1)^2+(y-1)^2=2,

或(x+1)^2+(y+1)^2=2.

5.1证明：∵直线l：mx-y+1=0经过定点D（0，1），

点D到圆心（0，1）的距离等于1 小于圆的半径5，

故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．

2。联立直线方程与椭圆方程，再结合韦达定理以及弦长公式即可解决问题．

3设中点M（x，y），因为L：m（x-1）-（y-1）=0恒过定点P（1，1）

∴kAB=y-1/x-1，又kMC=y-1/x，kAB•KNC=-1，

∴y-1/x-1•y-1/x=-1，

x2+y2-x-2y+1=0，

(x-1/2)2+(y-1)2=1/4，表示圆心坐标是（1/2，1），半径是1/2的圆；

9. (1)

L：y=(4/3)x-1/2 ，即：4x-3y- 3/2=0

设圆心M(a，0)

弦长的一半为√3/2，半径r=1

∴M到直线L的距离d= √[r² - (√3/2)²]= 1/2

又：d=|4a - 3/2|/√(4²+3²)

∴d=|4a - 3/2|/5 =1/2

∴a=1或-1/4

即M(1，0)或(-1/4，0)

又∵M在直线L下方

∴M(1，0)

即圆M：(x-1)²+y²=1

(2)

设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则：

直线AC的方程为y=k1x+t，即k1x-y+t=0

直线BC的方程为y=k2x+t+6，即k2x-y+t+6=0

联立AC、BC，得：

C点的横坐标为X(C)=6/(k1-k2)

∵|AB|=t+6-t=6

∴S=(1/2)·|AB|·|X(C)|=18/(k1-k2) (画个草图就知道k1＞k2，即k1-k2＞0) ∵AC、BC与圆M相切

∴圆心M到AC的距离d1= |k1+t|/√(k1²+1) = r =1，解得k1=(1-t²)/(2t)

圆心M到BC的距离d2= |k2+t+6|/√(k2²+1) = r =1，解得k2=[1-(t+6)²]/[2(t+6)] ∴k1-k2=(1-t²)/(2t) - [1-(t+6)²]/[2(t+6)] = 3(t²+6t+1)/(t²+6t)

∴S=18/(k1-k2) (已证)

=6(t²+6t)/(t²+6t+1)

=6(t² + 6t + 1 -1 )/(t²+6t+1)

=6 [ 1 - 1/(t²+6t+1) ]

∵-5≤t≤-2

∴-2≤t+3≤1

∴0≤(t+3)²≤4

∴-8≤t²+6t+1＝(t+3)²-8≤-4

∴S(max)=6(1 + 1/4 )=15/2

S(min)=6(1 + 1/8)=27/4