第系统数学模型

• 根据物理系统的特点将系统划分为若干个 环节，确定各个环节的输入输出信号和输 入输出关系；
• 根据物理定律或通过实验等方法得出物理 规律，对各个环节分别建立方程，并考虑 适当简化，线性化；
• 将各环节的方程式联立，消去中间变量， 得出只含输入变量、输出变量以及系统参 量的系统微分方程数学模型。
2020/5/26
(2)微分定理
Lddt f (t) sF(s) f (0) n阶导数的拉氏变换
LaJ(03)(t)(Laf RaJ) 0(t)(Raf KTKe) 0(t)KTEi(t)
(2.1)5
忽略 R a J 0 ( t ) ( 电 R a f K T K e 感 ) ( t ) K T E ： i( t ) ( 2 .1 )6
忽略电枢 Ke 电 0(t) 感 Ei(t)为： (2.1)7
2020/5/26 5
0 (t) J
Em
M(t) f
(2.1)0 (2.1)1 (2.1)2 (2.1)3
[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
把 (2.1)1代(入 2.1)3: ia(t)1[J 0(t)f 0(t)] KT
(2.1)4
把 (2.1)2和 (2.1)4代(入 2.1)0直流伺服电 模动 :型机得数学
第2章 系统的数学模型
• 2.1 系统数学模型—微分方程 • 2.2 拉普拉斯变换及其反变换 • 2.3 传递函数及典型环节的传递函数 • 2.4 系统传递函数方框图及其简化 • 2.5
2020/5/26 1
2.1 系统数学模型－－微分方程
[例2.1] 无源电路网络
U i U oIrR 1 (2 .1 )
2020/5/26 2
[例2.2] 建立含运算放大器网络的数学模型
c i2 (t)
K0
+ +
(a) 运算放大器的符号
i1 ( t )
U i(t)
R
_
A
+
R
K0
U 0 (t)
+B
[解]
(b) 含运算放大器的一种网络
U o(t)K oU A(t) K o很 大 U A0
(2.7)
由式(2.7)表示的关系，称A点为“虚地”。
(2.19 )
Ke(t)Ei(t)
(2.20 )
单输入、单输出 定、 常线 系性 统数学模 般型 形的 式一 ：
anxo(n()t)an1xo(n-1)(t)a1xo(t)a0xo(t) bmxi(m)(t)bm-1xi(m-1)(t)b1xi(t)b0xi(t)
2020/5/26 7
对于复杂系统建立微分方程形式的 数学模型一般步骤为：
[例2.5] 斜坡函数的拉氏变换
斜坡函数
0 x(t) at
(t 0) (t 0)
则
X(s) L[x(t)]
at
estdt
a
tdest
0
s 0
a s
t
est
0
0estdt
a s2
2020/5/26 11
[例2.7] 指数函数的拉氏变换
[例2.7] 求指数函数的拉氏变换 指数函数
2020/5/26 6
[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
若 用 (t) 0(t)表示电动机度 转， 子的角速 则(式 2.1)52 (.16 )和 (2.17 )分别变为
LaJ (t)(Laf RaJ) (t)(Raf KTKe)(t)KTEi(t)
(2.1)8
RaJ (t)(Raf KTKe)(t)KTEi(t)
R1 Ir
Ui UoC 1 Icdt
(2.2)
Ui
U o (Ir Ic)R 2 (2 .3 )
C
Ic R 2
Uo
（ 2 .1 ） Ir （ U i U o ） /R 1 （ 2 .2 ） Ic （ U & i U & o ） C
(2 .4 ) (2 .5 ) (2 .3 )
C 1 R 2 U R o ( R 1 R 2 ) U o C 1 R 2 U R i R 2 U i (2.
2020/5/26
4
[例2.3] 建立直流伺服电动机控制系统的数学模型
Ra
La
ia( t )
Ei(t )
[解]
电压平衡 Ei(t方 )R程 aia(t)： Lai (t)Em(t) 转矩方程 M(： t)KTia(t) 反电动势 Em(t： )Ke 0(t) 动力学方 M(t程 )J： 0(t)f 0(t)
x(t)etdt 0
2020/5/26 9
[例2.4] 单位阶跃函数的拉氏变换
[例2.4] 求单位阶跃函数的拉变氏换 单位阶跃函数为
1(t)
0 1
根据拉氏变换定义
(t 0) (t 0)
L[1(t)] 1(t)estdt estdt 1est 1
0
0
Leabharlann Baidus 0s
2020/5/26 10
0
x(t)
eat
(t 0) (t 0)
则
X (s) L[x(t)] eatestdt e(as)tdt
0
0
1
e(as)t
1
(a s)
0 sa
2020/5/26 12
拉普拉斯变换简表
f (t)
1
单位脉冲函数 (t)
2
单位阶跃函数 1(t)
3
k
4
1 tr r!
u(t a)在t a开始的单位阶跃 5
6
e at
7
e -at
8
2020/5/26
1 t n1e-at (n 1)!
13
F (s)
1
1 s
k s 1 s r1 1 e -at s
1 sa
1 sa
1 (s a)n
2.2.2 拉氏变换的基本定理
(1)加法定理 若 L[f1(t)]F1(s), L[f2(t)]F2(s) 则 L[a1f(t)b2f(t)]a1F (s)b2 F(s)
8
2.2 拉普拉斯变换及其反变换
2.2.1 拉氏变换的定义
定义：
X ( s ) L [x ( t) ]x ( t) e sd t t
0
其中 sj
( 2 .2 )2
（1）当 t 0 时，x(t) 0 ； （2）当 t 0 时，x ( t ) 在每个有限区间上是分段连续的； （3）当 为正实数时，x ( t ) 满足
2020/5/26 3
[例2.2] 建立含运算放大器网络的数学模型
运算放大器很 的高 输， 入流 阻经 抗的 运电 算流 放很 大小 器：
i1(t)i2(t)
(2.8)
由式(2.8)表示的关系，称A点为“虚断” 。
由式(2.7)
i1(t)
Ui (t) R
i2
(t)
C
dUo (t) dt
由(式 2.8)得其数学 R模 U C o(t型 )U ： i(t)