八年级数学下册-正方形练习 (2)

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2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.3正方形同步测试 (含解析)

18.2.3正方形同步测试一．选择题1．如图，四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则根据下列条件能判定它是正方形的是（）A．∠DAB＝90°且AD＝BC B．AB＝BC且AC＝BDC．∠DAB＝90°且AC⊥BD D．AC⊥BD且AO＝BO＝CO＝DO2．已知正方形ABCD中，对角线AC＝4，这个正方形的面积是（）A．8B．16C．8D．163．如图，G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，已知GD＝5，则FG为（）A．3B．3.2C．4D．4.84．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有（）个等腰直角三角形．A．2B．4C．8D．165．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP 的度数为（）A．15°B．22.5°C．25°D．17.5°6．如图，正方形ABCD中，∠DAF＝35°，AF交BD于点E，则∠BEC的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°7．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB 的度数等于（）A．60°B．65°C．75°D．80°8．如图，正方形ABCD的边长为12，E，F分别为BC，AD边上的点，且BE＝DF＝5，M，N 分别为AB，CD边上的点，且MN⊥AE交AE，CF于点G，H，则GH的长为（）A．6B．C．D．9．如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（）A．2B．4C．D．210．如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD的中点，连接AC，点G、H在AC上，且AC＝4AG＝4CH，则四边形EHFG的面积为（）A．8B．4C．D．二．填空题11．在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，OE⊥DC于点E，若OE＝2cm，则正方形ABCD 的面积为cm2．12．已知正方形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC＝16cm，则DO＝cm，BO＝cm，∠OCD＝度．13．如图，正方形ABCD的边长为8，E为边AD上一点．若BE＝10，则CE＝．14．如图，P是正方形ABCD内任意一点，△APD与△BPC的面积之和为8cm2，则AB＝cm．15．如图，P为边长为1的正方形ABCD内的一点，△P AB为等边三角形，则S△ADP+S△BPC ＝．三．解答题16．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于F，试说明BE＝CF+AE．17．如图，在正方形ABCD中，H是DC边上一点，E是CB延长线上的一点，且DH＝BE，请判断△AEH的形状，并说明你的理由．18．如图所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE＝AD，DF＝BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．参考答案一．选择题1．解：A，不能判定它是正方形；B，不能判定它是正方形；C，不能判定它是正方形；D，能，因为对角线相等且互相垂直平分；故选：D．2．解：由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，2AB2＝42，AB2＝8．故选：A．3．解：∵G是边长为4的正方形ABCD边上一点，矩形DEFG的边EF经过点A，GD＝5，∴∠C＝∠E＝90°，∠EDG＝∠ADC＝90°，ED＝FG，AD＝CD＝4，∴∠EDA＝∠CDG，∴△EDA∽△CDG，∴，即，解得，ED＝3.2，∴FG＝3.2，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OD＝OC＝OB，AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABC，△BCD，△ADC，△DAB是等腰直角三角形，故选：C．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，∵BP＝OB，∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．故选：B．6．解：∵四边形ABCD为正方形，∴DA＝DC，∠ADE＝∠CDE＝45°，又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDF（SAS）．∴∠DCE＝∠DAF＝35°，∴∠BEC＝∠CDE+∠DCE＝45°+35°＝80°．故选：D．7．解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∵△AEF为等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠BAE＝∠DAF，∵∠BAE+∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴∠BAE＝15°，∴∠AEB＝90°﹣15°＝75°．故选：C．8．解：∵正方形ABCD的边长为12，∴AB＝CD＝AD＝BC＝12，AD∥EC，∵BE＝DF＝5，∴AF＝CE＝7，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AB＝12，BE＝5，∴AE＝＝＝13，∵S平行四边形AFCE＝AF×AB＝AE×GH，∴7×12＝13×GH，∴GH＝，故选：C．9．解：如图，连接EF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO；∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°，∴∠AOE＝∠DOF；在△AOE与△DOF中，，∴△AOE≌△DOF（ASA），∴OE＝OF（设为λ）；∴△EOF是等腰直角三角形，由勾股定理得：EF2＝OE2+OF2＝2λ2；∴EF＝OE＝λ，∵正方形ABCD的边长是4，∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度），由题意可得：2≤λ≤2，∴2≤EF≤4．所以线段EF的最小值为2．故选：D．10．解：如图，连接BD交AC于点O，连接EF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠EAG＝∠FCH，∵点E、F分别为AB、CD的中点，∴AE＝CF，∵AC＝4AG＝4CH，∴AG＝OG＝OH＝CH，∴△EAG≌△FCH（SAS），∴EG＝FH，∠AGE＝∠CHF，∴∠EGH＝∠FHG，∴EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∴GH与EF互相平分，∴EF经过点O，∵S△AEO＝S正方形ABCD＝×16＝2，又∵AG＝OG，∴S△EOG＝S△AEO＝1，∴S平行四边形EGFH＝4S△EOG＝4．故选：B．二．填空题11．解：AC、BD为正方形ABCD的对角线，所以AC、BD相等且互相垂直平分，∵OE＝2cm，且O为AC的中点，OE⊥CD，AD⊥DC∴E为CD的中点，∴＝＝，即AD＝4cm，∴正方形ABCD的面积为42cm2＝16cm2，故答案为16．12．解：∵正方形ABCD，AC＝16cm∴DO＝AC＝8＝BO∠OCD＝45°．故答案为8，8，45．13．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝AD＝8，∴AE＝＝＝6，∴DE＝AD﹣AE＝2，∴CE＝＝＝2；故答案为：2．14．解：如图，过点P作EF∥AB，MN∥BC，则正方形ABCD被分成四个小矩形，所以，S△APE＝S△APM，S△BPM＝S△BPF，S△CPF＝S△CPN，S△DPE＝S△DPN，∴S△APD+S△BPC＝S正方形ABCD，∵△APD与△BPC的面积之和为8cm2，∴正方形ABCD的面积为16cm2，∴AB＝4cm．故答案为：4．15．解：设△ADP的高为h1，△BPC的高为h2，根据题意列方程得：S△ADP+S△BPC＝AD×h1+BC×h2＝BC（h1+h2）＝×1×1＝．故答案为．三．解答题16．解：延长DA至点G使AG＝CF，连接BG，在△ABG和△CBF中，∵，∴△ABG≌△CBF，∴∠BFC＝∠BGA，∠CBF＝∠ABG，∵BF平分∠CBE交CD于F，∴∠CBF＝∠EBF，∴∠ABG＝∠EBF，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠BFC，∴∠EBG＝∠BFC，∴∠EBG＝∠BGA，∴BE＝GE，∴BE＝CF+AE．17．解：△AEH为等腰直角三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABE＝90°∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，，∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），∴AH＝AE，∠DAH＝∠BAE．∴∠HAE＝∠DAB＝90°则△AEH为等腰直角三角形．18．证明：∵四边形ABCD是正方形，DE＝AD，∴DE∥BC，DE＝BC，∴四边形BCED为平行四边形，∴∠1＝∠4．又∵BD＝FD，∴∠1＝∠2＝∠3＝×45°，∠3＝∠4＝×45°，∴BC＝GC＝CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG＝45°，∴∠CDG＝（180°﹣45°）＝，又∵∠GHD＝90°﹣∠3＝90°﹣＝，∴∠HDG＝∠GHD，从而GH＝GD，即△GHD是等腰三角形．。

人教版八年级数学下册第十八章 18.2.3 正方形课时练(含答案)

第十八章平行四边形18.2.3 正方形一、选择题1、正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等2、四边形ABCD的对角线AC = BD，且AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，则所构成的四边形是（）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形3、下列命题中是假命题的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形C．一组邻边相等的平行四边形是菱形D．一组邻边相等的矩形是正方形4、如图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是( )A.3：4B.5：8C.9：16D.1：25、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF∠AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C. D.二、填空题6、如图，ABCD是正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则∠EBC=________．第6题图第7题图7、如图，已知正方形ABCD的边长为10，点P是对角线BD上的一个动点，M、N分别是BC、CD边上的中点，则PM＋PN的最小值是___________．8、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为，线段O1O2的长为．9、正方形边长为a，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为.10、如图，在Rt△ABC中，△C=90°，DE垂直平分AC，DF△BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）三、解答题11、如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠ADE＝75°，求∠AEB的度数。

12、如右图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．（1）求证：DE=DF．（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）13、已知：如图，△ABC中，△ABC=90°，BD是△ABC的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．14、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．（1）求证：CE=AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你的理由．15、如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.16、如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标轴上，点B 坐标为（8，8），将正方形ABCO绕点C 逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF ，ED 交线段AB 于点G ，ED 的延长线交线段OA 于点H ，连CH 、CG ．（1）求证：∠CBG∠∠CDG ；（2）求∠HCG 的度数；判断线段HG 、OH 、BG 的数量关系，并说明理由；（3）连结BD 、DA 、AE 、EB 得到四边形AEBD ，在旋转过程中，四边形AEBD 能否为矩形？如果能，请求出点H 的坐标；如果不能，请说明理由．参考答案：一、1、C 2、D 3、B 4、B 5、C 二、6、7、10、 8、1ab 49、2a10、考点：正方形的判定．专题：计算题；开放型．分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF 是正方形推出．解答：解：设AC=BC ，即△ABC 为等腰直角三角形，△△C=90°，DE 垂直平分AC ，DF △BC ， △△C=△CED=△EDF=△DFC=90°， DF=AC=CE ，DE=BC=CF ，11A1A 图3-21△DF=CE=DE=CF，△四边形DECF是正方形，故答案为：AC=BC．点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．三、11、∵△ADE中，AE＝AD，∠ADE＝75°，∴∠AED＝75°（等边对等角）∴∠EAD＝180°－75°×2＝30°又∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝120°∴∠AEB＝°°°12、（1）提示：证△DEB≌△DFC，（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）13、考点：正方形的判定．专题：证明题．分析：由DE△AB，DF△BC，△ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是△ABC 的平分线，DE△AB于点E，DF△BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．解答：解：△DE△AB，DF△BC，△△DEB=△DFB=90°，又△△ABC=90°，△四边形BEDF为矩形，△BD是△ABC的平分线，且DE△AB，DF△BC，△DE=DF，△矩形BEDF为正方形．点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．14、（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴▱四边形BECD是菱形；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四边形BECD是菱形，∴菱形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．15、提示：AA1 = BB1 = CC1 = DD1 =13（或=23）.16、（1）∠正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF，∠CD=CB，∠CDG=∠CBG=90°．在Rt∠CDG和Rt∠CBG中，，∠∠CDG∠∠CBG（HL）1 (180 2120-)30=（2）解：∠∠CDG∠∠CBG，∠∠DCG=∠BCG，DG=BG．在Rt∠CHO和Rt∠CHD中，∠ ，∠∠CHO∠∠CHD（HL），∠∠OCH=∠DCH，OH=DH，∠∠HCG=∠HCD+∠GCD= ∠OCD+ ∠DCB= ∠OCB=45°，∠HG=HD+DG=HO+BG（3）解：四边形AEBD可为矩形．如图，连接BD、DA、AE、EB，四边形AEBD若为矩形，则需先为平行四边形，即要对角线互相平分，合适的点只有G为AB 中点的时候．∠DG=BG，∠DG=AG=EG=BG，即平行四边形AEBD对角线相等，则其为矩形，∠当G点为AB中点时，四边形AEBD为矩形．∠四边形DAEB为矩形，∠AG=EG=BG=DG．∠AB=6，∠AG=BG=3．设H点的坐标为（x，0），则HO=x∠OH=DH，BG=DG，∠HD=x，DG=3．在Rt∠HGA中，∠HG=x+3，GA=3，HA=6﹣x，∠（x+3）2=32+（6﹣x）2，解得x=2．∠H点的坐标为（2，0）．。

19.3正方形(2)课件华东师大版数学八年级下册

看一看，选一选
1.正方形具有而菱形不具有的性质是（C）
A.对角线互相垂直 B.四条边都相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
2.下列说法正确的是（ B）
A.四条边相等的四边形是正方形
B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形
C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形
路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
思考:这三种分法有什么特点?
结论:过正方形对称中心且互相垂直的两条直线必将正方形平均分成面积相等的四部分.
所学特殊四边形的性质
对
性质
平行四矩
象
边形形
边对边平行且相等
√
√
四边相等
角对角相等，邻角互 √
又∵S正ABCD = 6×6=36 ∴S△BEF = 36-6-6-9=15
练习
1线互相垂直 B.对角线互相平分
C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 2.从四边形内能找一点,使该点到各边距离都相等的
图形可能是（ D）
A.平行四边形、矩形、菱形 B.菱形、矩形、正方形
(第二课时)
复习
想想：什么叫正方形？
A
D
O
1有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。B
C
2有一个角是直角的菱形
3有一组邻边相等的矩形
再想：正方形有哪些性质？
对称性：正方形是轴对称图形(4条对称轴)，也是中心对称图形；边：四条边都相等，对边平行
角：四个角都是直角对角线：正方形的两条对角线互相垂直平分且相等, 每条对角线平分一组对角

沪教版(上海)八年级第二学期数学 ---正方形压轴练习 (无答案)

八年级下期末复习动态几何函数压轴----正方形1.已知：如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，P 是边BC 上的一个动点，AP 交对角线BD 于点E ，BQ ⊥AP ，交对角线AC 于点F 、边CD 于点Q ，联结EF ．（1）求证：OE=OF ；（2）联结PF ，如果PF ⊥BD ，求BP ：PC 的值；（3）联结DP ，当DP 经过点F 时，试猜想点P 的位置，并证明你给猜想．2．如图，在正方形ABCD 中，AB =1，E 为边AB 上的一点（点E 不与端点A 、B 重合），F 为BC 延长线上的一点，且AE =CF ，联结EF 交对角线AC 于点G ．（1）求证：DE =DF ；（2）联结DG ，求证：DG ⊥EF ；（3）设AE =x ，AG =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域．证明：FPM DA3.如图，已知正方形ABCD ，AB ＝4，动点M 、N 分别从D 、B 两点同时出发，且都以1个单位/秒的速度匀速运动，点M 沿DA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点M 作MP ⊥AD ，交AC 于点P ，连结NP . 设运动时间为x 秒．（1） PM 的长为（用含x 的代数式表示）；（2）试求△NPC 的面积S 与时间x 的函数表达式并写出定义域；（3）当△NPC 为一个等腰三角形时，求出所有满足条件的x 值.4．在正方形ABCD 中，点P 是CB 延长线上一个动点，连接PA 、PD ，点M 、N 分别为BC 、AP 的中点，连接MN 交PD 于点Q ．（1）如果正方形边长为2，且MN =2，求BP 的长；（2）试判断在点P 运动的过程中QP 与QM 的数量关系，并加以证明.NMQ PBDA C（第4题图）5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 为对角线BD 上一动点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）如图①，如果点E 运动到离B 点的距离为2，此时DF 的长为，EG 的长为；（2）如图②，E 点在BD 上无论运动到何处，（不与B ，D 重合），猜想：EG 与CG 有什么关系？并证明你的猜想；（3）如图③，将图中△BEF 绕B 点逆时针旋转45度，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。

