专题08：平面几何基础.docx
平面几何入门
平面几何入门平面几何是数学中的一个重要分支，它研究的是二维空间中平面图形的性质和关系，是几何学的基础。
在本文中，我们将带您入门平面几何的基本概念和理论，让您对这一学科有一个全面的了解。
一、点、线和面的概念平面几何的基本元素包括点、线和面。
点是平面上最基本的对象，不占据空间，用大写字母标记，如A、B、C等。
线由无数个点组成，它是一维的，没有宽度和厚度，用小写字母表示，如l、m、n等。
面是由无数个线构成的，它是二维的，拥有长度和宽度，用大写字母表示，如P、Q、R等。
二、基本图形的性质1. 点的性质：点没有大小和形状，可以在平面上移动。
2. 直线的性质：直线无限延伸，在平面上任意两点可以确定一条直线，直线上的点不限定数量。
3. 射线的性质：射线由一个端点和一个方向组成，在平面上只能延伸一个方向。
4. 线段的性质：线段由两个端点组成，有固定的长度，在平面上不能无限延伸。
5. 角的性质：角由两条射线的公共端点和位于这两条射线之间的部分组成，用大写字母表示，如∠ABC。
角的大小可以用度、弧度或直角来度量。
6. 三角形的性质：三角形是由三条线段组成的平面图形，它有三个顶点和三个边。
根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
7. 四边形的性质：四边形是由四条线段组成的平面图形，它有四个顶点和四条边。
根据边长和角度的不同，四边形可以分为正方形、长方形、菱形、平行四边形等。
8. 圆的性质：圆是由一个固定点到平面上任意点的距离相等的点的集合。
圆由圆心和半径确定，圆心用大写字母表示，如O，半径用小写字母表示，如r。
三、平面几何的定理与推理平面几何的定理是通过逻辑推理和证明得出的，它们是描述平面图形性质和关系的真实命题。
下面介绍几个常见的定理：1. 垂直平分线定理：如果一条线段的中点处于另一条线段上，并且这条线段与另一条线段垂直相交，那么这条线段就是另一条线段的垂直平分线。
2. 同位角定理：当两条直线被一条交叉直线切割时，同位角是对应于同一边的内角或外角，它们互补。
江苏省连云港市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题08 平面几何基础
[中考12年]连云港市2001-2012年中考数学试题分类解析专题08平面几何基础一、选择题1. （2001年江苏连云港3分）在比例尺1∶n的某市地图上，规划出一块长5cm、宽2cm的矩形工业园区，则该园区的实际面积是【】（单位：平方米）（A）n1000（B）2n1000（C）10n （D）210n2. （2001年江苏连云港3分）下列四个命题中的真命题是【】（A）同位角相等，则它们的平分线互相垂直（B）内错角相等，则它们的平分线互相垂直（C）同旁内角互补，则它们的平分线互相垂直（D）同旁内角相等，则它们的平分线互相垂直3. （2002年江苏连云港3分）下面给出四个命题，其中假命题是【】A．两条直线被第三直线所截，同位角相等B ．不相等的两角不是对顶点C ．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧D ．以已知线段AB 为弦的圆的圆心的轨迹是线段AB 的垂直平分线4. （2004年江苏连云港3分）下列图案中，既是中心对称又是轴对称的图案是【 】A ．B ．C ．D ．5. （2005年江苏连云港3分）如图，直线1l ∥2l ，3l ⊥4l ．有三个命题：①︒=∠+∠9031；②︒=∠+∠9032；③42∠=∠．下列说法中，正确的是【 】（A ）只有①正确 （B ）只有②正确 （C ）①和③正确 （D ）①②③都正确6. （2006年江苏连云港3分）下列图案中，不是．．中心对称图形的是【】A、 B、 C、 D、7. （2006年江苏连云港3分）多边形的内角和不可能．．．为【】A、180°B、680°C、1080°D、1980°8. （2008年江苏连云港3分）已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中1∠一定不相等∠与2的是【】A． B． C．D．9. （2010年江苏连云港3分）下列四个多边形：①等边三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】A．①② B．②③ C．②④ D．①④10. （2011年江苏连云港3分）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是【】A．B．C．D．11.（2012年江苏连云港3分）下列图案是轴对称图形的是【】A． B． C． D．12.（2012年江苏连云港3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为【】A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题1. （2004年江苏连云港3分）如图，两平面镜OA与OB之间的夹角为110°，光线经平面镜OA反射到平面镜OB上，再反射出去，其中∠1=∠2，则∠1的度数为▲ 度．2. （2005年江苏连云港3分）已知一个五边形的4个内角都是100，则第5个内角的度数是▲ ．3. （2006年江苏连云港3分）如图，∠BAC=30°，AB=10。
专题08 平面解析几何(解析版)
专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2020年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为（ ） A ．230x y ±= B ．320x y ±= C ．20x y ±= D ．230x y ±=【答案】C 【解析】由题,离心率c e a ===解得12b a =, 因为焦点在x 轴上,则渐近线方程为12y x =±,即20x y ±= 故选：C2．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B．C．5+D．3+【答案】C 【解析】 由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=）， 所以A 在以(1,1)C为半径的圆上，又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，5CD ==，∴AB的最大值为5CD =+ 故选：C.3．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知点A 在圆224x y +=上，且712xOA π∠=，则点A 的横坐标为（ ） A．2 B．4 CD【答案】A 【解析】由题设点A 00(,)x y ，点A 在圆上，22004x y +=，712xOA π∠=，7coscos()cos cos sin sin 124343434πππππππ=+=-=7cos 122x xOA π∠==，0x =.故选：A4．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．53C ．52D【答案】C 【解析】由双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，可得其一条渐近线的方程为b y x a=，即0bx ay -=，又由圆22:10210C x y y +-+=，可得圆心为(0,5)C ，半径2r =，则圆心到直线的距离为5a d c ==，则52a c =，可得52c e a ==， 故选C.5．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线1l ，2l 为双曲线M ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，若1l ，2l 与圆N ：()2221x y -+=相切，双曲线M 离心率的值为（ ）ABCD．3【答案】B 【解析】设渐近线方程b y x a =±，即0b x y a±=，与圆N ：()2221x y -+=相切，圆心到直线的距离1d ==，22222222()()1,3,3()b b b a c a a a a =+=-=，所以222434,,1,33c a e e e ==>=故选：B6．（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()122,0F ，点A的坐标为()0,1，点P 为双曲线左支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．22【答案】D 【解析】 如下图所示：设该双曲线的左焦点为点F ，由双曲线的定义可得12PF PF a =+，所以，1APF ∆的周长为11123262AP AF PF AF AP PF a AF a a ++=+++≥++=+， 当且仅当A 、P 、F 三点共线时，1APF ∆的周长取得最小值，即628a +=，解得1a =.因此，该双曲线的离心率为222e a==故选：D.7．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．3y x = C ．2y x =±D ．y x =±【答案】B 【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ， 故渐近线方程为3y x =， 故选B.8．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ） A ．712612+B ．910+C ．832612D ．926+【答案】D 【解析】抛物线方程中：令1y =可得14x =，即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-， 与抛物线方程联立可得：()2222220k x k x k -++=， 据此可得：11,4A B B Ax x x x =∴==， 且：254A B AB x x p =++=，将4x =代入24y x =可得4y =±，故()4,4B -，故()()22434126MB =-+--=,故△ABM 的周长为12532692644MA AB BM ⎛⎫++=-++=+ ⎪⎝⎭, 本题选择D 选项.9．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为( )A ．23B ．43C ．8D ．83【答案】B 【解析】由题意，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设抛物线24y x =的准线与x 轴交点为D ，则2DF =，又直线AF 的斜率为3-，所以60AFD ∠=o ，因此24AF DF ==，60AFP ∠=o ； 由抛物线的定义可得：PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形， 所以PAF △的面积为144sin 60432⨯⨯⨯=o . 故选：B.10．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点P 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>右支上一点，12,F F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若114PF HF =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．53D ．73【答案】C 【解析】取1PF 的中点M ，连接2MF ,由条件可知1111142HF PF MF ==， Q O 是12F F 的中点，2//OH MF ∴又1OH PF ⊥Q ，21MF PF ∴⊥1222F F PF c ∴==,根据双曲线的定义可知122PF a c =+，12a cHF +∴=， 直线1PF 的方程是：()ay x c b=+ ，即0ax by ac -+= ，原点到直线的距离OH a ==，1OHF ∴∆中，2222a c a c +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理为：223250c ac a --= ， 即23250e e --= ， 解得：53e = ，或1e =-（舍） 故选：C二、多选题11．（2020届山东省德州市高三上期末）已知点A 是直线:20l x y +-=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()0,2 B ．()1,21-C ．()2,0D ．()21,1-【答案】AC 【解析】 如下图所示：原点到直线l 的距离为222111d ==+，则直线l 与圆221x y +=相切，由图可知，当AP 、AQ 均为圆221x y +=的切线时，PAQ ∠取得最大值，连接OP 、OQ ，由于PAQ ∠的最大值为90o ，且90APO AQO ∠=∠=o，1OP OQ ==，则四边形APOQ 为正方形，所以22OA OP ==，由两点间的距离公式得()2222OA t t=+-=，整理得22220t t -=，解得0t =或2，因此，点A 的坐标为()0,2或()2,0.故选：AC.12．（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，直线的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =u u u r u u u rC ．2BD BF = D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 360o ，//AE x Q 轴，60EAF ∴∠=o ，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=o ，则30PEF ∠=o ，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==Q ，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =u u u r u u u r，B 选项正确；60DAE ∴∠=o ，30ADE ∴∠=o ，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确； 2BD BF =Q ，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.13．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( )A ．离心率为54B ．双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．渐近线方程为340±=x yD ．实轴长为4【答案】ABC 【解析】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确； D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.14．