大学线性代数复习题

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大一线性代数期末考试试题

大一线性代数期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 向量空间的定义中，下列哪一项不是其公理化系统的一部分？A. 向量加法的封闭性B. 向量的数乘封闭性C. 向量加法的交换律D. 存在非零零向量2. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 - 2A + I = 0，其中I是3阶单位矩阵。

则A^3的值为：A. AB. 2AC. 3AD. 03. 在线性代数中，下列哪个矩阵是不可逆的？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 行最简矩阵D. 行阶梯矩阵4. 特征值和特征向量的定义中，下列说法正确的是：A. 特征向量可以是零向量B. 每个特征值都有对应的特征向量C. 一个矩阵的特征值是唯一的D. 一个矩阵可能没有特征值5. 设T是一个线性变换，且T保持向量加法和数乘，那么T是一个：A. 线性变换B. 非线性变换C. 仿射变换D. 恒等变换二、填空题（每题2分，共10分）6. 若向量v = (1, 2, 3)，向量w = (x, y, z)，且v与w垂直，则x + y + z = _______。

7. 设矩阵A = (\*, \*, \*; \*, \*, \*; \*, \*, \*)，若A的行列式为0，则称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。

对于3阶方阵，其行列式计算公式为：det(A) = \*\*\* - \*\*\* + \*\*\* - \*\*\*+ \*\*\*。

8. 在求解线性方程组时，若系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则该方程组是_______的。

9. 设P是n阶置换矩阵，那么P的行（或列）向量中，有_______个1，n-_______个0。

10. 对于一个n维向量空间，其基可以通过_______个线性无关的向量来构造。

三、简答题（每题10分，共30分）11. 请简述线性相关与线性无关的定义，并给出一个例子说明两者的区别。

12. 给出一个具体的3维向量空间，并说明其基和维数。

13. 解释何为矩阵的秩，并举例说明如何计算一个矩阵的秩。

大学线代期末试题及答案

大学线代期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A|等于多少？A. 4B. 8C. 16D. 32答案：B2. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是：A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是唯一的答案：B3. 向量组α1, α2, α3线性无关，则下列说法正确的是：A. 这三个向量可以构成一个平面B. 这三个向量可以构成一个空间C. 这三个向量可以构成一个直线D. 这三个向量可以构成一个点答案：B4. 设A是n阶方阵，如果A的特征值为λ，则下列说法正确的是：A. λ是A的最小特征值B. λ是A的最大特征值C. λ是A的特征值D. λ不是A的特征值答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A的秩为2，则矩阵A的行列式|A|等于______。

答案：02. 设向量组α1, α2, α3线性相关，则至少存在不全为零的实数k1, k2, k3使得k1α1 + k2α2 + k3α3 = ______。

答案：03. 若A是3阶方阵，且A的迹等于6，则A的特征值之和等于______。

答案：64. 设向量空间V中有两个子空间U和W，若U与W的交集只包含零向量，则称U和W为______。

答案：互补子空间三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的逆矩阵。

答案：首先计算A的行列式，|A| = 1*4 - 2*3 = -2。

然后计算A的伴随矩阵，即\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1\end{pmatrix}\]。

最后，A的逆矩阵为\[\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\] / (-2) = \[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\]。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，线性无关的向量集合的最小维度是：A. 1B. 2C. 3D. 向量的数量答案：D2. 矩阵A的行列式为0，这意味着：A. A是可逆矩阵B. A不是可逆矩阵C. A的所有行向量线性相关D. A的所有列向量线性无关答案：B3. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示，其特征值是：A. 1, 2, 3B. 0, 1, 2C. -1, 1, 2D. 0, 3, 6答案：D4. 矩阵A与矩阵B相乘，结果矩阵的秩最多是：A. A的秩B. B的秩C. A和B的秩之和D. A的秩和B的列数中较小的一个答案：D5. 给定两个向量v1和v2，它们的点积v1·v2 > 0，这意味着：A. v1和v2垂直B. v1和v2平行或共线C. v1和v2的夹角小于90度D. v1和v2的夹角大于90度答案：C6. 对于任意矩阵A，下列哪个矩阵总是存在的：A. 伴随矩阵B. 逆矩阵C. 转置矩阵D. 特征矩阵答案：C7. 线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是：A. A是方阵B. A的行列式不为0C. B是零向量D. A是可逆矩阵答案：D8. 矩阵的特征值和特征向量之间的关系是：A. 特征向量对应于特征值B. 特征值对应于特征向量C. 特征向量是矩阵的行向量D. 特征值是矩阵的对角元素答案：A9. 一个矩阵的迹（trace）是：A. 所有元素的和B. 主对角线上元素的和C. 所有行的和D. 所有列的和答案：B10. 矩阵的范数有很多种，其中最常见的是：A. L1范数B. L2范数C. 无穷范数D. 所有上述范数答案：D二、简答题（每题10分，共20分）1. 请解释什么是基（Basis）以及它在向量空间中的作用是什么？答：基是向量空间中的一组线性无关的向量，它们通过线性组合可以表示空间中的任何向量。

