三次函数的性质-的总结练习

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三次函数复习(教案)

三次函数复习(教案)

三次函数复习(教案)三次函数复 (教案)1. 教学目标- 了解三次函数的定义和特点- 掌握三次函数的图像、性质和变化规律- 练应用三次函数解决实际问题2. 教学内容- 三次函数的定义和表示方法- 三次函数图像的绘制和性质分析- 三次函数的变化规律和图像的平移、伸缩操作- 三次函数的应用示例和问题解决方法3. 教学过程第一步:引入- 通过提问和简短讲解介绍三次函数的定义和基本性质- 引导学生思考三次函数与一次函数、二次函数的区别和联系第二步:图像绘制与性质分析- 按照给定的三次函数表达式,绘制对应的图像- 分析图像的对称性、拐点、零点等特点,引导学生发现规律第三步:变化规律和图像操作- 改变三次函数的系数和常数项,观察图像的变化规律- 引导学生总结不同系数对图像的影响,并解释其原因- 通过平移、伸缩等操作,展示学生如何调整图像位置和形态第四步:应用示例和问题解决方法- 给出一些实际问题,如求解方程、求极值、求最值等- 教授相关的问题解决方法和思路,引导学生独立思考和解决- 鼓励学生提出自己的问题和应用案例,进行讨论和分享第五步:总结和巩固- 对三次函数的定义、性质和变化规律进行简要总结- 提供复材料和练题,以巩固学生对三次函数的掌握程度4. 教学资源- 课件/幻灯片:包括三次函数的定义、性质及图像演示等内容- 白板或黑板:用于绘制三次函数的图像和解题过程- 课堂练题:用于巩固学生对三次函数的掌握程度5. 教学评估- 课堂参与度:观察学生在课堂中的积极参与程度和回答问题的准确性- 课堂练:通过布置的练题,检验学生对三次函数的理解和应用能力- 结果分析:评估学生的研究成果,统计掌握程度和需要重点关注的问题6. 教学延伸- 鼓励学生进一步研究三次函数的应用领域和相关概念- 提供相关参考资料和参考书目,拓宽学生的数学视野7. 参考资料- 数学教材:根据教材提供相关的教学内容和练题- 在线资源:如视频教程、数学网站、学术论文等,增加学生的研究资源。

三次函数的特性总结

三次函数的特性总结

三次函数的特性总结三次函数,也被称为三次方程或者三次方程函数,是指具有三次幂的多项式函数。

它的一般形式可以表示为:f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中,a、b、c、d为函数的系数,且a不等于0。

在本文中,我们将总结三次函数的几个主要特性。

1. 零点和因式分解三次函数的零点即为函数与x轴交点的横坐标。

为了求解零点,我们可以利用因式分解的方法。

对于一个三次函数f(x),如果x=a是它的零点,那么(x-a)就是它的一个因式。

通过将函数进行因式分解,我们可以更方便地确定它的零点。

2. 对称性三次函数有两个常见的对称性质:关于y轴的对称和关于原点的对称。

对于一个三次函数f(x),如果f(-x) = f(x),则该函数具有关于y轴的对称性。

如果f(-x) = -f(x),则该函数具有关于原点的对称性。

3. 变化趋势三次函数的变化趋势可以通过函数的导数和导数的二次项来判断。

函数的导数表示了函数的变化速率,导数的符号则表示了函数的增减性。

如果函数的导数大于0,那么函数在该点上升;如果导数小于0,则函数在该点下降。

其次,导数的二次项可以用来判断函数的拐点位置。

如果导数的二次项大于0,则函数有一个拐点,该拐点位于导数为0的点处。

4. 最值点对于三次函数而言,它可能存在最大值或最小值点。

为了找到函数的最值点,我们可以计算函数的导数,令导数为0,并求解对应的x值。

通过找到导数等于0的点,我们可以确定函数的局部最值点。

5. 图像特征三次函数的图像通常呈现出“S”形状曲线。

当a>0时,函数的图像开口向上,底部为最小值点;当a<0时,函数的图像开口向下,顶部为最大值点。

同时,函数可能经过x轴的一次或两次。

通过观察函数的图像特征,我们可以初步判断函数的性质和行为。

总结起来,三次函数作为一种多项式函数,具有许多独特的特性。

通过研究它的零点、对称性、变化趋势、最值点以及图像特征,我们可以更好地理解和利用三次函数的性质。

初中数学教案三次函数的图像与性质

初中数学教案三次函数的图像与性质

初中数学教案三次函数的图像与性质三次函数是中学数学中的一个重要知识点,它具有独特的图像和性质。

本教案将以图像为线索,详细介绍三次函数的特点和性质,帮助学生深入理解和掌握这一概念。

一、三次函数的基本形式三次函数的一般形式为:$y = ax^3+bx^2+cx+d$,其中$a,b,c,d$为实数且$a\neq0$。

二、三次函数的图像为了研究三次函数的图像,我们将从以下几个方面进行讲解。

1. 零点与轨迹在$x$轴上,三次函数的零点对应的是方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的解。