（2020届山东省潍坊市高三上期末）把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点 【答案】ACD 【解析】当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确；当()430f x x += ，即()34f x x =-， 函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点， 而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确. 故选：ACD15．（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M为线段AB 的中点，则（ ） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切 C ．当2AF FB =u u u r u u u r时，92AB = D ．AB 的最小值为4【答案】ACD 【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离：对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误.对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B aa ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a=++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =u u u r u u u r 可得122y y =-， 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.16．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．17．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 是椭圆C ：2216x y +=上的动点，Q 是圆D ：()22115x y ++=上的动点，则（ ）A ．CB ．C 的离心率为6C ．圆D 在C 的内部D ．PQ 【答案】BC 【解析】2216x y +=Qa ∴=1b =c ∴===C 的焦距为6c e a ===.设(), P x y （x ≤≤， 则()()22222256441111665555x x y x x PD ⎛⎫++=++-=++≥> ⎪⎝⎭=，所以圆D 在C 的内部，且PQ 5=. 故选：BC .18．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ） A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则1PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC 【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确；对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+, 联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误； 故选：ABC 三、填空题19．（2020届山东省九校高三上学期联考）直线y x =与圆2240x x y -+=相交于A 、B 两点，则AB =__________.【答案】【解析】圆的标准方程为22(2)4x y -+=，圆心到直线的距离d ==所以弦长：AB ==故答案为：20．（2019·北京八十中高二期中）已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．1 2 【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c ，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m，++∴===∴= 21．（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 【答案】9 【解析】由题意可知直线过圆心，即21a b +=()2121222559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当22a bb a=时，又()0,0a b >> 即a b =时等号成立， 故21a b+的最小值为9. 故答案为：922．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若=PQ C 的离心率为____.【解析】设△MPF 2的内切圆与MF 1，MF 2的切点分别为A ，B ， 由切线长定理可知MA ＝MB ，P A ＝PQ ，BF 2＝QF 2， 又PF 1＝PF 2，∴MF 1﹣MF 2＝（MA +AP +PF 1）﹣（MB +BF 2）＝PQ +PF 2﹣QF 2＝2PQ ，由双曲线的定义可知MF 1﹣MF 2＝2a ， 故而a ＝PQ 2=，又c ＝2，∴双曲线的离心率为e 2ca==． 故答案为：2．23．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知F 为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D 为垂足，且3||||FD OF =（O 为坐标原点），则C 的离心率为________. 【答案】2 【解析】由题意(c,0)F ，一条渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=， ∴ 22bcFD b b a ==+，由3||||FD OF =得3b =，∴222234b c c a ==-，224c a =，∴2ce a==． 故答案为：2.24．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为()2,3，则PA PM +的最小值是__________． 101 【解析】设抛物线的焦点是()1,0F ，根据抛物线的定义可知1PM PF =-1PA PM PA PF ∴+=+-，PA PF AF +≥Q ，当,,A P F 三点共线时，等号成立，PA PM ∴+的最小值是1AF -，()()22213010AF =-+-=，PA PM ∴+的最小值是101-.10125．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P 为双曲线C ：2214y x -=右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且线段12A A ，12B B 分别为C 的实轴与虚轴.若12A A ，12B B ，1PF 成等比数列，则2PF =______.【答案】6 【解析】2214y x -=Q1222A A a ∴==，1224B B b ==，12A A Q ，12B B ，1PF 成等比数列212112A A PF B B ∴⋅=，解得18PF =，2826PF a ∴=-=故答案为：626．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p =_______，49NF MF-的最小值为______． 【答案】8p = 13【解析】∵ 抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，∴ 8p =，∴ 抛物线的方程为216y x =，设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2164y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=， ∴49NFMF -11494NF NF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭419NF NF =+-42?19NF NF ≥-13=， 当且仅当49NF NF=即6NF =时，等号成立， 故答案为：13． 27．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l ，P 是l 上一点， Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =u u u r u u u r，则||QF =__________.【答案】83【解析】根据题意画出图形，设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足是N ，∵抛物线2:8C y x =，∴焦点为2,0F （），准线方程为2x =-，∵3PF QF =u u u v u u u v ，2288,4,.3333QN PQ QN QF QN FM PF ∴==∴=⨯=∴==28．（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:3l y x =上在第三象限内的点，()10,0B -，以线段AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥，则圆C 的标准方程为________.【答案】()()227645x y +++=【解析】由题意，设点(,3),0A m m m <，因为()10,0B -，则AB 的中点为103,22m m C -⎛⎫⎪⎝⎭， 以线段AB 为直径的圆C 的方程为：(10)()(3)0x x m y y m +-+-=； 由(10)()(3)03x x m y y m y x +-+-=⎧⎨=⎩，解得：13x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,3)D --；又AB CD ⊥，所以0AB CD ⋅=u u u r u u u r；因为(10,3)AB m m =---u u u r ，83,322m m CD -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 所以()83(10)33022m m m m -⎛⎫⎛⎫--+---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得：2280m m +-=，解得4m =-或2m =，因为0m <，所以4m =-， 所以圆C 的方程为：(10)(4)(12)0x x y y ++++=， 整理得：()()227645x y +++=. 故答案为：()()227645x y +++=. 四、解答题29．（2020届山东省潍坊市高三上期末）在平面直角坐标系中，()()1 ,0,1,0A B -，设ABC V 的内切圆分别与边,,AC BC AB 相切于点,,P Q R ，已知1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程;(2)过()2,0G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点,H HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M N 、两点，若6SMG SHN S S =V V ，求直线MN 的方程.【答案】（1）221(0)43x y y +=≠（2）1y x =+或1y x =+.【解析】(1)由内切圆的性质可知CP CQ =，AP AR =，BQ BR =，∴CA CB CP CQ AP BQ +=+++24CP AB AB =+=>.所以曲线E 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆(除去与x 轴的交点).设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b+=>>≠则1,24c a ==，即2222,3a b a c ==-=所以曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠.(2)因为HA x ⊥轴，所以31,2H ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()00,S y ， 所以03223y --=-，所以01y =，则()0,1S因为2a c =，所以2SG SH =，所以1sin 2261sin 2SMG SMNSM SG MSG SM S S SN SN SH NSH ∠===∠V V 所以3SM SN=，所以3SM SN =-u u u r u u u r设()()1122,, ,,M x y N x y 则()11,1SM x y =-u u u r()22,1SN x y =-u u u r，所以123x x =-①直线MN 斜率不存在时， MN 方程为0x =此时2SM SN==+. ②直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+.联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880,k x kx ++-=所以122122834834k x x kk x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123x x =-代入得222228348334k x k k x k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以2224833434k k k k ⎛⎫=⎪⎭+ ⎝+. 所以236,2k k ==±， 所以直线MN 的方程为61y x =+或61y x =-+. 30．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足223220e e -+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l 的斜率为2．