圆与直线方程较难题(供参考)
直线与圆的方程试题及答案 中职学校
直线与圆的方程试题及答案试题一给定直线的方程为 x + y = 2 和圆的方程为 x^2 + y^2 = 4，求直线与圆的交点坐标。
解答：首先，化简直线的方程可以得到 y = 2 - x。
将直线的方程 y = 2 - x 求根代入圆的方程中，即：x^2 + (2 - x)^2 = 4将上式展开求解，得到 x^2 - 4x + 4 + 4x - 4 = 0化简后得到 x^2 = 4通过求根公式，可以得到 x = 2 或 x = -2。
将 x 的值代入直线的方程 y = 2 - x 中，得到对应的 y 值。
当 x = 2 时，y = 2 - 2 = 0；当 x = -2 时，y = 2 - (-2) = 4。
因此，直线与圆的交点坐标为 (2, 0) 和 (-2, 4)。
试题二给定圆的方程为 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 和直线的斜率为 -2，求直线与圆的交点坐标。
解答：首先，求出直线的方程为 y = -2x + c。
由圆的方程可知，圆心坐标为 (3, -4)，半径为 3。
直线与圆相交时，直线上的点到圆心的距离等于半径。
将直线的方程 y = -2x + c 代入圆的方程 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 中，得到：(x - 3)^2 + ((-2x + c) + 4)^2 = 9展开后，化简上式，得到：5x^2 + 10cx + c^2 - 36x + 48c - 72 = 0因为直线与圆相交，所以上式必有实数解。
根据二次方程的性质，上式的判别式必大于等于零。
即：(10c - 36)^2 - 4 * 5 * (c^2 + 48c - 72) >= 0通过求解不等式，可以得到c ∈ (-∞, 20)。
取 c = 10，将 c 的值代入直线的方程 y = -2x + c 中，得到直线的方程为 y = -2x + 10。
将直线的方程 y = -2x + 10 代入圆的方程 (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 9 中，求解 x 的值。
直线和圆的方程题型
直线和圆的方程题型直线和圆的方程是解析几何中的重要内容。
在解析几何中，直线和圆的方程是解决几何问题的基础。
本文将介绍直线和圆的方程题型，并提供解题步骤和示例。
直线的方程题型以下是直线的方程题型及解题步骤：1. 已知两点求直线方程问题描述：已知点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)，求直线AB的方程。
解题步骤： 1. 使用点斜式公式或两点式公式求解。
- 点斜式公式：直线的方程为 y - y₁ = k(x - x₁)，其中k为斜率。
- 两点式公式：直线的方程为 (y - y₁)/(x - x₁)= (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。
2.根据题目给出的点坐标，代入公式，求解方程。
2. 已知斜率和一点求直线方程问题描述：已知直线的斜率m和一点A(x₁, y₁)，求直线的方程。
解题步骤： 1. 使用点斜式公式求解。
- 点斜式公式：直线的方程为 y - y₁ = m(x - x₁)。
2.根据题目给出的斜率和点坐标，代入公式，求解方程。
3. 已知截距求直线方程问题描述：已知直线的截距b和斜率m，求直线的方程。
解题步骤： 1. 使用斜截式公式求解。
- 斜截式公式：直线的方程为 y = mx + b。
2.根据题目给出的截距和斜率，代入公式，求解方程。
圆的方程题型以下是圆的方程题型及解题步骤：1. 已知圆心和半径求圆的方程问题描述：已知圆心坐标C(h, k)和半径r，求圆的方程。
解题步骤： 1. 使用标准圆方程求解。
- 标准圆方程：圆的方程为 (x-h)² + (y-k)²= r²。
2.根据题目给出的圆心坐标和半径，代入公式，求解方程。
2. 已知直径的两个端点求圆的方程问题描述：已知直径的两个端点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求圆的方程。
解题步骤： 1. 使用标准圆方程求解。
- 标准圆方程：圆的方程为 (x-h)² + (y-k)²= r²。
圆的方程（交点，轨迹）难题
搞定圆的方程（交点，轨迹类难题）常见的隐藏圆已知动点P和两定点A，B。
�����⃗⋅PPPP�����⃗=λλ1.PPPP2.PPPP2+PPPP2=λλ3.PPPP PPPP=λλ（阿波罗尼斯圆）4.直径所对圆周角为9005.圆周角的相关性质6.关于阿波罗尼斯圆（阿氏圆）的相关性质：内分点（圆内点），外分点（圆外点），（即两定点），阿氏圆圆心在一条直线上当一个圆以及其内分点或外分点中一点确定，另外一点必然唯一确定小结论−DD=xx1+xx2−EE=yy1+yy2FF=xx1⋅xx2=yy1⋅yy2以找临界为通法的一类问题【链接】双动点类问题，其中一个在圆上的动点利用三角换元简化问题：消参数法：变式：若上述问题，两圆及定点不变，MA⊥MB，求AB的最值。
（取AB中点，利用RT三角形中，斜边中线等于斜边一半的结论，转为上述问题）（原问题）临界法：临界法：在平面直角坐标系x Oy 中，已知圆C 1：(x +1)2+(y -6)2=25，圆C 2：(x -17)2+(y -30)2=r 2.若圆C 2上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆C 1依次交于点A ，B ，且满足PA=2AB ，则半径r 的取值范围是 . [5,55]临界法：已知圆A：xx2+yy2=1，圆B：xx2+yy2−6xx−8yy+aa=0，若对于圆A上任意一点,，在圆B上总存在不������⃗=3PPMM������⃗，则实数aa的取值范围是________.（9,16]同的两点M，N，使得PPPP中华中学14临界法：角度类临界问题南京一中14易得，M点在轨迹圆xx2+yy2=1上。
对于每一个在轨迹圆上的点M，均做以OM为弦，所对圆周角为30°的外接圆，点P可以在每一个同样的外接圆的优弧上，这些外接圆优弧铺满了一个圆环面，即图中两个圆中间的区域。
我们需要知道最外层的圆的半径，易知，最外层圆的半径即为外接圆的直径2（最远距离）。
圆与方程难题分类
