反比例函数K的几何意义

反比例函数K 的几何意义

知识引入

反比例函数)0(≠=

k x k y 中k 的几何意义：双曲线)0(≠=k x

k

y 上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为k 。

理由：如下图，过双曲线上任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM PN 、所得的矩形

PMON 的面积

PMON S PM PN y x xy =⋅=⋅=矩形；

k

y x

=

，xy k ∴=即S k =，即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积均为k 。

下面两个结论是上述结论的拓展： 如下图，则有k xy S S AOB OPA 2

121==

=∆∆ （1）如图①，OPA OCD OPC ADCP S S S S ∆∆∆==梯形；

图①图②

（2）如图②，BPE ACE OAPB OBCA S S S S ∆∆==梯形梯形；

典型例题

题型一：K 意义的直接运用

【例1】（2013•宜昌）如图，点B 在反比例函数()02

>=

x x

y 的图象上，横坐标为1，过点B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为A C 、，则矩形OABC 的面积为_______

2、（2013•淄博）如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数x

k

y =的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是__________

【变式练习】：

1、如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上：ABP

∆的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．

2、如图，A B 、为双曲线x

y 12

-

=上的点，AD x ⊥轴于D ,BC y ⊥轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为。

题型二：知K 求面积

【例2】①双曲线x

y 4

=

在第一象限内的图像如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 点，交y 轴于B 点，点C 为x 轴上一点，连结AC 交y 轴于D 点，连结BC ，若

DBC ∆的面积为3，则ABD ∆的面积为。

②双曲线x

y 3

=在第一象限内的图象经过等边AOB ∆的顶点A ，过点B 作x BD ⊥轴交双曲线于点D ，则DB 的长为。过A D 、的直线分别交x 轴y 轴于E F 、，则EOF ∆的面

积为。

变式练习：

1、直线l 交y 轴于点C ，与双曲线()0k

y k x

=

<交于A B 、两点，P 是线段AB 上的点（不与A B 、重合），过点A P Q 、、（Q 在直线l 上）分别向x 轴作垂线，垂足分别为D E F 、、，

连接OA OP OQ 、、，设AOD ∆的面积为1S ，POE ∆的面积为2S ，QOF ∆的面积为3S ，则123S S S 、、的大小关系为．（用“<”连接）

2、如图是反比例函数5y x =和3y x =在第一象限内的图象，在3

y x

=上取点M 分别作两坐标轴的垂线交5

y x

=

于点A B 、，连接OA OB 、，则图中阴影部分的面积为

3、如图，两个反比例函数x y 4=

和x

y 2

=在第一象限内的图象分别是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PA x ⊥轴于点A ，交2C 于点B ，则POB ∆的面积为_________

4、（2013•乌鲁木齐）如上图，反比例函数()03

>=

x x

y 的图象与矩形OABC 的边长AB BC 、分别交于点E F 、且AE BE =，则OEF ∆的面积的值为____________

5、如图已知双曲线)0(<=

k x

k

y 经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，

且与直角边AB 相交于点C ，若点A 的坐标为（-6，4）,则AOC ∆的面积为。

6、如图，已知双曲线()011>=

x x y ，()042>=x x

y ，点P 为双曲线x y 42=上的一点，且PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B PA PB 、、分别交双曲线()01

1>=x x

y 于D C 、两点，则

PCD ∆的面积为 。

题型三：知面积求K

【例3】①如图，已知双曲线y ＝

x

k

(x ＞0)）经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k =

②如图，点A B 、为双曲线x

k

y =上两点，过点A 作y AC ⊥于点C ，过点B 作y BD ⊥轴于点D ，连结OA OB 、，OA BD 、交于点E ，若EOD ∆的面积为1，阴影部分的面积之

和为9，则k 的值为。

变式练习：

1、如图，如图，点A B 、为双曲线)0(>=

x x k

y 上两点，过点A 作y AC ⊥于点C ，过点B 作x BD ⊥轴于点D ，OC BD AC 5

1

==,9=ABDC S 四边形，则k 的值为。

2、（2013•玉溪）反比例函数x

k

y =

()0>x 的图象如上图，点B 在图象上，连接OB 并延长到点A ，使2AB OB =，过点A 作//AC y 轴，交x

k

y =()0>x 的图象于点C ，连接OC ，

5AOC S ∆=，则k =________________

3、已知双曲线()0k

y k x

=

>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交