2019届高三1月模拟考试数学(文科)试卷(附解析)

【点睛】本道题考查了函数的性质，考查了函数零点问题，难度偏难。
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量 与 是互相垂直的单位向量，设
柳州市 2019 届高三毕业班 1 月模拟考试
高三数学（文科）
一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的 .
1.已知集合
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】
【分析】
求出直线
与
的交点，即可得到答案。
【详解】由题意
作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，画出表示的区 域。
10.已知点 是抛物线
（）
A.
B.
C.
上的动点，以点 为圆心的圆被 轴截得的弦长为 ，则该圆被 轴截得的弦长的最小值为 D.
【答案】 D 【解析】
【分析】
先设出圆心坐标
，然后由圆被 轴截得的弦长为 可以表示出半径，进而可以表示出圆的方程，然后可以将该
( 年 ) 与树高 ）
之间的散点图 . 请你据此判断， 拟合这种树生长的年数与树
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】
本道题结合不同类型的函数图像，进行拟合，选出最好的模型，即可。
【详解】分析可知，如果为 A 选项，则 A 选项函数过
点，而该函数图像不过，故错误；对于 B 选项，可知该函
数图像类似于对数函数图像，故正确； C 选项，该函数递增很快，不符合这个图像，故错误；
，
，
，则， ，的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】
结合 0,1 进行 a,b,c的大小比较，即可。
【详解】
,
,故
,故选 B.
【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小，关键可以结合
0,1 进行大小比较，难度中等。
5.已知函数
A.
B.
，则函数 的零点所在的区间是（
）
C.
D.
【答案】 C
圆被 轴截得的弦长的表达式表示出来，进而求最小值即可。
【详解】设圆心
，而
，
圆 的方程为：
，
当 时，得
. 故选 D. 【点睛】求圆的弦长的常用方法： ① 几何法：设圆的半径为 r ，弦心距为 d，弦长为 l ，则 ＝ r2－ d2；②代数方法：
运用韦达定理及弦长公式： |AB|＝
·|x1 －x2 |＝
【解析】
【分析】
将零点问题转化为交点问题，结合图像，得出结论。
【详解】转化 ，得到
，构造新函数
，绘制图形，可得：
结合图像可知，这两个函数的交点介于区间
内，故零点所在区间也是
【点睛】本道题考查了函数零点所在区间的判定，难度中等。
6.已知数列
的首项为 ，第 项为 ，前 项和为 ，当整数
时，
，故选 C。 恒成立，则 等于（ ）
，构造函数
的位置应该为 1,2,3 号位置。
，则题目转化为函数
与在
有一个交点，则
当 与 相切的时候，即 1 号位置时，设切点 A 为
，斜率为
，建立方程，得到
，而
该直线过原点
，代入直线方程，解得
，故 ，故
，解得
。
当 与 恰好有一个交点时，位置介于 2 号到 3 号， B 的坐标为
，则
，解得
，故选 A。
，解得
， ，故
.
故答案为 A. 【点睛】本题考查了集合的交集，两直线的交点，属于基础题。
2.已知复数
A. 1 B.
C.
【答案】 D
【解析】
【分析】
与 D.
为共轭复数，其中
，为虚数单位，则
（）
由共轭复数的概念可以得到
，解方程即可得到 ，进而可以求出 .
【详解】由题意得，
，解得
， ，则
，
.
故答案为 D.
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
【分析】
结合题目条件，计算公差，证明该数列为等差数列，计算通项，结合等差数列前
【详解】结合
可知，
，得到
，所以
，所以
n 项和公式，计算结果，即可。
所以
，故选 D。
【点睛】本道题考查了等差数列的通项计算方法，考查了等差数列前
n 项和计算方法，难度中等。
7.如图记录了一种叫万年松的树生长时间 高的关系式，选择的函数模型最好的是（
.
11.已知
三点都在表面积为
的球 的表面上，若
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】
【分析】
结合正弦定理，计算 A,B,C 所在圆的半径，结合勾股定理，计算结果，即可。
【详解】结合题意，绘制图形，
. 则球心 到平面
的距离等于
则根据正弦定理可知
，结合球表面积计算公式，可知
，结合球的性质可知，
构成直角三角形，结合勾股定理可知
【答案】 A
【解析】
【分析】
设大型货车每台运费 万元，小车每台运费 万元，可得到
，利用线性规划知识，得到目标函数
过
时， 最小，从而可判断 最小为 0，即可得出答案。
【详解】设大型货车每台运费 万元，小车每台运费 万元，
依题意得
过
时， 最小 .
，即
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，选 A.
【点睛】用线性规划的方法来解决实际问题：先根据问题的需要选取起关键
，即可，难度中等。
9.某公司每月都要把货物从甲地运往乙地， 货运车有大型货车和小型货车两种。 已知 台大型货车与 台小型货车的运
费之和少于 万元，而 台大型货车与 台小型货车的运费之和多于
万元 . 则 台大型货车的运费与 台小型货车的运
费比较（ ）
A. 台大型货车运费贵 B. 台小型货车运费贵
C. 二者运费相同 D. 无法确定
，故选 B。
【点睛】本道题考查了正弦定理，考查了球的表面积计算公式，难度中等。
12.关于 的方程
在区间
上唯一实数解，则实数 的取值范围是（
）
A.
或
B.
或
C.
D.
【答案】 A 【解析】 【分析】 结合题意，将解问题转化成函数交点问题，绘制图像，结合图像判定直线方程的位置，计算参数范围，即可。
【详解】转化
【点睛】本题考查了共轭复数的知识，考查了复数的模，属于基础题。
3.函数 A. B.
，则函数 的最大值为（ ）
C.
D.
【答案】 B
【解析】 【分析】 化简 ,计算最值即可 .
【详解】
,故最大值为 ,故选 B.
【点睛】本道题考查了三角函数的化简 ,关键掌握好正弦两角差公式 ,即可 ,难度较容易 .
4.已知
D 选项，同样函数递增
很快，不符合这个图像，故错误，故选 A 。
【点睛】本道题考查了不同种类函数图像问题，难度中等。
8.执行如图所示的程序框图，则输出的 T=（ ）
A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 结合相消法和公式
，计算结果，即可。
【详解】
，故选 C。
【点睛】本道题考查了对数的基本运算，关键利用公式