复旦大学《线性代数》2017-2018学年第一学期期末试卷B

《线性代数》期末考试试卷B一、(30分)填空题(E 表示相应的单位矩阵).1. 设3阶矩阵A = (α1, α2, α3)的行列式|A | = 3, 矩阵B = (α2, α3, α1), 则矩阵A − B 的行列式|A − B | =______.解: (法一) |A − B | = |α1−α2, α2−α3, α3−α1| = |α1, α2−α3, α3−α1| + |−α2, α2−α3, α3−α1|= |α1, α2−α3, α3| + |−α2, −α3, α3−α1| = |α1, α2, α3| + |−α2, −α3, −α1| = |α1, α2, α3| − |α2, α3, α1| = |α1, α2, α3| − |α1, α2, α3| = 0.(法二) A − B = (α1−α2, α2−α3, α3−α1) = (α1, α2, α3)101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠= AP ,其中P =101110011−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠, |P | =101110011−−−= 0, 故|A − B | = |AP | = |A ||P | = 0.2. 若矩阵A 满足A 2 = O , 则E +A 的逆矩阵(E +A )−1 = _______.解: A 2 = O ⇒ (E +A )(E −A ) = E 2 −A 2 = E ⇒ (E +A )−1 = E −A .3. 若向量组α1 = (1, t , 1), α2 = (1, 1, t ), α3 = (t , 1, 1)的秩为2, 则参数t 满足条件___________.解: 令A = (α1, α2, α3), 则秩(A ) = 秩(α1, α2, α3) = 2 ⇒111111tt t = |A | = 0 ⇒ (t +2)(t −1)2 = 0 ⇒ t = −2或1.当t = −2时, 秩(A ) = 2; 当t = 1时, 秩(A ) = 1. 故t = −2.4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1, 矩阵B = E −2A *, 其中A *是A 的伴随矩阵, 则B 的行列式|B |= _______.解: 3阶矩阵A 的特征值为1, 2, −1 ⇒存在P 使得P −1AP =100020001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠记为Λ, 而且|A | = 1×2×(−1) = −2.故P −1A −1P = (P −1AP )−1 = Λ−1 =10001/20001⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠. 由A *A = |A |E 可得A * = |A |A −1 = −2A −1, 于是有|B | = |P |−1⋅|B |⋅|P | = |P −1|⋅|B |⋅|P | = |P −1BP | = |P −1(E −2A *)P | = |P −1EP −2P −1A *P | = |E − 2P −1A *P |= |E + 4P −1A −1P | = |E + 4Λ−1| =500030003−= −45.5. 若矩阵A =10022312x −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠与矩阵B =03y ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠相似, 则(x , y ) =________.解: |A | = 2(1−x ), |B | = 0, tr(A ) = 1+x , tr(B ) = 3+y . 因为矩阵A 与B 相似, 所以|A | = |B |, tr(A ) = tr(B ).由此可得x = 1, y = −1. (x , y ) = (1, −1). 6. 设(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征向量. 若A 不可逆,则A 的另一个特征值为______, 相应的一个特征向量为__________.解: 3阶矩阵A 有非零二重特征值而且A 不可逆 ⇒ A 的另一个特征值为0.设ξ为对应于0的特征向量, 则ξ与(1, −1, 0)T , (1, 0, −1)T 正交, 即ξ为12130x x x x −=⎧⎨−=⎩的非零解向量. 由此可得A 的一个对应于0的特征向量为ξ = (1, 1, 1)T .7. 已知3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2, 并且α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量, 其中α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T , 则Ax = b 的通解是_______________.解: 3元非齐次线性方程组Ax = b 的系数矩阵的秩为2 ⇒ Ax = 0的基础解系中有且仅有1个解向量.α1, α2, α3是Ax = b 的3个解向量 ⇒ A (α2 + α3 − 2α1) = A α2 + A α3 − 2A α1 = b + b − 2b = 0. α1 = (1, 1, 1)T , α2 + α3 = (2, 4, 6)T ⇒ α2 + α3 − 2α1 = (0, 2, 4)T . 可见ξ = (0, 2, 4)T 是Ax = 0的基础解系,因而Ax = b 的通解是x = k (0, 2, 4)T + (1, 1, 1)T , 其中k 为任意实数. 8. 若4阶方阵A , B 的秩都等于1, 则矩阵A +B 的行列式|A +B | = ________.解: 4阶方阵A , B 的秩都等于1 ⇒ 秩(A +B ) ≤ 秩(A )+秩(B ) = 2 < 4 ⇒ |A +B | = 0. 9. 若矩阵A =211x ⎛⎞⎜⎟⎝⎠与矩阵B =1221⎛⎞⎜⎟−⎝⎠合同, 则参数x 满足条件___________.解: 设λ1, λ2为A 的特征值, µ1, µ2为B 的特征值.µ1µ2 = |B | = −5 < 0 ⇒ µ1, µ2异号 ⇒ B 的秩为2, 正惯性指数为1.A 与B 合同 ⇒ A 的秩为2, 正惯性指数为1 ⇒ λ1, λ2异号 ⇒ 2x − 1 = |A | = λ1λ2 < 0 ⇒ x < 1/2.二、(10分)计算下述行列式的值: D =111+11111+11111111x x x x −−. 解: +1111+111111111111x x x x −−=1111+111111111111x x x −−+1111+11000111111x x x x−−=0000001111x x x−−+ x111+111111x x x −− =000000x x x −−+ x 111+111111x x x −−= x 3 + x 2111+00x x x x x −−= x 3 + x 22111+000x x x x x−= x 3 + (x 4 − x 3) = x 4. 