第系统数学模型
系统的数学模型
饱和非线性
当输入信号在一定范围内 变化时，具有饱和特性的 环节其输入输出呈线性关 系；当输入信号x的绝对值 超出其线性范围后，输出 信号不再随输入信号变化 而保持在一常值上。具有 饱和特性的元件如放大器、 调节器等。
当输入信号较小而工作在线性区时，可看作线性元件； 当输入信号较大而工作在饱和区时，就必须作为非线 性元件来处理。
死区非线性
y(t)
死区特性又称不灵敏特性，图
中横坐标为输入，纵坐标为输
出。当输入信号在零附近变化 -x O x 时，系统输出为零。
x(t)
只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出，且与 输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区，调 节器和执行机构的死区，以及弹簧预紧力等。当死区 很小时，或对系统的性能不会产生不良影响时，可将 它作为线性特性处理；当死区较大时，将使系统静态 误差增加，有时还会造成系统低速不平滑性。
间隙非线性
传动机构的间隙也是控制系统
y(t)
中一种常见的非线性特性现象。
在机械传动中，由于加工精度
的限制及运动件相互配合的需
要，总会有一定的间隙存在。 -x 例如齿轮传动，为保证转动灵
O +x x(t)
活不发生卡死现象，必须容许
有少量间隙。
由于间隙的存在，当机构做反向运动时，主动齿轮
（其转角为输入信号x(t)）总要转过间隙量2 x的空行
弹簧 k
x1(t ) v1(t )
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
2.4第二章 系统的数学模型--第四节 系统的微分方程及线性化
四、电气系统中的元件复阻抗
2、电容
i(t)
C
u(t)
u (t )
1 C
i(t
)dt
u(t)
1 C
i(t)
sU (s) 1 I (s) U (s) 1 I (s)
C
Cs
零初始状态下
四、电气系统中的元件复阻抗 3、电感 i(t) L
u(t)
u(t) L di(t) dt
U (s) Ls I (s) 零初始状态下
R
ui
C
uo
3、列出如图电气系统的微分方程。
解：物理规律： 基尔霍夫原理 输 入: 电压 ui(t) 输 出: 电压 uo(t)
设：电路电流为 i(t)
i
ui
R
C
uo
ui (t)
uo (t)
R i
1 C
(t) 1 C
i(t)d t
i(t
)d
t
iu(it()t
五、微分方程建立示例
2、列出如图机械系统的微分方程。
解：物理规律： 达朗贝尔原理 输 入: 力矩 τ(t) 输 出: 位移 θ(t)
τ
ห้องสมุดไป่ตู้
kJ
θ(t)
J
t kJ t cJ wt J t t kJ t cJt Jt Jt cJt kJ t t
线性系统的特点：可以运用叠加原理。
2、非线性系统 必须用非线性微分方程描述
的系统。 不能使用叠加原理
y(t) x2 (t) 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 线 性 化 处 理：在工作点附近将非线性函数用泰勒级
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章系统数学模型的建立
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
系统的数学模型
系统的数学模型是建立在客观环境系统的基础上的，它反映了评价所涉及的各种环境要素和过程，以及它们之间的相互联系和作用。
这个模型是建立在物理定律和机械定律的基础上的，通过推导可以得到数学模型。
数学模型可以分为静态模型和动态模型，静态模型主要用于静态误差分析，而动态模型则主要用于分析连续系统（微分方程）和离散系统（差分方程）。
系统的数学模型还可以根据目的分为三类：用来帮助对象设计和操作的模型，用来帮助控制系统设计和操作的模型，以及用来进行系统仿真的模型。
在建模过程中，还需要注意掌握好复杂和简单的度，以作合理折中。
第2章 系统的数学模型及传递函数
u(t)
R-L-C无源电路网络
L
R
di(t) d 2q(t) u(t) L dt L dt2
ui(t)
i(t) C
uo(t)
R-L-C无源电路网络
20
ui
(t)
Ri (t )
L
d dt
i(t)
1 C
i(t)dt
uo
(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)
L
R
i(t) C uo(t)
R-L-C无源电路网络
6
• 实际的系统通常是非线性的，线性只在一定的工 作范围内成立。
• 判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的， 可视其中的函数及其各阶导数，如出现高于一次 的项，或者导数项的系数是输出变量的函数，则 此微分方程是非线性的。（P11）
• 非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下， 可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的 动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能 够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。
5. 系统传递函数只表示系统输入量与输出量的数学关系(描述系统 的外部特性)，而没有表示系统中间变量之间的关系(描述系统的内 部特性)。在现代控制理论中，可采用状态空间描述法来对系统的动 态特性进行描述。
34
y(t) k c m f(t)
••
•
m y(t) c y(t) ky(t) f (t)
输出 b
输出
输出
0
输入
0
输入
0
输入
a 饱和（放大器）
死区（电机）
间隙（齿轮）
A.饱和：如运算放大器当输入大于一定值时，输出被限制在 ±15V，达到饱和。
B.传动间隙：齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统， 有传动间隙，在输入与输出间有滞环关系。P11图2-1
第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型本章要点系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。
本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。
内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。
为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。
