基本不等式学案

§

3.4 2a b +≤ 一、 探求新知

试证明222a b ab +≥，当且仅当___________时，等号成立。

二、深度研究：

0,0,a b >>如果,a b ，可得

_____________________

即_____________________（*）

试用代数法证明不等式（*）：

注：对任意两个正实数,a b ，数2

a b +叫做,a b 的__________；数叫做,a b 的__________；基本不等式中等号成立条件是： _______________________.

三、学以致用：

探究一、均值不等式在不等式证明中的应用：

例1：已知0,ab >求证：

2,b a a b

+≥并推导出式中等号成立的条件．

跟踪练习1： （1）求函数1y x x

=+

（0x >）的值域。 （2）求函数1y x x

=+的值域。

（2）已知,,

a b R+

∈求证：

11 ()() 4.

a b

a b

++≥

探究二、利用均值不等式求最值：

例2 ：（1）一个矩形的面积为1002

m，问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？

由例2，可以总结出以下规律：

（1）已知x、y都是正数，则：

●如果积xy是定值p，那么当x=y时，x+y有最小值；

●如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值。

（2）利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：

●各项均为正数;

●其和或积为常数;

●等号必须成立.

跟踪练习2：

（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？

（2）把36写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？

模块一：直接用公式

1、设02,x <<求函数3(83)y x x =-的最大值。

2、求函数2324()(0)x x f x x x

-+-=>的最大值，以及此时x 的值。

跟踪练习：求函数2

4()(0)2x f x x x =≠+的最大值以及相应的x 值。

模块二：添加项 函数1

y x x =+的值域为______________

3、求函数3

(2)2y x x x =+>-的最小值以及相应的x 的值。

模块三：分拆项

4、求函数24

(1)1x x y x x -+=>-的最小值及相应的x 的值。

模块四：巧用”1”代换

5、设0,0x y >>，且21x y +=，求1

2

+x y 的最小值。

模块五：结合函数a

y x x =+的单调性

6、求2

y =

【练一练】

1. 若2

8

1,x y +=且,x y 均为正数，则xy 有（ ）

A 最大值64

B 最小值164

C 最小值1

2 D 最小值64

2、已知,x y 均为正数，且1,x y +=则1

1

x y +的最小值是（ ）

A 3++ D 4

3、已知0,0,a b ≥≥且2a b +=，则那么下列结论正确的是（ ） A 1

2ab ≤ B 12ab ≥ C 222a b +≥ D 22

2

a b +≤ 4、下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）

A ．4y x

x =+ B ．2

)y x R +=∈

C ．4x x y e e -=+

D ．4

sin (0)sin y x x x π=+<<、