浙教版八年级数学下册《5.3正方形（2）》同步练习（含答案）

5.3正方形(2)A练就好基础基础达标1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是(D)A．对边互相平行B．对角线互相垂直平分C．是中心对称图形D．有4条对称轴2．如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有(C) A．4个B．6个C．8个D．10个第2题图第3题图3．如图所示，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为(C)A．14B．15C．16D．174．如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF.若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为(C)A．20°B．25°C．35°4题图第5题图5．如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，E是BC上任意一点，EG⊥BD于点G，EF⊥AC于点F.若AC＝10，则EG＋EF的值为(C)A．10 B．8 C．5 D．46．如图所示，正方形ABCD＝FC＝1 cm，那么EF的长是__10_cm__．6题图第7题图7．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为(2，3)．8．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.(1)求证：AE＝CF.(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°，AB ＝BC . ∵BE ⊥BF ，∴∠FBE ＝90°.∵∠ABE ＋∠EBC ＝90°，∠CBF ＋∠EBC ＝90°， ∴∠ABE ＝∠CBF .在△AEB 和△CFB 中，∵AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF ，BE ＝BF ， ∴△AEB ≌△CFB (SAS )，∴AE ＝CF .(2)∠EGC ＝∠EBG ＋∠BEF ＝35°＋45°＝80°.9．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为BC 边上一点，BE ⊥AG 于点E ，DF ⊥AG 于点F ，连结DE .(1)求证：△ABE ≌△DAF .(2)若AF ＝1，四边形ABED 的面积为解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD .∵DF ⊥AG ，BE ⊥AG ，∴∠BAE ＋∠DAF ＝90°，∠DAF ＋∠ADF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠ADF .在△ABE 和△DAF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠DF A ，AB ＝AD ，∴△ABE ≌△DAF (AAS )．(2)设EF ＝x ，则AE ＝DF ＝x ＋1，由题意得2×12×(x ＋1)×1＋12×x ×(x ＋1)＝6，解得x ＝2或－5(舍去)，∴EF ＝2.B 更上一层楼能力提升10．·嘉兴将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( A )A B C D11．如图所示，E 为边长为2的正方形ABCD 的对角线上一点，BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，则PQ ＋PR 的值为( D )A.22B.12C.32D.2 12．·青岛已知正方形ABCD 的边长为5，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝2，BE 与AF 相交于点G ，H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为__1234__．13．如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在边BC 上，连结BE ，DF ，DF 交对角线AC 于点G ，且DE ＝DG . 求证：(1)AE ＝CG ； (2)BE ∥DF .证明：(1)∵DE ＝DG ， ∴∠DEG ＝∠DGE ， ∴∠AED ＝∠CGD .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝BC ，∠DAC ＝∠BCE ＝∠DCA ＝45°. 在△ADE 和△CDG 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠CGD ，∠DAC ＝∠DCA ，AD ＝CD ，∴△ADE ≌△CDG (AAS )， ∴AE ＝CG ；(2)在△BCE 和△DCE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，∴△BCE ≌△DCE (SAS )，∴∠BEC ＝∠DEG ，又∵∠DGE ＝∠DEG ， ∴∠BEC ＝∠DGE ， ∴BE ∥DF .C 开拓新思路拓展创新14．如图，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过点P 作PE ⊥BC 于点E, PF ⊥CD 于点F .(1)猜想线段P A ，PE ，PF 之间的数量关系，并给出证明； (2)猜想线段P A ，EF 之间的位置关系，并给出证明．解：(1)P A 2＝PE 2＋PF 2 证明：连结AC ，PC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BD 垂直平分AC ，∠BCD ＝90°， ∴AP ＝CP .∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ， ∴∠PEC ＝∠PFC ＝90°， ∴四边形PECF 是矩形， ∴PC ＝EF ，∠EPF ＝90°， ∴AP ＝EF .∵EF 2＝PE 2＋PF 2， ∴P A 2＝PE 2＋PF 2. (2)AP ⊥EF .证明：过点P 作PN ⊥AB ，垂足为点N ，延长AP ，交EF 于点M ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABP ＝∠CBD ＝45°， ∴△DFP 为等腰直角三角形， ∴DF ＝PF ，又AN ＝DF ， ∴AN ＝FP .又∵NP ⊥AB ，PE ⊥BC ，∴四边形BNPE 是正方形，∴NP ＝EP . ∵AP ＝PC ，四边形PECF 为矩形， ∴EF ＝PC ，∴AP ＝EF . 在△ANP 与△FPE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AN ＝FP ，NP ＝EP ，AP ＝EF ，∴△ANP ≌△FPE (SSS )， ∴∠NAP ＝∠PFE .∵在△APN 与△FPM 中，∠APN ＝∠FPM ，∠NAP ＝∠PFM ， ∴∠PMF ＝∠ANP ＝90°，∴AP ⊥EF .15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，求CE 的长.第15题图第15题答图解：过点E作EF⊥CA于点F，易证△ABC≌△EAF，∴EF＝AC＝6，AF＝BC＝8，∴CF＝14.∴CE＝62＋142＝258.。

人教版初中数学八年级下册同步练习：正方形

正方形学习要求1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．课堂学习检测一、填空题1．正方形的定义：有一组邻边______并且有一个角是______的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的有一组邻边相等的______，又是一个特殊的有一个角是直角的______．2．正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都______；四条边都______且__________________；正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线平分______对角．它有______条对称轴．3．正方形的判定：(1)____________________________________的平行四边形是正方形；(2)____________________________________的矩形是正方形；(3)____________________________________的菱形是正方形；4．对角线________________________________的四边形是正方形．5．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．6．延长正方形ABCD 的BC 边至点E ，使CE ＝AC ，连结AE ，交CD 于F ，那么∠AFC 的度数为______，若BC ＝4cm ，则△ACE 的面积等于______．7．在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，EF ⊥AC ，EG ⊥BD ，垂足分别为F 、G ，如果，那么EF ＋EG 的长为______．二、选择题8．如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则PQ 的长为( )(A)12 (B)13(C)14 (D)159．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( )cm 2．(A)6(B)8 (C)16 (D)不能确定cm 25AB综合、运用、诊断一、解答题10．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．11．已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于F．求证：BF＝EC．12．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF交AD于H，求DH的长．13．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判断DP与EF的关系，并证明．拓展、探究、思考14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连结DP 交AC 于点Q ．(1)试证明：无论点P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ；(2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD面积的； (3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形．61。

2022年华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形综合练习练习题(精选含解析)