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】（1）由223220e e -+=解得22e =或2e =，∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a --==-a ∴=1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =-， 设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +-+=， ∴12122286,2121k x x x x k k +==++， ()()22=84621k k --⨯⨯+V =216240k ->232k ∴>， ∴()121224421y y k x x k -+=+-=+， ()()121222y y kx kx =--()21212=24k x x k x x -++=224221k k -+，直线BP 的方程为1111y y x x -=+，令0y =解得111x x y =-，则11,01x M y ⎛⎫⎪-⎝⎭， 同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪-⎝⎭，12123411BOM BCN x x S S y y ∴=--V V g =()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =---++=22226321444212121k k k k +-++++=12，BOM BON S S ∆∴V g 为定值12． 31．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=. （1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【答案】（1）221164x y += （2）10k >10k <- 【解析】（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =,又c e a==,222a b c =+,解得c =,2b =, 所以椭圆的标准方程为221164x y +=（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-u u u r ,22(3,)QB x y =-u u u r,联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=, 所以120x x +=,1221641x x k -=+, 因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>u u u r u u u r,所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+u u u r u u u r12121293()x x x x y y =-+++ 2121293()(1)x x k x x =-+++2216(1)9041k k +=->+,解得k >k <32．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的焦距为2，且过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ∆的垂心，若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=（2）存在，43y x =-【解析】（1）由已知可得：22222221112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩解得22a =，21b =，1c =，所以椭圆C ：2212x y +=.（2）由已知可得，()0,1B ，()1,0F ，∴1BF k =-，∵BF l ⊥， 设直线l 的方程为：y x m =+，代入椭圆方程整理得2234220x mx m ++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=，∵BN MF ⊥，∴1212111y y x x -⋅=--. 即1212120y y x x y x +--=，因为11y x m =+，22y x m =+，()()()1212120x m x m x x x m x +++-+-= 即()212122(1)0x x m x x m m +-++-=.()2222421033m m m m m --+-+-=.所以2340m m +-=，43m =-或1m =. 又1m =时，直线l 过B 点，不合要求，所以43m =-. 故存在直线l ：43y x =-满足题设条件. 33．（2019·山东高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x u u u u v u u u v=--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-u u u u v ，()101,PB x x y =-u u u v， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++u u u u v u u u v()()()()2220002222120122485312143x x k x k x x x k x x kx k --+-=+-++++=+因为·PM PB u u u u v u u u v 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 34．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）设中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C过点12A ⎫⎪⎭，F为C 的右焦点，⊙F的方程为221104x y +-+= （1）求C 的方程；（2）若直线:(l y k x =(0)k >与⊙O 相切，与⊙F 交于M 、N 两点，与C 交于P 、Q 两点，其中M 、P 在第一象限，记⊙O 的面积为()S k ，求(||||)()NQ MP S k -⋅取最大值时，直线l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）(2y x =-【解析】（1）解：设C 的方程为22221x y a b+=(0)a b >>.由题设知223114a b+=① 因为⊙F 的标准方程为221(3)4x y -+=， 所以F 的坐标为(3,0)，半径12r =. 设左焦点为1F ，则1F 的坐标为(3,0)-. 由椭圆定义，可得12||a AF AF =+222211[3(3)]0(33)022⎛⎫⎛⎫=--+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4=②由①②解得2,a =1b =.所以C 的方程为2214x y +=.（2）由题设可知，M 在C 外，N 在C 内，P 在⊙F 内，Q 在⊙F 外，在直线l 上的四点满足||||||,MP MN NP =-||||||NQ PQ NP =-.由2214(3)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得()222214831240k x k x k +-+-= 因为直线l 过椭圆C 内的右焦点F ， 所以该方程的判别式>0∆恒成立.设()11,,P x y ()22,Q x y 由韦达定理，得2122,14x x k+=+212212414k x x k -=+.||PQ =224441k k +=+ 又因为⊙F 的直径||1MN =,所以||||||||(||||)NQ MP PQ NP MN NP -=---||||PQ MN =- ||1PQ =-2341k =+.(y kx =可化为0kx y -=.因为l 与⊙O 相切，所以⊙O的半径R =，所以2()S k R π=2231k k π=+. 所以()()2229(||||)()411k NQ MP S k k k π-⋅=++ 2429451k k k π=++229145k k π=≤++π=.当且仅当2214k k =，即2k =时等号成立. 因此，直线l的方程为y x =-.35．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知椭圆L ：()222210x y a b a b +=>>为2.（1）求椭圆L 的标准方程；（2）过点()0,2Q 的直线l 与椭圆L 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l 的方程及AB 的大小.【答案】(1) 2214x y += (2) 22y x =±+，17AB =. 【解析】解：（1）由22222222314c a b b e a a a -===-=得224a b =， 又∵短轴长为2可得1b =，24a =，∴椭圆L 的标准方程为：2214x y +=.（2）易知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的斜率为()0k k ≠，设直线l 的方程为：2y kx =+，则联立222440y kx x y =+⎧⎨+-=⎩， 消元得：()224116120k x kx +++=，()()2221616484116430k k k ∆=⨯-+=->，即234k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，∴1221641k x x k -+=+，1221241x x k ⋅=+， 由题意可知OA OB ⊥u u u r u u u r ，0OA OB ⋅=u u ur u u u r 即：()()2121212121240x x y y k x x k x x ⋅+⋅=+⋅+++=，∴()222212132401414k k k k+-+=++，解得2344k =>，∴12x AB =-=224434651k k -=+⋅=.综上：直线l 的方程为：22y x =±+，46517AB =. 36．（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =（2）存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭Q ，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=.设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=，()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>， 212248k x xk++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称， ∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PN k x k x a-=-. ∴()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦， ∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.37．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F =，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB u u u u v u u u v为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x u u u u v u u u v =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=， 根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，由于()202,PM x x y =-u u u u v ，()101,PB x x y =-u u u v， 则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++u u u u v u u u v ()()()()22200022221201202485312143x x k x k x x x kx x k xk --+-=+-++++=+因为·PM PB u u u u v u u u v 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 38．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知椭圆E :()222210y x a b a b+=>>的一个焦点为(,长轴与短轴的比为2:1.直线l y kx m =+：与椭圆E 交于P ､Q 两点,其中k 为直线l 的斜率. (1)求椭圆E 的方程;(2)若以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,问:是否存在一个以坐标原点O 为圆心的定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值,定圆O 恒与直线l 相切?如果存在,求出圆O 的方程及实数m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.【答案】(1) 2214y x +=(2)存在,2245x y +=.m的取值范围是,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎭【解析】(1)由已知得:2222c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得:2,1a b ==∴椭圆E 的方程为2214yx +=(2)假设存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线l 相切. 这时只需证明坐标原点O 到直线l 的距离为定值即可.设直线OP 的方程为:,y tx P =点的坐标为()00,x y ,则00y tx =,联立方程组220224414y txx y t x =⎧⎪=⎨++=⎪⎩，解得： ()()22222200024114t OP x y t x t+∴=+=+=+①Q 以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ,OP OQ ∴⊥,直线OQ 的方程为:1y x t=-∴在①式中以1l -换t ,得()2222214141=1414t t OQ t t ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫+- ⎪⎝⎭② 又由OP OQ ⊥知:()()()()()222222222224141201414144tt tPQ OP OQ t tt t+++=+=+=++++设坐标原点O 到直线l 的距离为d ,则有PQ d OP OQ =()()()()()22222222222241414414,55201144t t OP OQ l l d d PQ t t t++⋅++∴====+++又当直线OP 与y 轴重合时,()()0,2,1,0P Q ±±此时d =由坐标原点O 到直线l的距离5d =为定值知,所以存在定圆O ,不论直线l 的斜率k 取何值时,定圆O 恒与直线l 相切,定圆O 的方程为:2245x y +=. 