广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题

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广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案

2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设21(1)iz i +=-则|z|=（）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学(理)试题

16．已知正方形边长为3，点E，F分别在边，上运动（E不与A，B重合，F不与A，D重合），将以为折痕折起，当A，E，F位置变化时，所得五棱锥体积的最大值为__________.
三、解答题
17．中，D为上的点，平分，，，的面积为 .
（1）求的长；
（2）求 .
18．如图，三棱柱中，底面为等边三角形，E，F分别为，的中点，， .
23．已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c＝1.证明：
（1）|a |+|b+c﹣1| ；
（2）（a3+b3+c3）（）≥3.
参考答案
1．B
【分析】
把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可.
【详解】
解：∵z ,
∴|z|＝| | .
故选：B.
【点睛】
本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题.
（1）若，求在上的极大值点；
（2）（）证明在上单调递增；
（）求关于的方程在上的实数解的个数．
22．椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|＝2，|MB|＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系.
（1）将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ（0≤φ＜2π），用表示点M的坐标，并求出C的普通方程；
（2）已知过C的左焦点F，且倾斜角为α（0≤α ）的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点.当，|GH|，依次成等差数列时，求直线l2的普通方程.

【附15套精选模拟试卷】广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研(二模)理科数学试卷含解析

广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研（二模）理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()(1cos )cos tan 2xf x x x =+，那么下列说法正确的是（） A ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且最小正周期为π B ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，且最小正周期为2π C ．函数()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，且最小正周期为π D ．函数()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，且最小正周期为2π2．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程2410x x -+=的两根，则13S = （） A ．21B ．24C ．25D ．263．Rt ABC ∆的斜边AB 等于4，点P 在以C 为圆心、1为半径的圆上，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（） A ．35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[3,5]-D ．123,123⎡⎤-+⎣⎦ 4．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.95．下图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形.此图由正方形ABCD 、半径为r 的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶点与AD 的中点N 重合，斜边在直线BC 上.已知S 为BC 的中点，现将该图形绕直线NS 旋转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（）A ．323r πB ．3r πC ．32r πD ．3103r π6．已知函数22(1)()x x e x g x e-=，若实数m 满足515(log )(log )2(2)g m g m g -≤，则m 的取值范围是（） A ．(0,25] B ．[5,25] C ．[25,)+∞ D ．1[,5]57．函数f(x)＝x a 满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a (x ＋1)|的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满足112325n na a n n +=+--，已知,n m *∈N ，n m >，则n m S S -的最小值为（）A ．14-B ．498-C ．494-D ．28-9．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82πD ．10π10．有如下命题：①函数y=sinx 与y=x 的图象恰有三个交点；②函数y=sinx 与x 点；③函数y=sinx 与y=x 2的图象恰有两个交点；④函数y=sinx 与y=x 3的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．411．某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有（）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种12．不等式10x x->成立的充分不必要条件是（） A ．1x >B ．1x >-C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【附15套精选模拟试卷】广东省深圳市2020届高三第二次调研考试数学(理)试题含解析

广东省深圳市2020届高三第二次调研考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（） A ．60B ．80C ．150D ．3602．一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则三棱锥的高为（）A ．B ．C ．D ．3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．n αβ=I ，m α⊂，//m β//m n ⇒ B ．αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥n β⇒⊥ C ．m n ⊥，m α⊂，n β⊂αβ⇒⊥ D ．//m α，n ⊂α，//m n ⇒4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2()()xf x f x x'-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（） A ．(2,0)-∪(2,)+∞ B ．(,2)-∞-∪(0,2) C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ D ．(2,0)-∪(0,2)5．若对圆()()22111x y -+-=上任意一点(),P x y ， 34349x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（） A ．4a ≤- B ．46a -≤≤C ．4a ≤-或6a ≥D ．6a ≥6．已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为原心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．43-B．54-C．35-D．53-7．某快递公司的四个快递点,,,A B C D呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种8．已知复数23(13)izi+=-，z是z的共轭复数，则•z z=A．14B．12C．1 D．29．已知数列n a｛｝是等差数列，12a=，其中公差0d≠.若5a是3a和8a的等比中项，则18S=( ) A．398 B．388 C．189 D．19910．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．836πB．16833πC．3236π+D2s gLπ11．假设有两个分类变量X和Y的22⨯列联表如下：注：2K 的观测值2()()()()()()()n ad bc a b a ck n a b c d a c b d a c b d a b c d-==--++++++++.对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（） A ．45,15a c ==B ．40,20a c ==C ．35,25a c ==D ．30,30a c ==12．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数()1212,,x x x x <，都有()()1212f x f x x x >，记()2250.2a f =，()1b f =，513log 3log 5c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则,,a b c 大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(1+i)·z=3−i，则|z|=()A. 5B. 3C. √5D. √32.已知集合A={1,2}，B={x|x=mn.m∈A,n∈A}，则()A. A∩B=BB. A∩B=⌀C. A∪B⊆AD. A⊆B3.已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，则C的渐近线方程为()A. y=±2xB. y=±12x C. y=±13x D. y=±14x5.已知y=f(x)是定义在R上的函数，且f(x+4)=−f(x)，如果当x∈[−4,0)时，f(x)=3−x，则f(985)=()A. 27B. −27C. 9D. −96.x1，x2…x n的平均数为x，方差为S2，则数据3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的方差是()A. S2B. 3S2C. 9S2D. 9S2+30S+257.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=5，S6=15，则S9=()A. 35B. 30C. 25D. 158.函数f(x)=sinx⋅2x−12x+1部分图像大致为()A.B.C. D.9. 已知F 是椭圆C ：x 23+y 22=1的右焦点，P 为椭圆C 上一点，A(1,2√2)，则|PA|+|PF|的最大值为( ) A. 4+√2 B. 4√2 C. 4+√3 D. 4√310. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. 32B. 28C. 26D. 24 11. 已知数列{a n }的通项公式a n =n−√98n−√99(n ∈N ∗)，则数列{a n }的前30项中最大项为( ) A. a 30B. a 10C. a 9D. a 1 12. 