而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。
这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。
解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。
如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。
系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。
第一节系统的微分方程微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。
一、系统微分方程的建立步骤1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。
2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。
联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。
3．将方程整理成标准形式。
即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。
二、举例说明例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。
解：由图可知，输入量为u i(t) , 输出量为u o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压定律，有dtt du Ct i t u R t i t u o o i )()()()()(=+=消去上式中的中间变量i(t) ，得)()()(t u dtt du RCt u o o i += 整理得 ()()()o o i du t RCu t u t dt+= 例2-2 求直流电动机的微分方程。
自动控制原理第二章
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
机械工程控制基础-系统数学模型
由于：
d 1 A ( H 0 H ) H0 H qi 0 qi dt 2 H0
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fC (t)
C
v2 ( t ) x2(t) fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C 6 dt
机械平移系统
E Ri
12
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i( t)
R
u ( t) 电容 i( t)
C u ( t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t )dt C du (t ) i (t ) C Cu dt
13
电感 i( t) L u ( t) R-L-C无源电路网络
消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
3、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
4
质量
fm(t)
m
x (t) v (t) 参考点
2
d d f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) mx dt dt
21
液位系统
A：箱体截面积；
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
线性系统微分方程的一般形式
chap2 系统的数学模型
线性系统可用线性微分方程进行描述
线性微分方程中各阶导数的系数不能是未知函数或变量的非线性函数 线性系统满足叠加原理 例： a2 a1 x a0 x b2u b1u x 非线性系统 非线性系统不能用线性微分方程进行描述 非线性系统不满足叠加定理
例： ml l mgsin 0
控制原理
武汉科技大学机械自动化学院
4
第二章 系统的数学模型
l1 Q1
H l2 Q2
自动恒温控制系统
水位调节系统
5
控制原理
武汉科技大学机械自动化学院
第二章 系统的数学模型
控制系统相关概念：
1. 控制器---对被控对象起控制作用装置的总体 2. 被控对象---要求实现控制的机器、设备或生产过程 3. 输出量（被控量）---表现于控制对象或系统的输出端，用于描述 被控对象工作状态的物理量 4. 输入量（给定量）---作用于控制对象或系统输入端，用于表征被 控量的希望运行规律
d 2 x(t ) M f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) 2 dt dx(t ) f (t ) B Kx(t ) dt
控制原理
d 2 x(t ) dx(t ) M B Kx(t ) f (t ) 2 dt dt
14
武汉科技大学机械自动化学院
第二章 系统的数学模型
19
控制原理
武汉科技大学机械自动化学院
第二章 系统的数学模型
2.1 物理系统建模
2.1.4 控制系统建模步骤
① 确定系统的输入量与输出量，将系统分解为各简单环节（按功能）
20
控制原理
武汉科技大学机械自动化学院
第二章 系统的数学模型
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
系统的数学模型
系统的数学模型—微分方程与传输算子不涉及任何数学变换，而直接在时间变量域内对系统进行分析，称为系统的时域分析。
其方法有两种：时域经典法与时域卷积法。
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。
这种方法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应用上也有局限性。
所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时域经典法。
20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善，已成为系统分析的重要方法之一。
时域分析法是各种变换域分析法的基础。
在本章中，首先建立系统的数学模型——微分方程，然后用经典法求系统的零输入响应，用时域卷积法求系统的零状态响应，再把零输入响应与零状态响应相加，即得系统的全响应。
其思路与程序是：其次，将介绍：系统相当于一个微分方程；系统相当于一个传输算子H(p)；系统相当于一个信号——冲激响应h(t)。
对系统进行分析，就是研究激励信号f(t)与冲激响应信号h(t)之间的关系，这种关系就是卷积积分。
