分离常数法、判别式法求值域(含答案)
求值域的方法大全及习题
求值域方法常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（配方法、换元法）例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+g的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（配方法） 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值.4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值. 5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域.6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
函数值域的求法
函数值域的求法作者：陈松强来源：《中学生数理化·教研版》2010年第04期求函数的值域是函数里面最常见的题型,用途也很广泛,解法也很多.现将函数值域问题归纳如下.一、二次函数法凡是形如的函数,或可化为此种形式的函数,均可利用二次函数的图象,结合函数的单调性求值域.例1 求函数-2x-3,x∈[3,4]的值域.解-2x-3=(x--4.因为x∈[3,4],在此区间上,函数是单调递增函数.当x=3时,函数取最小值f(3)=0;当x=4时,函数取最大值f(4)=5.∴函数的值域为[0,5).例2 求y=2x+1+x-3的值域.解:令x-3=t(t≥0).那么则∴t=0时,函数取最小值f(0)=7.∴函数的值域为[7,+∞].以上两例,我们归纳如下步骤:①先求定义域;②配方,画出该区间上的图象;③根据单调性,求出函数的值域.事实上,我们勾勒图象的目的是为了解函数在限定区间上的单调性.如果我们知道了函数的单调性,完全不必勾勒图象.如例2,我们容易看出,y=2x+1+x-3在[3,+∞)上单调递增.因此x=3时,函数值最小,y=7,无最大值.同时,例2也向我们提供了另一种求函数值域的方法——换元法.二、换元法凡是形如f(x)=ax+b±cx+d(c≠0)的函数,均可利用换元法,通过换元,将一个无理代数式向一元二次函数方向转化,但要注意保持等价换元,如例2中令x-3=t(t≥0).三、分离常数法凡是形如y=ax+bcx+d(c≠0)的函数,或可看成这类函数的均可用此法.例3 求f(x)=3x-42x+1(x∈[-3,-2])的值域.解:f(x)=3x-42x+1=3(x+12)-1122(x+12)=23-114x+12.显然,函数在[-3,-2]上单调递增.∴值域为[f(-3),f(-2)],即f(x)∈[145,103].四、反函数法凡是反函数容易求出,或是反函数不容易求出,但含x的代数式容易求出的函数,均可用此法.如例3中f(x)=3x+42x+1(x∈[-3,-2]),反解求出x=-4y-42y-3.而x∈[-3,-2],∴-3≤-4y-42y-3≤-2,从而可求出y的取值范围.类似的例子还有很多,用反函数求值域是用代数的手段解决问题,不用勾勒图象,但解不等式的过程比较烦琐,用分离常数法求值域勾勒图象麻烦,但清楚易懂.五、判别式法凡是形如的形式,都可用“Δ”法求值域.例4 求函数的值域.解:将等价变形为-2)x+y=0.①当y≠0时,因为x∈所以方程有实根,即Δ=(y--从而-2≤y≤23,且y≠0.②当y=0时,代入原式中此时x=0.即存在x=0,使y=0成立.所以函数的值域为y∈[-2,23].此法中,如果x有认为限制条件,比如x∈[1,2],Δ≥0,就是值域正确的必要不充分条件.若遇到这种情况,则化为实根分布再求解。
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
分离常数法求值域
分离常数法求值域1. 什么是分离常数法？分离常数法是一种数学方法，用于求解函数的值域。
在解析函数的值域时，我们常常需要研究函数的性质和变化规律。
分离常数法是一种通过将函数中的常数因子与变量因子分离，从而得到函数的值域的方法。
2. 分离常数法的基本原理分离常数法的基本原理是将函数中的常数因子与变量因子分离，通过研究变量因子的取值范围，得到函数的值域。
对于一个函数f(x)，如果它可以表示为g(x)⋅ℎ(c)的形式，其中g(x)是只与变量x 有关的函数，ℎ(c)是只与常数c有关的函数，那么我们可以分离常数c，研究g(x)的取值范围，从而得到函数f(x)的值域。
3. 分离常数法的步骤分离常数法的求值域步骤如下：步骤1：将函数表达式分解将函数f(x)表示为g(x)⋅ℎ(c)的形式，其中g(x)只与变量x有关，ℎ(c)只与常数c有关。
步骤2：研究g(x)的取值范围对于g(x)，我们需要研究它的取值范围。
可以通过以下方法来进行研究：•求导：求导可以帮助我们找到函数g(x)的极值点和拐点，从而确定函数的增减性和凹凸性。
•解方程：对于特定的x值，我们可以通过解方程来确定g(x)的取值。
•图像分析：通过绘制函数g(x)的图像，我们可以观察函数的变化趋势和取值范围。
步骤3：确定ℎ(c)的取值范围对于常数ℎ(c)，我们需要确定它的取值范围。
常数的取值范围可以通过以下方法来确定：•已知条件：根据已知条件，确定常数的取值范围。
•推导：通过推导，确定常数的取值范围。
步骤4：求解函数的值域根据步骤2和步骤3的结果，我们可以求解函数f(x)的值域。
将g(x)的取值范围与ℎ(c)的取值范围进行组合，得到函数f(x)的值域。
4. 分离常数法的示例下面通过一个具体的示例来说明分离常数法的求值域过程。
示例：求函数f(x)=(x−1)(x+2)的值域。
解：首先将函数f(x)分解为g(x)⋅ℎ(c)的形式，其中g(x)=(x−1)，ℎ(c)=(x+2)。
值域问题系列(全)
分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求常量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出常量的取值范围。
这种方法可称为分离数法。
用这种方法可使解答问题简单化。
例如:Y=(ax+b)/(cx+d),(a≠0,c≠0,d≠0),其中a,b,c,d都是常数.例:y=x/(2x+1).求函数值域分离常数法,就是把分子中含X的项分离掉,即分子不含X项.Y=X/(2X+1)=[1/2*(2X+1)-1/2]/(2X+1)=1/2-1/[2(2X+1)].即有,-1/[2(2X+1)]≠0,Y≠1/2.则,函数值域是:{Y|Y≠1/2}.配方法过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。
这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。
同时也是数学一元二次方程中的一种解法（其他两种为公式法和分解因式法）。