三、(15分)设线性方程组1231231233032314x x x x x x x x x λµ++=⎧⎪++=−⎨⎪−++=⎩. 问: 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有唯一解? 当参数λ, µ取何值时, 线性方程组有无穷多组解? 当线性方程组有无穷多组解时, 求出其通解.解: 该方程组的增广矩阵(A , b ) =1310(3)1323114λµ×−×⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠→13100701071λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+⎝⎠→131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠. (1) 当λ ≠ −1, µ为任意实数时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 3, 此时线性方程组有唯一解.(2) 当λ = −1, µ = 1时, 秩(A ) = 秩(A , b ) = 2 < 3, 此时线性方程组有无穷多组解,131007010011λµ⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟+−⎝⎠=1713100701()0000⎛⎞⎜⎟−−×−⎜⎟⎝⎠→171310010(3)0000⎛⎞⎜⎟×−⎜⎟⎝⎠→37171010100000−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠由此可得3137127x x x +=−⎧⎨=⎩, 即3137127x x x =−−⎧⎨=⎩. 故通解为x = k (−1, 0, 1)T + (−37,17, 0)T , 其中k 为任意实数.四、(12分)设矩阵A =101012001⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, C =103101⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠, 矩阵X 满足A −1X = A *C + 2X , 其中A *是A 的伴随矩阵,求X .解: |A | = −1, 在A −1X = A *C + 2X 两边同时左乘以A 得X = −C + 2AX . 故(E −2A )X = −C .(E −2A , −C ) =10210(1)0343100101(1)−−−×−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟−−×−⎝⎠→1021003431001014(2)⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟××−⎝⎠→13100120303500101−⎛⎞⎜⎟−×⎜⎟⎝⎠→5312100010100101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 由此可得X =5312101−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎝⎠. 五、(10分)已知向量组η1, η2, η3线性无关, 问: 参数a , b , c 满足什么条件时, 向量组a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1线性相关?解: (a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) = (η1, η2, η3)011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠. 令P =011001a b c ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 则|P | = abc + 1. 由条件可知:a η1+η2,b η2+η3,c η3+η1线性相关 ⇔ 秩(a η1+η2, b η2+η3, c η3+η1) < 3 ⇔ 秩(P ) < 3 ⇔ |P | = 0 ⇔ abc = −1. 六、(15分)已知二次型f (x 1, x 2, x 3) = x 12 + 2x 22 + x 32 − 2x 1x 3.1. 写出二次型f 的矩阵;2. 求一正交变换x = Qy , 将f 变成其标准形(并写出f 的相应的标准形)；3. 求当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3)的最大值.解: 1. 二次型f 的矩阵A =101020101−⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎝⎠.2. |λE −A | =101020101λλλ−−−= (λ−2)2λ, 可见A 的特征值为λ1 = λ2 = 2, λ3 = 0.解(2E −A )x = 0得对应于λ1 = λ2 = 2的两个正交的特征向量ξ1 = (1, 0, −1)T , ξ2 = (0, 1, 0)T ,解(0E −A )x = 0得对应于λ3 = 0的一个特征向量ξ3 = (1, 0, 1)T .令Q = (11||||ξξ,22||||ξξ,33||||ξξ) =1/00101/0⎛⎜⎜⎜−⎝, 则正交变换x = Qy 将f 变成标准形2y 12 + 2y 22.3. x T x = 1 ⇔ (Qy )T (Qy ) = 1 ⇔ y T Q T Qy = 1 ⇔ y T y = 1 ⇔ y 12 + y 22 + y 32 = 1, 此时y 12 + y 22 ≤ 1. 故当x T x = 1时f (x 1, x 2, x 3) = 2y 12 + 2y 22的最大值为2.七、(8分)证明题.1. 设向量组α1, α2, α3, α4中, α1, α2, α3线性相关, α2, α3, α4线性无关, 证明: α1能由α2, α3, α4线性表示. 证明: 因为α1, α2, α3线性相关, 所以α1, α2, α3, α4线性相关.又因为α2, α3, α4线性无关, 所以α1能由α2, α3, α4线性表示.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: 矩阵A +A −1−E 也是正定矩阵.证明: 设λ1, …, λn 为A 的特征值, Λ =1n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠O . A 是n 阶正定矩阵 ⇒ 存在可逆矩阵P 使得P −1AP = Λ, 其中λ1, …, λn > 0⇒ P −1(A +A −1−E )P = P −1AP + P −1A −1P − P −1EP = Λ + Λ−1 − E =111111n n λλλλ+−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+−⎝⎠O, 其中 λ1+11λ−1, …, λn +1n λ−1> 0 ⇒ A +A −1−E 也是正定矩阵.。