解方程的方法是通过因式分解、配方法、求根公式等来求得。

2. 极值点与拐点三次函数的极值点和拐点可以通过求导数的方法得到。

求解导函数$y' = 3ax^2+2bx+c$,令其等于零,即可求得极值点和拐点的横坐标。

然后再代入原函数中,求得对应的纵坐标。

3. 对称性三次函数具有奇函数的对称性,即$f(-x) = -f(x)$。

这意味着如果某一点$(x_0, y_0)$在图像上,那么点$(-x_0, -y_0)$也在图像上。

三、三次函数的性质除了图像特点之外,我们还需要讲解三次函数的其他性质,包括:1. 定义域和值域三次函数的定义域为全体实数。

值域则需要通过观察图像或者进行计算得到。

2. 单调性三次函数的单调性与系数$a$的正负有关。

当$a>0$时,函数单调递增;当$a<0$时,函数单调递减。

3. 凹凸性通过分析二阶导函数$y''=6ax + 2b$的正负,可以判断三次函数的凹凸性。

当$y''>0$时,函数凹;当$y''<0$时,函数凸。

4. 渐近线对于三次函数而言,它可能有水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线等。

通过求解极限或观察图像,可以确定渐近线的方程。

四、教学实例与练习为了帮助学生更好地掌握三次函数的图像和性质,我们可以设计一些教学实例和练习题,如:1. 画出函数$y=2x^3-3x^2-12x+5$的图像,并求出其所有零点和拐点的坐标。

三次函数变化规律

三次函数变化规律

三次函数的变化规律主要取决于函数的系数和自变量的值。

以下是一些可能影响三次函数变化规律的常见因素:
1.函数的系数:三次函数的系数决定了函数的开口方向、对称轴和顶点等基本性质。

例如,如果二次项系数为正,则函数图像开口向上;如果二次项系数为负,则函数图像开口向下。

2.自变量的值:自变量取不同的值时,函数值也会发生变化。

例如,当自变量取对称轴的值时,函数取得最值。

3.函数的导数:导数可以反映函数的变化速度和方向。

通过求导可以找到函数的极值点、拐点等关键点,从而更好地了解函数的变化规律。

4.函数的奇偶性:奇函数和偶函数的性质不同,奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称。

这些对称性质也会影响函数的变化规律。

综上所述,三次函数的变化规律是一个复杂的问题,需要考虑多个因素的综合影响。

要了解更多关于三次函数的变化规律,建议查阅数学专业书籍或咨询数学专业人士。

三次函数性质总结

三次函数性质总结

三次函数的图像及性质
形如32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的函数叫做三次函数,其中x 是自变量,,,,a b c d 是常数。

它具有以下性质:
1、图像、单调区间与极值
三次函数求导以后是二次函数,2()32f x ax bx c '=++,它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间,下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像:
x
x 0
a >0a <
2、零点个数
若方程()0f x '=的判别式0∆≤,则()f x 在R 上是单调函数,无极值,值域为(,)-∞+∞,故有唯一的零点。

若方程()0f x '=的判别式0∆>,方程有两个不等的实根1x 、2x , 它们是函数()f x 的极值点,则:
(i )当12()()0f x f x ⋅>时,()f x 有一个零点;
x
x
x
x
(ii )当12()()0f x f x ⋅=时,()f x 有两个零点;
x
x
x
x
(iii )当12()()0f x f x ⋅<时,()f x 有三个零点。

x
3、对称中心
三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。

其对称中心的横坐标为3b x a
=-。

4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数
2条
1条。

三次函数图像与性质(解析版)

三次函数图像与性质(解析版)

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像,单调性,极值,最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式(1)一般式:()³²f x ax bx cx d =+++(a ≠0)(2)交点式:()123()()()f x a x x x x x x =---(a ≠0)1.若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====,则()3f =()A .38B .171C .460D .965【解析】待定系数法,求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++,则()232f x ax bx c '=++,由题意可得:()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+,解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩,则()3210123f x x x x =-+,所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容,其考点广泛且深入,主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析:1.三次函数的定义与形式∙定义:形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (其中a ≠=0)的函数称为三次函数。

∙形式:注意系数a ,b ,c ,d 的作用,特别是a 的正负决定了函数的开口方向(a >0开口向上,a <0开口向下)。

三次函数总结范文

三次函数总结范文

三次函数总结范文三次函数,也称为三次多项式函数,是一个最高次数为3的多项式函数。

它的一般形式可以表示为:f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d其中,a、b、c、d是实数或复数常数,并且a不等于0。