类型一：圆中的对称问题例16、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是例17 自点()33，-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆074422=+--+y x y x C ：相切（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程．类型七：圆中的最值问题例18：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是例19 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．(2)已知圆1)2(222=++y x O ：，),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．例20：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动，则22PB PA +的最小值是 .练习：1：已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.（1）求21--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值.2 设点),(y x P 是圆122=+y x 是任一点，求12+-=x y u 的取值范围．说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u 的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．3、已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求222PC PB PA ++的最大值和最小值.类型八：轨迹问题例21、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.例22、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.例23 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．例24 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了1x 、2x 、1y 、2y 四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆222r y x =+的参数方程，只涉及到两个参数α、β，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．练习：1、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.2、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于4、已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，问点M 的轨迹是什么？例5、已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .练习巩固：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.类型九：圆的综合应用例25、 已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．说明：求解本题时，应避免去求P 、Q 两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的m 值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P 、Q 存在． 解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于xy 的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．例26、已知对于圆1)1(22=-+y x 上任一点),(y x P ，不等式0≥++m y x 恒成立，求实数m 的取值范围．说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆222)()(r b y a x =-+-上的点设为)sin ,cos (θθr b r a ++()2,0[πθ∈)．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．例27 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．。
与圆有关的难题
１、在平面直角坐标系xoy 中,已知圆O:222211,:(4)4x y O x y +=-+=，动点Ｐ在直线0x b +-=上，过P 分别作圆O,O 1的切线，切点分别为A Ｂ,若满足PB=2PA 的点Ｐ有且只有两个,则实数b 的取值范围是２、过点(4,0)P -的直线l 与圆22:(1)5C x y -+=相交于,A B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点,则直线l 的方程为 ▲3、已知圆22:(2)4C x y -+=,线段E Ｆ在直线:1l y x =+上运动,点P 为线段EF 上任意一点,若圆Ｃ上存在两点Ａ、Ｂ,使得0PA PB ⋅≤,则线段ＥF 长度的最大值是 4、在平面直角坐标系xOy 中,圆1C :22(1)(6)25x y ++-=,圆2C :222(17)(30)x y r -+-=.若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ，满足2PA AB =,则半径ｒ的取值范围是 ▲ ．5、在平面直角坐标系xOy 中,设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ . ７、已知圆()()()22:10C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为 ▲８、在平面直角坐标系xO ｙ中，圆C 的方程为(ｘ－1)2＋ｙ2=４，Ｐ为圆C 上一点.若存在一个定圆Ｍ，过Ｐ作圆M 的两条切线ＰA ,PB ,切点分别为A ，B ，当P 在圆Ｃ上运动时,使得∠ＡＰB 恒为60︒,则圆Ｍ的方程为9已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上,若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点,且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标0x 的取值范围是 . 1０、已知点0,2A 位圆22:2200M x y ax ay a 外一点,圆M 上存在点T 使得45MAT，则实数a 的取值范围是 ．6、已知圆22:(1)(1)4M x y -+-=,直线:60,l x y A +-=为直线l 上一点，若圆M 上存在两点,B C ,使得60BAC ∠=︒,则点Ａ的横坐标的取值范围是11在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)A -，(2,6)B ，一条直线l 过点(0,)m ,且与单 位圆221x y +=恒相切． 若有且只有两个点P 满足:①4PA PB ⋅=-；②点P 到直线l 的距离为1,则实数m 的取值范围是 。
