数列期末复习卷

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数列专题复习(附答案解析)

数列（1）基础达标1. (2019·南昌一模) 已知{a n }为等差数列，若a 2＝2a 3＋1，a 4＝2a 3＋7，则a 5＝________．2. (2019·厦门一模)在等比数列{a n }中，已知a 2＝1，a 3a 5＝2a 7，则a n ＝________．3. (2019·潍坊二模)在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 5＝8a 2，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝1 023，则n ＝________.4. (2019·郑州三模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)(n ∈N *)，a 1a 2a 3＝－27，则a 5＝________．5. (2019·泰州期末)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，那么a 5＋a 3a 3＋a 1＝________．6. (2019·苏锡常镇调研(一))中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为________．7. (2019·镇江期末)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，前n 项和为S n ，且数列{S n ＋n }也是公差为d 的等差数列，那么d ＝________．8. (2019·深圳二调)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，当n ≥2时，有S n ＋S n －1－2S n S n－1＝2na n ，则使得S 1S 2·…·S m ≥2 019成立的正整数m 的最小值为________．9. (2019·唐山摸底)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3a n －12. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝(n －1)a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .10. (2019·海门中学)已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列，且a 1＝2，那么a 1＋⎝⎛⎭⎫a 22 2 ＋⎝⎛⎭⎫a 32 3 ＋…＋⎝⎛⎭⎫a n 2 n________．。

人教版数列多选题期末复习测试题试卷

人教版数列多选题期末复习测试题试卷一、数列多选题1．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2【答案】AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<，()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确；对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

期末基础复习4(+数列(解答))

高一第二学期期末基础复习（四）数列班级姓名学号 1、已知数列{}n a 的通项公式(1)(21)n n a n =--，则数列{}n a 前100项的和为 100 ．2、已知等比数列19,13,1, ，则使得n S 大于100的n 的最小值为 7 ．3、某礼堂有20排座位，第1排有26个座位，以后每一排都比前一排多2个座位.这个礼堂共能坐 900 人．4、若数列{}n a 的前n 项和为231n S n n =++，则该数列的通项公式为 5(1)22(2,)n n a n n n N =⎧=⎨+≥∈⎩且． 5、在2,,8,xy 四个数中，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则yx= 3或5- ． 6、已知数列{}n a 的前n 项和为3n n S a =+，若数列{}n a 为等比数列，则常数a = 1- ． 7、已知等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，若从第17项起为负值，则公差d 的取值范围是 -236,-237éëêöø÷ ．8、已知直角三角形的斜边长为c ，两条直角边长分别为,()a b a b <，且,,a b c 成等比数列，则:a c 的值为a :c =5-12． 9、数列{}n a 中，设S 1=a 1+a 2+ +a n ，S 2=a n +1+a n +2+ +a 2n ， S 3=a 2n +1+a 2n +2+ +a 3n ，（1）若数列{}n a 是等差数列，公差为d ，则S 1，S 2，S 3构成等差数列，公差为n 2d （2）若数列{}n a 是等比数列，公比为q ，则当满足 S 1¹0时，S 1，S 2，S 3构成等比数列，公比为q n10、已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 5=10，S 10=30，则S 15=7011、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次，一个细胞分裂成两个细胞，经过3小时，这种细菌由1个细胞可繁殖到512个细胞12、在ABC ∆中，若三条边的长a ,b ,c 成等比数列，则下列数列：（1）A ,B ,C（2）sin A ,sin B ,sin C （3）cos A ,cos B ,cos C ，其中一定成等比数列的是（2） 13、已知a ³0，求1+a 2+a 4+ +a 2n =1,a =0n +1,a =11-a 2n +21-a2,a >0,a ¹1ìíïïïîïïï 14、（1）若数列{}n a 是等差数列，首项为a 1，公差为d ，求2a 1+2a 2+ +2a n =2a11-2nd()1-2d（2）若数列{}n a 是等比数列，首项为a 1a 1>0()，公比为q q >0()，求lg a 1+lg a 2+ +lg a n =n lg a 1+n n -1()2lg q15、如果命题甲为：ABC ∆中有一个角为60︒，命题乙为:ABC ∆三个内角的度数可以构成等差数列，那么甲是命题乙的的（ C ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16、已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足下列等式，其中数列{}n b 必为等差数列的是（ D ） A ．b n =a n B ．b n =a n ()2C ．b n =1a n D ．b n =-a n 217、如果数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，2n n b a =-，那么数列{}n b 是（ A ） A ．以q 为公比的等比数列 B ．以q -为公比的等比数列 C ．以2q 为公比的等比数列 D ．以2q -为公比的等比数列18、数列{}n a 满足1p a =，2q a =，4=-r a （1p q r <<<且,,p q r ∈*N ），则数列{}n a （ C ） A ．是等差数列，但不是等比数列 B ．是等差数列，也可能是等比数列 C ．不是等差数列，也不是等比数列 D ．不是等差数列，但可能是等比数列19、已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n =t ×n 2+t -9()n +t -32（t 为常数），求数列{}n a 的通项公式。

2022高二期末专项复习——数列 (常考题型已覆盖,题目有一定难度)(后附答案解析)