三次函数具有许多重要的数学性质和应用。

在本文中,我将介绍三次函数的性质、图像、求解方法以及一些常见的应用场景。

一、三次函数的性质1.最高次项幂是3,次高项幂是2,因此,三次函数的图像是一个连续的曲线,没有角或尖点。

2.三次函数可以是奇函数也可以是偶函数。

如果三次函数关于y轴对称,则它是一个偶函数;如果关于原点对称,则它是一个奇函数;否则,它既不是奇函数也不是偶函数。

3.三次函数的导数是一个二次函数,其图像可以是一个抛物线。

导函数的零点可以帮助确定原函数的极值点和拐点。

4.三次函数的定义域是整个实数集,值域也是整个实数集。

二、三次函数的图像三次函数的图像通常呈现出S形状曲线,称为三次曲线。

根据三次函数的系数不同,曲线可能向上打开或向下打开。

具体来说:1.当系数a>0时,曲线开口向上。

这意味着当x趋近无穷大时,y的值也趋近无穷大;当x趋近负无穷大时,y的值也趋近负无穷大。

2.当系数a<0时,曲线开口向下。

这意味着当x趋近无穷大时,y的值趋近负无穷大;当x趋近负无穷大时,y的值趋近无穷大。

三、三次函数的求解方法三次函数的求解通常涉及找到函数的零点(也称为根或解)。

1.因式分解法:如果三次函数可以因式分解为一次因式和一个二次因式的乘积,那么可以通过解一元二次方程来求解零点。

2.直接求解法:当函数难以因式分解时,我们可以使用数值方法,如二分法、牛顿法等,来逼近零点。

四、三次函数的应用场景三次函数在许多领域和问题中有着广泛的应用,例如:1.物理:三次函数可以用来描述物体的加速度、位移、速度等物理量与时间的关系。

2.经济:三次函数可以用来建模经济增长、市场需求、价格变化等经济现象。

3.生物学:三次函数可以用来建模生物体的生长、衰退、繁殖等过程。

(完整word版)三次函数性质的再探索凸凹性拐点及对称中心——教师用卷

(完整word版)三次函数性质的再探索凸凹性拐点及对称中心——教师用卷

三次函数性质的再探索 —-凸凹性,拐点及对称中心在前面我们学习了三次函数的相关性质了解了三次函数的图像特征,从中也得到了三次函数及类三次函数的分类讨论的标准和三次函数零点问题的处理方法,如下图所示在11周的测试中 我们遇到了这样一道题目:16。

对于三次函数,定义:是函数的导函数的导数,若方程有实数解,则称点的对称中心点"有同学发现:任何一个三次函数都有“拐点",任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是“对称中心”请你将这一发现作为条件,则函数的对称中心为______ .【答案】我们发现函数的二阶导数对函数的图像也有很大的影响,这些影响主要体现在那些方面,我们下面一一道来。

1、曲线的凹凸性从图1(a ),(b )直观上可以观察到:如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方,则称此曲线弧在该区间内是凹的;如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方,则称此曲线弧在该区间内是凸的,相应的区间分别称为凹区间与凸区间。

2、曲线的凹凸性的定义定义1 设)(x f 在区间I 上连续,如果对于I 上任意的两点21,x x ,恒有oxy AB (a )BA oxy(b )图1()()222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 那么称)(x f 在I 上的图形是凹的;如果恒有 ()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+,那么称)(x f 在I 上的图形是凸的。

从图1还可以看到如下事实:对于凹的曲线弧,其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而增大,即)(x f '单调增加;对于凸的曲线弧,其切线的斜率)(x f '随着x 的增大而减少,即)(x f '单调减少。

而函数)(x f '的单调性又可用它的导数,即)(x f 的二阶导数)(x f ''的符号来判定,故曲线)(x f y =的凹凸性与)(x f ''的符号有关。

三次函数图像

三次函数图像

三次函数的图像和性质1.复习(1)怎么求函数的极大值和极小值;(2)某区间内的最值怎么求?2.形如d cx bx ax x f +++=23)(为三次函数,你能知道其大致图像吗?有什么特点? 我们通过它的导函数来研究它的图像特点. 3.复习二交函数的图像如图X ∈ 时,Y>0 X ∈ 时Y<0三次多项式函数与其导函数(为二次函数)之间的对应关系:设三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++>与其导函数2()32f x ax bx c '=++(为二次函数,设它的判别式2412b ac ∆=-),我们先只考虑a>0时的情形4、当0∆>时,它们图象的对应关系为:变化情况如下表x(-∞,x 1) x 1 (x 1, x 2)x2(x2,+∞) y '+ 0 - 0 +y↗极大值f(x 1)↘极小值f(x 2)↗5、当0∆=时,它们图象的对应关系为:x(-∞,x 1) x 0 (x2,+∞) y '+ 0 +y↗无极值↗6、当0∆<时,它们图象的对应关系为:7.当0a <时,可类似研究32()f x ax bx cx d =+++与其导函数2()32f x ax bx c '=++的关系.(画出二种图像) 8.总结:其实三次函数只有四种图像(1) a>0, 0∆< (2) 0a <, 0∆< (3) a>0, 0∆< (3) 0a <, 0∆> (4) a>0, 0∆>9.例一. (浙江)设f x '()是函数f(x)的导函数,y f x ='()的图象如左图所示,则y =f(x)的图象最有可能是右图的( )10.例二.已知32()26(f x x x m m =-+为常数)在[2,2]-上有最大值3,求此函数在[2,2]-上的最小值 11.练习.函数3()3f x x x a =--在区间[]0,3上的最大值、最小值分别为M ,N ,则M -N 的值为 。