已知ω>0，|φ|<π2，若x =π6和x =7π6是函数f(x)=cos(ωx +φ)的两个相邻的极值点，将y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y =g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. y =g(x)是奇函数B. y =g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1)曲线y=−5e x+3在点(0,−2)处的切线方程为________．(2)已知函数f(x)=xln x，若直线ι过点(0,−1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线ι的方程为________．14.若x，y满足约束条件{x−1≥0x−y≤0x+y−4≤0.则yx的最大值为______．15.某志愿者小组共有高一学生4名，高二5名，高三7名，若各年级各选1人参加青奥会志愿者活动，有________种不同的选法．16.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，AB=BC=12AD=1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将沿EF折起到的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P−ABCEF的体积的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，D是BC的边上的点，cos∠BAD=35,cos∠ADC=−√55．(1)求sin B的值；(2)若BD=2DC=2，求AC的长．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，B1C=2，∠ABB1=60°．(1)证明：AB1⊥平面ABC．(2)求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．19.如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2=1,A(1,0),B(−12,√32),C(−12,−√32)为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P n(A)，P n(B),P n(C).例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1(A)=0,P1(B)=12,P1(C)=12．(1)分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；(2)掷骰子N次时，若以X轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量X n，求X4的分布列和数学期望；(3)记P n(A)=a n,P n(B)=b n,P n(C)=c n，其中a n+b n+c n=1.证明：数列{b n−13}是等比数列，并求a2020．20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)．(1)已知直线l:2x−y+2=0与抛物线C相切，求抛物线的方程；(2)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作直线l′交抛物线于A，B两点，AB的中点为E，以E为圆心，AB为直径作圆E，设E与y轴交于点M，N，求的最大值．21.已知函数f(x)=(ax−1)e x，a∈R，e是自然对数底数．(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.设函数f(x)=|x|．(1)设f(x−1)+f(x+2)<4的解集为A，求集合A；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．。

2020年深圳市高三年级第二次调研考试

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设z=1+i(1−i)2，则|z|=()A. 12B. √22C. 1D. √22.已知集合A={y|y=2x}，B={x|x2−3x+2≤0}，则()A. A∩B=⌀B. A∪B=RC. A⊆BD. B⊆A3.设α为平面，m，n为两条直线，若m⊥α，则“m⊥n”是“n⊂α”的()A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直，则C的离心率为()A. √2B. 2C. √3D. 35.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当0≤x<1时，f(x)=x13，则f(178)=()A. 12B. 2 C. 18D. 86.若x1，x2，…，x n的平均数为a，方差为b，则2x1+3，2x2+3，…，2x n+3的平均数和方差分别为()A. 2a，2bB. 2a，4bC. 2a+3，2bD. 2a+3，4b7.记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，S4=2，则S6=()A. −6B. −4C. −2D. 08.函数f(x)=(1−4x)sinx2x的部分图象大致为()A. B.C. D.9.已知椭圆C：x2a2+y23=1的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足|OF|=|FP|，则C的方程为()A. x212+y23=1 B. x28+y23=1 C. x26+y23=1 D. x24+y23=110. 如图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 24B. 26C. 28D. 3211. 意大利数学家斐波那契(1175年−1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a n+2=a n+1+a n (n ∈N ∗)，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为a n =1√5[(1+√52)n−(1−√52)n].设n 是不等式log √2[(1+√5)x −(1−√5)x ]>2x +11的正整数解，则n 的最小值为( ) A. 10 B. 9 C. 8 D. 712. 已知直线y =ω与函数f(x)=sin(ωx +φ)(0<ω<1)的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (n ∈N ∗).有下列结论：①n 的值可能为2；②当n =3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x =−φ对称；③当φ=π6时，有且仅有一个实数ω，使得f(x)在[−πω+1,πω+1]上单调递增； ④不等式nω>1恒成立．其中所有正确结论的编号为( )A. ③B. ①②C. ②④D. ③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =x ⋅lnx 在点(1,0)处的切线的方程为______．14. 若x ，y 满足约束条件{y −2≤0,x −y ≤0,x +y −3≥0,则z =yx 的最大值为______．15. 2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有______种分配方案． 16. 已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A −EBCDF 体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 中，D 为BC 上的点，AD 平分∠BAC ，AD =5，AC =8，△ACD 的面积为10√3． (1)求CD 的长； (2)求sin B ．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，E，F分别为AB，AA1的中点，CE⊥FB1，AB=√2AA1=2√3EB1．3(1)证明：EF⊥平面CEB1；(2)求直线EF与平面CFB1所成角的大小．19.足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：(1)如表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求E(ξ)；点球数203030252025进球数101720161314两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，接到第n 次传球的人即为第n+1次触球者(n∈N∗)，第n次触球者是甲的概率记为P n．(i)求P1，P2，P3(直接写出结果即可)；}为等比数列．(ii)证明：数列{P n−1320. 在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线l 0：x =−4上的动点，动点Q 满足PQ ⊥l 0，且原点O 在以PQ 为直径的圆上．记动点Q 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过点E(2,0)的直线l 1与曲线C 交于A ，B 两点，点D(异于A ，B)在C 上，直线AD ，BD 分别与x 轴交于点M ，N ，且AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求△BMN 面积的最小值．21. 已知函数f(x)=e ax−1⋅cosx(a >0).(其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数)．(1)若a =√3，求f(x)在(0,π2)上的极大值点； (2)(i)证明f(x)在(0,a√1+a 2)上单调递增；(ii)求关于x 的方程f(x)=e −1a 在[0,π2]上的实数解的个数．22. 椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；(2)已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程．23.已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1.证明：(1)|a−12|+|b+c−1|≥12；(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．【解答】解：∵z=1+i(1−i)2=1+i−2i，∴|z|=|1+i−2i |=|1+i||−2i|=√22．故选：B．2.【答案】D【解析】【分析】分别化简集合A和B，逐一核对答案即可．本题考查集合间的关系，以及指数函数的性质和一元二次不等式的解法，属于基础题．【解答】解：集合A={y|y=2x}={y|y>0}=(0,+∞)，集合B={x|x2−3x+2≤0}={x|(x−1)(x−2)≤0}=[1,2]，∴B⊆A，故选：D．3.【答案】C【解析】解：在m⊥α的前提下，由m⊥n，不一定得到n⊂α，有可能n//α；反之，在m⊥α的前提下，由n⊂α，一定有m⊥n．∴若m⊥α，则“m⊥n”是“n⊂α”的必要不充分条件．故选：C．由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定结合充分必要条件的判定得答案．本题考查充分必要条件的判定，考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线C：y2a2−x2b2=1的渐近线方程为y=±abx，∵两条渐近线互相垂直，∴−ab ⋅ab=−1，即a2b2=1，∴离心率e=√c2a2=√1+b2a2=√2．故选：A．由题可知，双曲线的渐近线方程为y=±ab x，然后利用斜率之积为−1可得−ab⋅ab=−1，即a2b2=1，代入离心率e=√1+b2a2即可得解．本题考查双曲线的渐近线方程和离心率，考查学生的运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，则有f(178)=f(18+2)=f(18)，当0≤x <1时，f(x)=x 13，则f(18)=(18)13=12；故选：A ．