高中数学直线与圆难题
高中数学直线与圆难题一、题目已知圆C：(x - 1)^2+(y - 2)^2 = 25，直线l：(2m + 1)x+(m + 1)y - 7m - 4 = 0（m∈R）。
（1）证明：不论m取何值，直线l与圆C恒相交于两点；（2）求直线l被圆C截得的弦长最小时直线l的方程。
二、解析1. （1）证明直线l与圆C恒相交于两点- 首先将直线l的方程进行变形：- 由(2m + 1)x+(m + 1)y-7m - 4 = 0，可得2mx+x+my + y-7m - 4 = 0，即(2x + y - 7)m+(x + y - 4)=0。
- 然后解方程组2x + y - 7 = 0 x + y - 4 = 0- 用第一个方程减去第二个方程得：(2x + y - 7)-(x + y - 4)=0，即2x + y - 7 - x - y+4 = 0，解得x = 3。
- 将x = 3代入x + y - 4 = 0，得3 + y - 4 = 0，解得y = 1。
- 所以直线l恒过定点A(3,1)。
- 接下来计算点A(3,1)到圆心C(1,2)的距离d。
- 根据两点间距离公式d=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)，这里x_1 = 1,y_1 = 2,x_2 = 3,y_2 = 1，则d=√((3 - 1)^2+(1 - 2)^2)=√(4 + 1)=√(5)。
- 因为圆C的半径r = 5，且√(5)<5，即点A在圆C内部。
- 所以不论m取何值，直线l与圆C恒相交于两点。
2. （2）求直线l被圆C截得的弦长最小时直线l的方程- 当直线l⊥ AC时，直线l被圆C截得的弦长最小。
- 已知k_AC=(1 - 2)/(3 - 1)=(-1)/(2)。
- 因为两直线垂直，斜率之积为-1，所以直线l的斜率k = 2。
- 又直线l过点A(3,1)，根据点斜式方程y - y_0=k(x - x_0)（这里x_0 = 3,y_0 = 1,k = 2）。
圆与直线方程较难题(供参考)
1、 已知两定点A （-2，0），B （1，0），若是动点P 知足条件|PA|=2|PB|，那么点P 的轨迹所包围的图形的面积等于多少2、 设圆知足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为55，求该圆的方程． 3、 已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C 到直线y=-x 的距离等于 2．4、 （1）求圆C 的方程；5、 （2）若直线 l ：xm+yn=1（m ＞2，n ＞2）与圆C 相切，求mn 的最小值．6、 在平面直角坐标系xoy 中，以C （1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+32+1=0相切． （I ）求圆C 的方程；（II ）是不是存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，假设存在，求出此直线方程，假设不存在，请说明理由．7、 已知圆C ：x 2+（y-2）2=5，直线l ：mx-y+1=0．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；（2）假设圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．8、 一动圆被两条直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长别离为6和2，求动圆圆心的轨迹方程．9、 求过圆x 2+y 2+2x-4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程．10、 已知过点A （-1，0）的动直线l 与圆C ：x 2+（y-3）2=4相交于P ，Q 两点，M 是PQ中点，l 与直线m ：x+3y+6=0相交于N ．（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；（2）当 PQ=23时，求直线l 的方程；（3）探讨 •AM AN 是不是与直线l 的倾斜角有关？．11、 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线 l ：y=43x-12，被圆M 所截的弦长为 3，且圆心M在直线l 的下方．（I ）求圆M 的方程；（II ）设A （0，t ），B （0，t+6）（-5≤t ≤-2），假设圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值12、 一、（2020•陕西）如图，设P 是圆2x +2y =25上的动点， 点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且|MD|=45|PD| （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 13、 已知圆C ：2(1)x ++2y =8．（1）求过点Q （3，0）的圆C 的切线l 的方程；（2）如图定点A （1，0），M 为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N在CM 上，且知足 AM =2AP ，NP •AM =0，求N 点的轨迹方程1.P(x,y)PA²=4PB²所以(x+2)²+y²=4[(x-1)²+y²]x²+4x+4+y²=4x²-8x+4+4y²x²-4x+y²=0(x-2)²+y²=42.设圆心为P(a,b),半径为r,那么P到X轴、Y轴距离别离为|b|、|a|.由题设知圆P截X轴所得劣弧所对的圆心角为90度,知圆P所截X轴所得的弦长为 (根2)*r,故r^2=2b又圆P截Y轴所得弦长为2,因此有r^2=a^2+1从而得2b^2-a^2=1又P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=|a-2b|/根5--->5d^2=a^2+4b^2-4ab>=a^2+4b^2-2(a^2+b^2)=2b^2-a^2=1当a=b时上式等号成立,现在,5d^2=1,从而d取得最小值.由此有{a=b,2b^2-a^2=1}--->a=b=1,或a=b=-1由于r^2=2b^2,那么r=根2于是,所求圆的方程是:(x-1)^2+(y-1)^2=2,或(x+1)^2+(y+1)^2=2.5.1证明：∵直线l：mx-y+1=0通过定点D（0，1），点D到圆心（0，1）的距离等于1 小于圆的半径5，故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．2。