2022秋高二期末专项复习——数列一．等差数列与等比数列 1．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多(n n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( ) A ．2盏B ．3盏C ．26盏D ．27盏2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，4110a a +>，780a a ⋅<，则( ) A ．数列{}n a 是递增数列B ．69S S >C ．当7n =时，n S 最大D ．当0n S >时，n 的最大值为143．已知数列{}n a 为等比数列，则下列结论正确的是( ) A ．数列1{}n n a a +−为等比数列 B ．数列2{}na 为等比数列 C ．数列1{}n n a a ++为等比数列D ．数列1{}n n a a +为等比数列4．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a ⋅>，20222023(1)(1)0a a −⋅−<，则下列选项正确的是( )A ．{}n a 为递减数列B ．202220231S S +<C ．2022T 是数列{}n T 中的最大项D ．40451T >5．在数列{43}n −中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为{}n a ，再在数列{}n a 插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列{}n b ．若729k b =，则数列{}n b 中第k 项前（不含)k b 插入的项的和最小为( ) A ．30B ．91C ．273D ．8206．在①132b b a +=，②44a b =，③525S =−这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值，若k 不存在，请说明理由．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，______，15b a =，23b =，581b =−，是否存在k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++>？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．二．数列递推式7．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，1332n n n S a +=−，则n a = ；若不等式222n n n a k +对任意n N +∈恒成立，则正数k 的最小值为．8．数列{}n a 满足*11,1,21nn n a a a n N a +==∈+，则2022a = ． 9．已知数列{}n a 满足211232n n n n n n a a a a a a ++++−=，且1231a a ==，则7(a = ) A ．163B ．165C ．1127D ．112910．已知数列{}n a 的各项都是正数，2*11()n n n a a a n N ++−=∈．若数列{}n a 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是；当123a =时，记1(1)1n n nb a −−=−，若1220211k b b b k <+++<+，则整数k = ．三．数列的求和11．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈，记数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n N ∈，不等式n k T >恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．1[,)2+∞B ．1(,)2+∞C ．1[,)3+∞D ．1(,)3+∞12．已知数列{}n a 满足21n a n =−，在任意相邻两项k a 与1(1k a k +=，2，)⋯之间插入2k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ．记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则70S 的值为( ) A ．162B ．163C ．164D ．16513．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H 作第二个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q 作第3个正方形MNPQ ，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为2a ，3a ，⋯，n a ，⋯；如图（二)阴影部分，设直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形面积依次为2b ，3b ，⋯，n b ，⋯下列说法正确的是( )A ．从正方形ABCD 开始，连续3个正方形面积之和为1294．B ．14n n a −=⨯． C ．使得不等式12n b >成立的n 的最大值为4．D ．数列{}n b 的前n 项和4n S <．14．已知等差数列{}n a 中，18a =，42a =．（1）分别求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）设12||||||n n T a a a =+++，求n T ．15．等差数列{}n a 的公差d 不为0，满足513a =，1a ，2a ，6a 成等比数列．数列{}n b 满足2122232123log log log log 2n n nb b b b ++++=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式：（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．四．数列的应用16．设数列*{}()m a m N ∈，若存在公比为q 的等比数列*1{}()m b m N +∈，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，3，，m ，则称数列1{}m b +为数列{}m a 的“等比分割数列”则下列说法中错误的是( ) A ．数列5{}:2b ，4，8，16，32是数列4{}:3a ，7，12，24的一个“等比分割数列” B ．若数列{}n a 存在“等比分割数列” 1{}n b +，则有11k k n a a a a −<<<<<和111k k n n b b b b b −+<<<<<<成立，其中2k n ，*k N ∈C ．数列3{}:3a −，1−，2存在“等比分割数列”4{}b D ．数列10{}a 的通项公式为2(1n n a n ==，2，，10)，若数列10{}a 的“等比分割数列”11{}b 的首项为1，则公比109(2,2)q ∈17．如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘出一个圆的14，就可以近似地得到等角螺线，第一个和第二个正方形的边长为1，第三个正方形边长为2，，其边长依次记为1a ，2a ，3a ，，得到数列{}n a ，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为n b ，得到数列{}n b ，则下列说法正确的有( )A ．201918214()b b a a π−=B ．1214161a a a a +++=−C ．222121413152a a a a a +++=D ．22141613151514a a a a a a +=+参考答案与试题解析1．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多(n n 为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯( ) A ．2盏B ．3盏C ．26盏D ．27盏【分析】塔的每层的灯数形成等差数列{}k a ，公差d n =．由题意可得：19812692a n ⨯=+，911813a a n a =+=，联立解得：1a ，n ．解出即可得出．【解答】解：塔的每层的灯数形成等差数列{}k a ，公差d n =．