根据题意，分析可得f(x)是周期为2的周期函数，据此可得f(178)=f(18+2)=f(18)，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的周期性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 6.【答案】D【解析】解：由题可知，E(x)=a ，D(x)=b ，设y =2x +3，则E(y)=E(2x +3)=2E(x)+3=2a +3， D(y)=D(2x +3)=4D(x)=4b ，故选：D ．由题可知，E(x)=a ，D(x)=b ，设y =2x +3，则E(y)=2E(x)+3，D(y)=4D(x)，从而得解．本题考查平均数与方差的计算，熟练掌握平均数和方差的性质与相关公式是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题． 7.【答案】A【解析】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，∵S 2，S 4−S 2，S 6−S 4也成等差数列，又S 2=4，S 4=2，∴2(2−4)=4+(S 6−2)，∴S 6=−6，故选：A ．由题意利用S 2，S 4−S 2，S 6−S 4也成等差数列，求得S 6的值．本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 8.【答案】C【解析】解：f(−x)=(1−4−x )(−sinx)2−x=−(4x −1)sinx2x=f(x)，故f(x)为偶函数，图象关于y 轴对称，排除选项B ，D ，因为f(2)<0，排除选项A ．故选：C ．先检验函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断．本题主要考查了函数图象与性质的对应关系的应用，排除法的应用是解决问题的关键． 9.【答案】D【解析】解：∵C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|，∴点P 为椭圆的右顶点，即a =2c ，∵a 2=b 2+c 2=3+c 2， ∴a =2，c =1，b =√3， ∴椭圆的方程为x 24+y 23=1．故选：D ．由C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|，可推知，点P 为椭圆的右顶点，即a =2c ，再结合a 2=b 2+c 2，可解得a =2，c =1，b =√3，故可得椭圆的方程．本题考查椭圆方程的求法，椭圆的性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：如图所示，建立以a ⃗ ,b ⃗ 为一组基底的基向量，其中|a ⃗ |=|b ⃗ |=1且a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为60°，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +4b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a ⃗ +2b⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ⃗ +4b ⃗ )⋅(4a ⃗ +2b ⃗ )=8a ⃗ 2+8b ⃗ 2+20a ⃗ ⋅b ⃗ =8+8+20×1×1×12=26．故选：B ．建立以a ⃗ ,b ⃗ 为一组基底的基向量，其中|a ⃗ |=|b ⃗ |=1且a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为60°，根据平面向量的基本定理可知，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 均可以用a ⃗ ,b⃗ 表示，再结合平面向量数量积运算法则即可得解．本题考查平面向量的混合运算，观察图形特征，建立基向量是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题． 11.【答案】C【解析】解：因为n 是不等式log √2[(1+√5)x −(1−√5)x ]>2x +11的正整数解，所以log √2[(1+√5)n −(1−√5)n ]>2n +11，所以，log √2[(1+√52)n−(1−√52)n]>11，∴(1+√52)n−(1−√52)n>(√2)11，∴√5[(1+√52)n−(1−√52)n]>√2)11√5，令a n =5[(1+√52)n −(1−√52)n]，则数列{a n }为斐波那契数列， ∴a n >√2)11√5，即a n2>2115，不难知道a 7=13，a 8=21，a 72<2115，a 82>2115，∴使得a n 2>2115成立的n 的最小值为8．故log √2[(1+√5)n −(1−√5)n ]>2n +11成立的n 的最小值为8．故选：C ．由已知可得log √2[(1+√5)n −(1−√5)n ]>2n +11，结合对数的运算性质进行整理可得，√5[(1+√52)n−(1−√52)n]>√2)11√5，然后结合已知条件进行判断可求．本题主要考查了利用数列的单调性求解实际问题，考查了考生分析，解决问题的能力． 12.【答案】D【解析】解：如图所示，不妨设A(x 1,ω)，B(x 2,ω)，C(x 3,ω)，且线段AB 的中点为M(x 0,ω)，显然有x 3−x 1=2πω，x 0=x 1+x 22，且f(x)的图象关于直线x =x 0对称，∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (n ∈N ∗)，∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=n−1n(n ∈N ∗)，∴x 2−x 1=2(n−1)πnω，即ωx 2−ωx 1=2(n−1)πn，(1)∵0<ω<1，且n ∈N ∗，∴由正弦曲线的图象可知，ωx 0+φ=2kπ−π2，k ∈Z ， ∴ω⋅x 1+x 22+φ=2kπ−π2，k ∈Z ，即ωx 2+ωx 1=4kπ−π−2φ，(2) 由等式(1)(2)可得ωx 1+φ=2kπ−3π2+πn，∴sin(2kπ−3π2+πn )=ω，即ω=cos πn ，∵ω=cos πn ∈(0,1)，且n ∈N ∗，∴n ≥3，且ω∈[12,1)．对于结论①，显然n ≠2，故结论①错误；对于结论②，当n =3，且|φ|<π时，则ω=cos π3=12，故f(x)=sin(x2+φ)，若f(x)的图象关于直线x =−φ对称，则−φ2+φ=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=2kπ+π，k ∈Z ，显然与|φ|<π矛盾，从而可知结论②错误；对于结论③，∵ω∈[12,1)，且f(x)在区间[−πω+1,πω+1]上单调递增， ∴{ω⋅πω+1+π6≤π2ω⋅(−πω+1)+π6≥−π2，解得ω=12，故结论③正确；对于结论④，下面证明ncos πn >1(n ≥3)．当n ≥3时，cos πn ≥cos π3=12，∴ncos πn ≥32>1(n ≥3)，即ncos πn >1(n ≥3)，也就是nω>1恒成立，故④正确．综上所述，正确结论的序号是③④．故选：D ．作出直线y =ω与函数f(x)=sin(ωx +φ)(0<ω<1)的图象，不妨设A(x 1,ω)，B(x 2,ω)，C(x 3,ω)，且线段AB 的中点为M(x 0,ω)，由向量等式结合图象可得ωx 2−ωx 1=2(n−1)πn，再由对称轴得到ωx 0+φ=2kπ−π2，k ∈Z ，即ωx 2+ωx 1=4kπ−π−2φ，联立求得ωx 1+φ=2kπ−3π2+πn，得到ω=cos πn ，可得当ω=cos πn ∈(0,1)时，n ≥3，且ω∈[12,1).由此判断①错误；取n =3，且|φ|<π时，有ω=cos π3=12，故f(x)=sin(x2+φ)，由f(x)的图象关于直线x =−φ对称，得−φ2+φ=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=2kπ+π，k ∈Z ，得到与|φ|<π矛盾，可知结论②错误；再由ω∈[12,1)，且f(x)在区间[−πω+1,πω+1]上单调递增，得到关于ω的不等式组，求解ω值判断③正确；证明ncos πn >1(n ≥3)，即可得到nω>1恒成立，得到④正确．本题考查命题的真假判断与应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与推理论证能力，难度较大． 13.【答案】x −y −1=0【解析】解：由f(x)=xlnx ，得 y ′=lnx +x ⋅1x =lnx +1，∴f′(1)=ln1+1=1，即曲线f(x)=xlnx 在点(1,0)处的切线的斜率为1，则曲线f(x)=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为y −0=1×(x −1)，整理得：x −y −1=0．故答案为：x −y −1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x =1时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题． 14.【答案】2【解析】解：作出平面区域如图所示：由平面区域可知当直线y =kx 过A 点时，斜率最大．即z =yx 取得最大值，解方程组得{y =2x +y =3得A(1,2)．∴z 的最大值为21=2．故答案为：2作出平面区域，则z =yx 表示过原点和平面区域内一点的直线斜率．本题考查了简单的线性规划，作出平面区域，找到z =yx 的几何意义是关键，属于中档题．15.【答案】14【解析】【分析】本题考查分步计数原理的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论．根据题意，先利用分步计数原理计算将4名医生志愿者分配到两家医院，每人去一家医院的情况数目，进而排除其中4人同去一个医院的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，将4名医生志愿者分配到两家医院，每人去一家医院，每人有2种选法，则4人有2×2×2×2=24=16种情况，其中4人同去一个医院的情况有2种，则每人去一家医院，每家医院至少去1人的安排方法有16−2=14种；故答案为：14．16.【答案】2√3【解析】解：不妨设|AE|=3a，|AF|=3b，a，b∈(0,1)，在直角三角形AEF中，可得EF边上的高ℎ=3ab√a2+b2．又五棱锥A−EBCDF的底面面积为S=9(1−ab2)，要使五棱锥A−EBCDF的体积最大，需要平面AEF⊥平面EBCDF，∴V max=13Sℎ=9(1−ab2)⋅√a2+b2．∵a2+b2≥2ab，∴V max≤9(1−ab2)⋅√2ab=9√24(2√ab−ab√ab)，令t=√ab，则t∈(0,1)，∴V max≤9√24(2t−t3)，t∈(0,1)，令f(t)=2t−t3(0<t<1)，则f′(t)=2−3t2，可得当t=√63时，f(t)取得最大值为4√69，∴V max≤9√24⋅4√69=2√3，综上所述，当a=b=√63时，五棱锥A−EBCDF的体积取得最大值为2√3，故答案为：2√3．由题意画出图形，不妨设|AE|=3a，|AF|=3b，a，b∈(0,1)，可得EF边上的高ℎ=3ab√a2+b2，再求出五棱锥A−EBCDF的底面面积为S=9(1−ab2)，可知平面AEF⊥平面EBCDF时五棱锥A−EBCDF体积最大，写出体积最大值，换元后利用导数求最值．本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查函数与方程思想的应用，训练了利用导数求最值，是中档题．17.【答案】解：(1)因为AD=5，AC=8，△ACD的面积为10√3．∴12×5×8sin∠DAC=10√3，∴sin∠DAC=√32，所以0<∠DAC <π2， ∴∠DAC =π3，△ACD 中，由余弦定理可得，CD 2=52+82−2×5×8×cos60°=49，所以CD =7；(2)△ACD 中，由余弦定理可得，cos∠ADC =52+72−822×5×7=17，所以sin∠ADC =√1−149=4√37，所以sinB =sin(∠ADC −π3)=4√37×12−17×√32=3√314．【解析】(1)由已知结合三角形的面积公式可求∠DAC ，然后结合余弦定理即可求解； (2)由余弦定理可求cos∠ADC ，然后结合同角平方关系及两角差的三角公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角恒等变形，三角形的内角和公式，考查了三角知识的应用能力18.