过程1.转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）2.系数化1：将二次项系数化为13.移项：将常数项移到等号右侧4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式6.开方：左右同时开平方7.求解：整理即可得到原方程的根例:解方程2x^2+4=6x1. 2x^2-6x+4=02. x^2-3x+2=03. x^2-3x=-24. x^2-3x+2.25=0.25 （+2.25：加上3一半的平方，同时-2也要加上3一半的平方让等式两边相等）5. (x-1.5)^2=0.25 （a^2+2b+1=0 即（a+1）^2=0）6. x-1.5=±0.57. x1=2x2=1 （一元二次方程通常有两个解，X1 X2）二次函数配方法技巧y=ax²+bx+c 转换为y=a(x+h)²+k=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a记住公式：一次项一半的平方过程换元法概述解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
分离常数法求值域(人教A版)(含答案)
分离常数法求值域（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分)1.函数的值域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域2.函数的定义域是，则其值域为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域3.已知，则函数的值域是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域4.函数的值域为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域5.若函数的值域是，则此函数的定义域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域6.函数的值域是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域7.函数的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域8.函数的值域是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域9.函数的值域是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域10.若函数的值域为，则实数的值为( )A.0B.1C.2D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
三角函数专题：三角函数最值(值域)的5种常见考法(解析版)
三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型 （1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。
4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型， 可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法题型一 借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（ ） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（ ）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二 借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-， 故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+， 由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（ ） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三 借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣， 则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+， 所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________． 【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ， 所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四 分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（ ）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++， 因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+， 所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦， 即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-， 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（ ）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______． 【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。
求值域的方法,带例题
F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}. 练习1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
练习2.求函数11)(+-=x xe e xf 的值域。
3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0；若y ≠1,由题∆≥0， 即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1.综上：值域{y|331≤≤y }.例2．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}练习3（1）31(1)2x y x x +=≤- （2）221x xy x x -=-+4．二次函数在给定区间上的值域。
函数专题：函数值域的6种常用求法-【题型分类归纳】
