反比例函数K的几何意义

反比例函数K 的几何意义知识引入反比例函数)0(≠=k x k y 中k 的几何意义：双曲线)0(≠=k xky 上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为k 。

理由：如下图，过双曲线上任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM PN 、所得的矩形PMON 的面积PMON S PM PN y x xy =⋅=⋅=矩形；ky x=，xy k ∴=即S k =，即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积均为k 。

下面两个结论是上述结论的拓展： 如下图，则有k xy S S AOB OPA 2121===∆∆ （1）如图①，OPA OCD OPC ADCP S S S S ∆∆∆==梯形；图①图②（2）如图②，BPE ACE OAPB OBCA S S S S ∆∆==梯形梯形；典型例题题型一：K 意义的直接运用【例1】（2013•宜昌）如图，点B 在反比例函数()02>=x xy 的图象上，横坐标为1，过点B 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为A C 、，则矩形OABC 的面积为_______2、（2013•淄博）如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数xky =的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是__________【变式练习】：1、如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点P 在x 轴上：ABP∆的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．2、如图，A B 、为双曲线xy 12-=上的点，AD x ⊥轴于D ,BC y ⊥轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为。

题型二：知K 求面积【例2】①双曲线xy 4=在第一象限内的图像如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 点，交y 轴于B 点，点C 为x 轴上一点，连结AC 交y 轴于D 点，连结BC ，若DBC ∆的面积为3，则ABD ∆的面积为。

②双曲线xy 3=在第一象限内的图象经过等边AOB ∆的顶点A ，过点B 作x BD ⊥轴交双曲线于点D ，则DB 的长为。

过A D 、的直线分别交x 轴y 轴于E F 、，则EOF ∆的面积为。

变式练习：1、直线l 交y 轴于点C ，与双曲线()0ky k x=<交于A B 、两点，P 是线段AB 上的点（不与A B 、重合），过点A P Q 、、（Q 在直线l 上）分别向x 轴作垂线，垂足分别为D E F 、、，连接OA OP OQ 、、，设AOD ∆的面积为1S ，POE ∆的面积为2S ，QOF ∆的面积为3S ，则123S S S 、、的大小关系为．（用“<”连接）2、如图是反比例函数5y x =和3y x =在第一象限内的图象，在3y x=上取点M 分别作两坐标轴的垂线交5y x=于点A B 、，连接OA OB 、，则图中阴影部分的面积为3、如图，两个反比例函数x y 4=和xy 2=在第一象限内的图象分别是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PA x ⊥轴于点A ，交2C 于点B ，则POB ∆的面积为_________4、（2013•乌鲁木齐）如上图，反比例函数()03>=x xy 的图象与矩形OABC 的边长AB BC 、分别交于点E F 、且AE BE =，则OEF ∆的面积的值为____________5、如图已知双曲线)0(<=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ，若点A 的坐标为（-6，4）,则AOC ∆的面积为。

6、如图，已知双曲线()011>=x x y ，()042>=x xy ，点P 为双曲线x y 42=上的一点，且PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B PA PB 、、分别交双曲线()011>=x xy 于D C 、两点，则PCD ∆的面积为 。

题型三：知面积求K【例3】①如图，已知双曲线y ＝xk(x ＞0)）经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边形OEBF 的面积为2，则k =②如图，点A B 、为双曲线xky =上两点，过点A 作y AC ⊥于点C ，过点B 作y BD ⊥轴于点D ，连结OA OB 、，OA BD 、交于点E ，若EOD ∆的面积为1，阴影部分的面积之和为9，则k 的值为。

变式练习：1、如图，如图，点A B 、为双曲线)0(>=x x ky 上两点，过点A 作y AC ⊥于点C ，过点B 作x BD ⊥轴于点D ，OC BD AC 51==,9=ABDC S 四边形，则k 的值为。