【答案】(1)证明：设AA 1=2a ， ∵AB =√2AA 1=2√33EB 1，∴AB =2√2a ，EB 1=√6a ，BB 1=2a ，∵点E 为棱AB 的中点，∴EB =√2a ，则EB 12=EB 2+BB 12，即EB ⊥BB 1． ∵三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1为平行四边形， ∴四边形ABB 1A 1 为矩形， ∵点F 为棱AA 1 的中点，∴FB 12=A 1F 2+A 1B 12=9a 2，FE 2=AF 2+AE 2=3a 2，∴FB 12=EF 2+EB 12，得EF ⊥EB 1． ∵三棱柱的底面ABC 是正三角形，E 为AB 的中点，∴CE ⊥AB ．∵CE ⊥FB 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，FB 1⊂平面ABB 1A 1，AB与FB 1相交，∴CE ⊥平面ABB 1A 1，而EF ⊂平面ABB 1A 1， ∴CE ⊥EF ，又CE ∩EB 1=E ，∴EF ⊥平面CEB 1； (2)解：由(1)可知，CE ⊥平面ABB 1A 1，则CE ⊥BB 1，又由(1)知即EB ⊥BB 1，EB ∩CE =E ， ∴BB 1⊥平面ABC ，∴三棱柱ABC −A 1B 1C 1是正三棱柱．设A 1B 1 的中点为M ，则EB ，EC ，EM 两两互相垂直．以E 为坐标原点，分别以EB ，EC ，EM 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．设E(0,0，0)，C(0,√6a,0)，F(−√2a,0，a)，B 1(√2a,0，2a)，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2a,0,a)，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2a,√6a,−a)，FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√2a,0,a)．设平面CFB 1的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，由{n ⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2ax +√6ay −az =0n ⃗ ⋅FB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2ax +az =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−2√2)．设直线EF 与平面CFB 1所成角的大小为θ．则sinθ=|<EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|−√2a−2√2a|√3a⋅√12=√22．则直线EF 与平面CFB 1所成角的大小为45°．【解析】(1)设AA 1=2a ，由已知可得AB =2√2a ，EB 1=√6a ，BB 1=2a ，再由点E 为棱AB 的中点，证明EB ⊥BB 1，结合侧面ABB 1A 1为平行四边形，可得四边形ABB 1A 1 为矩形，由点F 为棱AA 1 的中点，求解三角形证明EF ⊥EB 1，又CE ⊥AB ，得CE ⊥平面ABB 1A 1，得到CE ⊥EF ，由直线与平面垂直的判定可得EF ⊥平面CEB 1；(2)由(1)可知，CE ⊥平面ABB 1A 1，得到CE ⊥BB 1，又由(1)知即EB ⊥BB 1，可得BB 1⊥平面ABC ，得到三棱柱ABC −A 1B 1C 1是正三棱柱，设A 1B 1 的中点为M ，以E 为坐标原点，分别以EB ，EC ，EM 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出平面CFB 1的一个法向量与EF⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线EF 与平面CFB 1所成角的大小．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：(1)这150个点球中的进球频率为：10+17+20+16+13+14150=0.6，∴该同学踢一次点球命中的概率为P =0.6，由题意，ξ的可能取值为1，2，3，则P(ξ=1)=0.6，P(ξ=2)=0.6×0.4=0.24， P(ξ=3)=0.42=0.16，∴E(ξ)=1×0.6+2×0.34+3×0.16=1.56． (2)(i)由题意P 1=1,P 2=0,P 3=12．(ii)证明：∵第n 次触球者是甲的概率为P n ，当n ≥2时，第n −1次触球者是甲的概率为p n−1，第n −1次触球者不是甲的概率为1−P n−1，则P n =P n−1×0+(1−P n−1)×12=(1−P n−1)×12， ∴P n −13=−12(P n−1−13)，∵P 1−13=23， ∴{P n −13}是以23为首项，公比为−12的等比数列．【解析】(1)求出这150个点球中的进球频率为0.6，从而该同学踢一次点球命中的概率为P =0.6，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应概率，由此能求出E(ξ)． (2)(i)由题意P 1=1,P 2=0,P 3=12．(ii)第n 次触球者是甲的概率为P n ，当n ≥2时，第n −1次触球者是甲的概率为p n−1，第n −1次触球者不是甲的概率为1−P n−1，推导出P n −13=−12(P n−1−13)，由此能证明{P n −13}是以23为首项，公比为−12的等比数列．本题考查样本估计总体，随机变量的期望，考查递推关系以及等比数列的概念，考查分析问题、解决问题的能力，考查建模能力、数据处理能力．20.【答案】解：(1)由题意可设Q(x,y)，则P(−4,y)，OP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,y)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，因为O 在以PQ 为直径的圆上，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(−4,y)⋅(x,y)=−4x +y 2=0，(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 3)，M(m,0)，N(n,0)，由题意可设直线l 1：x =ty +a(其中a =2)，由方程组{x =ty +ay 2=4x，可得y 2−4ty −4a =0，则y 1+y 2=4t ，y 1y 2═−4a =−8，同理可得y 1y 3=−4m ，y 2y 3=−4n ，所以m =−y 1y 34，n =−y 2y 34，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(x 3−x 1,y 3−y 1)=3(m −x 1,−y 1)，所以y 3−y 1=−3y 1，即y 3=−2y 1，所以|MN|=|m −n|=14|y 1y 3−y 2y 3|=14|y 1−y 2|⋅|y 3|=14|y 1−y 2|⋅|−2y 1|=12|y 1|⋅|y 1−y 2|，所以S △BMN =12|MN|⋅|y 2|=14|y 1y 2|⋅|y 1−y 2|=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8√t 2+2，所以当t =0时，△BMN 的面积取得最小值，且为8√2．【解析】(1)可设Q(x,y)，则P(−4,y)，由原点O 在以PQ 为直径的圆上，可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由向量数量积的坐标表示，化简可得所求方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 3,y 3)，M(m,0)，N(n,0)，由题意可设直线l 1：x =ty +a(其中a =2)，联立曲线C 的方程，运用韦达定理，可得m ，n 关于y 3，y 1，以及y 3，y 2的式子，结合向量共线的坐标表示，以及三角形的面积公式，化简整理，由二次函数的最值求法，可得所求最小值．本题以直线与抛物线为载体，其几何关系的向量表达为背景，利用方程思想、韦达定理构建目标函数，利用坐标法解决几何问题贯穿始终，主要考查直线和抛物线的位置关系及最值问题，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思维能力．21.【答案】解：(1)易知f′(x)=(acosx −sinx)e ax−1=(a −tanx)cosx ⋅e ax−1，若a =√3，则f′(x)=(√3−tanx)cosx ⋅e ax−1，∴函数f(x)在(0,π3)递增，在(π3,π2)递减， ∴函数f(x)的极大值点是π3；(2)(i)证明：∵a >0，∴在(0,π2)上必存在唯一实数x 0，使得tanx 0=a ， ∴函数f(x)在(0,x 0)递增，在(x 0,π2)递减，欲证明f(x)在2)递增，只需证明2≤x 0， ∵tanx 0=a ，∴√1+a 2=sinx 0，故只需证明sinx 0≤x 0，令g(x)=sinx −x ，x ∈[0,π2)，则g′(x)=cosx −1≤0，∴当x0∈(0,π2)时，g(x0)<g(0)=0，∴sinx0−x0<0，即sinx0<x0，亦即√1+a2<x0，∴函数f(x)在√1+a2)递增；(ii)先证明当x≥0时，有e x≥1+x，令ℎ(x)=e x−x−1，(x≥0)，则ℎ′(x)=e x−1≥0，(x≥0)，∴函数ℎ(x)在[0,+∞)递增，∴当x≥0时，ℎ(x)≥0，即e x≥1+x，再证明函数f(x)的最大值f(x)>e1a，显然tanx0=a，∴cosx0=√1+a2，sinx0=√1+a2，法一：∵e1cosx0−1≥1cosx0，∴cosx≥e1−1cosx0，∴f(x0)=e ax0−1cosx0≥e ax0−1cosx0>e asinx0−1cosx0，下面证明e asinx0−1cosx0>e−1a，即证明asinx0−1cosx0>−1a，即证明2√1+a2−√1+a2>−1a，∵2√1+a2√1+a2=√1+a2>−1a，∴f(x0)>e−1a；法二：∵e ax0−1≥ax0>asinx0，∴f(x0)=e ax0−1cosx0>asinx0cosx0=a21+a2，下面证明a21+a2>e−1a，令t=−1a，则t<0，即证明11+t2>e t(t<0)，即证明(1+t2)e t−1<0(t<0)，令F(t)=(1+t2)e t−1，则F′(t)=(1+t)2e t≥0，∴函数F(t)是单调递增函数∴当t<0时，F(t)<F(0)=0，∴(1+t2)e t−1<0(t<0)，∴f(x)>e−1a，令函数G(x)=cosxe ax−1−e−1a，x∈[0,π2]，(ii)先求函数G(x)在(x0,π2]上的零点个数，∵G(π2)=−e−1a<0，G(x0)>0，且函数G(x)在(x0,π2]上单调递减，∴G(x)在(x0,π2]上有唯一零点，即函数G(x)在(x0,π2]上的零点个数是1个，再求函数G(x)在[0,x0]上的零点的个数，∵G(0)=1e −e −1a，G(x 0)>0，且G(x)在[0,x 0]递增， ∴①当0<a <1时，1e >e −1a ，即G(0)>0，故函数G(x)在[0,x 0]上没有零点，即函数G(x)在[0,x 0]上的零点个数是0个， ②a ≥1时，1e ≤e −1a，即G(0)≤0，故函数G(x)在[0,x 0]上有唯一零点，即函数G(x)在[0,x 0]上的零点个数是1个，综上，当0<a <1时，函数G(x)1个零点，a ≥1时，函数G(x)2个零点， ∴0<a <1时，关于x 的方程f(x)=e −1a 在[0,π2]上的实数解的个数是1个， a ≥1时，关于x 的方程f(x)=e −1a 在[0,π2]上的实数解的个数是2个．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；(2)(i)只需证明√1+a 2≤x 0，问题转化为只需证明sinx 0≤x 0，令g(x)=sinx −x ，x ∈[0,π2)，结合函数的单调性证明即可； (ii)求出e x ≥1+x ，再证明函数f(x)的最大值f(x 0)>e −1a ；令函数G(x)=cosxe ax−1−e −1a，x ∈[0,π2]，先求函数G(x)在(x 0,π2]上的零点个数，再求函数G(x)在[0,x 0]上的零点的个数，从而求出方程解的个数．