直线与圆(较难题组)含答案
9.直线和圆的方程较难题及难题组）1．（2012年江苏高考12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．2、（2011江苏高考14）设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________3．（连云港市2012－2013学年度第一学期高三期末考试13）如图，点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 ▲ .4．（南通市2013届高三第一次调研测试13）已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ． ．5．（苏州市2012－2013学年度第一学期高三期末考试13）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线60y +-=与圆22((1)2x y -+-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．6. （镇江市2012－2013学年度第一学期高三期末考试12）从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为 ．7．（无锡市2013届高三上学期期末考试13）定义一个对应法则f ：P （rn ，n ）→p '（m ，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A （-2，6）与点B （6，-2），点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则f ：M→M'．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点M'经过的路线的长度为 。
直线与圆的方程试题及答案大题
直线与圆的方程试题及答案大题一、选择题1.设直线过点A(1, 2)，斜率为-2，则直线方程是（）– A. y = 2x + 3– B. y = -2x + 3– C. 2y = x + 3– D. -2y = x + 3答案：B2.设点A(-1,3)和B(2,-4)，则直线AB的斜率为（）– A. -1– B. 1– C. 2– D. -2答案：D二、填空题1.过点A(2,1)且与直线y = 2x + 3平行的直线的方程是y = ___________。
答案：2x - 12.过点A(1,-2)且与直线2y = 4x - 3垂直的直线的方程是y = ___________。
答案：-0.5x - 13.过点A(-3,4)，斜率为2的直线方程是 y = ___________。
答案：2x + 10三、解答题1.求过点A(2,3)和B(-1,5)的直线方程。
解：直线AB的斜率 m = (5 - 3)/ (-1 - 2) = 2 / -3 = -2/3直线方程的一般形式为y = mx + c，其中c为常数。
将坐标A(2,3)代入直线方程，得到3 = (-2/3) * 2 + c => 3 = -4/3 + c。
解得c = 3 + 4/3 = 13/3，所以直线方程为y = -2/3x + 13/3。
2.已知直线的斜率为-1/2，过点A(3,4)，求直线的方程。
解：直线方程的斜率为-1/2，过点A(3,4)，所以直线方程可以表示为y = (-1/2)x + c。
将点A(3,4)代入直线方程，得到4 = (-1/2) * 3 + c => 4 = -3/2 + c。
解得c = 4 +3/2 = 11/2，所以直线方程为y = (-1/2)x + 11/2。
四、应用题1.在直角坐标系中，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，求点C的坐标。
解：由题意可知，过点A(2,3)和B(-1,5)的直线与y轴交于点C，所以C的横坐标为0。
直线和圆的位置关系练习题附答案
直线和圆的位置关系练习题(附答案问题1：已知直线方程为2x+3y-6=0，圆心坐标为(1,-2)，半径为3，求直线和圆的位置关系。
解：首先，我们可以将直线方程转换为一般方程的形式：2x+3y-6=0，即3y=-2x+6，最后得到y=(-2/3)x+2。
接下来，我们可以计算直线与圆心的距离，使用点到直线的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)其中A、B、C分别代表直线方程的系数，而(x0, y0)是圆心的坐标。
代入直线的方程，我们得到：d = |2(1) + 3(-2) - 6| / √(2^2 + 3^2)= |-1| / √(4 + 9)= 1 / √13= √13 / 13根据圆的半径和直线与圆心的距离，我们可以得出以下结论：1.如果直线与圆心的距离大于圆的半径，即√13 / 13 > 3，则直线与圆没有交点，且直线与圆外部没有公共点。
2.如果直线与圆心的距离等于圆的半径，即√13 / 13 = 3，则直线与圆相切于一个点。
3.如果直线与圆心的距离小于圆的半径，即√13 / 13 < 3，则直线与圆有两个交点，且直线与圆内部有两个公共点。
综上所述，直线2x+3y-6=0和圆心坐标为(1,-2)，半径为3的圆的位置关系为：直线与圆有两个交点，且直线与圆内部有两个公共点。
问题2：已知直线方程为x-2y+3=0，圆心坐标为(2,1)，半径为2，求直线和圆的位置关系。
解：将直线方程转换为一般方程的形式：x-2y+3=0。