直线l 与y 轴交点为()0,m ,且点()0,m 不可能在圆O 内,又当k =0时,直线l 与定圆O切于点0,⎛ ⎝⎭,所以m的取值范围是,,55⎛⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭39．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线32y x =与椭圆E 在第一象限内的交点是M ，且2MF x ⊥轴，1294MF MF ⋅=u u u u r u u u u r . （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在斜率为1-的直线l 与以线段12F F 为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且||||CD AB ⋅=l 的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，y x =-+或y x =-- 【解析】（1）设()1,0F c -，()2,0F c ， 由题意，得3,2M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为123392,0,224MF MF c c c ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r解得1c =，则31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 在椭圆上，所以222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）假设存在斜率为1-的直线l ，设为y x m =+， 由（1）知，12(1,0), (1,0)F F -， 所以以线段12F F 为直径的圆为221x y +=. 由题意，圆心()0,0到直线l的距离1d =<，得||m <||AB ===由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y ， 整理得22784120x mx m -+-=.由题意，()()2222(8)47412336484870m m m m ∆=--⨯⨯-=-=->，解得27m <，又||m <22m <.设()()1122,,,C x y D x y ，则212128412,77m m x x x x -+==21||77CD x =-==，若||||CD AB ⋅=，=整理得42436170m m -+=， 解得212m =，或2172m =.又22m <，所以212m =，即m =.故存在符合条件的直线l ，其方程为2y x =-+，或2y x =--.。
【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析 专题08 平面几何基础
【2013版中考12年】福建省福州市2002-2013年中考数学试题分类解析专题08 平面几何基础一、选择题1. （2002年福建福州4分）某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要【】（A）450a元（B）225a元（C）150a元（D）300a元2. （2003年福建福州4分）下列命题中，真命题的是【】（A）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（B）两条对角线相等的四边形是矩形（C）线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等（D）如果两个圆相交，那么这两个圆有三条公切线（D）如果两个圆相交，那么这两个圆有两条公切线，命题错误。
故选C。
3. （2005年福建福州大纲卷3分）下列命题正确的是【】A．用正六边形能镶嵌成一个平面B．有一组对边平行的四边形是平行四边形C．正五角星是中心对称图形D．对角线互相垂直的四边形是菱形4. （2005年福建福州课标卷3分）如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC的度数比∠BOC的2倍多10度．设∠AOC和∠BOC的度数分别为x，y，则下列正确的方程组为【】A、x+y=180x=y+10⎧⎨⎩B、x+y=180x=2y+10⎧⎨⎩C、x+y=180x=102y⎧⎨-⎩D、x+y=90y=2x10⎧⎨-⎩5. （2006年福建福州课标卷3分）如图，射线BA、CA交于点A，连接BC，已知AB=AC，∠B＝40°，那么x的值是【】A．80 B．60 C．40 D．1006. （2007年福建福州3分）下列命题中，错误的是【】A．矩形的对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．等腰梯形的两条对角线相等D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等【答案】B。
【考点】命题和定理，矩形、等腰梯形、等腰三角形的性质，菱形的判定。
【分析】根据矩形、等腰梯形、等腰三角形的性质，菱形的判定则逐一计算作出判断：A．矩形的对角线互相平分且相等，正确；B．对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，错误；C．等腰梯形的两条对角线相等，正确；D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等，正确。
专题08 平面解析几何(解答题)
专题08 平面解析几何（解答题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │=4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【答案】（1）M e 的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为M e 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a .因为M e 与直线x +2=0相切，所以M e 的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故M e 的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得M e 的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r ，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（1）31-；（2）4b =，a 的取值范围为[42,)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，13PF c =，于是122(31)a PF PF c =+=+，故C 的离心率是31ce a==-. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y yx c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②22221x y a b+=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故42a ≥.当4b =，42a ≥时，存在满足条件的点P ． 所以4b =，a 的取值范围为[42,)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点； （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程． 【答案】（1）见解析；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -． 故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+． 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭． 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||2EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.4．【2019年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析. 【解析】（1）由题意得，b 2=1，c =1． 所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 则直线AP 的方程为1111y y x x -=+． 令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =--． 又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=． 则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+． 所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k-+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-． 又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-． 解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．5．【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3||2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =，又由222a b c =+，消去b 得22232a a c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+， 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-. 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-.因为点P在x轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C在直线4x=上，可设(4, )C t.因为OC AP∥，且由（1）知( 2 , 0)A c-，故3242ctc c=+，解得2t=.因为圆C与x轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C与l相切，得23(4)242314c+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可得=2c.所以，椭圆的方程为2211612x y+=.【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力. 6．【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222(1)4x y a-+=交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【答案】（1）22143x y+=；（2）3(1,)2E--.【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(−1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴， 所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2−c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x −1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(−1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-. 因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C：221 43x y+=.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.因为F1(−1，0)，由221431xx y⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y=±.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以32y=-.因此3(1,)2E--.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.7．【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F，为抛物线22(0)y px p=>的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得ABC△的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为312+，此时G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2. 所以，抛物线的准线方程为x =−1.（2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A ct t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-.令22m t =-，则m >0，122113222134323424S m S m m m m m m=-=--=+++++⋅+…. 当3m =时，12S S 取得最小值312+，此时G （2，0）． 【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.8．【2018年高考全国Ⅰ文数】设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN =∠∠． 【答案】（1）y =112x +或112y x =--；（2）见解析. 【解析】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）． 所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4．