由题意可得：19812692a n ⨯=+， 911813a a n a =+=，联立解得：12a =，3n =． ∴塔的底层共有灯13226⨯=盏．故选：C ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，4110a a +>，780a a ⋅<，则( ) A ．数列{}n a 是递增数列B ．69S S >C ．当7n =时，n S 最大D ．当0n S >时，n 的最大值为14【分析】由已知可得70a >，80a <，然后结合等差数列的性质及求和公式分析各选项即可判断．【解答】解：因为等差数列{}n a 中，10a >，411780a a a a +=+>，780a a ⋅<，所以70a >，80a <，A 错误； 96789830S S a a a a −=++=<，所以96S S <，B 正确；由于70a >，80a <，故当7n =时，n S 最大，C 正确；由于14114787()7()0S a a a a =+=+>，11515815()1502a a S a +==<，故当0n S >时，n 的最大值为14，D 正确．故选：BCD ．3．已知数列{}n a 为等比数列，则下列结论正确的是( ) A ．数列1{}n n a a +−为等比数列 B ．数列2{}na 为等比数列 C ．数列1{}n n a a ++为等比数列D ．数列1{}n n a a +为等比数列【分析】由已知结合等比数列的定义，通项公式及等比数列的性质分别检验各选项即可判断．【解答】解：由题意可知，1(n n aq q a +=为非零常数），当1q =时，数列{}n a 为常数数列，10n n a a +−=，故A 错误．∴2212n na q a +=，故数列2{}n a 为等比数列，故B 正确；若(1)n n a =−为等比数列，显然数列1{}{0}n n a a ++=，不是等比数列，故C 错误．221221(n n n n n na a a q q a a a ++++==为非零常数），故数列1{}n n a a +为等比数列，故D 正确，故选：BD ．4．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且满足条件11a >，202220231a a ⋅>，20222023(1)(1)0a a −⋅−<，则下列选项正确的是( )A ．{}n a 为递减数列B ．202220231S S +<C ．2022T 是数列{}n T 中的最大项D ．40451T >【分析】根据已知条件，结合等比数列的性质，推得公比1q <，即可依次求解．【解答】解：20222023(1)(1)0a a −⋅−<，则202220231010a a −>⎧⎨−<⎩或202220231010a a −<⎧⎨−>⎩，11a >，202220231a a ⋅>，2022a ∴和2023a 同号，且一个大于1，一个小于1， 11a >，20221a ∴>，20231a <，即数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，对于A ，公比202320221a q a =<， 11a >，∴11n n a a q −=为减函数，故{}n a 为递减数列，故A 正确，对于B ，20231a <，2023202320221a S S ∴=−<，即202220231S S +>，故B 错误，对于C ，等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且数列{}n a 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，故2022T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确，对于D ，4045404512340452023T a a a a a =⋅⋅⋅=， 20231a <，∴404520231a <，即40451T <，故D 错误．故选：AC ． 5．在数列{43}n −中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为{}n a ，再在数列{}n a 插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列{}n b ．若729k b =，则数列{}n b 中第k 项前（不含)k b 插入的项的和最小为( )A ．30B ．91C ．273D ．820【分析】先根据等比数列的通项求得k ，再列出数列{}n b 的前k 项，去掉{}n a 中的项即可．【解答】解：等比数列{}n b 首项为1，公比为3，故其通项公式为：13n n b −=，令13729k −=，可得7k =，数列{}n b 的前6项为：1，3，9，27，81，243，其中1，9，81为数列{43}n −中的项，而3，27，243不是数列{43}n −的项，又327243273++=，故数列{}n b 中第7项前（不含729)插入的项的和最小为273．故选：C ．6．在①132b b a +=，②44a b =，③525S =−这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值，若k 不存在，请说明理由．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，______，15b a =，23b =，581b =−，是否存在k ，使得1k k S S +>且12k k S S ++>？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）首先根据条件求出{}n b 的通项公式，再根据所选条件求出数列{}n a ，即可求出n S ；（2）依题意只需找到满足10k a +<且20k a +>的正整数k ，根据（1）中的通项公式得到不等式组，解得即可．【解答】解：（1）因为在等比数列{}n b 中，23b =，581b =−，所以35227b q b ==−，所以3q =−，从而222(3)3(3)n n n b b −−=−=⨯−，从而511a b ==−．若选①：由132b b a +=，得21910a =−−=−，所以521(10)3523d a a d −−−−===−，所以316n a n =−，所以2(13316)32922n n n n nS −+−−==，若选②：由4427a b ==，且51a =−，所以5428d a a =−=−，所以28139n a n =−+，所以2(11128139)125142n n nS n n −+==−，若选③：由15535()255~2a a S a +=−==解得35a =−，又511a b ==−，所以521(5)2523d a a d −−−−===−，从而211n a n =−，所以2(9211)102n n nS n n −+−==−，（2）若存在k ，使得1k k S S +>，即1k k k S S a +>+，从而10k a +<；同理，若使12k k S S +−<，即112k k k S S a +−+<+，从而20k a +>．若选①：316n a n =−，则3(1)1603(2)160k k +−<⎧⎨+−>⎩，解得101333k <<，因为k N ∈，所以当4k =时满足50a <，且60a >成立；即当4k =时满足使得1k k S S +>且12k k S S +−<成立；若选②：28139n a n =−+，所以数列{}n a 为递减数列，故不存在10k a +<，且20k a +>；即不存在k 使得1k k S S +>且12k k S S ++<成立；若选③：211n a n =−，则2(1)1102(2)110k k +−<⎧⎨+−>⎩，解得7922k <<，因为k N ∈，所以当4k =时，能使50a <，60a >成立．即当4k =时满足使得1k k S S +>且12k k S S +−<成立； 7．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，1332n n n S a +=−，则n a =(42)3nn +⨯；若不等式222nn na k +对任意n N +∈恒成立，则正数k 的最小值为．【分析】由n S 与n a 关系，推出3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求出na ，再由原不等式转化为2231nn k ⨯恒成立，23n n b n ⨯=，可证出{}n b 为递增数列，不等式转化为1216b k=，即可得解．