八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，矩形ABCD 的面积为1cm 2，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边作平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边作平行四边形AO 1C 2B ，…；依此类推，则平行四边形AO 2014C 2015B 的面积为（）cmA ．201312 B ．201412 C ．201512 D ．2016122、小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该（）A ．测量三个角是否都是直角B ．测量对角线是否互相平分C ．测量两组对边是否分别相等D ．测量一组对角是否是直角3、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交BC 于点E ，EF ⊥BD 于点F ，则OE ＋EF 的值为（）A B ．2 C ．52 D ．4、如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（）A ．AB =BE B ．DE ⊥DC C ．∠ADB =90°D ．CE ⊥DE5ABCD 中，点E 是对角线AC 上一点，且EF AB ⊥于点F ，连接DE ，当22.5ADE ∠=︒时，EF =（）A ．1B ．2C 1D ．146、如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，若四边形AECF 的面积为144．AE ＝13．则DE 的长为（）A ．BC ．4D ．57、如图，在菱形ABCD 中，P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PE BC ⊥于点E ．PF AB ⊥于点F ．若菱形ABCD 的周长为24，面积为24，则PE PF +的值为（）A ．4B ．245C ．6D ．4858、如图所示，四边形ABCD 是矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF ＝5，设AB ＝x ，AD ＝y ，则x 2+（y ﹣5）2的值为（）A ．10B ．25C ．50D ．759、如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后，得到正方形AB ′C ′D ′，边B 'C ′与DC 交于点O ，则∠DOB '的度数为（）A ．125°B ．130°C ．135°D ．140°10、如图，把一张长方形纸片ABCD 沿AF 折叠，使B 点落在B '处，若20ADB ∠=︒，要使AB BD '∥，则BAF ∠的度数应为（）A．20°B．55°C．45°D．60°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、（1）两组对边分别______，菱形的四条边都______．几何语言：∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD，AD∥BCAB＝CD＝AD＝BC（2）菱形的两组对角______，邻角______几何语言：∵四边形ABCD是菱形∴∠BAD＝∠BCD，∠CBA＝∠ADC∠BAD＋∠ADC＝180°∠BCD＋∠CBA＝180°∠BAD＋∠CBA＝180°∠BCD＋∠ADC＝180°（3）菱形的对角线互相______，并且每一条对角线______一组对角．几何语言：∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BD ， AC 平分∠BAD ，∠BCD ， BD 平分∠ABC ，∠ADC（4）菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有______条对称轴，其对称轴为两条对角线所在直线，对称中心为其______的交点．2、一个长方形的周长是22cm ，若这个长方形的长减少2cm ，宽增加3cm ，就可以成为一个正方形，则长方形的长是______cm ．3、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，已知120AOD ∠=︒， 2.5cm AB =，则矩形对角线BD 的长为_______cm ．4、如图，矩形ABCD 的两条对角线AC ，BD 交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝3，则矩形的周长为 _____．5、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =1BC =，P 是线段AB 边上的动点（不与点A ，B 重合），将BCP 沿CP 所在直线翻折，得到B CP '△，连接B A '，当B A '取最小值时，则AP 的值为________．6、如图，正方形ABCD 中，E 为CD 上一动点（不含C 、)D ，连接AE 交BD 于F ，过F 作FH AE ⊥交BC 于H ，过H 作HG BD ⊥于G ，连接AH ，EH ．下列结论：①AF FH =；②45HAE ∠=︒；③FH 平分GHC ∠；④2BD FG =，正确的是__（填序号）．7、在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，其所对的对角线长为2，则菱形ABCD 的面积是__．8、如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AD =60COB ∠=︒，BF AC ⊥，交AC 于点M ，交CD 于点F ，延长FO 交AB 于点E ，则下列结论：①FO FC =；②四边形EBFD 是菱形；③OBE CBF △△≌；④3MB =．其中结论正确的序号是______．9、如图在正方形ABCD 中，∠EAF 的两边分别交CB 、DC 延长线于E 、F 点且∠EAF ＝45°，如果BE ＝1，DF ＝7，则EF ＝__．10、如图，菱形ABCD 的周长为40，面积为80，P 是对角线BC 上一点，分别作P 点到直线AB ．AD 的垂线段PE ．PF ，则PE PF +等于______．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”如图1，222A B C ∆就是由ABC ∆沿直线1翻移后得到的．（先翻折，然后再平移）(1)在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2B …）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）(2)如图2，在长方形ABCD 中，8BC =，点,E F 分别是边,BC AD 中点，点G 在边CD 延长线上，联结,AE FG ，如果GDF ∆是ABE ∆经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a ；联结AG ，线段AG 和直线a 交于点O ，若OGF ∆的面积为3，求此长方形的边长AB 的长．(3)如图3，M 是（2）中的长方形边BC 上一点，如果1BM =，ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再平移2个单位，得到111A B M ∆，联结线段11AA MM 、，分别和“翻移线”a 交于点K 和点H ，求四边形AKHM 的面积．2、如图，ABC 和DBC △中，90ACB DBC ∠=∠=︒，E 是BC 的中点，且ED AB ⊥于点F ，且AB DE =，CD 交AB 于点M ．(1)求证：2BD EC =；(2)求ACM △与BCM 的面积之比．3、如图，已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE =AB ，连接CE ．(1)求证：BD=EC．(2)若∠E=57°，求∠BAO的大小．4、下面是小明设计的“作菱形ABCD”的尺规作图过程．求作：菱形ABCD．作法：①作线段AC；②作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；③在直线l上取点B，以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线l于点D（点B与点D不重合）；④连接AB、BC、CD、DA．所以四边形ABCD为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．=，证明：OA OC=，OB OD∴．，∴四边形ABCD为菱形()（填推理的依据）．5、如图，已知在ABC 中，90A ∠=︒，求作正方形ADEF ，使得D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据“同底等高”的原则可知平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的12，则有平行四边形AOC 1B 的面积12，平行四边形AOC 2B 的边AB 上的高等于平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高的12，则有平行四边形ABC 3O 2的面积212，…；由此规律可进行求解．【详解】解：∵O 1为矩形ABCD 的对角线的交点，∴平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的12，∴平行四边形AOC 1B 的面积=12×1=12，∵平行四边形AO 1C 2B 的对角线交于点O 2，∴平行四边形AOC 2B 的边AB 上的高等于平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高的12，∴平行四边形ABC 3O 2的面积=12×12×1=212， …，依此类推，平行四边形ABC 2014O 2015的面积=201512cm 2．故答案为：C ．【点睛】本题主要考查矩形的性质与平行四边形的性质，熟练掌握矩形的性质与平行四边形的性质是解题的关键．2、A【解析】【分析】根据矩形的判定方法解题．【详解】解：A 、三个角都是直角的四边形是矩形，∴选项A 符合题意； B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项B 不符合题意，C 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴选项C 不符合题意；D 、一组对角是直角的四边形不是矩形，∴选项D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3、A【解析】【分析】依据矩形的性质即可得到BOC ∆的面积为2，再根据BOC COE BOE S S S∆=+，即可得到OE EF +的值．【详解】解：2AB =，4BC =，∴矩形ABCD 的面积为8，AC =12BO CO AC ∴==对角线AC ，BD 交于点O ，BOC ∴∆的面积为2，EF OB ⊥，EO AC ⊥，BOC COE BOE S S S ∆∴=+，即11222CO EO OB EF =⨯+⨯，12)2EO EF ∴=+，)4EO EF +=，∴+EO EF故选：A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分．4、B【解析】【分析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB =90°，∴□DBCE 为矩形，故本选项不符合题意；D 、∵CE ⊥DE ，∴∠CED =90°，∴□DBCE 为矩形，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED 为平行四边形是解题的关键．5、C【解析】【分析】证明67.5CDE CED ∠=∠=︒，则CD CE =AC 的长，得2AE =，证明AFE ∆是等腰直角三角形，可得EF 的长．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB CD BC ∴==90B ADC ∠=∠=︒，45BAC CAD ∠=∠=︒， 22AC AB ，22.5ADE ∠=︒，9022.567.5CDE ∴∠=︒-︒=︒，4522.567.5CED CAD ADE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴==2AE ∴=EF AB ⊥，90AFE ∴∠=︒，AFE ∴∆是等腰直角三角形，1EF ∴，故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．6、D【解析】【分析】由旋转性质得△ABF ≌△ADE ，再根据全等三角形的性质得到S 正方形ABCD =S 四边形AECF =144进而求得AD =12，再利用勾股定理求解DE 即可．【详解】解：∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF ，∴△ABF ≌△ADE ，∴S △ABF =S △ADE ，∴S 正方形ABCD =S 四边形AECF =144，∴AD =12，在Rt△ADE 中，AE =13，AD =12，由勾股定理得：DE ，【点睛】本题考查旋转性质、全等三角形的性质、正方形的面积公式、勾股定理，熟练掌握旋转性质，得出S 正方形ABCD =S 四边形AECF 是解答的关键．7、A【解析】【分析】连接BP ，通过菱形ABCD 的周长为24，求出边长，菱形面积为24，求出ABC S的面积，然后利用面积法，=+ABC ABP CBP S S S ，即可求出PE PF +的值．【详解】解：如图所示，连接BP ，∵菱形ABCD 的周长为24，∴2446AB BC ==÷=，又∵菱形ABCD 的面积为24，∴24212=÷=ABCS ， ∴12=+=ABC ABP CBP SS S ， ∴111222⋅+⋅=AB PF BC PE ，∴()1122⋅+=AB PE PF ，∵6AB =，∴4PE PF +=，故选：A ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系．8、B【解析】【分析】根据题意知点F 是Rt△BDE 的斜边上的中点，因此可知DF =BF =EF =5，根据矩形的性质可知AB =DC =x ，BC =AD =y ，因此在Rt△CDF 中，CD 2+CF 2=DF 2，即可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =x ，AD =y ，∴CD =AB =x ，BC =AD =y ，∠BCD =90°，又∵BD ⊥DE ，点F 是BE 的中点，DF =5，∴BF =DF =EF =5，∴CF =5-BC =5-y ，∴在Rt△DCF 中，DC 2+CF 2=DF 2，即x 2+（5-y ）2=52=25，∴x 2+（y -5）2=x 2+（5-y ）2=25，故选：B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理，做题的关键是利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出BF 的长度．9、C【解析】【分析】连接B ′C ，根据题意得B ′在对角线AC 上，得∠B 'CO =45°，由旋转的性质证出∠OB 'C 是直角，得=45B CO '∠︒，即可得出答案．【详解】解：连接B ′C ，如图所示，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 平分∠BAD ，∵旋转角∠BAB ′=45°，∠BAC =45°，∴B ′在对角线AC 上，∴∠B 'CO =45°，由旋转的性质得：90AB C B ''∠=∠=︒，AB '=AB =1，∴45B OC '∠=︒∴18045135DOB '∠=︒-︒=︒故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键．10、B【解析】【分析】设直线AF 与BD 的交点为G ，由题意易得90DAB ∠=︒，则有70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，由平行线的性质可得B AF BGA '∠=∠，然后可得BAF BGA ∠=∠，进而问题可求解．【详解】解：设直线AF 与BD 的交点为G ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ∠=︒，∵20ADB ∠=︒，∴70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，∵AB BD '∥，∴B AF BGA '∠=∠，∴BAF BGA ∠=∠， ∴180552ABG BAF ︒-∠∠==︒；故选B ．【点睛】本题主要考查折叠的性质及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．二、填空题1、平行相等相等互补垂直平分两对角线【解析】略2、8【解析】【分析】设这个长方形的长为xcm ，则长方形的宽为()11x -cm ，由题意得长2-=宽+3．进而得到方程2113x x -=-+，解方程即可得到答案．【详解】解：设这个长方形的长为x cm ，由题意得：2113x x -=-+，216,x ∴=解得：8,x =答：这个长方形的长为8.cm故答案为：8【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，抓住关键语句，表示出正方形的边长，进而利用正方形边长相等得到方程．3、5【解析】【分析】由矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可求BO=AB的长，即可求BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，且AO=BO，∴△ABO为等边三角形，∴AO=BO=AB=2.5，∴BD=5，故答案为：5．【点睛】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键，①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分．4、663##6【解析】【分析】根据矩形性质得出AD＝BC，AB＝CD，∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，BO＝OD＝12BD，AC＝BD，推出OA＝OB＝OC＝OD，得出等边三角形AOB，求出BD，根据勾股定理求出AD即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OC＝12AC，BO＝OD＝12BD，AC＝BD，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵∠AOB ＝60°，OB ＝OA ，∴△AOB 是等边三角形，∵AB ＝3，∴OA ＝OB ＝AB ＝3，∴BD ＝2OB ＝6，在Rt △BAD 中，AB ＝3，BD ＝6，由勾股定理得：AD ＝∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝∴矩形ABCD 的周长是AB +BC +CD +AD ＝故答案为：【点睛】本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，关键是求出AD 的长．5【解析】【分析】根据翻转变换的性质可知BC ＝C B '＝1，当A 、B '、C 三点在一条直线上时，A B '有最小值，根据题意作图，过P 点作PH ⊥BC ，PQ ⊥AC ，得到四边形PQCH 是正方形，利用面积法求出PQ 的长，再根据勾股定理求出AP 的长．【详解】解：∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =1BC =∴AC2=由翻转变换的性质可知：BC＝C B'＝1，故当A、B'、C三点在一条直线上时，A B'有最小值，过P点作PH⊥BC，PQ⊥AC，∴∠ACB=∠PHC=∠PQC=90°∴四边形PQCH是矩形∵翻转∴△BCP≌△B'CP∴PH=PQ∴四边形PQCH是正方形设PQ=x，则PH=x∵S△ABC=S△APC+S△PBC∴111222BC AC BC PH PQ AC ⨯=⨯+⨯即1111212 222x x⨯⨯=⨯⨯+⨯解得x=2 3∴AQ=2-23=43∴AP【点睛】本题主要考查的是翻转变换的性质、线段的性质，根据题意找到B '的位置是解题的关键．6、①②④【解析】【分析】连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．可证ADF CDF ∆∆≌，进而可得FHC FCH ∠=∠，由此可得出FH AF =；再由FH AF =，即可得出45HAE ∠=︒；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =，证明AOF FGH ≌，即可得出OA GF =，进而可得2BD FG =；过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，由于F 是动点，FN 的长度不确定，而FG OA =是定值，即可得出FH 不一定平分GHC ∠．【详解】解：如图，连接FC ，延长HF 交AD 于点L ．∵BD 为正方形ABCD 的对角线∴45ADB CDF ∠=∠=︒，AD CD =在ADF 和CDF 中45AD CD ADB CDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ADF CDF SAS ∆∆≌∴AF FC =，DCF DAF ∠=∠∵90AFL ∠=︒，90ALH LAF ∠+∠=︒ ，ALH FHC ∠=∠∴90LHC DAF ∠+∠=︒∵DCF DAF ∠=∠，90FCD FCH ∠+∠=︒∴FHC FCH ∠=∠∴FH FC =∴AF FH =故①正确；∵90AFH ∠=︒，AF FH =∴AFH 是等腰直角三角形∴45HAE ∠=︒故②正确；连接AC 交BD 于点O ，则2BD OA =∵90AFO GFH GHF GFH ∠+∠=∠+∠=︒∴AFO GHF ∠=∠在AOF 和FGH 中90AFO GHF AOF FGH AF FH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AOF FGH AAS ∆∆≌∴OA GF =∴22BD OA GF ==故④正确．过点F 作MN BC ⊥于点N ，交AD 于点M ，F 是动点∵FN 的长度不确定，而FG OA =是定值∴FN 不一定等于FGFH ∴不一定平分GHC ∠故③错误；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，角平分线性质和判定，等腰三角形的性质与判定等，熟练掌握全等三角形判定和性质，合理添加辅助线构造全等三角形是解题关键．7、【解析】【分析】根据菱形的性质证得△ABD 是等边三角形，得到OB ，利用勾股定理求出OA ，由菱形的性质求出菱形的面积．【详解】解：如图所示：在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，其所对的对角线长为2，AD AB ∴=，AC BD ⊥，BO DO =，AO CO =，ABD ∴∆是等边三角形，则2AB AD ==，故1BO DO ==，则AO =AC =则菱形ABCD 的面积122=⨯⨯故答案为：【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出菱形的另一条对角线的长是解题关键．8、①②③④【解析】【分析】由矩形的性质及垂直平分线的判定和性质可证明①；根据全等三角形的判定和性质及菱形的判定和性质可证明②；由菱形的性质及全等三角形的判定可证明③；根据矩形的性质，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理可证明④．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AC BD =，∴OA OC OD OB ===，∵60COB ∠=︒，∴OBC 为等边三角形，∴OB BC OC ==，60OBC ∠=︒，∵BF AC ⊥，∴OM MC =，∴FM 是OC 的垂直平分线，∴FO FC =，故①正确；∵AB CD ∥，∴DFE BEF ∠=∠，在DOF 与BOE 中，DOF BOE DFE BEF OD OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴DOF BOE ≅，∴DF BE =，∵AB CD ∥，∴四边形EBFD 为平行四边形，由①得OBC 为等边三角形，∴60OBC OCB ∠=∠=︒，∴30ACD BCD OCB ∠=∠-∠=︒，∵OD OC =，∴30ACD BDC ∠=∠=︒，∵BF AC ⊥，OBC 为等边三角形，∴30DBE ∠=︒，∴DBF BDC ∠=∠∴DF BF =，∴四边形EBFD 为菱形，②正确；由②可得：OB EF ⊥，∴90BOE BCF ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴30EBO BDC ∠=∠=︒，∴30EBO FBC ∠=∠=︒，在OBE 与CBF 中，EBO FBC BO BCBOE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴OBE CBF ≅，③正确；∵四边形ABCD 为矩形，∴BC AD ==∵BF AC ⊥，30FBC ∠=︒，∴12CM BC ==∴3MB ==，④正确，∴正确结论为：①②③④，故答案为：①②③④．【点睛】题目主要考查矩形的性质，菱形的判定定理，全等三角形的判定和性质，含30︒角的直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些性质是解题关键．9、6【解析】【分析】根据题意把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到AD ，交CD 于点G ，证明△AEF ≌△AGF 即可求得EF ＝DF ﹣BE ＝7﹣1＝6．【详解】解：如图，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到DA ，交CD 于点G ，由旋转的性质可知，AG ＝AE ，DG ＝BE ，∠DAG ＝∠BAE ，∵∠EAF ＝45°，∴∠DAG +∠BAF ＝45°，又∵∠BAD ＝90°，∴∠GAF ＝45°，在△AEF 和△AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）∴EF ＝GF ，∵BE＝1，DF＝7，∴EF＝GF＝DF﹣DG＝DF﹣BE＝7﹣1＝6.故答案为：6．【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解题的关键，注意旋转性质的应用．10、8【解析】【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD=10，S△ABD=12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为80，∴AB=AD=10，S△ABD=40，∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，∴12×AB×PE+12×PF×AD=40，∴12×10（PE+PF）=40，∴PE+PF=8．故答案为：8．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确得出12×AB×PE+12×PF×AD=S△ABD是解题关键．三、解答题1、 (1)“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2)B ⋯连线被翻移线平分(2)3(3)11或10【解析】【分析】（1）画出图形，即可得出结论；（2）作直线EF ，即为“翻移线”直线a ，再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可；（3）分两种情况：①ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向上平移2个单位，②ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向下平移2个单位，由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可．(1)解：如图1，连接2AA ，2BB ⋯，则“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2)B ⋯连线被翻移线平分；(2)解：作直线EF ，即为“翻移线”直线a ，如图2所示：四边形ABCD 是长方形，AB CD ∴=，8AD BC ==，由“翻移运动”的性质得：AB DC GD ==，142AF DF AD ===，O 是AG 的中点，3AOF OGF S S ∆∆∴==， ΔΔ26AFG OGF S S ∴==，AF DF =，ΔΔ6GDF AFG S S ∴==，Δ114622GDF S DG DF DG ∴=⨯=⨯⨯=， 3DG ∴=，3AB ∴=；(3)解：分两种情况：①ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向上平移2个单位，如图3所示：设ABE ∆翻折后的三角形为DCP ∆，连接1PM ，则1112A D B C M P ===，同（2）得：1112KF A D ==，1112HE M P ==，4BE =，1BM =，3ME BE BM ∴=-=，∴四边形AKHM 的面积=梯形ABEK 的面积ABM -∆的面积HME -∆的面积111(331)4313111222=⨯++⨯-⨯⨯-⨯⨯=； ②ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向下平移2个单位，如图4所示：设ABE ∆翻折后的三角形为DCP ∆，连接1PM ，则1112A D B C M P ===，同（2）得：1112KF A D ==，1112HE M P ==，4BE =，1BM =，3ME BE BM ∴=-=，∴四边形AKHM 的面积=梯形AFEM 的面积AFK -∆的面积HME +∆的面积111(34)3413110222=⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=；综上所述，四边形AKHM 的面积为11或10．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了长方形的性质、“翻移运动”的性质、梯形面积公式、三角形面积公式等知识，本题综合性强，解题的关键是熟练掌握“翻移运动”的性质和长方形的性质．2、 (1)见解析 (2)12【解析】【分析】（1）易证DEB A ∠=∠，即可证明ACB EBD ∆≅∆，得出BC BD =，根据点E 是BC 的中点即可解题；（2）过点M 作,BC AC 的垂线，交于点,P Q ，证四边形PMQC 为矩形，再证得四边形PMQC 为正方形，得出MP MQ =，根据ACM BCM S AC S BC=． (1)解：证明：90DEB ABC ∠+∠=︒，90A ABC ∠+∠=︒，DEB A ∴∠=∠，在ACB ∆和EBD ∆中，ACB DBE A DEB AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AAS；∴∆≅∆，()ACB EBD∴=，BC BD点E是BC的中点，∴=，2EC BC∴=；2BD EC(2)BC AC的垂线，交于点,P Q，解：过点M作,∴∠=︒，MP QC MQ PC MPC//,//,90∴四边形PMQC为矩形，=∠=︒，BC BD DBC,90∴△为等腰直角三角形，BCD∴∠=︒，MCP45∴为等腰直角三角形，CPM∴=，CP MP∴四边形PMQC为正方形，∴=，MP MQ11,22ACM BCM SAC MQ S BC MQ =⋅=⋅， ACMBCM S AC S BC ∴=， 12AC BC =， 12ACMBCMSS ∴=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰直角三角形，正方形的判定及性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，同时利用等量代换的思想进行求解．3、 (1)见解析(2)33°【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AB =CD =BE ，AB //CD ，可证四边形BECD 是平行四边形，可得BD =EC ；（2）由平行四边形的性质可得BD //CE ，可得∠ABO =∠E =57°，菱形的性质可求∠BAO 的大小．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =CD ，AB //CD又∵BE =AB ，∴BE =CD ，BE //CD ，∴四边形BECD 是平行四边形∴BD =EC(2)∵四边形BECD是平行四边形，∴BD//CE，∴∠ABO=∠E=57°又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°∴∠BAO+∠ABO=90°∴∠BAO=90°-∠ABO=33°【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．，对角线互相垂直的平行四边形为菱形4、（1）见解析；（2）四边形ABCD为平行四边形，BD AC【解析】【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形ABCD为菱形．【详解】解：（1）如图，四边形ABCD为所作；（2）完成下面的证明．=，证明：OA OC=，OB OD∴四边形ABCD为平行四边形，BD AC⊥，∴四边形ABCD为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）．⊥，对角线互相垂直的平行四边形为菱形．故答案为四边形ABCD为平行四边形，BD AC【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．5、见解析【解析】【分析】作△ABC的角平分线AE，作线段AE的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点F．四边形ADEF即为所求．【详解】解：如图：四边形ADEF即为所求．【点睛】本题考查了基本作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．。