本题以基本初等函数以及不等式为载体，考查学生利用导数分析，解决问题的能力，考查分类讨论思想以及逻辑推理，数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性． 22.【答案】解：(1)设M(x,y)依题意得：x =2cosφ，y =sinφ，所以M(2cosφ,sinφ)，由于cos 2φ+sin 2φ=1，整理得x 24+y 2=1．(2)由于直线l 1的倾斜角为α(0≤α<π2)，且l 1⊥l 2，所以直线l 2的倾斜角为α+π2．依题意易知：F(−√3,0).可设直线l 1的方程为{x =−√3+tcosαy =tsinα(t 为参数)，代入x 24+y 2=1得到：(1+3sin 2α)t 2−2√3tcosα−1=0，易知△=12cos 2α+4(1+3sin 2α)=16>0．点D 和点E 对应的参数为t 1和t 2，所以t 1+t 2=2√3cosα1+3sin 2α，t 1t 2=−11+3sin α．则|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=41+3sin 2α，由参数的几何意义：1|EF|+1|FD|=1|t1|+1|t2|=|t1−t2||t1t2|=4．设G、H对应的参数为t3和t4，同理对于直线l2，将α换为α+π2，所以|GH|=|t3−t4|=√(t3+t4)2−4t3t4=41+3cos2α．由于1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列，所以1|EF|+1|FD|=2|GH|，则：41+3cos2α=2，所以cos2α=13，解得tanα=√2，所以直线l2的斜率为−√22．所以直线l2的直角坐标方程为x+√2y+√3=0．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用直线和椭圆的位置关系的应用和一元二次方程根和系数关系式的应用及等差数列的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，等差数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23.【答案】证明：(1)∵a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1，∴b+c−1=−a<0，∴|a−12|+|b+c−1|=|a−12|+|−a|≥|(a−12)+(−a)|=12．当且仅当(a−12)(−a)≥0，即0≤a≤12时，等号成立．∴|a−12|+|b+c−1|≥12；(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3abc(1a2+1b2+1c2) =3bca+3acb+3abc=32(2bca+2acb+2abc)=32[a(cb+bc)+b(ca+ac)+c(ab+ba)]≥32(2a√cb⋅cb+2b√ca⋅ac+2c√ab⋅ba)=3(a+b+c)=3．当且仅当a=b=c=13时等号成立．∴(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3．【解析】(1)由a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1，得到b+c−1=−a<0，由绝对值不等式的性质可得|a−12|+|b+c−1|=|a−12|+|−a|≥|(a−12)+(−a)|=12；(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3abc(1a2+1b2+1c2)=32(2bca+2acb+2abc)，拆项后再由基本不等式的性质证明．本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式性质的应用，考查灵活变形能力，是中档题．2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−1<x <5}，B ={1,3，5}，则A ∩B =( )A. {1,3}B. {1,3，5}C. {1,2，3，4}D. {0,1，2，3，4，5} 2. 设z =1+i(1−i)2，则|z|=( )A. 12B. √22 C. 1 D. √23. 已知a =ln22，b =log 22e ，c =22e ，则( )A. a <b <cB. b <c <aC. c <b <aD. b <a <c4. 设x ，y 满足约束条件{x −y ≤1x +y ≤3x ≥0，则z =2x −y 的最大值为( )A. −3B. 1C. 2D. 35. 已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若m//α，n//α，则m//n ；②若n ⊥α，m ⊥β，m//n ，则α//β； ③若α⊥β，m//α，n ⊥β，则m//n ； ④若α//β，m ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β．其中，正确的命题个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点分别为F 1(−5,0)，F 2(5,0)，P 为C 上一点，PF 1⊥PF 2，tan∠PF 1F 2=34，则C 的方程为( )A. x 2−y 224=1 B. x 224−y 2=1 C. x 29−y 216=1 D. x 216−y29=1 7. 执行如图的程序框图，如果输入的k =0.4，则输出的n =( )A. 5B. 4C. 3D. 28. 函数f(x)=x 2−2x +1的图象与函数g(x)=3cosπx 的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 89. 已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为( )A. 12B. 13C. 16D. 11210. 函数f(x)=(1−4x )sinx2x的部分图象大致为( )A.B.C.D.11. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 32B. 28C. 26D. 2412. 在三棱锥P −ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BC =PC =2，若AC =PB ，A. 4√23B. 16√39C. 16√327D. 32√327二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b2+c2−a24，bsinC=csin A+C2，则角C=______．15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n个月后共有老鼠a n只，则a n=______．16.已知A，F分别是椭圆C：x2a2+y2b2=l(a>b>0)的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为35b，若△FMN 的周长为6，则△FAN的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b n|，求T n．18.为了比较两种治疗某病毒的药(分别称为甲药，乙药)的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．(1)根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2)为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间(单位：天)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3)标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(x −−3s,x −+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合(2)中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s =√1n ⋅[(x 1−x −)2+(x 2−x −)2+⋯+(x n −x −)2]，参考数据：√2340≈48．19. 如图，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，AA 1=√2AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点．(1)求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ；(2)若AB =2，求点N 到平面B 1MC 的距离．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1,0)，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B在y 轴上运动，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)已知点G(3,−2)，动直线x =t(t >3)与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线y =−2上截得的弦长的最小值．21.已知函数f(x)=xe xe−3，g(x)=alnx−2x(a∈R)．(1)讨论g(x)的单调性；(2)是否存在实数a，使不等式f(x)≥g(x)恒成立？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.已知a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1.证明：(1)|a−12|+|b+c−1|≥12；(2)(a3+b3+c3)(1a2+1b2+1c2)≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A ={x|−1<x <5}，B ={1,3，5}， ∴A ∩B ={1,3}．故选：A ．进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．【解答】解：∵z =1+i(1−i)2=1+i−2i ， ∴|z|=|1+i −2i|=|1+i||−2i|=√22．故选：B ． 3.【答案】D【解析】解：∵0<ln22=ln √2<lne =1，log 22e <log 21=0，22e >20=1，∴b <a <c ．故选：D ．容易得出0<ln22<1,log 22e <0,22e >1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 4.【答案】D【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z =2x −y 过点A 点时，目标函数z =2x −y 的纵截距最小，此时z 取得最大值，由{x −y =1x +y =3，解得A(2,1)时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3．故选：D ．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =2x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 5.【答案】C【解析】解：已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，。

2020届广东省深圳市高三年级第二次调研考试数学理科试卷及答案解析