计算直线与圆心的距离：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2)代入直线的方程，我们得到：d = |1(2) + (-2)(1) + 3| / √(1^2 + (-2)^2)= |2 - 2 + 3| / √(1 + 4)= |3| / √5= 3 / √5根据圆的半径和直线与圆心的距离，我们可以得出以下结论：1.如果直线与圆心的距离大于圆的半径，即 3 / √5 > 2，则直线与圆没有交点，且直线与圆外部没有公共点。
直线与圆方程例题
直线与圆方程例题直线与圆方程是数学中的重要内容，对研究平面几何关系非常关键。
下面我们将通过几个例题来探讨直线和圆的方程。
例题1：求直线与圆的交点已知直线L的方程为ax + by + c = 0，圆C的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
要求求出直线L与圆C的交点坐标。
解法：首先，我们需要将直线L的方程代入圆C的方程。
将直线L的方程代入圆C的方程，得到： (ax + by + c - h)² + (y - k)² = r²展开并整理得： a²x² + 2abxy + b²y² + 2acx + 2bcy + c² - 2ahx - 2bhy - h² - 2hk +k² = r²移项并合并同类项得： (a² + b²)x² + (2abx + 2bcy - 2ahx - 2bhy) + (c² + k² - 2hk - r²) = 0这是一个二次方程，我们可以通过解二次方程的方法求出交点坐标。
例题2：判断直线与圆的位置关系已知直线L的方程为y = mx + n，圆C的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²。
要求判断直线L与圆C的位置关系。
解法：我们知道，直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切或相交。
首先，我们需要将直线L的方程代入圆C的方程。
将直线L的方程代入圆C的方程，得到： (x - h)² + (mx + n - k)² = r²展开并整理得： x² - 2hx + h² + m²x² + 2mnx + n² - 2mkx - 2nhx + k² = r²移项并合并同类项得： (1 + m²)x² + (2mn - 2nh - 2hx)x + (h² + n² - 2mk - r²) = 0根据二次方程的判别式可以判断直线L与圆C的位置关系：若判别式大于0，则直线与圆相交；若判别式等于0，则直线与圆相切；若判别式小于0，则直线与圆相离。
直线与圆的典型例题解析
直线与圆的典型例题解析直线与圆啊，那可是数学里特别有趣的一对组合呢！就像两个性格迥异的小伙伴，有时候互相合作得特别好，有时候又有点小摩擦。
咱们今天就来好好唠唠关于它们的典型例题。
你看啊，有一种题呢，是让你判断直线和圆的位置关系。
这就好比两个人在路上走，看他们会不会碰面或者擦肩而过。
如果直线到圆心的距离比圆的半径大，那就像两个人隔得老远，根本碰不到一块儿，这就是相离的情况。
比如说圆的方程是\((x - 1)^2+(y - 2)^2 = 4\)，半径是2，有一条直线方程是\(x + y - 10 = 0\)，我们通过点到直线距离公式算出圆心\((1,2)\)到直线的距离\(d=\frac{|1 + 2 -10|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}\)，这个距离\(d\)大于半径2，那这条直线和圆就是相离的。
这是不是就像两个人一个在东一个在西，八竿子打不着呀？还有相切的情况呢。
这就像是两个人刚好轻轻地挨了一下，就那么一点接触。
比如说圆\(x^2 + y^2 = 9\)，圆心是\((0,0)\)半径是3，直线\(y=\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}\)，算出圆心到直线的距离\(d=\frac{|3\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}} = 3\)，刚好等于半径，那这条直线和圆就是相切的，就像两个人礼貌性地握了一下手，不多不少刚刚好。
相交就更好理解啦，就像两个人在路上有一段重叠的路要走，直线穿过圆。
比如圆\((x - 2)^2+(y - 3)^2 = 16\)，直线\(2x - y - 1 = 0\)，算出圆心\((2,3)\)到直线的距离\(d=\frac{|2\times2 - 3 - 1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = 0\)，距离小于半径4，那直线和圆就是相交的，就像两个人在同一条路上走了一段呢。
再来说说求切线方程的题吧。
直线与圆经典题型
直线与圆经典题型题型一：对称性求最值已知点M（3，5），在直线l：x﹣2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小．解：点M关于直线l和y轴的对称点分别为M1（5，1）和M2（﹣3，5）。
直线M1M2的方程为x+2y﹣7=0，解得交点P（1，3）。
令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0.5，0.75）。
所以，点P（1，3）和点Q（0.5，0.75）使△MPQ的周长最小。
题型二：反射光线问题已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射。
1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；2）求反射光线所在的直线l3的方程；3）求与l3距离为2的直线方程。
解：（1）由l1和l2的方程解得M（﹣2，1），因此点P （﹣2，﹣1）。
2）因为入射角等于反射角，所以反射光线与x轴的夹角为2α，其中α为MN与x轴的夹角。
直线MN的斜率为﹣1/3，因此α=arctan(﹣1/3)≈﹣18.43°。
反射光线与x轴的夹角为2α≈﹣36.86°，因此反射光线的斜率为tan(﹣36.86°)≈﹣0.75.反射光线所在的直线l3的方程为y=﹣0.75x+b，代入M （﹣2，1）得b=2.5，因此l3的方程为y=﹣0.75x+2.5.3）设与l3平行的直线方程为y=﹣0.75x+c，根据平行线的距离公式得|2﹣0.75c|/√(0.75²+1²)=2，解得c=10/3或﹣2/3.因此与l3距离为2的直线方程为y=﹣0.75x+10/3或y=﹣0.75x﹣2/3.题型三：直线恒过点问题已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0.Ⅰ）证明：直线恒过定点M（1，2）；Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程。