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题(附答案)

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题（附答案）一．选择题1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（）A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对边相等D．邻边相等2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BDC．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC4．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的面积为（）A．8B．12C．16D．206．正方形ABCD的一条对角线长为6，则这个正方形的面积是（）A．9B．18C．24D．367．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为（）A．6B．7C．8D．98．如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作F A＝AE交CB的延长线于点F，若AB＝4，则四边形AFCE的面积是（）A．4B．8C．16D．无法计算9．如图，已知在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10厘米，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动，设运动时间为t秒．当△BPE与△CQP全等时，t的值为（）A．2B．2或1.5C．2.5D．2.5或210．如图，在正方形ABCD中，动点E在BC边上（点E与点B不重合），∠DAE的平分线AF与CD边交于点M，与BC边的延长线交于点F，连接EM．对于下列四个结论：①AE＝EF；②若CM＝CE，则AF＝2BC；③若EM⊥AF，则CM＝DM；④存在点E，使点E与点D关于直线AF对称．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则∠AEC的度数是．12．如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，AB＝10，则EF的长为．13．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．14．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，若两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积为，则正方形A'B'C'O的面积为．15．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在对角线BD上，请你添加一个条件，使四边形AECF是菱形．16．在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．三．解答题17．如图，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN＝BM．18．如图，正方形ABCD中，点F是CD边上一点，DF＝2．连接AF并延长，交BC边延长线于点E，∠EFC＝3∠E，连接AC．（1）求证：AC＝EC；（2）求正方形的边长．19．如图，已知正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD交于点G．（1）求证：CG＝CE；（2）若BE＝4，DG＝2，求BG的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）21．（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC 上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．22．如图，点E，F分别是正方形ABCD的对角线AC上的两个动点，∠EBF＝45°．求证：EF2＝AE2+CF2．参考答案一．选择题1．解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等．故选：B．2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝BC时，它是菱形，故①正确，当AC⊥BD时，它是菱形，故②正确，当∠ABC＝90°时，它是矩形，故③正确，当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误，故选：A．3．解：因为矩形的四个角是直角，故A正确，因为菱形的对角线互相垂直，故B正确，因为正方形的对角线相等，故C正确，菱形的对角线和边长不一定相等，例如：∠ABC＝80°，因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此时AC＞AB，故选：D．4．解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AB＝BF＝DE，∴∠BAF＝∠BF A＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴AE＝AF，∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．故选：C．5．解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝4，∴正方形ACEF的边长为4，∴正方形ACEF的面积为16，故选：C．6．解：在正方形中，对角线相等，所以正方形ABCD的对角线长均为6，∵正方形又是菱形，菱形的面积计算公式是S＝ab（a、b是正方形对角线长度）∴S＝×6×6＝18，故选：B．7．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴S1+S2＝S△OAB＝×10×10＝25，∴S2＝25﹣16＝9，故选：D．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，即∠ABF＝∠D＝90°，在Rt△ABF和Rt△ADE中，，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴S Rt△ABF＝S Rt△ADE，∴S Rt△ABF+S四边形ABCE＝S Rt△ADE+S四边形ABCE，∴S四边形AFCE＝S正方形ABCD＝16．故选：C．9．解：当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP＝CQ，BE＝CP，∵AB＝BC＝10厘米，AE＝4厘米，∴BE＝CP＝6厘米，∴BP＝10﹣6＝4厘米，∴运动时间＝4÷2＝2（秒）；当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵∠B＝∠C＝90°，∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP＝PC＝5厘米，CQ＝BE＝6厘米，即可．∴点P，Q运动的时间t＝＝（秒），故选：D．10．解：∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠EF A，∴∠EF A＝∠EAF，∴AE＝EF，故①正确；若CM＝CE，则DM＝BE，∵∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△ADM中，，∴△ABE≌△ADM（SAS），∴∠BAE＝∠DAM＝∠EAF＝30°，∴∠F＝30°，∴AF＝2AB，∴AF＝2BC，故②正确；若EM⊥AF，∴M是AF的中点，∴AM＝FM，在△ADM和△FMC中，，∴△ADM≌△FMC（AAS），∴CM＝DM，故③正确；只有当点E和点D重合时，才有点E与点D关于直线AF对称．与题意不符，故④错误．综上所述：其中正确结论有①②③，共3个，故选：C．二．填空题11．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°．∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝∠DEC＝60°．∴∠ADE＝90°+60°＝150°，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）÷2＝15°，∴∠AEC＝∠DEC﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．故答案为：45°．12．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAD+∠DAE＝90°，∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，∴∠AFB＝∠AFD＝90°，∵∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE，∴AF＝DE＝8，BF＝AE，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴AE＝6，∴EF＝AE+AF＝6+8＝14．故答案为14．13．解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF＝2，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE＝DF＝BE＝BF，∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝＝2，由勾股定理得：DE＝＝2，∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×2＝8，故答案为：8．14．解：∵四边形ABCD和四边形OA'B'C'都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠A'OC'＝90°，∴∠A'OB＝∠COC'．在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（ASA），∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，即重叠阴影部分面积不变，总是等于正方形ABCD和正方形A'B'C'O面积的，∴正方形A'B'C'O的面积为4．故答案为：4．．15．解：添加的条件为：BE＝DF，理由：正方形ABCD中，对角线BD，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF＝45°．∵BE＝DF，∴△ABE≌△CBE≌△DCF≌△DAF（SAS）．∴AE＝CE＝CF＝AF，∴四边形AECF是菱形；故答案为：BE＝DF．∴∠ABD＝90°，AB＝DB，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∵∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC＝BE，∵DE2+BE2＝BD2，∴ED2+AC2＝BD2，∵S1＝AC2，S2＝DE2，BD2＝1，∴S1+S2＝1，同理可得S3+S4＝3，∴S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为4．三．解答题17．解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，∴AC＝CM，NC＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，∵∠MCN＝∠NCM，∴∠ACN＝∠BCM，在△ACN和△MCB中，，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．∴∠DCE＝90°，∵∠EFC＝3∠E，∠EFC+∠E＝90°，∴4∠E＝90°，∴∠E＝22.5°，•又∵AC是正方形对角线，∠ACB＝45°，∵∠ACB＝∠E+∠EAC，∴∠EAC＝22.5°，∴∠EAC＝∠E，∴AC＝EC；（2）解：设正方形的边长为x，则AC＝EC＝x，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠E，∵∠ADC＝∠FDE＝90°，∴x＝2+2，∴正方形的边长为2+2．19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°，∵∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴CG＝CE；（2）解：由（1）△BCG≌△DCE得CG＝CE，又∵BE＝BC+CE＝4，DG＝CD﹣CG＝2，∴BC＝3CG＝，在Rt△BCG中，BG＝＝＝2．20．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．21．解：（1）如图1，EF＝BE+DF，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，又∵BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF，（2）如图2，EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，∴∠D＝∠4，又∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵，∴∠1+∠3＝∠EAF，∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF．22．证明：如图，将△CBF绕点B逆时针旋转90°，可得△ABN，连接EN，由旋转的性质可得BN＝BF，AN＝CF，∠BAN＝∠BCF＝45°，∠CBF＝∠ABN，∴∠CAN＝∠CAB+∠BAN＝90°，∴EN2＝AE2+AN2，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°，∴∠ABE+∠ABN＝45°＝∠NBE＝∠EBF，在△EBF和△EBN中，，∴△EBF≌△EBN（SAS），∴EF＝EN，∴EF2＝AE2+CF2．。

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题(附答案)

2021-2022学年湘教版八年级数学下册《2-7正方形》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线AC上，若S△ABE＝5，则△CDE的面积为（）A．3B．4C．5D．62．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的点，AB＝BF＝DE，则∠EAF的度数为（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°3．如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF 的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（）A．1B．2C．D．24．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且OE＝2CO，则BE的长度是（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，∠BEC＝70°，那么∠DAE＝（）A．10°B．15°C．25°D．30°6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（）①当AB＝BC时，它是矩形②AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC＝90°时，它是菱形④当AC＝BD时，它是正方形A．①②B．②C．②④D．③④7．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形8．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是菱形C．三个角都是直角的四边形是矩形D．一组邻边相等的平行四边形是正方形9．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形二．填空题10．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的角平分线BF交CD 于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．11．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，若AP＝1，PD＝，∠APB ＝135°，则正方形ABCD的面积为．12．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，F为AB边上点，满足CF⊥CP，AC＝3，3DP＝AB，则FP＝．三．解答题13．已知：如图，在矩形ABCD中，E是BC边一点，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD边于点F，连接BD．（1）求证：四边形EFDC是正方形；（2）若BE＝1，ED＝2，求BD的长．14．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG＝6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．15．观察下列图形的变化过程，解答以下问题：如图，在△ABC中，D为BC边上的一动点（D点不与B、C两点重合）．DE∥AC交AB 于E点，DF∥AB交AC于F点．（1）试探索AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；（2）在（1）的条件下，△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形．为什么？16．如图：已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：△BED≌△CFD；（2）若∠A＝90°，求证：四边形DF AE是正方形．17．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．（1）求证：∠CAB＝∠DAB；（2）若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形．18．如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F，交CD于点G．（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；（2）求证：AE＝BE+DG．19．在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，CD上，连结AE、AF．（1）如图1，过点E作EM⊥AF交AD于点M，求证：AF＝EM；（2）如图2，若AE平分∠BAF，求证：AF＝BE+DF．20．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证：AB＝FB．21．如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，BE⊥DF，垂足为E，BE交CD 于点G．（1）求证：BG＝DF；（2）求证：EF+EG＝CE．参考答案一．选择题1．解：过点E作MN∥AD，交AB于点M，CD于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，AD⊥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝4，∵MN∥AD，∴MN⊥AB，MN⊥CD，∵S△ABE＝AB•EM＝×4×EM＝2EM＝5，∴EM＝，∴EN＝AD﹣EM＝AB﹣EM＝4﹣＝，∴S△CDE＝CD•EN＝×4×＝3，故选：A．2．解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵AB＝BF＝DE，∴∠BAF＝∠BF A＝∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，∴AE＝AF，∴∠EAF＝180°﹣2×67.5°＝45°．故选：C．3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，在△ABE与△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∴∠ABE+∠BAO＝∠DAF+∠BAO＝90°，∴∠AOB＝90°，∵△ABE≌△DAF，∴S△ABE＝S△DAF，∴S△ABE﹣S△AOE＝S△DAF﹣S△AOE，即S△ABO＝S四边形OEDF＝1，∵OA＝1，∴BO＝2，∴AB＝＝＝，故选：C．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∵正方形ABCD的边长为2，∴BC＝2，在Rt△BOC中，BO2+CO2＝BC2，即2BO2＝22，解得BO＝，∵OE＝2CO，∴OE＝2，在Rt△BOE中，BE＝．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∠BCD＝90°，在△AED和△CED中，，∴△AED≌△CED（SAS），∴∠DAE＝∠ECD，又∵∠BEC＝70°，∴∠BCE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝90°﹣65°＝25°，∴∠DAE＝25°，故选：C．6．解：①若AB＝BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确；③若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误；故选：B．7．解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；B．对角线相等的四边形不一定是矩形，故原命题错误，不符合题意；C．有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故原命题正确，符合题意；D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；故选：C．8．解：A、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误，不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误，不符合题意；C、三个角都是直角的四边形是矩形，所以C选正确；符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误，不符合题意．故选：C．9．解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，说法错误，C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确；故选：D．二．填空题10．解：如图，作FH∥BC交BD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，∴OH＝OF＝1，FH＝，∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，∴AB＝BC＝OB＝2+．故答案为：2+．11．解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH 交DH的延长线于E，∴△APB≌△AHD，∠P AH＝90°，∴PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，∴PH＝AP＝，∠APH＝∠AHP＝45°，∴∠PHD＝90°，∴DH＝＝＝2，∵∠AHD＝135°，∴∠AHE＝45°，∵AE⊥DH，∴∠AHE＝∠HAE＝45°，∴AE＝EH，AH＝AE，∴AE＝EH＝，∴DE＝，∵AD2＝AE2+DE2＝13，∴正方形的面积为13，故答案为：13．12．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝CD＝AD，∠CBF＝∠CDP＝∠BCF+∠FCD＝90°，又∵CF⊥CP，∴∠DCP+∠FCD＝90°，∴∠BCF＝∠DCP，在△BCF和△DCP中，∴△BCF≌△DCP（AAS），∴BF＝DP，∵AC＝3，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴2AB2＝AC2＝32＝9∴AB＝，∴AD＝，∵3DP＝AB，∴DP＝，∴BF＝DP＝，∴AF＝AB﹣BF＝﹣＝，AP＝AD+DP＝+＝2，在Rt△AFP中，FP＝＝＝．故答案为：．三．解答题13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠C＝90°，∵EF∥DC，∴四边形FEDC为平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴四边形FEDC是菱形，又∵∠C＝90°，∴平行四边形FEDC是正方形；（2）∵四边形FEDC是正方形，∴∠CDE＝45°，∵，∴CE＝CD＝ED•sin45°＝2×＝2，∴BC＝BE+EC＝1+2＝3，∴BD2＝BC2+CD2＝32+22＝13，∴BD＝．14．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此；（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为，此时DG＝，∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．15．解：（1）当AD平分∠EAF时，四边形AEDF为菱形，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠EAF，∴∠EAD＝∠F AD，∴∠F AD＝∠FDA，∴AF＝DF，∴四边形AEDF为菱形；（2）当△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF为正方形，理由：由（1）知，四边形AEDF为菱形，∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF为正方形．16．证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵D是BC的中点，∴BD＝CD．∴△BED≌△CFD．（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°．∵∠A＝90°，∴四边形DF AE为矩形．∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF．∴四边形DF AE为正方形．17．（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，又∵AB⊥CD∴∠CAB＝∠DAB（等腰三角形的三线合一）；（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD＝90°，即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，∴四边形AEMF是矩形，又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形．18．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝4，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，∵AF平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴AE＝EF，设CE＝x，则BE＝4﹣x，AE＝EF＝8﹣4+x＝4+x，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，∴42+（4﹣x）2＝（4+x）2，解得：x＝1，∴CE＝1；（2）如图，延长CB到点M，使BM＝DG，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABM＝90°，AD＝AB，AB∥CD，∴∠AGD＝∠EAF+∠BAE，∵AF平分∠DAE，∴∠EAF＝∠F AD，∠AGD＝∠F AD+∠BAE，在△ABM和△ADG中，，∴△ABM≌△ADG（SAS），∴∠M＝∠AGD＝∠F AD+∠EAB，∠MAB＝∠F AD，∴∠M＝∠MAB+∠EAB＝∠MAE，∴AE＝ME＝BE+MB＝BE+DG．19．（1）证明：如图1，过M作MN⊥BC于N，∴∠MNC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠MNC＝∠C＝∠D＝90°，∴四边形MNCD是矩形，∴MN＝CD，∠AMN＝∠DMN＝90°，∵AD＝CD，∴MN＝AD，∵ME⊥AF，∴∠MAF+∠AME＝∠AME+∠NME＝90°，∴∠DAF＝∠EMN，在△DAF与△NME中，，∴△DAF≌△NME（ASA），∴AF＝EM；（2）证明：如图2，延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＝90°，AD＝AB，在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠DAF，AG＝AF，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE＝∠F AE，∴∠GAB+∠BAE＝∠DAF+∠EAF，即∠GAE＝∠DAE，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠GAE＝∠AEB，∴AG＝GE，∴AF＝GE，∵GE＝BG+BE＝DF+BE，∴AF＝DF+BE．20．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．21．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG＝∠DCB＝∠DCF＝90°，BC＝DC，∵BE⊥DF，∴∠CBG+∠F＝∠CDF+∠F，∴∠CBG＝∠CDF，在△CBG和△CDF中，，∴△CBG≌△CDF（ASA），∴BG＝DF；（2）如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，∵△CBG≌△CDF，∴CG＝CF，∠F＝∠CGB，∵∠MCG+∠DCE＝∠ECF+∠DCE＝90°，∴∠MCG＝∠ECF，在△MCG和△ECF中，，∴△MCG≌△ECF（ASA），∴MG＝EF，CM＝CE，∴△CME是等腰直角三角形，∴ME＝CE，又∵ME＝MG+EG＝EF+EG，∴EF+EG＝CE．。