三次函数性质总结

三次函数性质总结

三次函数性质的研究我们已经学习了一次函数,知道图象是单一递加或单一递减,在整个定义域上不存在最大值与最小值,在某一区间获得最大值与最小值.那么,是什么决定函数的单一性呢?利用已学过的知识得出:当k>0时函数单一递加;当k<0时函数单一递加;b决定函数与y轴订交的地点.此中运用的许多的一次函数不等式性质是: fx 0在[m,n]上恒建立的充要条件fm 0fn 0接着,我们相同学习了二次函数,图象大概以下:图1 图2利用已学知识概括得出:当时(如图1),在对称轴的左边单一递减、右边单一递加,对称轴上获得最小值;当时(图2),在对称轴的左边单一递加、右边单一递减,对称轴上获得最大值.在某一区间获得最大值与最小值.此中a决定函数的张口方向, a、b同时决定对称轴,c决定函数与y轴订交的地点.总结:一次函数只有一个单一性,二次函数有两个单一性,那么三次函数能否就有三个单一性呢?1三次函数专题一、定义:定义1、形如y ax3bx2cx d(a 0)的函数,称为“三次函数”(从函数分析式的构造上命名)。

定义2、三次函数的导数y 3ax2 2bx c(a 0),把4b212ac叫做三次函数导函数的鉴别式。

因为三次函数的导函数是二次函数,而二次函数是高中数学中的重要内容,所以三次函数的问题,已经成为高考命题的一个新的热门和亮点。

特别是文科。

系列研究1:从最简单的三次函数yx3开始y反省1:三次函数y x31的有关性质呢?反省2:三次函数y x 3Ox 1的有关性质呢?反省3:三次函数y x31的有关性质呢?1(2012天津理)(4)函数f ()2xx32在区间(0,1)内的零点个数是B x(A)0(B)1(C)2(D)3系列研究2:研究一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的性质:先求导f(x)3ax22bx c(a0)1.单一性:(1)若△(2b)212ac0,此时函数f(x)在R上是增函数;(2)若△(2b)212ac0,令f(x)3ax22bx c0两根为x1,x2且x1x2,则f(x)在(,x1),(x2)上单一递加,在(x1,x2)上单一递减。

高二年级数学 《三次函数的图象与性质》教学设计

高二年级数学      《三次函数的图象与性质》教学设计
3、思想方法: 数形结合 分类讨论 转化与化归 函数与方程
五、布置作业
1、已知函数 f (x) x3 bx2 cx d ( b,c, d 为常数),当 k (,0) (5, ) 时, f (x) k 0 只 有一个实数根;当 k (0,5) 时, f (x) k 0有 3 个相异实根,现给出下列 4 个命题:
a0
a0
0
图象 =0
0
三次函数的单调性、极值、最值

三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0;a,b, c, d是常数)

b2 3ac 0
b2 3ac 0
f (x)
f (x)


x1
x2
极 值
极大值f (x1),极小值f (x2 )
单 调
增区间:, x1 和 x2, +
人民教育出版社高中数学选修1-1第三章导数及其应用
三次函数的图象和性质
高二 文数 专题课
一、问题情景、引入课题
问题:请你画出下列函数的大致图像
1、f (x) x3 3x 2、f (x) 2x3 5 x2 x 1
2 3、f (x) 2x3 5 x2 x 3
2 4、f (x) x3 3x2 3x 1
二、自主探索,总结规律
1.类比二次函数,三次函数一般式是怎样?
形如:y ax3 bx2 cx d (a 0)
2.我们如何研究三次函数的图象和性质?
f (x) 3ax2 2bx c 4b2 12ac 4(b2 3ac)
二、自主探索,总结规律
函数
二次函数 y ax2 bx c(a 0;a,b,c是常数)
【变 1】已知函数 f x x3 3x ⑴求函数 f x 的单调区间及极值;⑵求 f x 在0,3 上的最值.

三次函数性质总结

三次函数性质总结

三次函数性质总结三次函数是指函数的最高次项是3次的函数,一般的三次函数的函数表达式可以写成y=ax^3+bx^2+cx+d。

以下是关于三次函数的性质的总结:1.对称性:三次函数一般具有对称性,即关于y轴对称。

这是因为三次函数中只有偶次次项,所以具有对称性。

这可以通过函数图像来观察,如果一条曲线对称于y轴,则表示这个函数是一个三次函数。

2.零点:三次函数可能有一个或多个零点。

如果函数的零点为x=a,那么乘以(x-a)后,函数会变为二次函数,这是因为函数中的三次项会被消去,变成了二次项。

因此,三次函数的零点可以用来快速确定函数的根的个数。

3.单调性:三次函数的单调性与系数a有关。

当a>0时,三次函数是上凹的,即函数的曲线开口向上,为增函数;当a<0时,三次函数是下凹的,即函数的曲线开口向下,为减函数。

4.驻点:三次函数的导数是二次函数,因此导数为零的点称为驻点。

三次函数的驻点有最大值或最小值,可以通过求导数来求得驻点的位置。

5. 渐近线:三次函数可能有水平渐近线、垂直渐近线或斜渐近线。

水平渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时,函数值趋于一些常数;垂直渐近线是指当x等于一些常数时,函数值趋于正无穷或负无穷;斜渐近线是指当x趋于正无穷或负无穷时,函数值趋于ax^2+bx+c。

6.奇偶性:三次函数的奇偶性与系数b有关。

当b为奇数时,三次函数是奇函数,对称于原点,函数图像关于原点对称;当b为偶数时,三次函数是偶函数,对称于y轴,函数图像关于y轴对称。

7.映射性:三次函数的图像可以映射到整个坐标平面上,因为三次函数没有任何限制,所以可以取得任意的y值。

8.随着函数系数的变化,函数图象会发生相应的形变。

例如,当a的绝对值变大时,函数的曲线会变得更陡峭;当b的绝对值变大时,函数的曲线会向原点靠拢;当c的绝对值变大时,函数的曲线会上下平移;当d 的绝对值变大时,函数的曲线会上下平移。