【解答】解：当1n =时，211332S a =−，得118a =，当2n 时，11332n n n S a −−=−，1332n n n S a +=−，两式相减得1332322n n n n a a a −=−−⨯，得1343n n n a a −=+⨯，所以114(2)33n n n n a a n −−−=，又因为1163a =，所以3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以6为首项，4为公差的等差数列，所以423n n a n =+，即(42)3nn a n =+⨯，因为222nn n a k +，所以222(42)3nn nn k ++⨯，即2231n n k ⨯，记1233,11n n n n b nb n b n +⨯==>+，所以{}n b 为递增数列，16n b b =，所以216k ，解得6||6k ，则正数k 的最小值为6．故答案为：(42)3n n a n =+⨯；6． 8．数列{}n a 满足*11,1,21nn n a a a n N a +==∈+，则2022a =14043．【分析】利用数列的递推关系式推出新数列是等差数列，求出通项公式，然后求解即可．【解答】解：数列{}n a 满足*11,1,21nn n a a a n N a +==∈+，可得112n n n n a a a a +++=，可得1112n n a a +−=，所以数列1{}n a 是等差数列，首项为1，公差为2，所以11(1)221nn n a =+−⨯=−，则121n a n =−，2022112202214043a ==⨯−．故答案为：14043．9．已知数列{}n a 满足211232n n n n n n a a a a a a ++++−=，且1231a a ==，则7(a = )A ．163B ．165C ．1127D ．1129【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出11n a +，进而得到数列{}n a 的通项公式，即可得到答案．【解答】解：因为211232n n n n n n a a a a a a ++++−=，所以12132n n n n n a a a a a +++=−，则121132132n n n n n n na a a a a a a ++++−==−，有21111112()n n n n a a a a +++−=−，所以数列111n n a a +⎧⎫−⎨⎬⎩⎭是以21112a a −=为首项，2为公比的等比数列，则1111222n n n na a −+−=⨯=，所以11111121111111111()()()222121n n n n n n n n a a a a a a a a −+++−=−+−++−+=++++=−，则11121n n a ++=−，所以771121127a ==−．故选：C ．10．已知数列{}n a 的各项都是正数，2*11()n n n a a a n N ++−=∈．若数列{}n a 各项单调递增，则首项1a 的取值范围是 (0,2)；当123a =时，记1(1)1n n nb a −−=−，若1220211k b b b k <+++<+，则整数k = ．【分析】本题根据正数数列{}n a 是单调递增数列，可列出211120n n n n a a a a +++−=−<，通过求出1n a +的取值范围，得到2a 的取值范围，逆推出1a 的取值范围；第二空采用裂项相消法求出122021b b b ++⋯+的表达式，然后进行不等式范围计算，即可得到结果【解答】解：因为正数数列{}n a 是单调递增数列，且2*11()n n n a a a n N ++−=∈，所以211120n n n n a a a a +++−=−<，解得1(1,2)n a +∈，所以2(1,2)a ∈．所以21221[4a a a =−∈−，2)，又因为10a >，所以102a <<，由211n n n a a a ++−=，可得：2111111111n n n n n a a a a a ++++==−−−，所以111111n n n a a a ++=+−，因为1(1)1n n n b a −−=−，所以12202112320211111 (1111)b b b a a a a +++=−+−+−−−−112232019202020202021111111111()()...()()1a a a a a a a a a =−+++−−+++−112232019201020202021111111111...1a a a a a a a a a =−−++−−−++−1120211111a a a =−+−20213132a =−−+2021912a =−+．又因为123a =，且数列{}n a 是递增数列，所以20212(3a ∈，2)，即202111(2a ∈，3)2，所以202191432a −<−+<−．所以整数4k =−．故答案为：(0,2)；4−．11．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈，记数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为n T ，若对于任意*n N ∈，不等式n k T >恒成立，则实数k 的取值范围为( ) A ．1[,)2+∞B ．1(,)2+∞C ．1[,)3+∞D ．1(,)3+∞【分析】利用构造法112(1)n n a a ++=+，求出数列{}n a 的通项公式，即可得到数列11(2)(2)n n n a a a +⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭的通项公式，再利用裂项相消法求出n T ，即可得出答案．【解答】解：数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈， 112(1)n n a a +∴+=+，且112a +=，∴数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，12n n a ∴+=，即21n n a =−，∴1111211(2)(2)(21)(21)2121n n n n n n n n a a a ++++==−++++++， 22311111111111 (2121212121213213)n n n n T ++∴=−+−++−=−<+++++++， 13k∴，故实数k 的取值范围为1[3，)+∞，故选：C ．12．已知数列{}n a 满足21n a n =−，在任意相邻两项k a 与1(1k a k +=，2，)⋯之间插入2k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{}n b ．记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则70S 的值为( ) A ．162 B ．163 C ．164 D ．165【分析】确定数列{}n b 的前70项含有{}n a 的前6项和64个2，从而求出前70项的和．【解答】解：数列{}n a 满足21n a n =−，11a ∴=，23a =，35a =，47a =，59a =，611a =，在任意相邻两项k a 与1(1k a k +=，2，)⋯之间插入2k 个2，∴其中1a ，2a 之间插入2个2，2a ，3a 之间插入4个2，3a ，4a 之间插入8个2，4a ，5a 之间插入16个2，5a ，6a 之间插入32个2，6a ，7a 之间插入64个2，又624816326870+++++=<，624816326470++++++>， ∴数列{}n b 的前70项含有{}n a 的前6项和64个2，故701357911264164S =++++++⨯=，故选：C ．13．2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭．数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H 作第二个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q 作第3个正方形MNPQ ，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为2a ，3a ，⋯，n a ，⋯；如图（二)阴影部分，设直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形面积依次为2b ，3b ，⋯，n b ，⋯下列说法正确的是( )A ．从正方形ABCD 开始，连续3个正方形面积之和为1294． B．14n n a −=⨯． C ．