数学竞赛二次剩余及其应用讲义

二次剩余及其应用

一、二次剩余的定义：

正整数m>1，n∈Z，(m,n)=1，若存在x∈Z，使得x2≡n(mod m)，则称n为模m的二次剩余。

否则，称为二次非剩余。

勒让德(Legendre)符号：

设p为奇素数，a∈Z且(a,p)=1，定义：(a

p )={

1，若a为p的二次剩余

−1，若a为p的二次非剩余

，称为勒让德符号。当

a≡b(mod p)时，显然(a

p )=(b

p

)。

例1、证明具有下列形式的素数有无穷多个.

（1）8k+3（2）8k+5（3）8k+7

例2、求有序整数对(a,b)的个数，使得x2+ax+b=167y有整数解(x,y)，其中1≤a、b≤2004.

二、 与素数的二次剩余相关的定理：

定理1、设p 为奇素数，模p 的缩系中有p−12

个二次剩余，有有

p−12

个二次非剩余。且12、22、⋯、

(

p−12)2即为其p−1

2

个二次剩余。 定理2、设p 为奇素数，a ∈Z 且(a,p )=1，则(p −1)!≡−(a

p

)a

p−1

(mod p)。

定理3（欧拉(Euler)判别条件）、设p 为奇素数，a ∈Z 且(a,p )=1，a p−1则≡(a

p

)(mod p)。

定理4、设p 为奇素数，则(−1

p )≡(−1)

p−1

(mod p)。即当p ≡1(mod 4)时，-1为p 的二次剩余；当

p ≡3(mod 4)时，-1为p 的二次非剩余。

例3、 已知pqr 均为素数，n 为正整数，p n +q n =r 2，求证：n=1.

例4、 若p 为奇素数，证明：当且仅当p ≡1(mod 4)时，p 可以表示成两个非零完全平方数之和，且表示

方法唯一.

三、二次互反律

定理5(高斯(Gause)引理)、设p 为奇素数，a ∈Z 且(a,p )=1，若a 、2a 、⋯、p−12

a 关于模p 的最小正

余数中有μ个大于p 2，则(a

p )=(−1)μ。

定理6、设p 为奇素数，(2

p )=(−1)p 2−1

。即当p ≡±1(mod 8)时，2为p 的二次剩余；当p ≡±3(mod 8)

时，2为p 的二次非剩余。

定理7(二次互反律)、设p 、q 为奇素数，p ≠q ，则(p

q )(q

p )=(−1)p−12∙q−1

2

。

例5、 证明素数p 为费马数当且仅当p 的二次非剩余均为p 的原根.

例6、 若P 为奇素数，则梅森数的每个素因子必形如8k ±1.

例7、求方程x2014=4y2013+4y2012+2011y+2010的整数解.

思考题：

证明：存在两个严格递增的正整数数列{a n}和{b n}，使得对于任意正整数n，都有a n(a n+1)|(b n2+1).