2、（2013•玉溪）反比例函数xky =()0>x 的图象如上图，点B 在图象上，连接OB 并延长到点A ，使2AB OB =，过点A 作//AC y 轴，交xky =()0>x 的图象于点C ，连接OC ，5AOC S ∆=，则k =________________3、已知双曲线()0ky k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C．若OBC ∆的面积为3，则k =____________．题型四：知线段（横，纵坐标的）差，比设坐标【例4】①如图，在OAB ∆中，C 是AB 的中点，反比例函数)0(>=k xky 在第一象限的图象经过A C 、两点，若OAB ∆面积为6，则k 的值为____________②如图，已知梯形ABCD 的底边AO 在x 轴上，//BC AO ，AB AO⊥，过点C 的双曲线ky x=交OB 于D ，且:1:2OD DB =，若OBC ∆的面积等于3，则k 的值______变式练习：1、如图，直线与双曲线（）交于点A ．将直线向右平移个单位后，与双曲线（）交于点B ，与轴交于点C ，若，则．43y x =k y x =0x >43y x =92k y x =0x >x 2AOBC=k =Oy ABC题型五：反比例函数中的相似【例5】如图6，直线6y x =-交x 轴、y 轴于A B 、两点，P 是反比例函数4(0)y x x=>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F 。

则AF BE ⋅=________。

变式练习：1、如图，M 为双曲线xy 3=上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y x m =-+点D C 、两点，若直线y x m =-+与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD BC ⋅的值为_________．2、如图，直线y x b =+与y 轴交于点A ，与双曲线ky x=在第一象限交于B C 、两点，且4AB AC ⋅=，则k =_________．题型六：反比例函数图像上的特殊多边形【例6】①如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数1y x=（0x >）的图象上，则点E 的坐标是（，）.变式练习：1、如图，正方形1112A B PP 的顶点1P 、2P 在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点1A 、1B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2232B A P P ，顶点3P 在反比例函数2(0)y x x=>的图象上，顶点2A 在x 轴的正半轴上，则点3P 的坐标为．中考链接：1、（2009成都）如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函(00)ky k x x=><，的图象上．若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M N 、，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ．则当S m =(m 为常数，且04m <<)时，点R 的坐标是________________________(用含m 的代数式表示)2、（2010年）已知n 是正整数，111222(,),(,),,(,),n n n P x y P x y P x y 是反比例函数ky x=图象上的一列点，其中121,2,,,n x x x n ===．记112A x y =，223A x y =，1n n n A x y +=，，若1A a =（a 是非零常数），则12n A A A 的值是________________________（用含a 和n 的代数式表示）． 3、（2011年）在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数2(0)ky k x=≠满足：当0x <时，y 随x的增大而减小。

若该反比例函数的图象与直线y x =-都经过点P，且OP =k =_________.4、（2012成都）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，与反比例函数(为常数，且)在第一象限的图象交于点E F 、．过点E 作EM y ⊥轴于M ，过点F 作FN x ⊥轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若1BE BF m=(为大于l 的常数)．记CEF ∆的面积为，OEF ∆的面积为，则12SS =________．(用含的代数式表示)5、（2014成都）如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线x y 23=与双曲线xy 6=相交于A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP ，BC .若△PBC 的面积是20，则点C 的坐标为___________.6、（2014•孝感）如图，Rt AOB ∆的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线)0(>=x xky 经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ．若9OCD S ∆=，则OBD S ∆的值为。

ky x=k 0k >m1S 2Sm7、（2014•锦州）如图，点B 1在反比例函数)0(2>=x xy 的图象上，过点1B 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足为C 1和A ，点1C 的坐标为（1，0）取x 轴上一点)0,23(2C ，过点C 2分别作x 轴的垂线交反比例函数图象于点2B ，过2B 作线段11B C 的垂线交11B C 于点1A ，依次在x 轴上取点3(2,0)C ，)0,25(4C …按此规律作矩形，则第n （2n ≥，n 为整数）个矩形）11n n n n A C C B --的面积为。

能力提升1、如右图，直线AB 交双曲线(0)ky k x=>于A B 、，交x 轴于点C B 、为线段AC 的中点，过点B 作BM x ⊥轴于M ，连结OA 。