使得不等式12n b >成立的n 的最大值为4．D ．数列{}n b 的前n 项和4n S <．【分析】找到规律，得到1n n a a −=，推导出等比数列，求出通项公式，判断B 选项，进而得到从正方形ABCD 开始，连续3个正方形的面积之和，判断A 选项，得到{}n b 的通项公式，解不等式，判断C 选项，利用等比数列前n 项和公式进行判断D 选项．【解答】解：由题可得1214,4a a a ===，324a ==1n n a −==，则14n n a a −=，所以数列{}n a 是以4为首项，4为公比的等比数列，则14n n a −=⨯，显然B 正确；由题意可得：22124AEHa a S ∆−=，即2222222311212,,,444n n n a a a a a a b b b +−−−===，于是22213544()428n nn n b −−−==，为等比数列，对A ：连续三个正方形面积之和22212325129161044S a a a =++=++=，A 正确；对C ：令1351()282n n b −=>，则151()83n −>，而4151251()85123−=<，C 错误；对51()358:4[1()]452818n n n D S −=⋅=−<−，D 正确．故选：ABD ．14．已知等差数列{}n a 中，18a =，42a =．（1）分别求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）设12||||||n n T a a a =+++，求n T ．【分析】（1）由等差数列的通项公式与前n 项和公式，即可得解；（2）分类讨论，当5n 时，n n T S =；当5n >时，52n n T S S =−．【解答】解：（1）公差4128233a a d −−===−，所以数列{}n a 的通项公式为8(1)(2)102n a n n =+−⨯−=−，1()(8102)(9)22n n a a n n nS n n ++−⨯===−．（2）令1020n a n =−<，则5n >，当5n 时，(9)n n T S n n ==−；当5n >时，2555[()]2254(9)940n n n T S S S S S n n n n =+−−=−=⨯⨯−−=−+，综上所述，2(9),5940,5n n n n T n n n −⎧=⎨−+>⎩．15．等差数列{}n a 的公差d 不为0，满足513a =，1a ，2a ，6a 成等比数列．数列{}n b 满足2122232123log log log log 2n n nb b b b ++++=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式：（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【分析】（1）直接利用已知条件建立方程组及对数的运算的应用进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）由已知2216a a a =，又513a =，故2(133)(134)(13)d d d −=−+，解得0d =（舍去）或3d =；3(3)32n a a n d n ∴=+−=−． 2122232123log log log log 2n n nb b b b ++++=①，故当1n =时，可知212111log 2log 2b b =⇒=， 14b ∴=当2n 时，可知2122232112311log log log log 2n n n b b b b −−−++++=②，①−②得221log 2log 2n n n b n b =⇒=， ∴4nn b =，又1b 也满足4n n b =，故当*n N ∈时，都有4n n b =；（2）由（1）知(32)4n n n n c a b n ==−⨯，故1211444(35)4(32)4n n n s n n −=⨯+⨯+⋯+−⨯+−⨯③∴21414(35)4(32)4n n n s n n +=⨯+⋯+−⨯+−⨯④，由③−④得231343(444)(32)4n n n S n +−=+++⋯+−−⨯，解得1(1)44n n S n +=−⨯+．16．设数列*{}()m a m N ∈，若存在公比为q 的等比数列*1{}()m b m N +∈，使得1k k k b a b +<<，其中1k =，2，3，，m ，则称数列1{}m b +为数列{}m a 的“等比分割数列”则下列说法中错误的是( ) A ．数列5{}:2b ，4，8，16，32是数列4{}:3a ，7，12，24的一个“等比分割数列” B ．若数列{}n a 存在“等比分割数列” 1{}n b +，则有11k k n a a a a −<<<<<和111k k n n b b b b b −+<<<<<<成立，其中2k n ，*k N ∈C ．数列3{}:3a −，1−，2存在“等比分割数列” 4{}b D ．数列10{}a 的通项公式为2(1n n a n ==，2，，10)，若数列10{}a 的“等比分割数列”11{}b 的首项为1，则公比109(2,2)q ∈【分析】利用“等比分割数列”的定义，对四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：对于选项A ，因为234<<，478<<，81216<<，162432<<，即满足1k k k b a b +<<，则数列5{}:2b ，4，8，16，32是数列4{}:3a ，7，12，24的一个“等比分割数列”，故选项A 正确；对于选项B ，若数列{}n a 存在“等比分割数列” 1{}n b +，则1122344b a b a b a b <<<<<<<，所以11k k n a a a a −<⋯<<<⋯<，111k k n b b b b −+<⋯<<<⋯<成立，故选项B 正确；对于选项C ，若数列3{}:3a −，1−，2，存在“等比分割数列”4{}b ，则1234312b b b b <−<<−<<<，即得到231111312b b q b q b q <−<<−<<<，又因为131b q −<<−，所以23213q b q q −<<−，与312b q >矛盾，所以假设不成立，即不存在“等比分割数列” 4{}b ，故选项C 错误；对于选项D ，可得到2233449910122222q q q q q q <<<<<<<<<<<<，可解得109(2,2)q ∈，故选项D 正确．故选：C ．17．如图，由正方形可以构成一系列的长方形，在正方形内绘出一个圆的14，就可以近似地得到等角螺线，第一个和第二个正方形的边长为1，第三个正方形边长为2，，其边长依次记为1a ，2a ，3a ，，得到数列{}n a ，每一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记为n b ，得到数列{}n b ，则下列说法正确的有( )A ．201918214()b b a a π−=B ．1214161a a a a +++=−C ．222121413152a a a a a +++=D ．22141613151514a a a a a a +=+【分析】由图中数据可得121a a ==，12(3)n n n a a a n −−=+，由题意可得24n nb a π=，依据各项条件计算即可判断各项的正确性．【解答】解：由图中数据可得121a a ==，12(3)n n n a a a n −−=+，由题意可得24n nb a π=，对于2222201920192019201920191821:4()4()()()()44A b b a a a a a a a a a a πππππ−=−=−=−+=；故A 正确；对于12:n n n B a a a −−=+，可得21n n n a a a −−=−， 12143243161516216()()()1a a a a a a a a a a a a +++=−+−++−=−=−，故B 正确；对于12:n n n C a a a −−=−，21112n n n n n a a a a a −−−−∴=−，2222212141232134321415141312114151415()()()a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∴+++=+−+−++−=−+=，故C 错误；对于D ：若22141613151514a a a a a a +=+，221416151315140a a a a a a −+−=， 141614151315()()0a a a a a a ∴−+−=，14151514()0a a a a ∴+−=，显然成立，故D 正确．故选：ABD ．。