2-1 系统的数学模型——微分方程与传输算子研究系统，首先要建立系统的数学模型——微分方程。
建立电路系统微分方程的依据是电路的两种约束：拓扑约束(KCL，KVL)与元件约束(元件的时域伏安关系)。
为了使读者容易理解和接受，我们采取从特殊到一般的方法来研究。
图2-1(a)所示为一含有三个独立动态元件的双网孔电路，其中为激励，，为响应。
对两个网孔回路可列出KVL方程为上两式为含有两个待求变量，的联立微分积分方程。
为了得到只含有一个变量的微分方程，须引用微分算子 ，即，，…，在引入了微分算子后，上述微分方程即可写即(2-1)根据式(2-1)可画出算子形式的电路模型，如图2-1(b)所示。
将图2-1(a)与(b)对照，可很容易地根据图2-1(a)画出图2-1(b)，即将L 改写成Lp ，将C 改写成 ，其余一切均不变。
第第二章 控制系统的数学模型
1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]
第2章 系统的数学模型(拉普拉斯变换)
lim f t 的值
1 lim f t lim sF s lim s 0 t 0 s s s s 1
1 lim f t lim sF s lim s 1 t s 0 s 0 s s 1
3 拉普拉斯反变换 对于任何时间连续的时间函数来 说，它与拉普拉斯变换之间保持唯 一的对应关系。 一一对应
1 定义与基本变换
例5 脉冲函数 0, t ,
t 0 t 0
0
dt 1
单位脉冲函数的拉氏变换为 1
L t 1
2 拉普拉斯变换性质
1.线性定理：
Lk1 f1 t k 2 f 2 t k1 L f1 t k 2 L f 2 t
k13
2
s s1 l 1
k1l
kn k2 s s1 s s 2 s sn
k1
1 d l 1 k1l l 1 F s s s1 s s1 l 1! ds
k11 F s s s1 | s s1
4 求解线性微分方程
解：1、对微分方程进行拉氏变换 利用微分定理： 2 ( s 5s 6)Y ( s) s 7 s
2
4、查表求各分式的拉氏反变换 1 1 L 1(t ) 3s 3 1 4 2 t L 4 e s 2
1
2、求系统输出变量表达式 s 7s 2 Y ( s) s( s 2)( s 3)
1 定义与基本变换
例3 斜坡函数
f(t) A t 0 1
At (t 0) f t 0(t 0)
A L f t s2
第二章物理系统的数学模型及传递函数
要 消去它们, 就要找出中间变量与其它因素间的关系. 感应 电势 E ( t ) 正比于转速 m ( t ) 和激磁电流 I f 产生的磁通量 由于激磁电流是恒定的, 所以磁通量也恒定, 感应电势仅取 决于转速, 并可表示为:
a
(3) 消去中间变量 从式(1)和式(2)中可见,
i a ( t ), E a ( t ), M m ( t ) 是中间变量,
uC (t ) u (t )
m
d x(t ) dt
2
2
f
dx(t ) dt
Kx(t ) F (t )
相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系
三、非线性系统的线性化
1）线性系统 线性系统是由线性元件组成的系统，线性微分
方程用来描述线性系统。 若微分方程的系数是常数称线性定常系统，或 线性时不变系统。 这是经典控制论主要研究的对象，因为它可以 方便地进行拉氏变换，并求得传递函数。
4.用解析法建立运动方程的步骤
1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确 定出待研究元件或系统的输入量和输出量； 2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手）， 依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写 各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就 是考虑后一级对前一级的影响。 3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输 出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：① 将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有 关的各项放在方程的左边；②各导数项按降幂排列； ③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有一定 物理意义的系数。
§2-1 系统的数学模型
线性系统微分方程的建立
步骤：1.分析系统和元件的工作原理，找出 各物理量之间的关系，确定输出量及输入 量。 2.设中间变量，依据物理、化学等定律忽 略次要因素列写微分方程式。 3. 将所有方程联解，消去中间变量，得出系统
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• 根据物理定律或通过实验等方法得出物理 规律，对各个环节分别建立方程，并考虑 适当简化，线性化；
• 将各环节的方程式联立，消去中间变量， 得出只含输入变量、输出变量以及系统参 量的系统微分方程数学模型。
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[例2.5] 斜坡函数的拉氏变换
斜坡函数
0 x(t) at
(t 0) (t 0)
则
X(s) L[x(t)]
at
estdt
a
tdest
0
s 0
a s
t
est
0
0estdt
a s2
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[例2.7] 指数函数的拉氏变换
[例2.7] 求指数函数的拉氏变换 指数函数
(2)微分定理
Lddt f (t) sF(s) f (0) n阶导数的拉氏变换
第2章 系统的数学模型
• 2.1 系统数学模型—微分方程 • 2.2 拉普拉斯变换及其反变换 • 2.3 传递函数及典型环节的传递函数 • 2.4 系统传递函数方框图及其简化 • 2.5
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2.1 系统数学模型－－微分方程
[例2.1] 无源电路网络
U i U oIrR 1 (2 .1 )
R1 Ir
Ui UoC 1 Icdt
(2.2)
Ui
U o (Ir Ic)R 2 (2 .3 )
C
Ic R 2
Uo
（ 2 .1 ） Ir （ U i U o ） /R 1 （ 2 .2 ） Ic （ U & i U & o ） C
(2 .4 ) (2 .5 ) (2 .3 )
C 1 R 2 U R o ( R 1 R 2 ) U o C 1 R 2 U R i R 2 U i (2.