函数专题：函数值域的6种常用求法一、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作y max＝f(x0)．2、最小值：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作y min＝f(x0)．3、几何意义：函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个．二、求函数值域的6种常用求法1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域)．（1）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则y max＝f(b)，y min＝f(a)．（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则y max＝f(a)，y min＝f(b)．（3）若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合．（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域．（2）()f x的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下(或靠上)的部分为该()f x函数的图象，从而利用图象求得函数的值域．3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域)．（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围． （2）换元的作用有两个：①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的．②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理 5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，形如+=+ax b y cx d或2++=+ax bx e y cx d （a ，c 至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法以+=+ax by cx d为例，解题步骤如下： 第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成=++a ey c cx d的形式， 第二步，求出函数=+e y cx d 在定义域范围内的值域，进而求出+=+ax by cx d的值域。
取值范围的四种常用方法-讲义(教师版)
取值范围的四种常用方法在圆锥曲线的取值范围类问题中，我们得到了讨论对象的最终表达式后，不可避免地要进行函数值域的研究. 在这些最终表达式里面，分式型的函数是最令人感到头疼的.求解分式型函数的值域，关键是利用换元等手段将其转成我们常见的函数形式.一、分离常数经典例题1.求函数的值域.【答案】【解析】，由于，故有，【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法一：用【分离常数】求的值域------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------------------------------------【一气呵成】------------------------------观察特征解题动作①分子和分母次数 相同尝试分离常数得②分离常数后，分式部分的分子为 常数只需研究分母值域即可巩固练习（1）（2）2.已知椭圆，若、是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接交椭圆于另一点.求证：直线过定点，并求出点的坐标．过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．【答案】（1）（2）直线过轴上的定点．的取值范围是．【解析】（1）（2）根据对称性易得：若直线过定点，则该定点一定在轴上.由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去得，设点，，所以，，又因为，所以直线的方程为，又因为，所以直线的方程为，令，得，将，代入上式并整理，得，整理得，所以，直线过轴上的定点．当过点的直线的斜率不存在时，直线的方程为，，，此时，当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，在椭圆上，由，得，则，故有，，从而，所以，由，得，综上，的取值范围是．【标注】【知识点】椭圆的标准方程；直线和椭圆的位置关系；定点问题；向量问题（1）（2）3.的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点．证明为定值，并写出点的轨迹方程；设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．【答案】（1）（2）证明见解析；点的轨迹为一个椭圆，方程为，()【解析】（1）圆的方程整理为，点的坐标为，如图，–6–5–4–3–2–112345y–5–4–3–2–112345O x，∴，∵，∴，，∴，（2），又，所以点的轨迹为一个椭圆，方程为，()；–5–4–3–2–112345y–4–3–2–11234O x；设，因为，所以，联立，得；则；圆心到的距离，所以，．【标注】【知识点】面积问题；最值问题四边形二、换元法-双勾型经典例题4.求函数的值域.【答案】【解析】令，则有，，由于在上单调递增，故有，【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法二：用【换元法】，结合【双勾函数】求的值域------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------------------------------------【一气呵成】------------------------------在上单调递增.观察特征解题动作①分母比分子次数更高换元令，则②新元形式为确定新元范围③分子只有一项且不为0同除分子，出现双勾形式巩固练习（1）（2）5.已知椭圆，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点．若为线段的中点，求直线的方程．记，求的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）（2）设直线的方程为，即，设，，由，消可得，∴，，∵为线段的中点，∴，解得，∴直线的方程为，即为．由（）可知，，设直线的方程为，即，同理可得，∴，当时，，当且仅当时取等号，当时，当且仅当时取等号，∴，∴，∵由于与是不同的直线，斜率，∴，∴的取值范围．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系（1）（2）6.在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴的非正半轴上运动，点在轴上运动，满足，点关于点的对称点为，设点的轨迹为曲线．求曲线的方程．已知点，动直线与相交于，两点，求过，，三点的圆在直线上截得的弦长的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】方法一：方法二：（1）方法一：（2）设，，，因为，所以，所以，又点为的中点，所以，①，所以②，将①，②式代入，得，所以曲线的方程为．如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于点，连接，因为为的中点，所以也为的中点，易证≌，所以，，易证≌，所以，由得点在直线上，即为点到直线的距离，由抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线的方程为．由（）可知，抛物线的方程为，令，得，设，，方法二：由于点，关于轴对称，所以过，，三点的圆的圆心在轴上，设，由得，，化简并整理得，圆的方程为，令，解得，，所以圆在直线上截得的弦长为，又因为，且，所以，所以，当且仅当，即或（舍去）时取等号，所以当时，圆在直线上截得的弦长的最小值为．