数列专题复习及答案

数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知)(1562*∈+=N n n na n ，则数列{}n a 的最大项是 2、在等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则101413a a -= 3、已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为 4、数列{}n a 中，23=a ，15=a ，则数列1{}1n a +是等差数列，则=11a 5、在数列{}n a 和{}n b 中，n b 是n a 与1n a +的等差中项，12a =且对任意n N *∈都有031=-+n n a a ，则数列{}n b 的通项公式为 ___ _______6、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =7、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤,则4a 的最大值为8、正数数列{}n a 中，已知12a =，且对任意的,s t N *∈,都有s t s t a a a ++=成立，则12231111n n a a a a a a ++++9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且42358,26a a a a -=+=，记2nn S T n =，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，n T M ≤都成立．则M 的最小值是__________ 10、已知无穷等比数列12{},lim[3()]4,n n n a S a a a S →∞+++-=中，各项的和为且则实数1a 的范围11、设正数数列{}n a 的前n项和为n S ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有2n a t+=成立，若n nt →∞<，则实数t 的取值范围为12、数列{n a }的通项公式为12(12)1()(3,)3n n nn a n n N -*⎧≤≤⎪=⎨≥∈⎪⎩，则=∞→n n S lim13、已知数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，则0121231nn n n n n a C a C a C a C ++++=14、数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则2007a 的值为____15、在数列{}n a 中，如果对任意n N *∈都有211()n n n na a k k a a +++-=-为常数，则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比. 现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，当首项1a 和d 变化时1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）7.A S 8.B S 13.C S15.D S17、在等差数列}{n a 中，15100,517a a a >=，则数列}{n a 前n 项和n S 取最大值时，n的值为（）.12A .11B .10C .9D18、设}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（）.11A .17B .19C .20D19、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且56S S <,678S S S =>,则下列结论中错误的是（） .0A d < 7.0B a =95.C S S > 67.n D S S S 和均为的最大值20、已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于（）.A 55 .70B .85C .100D21、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OB ＝1200a OA a OC ＋，且,,A B C 三点共线（该直线不过原点O ），则200S =（）.A 100 .B 101 .C 200 .D 20122、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（） .2A .3B .4C .5D三、解答题23、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，13n n n a S +=+，*n N ∈．（1）设3nn n b S =-，求{}n b 的通项公式；（2）若1n n a a +≥，*n N ∈，求a 的取值范围．24、数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和．（1）当2≥n 时，用a 与n 表示n a 与n S ；（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；25、数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中n N *∈；（1）设11,n n n b a a +=--{}n b 求证:数列是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项；（3）设分别为数列、n n T S {}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。

高三数学数列期末考试试卷(含详解)

��
21. 在等比数列 {��} 中，��2 − ��1 = 2，且 2��2 为 3��1 和 ��3 的等差中项，求数列 {��} 的首项、公比及前 �� 项和．
22. 某村投资 128 万元建起了一处生态采摘园，预计在经营过程中，第一年支出 10 万元，以后每年支出都比上一年增加万元，从第一年起的销售收入都是 76 万元．设 �� 表示前 ��(�� ∈ ��∗) 年的利润总和（利润总和 = 总销售收入 − 总经营支出 − 投资）．（1）该生态园从第几年开始盈利? （2）该生态园前几年的平均利润最大，最大利润是多少?
�� 等于
．
14. 《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数
列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 6 节的容积为
．
15. 已知 6，��，��，48 成等差数列，6，��，��，48 成等比数列，则 �� + �� + �� + �� 的值
= 1，��2 = 2，��
=
��−1 ��−2
(��
≥
3,
且��
∈
��∗)，则
��2015
=
( )
A.
1 2
B. 1
C. 2
D. 2−2015
9. {��} 为等比数列，�� 是其前 �� 项和，若 ��2 ⋅ ��3 = 8��1，且 ��4 与 2��5 的等差中项为 20，