线性代数考试试题

线性代数考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]2. 向量空间V的一组基具有n个向量，那么V的维数是：A. 0B. nC. 1D. 不确定3. 如果A和B是两个n阶方阵，那么AB和BA的行列式的值：A. 总是相等B. 只有在A和B可交换时相等C. 只有在A和B都是对角矩阵时相等D. 无法确定是否相等4. 对于任意的n维向量x，下列哪个选项是正确的？A. x^T * x是一个标量B. x^T * x是一个矩阵C. x * x^T是一个矩阵D. x + x^T是一个向量5. 特征值和特征向量的定义是什么？A. 对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得Av=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量B. 对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得vA=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量C. 对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量v，使得A^2v=λv，则λ是A的特征值，v是A的特征向量D. 以上都不是6. 下列哪个矩阵是对称矩阵？A. [1, 0; 0, -1]B. [0, 1; 1, 0]C. [1, 2; 2, 1]D. [2, 3; 3, 2]7. 对于矩阵A，其迹（trace）是：A. A的对角线元素之和B. A的行列式C. A的逆矩阵的对角线元素之和D. A的秩8. 如果矩阵A是正交矩阵，那么下列哪个陈述是正确的？A. A的行列式为1B. A的行列式为-1C. A的逆矩阵等于A的转置D. A的逆矩阵等于A本身9. 对于任意矩阵A，下列哪个选项是正确的？A. |A| 是 A 的行列式B. A^T 是 A 的转置C. A^-1 是 A 的逆矩阵D. A^* 是 A 的共轭转置10. 在线性代数中，线性无关的向量集合可以：A. 构成一个向量空间B. 构成一个基C. 确定一个唯一的解D. 以上都是二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵的秩是指__________________________。

线性代数大学试题及答案

线性代数大学试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间的基是该空间的一组向量，它们满足以下哪些条件？A. 线性无关B. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性组合得到C. 向量空间中的任何向量都可以由基向量线性表示D. 所有选项答案：D2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的秩B. A的列向量组的秩C. A的转置矩阵的秩D. 所有选项答案：D3. 下列哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 任何2x2的对角矩阵，对角线上的元素不全为零C. 任何3x3的单位矩阵D. 任何4x4的对称矩阵答案：B4. 线性变换可以用矩阵表示，当且仅当：A. 该变换是线性的B. 该变换是可逆的C. 变换的基向量线性无关D. 变换的输出空间是有限维的答案：C5. 特征值和特征向量是线性变换的基本概念，其中特征向量是指：A. 变换后长度不变的向量B. 变换后方向不变的向量C. 变换后保持不变的向量D. 变换后与原向量成比例的向量答案：D6. 矩阵的迹是：A. 矩阵主对角线上元素的和B. 矩阵的行列式的值C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆的转置答案：A7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 单位矩阵B. 任何对称矩阵C. 任何对角矩阵D. 任何行列式为1的方阵答案：A8. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的：A. 可逆性B. 秩C. 特征值D. 迹答案：A9. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵是可逆的B. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩C. 方程的个数等于未知数的个数D. 所有选项答案：B10. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. 单位矩阵B. 对角矩阵C. 任何方阵的转置D. 任何方阵与其转置的乘积答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 矩阵的______是矩阵中所有行（或列）向量生成的子空间的维数。

