系统的描述与数学建模

系统的描述与数学建模

[摘要]数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。

[关键词]系统的建模数学建模

数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。一个极其复杂的数学模型对于分析系统毫无帮助。

为了说明这种数学建模的方法，我们举一个简单的例子。比如我们研究某一地区人口的健康状况。假定在我们的研究时段内没有人口的自然死亡，按照自然规律人口总是以一定的概率，变成亚健康、或者患上某种轻疾病、或者患上重疾病。在一定的环境和医疗条件下，部分亚健康者和患者会得以康复，这是一种简单运算的系统描述，并没有具体地给出定量表达。为了能用数学的方法表达这个描述，我们按照以下方式将人口分类：（1）健康人。（2）亚健康人。（3）患轻病人。（4）患重病人。

根据上面的关系和一些假定条件，我们可以得到相应的微分方程，至于方程的详细导出我们以后再讨论。这里我们需要指出，前面我们只是一种说明性的举例，在实际建模过程中，要依赖于系统所在的环境，按照前面方法得到的应是确定性模型，在随机环境中，上面所述的量应当对应成相应状态的概率。

再比如排队系统，是最常见的一种系统，这类系统主要描述顾客到达，接受服务然后离开这一过程。系统由顾客与服务员两个单元组成。这类问题主要由以下四个因素决定：（1）顾客来到窗口的频率。（2）窗口的个数。（3）排队规则。（4）服务时间分布；所以我们必须对它们作适当的假定。

在单个服务台的排队系统模型M/M/1，即系统只设一个服务台床的情况。假定顾客是相互独立地到达系统，而且顾客到达系统的间隔时间服从负指数分布

F(t)=1-e -λt (输入过程)，又服务窗为每一位顾客的服务时间也同时服从负指

数分布H(t)=1-e -μt (运行方式)。对这种最简单的排队模型，我们将依照不同的系统规则确定排队系统所满足的微分方程。

M/M/1损失制排队模型是指系统内只设一个服务窗，系统容量为1（即有一个排队位置而无排队等待位置），顾客到达和窗口服务时间均为负指数分布，且

它们各自的参数为λ与μ的排队系统。如顾客到达时，发现服务窗正忙着，他立即离去另求别处服务。因系统只有单个服务窗，故系统只能有两种可能状态：0（服务台空闲），及1（服务窗忙着）。假定初始时间系统中无顾客。

将模型建立后，一般来说模型只是系统描述在数学上的一种近似，一个正确的数学模型具有反映系统本质的特性。所以这种数学的解以及解的渐近行为给出了系统演化的本质特征。从数学上讲，对于给定的数学模型，我们需要了解模型动态解（瞬时解）和稳定解的存在性，特别是具有实际意义的非负解的存在性。为了能真正反映系统的性质，系统的动态解是否收敛于定态解，如果收敛是以何种方式收敛？这反映系统的稳定性能力。

从系统分析的角度，我们不是单纯研究模型，而是要通过模型来研究系统的性质。所以最后工作是利用模型解来研究系统的几个重要指标，这些指标刻划了系统的运行行为，同时利用现有系统的行为进一步研究系统的设计、决策和优化问题，在必要的时候，我们还需要二次建模。

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