2020届人教版八年级数学下册 18.2.3 正方形(2)同步练习(含解析)

18.2.3正方形（2）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点1.正方形的判定方法:(１)有一组邻边相等的矩形是正方形;(２)有一个角是直角的菱形是正方形;(３)对角线互相垂直的矩形是正方形;(４)对角线相等的菱形是正方形．2.判定一个四边形是正方形,一般有两种思路:一种是先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等;另一种是先证明四边形是矩形,再证它有一组邻边相等或对角线互相垂直．基础知识和能力拓展训练一．选择题1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形2．下列命题，其中正确命题的个数为（）（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BDAB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④5．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF 分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形 C．矩形 D．无法确定6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④8．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（）时，则四边形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．810．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．40二．填空题11．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使其成为正方形（只填一个即可）12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 时，四边形MENF是正方形．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是．①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．15．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD中的哪两个（填代号）．16．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为．17．如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是．三．解答题18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）20．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE=BF=CG=DH=2（1）四边形EFGH的形状是；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F 在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？答案与试题解析一．选择题1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．解：A、正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；B、正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；C、正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；D、不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形；故选D．2．下列命题，其中正确命题的个数为（）（1）等边三角形是中心对称图形；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）两条对角线互相垂直的四边形是菱形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．解：（1）因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；（3）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；（4）两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．故选：A．3．已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BDAB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠CC．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A、不能，只能判定为矩形；B、不能，只能判定为平行四边形；C、能；D、不能，只能判定为菱形．故选：C．4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．故选：B．5．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC的中点，连接AF与BE、CE与DF 分别交于点M、N两点，则四边形EMFN是（）A．正方形B．菱形 C．矩形 D．无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形EMFN是矩形，进而利用等腰直角三角形的性质得出AM=ME，BM=MF=AM，则ME=MF，进而求出即可．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠EAB=∠ABF=∠BCD=∠CDA=90°，又∵E，F分别为AD，BC中点，AD=2AB，∴AE∥BF，ED∥CF，AE=BF=DE=CF=AB=DC，∴∠ABE=∠AEB=∠DEC=∠DCE=∠DFC=45°，∴∠BEN=90°，又∵DE BF，AE FC，∴四边形EMFN是矩形，∴AM⊥BE，BM⊥AF，∴AM=ME，BM=MF=AM，∴ME=MF，∴四边形EMFN是正方形．故选：A．6．如图所示，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动，下列说法错误的是（）A．四边形ACDF是平行四边形B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形D．四边形ACDF不可能是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法一一判断即可．解：A、正确．∵∠ACB=∠EFD=30°，∴AC∥DF，∵AC=DF，∴四边形AFDC是平行四边形．故正确．B、错误．当E是BC中点时，无法证明∠ACD=90°，故错误．C、正确．B、E重合时，易证FA=FD，∵四边形AFDC是平行四边形，∴四边形AFDC是菱形，D、正确．当四边相等时，∠AFD=60°，∠FAC=120°，∴四边形AFDC不可能是正方形．故选B．7．从①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．解：与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为③，故选C．8．如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB=（）时，则四边形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】由题意可得四边形AECF为一矩形，要使四边形AECF是正方形，只需添加一条件，使其邻边相等即可．解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，∴∠ECF=90°．∵MN∥BC，∴∠FEC=∠ECH，∵∠ECH=∠ECO，∴∠FEC=∠ECO，∴OE=OC．同理OC=OF，∴OE=OF，∵点O运动到AC的中点，∴OA=OC，∴四边形AECF为一矩形，若∠ACB=90°，则CE=CF，∴四边形AECF为正方形．故选：D．9．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．8【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠FCD+∠BCD=180°，∴∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，∴DE=4．故选C．10．如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的面积是（）A．30 B．34 C．36 D．40【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出四边形EFGH是正方形，由边长为8，AE=BF=CG=DH=5，可得AH=3，由勾股定理得EH，得正方形EFGH的面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB=BC=CD=DA=8，AE=BF=CG=DH=5，∴EH=FE=GF=GH==，∴四边形EFGH的面积是：×=34，故选B．二．填空题11．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件AB=BC（答案不唯一），使其成为正方形（只填一个即可）【分析】此题是一道开放型的题目答案不唯一，证出四边形ABCD是菱形，由正方形的判定方法即可得出结论．解：添加条件：AB=BC，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB=BC（答案不唯一）．12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是①③④．【分析】由矩形、菱形、正方形的判定方法对各个选项进行判断即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是正方形，①正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD，AB⊥BD，∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；∵四边形ABCD是平行四边形，OB=OC，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，又OB⊥OC，即对角线互相垂直，∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，又∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；故答案为：①③④．13．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB：AD= 1：2 时，四边形MENF是正方形．【分析】首先得出四边形MENF是平行四边形，再求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM，∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四边形MENF是平行四边形，∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四边形MENF是正方形，即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，故答案为：1：2．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是①②③．①BC=AC；②CF⊥BF；③BD=DF；④AC=BF．【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC 进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形；当①BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是正方形．故选项①正确；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．故答案为：①②③．15．四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，为使四边形ABCD为正方形，还需要满足下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD中的哪两个①②或①④（填代号）．【分析】因为AD∥BC，AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件．解：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，若AB=AD，则四边形ABCD为正方形；若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形．故填：①②或①④．16．已知如图，△ABC为等腰三角形，D为CB延长线上一点，连AD且∠DAC=45°，BD=1，CB=4，则AC长为2．【分析】作辅助线，构建正方形AHGF，则AF=GH=GF，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，DG=x﹣1，在Rt△DGC中，利用勾股定理列方程可求得x的值，最后利用勾股定理计算AC的长即可．解：过A作AE⊥DC于E，将△AEC沿AC翻折得△AFC，将△ADE沿AD翻折得△ADH，延长FC、HD交于G，则∠EAC=∠CAF，∠EAD=∠HAD，∠H=∠F=90°，∴∠EAC+∠EAD=∠CAF+∠HAD，∵∠DAC=45°，即∠EAC+∠EAD=45°，∴∠HAF=90°，∴四边形AHGF是矩形，∵AH=AE，AE=AF，∴AH=AF，∴四边形AHGF是正方形，∴AF=GH=GF，∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=2，由折叠得：FC=EC=2，HD=DE=3，设GC=x，则FG=AF=HG=x+2，∴DG=x﹣1，在Rt△DGC中，DC2=DG2+GC2，52=（x﹣1）2+x2，解得：x1=4，x2=﹣3（舍），∴AF=x+2=4+2=6，Rt△ACF中，AC==2．故答案为：2．17．如图所示，多边形ABCFDE中，AB=8，BC=12，ED+DF=13，AE=CF，则多边形ABCFDE的面积是57.75 ．【分析】运用拼图的方法，构造一个正方形，用大正方形的面积﹣小正方形的面积，即可得出所求多边形的面积．解：运用拼图的方法，构造一个正方形，如图所示：大正方形的边长为12+8=20，小正方形的边长ED+DF=13，∴多边形ABCFDE的面积=（大正方形的面积﹣小正方形面积）=（202﹣132）=57.75．故答案为：57.75．三．解答题18．已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．【分析】先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的矩形是正方形．证明：∵BF∥CE，CF∥BE∴四边形BECF是平行四边形，又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB∴∠EBA=∠ECB=45°∴∠BEC=90°，BE=CE∴四边形BECF是正方形．19．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，且DE⊥BC 于点E，DF⊥AC于点F，那么四边形CEDF是正方形吗？请说明理由（提示：可作DG⊥AB于点G）【分析】过D作DG垂直AB于点G，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF为矩形，由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DG=DF，同理得到DE=DG，等量代换得到DE=DF，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证．证明：如图，过D作DG⊥AB，交AB于点G，∵∠C=∠DEC=∠DFC=90°，∴四边形CEDF为矩形，∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF=DG；∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DE=DG，∴DE=DF，∴四边形CEDF为正方形．20．如图所示，已知正方形ABCD的边长是7，AE=BF=CG=DH=2（1）四边形EFGH的形状是正方形；（2）求出四边形EFGH的面积；（3）求出四边形EFGH的周长（结果精确到十分位，参考数值：≈1.703，）【分析】（1）根据正方形性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=7，求出AH=DG=CF=BE=5，证△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，推出EH=EF=FG=HG，∠AHE=∠DGH，证出∠EHG=90°，即可得出答案．（2）在Rt△AEH中，由勾股定理求出EH=，根据正方形面积公式求出即可．（3）四边形EFGH的周长是×4，求出即可．解：（1）四边形EFGH是正方形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=7，∵AE=BF=CG=DH=2，∴AH=DG=CF=BE=5，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE（SAS），∴EH=EF=FG=HG，∠AHE=∠DGH，∵∠A=∠D=90°，∴∠DGH+∠DHG=90°，∴∠AHE+∠DHG=90°，∴∠EHG=180°﹣90°=90°，∴四边形EFGH是正方形，故答案为：正方形．（2）在Rt△AEH中，AE=2，AH=5，由勾股定理得：EH==，∵四边形EFGH是正方形，∴EF=FG=GH=EH=，∴四边形EFGH的面积是（）2=29．（3）四边形EFGH的周长是×4=4≈4×5.39≈21.6．21．如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且CF=AE；（1）试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由．（2）当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，又因为CF=AE，BE=EC=BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45度．解：（1）四边形BECF是菱形．∵EF垂直平分BC，∴BF=FC，BE=EC，∴∠3=∠1，∵∠ACB=90°，∴∠3+∠4=90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠4，∴EC=AE，∴BE=AE，∵CF=AE，∴BE=EC=CF=BF，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠1=45°，∴∠EBF=2∠A=90°，∴菱形BECF是正方形．22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F 在DE的延长线上，且AF=CE．（1）四边形ACEF是平行四边形吗？说明理由；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？请说明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？【分析】（1）已知AF=EC，只需证明AF∥EC即可．DE垂直平分BC，易知DE是△ABC的中位线，则FE∥AC，BE=EA=CE=AF；因此△AFE、△AEC都是等腰三角形，可得∠F=∠5=∠1=∠2，即∠FAE=∠AEC，由此可证得AF∥EC；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE，又∵CE=AB，∴使得AB=2AC即可，根据AB、AC即可求得∠B的值；（3）通过已知在△ABC中，∠ACB=90°，推出∠ACE＜90°，不能为直角，进行说明．解：（1）四边形ACEF是平行四边形；∵DE垂直平分BC，∴D为BC的中点，ED⊥BC，又∵AC⊥BC，∴ED∥AC，∴E为AB中点，∴ED是△ABC的中位线．∴BE=AE，FD∥AC．∴BD=CD，∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，∴CE=AE=AF．∴∠F=∠5=∠1=∠2．∴∠FAE=∠AEC．∴AF∥EC．又∵AF=EC，∴四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF为菱形；理由：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，由（1）知CE=AB，∴AC=CE又∵四边形ACEF为平行四边形∴四边形ACEF为菱形；（3）四边形ACEF不可能是正方形，∵∠ACB=90°，∴∠ACE＜∠ACB，即∠ACE＜90°，不能为直角，所以四边形ACEF不可能是正方形．。

2020-2021学年人教版八年级下册数学 18.2.3正方形同步测试(含解析)