第 1 页共 46页 2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设21(1)iz i +=-则|z|=（）A ．12 B．2 C ．1 D2．已知集合2{|2},{|320},x A y y B x x x ===-+…则（）A ．A∩B=B ．A ∪B=RC ．A BD ．B A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则”m ⊥n 是”n ⊂α”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b -=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（）AB ．2 CD ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭=（） A ．12 B ．2 C.18 D ．86.若x 1，x 2…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为（） A ．2a ，2b B ．2a ，4b C ．2a+3，2b D ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S =（）A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()142x x sinxf x -=的部分图象大致为（）。

深圳市2020届高三年级第二次调研考试(理数)

深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学（理科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损. 2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3. 非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设21(1)iz i +=-则|z|=A ．12B ．2C ．1D2．已知集合2{|2},{|320},xA y yB x x x ===-+…则A ．=B A I ∅B ．R =B A YC ．B A ⊆D ．A B ⊆3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为AB ．2CD ．35．已知定义在R 上的函数)(x f 满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12B ．2C ．18D ．86．若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则32,32,3221+++n x x x ，Λ的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a +3，2bD ．2a +3，4b7．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若244,2,S S ==则6S =A ．－6B ．－4C ．－2D ．08．函数()()14sin 2xxx fx -=的部分图象大致为9．已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF |=|FP |,则C 的方程为A ．221123x y += B ．22183x y += C ．22163x y += D ．22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，)N (*12∈+=++n a a a n n n 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为1515()(.225n n n a ⎡⎤-=-⎥⎦(设n 是不等式112])51()51[(log 2+>--+x x x 的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r有下列结论：①n 的值可能为2；②当n=3，且|φ|<π时，)(x f 的图象可能关于直线x =-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式nω>1恒成立. 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线x x y ln =在点(1,0)处的切线方程为 .14．若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 .15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有种分配方案.16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A －EBCDF 体积的最大值为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

2020年深圳市普通高中高三年级第二次测试统一测试数学(理科)(含参考答案)

x | <2 ⎨ 绝密★启用前试卷类型： A2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合 A = ⎧ 1x≤ 2⎫ ， B = ⎧x | ln(x - 1 ) ≤ 0⎫，则 A ⎨2 ⎬ ⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭A ． ∅B ． ⎛-1,1 ⎤C ． ⎡ 1 ,1⎫D ． (-1,1]2 ⎥ ⎢ 2 ⎪ ⎝⎦⎣ ⎭2. 棣莫弗公式 (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx (i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位于55A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知点(3,1) 和(-4, 6) 在直线3x - 2y + a = 0 的两侧，则实数a 的取值范围是A ． - 7 < a < 24B ． a = 7 或a = 24C ． a < 7 或a > 24⎧(a - 1)x + 3a , x < 1,D ． - 24 < a < 74. 已知 f (x ) = ⎪⎪⎩2a x , x ≥ 1,是(-∞, +∞) 上的减函数，那么实数a 的取值范围是A. (0,1)B ． ⎛ 0,1 ⎫C. ⎡ 1 , 1 ⎫D ． ⎡ 1 ,1⎫2 ⎪ ⎢⎣ 6 2 ⎪ ⎢ 6 ⎪⎝ ⎭5. 在∆ABC 中， D 是 BC 边上一点， AD ⊥ AB ， BC = ⎭ ⎣ ⎭3 BD ， AD = 1 ，则 AC ⋅ AD =A. 2B. 2C.3 D ．3( RB ) =332 6. 已知一个四棱锥的高为3 ，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形, 则此四棱锥的体积为 A.B ． 6C ． 13D ． 2 7. 在等差数列{a n } 中， S n 为其前n 项的和，已知3a 8 = 5a 13 ，且a 1 > 0 ，若 S n 取得最大值，则n为A ． 20B ． 21C ． 22D ． 238. 已知抛物线 y 2= 8x ，过点 A (2, 0) 作倾斜角为 π的直线l ，若l 与抛物线交于 B 、C 两点，弦 BC 3的中垂线交 x 轴于点 P ，则线段 AP 的长为A. 163B.83C.16 3 3D. 8 9. 已知函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ)(ω > 0,| ϕ |<π) 的最小正周期是π ，把它图象向右平移 π个单位后 2 3得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论： ①函数 f (x ) 的图象关于直线 x = 5π对称②函数 f (x ) 的图象关于点(π, 0) 对称 1212③函数 f (x ) 在区间⎡- π , -π ⎤上单调递减 ④函数 f (x ) 在⎡ π , 3π ⎤上有3 个零点 ⎣⎢ 212 ⎥⎦⎢⎣ 4 2 ⎥⎦其中所有正确结论的编号是A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③10. 甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6．设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制，则甲以3 :1 获胜的概率是 A ． 0.0402B ． 0.2592C ． 0.0864D ． 0.172811. 设 f (x ) 是定义在 R 上以2 为周期的偶函数，当 x ∈[2,3]时， f (x ) = x ，则 x ∈[-2,0]时， f (x )的解析式为A ． f (x ) = 2+ | x +1|B ． f (x ) = 3- | x +1|C ． f (x ) = 2 - xD ． f (x ) = x + 4223y 12. 如图,长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中, E 、F 分别为棱 AB 、A 1D 1A 的中点．直线 DB 与平面 EFC 的交点O ,则 DO的值为14 31 OB 12 A.B ．C ．D ．5533二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知 x 轴为曲线 f (x ) = 4x 3 + 4(a -1)x +1的切线，则a 的值为． 14. 已知S n 为数列{a n } 的前n 项和，若 S n = 2a n - 2 ，则 S 5 - S 4 = .15. 某市公租房的房源位于 A , B , C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4 位申请人中，申请的房源在2 个片区的概率是.16.在平面直角坐标系中，过椭圆 x a 2 2+ = 1( a > b > 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点， b 2C 为椭圆的右焦点，且∆ABC 是等腰直角三角形，且∠A = 90︒ ，则椭圆的离心率为．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分．17．（本小题满分 12 分）在∆ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知sin 2 B = sin A sin C ．（1）求证： 0 < B ≤ π；3（2）求2 sin 2A + C + sinB -1的取值范围.22Dy 如图所示，四棱锥 S - ABCD 中，SA ⊥ 平面 ABCD ， AD / / BC ，SA = AB = BC = CD = 1 ，AD = 2 ．（1）在棱 SD 上是否存在一点 P ，使得CP // 平面 SAB ?请证明你的结论；（2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．SABC19．（本小题满分 12 分）已知椭圆C : x 2+ = 1 ， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点.12 4（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围. 2 320．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x ) = ln(x +1) , g (x ) = e x （e 为自然对数的底数）．（1）讨论函数ϕ(x ) = f (x ) -x + a 在定义域内极值点的个数；x（2）设直线l 为函数 f (x ) 的图象上一点 A (x 0 , y 0 ) 处的切线，证明：在区间(0, +∞) 上存在唯一的 x 0 ，使得直线l 与曲线 y = g (x ) 相切．22020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2 月29 日，该省已累计确诊1349 例患者（无境外输入病例）.