答案：秩2. 如果矩阵A和B可交换，即AB=BA，则称矩阵A和B是______的。

答案：可交换3. 一个向量空间的维数是指该空间的______的个数。

大学线性代数与解析几何习题

(2)detA≠0→A可逆
→齐次线性方程组Ax=0只有零解
AB=0→B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解→B=0
或：A可逆，即A-1存在→根据AB=0→A-1A B= A-10→B= A-1
三、空间解析几何部分
（一）填空题
1．已知，则．
提示：a0=a/|a|
2．设则＝．
提示：|a×b|=|a||b|sin→cos→a.b=|a||b|cos
2．
（A）（B）
（C）（D）
提示：|AB|=|A||B|=|BA|
3．设阶矩阵 ,若矩阵的秩为 ,则必为
()
提示：参见书本及作业上的例子。
4．
提示：参见前面的内容。
5． ()
提示：(AB)2=I→ABAB=I→A(BAB)=I→A-1=BAB
(AB)2=I→ABAB=I→(ABA)B=I→B-1=ABA
4．设，则 .
提示：对矩阵A施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A的秩。
5．设，则当满足条件时，可逆.
提示：矩阵A的行列式detA≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题
1．设阶矩阵，则必有（）
（A）（B）（C）（D）
提示：A的逆矩阵为BC
2．（）
提示：P的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=0
2．设向量 ( )
提示：Prjba=|a|cos，|a|＝3→cos→cosa.b)/(|a||b|)
3． ( )
提示：向量平行，对应坐标分量成比例。
4．设向量且 ( )
提示：向量混合积的计算方法。
5． ( )
提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。

线代复习题

线代复习题
1. 矩阵的基本概念
- 定义矩阵及其元素
- 矩阵的阶数
- 矩阵的表示方法
2. 矩阵的运算
- 矩阵的加法和减法
- 矩阵的数乘
- 矩阵的乘法
- 矩阵的转置
- 矩阵的逆
3. 特殊矩阵
- 零矩阵
- 单位矩阵
- 对角矩阵
- 斜对角矩阵
- 正交矩阵
4. 行列式
- 行列式的定义
- 行列式的计算方法
- 行列式的性质
5. 线性方程组
- 线性方程组的表示
- 高斯消元法
- 线性方程组的解的存在性
- 齐次线性方程组的解
6. 向量空间
- 向量空间的定义
- 基和维数
- 向量的线性组合
- 向量的线性相关性
7. 特征值和特征向量
- 特征值和特征向量的定义
- 特征值和特征向量的计算方法 - 特征多项式
8. 二次型
- 二次型的定义
- 二次型的矩阵表示
- 正定二次型
9. 线性变换
- 线性变换的定义
- 线性变换的矩阵表示
- 线性变换的性质
10. 矩阵分解
- 矩阵的对角化
- 矩阵的谱分解
- 矩阵的QR分解
11. 应用题
- 利用矩阵解决实际问题
- 矩阵在不同领域的应用案例分析
请根据以上复习题进行复习，确保掌握线性代数的基本概念和运算法则。

线性代数大学试题及答案

线性代数大学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设A是一个3阶方阵，且满足A^2 = A，则下列说法正确的是：A. A是可逆矩阵B. A是幂等矩阵C. A是正交矩阵D. A是单位矩阵答案：B2. 若矩阵A的特征值为1，则下列说法正确的是：A. 1是A的迹B. 1是A的行列式C. 1是A的一个特征值D. 1是A的秩答案：C3. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则下列说法正确的是：A. 向量组中任意向量都可以用其他向量线性表示B. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示C. 向量组中任意向量都可以被其他向量线性表示D. 向量组中任意向量都不可以被其他向量线性表示，除非它们线性相关答案：B4. 若矩阵A的秩为2，则下列说法正确的是：A. A的行向量组线性无关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关D. A的列向量组线性相关答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的行列式为0，则A的______。

答案：秩小于矩阵的阶数2. 设向量空间V的一组基为{v1, v2, ..., vn}，则任意向量v∈V可以唯一地表示为______。

答案：v = c1v1 + c2v2 + ... + cnn，其中ci为标量3. 设矩阵A和B可交换，即AB = BA，则A和B的______。

答案：特征值相同4. 若线性变换T: R^n → R^m，且T是可逆的，则T的______。

答案：行列式不为零5. 设A为n阶方阵，若A的特征多项式为f(λ) = (λ-1)^2(λ-2)，则A的特征值为______。

答案：1, 1, 26. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1, α2, ..., αn, α1+α2也是______。

答案：线性相关三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述什么是矩阵的秩，并给出如何计算矩阵的秩的方法。

答案：矩阵的秩是指矩阵行向量或列向量组中线性无关向量的最大个数。

大学线性代数试题及答案

线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC=，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。

4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 _________5. 设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________。

6. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-1230120011A ，则=*A 7.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。

10.若()T k 11=α与()T 121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)Ａ．8 Ｂ．8- Ｃ．34Ｄ．34- 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ 4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。

c)(A *kA)(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

【线代期末复习题】大学线代考研线代第一章行列式复习题答案

4. 当( )时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x ，有非零解(A) 1或2 (B) －1或－2 (C) 1或－2 (D) －1或25. 下列行列式计算正确的是：（A ）A 、0141030430-=-- B 、161111111111111111=------------ C 、0011111111011110=------ D 、121150202473004--=-6. 若11121321222331323312a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233424242a a a a a a a a a a a a --=-（D ） A 、0 B 、4 C 、1 D 、-27. 设2312781239325232D -=-，则=+++42322212A A A A (C )。