直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222yx k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k++-++++===．所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM =∠ABN ． 综上，∠ABM =∠ABN ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.在设直线的方程时，一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时，要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解.（1）求出直线l 与抛物线的交点，利用两点式写出直线BM 的方程;（2）由（1）知，当直线l 与x 轴垂直时，结论显然成立，当直线l 与x 轴不垂直时，设出斜率k ，联立直线l 与C 的方程，求出M ，N 两点坐标之间的关系，再表示出BM 与BN 的斜率，得其和为0，从而说明BM 与BN 两条直线的斜率互为相反数，进而可知两角相等.9．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y =x –1；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 216160k ∆=+=，故212224k x x k++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k+=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1． 因此l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【名师点睛】本题主要考查抛物线与直线和圆的综合，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.（1）利用点斜式写出直线l 的方程，代入抛物线方程，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系以及抛物线的定义加以求解;（2）由题意写出线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，设出圆心的坐标，由题意列出方程组，解得圆心的坐标，即可求解.10．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=．两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，．由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP u u u r ． 于是222211111||(1)(1)3(1)242x x FA x y x =-+=-+-=-u u u r ．同理2||=22x FB -u u u r ．所以1214()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u u r u u u r u u u r ．【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及简单几何性质、直线的斜率公式、直线与椭圆的位置关系、向量的坐标运算与向量的模等，考查运算求解能力、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、数学运算.圆维曲线中与中点弦有关的问题常用点差法，建立弦所在直线的斜率与中点坐标间的关系，也可以通过联立直线方程与圆锥曲线方程，消元，根据根与系数的关系求解.11．【2018年高考北京卷文数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为63，焦距为22.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71(,)44Q -共线，求k .【答案】（1）2213x y +=；（2）6；（3）1. 【解析】（1）由题意得222c =，所以2c =，又63c e a ==，所以3a =， 所以2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则222212121264||1||1()42m AB k x x k x x x x ⨯-=+-=+⋅+-=，易得当20m =时，max ||6AB =，故||AB 的最大值为6． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-u u u r ，4471(,)44QD x y =+-u u u r ，因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =． 【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查数形结合思想，考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.解决椭圆的方程问题，常用基本量法，同时注意椭圆的几何量的关系；弦长的计算，通常要将直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求解.12．【2018年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，||13AB =． （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2）12-． 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由22||13AB a b =+=，从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得12694x k =+． 由215x x =，可得2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及轨迹方程问题、定值问题、最值问题、参数的取值或取值范围问题等，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决此类问题要重视化归与转化思想及设而不求法的应用.13．【2018年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267，求直线l 的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为2214xy+=，圆O的方程为223x y+=；（2）①(2,1)；②532y x=-+．【解析】（1）因为椭圆C的焦点为12()3,0,(3,0)F F-，可设椭圆C的方程为22221(0)x ya ba b+=>>．又点1(3,)2在椭圆C上，所以2222311,43,a ba b⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,ab⎧=⎪⎨=⎪⎩因此椭圆C的方程为2214xy+=．因为圆O的直径为12F F，所以其方程为223x y+=．（2）①设直线l与圆O相切于0000(),,(00)P x y x y>>，则22003x y+=，所以直线l的方程为000()xy x x yy=--+，即0003xy xy y=-+．由22001,43,xyxy xy y⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y，得222200004243640()x y x x x y+-+-=．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x∆=--+-=-=．因为00,0x y>，所以002,1x y==．因此点P的坐标为(2,1)．②因为三角形OAB的面积为267，所以21267AB OP⋅=，从而427AB=．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =， 因此P 的坐标为102(,)22． 综上，直线l 的方程为532y x =-+．【名师点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力. （1）利用椭圆的几何性质求圆的方程和椭圆的方程. （2）①利用直线与圆、椭圆的位置关系建立方程求解； ②结合①，利用弦长公式、三角形的面积公式求解.14．【2018年高考浙江卷】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．PMBAOyx（1）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1510[62,]4． 【解析】本题主要考查椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.满分15分. （1）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=． 因此，PM 垂直于y 轴． （2）由（1）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-， 21200||22(4)y y y x -=-．因此，PAB △的面积3221200132||||(4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈．因此，PAB △面积的取值范围是1510[62,]4． 【名师点睛】圆锥曲线问题是高考重点考查内容之一，也是难点之一.椭圆、抛物线是其中常考内容，需要熟练地掌握椭圆和拋物线的定义、基本性质、标准方程等，对于处理有关问题有很大的帮助.同时还要注意运算能力的培养和提高.15．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程． 【答案】（1）1；（2）7y x =+．【解析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-．（2）由24x y =，得2x y'=．设M （x 3，y 3），由题设知312x =，解得32x =，于是M （2，1）． 设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为N （2，2+m ），|MN |=|m +1|．将y x m =+代入24xy =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,2221x m =±+． 从而12||=2||42(1)AB x x m -=+．由题设知||2||AB MN =，即42(1)2(1)m m +=+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，主要利用根与系数的关系：因为直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用根与系数的关系及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用根与系数的关系直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． （1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由两点斜率公式求AB 的斜率；（2）联立直线与抛物线方程，消y ，得12||=2||42(1)AB x x m -=+，解出m 即可．16．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u ru u u u r.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【答案】（1）222x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设P （x ，y ），M （00,x y ），则N （0,0x ），00(,),(0,)NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r ，由2NP NM =u u u ru u u u r 得0022x x y y ==，. 因为M （00,x y ）在C 上，所以22122x y +=.因此点P 的轨迹方程为222x y +=.（2）由题意知F （−1,0），设Q （−3，t ），P （m ，n ），则(3,),(1,),33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r， (,),(3,)OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r.由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=.所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=u u u r u u u r，先设 P （m ，n ），则需证330m tn +-=，即根据条件1OP PQ ⋅=u u u r u u u r可得2231m m tn n --+-=，而222m n +=，代入即得330m tn +-=.17．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】（1）不会，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则12x x ，满足220x mx +-=，所以122x x =-. 又C 的坐标为（0，1），故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.（2）BC 的中点坐标为（2122x ，），可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-. 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-.联立22(21)22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为（122m --，），半径292m r +=，故圆在y 轴上截得的弦长为22232m r -=（），即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【名师点睛】解答本题时，设()()12,0,,0A x B x ，由AC ⊥BC 得1210x x +=，由根与系数的关系得122x x =-，矛盾，所以不存在；求出过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标和半径，即可得圆的方程，再利用垂径定理求弦长.