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[例2.2] 建立含运算放大器网络的数学模型
c i2 (t)
K0
+ +
(a) 运算放大器的符号
i1 ( t )
U i(t)
R
_
A
+
R
K0
U 0 (t)
+B
[解]
(b) 含运算放大器的一种网络U o(t)K oU A(t) K o很 大 U A0
(2.7)
由式(2.7)表示的关系，称A点为“虚地”。
x(t)etdt 0
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[例2.4] 单位阶跃函数的拉氏变换
[例2.4] 求单位阶跃函数的拉变氏换 单位阶跃函数为
1(t)
0 1
根据拉氏变换定义
(t 0) (t 0)
L[1(t)] 1(t)estdt estdt 1est 1
0
0
s 0s
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6
e at
7
e -at
8
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1 t n1e-at (n 1)!
13
F (s)
1
1 s
k s 1 s r1 1 e -at s
1 sa
1 sa
1 (s a)n
2.2.2 拉氏变换的基本定理
(1)加法定理 若 L[f1(t)]F1(s), L[f2(t)]F2(s) 则 L[a1f(t)b2f(t)]a1F (s)b2 F(s)
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0 (t) J
Em
M(t) f
(2.1)0 (2.1)1 (2.1)2 (2.1)3
[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
把 (2.1)1代(入 2.1)3: ia(t)1[J 0(t)f 0(t)] KT
(2.1)4
把 (2.1)2和 (2.1)4代(入 2.1)0直流伺服电 模动 :型机得数学
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[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
若 用 (t) 0(t)表示电动机度 转， 子的角速 则(式 2.1)52 (.16 )和 (2.17 )分别变为
LaJ (t)(Laf RaJ) (t)(Raf KTKe)(t)KTEi(t)
(2.1)8
RaJ (t)(Raf KTKe)(t)KTEi(t)
8
2.2 拉普拉斯变换及其反变换
2.2.1 拉氏变换的定义
定义：
X ( s ) L [x ( t) ]x ( t) e sd t t
0
其中 sj
( 2 .2 )2
（1）当 t 0 时，x(t) 0 ； （2）当 t 0 时，x ( t ) 在每个有限区间上是分段连续的； （3）当 为正实数时，x ( t ) 满足
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4
[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
Ra
La
ia( t )
Ei(t )
[解]
电压平衡 Ei(t方 )R程 aia(t)： Lai (t)Em(t) 转矩方程 M(： t)KTia(t) 反电动势 Em(t： )Ke 0(t) 动力学方 M(t程 )J： 0(t)f 0(t)
LaJ(03)(t)(Laf RaJ) 0(t)(Raf KTKe) 0(t)KTEi(t)
(2.1)5
忽略 R a J 0 ( t ) ( 电 R a f K T K e 感 ) ( t ) K T E ： i( t ) ( 2 .1 )6
忽略电枢 Ke 电 0(t) 感 Ei(t)为： (2.1)7
(2.19 )
Ke(t)Ei(t)
(2.20 )
单输入、单输出 定、 常线 系性 统数学模 般型 形的 式一 ：
anxo(n()t)an1xo(n-1)(t)a1xo(t)a0xo(t) bmxi(m)(t)bm-1xi(m-1)(t)b1xi(t)b0xi(t)
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对于复杂系统建立微分方程形式的 数学模型一般步骤为：
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[例2.2] 建立含运算放大器网络的数学模型
运算放大器很 的高 输， 入流 阻经 抗的 运电 算流 放很 大小 器：
i1(t)i2(t)
(2.8)
由式(2.8)表示的关系，称A点为“虚断” 。
由式(2.7)
i1(t)
Ui (t) R
i2
(t)
C
dUo (t) dt
由(式 2.8)得其数学 R模 U C o(t型 )U ： i(t)
0
x(t)
eat
(t 0) (t 0)
则
X (s) L[x(t)] eatestdt e(as)tdt
0
0
1
e(as)t
1
(a s)
0 sa
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拉普拉斯变换简表
f (t)
1
单位脉冲函数 (t)
2
单位阶跃函数 1(t)
3
k
4
1 tr r!
u(t a)在t a开始的单位阶跃 5