A 、1B 、-1C 、0D 、28. 设2100000121000000000001210000012ΛΛΛM M M M ΛΛ=n D ，则=n D ( B ) A 、1 B 、1+n C 、1-n D 、-1 9. 设(.....)τ 表示排列的逆序数, 则(431625)τ=( B ) （A ）1 （B) 7 （C)3 (D) 2三、计算题：1..求阶n 行列式D=000x x x x x x K K L L L L K0(1)(1)(1)000x x n x n x n x x xx x D xx x xx---==K L L L L L L L L L L L L L= 111100(1)(1)(1)0n n x n xn x x---=---L LL L L L L2. 计算行列式 1111111111111111x x D y y+-=+-.原式22101000101000111100111100y x yy yx x y yyx x x=-=--=3.. 问当k 取何值时，Ax b =无解、有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时写出Ax b =的全部解12312312321,2,455 1.x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩解1 作方程组的增广矩阵M （A b ），并对它施以初等变换： ()()32213135521121121111221032103455165506540021r r r r r r r k k k A A b k k k k k k k -+-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-−−−→+-−−−→+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭再于是，（4分）当45k =-时，原方程组无解；当41,5k k ≠≠-时，原方程组有唯一解；当1k =时，原方程组有无穷多组解，其全部解为1231,1,x x k x k ==-+=（其中k 为任意常数），（或()()()123011110TTTx x x k =+-（k 为任意常数）. （9分）解2()()()()()232121111101115415445455405k k k c c D k k k k k k k ---+=-=--=----=-+---，当41,5k k ≠≠-时，方程组有唯一解.当1k =时，原方程组为1231231232124551x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩；()()12213124211111121112111221110333455145510999r r r r r r A A b ↔-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-−−−→-−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭2123239111210010111011100000000r r r r r +--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再，同解方程组为12311x x k x k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，即()()()123011110T T Tx x x k =+-（k 为任意常数）.当45k =-时，原方程组为12312312342154254551x x x x x x x x x ⎧--=⎪⎪⎪--+=⎨⎪+-=-⎪⎪⎩，即12312312310455455104551x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩，这时第二个第三个方程左边相同，而右边不等，故方程组无解.4. 计算行列式 abbb a bb b aD n ΛΛΛΛΛΛΛ=..解 abb a b b b n a a b bb a b b b aD n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ111])1([-+==1)]()1([0001])1([---+---+=n b a b n a b a b a b b b n a ΛΛΛΛΛΛΛ5. 计算行列式 65429720199321原式65431132110012---r r 1812151224156-=++---= 6. 计算行列式11115312259141252718--解：（允许多种方法解答）该行列式为范德蒙行列式原式=11112312(35)(15)(25)(13)(23)(21)491482718-=+++----672=7.. 81278419421321111----解：（允许多种方法解答）该行列式为范德蒙行列式原式=11112313(32)(12)(32)(13)(33)(31)2404919827127-=----++-=-8．计算四阶行列式 3111131111311113的值。

大学线性代数期末考试练习题复习资料附答案

第一章行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若22351011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=0100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--0001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cca b b a b c a c b a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D00103012112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.yxyx x y x y y x y x +++；2．解方程001111101110=x x xx ； 3. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)；4.21000120000021000121000125．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a x b a -=++++++. 2．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a dcbad c b a +++------=.3．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c b a 的充要条件是0=++c b a .参考答案一．单项选择题A D A C C D A B C D B B 二．填空题1.n ;2.”“-; 3.43312214a a a a ; 4.0; 5.0; 6.!)1(1n n --; 7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-; 13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk kn ; 17.3,2-≠k ;18.7=k 三．计算题1．)(233y x +-； 2. 1,0,2-=x ; 3. )111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 4 1+n ; 5. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

大学线性代数与解析几何习题

《线性代数与解析几何》复习题一、矩阵部分(一)填空题.1．设()1123123,(1,,)αβ==，TT B A βαβα==,，则3___________A =.提示：A 3=βαββαβααββαβααTT T T T T T 3)(==2．设方阵A 满足240,,A A I I +-=其中为单位矩阵，1)_____________A I --=则(. 提示：A 2+A-4I=0→A 2+A-2I-2I=0→(A-I)(A+2I)=2I →(A-I)(A+2I)/2=I 3．设方阵A 满足0322=--I A A ，则=-1A ____________.提示：A 2-2A-3I=0 → A(A-2A)=3I4．设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=1301113111211111A ，则=)(A r . 提示：对矩阵A 施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A 的秩。

5．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a a a a A 111，则当a 满足条件时，A 可逆.提示：矩阵A 的行列式detA ≠0时，矩阵可逆。