直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：222121212||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++-； （2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 18．【2017年高考北京卷文数】已知椭圆C 的两个顶点分别为A (−2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32． （1）求椭圆C 的方程；（2）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5．【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.由题意得2,3,2a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得3c =.所以2221b a c =-=.所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -. 由题设知2m ≠±，且0n ≠.直线AM 的斜率2AM n k m =+，故直线DE 的斜率2DE m k n+=-. 所以直线DE 的方程为2()m y x m n +=--. 直线BN 的方程为(2)2ny x m=--. 联立2(),(2),2m y x m n n y x m +⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩解得点E 的纵坐标222(4)4E n m y m n -=--+. 由点M 在椭圆C 上，得2244m n -=.所以45E y n =-. 又12||||||||25BDE E S BD y BD n =⋅=⋅△，1||||2BDN S BD n =⋅△，所以BDE △与BDN △的面积之比为4:5.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考查了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，主要利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆方程是基础，本题易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等. （1）根据条件可知32,2c a a ==，以及222b a c =-，从而求得椭圆方程；（2）设(,)M m n ，则(,0),(,)D m N m n -，根据条件求直线DE 的方程，并且表示出直线BN 的方程，并求得两条直线的交点纵坐标，根据1212E BDE BDNN BD y S S BD y ⋅⋅=⋅⋅△△即可求出面积比值. 19．【2017年高考天津卷文数】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b ．（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ．（i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．【答案】（1）12；（2）（ⅰ）34；（ⅱ）2211612x y +=．【解析】（1）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=． 又因为01e <<，解得12e =． 所以，椭圆的离心率为12． （2）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m． 由（1）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c +=，即220x y c +-=， 与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++． 由已知|FQ |=32c ，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =， 故直线FP 的斜率为34．（ii ）由2a c =，可得3b c =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=．由（i ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430,1,43x y c x y c c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-（舍去），或x c =． 因此可得点3(,)2c P c ，进而可得2235|()()22|c c FP c c =++=， 所以53||||||22c cFP FQ Q c P -=-==． 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离， 故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c c QN FQ QFN =⋅∠=⨯=， 所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题，重点考查了运算求解能力以及转化与化归的能力．求解此类问题时，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）的方程，根据根与系数的关系进行解题，但本题需求解交点坐标，在求解过程要善于发现四边形PQNM 中的几何关系，从而易求其面积，进而使问题获解．（1）先根据题意得出21()22b c a c +=，然后结合222b a c =-，即可求得离心率；（2）（ⅰ）首先设直线FP 的方程为x my c =-，再写出直线AE 的方程，两方程联立得到点Q 的坐标，根据32FQ c =求得m 的值，即得直线FP 的斜率；（ⅱ）将直线FP 的方程和椭圆方程联立，可得点P 的坐标，再求,FP FQ ，确定直线PM 和QN 都垂直于直线FP ，根据平面几何关系求面积，从而可求得c 的值，进而得椭圆的方程．20．【2017年高考山东卷文数】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)的离心率为22，椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为|NO |.设D 为AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点E ，F ，求∠EDF 的最小值.【答案】（1）22142x y +=；（2）EDF ∠的最小值为π3. 【解析】（1）由椭圆的离心率为22，得2222()a a b =-， 又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b-=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=.（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 得222(21)4240k x kmx m +++-=， 由0∆>得2242m k <+.（*）且122421kmx x k +=+， 因此122221my y k +=+，所以222(,)2121km mD k k -++， 又(0,)N m -， 所以222222()()2121km m ND m k k =-++++ 整理得2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ， 因为NF m =，所以2422222224(31)831(21)(21)ND k k k k k NF+++==+++.令283,3t k t =+≥， 故21214t k ++=， 所以2221616111(1)2NDt t NFt t=+=++++ . 令1y t t=+，所以211y t'=-. 当3t ≥时，0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得 22m -<< 且0m ≠.故12NF ND ≥， 设2EDF θ∠=， 则1sin 2NF ND θ=≥ ， 所以θ的最小值为π6， 从而EDF ∠的最小值为π3，此时直线l 的斜率是0. 综上所述：当0k =，(2,0)(0,2)m ∈-U 时，EDF ∠取到最小值π3. 【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． 解答本题时，（1）由22c a =得2a b =，由椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为22，得2222a a b -=，求得椭圆的方程为22142x y +=；（2）由2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，解得22(21)4k x kmx +++ 2240m -=，确定222(,)2121km m D k k -++，4222||3221m DN k k k =+++，结合22ND NF的单调性求EDF ∠的最小值.21．【2017年高考浙江卷】如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点13(,)()22P x y x -<<．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（1）求直线AP 斜率的取值范围； （2）求||||PA PQ ⋅的最大值． 【答案】（1）(1,1)-；（2）2716. 【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.满分15分. （1）设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+， 因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围是(1,1)-． （2）联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩ 解得点Q 的横坐标是22432(1)Q k k x k -++=+． 因为|P A |=211()2k x ++=21(1)k k ++， |PQ |=222(1)(1)1()1Q k k k x x k -++-=-+，所以3(1)(1)k k PA PQ ⋅--+=．令3()(1)(1)f k k k =--+，因为2()(42)(1)f k k k '=--+，所以 f (k )在区间1(1,)2-上单调递增，1(,1)2上单调递减， 因此当k =12时，||||PA PQ ⋅取得最大值2716． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.（1）由斜率公式可得AP 的斜率为12x -，再由1322x -<<，得直线AP 的斜率的取值范围；（2）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而通过表达||PA 与||PQ 的长度，利用函数3()(1)(1)f k k k =--+的单调性求解||||PA PQ ⋅的最大值．22．【2017年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）4737(,)77．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，。
平面几何初步
平面几何初步
在数学中，平面几何是研究二维空间中的点、线和图形之间的关系和性质的分支。
它作为数学的基础学科，不仅在学术研究中发挥重要作用，也在日常生活和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍平面几何的基本概念、公理系统以及一些重要的定理和性质。
一、基本概念
1. 点：平面几何中最基本的对象，没有长度、面积或体积的概念，只有位置。
2. 线：由无数点组成，是一维的对象，没有宽度。
3. 直线：两点确定一条直线，它是无限延伸的。
4. 射线：一个起点，朝着某个方向延伸的线段。
5. 线段：两个点确定的有限长度的线段。
二、公理系统
1. 尺规作图：任给一段线段和一个点，只使用直尺和圆规能够作出与已知条件相符的尺规作图。
2. 共线定理：三个不共线的点唯一确定一条直线。
3. 垂直定理：若两直线相交，且互相垂直，则相交点的两个邻角为直角。
4. 同位角定理：当一条直线被两条平行线截断时，同位角相等。
三、重要定理和性质
1. 同位角性质：
- 内错角性质：两条平行线被一条横截线截断，内错角相等。
- 对顶角性质：两条平行线被一条横截线截断，对顶角相等。
2. 垂直性质：
- 垂直平分线定理：平分线和垂直平分线相互垂直。
- 垂径定理：在一个圆上，以直径为边的三角形必为直角三角形。
3. 三角形性质：
- 等边三角形性质：三条边相等的三角形为等边三角形。
- 等腰三角形性质：两条边相等的三角形为等腰三角形。
- 直角三角形定理：直角三角形斜边上的高是斜边上两条直角腿的调和平分线。
平面几何基础
平面几何基础平面几何是几何学的重要分支之一，研究了在平面上的点、线、角以及图形的性质和关系。
它是我们理解和解决实际问题中经常用到的一种数学工具。
本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、角和图形的特征与性质。
一、点的性质与关系1. 点的定义与表示：在平面几何中，点是最基本的概念，通常用大写字母表示，如"A"、"B"、"C"等。
点没有大小和形状，只有位置。
2. 点的相对位置：在平面上，点的相对位置可以用坐标来表示。
我们可以用直角坐标系或极坐标系来确定点的位置，其中直角坐标系由x 轴和y轴组成，而极坐标系由原点、极径和极角组成。
3. 点的连线：两个点之间可以用线段连接起来，形成一个直线。
直线是经过两个点的最短路径。
4. 点的投影：当点在平面上与另一个物体重叠时，它的投影就是它在平面上的垂直投影点。
投影是判断物体位置和大小的重要工具。
二、线的性质与关系1. 线的定义与表示：线是通过两个点或多个点上的连续点组成的。
可以用小写字母表示线，如"l"、"m"、"n"等。
2. 线的分类：根据线的位置和形状，我们可以将线分为水平线、垂直线、直线、曲线等。
3. 线的相对位置：在平面上，两条线可以相交、平行或重合。
相交的两条线称为交线，平行的两条线永不相交，重合的两条线完全重合。
4. 线的性质：两条平行线上的任意两个点到另一条平行线的距离是相等的。