（1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布N(μ,15.22 ) ，其中μ近似为这100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70 岁以上（≥ 70 ）的患者比例；（2）截至2 月29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以这些密切接触者确诊的频率代替1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20 名密切接触者随机地按n （1<n < 20 且n 是20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20 人的化验总次数最少的n 的值．数为Xn参考数据：若Z ~ N (μ,σ2) ，则P(μ-σ<Z <μ+σ) = 0.6826 ，P(μ- 2σ<Z <μ+ 2σ) = 0.9544 ，P(μ- 3σ<Y <μ+ 3σ) = 0.9973 ，0.94≈ 0.66 ，0.95≈ 0.59 ，0.910≈ 0.35 .⎩ ⎩ （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOyl ⎧x = t cos α（ t 为参数，0 < α < π ），曲线C⎧x = 2cos β，中，直线 1 ：⎨y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2）已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 123．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1）当 a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2）若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数 m 的取值范围.2a -16 绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1. B2. C3. A4. C5. D6. D7. A8. A9. D10. B11. B12. A二、填空题：13.1 414. 3215. 142716.-三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）在∆ABC 中，内角 A 、 B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知sin 2 B = sin A sin C ．（1）求证： 0 < B ≤ π；3（2）求2 sin 2A + C + sinB -1的取值范围.2解：（1）由正弦定理可得a sin A =b sin B =c sin C= 2R ，∴s in A = a ，s in B = 2Rb ，sin C = 2Rc ， ................................. 2 分2R∵ sin 2 B = sin A sin C ，∴b 2 = ac ，… .................. 4 分a 2 + c 2 -b 2∴ c os B =≥2ac - ac = 1 ，2ac而0 < B < π2ac 2∴0 < B ≤ π ..................................................................................................................6 分332 （2）2 sin 2 A + C+ sin B -1 2= -cos(A + C ) +sin B= cos B + sin B =2 sin(B + π) ， ................................... 8 分 4由（1）知0 < B ≤ π，3∴ π< B + π ≤7π， ............................................. 10 分4 4 12∴1 <2 sin(B + π) ≤4即2 s in 2A + C + sinB -1的取值范是(1, 22] ....................................... 12 分18．(本小题满分 12 分)如图所示，四棱锥 S - ABCD 中，SA ⊥ 平面 ABCD ， AD / / BC ，SA = AB = BC = CD = 1 ，AD = 2 ．（1）在棱 SD 上是否存在一点 P ,使得CP // 平面 SAB ?请证明你的结论；（2）求平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值．证明：（1））当点 P 为棱 SD 的中点时, CP // 平面 SAB .证明如下:取 SA 的中点 F ,连结 FP 、 FB 、 PC ，则FP // AD 且 FP = 1AD ， ................... 2 分2 ∵ AD / / BC ， BC = 1AD = 1 ，2∴ FP / /BC 且 FP = BC ，∴四边形 FBCP 为平行四边形， ............... 4 分 ∴ C P / /BF ，∵ CP ⊄ 平面 SAB ， BF ⊂平面 SAB ，x∴ CP // 平面 SAB ． ......................... 6 分（2）在平面 ABCD 内过点 A 作直线 AD 垂线 Ax ， ∵ SA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ SA ⊥ AD ， SA ⊥ Ax ，∴直线 AS 、 Ax 和 AD 两两垂直，以点 A 为原点，分别以直线 Ax 、 AD 和 AS 为 x 、 y 和 z 建立如图所示的直角坐标系，过点 B 作 BE ⊥ AD 交直线 AD 于 E ，zSF PAED yBC3 3 3 ( 3, -3, 0) ⋅ ( 3, 3, 6) ( 3)2 + (-3)2 ⋅ ( 3)2 + 32 + 62 3 x 0 + 2 3 2 3 - x 03 1 y ∠ == ∠ = =∵ AD / / BC ， AB = BC = CD = 1， AD = 2 ，∴ AE = 1 ， BE =3 ，22B ( 1 3从而可得 A (0, 0, 0)， , , 0) ， C ( , , 0) ， D (0, 2, 0) ， S (0, 0,1) ，则2 22 2AS = (0, 0,1) ， AB = (, , 0) ， SD = (0, 2, -1) ， DC = ( 2 2 3 , - 1 , 0) ，………8 分 2 2设平面 SAB 的法向量为n 1 = (x 1, y 1, z 1 ) ，平面 SCD 的法向量为n 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则⎧⎪n 1 ⋅ AS = 0, ⎧⎪n 2 ⋅ SD = 0,⎨ ⎨ ⎪⎩n 1 ⋅ AB = 0, ⎪⎩n 2 ⋅ DC = 0,⎧z 1 = 0, ⎪ ⎧2 y 2 - z 2 = 0, ⎪ ∴ ⎨ 3 x + 1y = 0, ⎨ 3 x - 1 y= 0, ⎩⎪ 2 1 2 1 ⎩⎪ 2 2 2 2取 x 1 = 3 ， x 2 = ，可得n 1 = ( 3, -3, 0) ， n 2 = ( 3, 3, 6) ， ........................................ 10 分∴ cos == - 1,4∴平面 SAB 和平面 SCD 所成锐二面角的余弦值为1 ...............................................12 分419．（本小题满分 12 分）已知椭圆C : x2 + = 1 ， A 、 B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点.12 4（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围. 2 3解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设 M (x 0 , y 0 ) (-2 < x 0 < 2 3, 0 < y 0 ≤ 2) .过点 M 作 MH ⊥ x 轴，垂足为 H ，则 H (x 0 , 0) (0 < y 0 ≤ 2) ， ................ 1 分于是，有tan AMH | AH |， tan BMH | BH | ， | MH | y 0 | MH | y 0n , n = n 1 ⋅ n 2 1 2| n | ⋅ | n |1 2 24 3y 0 2 3 x 0 + 2 3 x 0 - 2 30 0 y 0 0∴ tan ∠AMB = tan(∠AMH + ∠BMH ) = tan ∠AMH + tan ∠BMH1- tan ∠AMH tan ∠BMH = x 2 + y 2-12 ，…3 分∵点 M (x 0 , y 0 ) 在椭圆C 上，x 2y 2∴ 0 + 0 = 1，∴ x 2 = 12 - 3y 2 ，12 4∴ tan ∠AMB = -， .............................................. 5 分y 0而0 < y 0 ≤ 2 ，∴ tan ∠AMB = -y 0∵点0 < ∠AMB < π ， ∴ ∠AMB 的最大值为2π，此时 y = 2 ，即点 M 为椭圆C 的上顶点.3根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆 C 的短轴的顶点时， ∠AMB 取最大值，其最大值为 2π . ……………7 分3（2）设直线 BM 的斜率为k ' ， M (x 0 , y 0 ) ，则k =y 0 ， k ' = y ，2∴ k ⋅ k ' = 0 ，x 2-12x 2 y 2又0 + 0 = 1，∴ x 2 = 12 - 3y 2 ， 12 4∴ k ⋅ k ' = - 1 ， ......................................................... 10 分 3∵ k ∈(- 1 , - 1) ，2 3∴ 2 < k ' < 1 ，32故直线 BM 的斜率的取值范围为( ,1) ................................................................................ 12 分320．（本小题满分 10 分）已知函数 f (x ) = ln(x +1) , g (x ) = e x （e 为自然对数的底数）． 2 3 ≤ - 3 ，-2 +a+22>-（1）讨论函数ϕ(x) = f (x) -x +a在定义域内极值点的个数；x（2）设直线l 为函数f (x) 的图象上一点A(x0 , y0 ) 处的切线，证明：在区间(0, +∞) 上存在唯一的x0，使得直线l 与曲线y =g(x) 相切．解：（1）ϕ(x) =f (x) -x +axx +a= ln(x +1) -（x 1且x ≠ 0) ，xϕ'1 a x2+ax +a(x) =+x +1= ，x2(x +1)x2令h(x) =x2+ax +a ，∆=a2 -4a ，........................................ 1 分①当∆=a2 - 4a ≤ 0 时，即当0 ≤a ≤ 4 时，ϕ'(x) ≥ 0 ，此时，ϕ(x) 在(-1, 0) 和(0, +∞) 单调递增，无极值点；................................................................ 2 分②当∆=a2-4a > 0 时，即当a < 0 或a > 4 时，函数h(x) =x2+ax +a 有两个零点,x1x2=，（i）当a < 0 时，因为-1-x1 ==< 0 ，所以x2 > 0 >x1 >-1，…………………………………3分所以函数ϕ(x)在(-1, x1) 单调递增，在( x1，0) 和(0，x2) 上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增，此时函数ϕ(x) 有两个极值点； ....................................................4 分（ii）当a > 4 时，-因为1-x2 =2=0 ，2所以x1<x2<-1，此时ϕ'(x) >0 ，ϕ(x) 在(-1, 0) 和(0, +∞) 单调递增，无极值点.……5分综上所述，当a ≥ 0 时，函数ϕ(x) 无极值点，当a < 0 时，函数ϕ(x) 有两个极值点.