解：（Ⅰ）将M（1，2）代入直线方程得（2+m）+（1﹣2m）×2+4﹣3m=0，解得m=﹣1.因此，直线方程为x﹣3y+5=0，显然直线恒过点M（1，2）。
直线与圆的方程例题
1、已知直线方程为3x - 4y + 5 = 0，圆方程为x2 + y2 = 16，判断直线与圆的位置关系。
A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定（答案）C2、直线l过点P(2,3)且与圆x2 + y2 - 4x = 0相交于A、B两点，若弦AB的长度为2√3，则直线l的斜率可能为？A. 1B. -1C. 1或-1/7D. -1或7（答案）D3、给定圆方程(x - 1)2 + (y - 2)2 = 9和直线方程y = 2x + 1，求圆心到直线的距离。
A. √5B. 2√5C. 3√5D. 4√5（答案）A4、直线x - y + 1 = 0与圆x2 + y2 + 2x - 2y - 2 = 0相交，则交点个数为？A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个（答案）C5、已知直线方程2x - y - 3 = 0与圆方程x2 + y2 - 2x = 0，求直线被圆截得的弦长。
A. √6B. 2√6C. 3√6D. 4√6（答案）B6、圆x2 + y2 = 1与直线y = kx + b相切，若b = √2/2，则k的值为？A. 1B. -1C. ±1D. 0（答案）C7、直线l过原点且与圆x2 + y2 - 2y = 0相交，若交点构成的弦长为2，则直线l的方程为？A. y = xB. y = -xC. y = x 或 y = -xD. 无法确定（答案）C8、给定直线方程x + y - 1 = 0和圆方程(x - 2)2 + (y - 3)2 = 4，判断直线是否穿过圆。
A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对（答案）A9、圆x2 + y2 = 4与直线y = x + b相交，若交点构成的弦长为2√2，则b的值为？A. ±2B. ±√2C. 2D. -2（答案）A10、已知直线方程3x - 4y + 12 = 0与圆方程x2 + y2 - 6x = 0，求直线被圆截得的弦所在的直线方程。
最新直线和圆的方程典型例题详细解析
直线与圆一、选择题:1。
若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为 （A ）-1 （B ） 1 (C ） 3 (D) -3.2。
设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4,1），则两圆心的距离12C C =(A ）4 （B ）42 (C ）8 （D ）2【答案】C【解析】设和两坐标轴相切圆的方程为：222()()x m y m m -+-=,将(4,1)带入方程整理得：210170m m -+=，12=C C 22(10)4178.-⨯=二、填空题：3。
若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直,则实数m =_______【答案】1【解析】：121212,,12k k k k m ==-∴⋅=-直线互相垂直,，即12()1,12m m⋅-=-∴= 4．已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y +=(1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．（2) 圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ．答案：5,166。
已知圆C 经过A （5，1),B(1,3)两点，圆心在x 轴上．则C 的方程为___________.答案： ()22210x y -+= 解析：直线AB 的斜率是k AB =311152-=--，中点坐标是（3,2）.故直线AB 的中垂线方程()223y x -=-，由()223,0,y x y -=-⎧⎪⎨=⎪⎩得圆心坐标C （2,0），r=｜223110+=圆的方程为()22210x y -+=。
10．过原点的直线与圆222440x y x y +--+=相交所得弦的长为2,则该直线的方程为【答案】20x y -=12.（本小题满分13分) 设直线11221212:x+1:y=k x 1k k k k +20l y k l =-⋅=，，其中实数满足，（I ）证明1l 与2l 相交；（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上。
直线和圆的方程全章十类必考压轴题
直线和圆的方程全章十类必考压轴题直线和圆是几何学中的基本概念，它们在解决几何问题和建模实际情况中起着重要的作用。
在本文中，我们将讨论直线和圆的方程，并介绍与之相关的十类必考压轴题。
一、直线的方程1. 点斜式方程：已知直线上一点P(x₁, y₁)和直线的斜率k，直线的方程可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)。
2. 两点式方程：已知直线上两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，直线的方程可以表示为(y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)。
3. 截距式方程：已知直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，直线的方程可以表示为y = mx + b，其中m为直线的斜率。
二、圆的方程4. 标准方程：已知圆心坐标为(h, k)和半径r，圆的方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。
5. 中心半径式方程：已知圆心坐标为(h, k)和半径r，圆的方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。
6. 直径式方程：已知圆上两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，圆的方程可以表示为(x - (x₁ + x₂)/2)² + (y - (y₁ + y₂)/2)² = ((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)/4。
三、直线和圆的关系7. 直线与圆的位置关系：直线与圆有三种可能的位置关系，即相离、相切和相交。