(二)选择题1．设n 阶矩阵,,,A B C ABC I I =满足为单位矩阵，则必有（）（A ）I ACB = （B ）I BCA = （C ）I CBA = （D ）I BAC =提示：A 的逆矩阵为BC2．12321,,0,312Q t P QP t ⎛⎫ ⎪=-== ⎪ ⎪⎝⎭已知是三阶非零矩阵且则（）()1()1()2()2A B C D --提示：P 的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P 非零，Qx=0有非零解，故Q 的行列式detQ=0 3．1112132122232122231112131313233311132123313010,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦设2100010,101P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则必有（）12211221()()()()A APP BB AP P BC PP A BD P P A B ====提示：矩阵B 由矩阵A 经初等行变换得到，故在C 或D 中选择，P1、P2为初等矩阵，P1为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C 4．设n 维向量)21,0,,0,21(=α,矩阵ααααT T I B I A 2,+=-=,其中I 为n 阶单位矩阵,则=AB ( )()()()()T A B IC ID I αα-+提示：AB ＝ (I-αT α)(I+2αT α)=I+αT α-2 αT α αT α= I+αT α-2 αT (α αT )α=I5．A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,22B A B A B A n -=-+ （）（A ） B=E （B ） A=E （C ）A=B （D ）AB=BA提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB6．矩阵==≠≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(,4,3,2,1,0,0,44342414433323134232221241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ii 则其中 ( )A 、1B 、2C 、3D 、4 提示：A=(a 1,a 2,a 3,a 4)T (b 1,b 2,b 3,b 4) (三)计算题1．2101,02010AB I A B A I B ⎛⎫ ⎪+=+= ⎪ ⎪-⎝⎭设,为单位矩阵,求矩阵。

线性代数考试题及答案

线性代数考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 向量空间中，向量组的线性相关性指的是：A. 向量组中的向量可以相互表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为其他向量的线性组合C. 向量组中的向量线性无关D. 向量组中的向量可以线性独立答案：B2. 矩阵A的秩是指：A. A的行向量组的极大线性无关组所含向量个数B. A的列向量组的极大线性无关组所含向量个数C. A的行数D. A的列数答案：B3. 对于矩阵A，若存在矩阵B，使得AB=BA=I，则B是A的：A. 逆矩阵B. 伴随矩阵C. 转置矩阵D. 正交矩阵答案：A4. 线性变换的特征值是指：A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量与原向量的比值D. 变换后向量与原向量的夹角答案：C5. 一个矩阵的特征多项式是：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的伴随矩阵D. 矩阵的迹答案：A6. 线性方程组有唯一解的条件是：A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的行列式不为零答案：D7. 矩阵的迹是：A. 矩阵的对角线元素之和B. 矩阵的行列式C. 矩阵的逆矩阵D. 矩阵的伴随矩阵答案：A8. 矩阵的伴随矩阵是：A. 矩阵的转置矩阵B. 矩阵的逆矩阵C. 矩阵的对角线元素的乘积D. 矩阵的行列式答案：B9. 向量空间的基是指：A. 向量空间中的一组向量B. 向量空间中线性无关的一组向量C. 向量空间中线性相关的一组向量D. 向量空间中任意一组向量答案：B10. 矩阵的转置是：A. 矩阵的行列互换B. 矩阵的行列互换C. 矩阵的行向量变成列向量D. 矩阵的列向量变成行向量答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 一个向量空间的维数是指该空间的_________。

答案：基的向量个数2. 矩阵A的行列式表示为_________。

答案：det(A)3. 线性变换的矩阵表示是_________。

大一线性代数期末考试试题

大一线性代数期末考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 2]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]2. 如果向量v = (3, -2)和向量w = (1, λ)平行，那么λ的值是多少？A. 3B. -2C. λD. 不能确定3. 对于n阶矩阵A，其行列式的值为0，这意味着：A. A是单位矩阵B. A是零矩阵C. A不是满秩矩阵D. A的所有特征值都是14. 线性变换T: R^3 → R^3，由矩阵[1, 2, 0; 0, 1, 2; 1, 1, 1]表示，该变换的特征向量对应的特征值是：A. 0B. 1C. 2D. 35. 对于向量空间V中的一组基B = {v1, v2, v3}，向量v = 2v1 +3v2 - v3在基B下的坐标表示为：A. (2, 3, -1)B. (2, 3, 1)C. (2, 3, 0)D. (-1, 3, 2)二、填空题（每题3分，共15分）6. 矩阵A = [4, -1; 2, 3]的迹为______。