总之,三次函数具有丰富的性质和特点,可以通过系数的变化来改变函数的图像和性质。

高中数学新湘教版精品学案《三次函数的性质:单调区间和极值》

高中数学新湘教版精品学案《三次函数的性质:单调区间和极值》

三次函数的性质:单调区间和极值
【学习目标】
1.了解三次函数的图象和简单性质,三次函数与二次函数的联系。

2.会用导数研究三次函数的单调性,并且求解出三次函数的单调区间,认识它们之间的内在联系,进一步培养运算能力。

3.会用导数研究三次函数的极值,并且学会求解,认识事物之间的相互联系,培养辨证思维能力
【学习重难点】
重点:理解并掌握三次函数的单调区间和极值。

难点:理解并掌握求解三次函数的单调区间和极值的步骤,会运用到解决实际问题当中。

【学习过程】
一、新课学习。

知识点一:三次函数的单调区间和极值。

三次函数的导数是二次函数,二次函数的零点是容易求出的。

所以,用导数方法可以彻底了解三次函数的增减变化和极大极小,这个增减区间,就是三次函数的单调区间,列出表格,对函数的极大极小值点就可以一目了然。

根据前面的知识做一做:
练习:
1.指出函数3234y x x =+-的单调递增区间。

2.指出函数32454y x x x =+-的单调递减区间。

3.若函数()323321y x ax a x =++++有极大值和极小值,求a 的取值范围。

4.函数326y x x a =-+的极值是什么?
二、课程总结。

1.这节课我们主要学习了哪些知识?
2.它们在解题中具体怎么应用?
三、习题检测。

1.求下列函数在指定闭区间上的最大值和最小值。

(1)()[]32241,2,1f x x x x =+-+-;(2)()()[]2e 43,3,2x f x x x =-+-。

2.求解函数322611y x x =-+的单调减区间及极值。

3次函数曲线-概念解析以及定义

3次函数曲线-概念解析以及定义

3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中,三次函数是一种常见的多项式函数,其最高次项的指数为3。

三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d,其中a、b、c和d都是实数,并且a不等于0。

三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状,有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。

它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用,例如物理学、经济学和计算机图形学等。

理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。

本文将围绕三次函数曲线展开讨论,首先介绍三次函数的基本定义和性质,然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。

接下来,我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质,并举例说明在实际问题中的应用。

最后,我们将总结所讨论的内容,并展望一些可能的研究方向。

通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点,我们可以更好地应用它们解决实际问题,并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。

接下来,我们将详细介绍本文的组织结构和目的。

1.2 文章结构2. 正文在本文中,我们将着重研究3次函数曲线。

通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究,我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。