18.2.3正方形同步测试一．选择题1．下列对正方形的描述错误的是（）A．正方形的四个角都是直角B．正方形的对角线互相垂直C．对角线相等的平行四边形是正方形D．邻边相等的矩形是正方形2．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PE⊥BC，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则PE+PQ的值是（）A．B．3C．D．3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．4﹣2B．3﹣4C．1D．4．如图，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝3，则小正方形边长为（）A．6B．5C．D．5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A 以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.56．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．4：9B．2：3C．1：2D．1：7．如图，在正方形ABCD所在平面内求一点P，使点P与正方形ABCD的任意两个顶点构成△P AB，△PBC，△P AD，△PCD均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）A．8个B．9个C．10个D．11个8．如图，正方形ABCD的边长为1，取AB中点E，取BC中点F，连接DE，AF，DE与AF交于点O．连接OC，则OC＝（）A．1B．C．D．9．如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，OE ＝2，若CE•DE＝4，则正方形的面积为（）A．5B．6C．7D．810．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，有以下四个结论：①BE+DF＝EF；②BM2+DN2＝MN2③若AB＝3，BE＝1，则BN＝3；④若CE＝2，则DN＝，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．一个正方形的对角线长为2，则其面积为．12．在正方形ABCD中，AB＝8，点P是正方形边上一点，若PD＝3AP，则AP的长为．13．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝5，BE＝12，则阴影部分的面积是．14．如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．15．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为．三．解答题16．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形．求证：CE ＝CF．17．如图，已知四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形．求证：∠CBF＝∠CDG．18．如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，点D为边BC上一动点，四边形ADEG 是正方形，连接GC，正方形对角线AE交BC于点F．（1）求证：△ABD≌△ACG；（2）若BD＝4，求AE的值；（3）若DF＝5，求BD的值．参考答案一．选择题1．解：A、正方形的四个角都是直角，所以选项A描述正确；B、正方形的对角线互相垂直，所以选项B描述正确；C、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项C描述错误；D、邻边相等的矩形是正方形，所以选项D描述正确；故选：C．2．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，∠B＝90°．∵PE⊥BC，PQ⊥AB，∴∠PQB＝∠PEB＝90°．∴∠PQB＝∠PEB＝∠B＝90°．∴四边形PQBE为矩形．∴PE＝BQ．∵PQ⊥AB，∠CAB＝45°，∴△P AQ为等腰三角形．∴PQ＝AQ．∴PE+PQ＝BQ+AQ＝AB＝3．故选：B．3．解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝4，∴BE＝BD﹣DE＝4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BE＝×（4﹣4）＝4﹣2．故选：A．4．解：在△BEF与△CFD中，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，∴＝，∵BF＝3，BC＝12，∴CF＝BC﹣BF＝12﹣3＝9，又∵DF＝＝＝15，∴＝，∴EF＝，故选：C．5．解：如图，当点M在BC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM＝CE，由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，所以t＝3.5（秒）；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″＝CE，由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，解得t＝6.5（秒）．所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．故选：D．6．解：如图，设大正方形的边长为x，根据图形可得：∵，∴＝，∴＝，∴S1＝S正方形ABCD，∴S1＝x2，∵＝，∴＝，∴S2＝S正方形ABCD，∴S2＝x2，∴S1：S2＝x2：x2＝4：9，故选：A．7．解：分为三种情况：①正方形对角线的交点P1；②作AD边的垂直平分线MN，以点D为圆心，以DC为半径画弧，交MN于点P2和P3；以点C为圆心，以DC为半径画弧，交MN于点P4和P5，如图：③同理，作AB边的垂直平分线，分别以点A和点B为圆心，AD为半径画弧，与该垂直平分线也有4个交点．综上，符合题意的所有点P的个数为：1+4+4＝9（个）．故选：B．8．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠DAE＝90°，在△ABF和△DAE中，，∴△ADE≌△BAF（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAD＝∠DAF+∠DAO＝90°，∴∠ADE+∠DAO＝90°，∴∠AOD＝90°，∵E、F分别为AB，BC的中点，∴AE＝AB，BF＝BC，∵AB＝BC，∴AE＝BF，过C作CG⊥DE于G，∵∠OAD+∠ADO＝∠ADO+∠CDG＝90°，∴∠OAD＝∠CDG，在△ADO和△DCG中，，∴△ADO≌△DCG（AAS），∴AO＝DG，∵tan∠ADE＝＝＝，∴DO＝2AO＝2DG，∴DG＝OG，∴CG为DO的垂直平分线，∴OC＝DC＝1，故选：A．9．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，∵∠CED＝90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON＝90°，∵∠COM+∠DOM＝∠DON+∠DOM，∴∠COM＝∠DON，∵四边形ABCD是正方形，∴OC＝OD，在△COM和△DON中，，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM＝ON，CM＝DN，∴四边形OMEN是正方形，∵OE＝2，∴2NE2＝OE2＝（2）2＝8，∴NE＝ON＝2，∵DE+CE＝DE+EM+MC＝DE+EM+DN＝EN+EM＝2EN＝4，设DE＝a，CE＝b，∴a+b＝4，∵CE•DE＝4，CD2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×4＝8，∴S正方形ABCD＝8．故选：D．10．解：①延长CB，截取BI＝DF，连接AI，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABE＝∠ADC＝90°，∴∠ABI＝90°，在△ADF和△ABI中，，∴△ADF≌△ABI（SAS），∴∠BAI＝∠DAF，AI＝AF，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠BAI+∠BAE＝45°，即∠EAI＝45°，∴∠EAI＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AIE≌△AFE（SAS），∴IE＝FE，即DE+BF＝EF，故①正确；②过B作BD的垂线，截取BH＝ND，连接AH，HM，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠ABH＝45°＝∠ADN，在△ADN和△ABH中，，∴△ADN≌△ABH（SAS），∴∠DAN＝∠BAH，AN＝AH，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAN+∠BAM＝∠BAH+∠BAM＝45°，∴∠MAN＝∠HAM＝45°，在△AHM和△ANM中，，∴△AHM≌△ANM（SAS），∴MH＝MN，在Rt△BHM中，HM2＝BH2+BM2，∴MN2＝BM2+DN2，故②正确；③连接AC，过E作EH⊥AC于点H，∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，∴∠ACB＝∠BAC＝∠ADB＝∠CAD＝45°，AB＝BC＝3，∴∠HEC＝∠HCE＝45°，∵BE＝1，∴CE＝2，∴EH＝，∴BE≠HE，∵∠BAE≠∠CAE，∵∠EAF＝∠CAD＝45°，∴∠BAE≠∠DAF，∴∠EAF+∠BAE≠∠ADN+∠DAF，∵∠BAN＝∠EAF+∠BAE，∠BNA＝≠∠ADN+∠DAF，∴∠BAN≠∠BNA，∴AB≠BN，∵AB＝3，∴BN≠3，故③错误；④过点D作DG⊥BD过N作NG∥BC，与DG交于点G，连接CG，与AF的延长线交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°∴∠CDG＝∠ADC＝45°，NG⊥CD，∴∠DNG＝∠DGN＝45°，∴DN＝DG，∵∠ADN＝∠CDG＝45°，∴△ADN≌△CDG（SAS），∴∠DAN＝∠DCG，∵∠DAN+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CFH，∴∠HCF+∠CFH＝90°，∴∠CHF＝90°，∵∠CBD＝∠EAF＝45°，∴A、B、E、N四点共圆，∴∠ABE+∠ANE＝180°，∴∠ANE＝90°＝∠CHF，∴EN∥CG，∴四边形CENG为平行四边形，∴NG＝EC＝2，∴DN＝CG•sin45°＝2×＝，故④正确，故选：C．二．填空题11．解：方法一：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝BO＝AC＝1，∠AOB＝90°，由勾股定理得，AB＝，S正＝（）2＝2．方法二：因为正方形的对角线长为2，所以面积为：2×2＝2．故答案为：2．12．解：当点P在AD上时，∵PD＝3AP，PD+AP＝8，∴AP＝2，当点P在AB上时，∵PD2＝AP2+AD2，∴9AP2＝AP2+64，∴AP＝2，综上所述：AP＝2或2，故答案为2或2．13．解：在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝12，由勾股定理得：AB＝＝13，∴正方形的面积是13×13＝169，∵△AEB的面积是AE×BE＝×5×12＝30，∴阴影部分的面积是169﹣30＝139，故答案为：139．14．解：连接AC，BD交于点O，∵B、E、F、D四点在同一条直线上，∴E，F在BD上，∵正方形AECF的面积为50cm2，∴AC2＝50，AC＝10cm，∵菱形ABCD的面积为120cm2，∴＝120，BD＝24cm，所以菱形的边长AB＝＝13cm．故答案为：13．15．解：连接MC，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，∴四边形MECF为矩形，∴EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝×6＝3，∴EF的最小值为3；故答案为：3．三．解答题16．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，∵△AEF是等边三角形，∴AF＝AE，在Rt△ADF和Rt△ABE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL），∴DF＝BE，∴CE＝CF．17．证明：∵四边形ABCD和四边形EFCG都是正方形，∴CB＝CD，CF＝CG，∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF+∠DCF＝∠DCF+∠DCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG，在△BCF和△DCG中，，∴△BCF≌△DCG（SAS），∴∠CBF＝∠CDG．18．（1）证明：∵四边形ADEG是正方形，∴AD＝AG，∠DAG＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAG，∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAG，∴∠BAD＝∠CAG，在△ABD和△ACG中，，∴△ABD≌△ACG（SAS）．（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，∴∠B＝∠ACB＝45°，在Rt△ABC中，∴BC＝＝＝12，∵BD＝4，∴DC＝BC﹣BD＝12﹣4＝8，由（1）知△ABD≌△ACG，∴GC＝BD＝4，∠ACG＝∠B＝45°，∴∠ACB+∠ACG＝45°+45°＝90°，连接DG，在Rt△DCG中，DG＝＝＝4，∵四边形ADEG是正方形，∴AE＝DG，∴AE＝4．（3）∵四边形ADEG是正方形，∴AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠DAE＝∠AED＝45°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠F AC＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°，由（1）知△ABD≌△ACG，∴∠BAD＝∠CAG，AD＝AG，BD＝GC，∴∠CAG+∠F AC＝∠BAD+∠F AC＝45°，∴∠F AG＝45°，∴∠F AG＝∠F AD，在△DAF和△GAF中，，∴△DAF≌△GAF（SAS），∴GF＝DF，∵DF＝5，∴GH＝5，设BD＝x，则FC＝12﹣5﹣x＝7﹣x，由（2）知∠FCG＝90°，在Rt△FCG中，GC2+FC2＝FG2，∴x2+（7﹣x）2＝52，∴x1＝3，x2＝4，∴BD的值为3或4．。

人教版八年级数学下册正方形知识点及同步练习、含答案

学科：数学教学内容：正方形【学习目标】1．掌握正方形的定义、性质和判定方法．2．能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系． 3．能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明．【主体知识归纳】1．正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 3．正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．【基础知识精讲】1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形矩形平行四边形并且有一个角是直角的菱形四边形有一组邻边相等的平行⎭⎬⎫)()2()()1(正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．2．正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．【例题精讲】［例1］如图4－50，已知矩形ABCD 中，F 为CD 的中点，在BC 上有一点E ，使AE ＝DC ＋CE ，AF 平分∠EAD ．求证：矩形ABCD 是正方形．图4—50剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AE＝DC＋CE，容易想到若能证明AE＝AD＋CE便可证得AD＝DC，由于AF平分∠EAD，因此可在AE上截取AG＝AD，再证GE＝CE，就可得出要证的结论．证明：在AE上截取AG＝AD，连结FG、FE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠C＝90°．∵AD＝AG，∠DAF＝∠GAF，AF＝AF∴△ADF≌△AGF，∴DF＝GF，∠D＝∠AGF＝90°．∵DF＝CF，∴GF＝CF．∵∠FGE＝∠C＝90°，FE＝FE，∴Rt△GFE≌Rt△CFE．∴GE＝CE，∴AD＋CE＝AE．又DC＋CE＝AE，∴AD＝DC．∴矩形ABCD是正方形．说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角．［例2］如图4－51，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F，则OE＝OF．图4—51对上述命题的证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO．∴∠3＋∠2＝90°，∵AG⊥BE，∴∠1＋∠3＝90°．∴∠1＝∠2，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图4－52），结论“OE＝OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图4—52剖析：可仿上述的证明，证△BOE≌△AOF．解：结论OE＝OF仍然成立，证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO，∴∠OFA＋∠FAE＝90°又∵AG⊥EB，∴∠OEB＋∠EAF＝90°，∴∠OEB＝∠OFA，∴△BOE≌△AOF，∴OE＝OF．［例3］有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来．图4—53剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的2倍，而正方形的对角线是边长的2倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形．答案：如图4－53，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′为要求的正方形．【同步达纲练习】1．选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）①四边都相等的四边形是正方形②对角线互相垂直的平行四边形是正方形③四角都相等的四边形是正方形④对角线相等的菱形是正方形A．1 B．2 C．3 D．4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相垂直平分B．对角线相等C．邻边相等D．每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A．1∶1 B．2∶1 C．1∶2 D．2∶1（4）以等边△ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则①∠ABD＝105°，②∠ACD＝150°，③∠DAE＝30°，④△ABE≌△ACD，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且AP＝BQ＝CR＝DS ＝1，AB＝5，那么四边形PQRS的面积等于（）A．17 B．16 C．15 D．9（6）如图4－54，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF等于（）图4—54A．7 B．5 C．4 D．3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若△AEF是边长为2的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A．213+B．213-C．3 D．2（8）如图4－55，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠MCE＝35°，那么∠ANM等于（）图4—55A．45°B．55°C．65°D．75°2．填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_____，一条对角线长是_____．（2）已知正方形的对角线长为22，则此正方形的周长为_____，面积为_____．（3）在正方形ABCD 中，两条对角线相交于O ，∠BAC 的平分线交BD 于E ，若正方形ABCD 的周长是16 cm ，则DE ＝_____cm ．（4）在正方形ABCD 的边BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，那么∠AFC 等于_____度．3．如图4－56，已知正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE ＝CF ．图4—56（1）求证：△BCE ≌△DCF ；（2）若∠BEC ＝60°，求∠EFD 的度数．4．已知：如图4－57，在正方形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，EB ＝21BC ，如果F 是AB 的中点，请你在正方形ABCD 上找一点，与F 点连结成线段，并证明它和AE 相等．图4—575．以△ABC 的AB 、AC 为边，向三角形外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA 交EF 于M 点．（1）求证：EM ＝FM ；（2）若使AM ＝21EF ，则△ABC 必须满足什么条件呢？图4—586．如图4－58，已知正方形ABCD 中，M 、F 分别在边AB 、AD 上，且MB ＝FD ，E 是AB 延长线上一点，MN ⊥DM ，MN 与∠CBE 的平分线相交于N ．求证：DM ＝MN ．7．如图4－59，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG．图4—59求证：AF＝DB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由．【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案．（在给出如图4－60的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图4—60参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2．（1）4 42（2）8 4 （3）4 （4）112.53．（1）略（2）15°4．连结CF，可证△ABE≌△CBF或连结DF，让△ABE≌△DAF。

八年级数学下册《5.3 正方形(第2课时)》同步练习浙教版(2021年整理)

浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册《5.3 正方形（第2课时）》同步练习（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册《5.3 正方形（第2课时）》同步练习（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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5.3 正方形（第2课时)课堂笔记正方形的个角都是直角，四条边;正方形的对角线 ,并且，每条对角线平分一组；正方形既是对称图形，又是对称图形,有条对称轴。

课时训练A组基础训练1. 如图，已知正方形ABCD，AC和BD交于点O，下列说法错误的是( )A。

AC=BD B。

OA≠OBC。

OA=OB，OC=OD D。

∠BAO=45°2. 如图,正方形ABCD中，∠DAF=25°，AF交对角线BD于点E,那么∠BEC等于（A． 45° B． 60° C． 70° D． 75°3。

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F，连结EF．给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP;⑤PD=2EC．其中正确结论的序号是( )A．①②③④ B．①②④⑤C．②③④⑤ D．①③④⑤4. 如图所示，正方形ABCD 的对角线相交于点O,点E 是DC 上任意一点，EG ⊥BD 于G,EF ⊥AC 于F ，若AC=10，则EG+EF 的值为（）A. 10B. 4C. 8D. 55。