由（）可知，抛物线的方程为，令，得，设，，由于点，关于轴对称，所以过，，三点的圆的圆心在轴上，设，由得，，化简并整理得，设圆在直线上截得的弦为，由垂径定理得，所以，又因为，且，所以，所以，当且仅当，即或（舍去）时取等号，所以当时，圆在直线上截得的弦长的最小值为．【标注】【知识点】最值问题；向量问题；抛物线与圆结合（1）（2）7.已知椭圆，直线与椭圆交于不同的两点、．若，求的值．试求（其中为坐标原点）的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，消去并整理得，∵直线与椭圆交于不同的两点、，∴，即，设，，则，，，即，解得．∵，，∴，∵，∴，即的最大值为．（当且仅当时，取得最大值）【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；弦长求解问题；最值问题（1）（2）8.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与曲线的交点为，且．求抛物线的方程．过点任意作互相垂直的两条直线，，分别交曲线于点，和，．设线段，的中点分别为，．求面积的最小值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）延长交直线于点，（2）则，∵，∴，即点为线段中点，∵点坐标为，∴点坐标为，∵点在抛物线上，∴，∴，∴抛物线的方程为．不妨设直线和的方程分别为和，设，，，，联立，得，由韦达定理知，，∴，∴点的坐标为，∴，联立得，由韦达定理知，，∴，∴点的坐标为，∴，∵，∴，∵，∴，当且仅当时取等号，∴的最小值为．【标注】【知识点】面积问题；最值问题三、换元法-二次型经典例题9.求函数的值域.【答案】【解析】令，则有，.故有，函数值域为.【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法三：用【换元法】，结合【二次函数】求的值域------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------------------------------------【一气呵成】------------------------------在处取最大值 .观察特征解题动作①分母是某个整体的完全平方换元令，则②分母只有一项分子依次除以分母，③这是复合的二次函数形式配方，巩固练习（1）（2）10.已知椭圆：的左右两个焦点分别为，，以坐标原点为圆心，过，的圆的内接正三角形的面积为，以为焦点的抛物线：的准线与椭圆的一个公共点为，且．求椭圆和抛物线的方程．过作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆于，两点，另一条交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值．【答案】（1）（2）抛物线，椭圆．．【解析】（1）由题意得，圆半径为，故内接正三角形的面积为，∴，即抛物线，又，，故，（2）∴，∴，∴椭圆．由已知得直线的斜率存在，记为．①当时，，，故，②当时，设，代入，得：，则，，∴，此时，，代入得：，则，，∴，∴，令，，综上，．【标注】【知识点】最值问题；面积问题；椭圆的标准方程四边形四边形四边形登堂入室（1）（2）11.已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，点在线段上，且满足．求点的轨迹的方程．过点作斜率不为的直线与（）中的轨迹交于，两点，点关于轴的对称点为，连接交轴于点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）方法一：（2），．∵，∴，即．又在线段上，∴．又，∴点轨迹是以，为焦点的椭圆，设的轨迹方程为，则，即，，∴，∴点的轨迹方程为．：设斜率为，设，，则，则，，∴，，，∴，，，．所在直线：，当时，，∴，方法二：点到直线的距离为，．令，则，令，，令，则，最大值在此处取得．∴，，．由题意可知直线斜率存在且不为，设直线的方程为，，，则，联立方程组，消元得：，由可得，解得．由根与系数的关系可得：，，∴，直线的方程为，令可得，即，∴到直线的距离，∴，令，则，∴．∴当时，取得最大值，∴的最大值为．【标注】【知识点】最值问题四、判别式法经典例题12.求函数的值域.【答案】【解析】视为参数，由于对有，即恒有，则的值域即为使方程关于有解的值.整理得关于有解，讨论：当时，方程有解.当时，由解得且.综上，的值域为.【标注】【知识点】求函数的值域题目分析方法四：用【判别式法】求的值域【核心思路】值域的意义：函数所有可能取到的值的集合. 值域里的所有值都有对应的值，也即把这条式子看作一个关于的方程，使这个方程有解的值的集合即为的值域.------------------------------【观察特征+解题动作】------------------------------这个形式虽然可以使用换元，但已经可以想见后续过程会比较丑陋，因此考虑使用判别式法.------------------------------【一气呵成】------------------------------当时，方程化为 ，有解.当时：由，解得且.综上，.观察特征解题动作①分子和分母次数 相同尝试分离常数得观察特征解题动作①分母判别式为 负 ，分母恒 正设为参数，移项得：②这可能是一个一次或者二次方程根据是否等于 进行分类讨论巩固练习（1）（2）13.已知椭圆：（）的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点．求椭圆的方程．直线被圆：所截得的弦长为，且与椭圆交于、两点，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由，得，即，∴，则椭圆方程为，联立，消去得，，由，解得：．∴椭圆方程为：．∵直线被圆：所截得的弦长为，∴原点到直线的距离为．①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆，得，不妨设，，则；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，由，得．联立，消去得，．，，∴．设，令，则，当时，可得，符合题意；当时，由，得且．综上，．∴当斜率存在时，．综①②可知，面积的最大值为．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；面积问题（1）（2）14.已知椭圆经过点，且右焦点．求椭圆的标准方程．过的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）由椭圆的右焦点为，知，即，则：，，又椭圆过点，则，又，求得．∴椭圆方程：．当直线斜率存在时，设的方程为，，，由得，即，∵在椭圆内部，，∴，则，，③，将①②代人③得∴，∴，，①②则，∴，即，又，是的两根，∴，当直线斜率不存在时，联立得，不妨设，，，，．可知．综上．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；最值问题；向量问题方法总结研究分式型函数的值域有许多方法，在具体解题过程当中，我们常进行如下的判断与动作：1、判次数：分子次数大于或等于分母时需进行分离常数；2、选基准：换元时常以次数较低或已成整体（主要是完全平方）的部分为基准进行换元；3、凑常见：换元后常将函数整理成一次、二次、双勾函数以及它们的倒数与复合形式；4、定主元：在上述过程中，若系数不方便计算，考虑使用判别式法（主元法）计算值域.