7. 如果线性方程组的系数矩阵为[1, 2; 3, 4]，增广矩阵为[1, 2, 1; 3, 4, 0]，则该方程组的解为______。

8. 对于向量空间W = {v ∈ R^4 | Av = 0}，其中A = [1, 2, 3, 0; 0, 1, 2, 3]，则W的维数为______。

9. 已知向量v = (1, 2, 3)和向量u = (4, -1, 2)，则v·u（向量v和向量u的点积）等于______。

10. 若矩阵B可由矩阵A通过初等行变换得到，且A = [1, 2; 3, 4]，则|B| = |A| = ______。

三、解答题（共75分）11. （15分）证明矩阵A和它的转置矩阵A^T具有相同的行列式值。

12. （20分）给定一个线性变换T: R^n → R^m，其中T由矩阵C表示，证明T的特征向量和矩阵C的特征向量在相同的特征值下是共线的。

大学物理、数学本科《线性代数》考试题及答案(M)试卷

XXX 学年第一学期期末考试试卷本科《线性代数》考试题及答案（M ）试卷一、填空题：（每题3分，共15分）。

1、设4阶方阵][,][3212321γγγγαγγγα+==B A ，并且有==B A 则,2_______。

2、已知向量组321,,ααα线性相关，而向量组421,,ααα线性无关，则向量组321,,ααα的秩为___________。

3、矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5400010000240013,则3A =_________。

4、已知3R 中的两个向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111,101βα，与βα,都正交的单位向量是_______。

5、二次型3231212322213212245),(x x x x x x mx x x x x x f --+++=是正定二次型，则m 应满足的条件是_________。

课程代码：适用班级：计算机科学与技术命题教师：任课教师：二、单项选择题：（每题3分，15分）。

1设4阶方阵A 的行列式值为零，则A 中( )。

A. 必有一列元素全为零B.必有两列元素成比例C. 必有一列向量是其余列向量的线性组合D. 任意列向量是其余列向量的线性组合。

2 设A 为n 阶方阵，且0≠=a A ，则=*A ____。

A. aB.a1C. 1-n aD. n a 3向量组(A)：r ααα,,,21 与向量组(B):s βββ,,,21 等价，向量组（A ）线性无关，则r 与s 的关系是：A. s r =B. s r ≤C. s r <D.s r >4设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A ，B 都是n m ⨯矩阵，下列命题中正确的是：A.若R(A)=R(B),则AX=0与BX=0同解B.若AX=0与BX=0同解，则R(A)=R(B)C.若R(A)≥R(B),则AX=0的解都是BX=0的解D.若R(A)≥R(B),则BX=0的解都是AX=0的解 5、n 阶方阵A 相似于对角阵的充分必要条件是：A. A 有n 个互不相同的特征值B. A 有n 个互不相同的特征向量C. A 有n 个两两正交的特征向量D. A 有n 个线性无关的特征向量三、解答下列各题：（每题10分，共30分）。

线性代数期末考试题及答案

线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，则向量α和向量β的点积为：A. 32B. 22C. 14D. 0答案：A3. 设A为3×3矩阵，且A的秩为2，则A的行向量线性相关，下列说法正确的是：A. 正确B. 错误答案：A4. 若A为n阶方阵，且A^2=0，则A的秩为：A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案：C5. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为：A. 6B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。

答案：\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3)，向量β=(4,6)，则向量α和向量β共线，其比例系数为2。

答案：23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式为2。

答案：24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]，则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。

答案：\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵C的特征值为1和2。

大一线性代数考试题库及答案解析

大一线性代数考试题库及答案解析一、选择题1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为多少？A. 1/2B. 2C. 1/4D. 1答案：C解析：根据行列式的性质，一个矩阵的逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。

因此，|A^(-1)| = 1/|A| = 1/2。

2. 向量α=(1,2,3)和β=(-1,0,1)是否共线？A. 是B. 否答案：A解析：若向量α和β共线，则存在一个实数k使得β=kα。

将向量α和β的对应分量相除，得到-1/1=0/2=1/3，显然不存在这样的实数k，因此向量α和β不共线。

二、填空题3. 设矩阵B是一个3×3的矩阵，且B的秩为2，则矩阵B的零空间的维数为____。

答案：1解析：矩阵B的零空间的维数等于矩阵的列数减去矩阵的秩，即3-2=1。

4. 若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于____。

答案：n解析：若线性方程组Ax=b有唯一解，则系数矩阵A的秩等于未知数的个数n。

三、解答题5. 给定向量组α1=(1,2,3)，α2=(4,5,6)，α3=(7,8,9)，求证向量组α1，α2，α3线性相关。

答案：证明：首先计算向量组α1，α2，α3的行列式：|α1 α2 α3| = |1 2 3||4 5 6||7 8 9| = 0由于行列式为0，根据行列式的性质，向量组α1，α2，α3线性相关。

6. 设矩阵C为3×3的矩阵，且C的行列式为0，求证矩阵C不可逆。

答案：证明：根据矩阵的逆矩阵的定义，若矩阵C可逆，则存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I。

但是，由于|C|=0，根据行列式的性质，不存在矩阵C^(-1)使得CC^(-1)=I，因此矩阵C不可逆。

四、计算题7. 计算矩阵D=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 &9\end{bmatrix}的行列式。

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