2019-2020学年度最新浙教版八年级数学下册《正方形》单元考点练习及答案解析一精品试卷

5．3 正方形(二)(第1题)1．如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向内作等边三角形ABE ，连结EC ，则∠BEC 的度数为(D)A ．45°B ．60°C ．67.5°D ．75°2．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC 和CD 边上的中点，则S △AEF ＝(B)A.52B.32 C ．2 D.3553．有下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤三角形．其中一定能够找到一点，使该点到各边距离都相等的是(D)A. ①②B. ②③④⑤C. ②④D. ②④⑤4．在正方形ABCD 中，对角线长为2 cm ，E 是AB 边上任意一点，则点E 到两条对角线的距离之和是(B)A. 22cmB. 1 cmC. 2 cmD. 2cm5．已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝16 cm，则DO＝__8__cm，BO＝__8__cm，∠OCD＝__45°__．(第6题)6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是__1__，△BPD的面积是__3－1__．(第7题)7．如图，在正方形ABCD中，G为CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于点H.求证：(1)△BCG≌△DCE.(2)BH⊥DE.【解】(1)∵四边形ABCD，四边形GCEF都是正方形，∴BC＝DC，GC＝EC，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE(SAS)．(2)由(1)知，△BCG≌△DCE，∴∠GBC＝∠EDC.又∵∠BGC＝∠DGH，∴∠DHG＝∠BCG＝90°，即BH ⊥DE.8．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连结AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠ACD ，交BD 于点E ，求DE 的长．(第8题)【解】过点E 作EF ⊥DC 于点F. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ODC ＝45°，AC ⊥BD. ∵CE 平分∠ACD ，EF ⊥DC ，∴CO ＝CF ，∠DEF ＝45°＝∠ODC ，∴EF ＝DF. ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AC ＝ 2.∴CO ＝12AC ＝22.∴CF ＝CO ＝22.∴EF ＝DF ＝DC －CF ＝1－22.∴DE ＝EF 2＋DF 2＝2－1.9．若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为(B)A. 6B. 8C. 10D. 12【解】设正方形的边长为1，则矩形的长为12，该矩形的宽为x ，根据题意，得 x ＋12＋x ＝1，解得x ＝14.∴k ＝2＋2＋1÷14＝8.(第9题) (第10题)10．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为(1，3)，则点C 的坐标为(－3，1)．【解】过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E. ∵四边形OABC 是正方形，∴OA ＝OC ，∠AOC ＝90°， ∴∠COE ＋∠AOD ＝90°. 又∵∠OAD ＋∠AOD ＝90°， ∴∠OAD ＝∠COE. 在△AOD 和△OCE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠OAD ＝∠COE ，∠ADO ＝∠OEC ＝90°，AO ＝OC ，∴△AOD ≌△OCE(AAS)．∴OE ＝AD ＝3，CE ＝OD ＝1. ∵点C 在第二象限， ∴点C 的坐标为(－3，1)．(第11题)11．如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连结BE ，FE ，则∠EBF 的度数是45°．【解】过点E 作HI ∥BC ，分别交AB ，CD 于点H ，I ，则∠BHE ＝∠EIF ＝90°.∵E 是BF 的垂直平分线EM 上的点， ∴BE ＝EF.∵E 是正方形对角线AC 上的点，即E 是∠BCD 的平分线上一点， ∴点E 到BC 和CD 的距离相等，∴BH ＝EI. 在Rt △BHE 和Rt △EIF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝EF ，BH ＝EI ，∴Rt △BHE ≌Rt △EIF(HL)． ∴∠HBE ＝∠IEF. ∵∠HBE ＋∠HEB ＝90°， ∴∠IEF ＋∠HEB ＝90°， ∴∠BEF ＝90°. 又∵BE ＝EF ，∴∠EBF ＝∠EFB ＝45°.12．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为BC 边上任意一点(可与点B ，C 重合)，分别过点B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别为B ′，C ′，D ′，求BB ′＋CC ′＋DD ′的最大值与最小值．(第12题) (第12题解) 【解】如解图，连结AC ，DP. 由题意，得S △ACD ＝S △ADP ＝12AP ·DD ′.∵S △ABP ＋S △ACP ＋S △ACD ＝1，∴12AP ·BB ′＋12AP ·CC ′＋12AP ·DD ′＝1， ∴BB ′＋CC ′＋DD ′＝2AP.易知1≤AP ≤2(当点P 与点B 重合时，AP ＝1；当点P 与点C 重合时，AP ＝2)，∴2≤BB ′＋CC ′＋DD ′≤2.即BB ′＋CC ′＋DD ′的最大值为2，最小值为 2.(第13题)13．如图，正方形ABCD的周长为40 m，甲、乙两人分别从A，B 同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55 m，乙按顺时针方向每分钟行30 m.(1)出发几分钟后，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇．(2)如果用记号(a，b)表示两人走a(min)，并相遇b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号是多少？【解】(1)设出发x(min)后，甲、乙第y次相遇(y是正整数)，则有：(55＋30)x＝40(y－1)＋10，即85x＝40y－30，17x＝8y－6，∴y＝17x＋68＝2x＋x＋68.∵当甲、乙都在顶点处时，甲、乙的路程都必须为10的倍数，即55x和30x都为10的倍数，∴x为2的倍数．又∵y是正整数，∴x最小为2.∴出发2 min后，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇．(2)∵当甲、乙处在正方形的两个相对顶点位置时，他们相差20 m，∴(55＋30)a＝40(b－1)＋10＋20，即85a＝40b－10，17a＝8b－2，∴b＝17a＋28＝2a＋a＋28.由(1)知a为2的倍数，且b为整数，∴a最小为6.当a＝6时，b＝13，∴对应的记号为(6，13)．。

2021年人教版数学八年级下册18.2.3 《正方形》同步练习(含答案)

人教版数学八年级下册18.2.3 《正方形》同步练习一、选择题1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）A.对角线相等B.对角线互相垂直C.对角线互相平分D.对角线平分一组对角2.如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=( )A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3.如图,将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形.若拿掉边长为2b的小正方形后,再将剩下的三块拼成一块矩形,则这块矩形较长的边长为 ( )A.3a+2bB.3a+4bC.6a+2bD.6a+4b4.下列说法中，错误的是（）A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C．四个角都相等的四边形是矩形D．邻边相等的菱形是正方形5.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）A.选①②B.选②③C.选①③D.选②④6.如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB=4，AE=1，则BH的长为( )A.1；B.2；C.3；D.；7.正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕C点顺时针方向旋转90°后，A点的坐标为（）A.（，0）B.（0，7）C.（，1）D.（7，0）8.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD度数是（）A.75°B.60°C.54°D.67.5°9.顶点为A（6，6），B（－4，3），C（－1，－7），D（9，－4）的正方形在第一象限的面积是（）A.25B.36C.49D.3010.如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC＋PE的和最小，则这个最小值为（）A.4B.2C.2D.2二、填空题11.若正方形的面积是9，则它的对角线长是 .12.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为和 .（只写一组）13.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．14.如图所示，正方形ABCD的周长为8cm，顺次连结正方形ABCD各边的中点，得到正方形EFGH，则EFGH的周长等于_____cm，面积等于______cm2．15.如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为．三、解答题16.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD的延长线上，且BE=DF．（1）求∠AEF的度数；（2）如果∠AEB=75°，AB=2，求△FEC的面积．17.如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.求证：DE=BF.18.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分别是求M、N（1）求证：AE=MN；（2）若AE=2，∠DAE=30°，求正方形的边长．19.如图,在正方形ABCD中,BC=2,E是对角线BD上的一点,且BE=AB.求△EBC的面积．20.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面积．参考答案1.C2.A3.A4.D5.B6.C；7.D8.B9.B10.A11.答案为：312.答案为：（1，0）和（1，1）；13.答案为：6514.答案为：；215.答案为．16.17.证明：∵∠FAB＋∠BAE=90°，∠DAE＋∠BAE=90°，∴∠FAB=∠DAE，∵∠AB=AD，∠ABF=∠ADE，∴△AFB≌△ADE，∴DE=BF.18.（1）证明：连接EC．∵四边形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，∴四边形EMCN为矩形．∴MN=CE．又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABE=∠CBE．在△ABE和△CBE中∵，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴AE=EC．∴AE=MN．（2）解：过点E作EF⊥AD于点F，∵AE=2，∠DAE=30°，∴EF=AE=1，AF=AE•cos30°=2×=．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠EDF=45°，∴DF=EF=1，∴AD=AF+DF=+1，即正方形的边长为+1．19.解：作EF⊥BC于F，如图所示：则∠EFB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠DAB=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠DBC=0.5∠ABC=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BF，∵BE=AB，∴BE=BC=2，∴EF=BF=BE=，∴△EBC的面积=0.5BC•EF=0.5×2×=．20.解：。

华师大版八年级数学下册：19.3.2《正方形的判定与性质》同步训练(含答案)

19.3.2正方形的判定与性质农安县合隆中学徐亚惠一．选择题（共5小题）1．下列说法错误的是（）A．有一个角为直角的菱形是正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形2．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）A．1个B．2个C．4个D．无穷多个3．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A．3 B．2 C．4 D．84．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm5．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）A．40 B．25 C．26 D．36二．填空题（共4小题）6．现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是_________（填写图形的形状）（如图），它的一边长是_________．7．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为_________．8．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是_________．9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是_________A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④三．解答题（共11小题）10．如图，已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形．11．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．12．如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．13．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．14．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．15．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC 上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．16．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、ND分别交l2于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．17．在正方形ABCD各边上一次截取AE=BF=CG=DH，连接EF，FG，GH，HE．试问四边形EFGH是否是正方形？18．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．（1）求证：AF﹣BF=EF；（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；（3）若AB=2，BP=1，求四边形EFGH的面积．19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．19.3.2正方形的判定与性质参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．下列说法错误的是（）A．有一个角为直角的菱形是正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形考点：正方形的判定．分析：正方形：四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等，且互相垂直平分的平行四边形；菱形：四条边都相等，对角线互相垂直平分的平行四边形；矩形：四个角都相等，对角线相等的平行四边形．解答：解：A、有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形．故本选项说法正确；B、有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角．则该矩形为正方形．故本选项说法正确；C、对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形．故本选项说法正确；D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形．故本选项说法错误；故选D．点评：本题考查了正方形的判定．正方形集矩形、菱形的性质于一身，是特殊的平行四边形．2．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）A．1个B．2个C．4个D．无穷多个考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定．专题：计算题．分析：在正方形四边上任意取点E、F、G、H，若能证明四边形EFGH为正方形，则说明可以得到无穷个正方形．解答：解：无穷多个．如图正方形ABCD：AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH=HG=GF=FE，另外很容易得四个角均为90°则四边形EHGF为正方形．故选D．点评：本题考查了正方形的判定与性质，难度适中，利用三角形全等的判定证明EH=HG=GF=FE．3．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（）A． 3 B．2 C．4 D．8考点：正方形的判定与性质．专题：证明题．分析：如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．解答：解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC=∠ABC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，∴∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，∴DE=4．故选C．点评：本题运用割补法，或者旋转法将四边形ABCD转化为正方形，根据面积保持不变，来求正方形的边长．4．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D． 2cm，3cm，5cm考点：正方形的判定与性质．分析：连接OA，OB，OC，利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又因为点O到三边AB、AC、BC的距离是CD，∴AB=8﹣CD+6﹣CD=10，解得CD=2，所以点O到三边AB、AC、BC的距离为2．解答：解：连接OA，OB，OC，则△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O为△ABC三条角平分线的交点∴四边形OECD是正方形，则点O到三边AB、AC、BC的距离=CD，∴AB=8﹣CD+6﹣CD=﹣2CD+14，又根据勾股定理可得：AB=10，即﹣2CD+14=10∴CD=2，即点O到三边AB、AC、BC的距离为2cm．故选A点评：本题主要考查垂直平分线上的点到线段两段的距离相等的性质和边的和差关系．5．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）A．40 B．25 C．26 D．36考点：正方形的判定与性质．专题：计算题．分析：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由正方形的面积公式，根据题意列出方程组解方程组得出大正方形的边长，则可求出面积．解答：解：设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab+a（b﹣a）=24 ①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得（b﹣a）2=a2﹣3，②将①②联立解方程组可得：a=4，b=5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25．故选B．点评：本题考查了正方形的性质及面积公式，难度较大，关键根据题意列出方程．二．填空题（共4小题）6．现有一张边长等于a（a＞16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点8cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则阴影部分是正方形（填写图形的形状）（如图），它的一边长是cm．考点：正方形的判定与性质．专题：压轴题．分析：延长小正方形的一边交大正方形于一点，连接此点与距大正方形顶点8cm处的点，构造直角边长为8的等腰直角三角形，将小正方形的边长转化为等腰直角三角形的斜边长来求解即可．解答：解：如图，作AB平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点，∴△ABC为直角边长为8cm的等腰直角三角形，∴AB=AC=8，∴阴影正方形的边长=AB=8 cm．故答案为：正方形，cm．点评：本题考查了正方形的性质与勾股定理的知识，题目同时也渗透了转化思想．7．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，以AD为边向外作Rt△ADE，∠AED=90°，连接OE，DE=6，OE=8，则另一直角边AE的长为10．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：首先过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，易得四边形EMON是正方形，点A，O，D，E共圆，则可得△OEN是等腰直角三角形，求得EN的长，继而证得Rt△AOM≌Rt△DON，得到AM=DN，继而求得答案．解答：解：过点O作OM⊥AE于点M，作ON⊥DE，交ED的延长线于点N，∵∠AED=90°，∴四边形EMON是矩形，∵正方形ABCD的对角线交于点O，∴∠AOD=90°，OA=OD，∴∠AOD+∠AED=180°，∴点A，O，D，E共圆，∴=，∴∠AEO=∠DEO=∠AED=45°，∴OM=ON，∴四边形EMON是正方形，∴EM=EN=ON，∴△OEN是等腰直角三角形，∵OE=8，∴EN=8，∴EM=EN=8，在Rt△AOM和Rt△DON中，，∴Rt△AOM≌Rt△DON（HL），∴AM=DN=EN﹣ED=8﹣6=2，∴AE=AM+EM=2+8=10．故答案为：10．点评：此题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是3．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP=∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．解答：解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，∴∠ADP+∠CDP=90°，∴∠ADP=∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD=90°，∴∠APD=∠E=90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE=DP，四边形ABCD的面积=四边形DPBE的面积=18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP==3．故答案为：3．点评：本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键．9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是CA、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．专题：证明题．分析：根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．解答：解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；C、由①②不能判断四边形是正方形；D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．故选C．点评：此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形．灵活掌握这些判定定理是解本题的关键．三．解答题（共11小题）10．如图，已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且AE=BF=CG=DH，AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′．求证：四边形A′B′C′D′是正方形．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：依据三角形的内角和定理可以判定四边形A′B′C′D′的三个角是直角，则四边形是矩形，然后证明一组邻边相等，可以证得四边形是正方形．解答：证明：在正方形ABCD中，∵在△ABF和△BCG中，∴△ABF≌△BCG（SAS）∴∠BAF=∠GBC，∵∠BAF+∠AFB=90°，∴∠GBC+∠AFB=90°，∴∠BB′F=90°，∴∠A′B′C′=90°．∴同理可得∠B′C′D′=∠C′D′A′=90°，∴四边形A′B′C′D′是矩形．∵在△AB′B和△BC′C中，∴△AB′B≌△BC′C（AAS），∴AB′=BC′∵在△AA′E和△BB′F中，∴△AA′E≌△BB′F（AAS），∴AA′=BB′∴A′B′=B′C′∴矩形A′B′C′D′是正方形．点评：本题考查了正方形的判定，判定的方法是证明是矩形同时是菱形．11．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：探究型．分析：猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC，过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G，作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG．根据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明△AMG≌△CHG即可．解答：猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC，证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G．则∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，∵∠MEG=∠NED，ME=NE，∴△MEG≌△NED，∴MG=DN．∵BM=DN，∴MG=BM．作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°，∴四边形MBHG是矩形．∵MG=MB，∴四边形MBHG是正方形，∴MG=GH=BH=MB，∠AMG=∠CHG=90°，∴AM=CH，∴△AMG≌△CHG．∴GA=GC．又∵DA=DC，∵∠ADC=90°，DA=DC，∴DF=AC即线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC．点评：本题综合考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力．12．如图，正方形ABCD边长为6．菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，且AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．分析：（1）由于四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；（2）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．解答：（1）证明：在△HDG和△AEH中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，∵DG=AH=2，∴Rt△HDG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形；（2）解：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠FGM，∵，∴Rt△AHE≌Rt△GFM，∴MF=2，∵DG=x，∴CG=6﹣x．∴S△FCG=CG•FM=6﹣x．点评：本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线：过F 作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．13．如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据正方形的性质判定△ADE≌△ABF后即可得到BF=DE；（2）利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为正方形即可．解答：（1）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，∴∠BAF=∠EAD，在△ADE和△ABF中∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，∴BE⊥AC，BE=AE=AC，∴BE=AF=AE，又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴得平行四边形AFBE，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四边形AFBE是正方形．点评：本题考查了正方形的判定和性质，解题的关键是正确的利用正方形的性质．14．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）若DG=2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7﹣x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG 中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而可得当x=时，△GCF的面积最小．解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D=∠A=90°，HG=HE，又AH=DG=2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG=∠HEA，∵∠AHE+∠HEA=90°，∴∠AHE+∠DHG=90°，∴∠EHG=90°，∴四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此；（3）设DG=x，则由第（2）小题得，S△FCG=7﹣x，在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为，此时DG=，∴当DG=时，△FCG的面积最小为（）．点评：本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，构造全等三角形和内错角．15．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC 上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；（2）证明思路同（1）解答：（1）PB=PQ，证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ；（2）PB=PQ，证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ．点评：此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想．16．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、ND分别交l2于Q、P．求证：四边形PQMN是正方形．考点：正方形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：可由Rt△ABM≌Rt△DAN，AM=DN同理可得AN=NP，所以MN=PN，进而可得其为正方形．解答：证明：l1∥l2，BM⊥l1，DN⊥l2，∴∠QMN=∠P=∠N=90°，∵AB=AD，∠M=∠N=90°∠ADN+∠NAD=90°，∠NAD+∠BAM=90°，∴∠ADN=∠BAM，又∵AD=BA，∴Rt△ABM≌Rt△DAN（AAS），∴AM=DN同理AN=DP，∴AM+AN=DN+DP，即MN=PN．∴四边形PQMN是正方形．点评：本题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟练掌握各种几何图形的性质和判定方法．17．在正方形ABCD各边上一次截取AE=BF=CG=DH，连接EF，FG，GH，HE．试问四边形EFGH是否是正方形？考点：正方形的判定与性质．分析：根据正方形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，然后求出BE=CF=DG=AH，再利用“边角边”证明△AHE和△BEF和△CFG和△DGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG=GH=EH，全等三角形对应角相等可得∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，再求出∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°，从而得到四边形EFGH是正方形．解答：解：四边形EFGH是正方形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D，∵AE=BF=CG=DH，∴AB﹣AE=BC﹣BF=CD﹣CG=AD﹣DH，即BE=CF=DG=AH，∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH，∴EF=FG=GH=EH，∠AHE=∠BEF=∠CFG=∠DGH，∴∠EFG=∠FGH=∠GHE=∠FEH=90°，∴四边形EFGH是正方形．点评：本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出被截取的四个小直角三角形全等是解题的关键．18．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；分析：（1）利用全等三角形的判定首先得出△AED≌△BFA，进而得出AE=BF，即可证明结论；（2）首先得出四边形EFGH是矩形，再利用△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，进而得出EF=EH，即可得出答案；解答：（1）证明：∵DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，∴∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，∴∠ADE+∠DAE=90°，又∵∠DAE+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，在△AED和△BFA中，，∴△AED≌△BFA，∴AE=BF，∴AF﹣AE=EF，即AF﹣BF=EF；（2）证明：∵∠AFB=∠AED=∠DHC=90°，∴四边形EFGH是矩形，∵△AED≌△BFA，同理可得：△AED≌△DHC，∴△AED≌△BFA≌△DHC，∴DH=AE=BF，AF=DE=CH，∴DE﹣DH=AF﹣AE，∴EF=EH，∴矩形EFGH是正方形；19．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．分析：首先利用垂直的定义证得四边形CFDE是矩形，然后利用角平分线的性质得到DE=DF，从而判定该四边形是正方形．解答：证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，∴四边形DECF为矩形，∵∠A、∠B的平分线交于点D，∴DF=DE，∴四边形CFDE是正方形．点评：本题主要考查了角平分线的性质，三角形的内切圆与内心，解题的关键是利用正方形的判定方法证得四边形CFDE是正方形．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由题意先证明□AEDF是矩形，再根据两角及其一角的对边对应相等来证△BDE≌△CDF，根据有一组对边相等的矩形证明□AEDF是正方形．解答：证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED=90°，∠AFD=90°∵∠BAC=90°∴∠EDF=90°∴□AEDF是矩形在△BDE和△CDF中∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠DEB=∠DFC又∵D是BC的中点∴BD=DC∴△BDE≌△CDF∴DE=DF∴□AEDF是正方形点评：本题考查的是正方形的判定方法，考查了矩形、全等三角形等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性质．初中数学试卷。