注意事项1、换新元要确定新元的取值范围，解值域要判断自变量的取值范围，常见限制包括：①圆锥曲线中和的有界性，如椭圆中、；②交点相关问题中，参数（如直线中的）应使联立所得二次方程的；③圆锥曲线焦半径的取值范围，如椭圆中焦半径的取值范围是.2、基本不等式难解取值范围，在最值问题中存在无法取等的可能性，使用时要谨慎！3、判别式法在自变量限制不多时比较好用，复杂情况下升级为根的分布问题，得不偿失.【备注】形式判断只能确定大方向，若函数在形式上同时适用几种不同的方法，不需要纠结孰优孰劣.登堂入室（1）（2）15.已知抛物线的焦点为，是抛物线上的一点，．求抛物线的方程．过点的直线与抛物线交于、两点，且为线段的中点，若线段的中垂线交轴于，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）设点的坐标为，依题意得，，即，∴，，∴代入抛物线方程，即，∴（舍去）或，所以抛物线的方程为．由题意可得，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，，，联立得，∴，由根与系数的关系得，因为是线段的中点，所以有，即，①，即，∴，②中垂线的方程为：，令得，【备注】【提示】有的式子换元后也许不太能直接判断单调性，这时可以考虑强行求导求得最值.所以点，设点到直线的距离为，则，弦长，所以，．，由②式可得：，令，则，又，由②式得到即，∴，换元，，，∴，，单调递增；，，单调递减，故函数，此时，，所以得：，，直线的方程，所以，面积的最大值为．【标注】【知识点】面积问题；最值问题；直线和抛物线的位置关系；抛物线的标准方程登峰造极（1）（2）16.已知椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的右顶点到的距离为．求椭圆的方程．设直线与椭圆交于，两点，且满足，求面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）设椭圆的半焦距为，依题意，可得，且，，，．∴椭圆的方程为．依题意，可设直线，的斜率存在且不为零，不妨设直线，则直线，联立：得，则．同理可得：，∴的面积为：，当且仅当，即是面积取得最大值．【标注】【知识点】椭圆与抛物线结合；面积问题；最值问题【备注】【提示】分式换元时，我们无法用3次项来表示4次项（3次项能表示的是6次、9次等……）. 那么能否同时改变分子和分母的次数，使其变成可以用分子来表示分母的形式呢？五、补充练习：求参数取值范围经典例题（1）（2）17.已知双曲线的焦点在轴上，焦距为，且的渐近线方程为．求双曲线的方程．若直线与椭圆及双曲线都有两个不同的交点，且与的两个交点和满足（其中为原点），求的取值范围．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）（2）依题意设双曲线的方程为，则，，又，于是由，故的方程为．将代入得，由直线与椭圆有两个不同的交点得，即①，将代入得，由直线与双曲线有两个不同的交点，得，即且②，设，，则，，得，而，于是，解此不等式得，或③，由①，②，③得，或，故的取值范围为．【标注】【知识点】数量积的坐标表达式；双曲线的标准方程；向量问题。
值域_求值域的方法大全及习题加详解
值域_求值域的方法大全及习题加详解(总25页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--求值域方法函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题,对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. 函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域要注意优先考虑定义域常用求值域方法（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域。
（）例2、 求函数x 3y -=的值域。
（）答案：值域是：]3,[-∞ 【同步练习1】函数221xy+=的值域. （）解：}210{≤<y y（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。
（）例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
（）解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y 。
（）（配方法、换元法）解：………所以当41=x 时，y 有最小值-2。
故所求函数值域为[-2，+∞）。
例4、设02x ≤≤，求函数1()4321xx f x +=-+的值域．解：12()4321(23)8xx x f x +=-+=--，02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，∴函数的值域为[84]--，．评注：配方法往往需结合函数图象求值域． 例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
高中数学：求函数值域的10种常见方法
求函数的值域（常用）一、用非负数的性质例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2;（2）≥-1).练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．练2：求函数y =练3：求函数的值域。
练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y（3）2234x x y -+-=]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=二、分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例1：求下列函数的值域：（1）y=21x x ++（2）y=2211x x -+.练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3214222++++=x x x x y三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3的值域.练1：求函数122+-=xx y ()0>x 的值域.练2：求函数x x y 213--=的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y =234x x +的最值．练1：利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域．五、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数的值域。
练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.1x x y -+=练2：设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域.练3：求函数的值域．练4：求函数x x y 213--=的值域.六：判别式法例1：求函数的值域。