两条垂直线的斜率乘积为-1。
这些性质在解决实际问题中起着重要的作用。
三、角的性质与关系1. 角的定义与表示：角是由两条线或线段的端点共同确定的，通常用大写字母表示，如"A"、"B"、"C"等，其中顶点位于两条边的交点处。
2. 角的度量：角可以用度数或弧度表示。
度数是常用的度量单位，360度是一个完整的角。
平面几何的基础知识
平面几何的基础知识平面几何是几何学的一个重要分支，研究平面上的点、线、面及其相互关系。
它是数学中最基础的内容之一，广泛应用于建筑、设计、工程等领域。
本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、角、三角形等概念及其性质。
一、点和线在平面几何中，点是最基本的要素。
点是没有大小和形状的，可以用来确定位置。
我们用大写字母表示一个点，比如点A、点B等。
线是由无数个点连成的，它是一条没有宽度的路径。
常见的线有直线和曲线。
直线是最简单的一类线，它是无限延伸的。
曲线则有各种不同的形状，比如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
直线和曲线都可以用小写字母表示，比如直线l、曲线c等。
二、角角是由两条线段或线相交所形成的部分。
我们用θ来表示一个角。
角可以用来描述两个线的相对位置和方向。
根据角的大小可以分为三类：锐角、直角和钝角。
锐角是小于90°的角，直角是90°的角，钝角是大于90°小于180°的角。
三、三角形三角形是由三条线段相连而成的封闭图形。
它是平面几何中最基本的多边形。
三角形的三个顶点和三条边分别用大写字母和小写字母表示。
根据三角形的边长和角的大小，可以分为多种类型。
比如，等边三角形的三条边相等，等腰三角形的两条边相等，直角三角形的一个角为90°等。
除了常见的点、线、角和三角形，平面几何还涉及其他重要的概念，比如四边形、多边形、圆、正方形等。
这些概念都有各自的定义和性质。
四、平面几何的性质平面几何有一些基本性质，可以用来解决各种问题。
下面介绍几个常用的性质。
1. 直线的性质：直线上的任意两点可以确定一条直线，直线上的所有点与这两点的连线重合。
2. 角的性质：两个互补角的和为90°，两个补角的和为180°，相邻角的和为180°。
3. 三角形的性质：三角形的内角和为180°，等边三角形的三个内角都为60°，等腰直角三角形的两个内角分别为45°和90°。
平面几何基础知识教程
平面几何基础知识教程嘿，朋友！咱们今天来聊聊平面几何这神奇的世界。
你知道吗，平面几何就像是一座神秘的城堡，里面藏着无数的宝藏和秘密。
那啥是平面几何呢？简单说，就是在一个平平的面上研究图形的学问。
先来说说点，这可是平面几何的小原子。
一个点，小得不能再小，可它却是构成各种图形的基础。
你想想，无数个点连起来，是不是就能变成线啦？线呢，又分直线和线段。
直线那可是勇往直前，没有尽头的。
就像咱们追求梦想的道路，永无止境。
线段呢，有头有尾，规规矩矩的。
还有角，角就像两个小伙伴在那里比力气，张开的大小决定了角的大小。
锐角就像个胆小的孩子，不敢张太大嘴；直角呢，规规矩矩，像个听话的学生；钝角呢，大大咧咧，张得可开了。
三角形可是平面几何里的大明星！它稳定得很，就像咱们家的房子，有它在就觉得安心。
等边三角形，三边都一样长，多公平呀；等腰三角形，就像两个好朋友，有两条边一样长，关系特别好；直角三角形，有个直角在那，像是个勇敢的战士，准备冲锋陷阵。
四边形也不甘示弱，平行四边形，对边平行且相等，就像两排整齐的士兵在行进；矩形呢，四个角都是直角，规规矩矩的；菱形，四边相等，像个漂亮的风筝在天上飞；正方形，那更是完美，结合了矩形和菱形的优点，简直是四边形里的全能冠军。
圆，那可是个温柔的家伙，它的曲线优美得让人陶醉。
圆心就像它的心脏，半径决定了它的大小，直径则是它的大跨度。
学习平面几何，就像一场冒险。
咱们要仔细观察，用心思考。
比如说，看到一个三角形，你就得想想它的内角和是不是 180 度呀？看到一个圆，就得琢磨琢磨它的周长和面积怎么算。
这平面几何的世界，充满了惊喜和挑战。
只要咱们用心去探索，就一定能发现其中的乐趣和奥秘。
你说是不是？别觉得它难，只要多练习，多思考，你也能成为平面几何的高手！所以呀，别犹豫，别害怕，勇敢地走进平面几何的世界，去寻找属于你的宝藏吧！。
山东省17市2013年中考数学试题分类解析汇编 专题08 平面几何基础
山东17市2013年中考数学试题分类解析汇编 专题08 平面几何基础一、选择题1. （2013年山东滨州3分）若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为【 】 A ．12 B ．34 C ．13D ．142. （2013年山东东营3分）如图，已知AB∥CD，AD 和BC 相交于点O,∠A=050,∠AOB=0105,则∠C 等于【 】A. 020B. 025C. 035D. 0453. （2013年山东济南、德州3分）民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是【 】4. （2013年山东济南、德州3分）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为【】A．68° B．32° C．22° D．16°5. （2013年山东莱芜3分）如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为【】A．10° B．20° C．25° D．30°【答案】C。
【考点】平行线的性质，三角形外角性质。
【分析】如图，延长AB交CF于E，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°。
∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°。
∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°。
故选C。
6. （2013年山东莱芜3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是【】①等边三角形；②矩形；③等腰梯形；④菱形；⑤正八边形；⑥圆．A．2 B．3 C．4 D．57. （2013年山东临沂3分）如图，已知AB∥CD，∠2=135°，则∠1的度数是【】A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】B。
平面几何基础知识
平面几何基础知识在数学中，平面几何是研究平面上的图形、点、线、面等基本元素之间的关系和性质的一门学科。
它是数学中最基础、最重要的一个分支，对于理解和应用其他数学概念起着重要的作用。
本文将介绍平面几何的基础知识，包括点、线、面的概念以及它们之间的关系。
一、点的概念在平面几何中，点是最基本的元素。
点通常用大写拉丁字母表示，比如A、B、C等。
点在平面上没有大小，只有位置。
任意两个点之间都可以划定一条直线。
而且，任意三个点不共线，可以确定一个平面。
二、线的概念线是由一系列点连在一起形成的图形。
线有无限延伸性，没有起点和终点，可以用小写字母表示，如ab、cd、ef等。
线可以是直线或曲线。
直线是两个点之间最短的路径，也是最简单的线。
曲线则是在平面上运动形成的轨迹，它可以弯曲和交叉。
三、线段和射线线段是由两个点及其之间的所有点组成的部分，具有起点和终点，可以用符号“ ”表示。
比如AB表示线段AB。
而射线是由一个起点及其从该起点出发的所有点组成的部分，可以用符号“→”表示。
比如AB→表示以点A为起点，沿着直线AB方向上无限延伸的射线。
四、面的概念面是由无数个点和直线组成的，是一个没有厚度的二维物体。
面可以用大写字母表示，如P、Q、R等。
在平面几何中，有两种特殊的面：平面和圆。
平面由无数的直线组成，没有边界。
圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的。
五、基本性质和定理平面几何有许多基本的性质和定理。
下面介绍几个常见的：1. 直线的性质：直线上的任意两点可以连成一条直线，直线与直线最多只有一个公共点，直线可以无限延伸。
2. 平行线的性质：如果两条直线在平面上没有交点，那么它们是平行线。
3. 垂直线的性质：如果两条直线相交成直角，那么它们是垂直线。
4. 三角形的性质：三角形是由三条线段组成的图形。
三角形的内角和等于180度。
5. 圆的性质：圆上的任意点到圆心的距离相等，这个相等的距离叫做半径。
圆上的点可以任意连成一条弧。
平面几何基础学习平面几何的基本概念和定理
平面几何基础学习平面几何的基本概念和定理在数学领域中，平面几何是研究平面上的图形、形状、大小、位置关系以及性质的一门学科。
通过学习平面几何的基本概念和定理，我们可以深入理解和掌握几何学的基础知识，为后续进一步的学习打下坚实的基础。
一、点、线、面的基本概念点、线、面是平面几何中最基本的概念。
点是没有大小和形状的，用字母表示，如A、B、C等；线是由一连串的点连在一起形成的，用两个点的字母表示，如AB、CD等；面是由一连串的线围成的平面，用大写字母表示，如面ABC。
二、线段、直线、射线的定义线段是由两个端点和两个端点之间的点组成，用字母表示，如AB；直线是一条没有端点的无限延伸的线段，在字母上加一个横杠表示，如AB；射线是由一个端点和这个端点向一个方向无限延伸的线段，用字母表示，如→AB。
三、平行线与垂直线的性质平行线指在同一个平面内永不相交的直线，用符号“∥”表示；垂直线指两条线段、直线或射线相交时，所成的角度为90度，用符号“⊥”表示。
平行线具有性质：1.平行关系具有传递性，即若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF；2.任意一条直线与平行线横切时，所成的对应角相等。
四、三角形的性质三角形是由三条线段组成的多边形。
根据边的关系和角的关系，我们可以得出三角形的一些基本性质：1.三角形的内角和等于180度；2.等边三角形的三个边相等，三个角都是60度；3.等腰三角形的两条边相等，两个底角也相等；4.直角三角形的一个角是90度。
五、平面图形的面积计算矩形、正方形、三角形和梯形是我们常见的平面图形，根据其特点我们可以计算出它们的面积。
矩形的面积等于长乘以宽，正方形的面积等于边长的平方，三角形的面积等于底乘以高的一半，梯形的面积等于上底加下底乘以高的一半。
六、三角形的重心、外心、内心和垂心三角形有四个特殊的点，分别是重心、外心、内心和垂心。
重心是三条中线的交点，中线是由一个顶点与对应边的中点组成；外心是三角形外接圆的圆心，外接圆通过三个顶点；内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三条边都相切；垂心是三角形的三条高线的交点，高线是由一个顶点与对边垂直相交的线段组成。
专题08平面解析几何
专题08平面解析几何一、单选题1．已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．3C ．2D 2．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．3．双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -= 4．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（ ）A ．221164x y +=（0y >） B ．221168x y +=（0y >） C ．221164y x +=（0y >） D ．221168y x +=（0y >） 5．圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2 C ．3 D ．二、多选题6．设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足:横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A ．2a =- B．点在C 上C ．C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D ．当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+ 7．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A e 相切B ．当P ，A ，B三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个三、填空题8．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．9．圆22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．10．若函数()21f x ax =-+恰有一个零点，则a 的取值范围为．11．抛物线216y x =的焦点坐标为．12．若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．四、解答题13．已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点. (1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP V 的面积为9，求l 的方程．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴． (1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．15．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △． (1)求椭圆方程． (2)过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤u u r u u u r ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．16．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ； (2)证明：数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列； (3)设n S 为12n n n P P P ++V 的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.17．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．。
【中考12年】江苏省宿迁市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题08 平面几何基础