本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。

2.1 第一要点在第一要点中,我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。

我们将学习如何根据给定的系数,利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。

此外,我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性,并探索其在数学和科学领域中的实际应用。

2.2 第二要点在第二要点中,我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。

我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析,探讨曲线的增减性和凸凹性。

此外,我们还将介绍曲线的转折点和拐点,并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。

函数的性质知识点总结与题型讲解

函数的性质知识点总结与题型讲解

考点05 函数的性质(单调性、奇偶性)【高考再现】热点一 函数的单调性1.(2012年高考(天津文))下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )A .cos 2y x =B .2log ||y x =C .2x x e e y --= D .31y x =+ 2.(2012年高考(陕西文))下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( )A .1y x =+B .2y x =-C .1y x =D .||y x x =【答案】D 【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性,理解和掌握基本函数的性质是关键.A 是增函数,不是奇函数;B 和C 都不是定义域内的增函数,排除,只有D 正确,因此选D. 3.(2012年高考(安徽文))若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =【方法总结】1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法:(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解.(2)可导函数则可以利用导数解之.但是,对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行.2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致.(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间.(3)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.3.函数单调性的应用:f (x )在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性,则f (x 1)<f (x 2)⇔ f (x 1)-f (x 2)<0,若函数是增函数,则f (x 1)<f (x 2) ⇔x 1<x 2,函数不等式(或方程)的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符号,化为一般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行. 热点二 函数的奇偶性4.(2012年高考(广东文))(函数)下列函数为偶函数的是 ( )A .sin y x =B .3y x =C .x y e =D .2ln 1y x =+5.(2012年高考(重庆文))函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________【答案】4【解析】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立.由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+-- 4a ⇒=.6.(2012年高考(上海文))已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ .7.(2012年高考(课标文))设函数()f x 22(+1)sin =1x x x ++的最大值为M ,最小值为m ,则=M m +____【答案】 2【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.222(1)sin 2sin ()1,11x x x x f x x x +++==+++设22sin (),()(),()1x x g x g x g x g x x +=-=-∴+Q 为奇函数,由奇函数图像的对称性知max min max min max min ()()0,[()1][()1]2()() 2.g x g x M m g x g x g x g x +=∴+=+++=++=【方法总结】三.规律总结一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.三种方法判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a -x )=f (x )或f (-x )=f (2a +x ),则y =f (x )的图象关于直线x =a 对称.(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a -x )=f (x ),且f (2b -x )=f (x )(其中a <b ),则:y =f (x )是以2(b -a )为周期的周期函数.(3)若f (x +a )=-f (x )或f (x +a )=1f x 或f (x +a )=-1f x ,那么函数f (x )是周期函数,其中一个周期为T =2a ;(3)若f (x +a )=f (x +b )(a ≠b ),那么函数f (x )是周期函数,其中一个周期为T =2|a -b |.【基础练习】1.(课本习题改编)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( )A .y =|x |B .y =3-xC .y =1xD .y =-x 2+4 【答案】A【解析】y =3-x 在R 上递减,y =1x在(0,+∞)上递减,y =-x 2+4在(0,+∞)上递减. 2.(经典习题)函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,+∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤-1,32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32,43. (课本习题改编)若函数f (x )=x2x +1x -a 为奇函数,则a =( )A.12B.23C.34D .1 【答案】A【解析】∵f (x )=x2x +1x -a 是奇函数,利用赋值法,∴f (-1)=-f (1).∴-1-2+1-1-a =-12+11-a ,∴a +1=3(1-a ),解得a =12. 4. (经典习题)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ).A .f (x )+|g (x )|是偶函数B .f (x )-|g (x )|是奇函数C .|f (x )|+g (x )是偶函数D .|f (x )|-g (x )是奇函数【答案】A【解析】由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶,B 错;C 项与D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选A.6.(经典习题)已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,则f (7)等于________.【答案】-2【解析】由f (x +4)=f (x ),得f (7)=f (3)=f (-1),又f (x )为奇函数,∴f (-1)=-f (1),f (1)=2×12=2.∴f (7)=-2.【名校模拟】一.基础扎实1. (北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文)给定函数:①3y x =;②21y x =-;③sin y x =;④2log y x =,其中奇函数是( )(A )① ② (B )③ ④(C )① ③(D )② ④【答案】C【解析】利用函数图象关于原点对称可知① ③图像满足条件.2. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知.,若,则f(-a)的值为A. -3B. -2C. -1D. 03.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三)理)已知函数.,则该函数是(A)偶函数,且单调递增(B)偶函数,且单调递减(C)奇函数,且单调递增(D)奇函数,且单调递减【答案】C【解析】 注意到当0x >时,0x -<,()()()()21120x x f x f x ---+=-+-=;当0x <时,0x ->,()()()()12210x x f x f x -+=-+-=;()00f =.因此,对任意x R ∈,均有()()0f x f x -+=,即函数()f x 是奇函数.当0x >时,函数()f x 是增函数,因此()f x 是增函数,选C.4.(2012洛阳示范高中联考高三理)下列函数中,在(1, 1)-内有零点且单调递增的是( )A .12log y x =B .21x y =-C .212y x =-D . 3y x =-5. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理)若R x ∈、+∈N n ,定义:)2)(1(++=x x x M n x )1(-+n x Λ,例如:55-M =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为( )A.是偶函数而不是奇函数B. 是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数6.. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数,且其定义域为[61,]a a -,则a b +=( )A .17B .1-C .1D .7【答案】A【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称,所以1610,7a a a -+==所以; 又()f x 为偶函数,所以223()535a x bx a b ax bx a b ---+=+-+,得0b =,所以a b +=17,选A. 67.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数,则)5(+=x f y 的递增区间是( ) A .]8,3[ B . ]2,7[--C .]5,0[D .]3,2[-8.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是 ( )①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x ·f(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④D.②④9.(湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理)下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是A .x y cos =B .1--=x yC .x x y +-=22lnD .x x e e y -+= 答案:D解析:由()()x x f x e e f x --=+=,所以函数()x x f x e e -=+为偶函数;又()211xxx xef x ee e-'=-=,当[]1,0x∈-时,()0f x'<,所以函数为减函数,故选D。