七、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例1：若62--=x x y ,求y 的最大、最小值．练1：求函数342+-=x x y 的值域．22x 1x x 1y +++=练2：求函数186122+-++=x x x y 的值域．练3：若（求x-y 的最大、最小值．八、利用已知函数的有界性． 例1：求函数y=25243x x -+的值域.练1：求函数的值域。
分离常数法、判别式法求值域(含答案)
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
7.函数 的值域是( )
A. B.
CHale Waihona Puke D.答案：A解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域
8.函数 的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域
分离常数法、判别式法求值域
一、单选题(共9道，每道11分)
1.函数 的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
2.若函数 的定义域是 ，则其值域为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
3.函数 的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
4.函数 的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
5.若函数 的值域为 ，则实数 的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
9.函数 的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域
分离常数法、判别式法求值域测试题(含答案)
分离常数法、判别式法求值域一、单选题(共9道，每道11分)
1.函数的值域为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
2.若函数的定义域是，则其值域为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
3.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
4.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
5.若函数的值域为，则实数的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
6.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
7.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域
8.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域
9.函数的值域是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域。
高一数学之分离参数法(含答案)
高中重要解题方法——分离变量法试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立⇔[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立⇔[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）.定理2 不等式()()f x g a ≥存在解⇔[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解⇔[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）.定理3 方程()()f x g a =有解⇔()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）.解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组：1、 已知当x ∈R 时，不等式224sin cos sin 5x x x a +-<-+恒成立，求实数a 的取值范围。
2.若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。
3,、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。
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分离常数法、判别式法求值域一、单选题(共9道，每道11分)
1.函数的值域为( )
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答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
2.若函数的定义域是，则其值域为( )
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…
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域3.函数的值域是( )
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答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域4.函数的值域是( )
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'
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域
5.若函数的值域为，则实数的值为( )
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域6.函数的值域是( )
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'
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分离常数法求值域7.函数的值域是( )
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答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域8.函数的值域是( )
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、
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域9.函数的值域是( )
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答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：判别式法求值域。