第四章数列期末复习卷高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

期末复习4 数列姓名：分数：一、选择题(共8题)1．在等比数列{}n a 中，251,9a a ==-，则8a =（） A ．27±B ．81±C ．27D ．812．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369a a +=，则8S =（） A ．12B ．24C ．36D ．483．已知数列{}n a 满足11(1),1n n n a na a ++==，则15=a （） A ．111B ．113C ．115D ．1174．已知数列{}n a ，如果121321,,,...,,...n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为12的等比数列，则n a =( ) A ．1212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11122n⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．111122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭5．已知等差数列{}n a 满足2584a a a -+=，则数列{}n a 的前9项和9S =（） A ．9B ．18C ．36D ．726．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，且225959236a a a a ++=，则其前13项之和为（） A ．21B ．26C ．36D ．397．利用数学归纳法证明不等式11112321nn +++⋅⋅⋅+<-（2n ≥，n *∈N ）的过程中，由n k =到1n k =+时，左边增加了（）A ．1项B ．k 项C ．21k -项D ．2k 项8.已知等差数列{}n a 的公差为d ，则“0d >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件二、多选题（共4题）.9．等差数列{}n a的前n 项和为n S ，10a <，613S S =，则（）A ．100a =B ．1n n a a +<C ．当0n S >时，n 的最小值为20D ．216<S S10．在等差数列{}n a 中，410a a =，公差0d >，则使其前n 项和n S 取得最小值的正整数n 是（） A ．4B ．5C ．6D ．711.对于公差为1的等差数列{}n a ，11a =，公比为2的等比数列{}n b ，12b =，则下列说法正确的是（） A ．n a n =B ．12n n b -=C ．数列{}ln n b 为等差数列D ．数列{}n n a b 的前n 项和为()1122n n +-+12．已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，且满足101a <<，2020202110a a ->，20202021101a a -<-，则（）A ．1q >B ．2019202110a a -<C ． 2021T 的值是n T 中最小的D ．使1n T <成立的最大正整数n 的值为4039三、填空题（共4题）13．等差数列{}n a 中，若34a =，公差2d =-，则5a =________. 14．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、9a 成等比数列，15921018a a a a a a ++=++_____.15．在正项数列{}n a 中，1238a a a =，且21121log log 2n n a a ++=，令1log log n n n a a b +=则数列{}n b 的前2020项和2020S =___________．16．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第41项为 _________．四、解答题(共4题)17.已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，数列{}n b 的前n 项的和为2n S n =.(1)证明：数列{}1n a +是等比数列；(2)设c n =b n .(a n +1)，求数列{}n c 的前n 项的和n T .18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2103n S n n =-+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项的和n T .19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 和1a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n =2nn a b ，求{}n b 的前n 项和nT ．20.在等差数列{}n a 中，35a =，且221n n a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-.令13nn n n n b c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和nT .(21n ++-(21n ++-)(322n ++-6+.18．设数列n 的前项和为n S ，已知n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项的和n T . 【答案】（1）6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩（2）22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩ 【分析】（1）由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式；（2）化简n a 的表达式，分25n ≤≤、6n ≥两种情况求n T 的表达式，综合即可得解. （1）解：当1n =时，116a S ==-，当2n ≥时，()()()22110311013211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦. 16a =-不满足211n a n =-，因此，6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩.（2）解：6,1112,25211,6n n a n n n n =⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≥⎩.当25n ≤≤时，()()27112161032n n n T n n +--=+=-+-，16T =满足2103n T n n =-+-；当6n ≥时，()()()2251211552210472n n n T T n n n +--=+=-+=-+.综上所述，22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩.19．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n Sn a 和1a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n=2nn a b ，求{}n b 的前n 项和nT ．【答案】（1）21n a n =-；（2）13(23)2n nT n =-+﹒ 【分析】(1)根据n a 和n S 关系可求{}n a 的通项公式；(2)根据{}n b 通项公式可知，其前n 项和采用错位相减法求解﹒ （1）12n a a +，①当1n =，11a =①2(1)4n n a S +=，211(1)4n n a S --+=(2)n ≥，因此当2n ≥时：2211(1)(1)4n n n n n a a a S S --+-+=-=2211224n n n n a a a a ---+-=，①11()(2)0n n n n a a a a --+--=， ①10n n a a ->+，①2n ≥时120n n a a ---=，即12n n a a --= ①数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，12(1)21n a n n =+-=-；（2）211=(21)222n n n n n a n b n -==-⋅， 1231111=135(21)2222n nT n ⨯+⨯+⨯+-⨯……① 234111111=135(21)22222n n T n +⨯+⨯+⨯+-⨯……① ①－①得：1231111111=222(21)222222n n n T n ++⨯+⨯+⨯--⨯ 1111(1)1122=(21)12212n n n -+-+--⨯-11111=1(21)222n n n -++---⨯①1131(23)222n n T n +=-+ ∴13(23)2n nT n =-+﹒20.在等差数列{}n a 中，35a =，且221n n a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且231n n S b =-.令13nn n n n b c a a +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .n c ++1113521n ⎫⎛-++⎪ -⎭⎝。

期末复习试卷数列

期末复习试卷数列期末复习试卷数列题型一由a n 与S n 的关系求通项公式1、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1(n ∈N *)，则其通项公式为．2、若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13(n ∈N *)，则{a n }的通项公式a n ＝. 3、已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足关系a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 5的值为( )A ．－454 B ．－450 C ．－446 D ．－442思维升华已知S n ，求a n 的步骤 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1. (2)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(3)对n ＝1时的情况进行检验，若适合n ≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．题型二由数列的递推关系求通项公式根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln1＋1n ； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.（4）已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列．(3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (4)当出现a n a n －1＝f (n )时，用累乘法求解．题型三数列的性质命题点1 数列的单调性1、已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( ) A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列命题点2 数列的周期性 2、数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝。

数列复习题及答案

数列复习题及答案一、选择题1. 等差数列的首项为 \( a_1 = 5 \)，公差为 \( d = 3 \)，其第5项 \( a_5 \) 的值为多少？A. 14B. 17C. 20D. 232. 等比数列的首项为 \( a_1 = 2 \)，公比为 \( r = 2 \)，其前三项的和为多少？A. 8B. 12C. 14D. 16二、填空题3. 若数列 \( \{a_n\} \) 是等差数列，且 \( a_1 = 3 \)，\( a_3 = 9 \)，则其公差 \( d \) 等于______。

4. 对于等比数列 \( \{b_n\} \)，若 \( b_1 = 4 \)，\( b_2 = 12 \)，则第 \( n \) 项 \( b_n \) 可以表示为 \( b_n = \) ______。

三、解答题5. 给定数列 \( \{c_n\} \)，其中 \( c_1 = 1 \)，\( c_n =2c_{n-1} + 1 \)，求 \( c_5 \)。

6. 已知数列 \( \{d_n\} \) 是等差数列，其前 \( n \) 项和\( S_n = 10n - n^2 \)，求 \( d_5 \)。

四、证明题7. 证明：若数列 \( \{e_n\} \) 是等差数列，且 \( e_1 = 1 \)，\( e_2 = 4 \)，\( e_3 = 9 \)，则 \( e_n = n^2 \)。