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三次函数的性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在高中阶段学习导数后频繁出现,同时也是其他复杂函数的重要组成部分,因此有必要对其性质有所了解,才可以做到知己知彼,百战不殆.性质一单调性以a>0为例,如图1,记Δ=b2−3ac为三次函数图象的判别式,则图1 用判别式判断函数图象当Δ⩽0时,f(x)为R上的单调递增函数;当Δ>0时,f(x)会在中间一段单调递减,形成三个单调区间以及两个极值.性质一的证明f(x)的导函数为f′(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为4(b2−3ac),进而易得结论.例1 设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点A,B,C,且|AB|=|BC|=5√,求直线l的方程.解由|AB|=|BC|可知B为三次函数的对称中心,由性质一可得B(0,1),进而不难求得直线l的方程y=2x+1.性质二对称性如图2,f(x)的图象关于点P(−b3a,f(−b3a))对称(特别地,极值点以及极值点对应的图象上的点也关于P对称).图2 图象的对称性反之,若三次函数的对称中心为(m,n),则其解析式可以设为f(x)=α⋅(x−m)3+β⋅(x−m)+n,其中α≠0.性质二的证明由于f(x)=a(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)−bc3a+2b327a2+d,即f(x)=(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)+f(−b3a),于是性质二得证.例2 设函数f(x)=x(x−1)(x−a),a>1.(1)求导数f′(x),并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2;(2)若不等式f(x1)+f(x2)⩽0成立,求a的取值范围.(1)解f(x)的导函数f′(x)=(x−1)(x−a)+x(x−a)+x(x−1)=3x2−2(a+2)x+a,而f′(0)f′(1)f′(a)=a>0,=1−a<0,=a(a−1)>0,于是f′(x)有两个变号零点,从而f(x)有两个不同的极值点.(2)解根据性质二,三次函数的对称中心(a+13,f(a+13))是两个极值点对应的函数图象上的点的中点.于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)⩽0,即2⋅a+13⋅a−23⋅−2a+13⩽0,结合a>1,可得a的取值范围是[2,+∞).注本题为2004年高考重庆卷理科数学第20题.性质三切割线性质如图3,设P是f(x)上任意一点(非对称中心),过P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT(P点不为切点),A、B、T均在f(x)的图象上,则T点的横坐标平分A、B点的横坐标.图3 切割线性质推论1设P是f(x)上任意一点(非对称中心),过P作函数f(x)图象的两条切线PM、PN,切点分别为M、P,如图.则M点的横坐标平分P、N点的横坐标,如图4.图4 切割线性质推论一推论2设f(x)的极大值为M,方程f(x)=M的两根为x1、x2(x1<x2),则区间[x1,x2]被−b3a和极小值点三等分.图5 切割线性质推论二性质三的证明设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),直线PT:y=k0x+m0,直线PAB:y=kx+m,则分别将直线PT与直线PAB的方程与三次函数的解析式联立,得ax3+bx2+(c−k0)x+d−m0=0,ax3+bx2+(c−k)x+d−m=0,于是根据三次方程的韦达定理可得2x T+x P=x A+x B+x P,即x T=x A+x B2,于是命题得证.推论1和推论2的证明留给读者.例3 如图6,记三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象为C,若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2)),曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3)),线段P1P2、P2P3与曲线C所围成的封闭图形的面积分别记为S1、S2.求证:S1S2是定值.图6解由性质二,任意三次函数f(x)都可以通过平移变化变成g(x)=px3+qx,然后可以作伸缩变换变成h(x)=x3+rx,而无论平移还是伸缩,题中的S1S2均保持不变,因此只需要证明命题对三次函数h(x)=x3+rx成立即可.根据题意,联立函数h(x)=x3+rx与函数h(x)在P1处的切线方程得(x−x1)2⋅(x−x2)=0,于是2x1+x2=0,即x2=−2x1.又由性质三的推论1,可得2x1=x2+x3,即x3=4x1.于是,线段P1P2与曲线C所围成的封闭图形的面积S1=∣∣∣∫x2x1(x−x1)2⋅(x−x2)d x∣∣∣=∣∣∣∫−2x1x1(x3−3x21x+2x31)d x∣∣∣=∣∣∣(14x4−32x21x2+2x31x)∣∣∣−2x1x1∣∣∣=274x41,类似的,线段P2P3与曲线C所围成图形的面积S2=274x42,于是所求的面积之比为S1S2=(x1x2)4=116.注此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第(2)小问(第(1)小问要求证明该结论对f(x)=x3−x成立).性质四切线条数如图7,过f(x)的对称中心作切线l,则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论:图7 切线条数①过区域I、III 内的点作y=f(x)的切线,有且仅有三条;②过区域II、IV 内的点以及对称中心作y=f(x)的切线,有且仅有一条;③过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心)上的点作y=f(x)的切线,有且仅有两条.性质四的证明由性质二,不妨设f(x)=x3+mx,坐标平面内一点P(a,b).三次函数图象上x=t处的切线方程为y=(3t2+m)(x−t)+t3+mt,即y=(3t2+m)x−3t3,切线过点P(a,b),即b=−3t3+3at2+ma.而三次函数对称中心处的切线方程为y=mx,于是考虑直线y=b−ma与函数y=−3t3+3at2的图象公共点个数.当a=0时,无论b取何值,均为1个公共点;当a>0时,b−ma>0时为1个公共点,b−ma=0时为2个公共点,b−ma<0时为3个公共点;当a<0时,b−ma>0时为3个公共点,b−ma=0时为2个公共点,b−ma<0时为1个公共点.综上,性质四得证.在高考中,对结论①的考察最为常见,例如2007年高考全国II卷理科数学第22题(压轴题)就是证明性质四的结论①:已知函数f(x)=x3−x.(1)求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;(2)设a>0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:−a<b<f(a).例4设函数f(x)=13x3−a2x2+bx+c,其中a>0.曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1.(1)确定b,c的值;(2)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2).