人教版八年级数学下册《正方形》基础练习

《正方形》基础练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE ∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形2．（5分）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD 的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．20cm2D．30cm23．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．44．（5分）下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形5．（5分）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝50°，∠3＝25°时，那么∠2的度数是．7．（5分）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是．8．（5分）直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．9．（5分）正方形的对角线长为4，则它的边长为．10．（5分）在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．12．（10分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．13．（10分）如图，已知正方形ABOD的周长为4，点P在第一象限且到x 轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．14．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M 作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG＝EC．《正方形》基础练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE ∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果AD＝EF，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠EAF，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．【解答】解：A、因为DE∥CA，DF∥BA，所以四边形AEDF是平行四边形．故A选项正确．B、如果AD＝EF，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故B选项正确．C、因为AD平分∠EAF，所以∠EAD＝∠F AD，∵∠F AD＝∠EDA，∠EAD＝∠FDA，∴EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故C选项正确．D、如果AD⊥BC且AB＝AC，所以四边形AEDF是菱形，故D选项错误．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知识点，熟练掌握判定定理是解题的关键．2．（5分）如图，正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D正好分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上．若从上到下每两条平行线间的距离都是2cm，则正方形ABCD的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．20cm2D．30cm2【分析】如图作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H，可证△ABF≌△AHD，可得HD＝AF ＝2，且BF＝4，根据勾股定理可得AB的长，则可求正方形ABCD的面积．【解答】解：如图作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H∵作BF⊥l1于F，DH⊥l1于H∴∠AFB＝∠AHD＝90°∴∠F AB+∠FBA＝90°∵ABCD是正方形∴AB＝AD，∠BAD＝90°∴∠BAF+∠HAD＝90°∴∠HAD＝∠FBA且AB＝AD，∠AFB＝∠AHD＝90°∴AF＝HD＝2cm，且FB＝4cm∴AB＝2cm＝AB2＝20cm2∴S正方形ABCD故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是构造三角形全等．3．（5分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝1，则EF的值为（）A．3B．C．2D．4【分析】根据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝1，根据勾股定理可得EF的长．【解答】解：∵ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°∵DF⊥DE∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°∴∠ADE＝∠CDF且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°∴△ADE≌△CDF∴AE＝CF＝1∵E是AB中点∴AB＝BC＝2∴BF＝3在Rt△BEF中，EF＝＝故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，关键熟练运用这些性质解决问题．4．（5分）下列说法中，正确的是（）A．对角线互相平分的四边形一定是平行四边形B．对角线相等的四边形一定是矩形C．对角线互相垂直的四边形一定是菱形D．对角线相等的四边形一定是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定方法即可判定．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形一定是平行四边形，正确，符合题意；B、对角线相等的四边形一定是矩形，错误，比如等腰梯形的对角线相等，表示平行四边形，不符合题意；C、对角线互相垂直的四边形一定是菱形，错误．不符合题意；D、对角线相等的四边形一定是正方形，错误，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查平行四边形、矩形、正方形、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5．（5分）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四个角都是直角B．两组对边分别相等C．对角线平分对角D．内角和为360°【分析】依据正方形的性质和菱形的性质进行判断即可．【解答】解：正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定都是直角．故选：A．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、菱形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝50°，∠3＝25°时，那么∠2的度数是15°．【分析】根据∠2＝∠BOD+EOC﹣∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠3＝90°﹣25°＝65°，∠EOC＝90°﹣∠1＝90°﹣50°＝40°，又∵∠2＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，∴∠2＝65°+40°﹣90°＝15°．故答案为：15°．【点评】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠2＝∠BOD+EOC﹣∠BOE这一关系是解决本题的关键．7．（5分）如图，是由直角三角形和正方形拼成的图形，正方形A的边长为5，另外四个正方形中的数字4，x，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是x+y＝15．【分析】先由正方形A的边长为5，得出S A＝25，再根据勾股定理的几何意义，得到x+4+（6+y）＝S A，由此得出x与y的数量关系．【解答】解：∵正方形A的边长为5，∴S A＝25，根据勾股定理的几何意义，得x+4+（6+y）＝S A＝25，∴x+y＝25﹣10＝15，即x+y＝15．故答案为：x+y＝15．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理的几何意义，要知道，以斜边边长为边长的正方形的面积是以两直角边边长为边长的正方形的面积之和．8．（5分）直线L过正方形ABDC的顶点A，点B，C到直线L的距离分别为1和2，则正方形的边长为．【分析】作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE＝1，CF＝2，可证△BEA≌△CAF，可得AF＝BE＝1，根据勾股定理可求正方形的边AC的长．【解答】解：如图：作BE⊥直线L，作CF⊥直线L则BE＝1，CF＝2∵四边形ABCD是正方形∴AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠BAE+∠CAF＝90°∵BE⊥AE∴∠BAE+∠EBA＝90°∴∠CAF＝∠EBA，且AB＝AC，∠BEA＝∠AFC＝90°∴△ABE≌△ACF∴BE＝AF＝1在Rt△ACF中，AC＝＝故答案为【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．9．（5分）正方形的对角线长为4，则它的边长为4．【分析】根据正方形的性质可以直接得到．【解答】解：设正方形的边长为a则a2+a2＝（4）2∴a＝4故答案为4【点评】本题考查了正方形的性质，熟练运用正方形的性质是本题的关键．10．（5分）在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为2．【分析】根据正方形的面积公式可求正方形面积【解答】解：正方形面积＝＝2故答案为2【点评】本题考查了正方形的性质，利用正方形的面积＝对角线积的一半解决问题．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB＝AE，EF⊥AC，交BC于F，试说明EC＝EF＝BF．【分析】通过△AEF≌△ABF，可以求证FE＝FB，然后证得△CEF为等腰直角三角形即可．【解答】解：在Rt△AEF和Rt△ABF中，，∴Rt△AEF≌Rt△ABF（HL），∴FE＝FB．∵正方形ABCD，∴∠ACB＝∠BCD＝45°，在Rt△CEF中，∵∠ACB＝45°，∴∠CFE＝45°，∴∠ACB＝∠CFE，∴EC＝EF，∴FB＝EC＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的证明，考查了等腰直角三角形的判定，本题求证Rt△AEF≌Rt△ABF是解本题的关键．12．（10分）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C重合，求证：∠ABP＝∠ADP．【分析】依据四边形ABCD是正方形，即可得出AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，进而判定△ABP≌△ADP（SAS），即可得出∠ABP＝∠ADP．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，∴在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ABP＝∠ADP．【点评】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．13．（10分）如图，已知正方形ABOD的周长为4，点P在第一象限且到x 轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等．（1）请你写出正方形ABOD各顶点的坐标；（2）求点P的坐标及三角形PDO的面积．【分析】（1）根据题意可得AB＝AD＝DO＝BO＝，则可求各顶点的坐标．（2）根据题意可得P点坐标（，），则可求△PDO面积．【解答】解：（1）∵正方形ABOD的周长为4∴AB＝BO＝DO＝AD＝∴A（﹣，），B（0，），O（0，0），D（﹣，0）（2）∵点P在第一象限且到x轴、y轴的距离与点A到x轴、y轴的距离分别相等∴P（，）＝×＝1∴S△PDO【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．14．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M 作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM＝EF．【分析】延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，根据正方形的性质可得出：四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，进而可得出AQ＝FM，QM＝ME，结合∠AQM＝∠FME＝90°即可证出△AQM≌△FME （SAS），再利用全等三角形的性质可证出AM＝EF．【解答】证明：延长EM交AD于点P，延长FM交AB于点Q，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，点M为对角线BD上一点，∴四边形PMFD、BEMQ为正方形，四边形AQMP、MECF为矩形，∴AQ＝PM＝FM，QM＝ME．在△AQM和△FME中，，∴△AQM≌△FME（SAS），∴AM＝EF．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质，利用全等三角形的判定定值SAS证出△AQM≌△FME是解题的关键．15．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG＝EC．【分析】由正方形性质可得，AE＝AB，AG＝AC，∠EAC＝∠BAG，可证△AEC ≌△ABG，结论可得．【解答】证明：∵四边形ABDE，AGFC都是正方形，∴AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠CAG＝90°∵∠EAC+∠CAB＝∠EAB＝90°，∠GAB+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠BAG在△EAC和△BAG中，∴△EAC≌△BAG（SAS）∴BG＝CE【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，关键是运用正方形的性质解决问题．。

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正方形练习
1．如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点,过点P作PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为M,N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°,求证：四边形MPND是正方形．
2．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点,则当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
3．如图,在△ABC中,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是正方形？请说明理由．
参考答案1．证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
,
∴△ABD≌△CBD（SAS）,
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°,
∵∠ADC=90°,
∴四边形MPND是矩形,
∵∠ADB=∠CD B,
∴∠ADB=45°
∴PM=MD,
∴四边形M PND是正方形．
2．解：（1）证明：∵DE⊥BC,
∴∠DFB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DFB,
∴AC∥DE,
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形,
∴CE=AD；
（2）四边形BECD是菱形,
理由是：∵D为AB中点,
∴AD=BD,
∵CE=AD,
∴BD=CE,
∵BD∥CE,
∴四边形BECD是平行四边形,
∵∠ACB=90°,D为AB中点,
∴CD=BD,
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时,四边形BECD是正方形,理由是：
∵∠ACB=90°,∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,
∴AC=BC,
∵D为BA中点,
∴CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∵四边形BECD是菱形,
∴四边形BECD是正方形,
即当∠A=45°时,四边形BECD是正方形．
3．解：（1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到, ∴点A、E、C三点共线,点D、E、F三点共线,
且AE=CE,DE=FE,
故四边形ADCF是平行四边形．
（2）当∠ACB=90°,AC=BC时,四边形ADCF是正方形．
理由如下：
在△ABC中,∵AC=BC,AD=BD,
∴CD⊥AB,即∠ADC=90°．
而由（1）知,四边形ADCF是平行四边形,
∴四边形ADCF是矩形．
又∵∠ACB=90°,
∴,
故四边形ADCF是正方形．。

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