相离时，直线与圆没有交点；相切时，直线与圆有且仅有一个交点；相交时，直线与圆有两个交点。
8. 直线与圆的切线：直线与圆相切时，直线被称为圆的切线。
切线与圆的切点处的切线斜率等于圆的斜率。
四、直线和圆的求解问题9. 直线与圆的交点：已知直线和圆的方程，可以通过联立方程求解得到直线与圆的交点坐标。
10. 直线和圆的切点：已知直线和圆的方程，可以通过求解直线与圆的切线方程，再求解切线与圆的交点坐标得到直线和圆的切点坐标。
最新直线与圆(较难题组)含答案
9.直线和圆的方程较难题及难题组）1．（2012年江苏高考12）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．2、（2011江苏高考14）设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________3．（连云港市2012－2013学年度第一学期高三期末考试13）如图，点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为 ▲ .4．（南通市2013届高三第一次调研测试13）已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且P A =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ ． ．5．（苏州市2012－2013学年度第一学期高三期末考试13）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线60y +-=与圆22((1)2x y -+-=交于A ，B 两点，则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为 ．6. （镇江市2012－2013学年度第一学期高三期末考试12）从直线3480x y ++=上一点P 向圆22:2210C x y x y +--+=引切线,PA PB ,,A B 为切点,则四边形PACB 的周长最小值为 ．7．（无锡市2013届高三上学期期末考试13）定义一个对应法则f ：P （rn ，n ）→p '（m ，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A （-2，6）与点B （6，-2），点M 是线段AB 上的动点，按定义的对应法则f ：M→M'．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应点M'经过的路线的长度为 。
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1、 已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所
包围的图形的面积等于多少
2、 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆
心到直线:20l x y -=的距离为55
，求该圆的方程． 3、 已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C 到直线y=-x 的距离等于 2．
（1）求圆C 的方程；
（2）若直线 l ：xm+yn=1（m ＞2，n ＞2）与圆C 相切，求mn 的最小值．
4、 在平面直角坐标系xoy 中，以C （1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+32+1=0相切． （I ）
求圆C 的方程；（II ）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．
5、 已知圆C ：x 2+（y-2）2=5，直线l ：mx-y+1=0．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总
有两个不同交点；（2）若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．
6、 一动圆被两条直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长分别为6和2，求动圆圆心的轨迹方程．
7、 求过圆x 2+y 2+2x-4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程．
8、 已知过点A （-1，0）的动直线l 与圆C ：x 2+（y-3）2=4相交于P ，Q 两点，M 是PQ
中点，l 与直线m ：x+3y+6=0相交于N ．
（1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；
（2）当 PQ=23时，求直线l 的方程；
（3）探索 •AM AN 是否与直线l 的倾斜角有关？．
9、 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线 l ：y=43x-12
，被圆M 所截的弦长为 3，且圆心M 在直线l 的下方．
（I ）求圆M 的方程；
（II ）设A （0，t ），B （0，t+6）（-5≤t ≤-2），若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值
10、 1、（2011•陕西）如图，设P 是圆2x +2
y =25上的动点， 点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且|MD|=
45|PD| （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程
（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为
45的直线被C 所截线段的长度． 11、 已知圆C ：2(1)x ++2y =8．
（1）求过点Q （3，0）的圆C 的切线l 的方程；
（2）如图定点A （1，0），M 为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N
在CM 上，且满足 AM =2AP ，NP •AM =0，求N 点的轨迹方程
1. P(x,y)
PA²=4PB²
所以(x+2)²+y²=4[(x-1)²+y²]
x²+4x+4+y²=4x²-8x+4+4y²
x²-4x+y²=0
(x-2)²+y²=4
2.设圆心为P(a,b),半径为r,
则P到X轴、Y轴距离分别为|b|、|a|.