……6分（2）因为f '(x) =1，x +1所以函数f (x) 的图象上一点A(x0 , y0 ) 处的切线l 的方程可表示为11 y- y 0 =0 +1(x - x 0 ) ， ............................................ 9 分设直线l 与曲线 y = g (x ) 相切于点 B (x , e x 1 )，因为 g '(x ) = e x ，⎧e x = 1 ,⎪ x 0 +1 ⎪ 所以⎨ y 0 = ln(x 0 +1), ⎪ x1 ⎪e 1 - y 0 = ⎪⎩x 0 +1 (x 1 - x 0 ),消去 x 1 并整理，得x 0 +1ln(x 0 +1) -= 0 , ............................................................................................. 11 分由（1）可知，当a = 1时，函数ϕ(x ) = ln(x +1) -x +1x > -1) 在(0, +∞) 单调递增，ϕ 12（ xe 2 - 2 又 (e -1) = - < 0 ，ϕ(e e -1 -1) = > 0 ， e 2-1所以函数ϕ(x ) 在(e -1, e 2 -1) 上有唯一的零点，又因为ϕ(x ) 在(0, +∞) 单调递增，所以方程ln(x 0 +1) -x 0 +1 = 0 在(0, +∞) 上存在唯一的根，x 0故在区间(0, +∞) 上存在唯一的 x 0 ，使得直线l 与曲线 y = g (x ) 相切． .......... 12 分21．（本小题满分 12 分）2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）.（1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 N (μ,15.22 ) ，其中μ近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70 岁以上（ ≥ 70 ）的患者比例；1x x⎢1 ⎥⎣ 9 （2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按n （1< n < 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为 X n ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的n 的值．参考数据：若 Z ~ N (μ,σ 2 ) ，则 P (μ - σ < Z < μ + σ ) = 0.6826 ， P (μ - 2σ < Z < μ + 2σ ) = 0.9544 ， P (μ - 3σ < Y < μ + 3σ ) = 0.9973 ，0.94 ≈ 0.66 ， 0.95 ≈ 0.59 ， 0.910 ≈ 0.35 .解：(1)μ =2 ⨯15 + 6 ⨯ 25 +12 ⨯ 35 +18⨯ 45 + 22 ⨯ 55 + 22 ⨯ 65 +12 ⨯ 75 + 4 ⨯85 + 2 ⨯ 95 = 54.8100……………………………… …2 分所以 P (54.8 -15.2 < Z < 54.8 +15.2) = P (39.6 < Z < 70) = 0.6826 ，P (Z ≥ 70) = 1- P (39.6 < Y < 70) = 1- 0.6826 = 0.1587 = 15.87% ，2 2则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70 岁以上的患者比例为15.87% ................ 5 分(2)解法一：根据题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为 1 ， n 的可能取值为 2，4，105，10，当n ∈{2，4，5，10} 时， X B (n , 1) ， ............................................................................... 7 分 n 10对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1， n +1，P (Y = 1) = ( 9 )n， P (Y = n +1) = 1- 10 ( 9 )n ，10E (Y ) =1⋅ ( 9 )n + (n +1) ⋅ ⎡ 10 - ( ) 10 n ⎤ = n +1- 9 n ( ) 10 n ， ......................... 9 分 ⎣ ⎦则20 人的化验总次数为 f (n ) = 20 ⎡n +1-9 n ⎤ ⎡1 - 9 n ⎤ ， n ⎢⎣ n ( )10 ⎥⎦ =20 ⎢1+ n (10) ⎥⎦经计算 f (2)=13.8 ， f (4) ≈ 11.8 ， f (5) ≈ 12.2 ， f (10) ≈ 15 .所以，当n = 4 时符合题意，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少． ......... 12 分⎢1 ⎥ ⎩ ⎩ 1 ⎩⎩ 解法二：根据题意，每名密切接触者确诊的概率均为 1， n 的可能取值为 2，4，5，10，10当n ∈{2，4，5，10} 时， X B (n , 1) ， ..................................................................... 7 分 n 10设以n 个人为一组时，组内每人所需的化验次数为Y ，则Y 的可能取值为 1 ，1+ 1 ，P (Y = 1 ) = n ( 9 )n 10 P (Y = 1+ 1 ) = 1- ，n n n ( 9)n10 ，则 E (Y ) = 1 ⋅ ( 9 )n + (1+ 1 ) ⋅ ⎡ - ( 9 )n ⎤ = 1+ 1 - ( 9 )n ， ................... 9 分 n 10 n ⎣ 10 ⎦ n 10 ⎡ 1 9 n ⎤ f (n ) = 20 ⎢1+ n - (10) ⎥则 20 人所需的化验次数为⎣ ⎦ ， f (2)=13.8 ， f (4) ≈11.8 ， f (5) ≈12.2 ， f (10) ≈15 .所以，符合题意的n = 4 ，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少． ......... 12 分22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOyl ⎧x = t c os α（ t 为参数，0＜α＜π ），曲线C⎧x = 2cos β，中，直线 1 ：⎨ y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（ β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2）已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 1解：（1）（解法一）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ，将 C 的极坐标方程为 ρ 2 - 8ρ sin θ +12 = 0 ， ................. 2 分 ⎨ y = ρ sin θ 代入得 1又l 的参数方程为⎧x = t cos α（t 为参数， 0＜α＜π）， 1⎨ y = t sin α2得l 1 的极坐标方程为θ =α（ρ ∈R ）， ...................................................................................... 3 分将θ =α 代入得 ρ 2 - 8ρ sin α +12 = 0 ，则∆ = (8sin α )2 - 4 ⨯12 = 0 ，又0＜α＜π，233 1 ⎩ 2 1解得α = π，此时 ρ=2，所以点 A 的极坐标为（2 3 π，..................... 5 分，） 33（解法二）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ，将C 的极坐标方程为 ρ 2- 8ρ sin θ +12 = 0 ， ................ 2 分 ⎨ y = ρ sin θ代入，得 1因为l 1 与C 1 相切于点 A ，所以在Rt △ OC 1 A 中，有| OA |= = 2 ，sin ∠AOC = | C 1 A | = 1，所以∠AOC = π ，.................................. 4 分 | OC 1 | 2 6由极坐标的几何意义，可得 A （2 3π ................................................................................5 分，） 3（2）由C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，可得C 2 的直角坐标方程为(x - 2 3)2 + y 2 = 5 ，所以圆心C (2 3, 0) ，.................................. 6 分设 B (ρ , π) ， C (ρ , π) 将θ = π代入 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，1 323 6得 ρ 2 - 6ρ + 2 = 0 ，所以 ρ + ρ = 6 ， ρ ρ = 2 ， .............................. 7 分121 2又因为 S = 1 ρ .ρ sin( π - π) = 3 ρ ， S = 1 | O C | ⋅ρ .sin π = 3ρ ，.......... 8 分 1 2 1 A 3 6 2 1 2 22 2 6 2 2S S ρ ρ (ρ + ρ )2 - 2ρ ρ 62 - 2 ⨯ 2 所以 1 + 2 = 1 + 2 = 12 1 2 = = 16 ...................................... 10 分S 2 S 1 ρ2 ρ1 ρ1ρ2 223．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1）当 a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2）若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数 m 的取值范围.解：（1）当 a =1时，即解不等式 x - 2 ＞2x + 1 ，（法一）①当 x ≥ 2 时，原不等式等价于 x - 2＞2x +1，所以 x < -3 ，所以不等式 f (x )＞2x + 1的解集为空集， ..................................... 2 分 ②当 x ＜2 时，原不等式等价于2 - x ＞2x +1，解得 x ＜1 ， ..................... 4 分3OC 2 - C A 2 1 12a -11, ), )综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 1 3. …………………………………5 分（法二）①当 x <- 1时，不等式 x - 2 ＞2x + 1 显然成立； ..................... 2 分2②当 x ≥- 1时，原不等式等价于(x - 2)2＞(2x +1)2 ，2即3x 2 + 8x - 3＜0 ，解得- 1 ≤ x < 1，...................................... 4 分2 3综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 13. ……5 分（2）因为 f (x )+ x += x - 2a + x + ≥ 2a + ，显然等号可取，………6 分又 a ∈ (1, +∞) ，故原问题等价于关于 a 的不等式2a +2a -1＜m 在(1, +∞) 上有解，…8 分又因为2a +2 a -1 =2(a -1) + 2a -1+ 2 ≥ 2 = 6 ，当且仅当a = 2 时取等号，所以m > 6 ，即m ∈(6, +∞) .............................................. 10 分2 a -1 2 a -1 2a -1。