证明:当x1≠x2时,f′(x1)≠f′(x2);(3)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围.解(1)f(x)的导函数为f′(x)=x2−ax+b,于是该函数在x=0处的切线方程为y=bx+c,因此b=0,c=1.(2)函数f(x)在x=t处的切线方程为y=(t2−at)(x−t)+13t3−a2t2+1,当切线过点(0,2)时可得23t3−a2t2+1=0,于是x1,x2是该方程的两个不等实根.考虑f′(x1)−f′(x2)=(x21−ax1)−(x22−ax2)=(x1−x2)⋅(x1+x2−a),而⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪23x31−a2x21+1=0,23x32−a2x22+1=0,两式相减并约去x1−x2,得x21+x1x2+x22=34a2,而x21+x1x2+x22=(x1+x2)2−x1x2>(x1+x2)2−14(x1+x2)2=34(x1+x2)2,于是x1+x2≠a,进而可得f′(x1)≠f′(x2).(3)函数f(x)的对称中心为(a2,−a312+1),于是在对称中心处的切线方程为y=−a24(x−a2)−a312+1,根据性质四的结论①,可得1<2<−a324+1,解得a>23√3,即a的取值范围是(23√3,+∞).练习题练习1、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx,且f′(−1)=0.(1)试用含a的代数式表示b;(2)求f(x)的单调区间;(3)令a=−1,设函数f(x)在x1,x2(x1<x2)处取得极值,记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),证明:线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点.练习2、已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,且方程f(x)=0有三个根,它们分别为从小到大依次为α、2、β.求|α−β|的取值范围.练习3、如图8,记原点为点P1(x1,y1),由点P1向三次函数y=x3−3ax2+bx(a≠0)的图象(记为曲线C)引切线,切于不同于点P1的点P2(x2,y2),再由点P2引此曲线C的切线,切于不同于点P2的点P3(x3,y3).如此继续作下去,得到点列{P n(x n,y n)}.试回答下列问题:图8(1)求数列{x n}的递推公式与初始值;(2)求lim n→+∞x n,并指出点列{P n}的极限位置在何处?练习4、已知f(x)=x3−x,过点(x0,y0)作f(x)图象的切线,如果可以作出三条切线,当x0∈(0,1)时,求点(x0,y0)所在的区域面积.练习5、已知函数f(x)=2x3−3x.(1)求f(x)在区间[−2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点A(−1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)练习6、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx,且f′(−1)=0.(1)试用含a的代数式表示b,并求f(x)的单调区间;(2)令a=−1.设函数f(x)在x1,x2(x1<x2)处取值极值,记点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(m,f(m)),x1<m⩽x2.请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解答以下问题:①若对任意的m∈(t,x2],线段MP与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,试确定t 的最小值;②若存在点Q(n,f(n)),x1⩽n<m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点,请直接写出m的取值范围(不必写出求解过程).练习题的参考答案练习1、(1)f(x)的导函数为f′(x)=x2+2ax+b,于是所求的代数表达式为b=2a−1.(2)在(1)的基础上,有f′(x)=(x+1)⋅(x+2a−1),于是当a<1时,函数f(x)的单调递增区间是(−∞,−1)和(1−2a,+∞),单调递减区间为(−1,1−2a);当a=1时,函数f(x)的单调递增区间是R;当a>1时,函数f(x)的单调递增区间是(−∞1−2a)和(−1,+∞),单调递减区间是(1−2a,−1).(3)此时f(x)=13x3−x2−3x,而f′(x)=x2−2x−3,于是M(−1,53),N(3,−9).根据性质二,该公共点为三次函数f(x)图象的对称中心(1,−113).注本题为2009年高考福建卷文科数学第21题(压轴题).练习2、根据题意,x=0为f(x)的导函数f′(x)=3x2+2bx+c的零点,于是c=0.又f(2)=0,于是8+4b+d=0,即d=−4b−8,从而f(x)=x3+bx2−(8+4b)=(x−2)⋅[x2+(b+2)x+2b+4],因此(α−β)2=(α+β)2−4α⋅β=(2−b)2−16.另一方面,由f(x)在(0,2)上是减函数得f′(2)⩽0,即12+4b⩽0,于是可得b的取值范围是b<−3.从而|α−β|的取值范围是[3,+∞).练习3、(1)根据已知,联立P1出发的切线方程与曲线C的方程,得(x−x1)(x−x2)2=0,又x1=0,切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项,于是可得x2=32a.进而由性质三的推论1可得∀n⩾3∧n∈N∗,2x n=x n−1+x n−2.于是数列{x n}的递推公式与初始值为x n=x n−1+x n−22,n⩾3∧n∈N∗,x1=0,x2=32a.(2)由数列的递推公式不难得到通项∀n∈N∗,x n=a⋅[1−(−12)n−1],于是lim n→+∞x n=a.因此点列{P n}的极限位置为(a,−2a3+ab),也就是三次函数的对称中心.练习4、函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=−x,于是根据性质四的结论①,我们可得所求区域面积为∫10[x3−x−(−x)]d x=∫10x3d x=14.练习5、(1)f(x)的导函数f′(x)=6x2−3,于是可得f(x)在区间[−2,1]上的最大值为max{f(−2√2),f(1)}=2√.(2)函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=−3x,根据性质四的结论①,可得−3<t<f(1),即−3<t<−1,于是t的取值范围是(−3,−1).(3)根据性质四,可得过A(−1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.注本题为2014年高考北京卷文科数学第20题(压轴题).练习6、(1)b=2a−1;当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为(−∞,1−2a)和(−1,+∞),单调递减区间为(1−2a,−1);当a=1时,函数f(x)的单调递增区间为R;当a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(1−2a,+∞),单调递减区间为(−1,1−2a).(2)①t的最小值为2,证明从略;②m的取值范围为(1,3].注本题为2009年高考福建卷理科数学第21题(压轴题).。

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