由题设知圆P截X轴所得劣弧所对的圆心角为90度,知圆P所截X轴所得的弦长为 (根2)*r,故
r^2=2b
又圆P截Y轴所得弦长为2,所以有
r^2=a^2+1
从而得
2b^2-a^2=1
又P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
d=|a-2b|/根5
--->5d^2=a^2+4b^2-4ab>=a^2+4b^2-2(a^2+b^2)=2b^2-a^2=1
当a=b时上式等号成立,
此时,5d^2=1,从而d取得最小值.
由此有{a=b,2b^2-a^2=1}
--->a=b=1,或a=b=-1
由于r^2=2b^2,则r=根2
于是,所求圆的方程是:
(x-1)^2+(y-1)^2=2,
或(x+1)^2+(y+1)^2=2.
5.1证明：∵直线l：mx-y+1=0经过定点D（0，1），
点D到圆心（0，1）的距离等于1 小于圆的半径5，
故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．
2。
联立直线方程与椭圆方程，再结合韦达定理以及弦长公式即可解决问题．
3设中点M（x，y），因为L：m（x-1）-（y-1）=0恒过定点P（1，1）
∴kAB=y-1/x-1，又kMC=y-1/x，kAB•KNC=-1，
∴y-1/x-1•y-1/x=-1，
x2+y2-x-2y+1=0，
(x-1/2)2+(y-1)2=1/4，表示圆心坐标是（1/2，1），半径是1/2的圆；
9. (1)
L：y=(4/3)x-1/2 ，即：4x-3y- 3/2=0
设圆心M(a，0)
弦长的一半为√3/2，半径r=1
∴M到直线L的距离d= √[r² - (√3/2)²]= 1/2
又：d=|4a - 3/2|/√(4²+3²)
∴d=|4a - 3/2|/5 =1/2
∴a=1或-1/4
即M(1，0)或(-1/4，0)
又∵M在直线L下方
∴M(1，0)
即圆M：(x-1)²+y²=1
(2)
设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则：
直线AC的方程为y=k1x+t，即k1x-y+t=0
直线BC的方程为y=k2x+t+6，即k2x-y+t+6=0
联立AC、BC，得：
C点的横坐标为X(C)=6/(k1-k2)
∵|AB|=t+6-t=6
∴S=(1/2)·|AB|·|X(C)|=18/(k1-k2) (画个草图就知道k1＞k2，即k1-k2＞0) ∵AC、BC与圆M相切
∴圆心M到AC的距离d1= |k1+t|/√(k1²+1) = r =1，解得k1=(1-t²)/(2t)
圆心M到BC的距离d2= |k2+t+6|/√(k2²+1) = r =1，解得k2=[1-(t+6)²]/[2(t+6)] ∴k1-k2=(1-t²)/(2t) - [1-(t+6)²]/[2(t+6)] = 3(t²+6t+1)/(t²+6t)
∴S=18/(k1-k2) (已证)
=6(t²+6t)/(t²+6t+1)
=6(t² + 6t + 1 -1 )/(t²+6t+1)
=6 [ 1 - 1/(t²+6t+1) ]
∵-5≤t≤-2
∴-2≤t+3≤1
∴0≤(t+3)²≤4
∴-8≤t²+6t+1＝(t+3)²-8≤-4
∴S(max)=6(1 + 1/4 )=15/2
S(min)=6(1 + 1/8)=27/4。