江苏省宿迁市2001-2012年中考数学试题分类解析专题08 平面几何基础一、选择题1. （2001年江苏宿迁4分）一个角的平分线与这个角邻补角的平分线组成的角是【】A、平角B、钝角C、直角D、锐角2. （2004年江苏宿迁4分）如图，直线a、b被直线c所截，若a//b，∠1＝1300 ，则∠2等于【】A .300 B. 400 C. 500 D. 6003. （2004年江苏宿迁4分）已知一辆小轿车车牌号的后两个数字组成了一个中心对称图形，且这两个数字不相同，则这两个数字的和是【】A. 2B.12C. 15D.164. （2005年江苏宿迁3分）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是【】A．∠1＋∠2＋∠3＝180° B．∠1＋∠2＋∠3＝360°C．∠1＋∠3＝2∠2 D．∠1＋∠3＝∠25. （2006年江苏宿迁4分）下列图案中，不是轴对称图形的是【】6. （2007年江苏宿迁3分）如图，直线a∥b ,∠2=95°，则∠1等于【】A.100°B. 95°C. 99°D.85°7. （2007年江苏宿迁3分）如图，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则△AEC的周长等于【】A. a＋bB.a－bC.2a＋bD.a＋2b8. （2008年江苏宿迁3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】Ａ．正六边形Ｂ．正五边形Ｃ．平行四边形Ｄ．等腰三角形二、填空题1. （2001年江苏宿迁4分）如图，张村和李庄在河(用直线L表示)的同岸，现要在河边修一个泵站，分别向张村、李庄送水，请在河边确定泵站的位置，使所用的水管最短，(在L 上作出点A，用于表示泵站的位置，作图工具不限)2. （2001年江苏宿迁4分）下面四个命题：①y=kx(k<0)函数的函数值y随x的增大而减小；②分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变；③被开方数不相同的二次根式，一定不是同类二次根式；④对于方程ax2+bx+c=0，若b2－4ac>0,则该方程一定有两个不相等的实数根。
专题8：平面几何基础.doc
专题8：平面几何基础.doc一、选择题1. （重庆市2002年4分）一居民小区有一正多边形的活动场。
为迎接“AAPP”会议在重庆的召开，小区管委会决定在这个多边形的每个顶点处修建一个半径为2m的扇形花台，花台都以多边形的顶点为圆心，以多边形的内角为圆心角，花台占地面积共为12 2m。
若每个花台的造价为400元，则建造这些花台共需资金【】A 2400元B 2800元C 3200元D 3600元2. （重庆市2004年4分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为4. （重庆市课标卷2005年4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】A．B．C．5. （重庆市2007年4分）在下列各电视台的台标图案中，是轴对称图形的是【】A． B．C．D．【答案】C。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。
因此，只有C沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形。
故选C。
6. （重庆市2007年4分）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为【】A．20B．120C．20或120D．367. （重庆市2009年4分）如图，直线AB、CD 相交于点E，DF∥AB．若AEC100∠=°，则D∠等于【】A．70°B．80°C．90°D．100°8. （重庆市2010年4分）如图，点B是△ADC 的边AD的延长线上一点，DE∥BC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于【】A．70° B．100° C．110°D．120°【答案】C。
【考点】三角形的外角性质，平行线的性质。
【分析】∵DE∥AC，∠BDE=60°，∠C=50°，∴∠BDE=∠A=60°。
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平面几何知识点汇总（一）知识点一订交线和平行线1.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。
2.垂线的性质：性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质 2：连结直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短。
3.平行公义：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公义的推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行。
4.平行线的性质：性质 1：两直线平行，同位角相等。
性质 2：两直线平行，内错角相等。
性质 3：两直线平行，同旁内角互补。
5.平行线的判断：判断 1：同位角相等，两直线平行。
判断 2：内错角相等，两直线平行。
判断 3：同旁内角相等，两直线平行。
知识点二三角形一、三角形有关观点1．三角形的观点由不在同向来线上的三条线段首尾按序连结所构成的图形叫做三角形重点：①三条线段；②不在同向来线上；③首尾按序相接．2．三角形中的三种重要线段（1）三角形的角均分线：三角形一个角的均分线与这个角的对边订交，这个角的极点和交点之间的线段叫做三角形的角均分线．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个极点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．（3）三角形的高线：从三角形一个极点向它的对边作垂线，极点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．二、三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时知足△ABC三边长 a、b、c 的不等式有： a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时知足△ABC三边长 a、b、c 的不等式有： a>b-c ，b>a-c ，c>b-a ．注意：判断这三条线段可否构成一个三角形，只要看两条较短的线段的长度之和能否大于第三条线段即可三、三角形的稳固性三角形的三边确立了，那么它的形状、大小都确立了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳固性．比如起重机的支架采纳三角形构造就是这个道理．四、三角形的内角结论 1：三角形的内角和为 180°．表示：在△ ABC中，∠ A+∠ B+∠ C=180°结论 2：在直角三角形中，两个锐角互余．注意：①在三角形中，已知两个内角能够求出第三个内角如：在△ ABC中，∠ C=180°－（∠ A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ ABC中，已知∠ A：∠ B：∠ C=2：3： 4，求∠ A、∠ B、∠ C 的度数．五、三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延伸线构成的角叫做三角形的外角．2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补六、多边形①多边形的对角线n(n3)条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外2角和为 360°知识点三全等三角形一、全等三角形1、“全等”的理解全等的图形一定知足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完整重合的两个图形叫全等形。
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京津沪渝4市2013年中考数学试题分类解析汇编
专题8：平面几何基础
一、选择题
1. （2013年北京市4分）如图，直线a, b 被直线c 所截,a 〃b, Z1=Z2,若Z3=40°,则Z4等于【
【考点】平角和角平分线定义，平行的性质。
【分析］VZ1-Z2, Z3«40S AZ1=Z2=1- （180°-40°） =70°. 2
•・・a 〃b,・•・根据两直线平行，內错相等，得Z4=Z1 = 7O 5.故选C 。
2. （2013年北京市4分）下列图形屮，是屮心对称图形但不是轴对称图形的是【 】
【答案】亠
【考点】轴对称图形和中心对称图形.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折会后可重合；中心对称图 形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合.因此，
弓既是轴对称图形，又杲中心对称图形；C 只杲轴对称图形；D 既不是轴对称图形也不杲中心对 称
图形，只有A 符合。
故选
3. （2013年天津市3分）下列标志中，可以看作是屮心对称图形的是【 】
A. 40° 【答案】C ・
B. 50°
D. 80°
【答案】D ・ 【考点】中心对称图形. 【分析】根据中心对称图形的概念，中心匸祢图形杲踐形沿对称穴心旋转ISO 度后与原图重合.因此，只 有选项D 可以看作是中心对称图形.故选D ・ 4. (2013年上海市4分)如图，已知在AABC 屮，点D 、E 、F 分另I 」是边AB 、AC 、BC 上的点，DE 〃BC, EF 〃AB,且AD ： DB = 3 ： 5,那么CF : CB 等于【
】
(A) 5： 8
(B) 3 ： 8 (C) 3：5 (D) 2 ： 5
【答案】A ・ 【考点】平行线分线段肺比例的性员。
【分析】・・・DE 〃3C, AD ： DB = 3 ： 5,・••二：EC = AD ： DB = 3 ： 5。
.\AC : EC = 6 ： 5,民卩 C2 : C A = 5 ： S ・
又・・・EF 〃A3, /.< . : CB« CE : C A = 5 : So
故选A.
5. (2013年重庆市A4分)已知ZA=65°,则ZA 的补角等于【 】
A. 125°
B. .105°
C.. 115° D ・ 95°
【答案】C.
【考点】补角. 【分析】根据互补两角的和为ISO 】，即可得'：3厲ZA 的补％=1SOJ-ZA=1SO ：-65I15J ・故选G
6. (2013年重庆市A4分)如图，AB//CD, AD 平分ZBAC,若ZBAD=70°,那么ZACD 的度数为【 c.
G 0
A
•B
A. 40°
B. 35°
C. 50°
D.. 45°
【答案】A・
【考点】角平分线的性质，平右戏的性质，三角形內角和定理。
【分析】TAD 平分Z3AC, ZR・」=7（P, / >Z3AD=70\
又・・・A3〃CD, /.ZADC=Z3A D-70°.
又V ZACD+Z.ADC+/CAD=1SO°. ZACD-1S03—70°—70:=40\ 故选亠
7.（2013年重庆市B4分）如图，直线a、b、c、d,已知c丄a, c丄b,直线b、c、d交于一点，若Zl=50°, 则Z2等于【】
A. 60°
B. 50°.
C. 40°
【答案】Bo
【考必】平行线的判定和性质・
【分析I・,丄a, cL^ .".aZ^b.
/.Z2=Zi=50°.
数选B.
二、填空题
1.（2013年天津市3分）如图，将AABC放在每个小正方形的边长为1的网格屮，点A、B、C均落在格点上.
（1）AABC的面积等于▲；
（2）若四边形DEFG是AABC屮所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格屮，用直尺和三角尺训出该正方形，并简要说明逝图方法（不要求证明）▲.
【答案】（1）6；
（2）取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线，与3C交于点Q,连接PQ与AC相交得点D, 过点D 画CB的平行线，与A3相交得点E,分别过点D、E画PC的平行线，与C3相交得点G, F,则四辺形DEFG即为所求。
锦元数学工作室绘制
【考点】作图（相似变换），三角形的面积，正方形的性质。
【分析】（1） AA3C以A3为底，高为3个单位，求出面积即可：Ix4x3 = 6.
2
（2）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P,连接PC,过点A画PC的平行线, 与3C交于点Q,连接PQ与AC相交得点D,过点D画C3的平行线，与A3相交得点E,分别过点D、E画PC
的平行线，与CB相交得点G, F,则四边形DEFG即为所求.
2.. （2013 年上海市4 分）计算：2（a-b） + 3b= ▲
【答案】2a + bo
【考点】向最的运算。
【分析】2（a - b） + 3b = 2a - 2b + 3b = 2a + b o
3. （2013年上海市4分）当三角形屮一个内角ct是另一个内角卩的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其屮a称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为▲ •
【考点】新定义，三角形內角和定理.
【分析】根据定义，a=100\ 0=50）,则根据三角形內角和等于18$,可得另一角为300,因此,这个••特征三角形'•的最小內角的度数为30。
・
三.解答题
1. （2013年重庆市A7分）作图题：（不要求定和法）如图，AABC在平面真角坐标系屮，其中，点A、
B、C 的坐标分别为A （-2, 1）, B （一4, 5）, C （一5, 2）。
（1）作AABC关于宜线1： x=-l对称的△ A|B|G，其中，点A、B、C的对称点分别为点人、B,> C1
；（2）写出.点A】、B|、G的坐标。
【答案】解：（1）作图如下:
锦元数学工作室绘制
（2）点A】、B】、C：的坐标分别为：A] （0, 1）、Bj （2, 5） C）（4, 2）.
【考点】全等三角形的判定和性质.
【分析】（1）根据轴对称的性质作图。
（2）根据轴对称的性质定出坐标.
2.（2013年重庆市B7分）如图，在边长为1小正方形纟R成的10幻0网格屮（我们把组成网格的小正方形的顶•点称为格点），四边形ABCD在直线1的左侧，其四个顶点A、B、C、D分别在网格的格点上。
（1）请你在所给的网格中画出四边形ABCD ,使四边形ABCD和四边形ABCD关于直线1对称，
A\ B\ C\ D分别是点A、B、C、D的对称点；
（2）在（1）的条件下，结合你画的图形，直•接写出线段AB的长度。
【答案】解：（1）作图如下:
锦元数学工作室绘制
.•.A A3C^A A HD（ASA）.・e.3C=ED.
【考点】网格间题，作图（轴对称变换），勾股定理。
【分析】（1）作点A、3、C、D关于1的对称点A；C\ DS连接各点即可。
（2）根据勾股定理，= B。