8. 证明：若数列 \( \{f_n\} \) 是等比数列，其公比 \( r \neq 1 \)，且 \( f_1 = 1 \)，\( f_2 = 2 \)，则 \( f_n = 2^{n-1} \)。

五、应用题9. 某公司计划每年增加员工数，第一年增加 10 人，以后每年增加的人数比前一年多 5 人。

求该公司第 5 年结束时的总员工数。

10. 某银行存款的年利率为 5%，假设某客户存入 1000 元，并且每年末将利息加入本金继续存入，求 5 年后的总金额。

高一数学期末复习综合测试数列试题

卜人入州八九几市潮王学校高一数学期末复习综合测试数列一、选择题：1．等差数列{n a }中,假设等于项的和则前99637419,27,39S a a a a a a =++=++() A.66 B.992．－9，a 1,a 2,－1四个实数成等差数列，－9，b 1,b 2,b 3,－1五个实数成等比数列，那么b 2(a 2－a 1)的值等于〔〕 A ．－8 B ．8 C ．－89 D ．89 3．等差数列}{n a 中，110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ 等于〔〕 A ．－1221 B ．－C ．－20.5D ．－20 4．某数列前n 项之和为3n ，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n，那么前n 个奇数项的和为〔〕A ．)1(32+-n nB ．)34(2-n nC ．23n -D ．321n 5．数例{}n a 满足：1a =2,n a =1-n a +2n －1(n ≥2)，那么数列{}n a 的一个通项公式是〔〕A ．n a =n 2+1 B.n a =(n －1)2+2 C.n a =(n+1)2－2 D.n a =n 2－n+2 6．首项为-24的等差数列，前9项和最小，那么公差d 的取值范围是〔〕A ．),38(+∞B ．)3,(-∞C ．),38[+∞D ．8[,3]37．假设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且，那么等于〔〕A ．B ．C ．D ． 8.8079--=n n a n ，〔+∈N n 〕，那么在数列｛n a ｝的前50项中最小项和最大项分别是〔〕A.501,a aB.81,a aC.98,a aD.509,a a二、填空题：9．设等差数列}{n a 中，931,,a a a 又成等比数列，那么=++++1042931a a a a a a ． 10．等差数列{a n }中，a 1=2，公差不为零，且a 1，a 3，a 11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于.11.数列{n a }是公比不为1的等比数列，给出六个数列：①｛a n a n ＋1｝,②｛a n ＋a n ＋1｝,③｛a n ＋1－a n ｝,④｛a n 3｝,⑤｛na n ｝,⑥｛lg a n ｝,其中成等比数列的有．12．等差数列{a n }中,a n ≠0，假设m>1，且a m-1-a m 2+a m+1=0，S 2m-1=38,那么m=. 三、解答题：13．：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S . 〔1〕求n a ；〔2〕将{n a }中的第2项、第4项…第n2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G .14．三个实数成等差数列，它们的和为6，假设把这三个数适当排列，它们又可组成等比数列，求这三个数．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，假设对于任意的n ∈N *，都有S n =2a n －3n. 〔1〕求数列{a n }的首项a 1与递推关系式：a n+1=f 〔a n 〕；〔2〕先阅读下面定理：“假设数列{a n }有递推关系a n+1=A a n +B ，其中A 、B 为常数，且A ≠1，B ≠0，那么数列}1{A B a n --是以A 为公比的等比数列．〞请你在第〔1〕题的根底上应用本定理，求数列{a n }的通项公式；〔3〕求数列{a n }的前n 项和S n .16．数列n a a a a a n n n 69242}{1321-=++++- 满足.〔1〕求数列{a n }的通项公式；〔2〕设)3||log 3(2n n a n b -=.探求使∑=->n i i m b 1611成立的m 的最大整数值.。

数列多选题期末复习测试基础卷试卷

数列多选题期末复习测试基础卷试卷一、数列多选题1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 【答案】ABD 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2 此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n n a -=+则 ()121331333322n n n a+++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++23133332222n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322nn --=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.2．下列说法正确的是（）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N *∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111233n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ，因为12k k S a a a =+++，2122k k k k k S S a a a ++-=+++，3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，，可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，构成等差数列，故A 正确；对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误；对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列，此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；对于D 中，由2159n nn a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，所以2n a ≠或3n a ≠，则()()1111132332n n n n n a a a a a +==------，所以1111233n n n a a a +=----，所以1212231111111111222333333n n n a a a a a a a a a ++++=-+-++---------- 1111111333n n a a a ++=-=----. 因为14a =，所以2159n nn n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113n a +-<-，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：由2159n nn a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111233n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.3．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk kS k +=--【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k kS k ++=--结论计算即可. 【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2,则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．4．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【分析】计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列， ∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有：（1）定义法；（2）通项公式法（3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.5．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（）A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列B ．满足100n S <的n 的最大值是9C ．n S 除以4的余数只能为0或1D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得()*21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()111n n na n a +-+=，故等式两边同除以()1n n +得：()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，2111121122a a =-⨯-= 故根据累加法得：()11121n a a n nn =-≥-，由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足，故()*21n a n n N=-∈所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确；由等差数列前n 项和公式得：()21212n n n S n +-==，故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确；对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正确；对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（）A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <【答案】ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=，所以2n ≥时，2422n n n a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nn S a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．8．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r+-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-. 选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即12p q +==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11n n q S q-=-，11p q =-，1nn a q +=知，1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中，因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD. 【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.二、平面向量多选题9．下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（） A ．1233PC PA PB =+ B ．111333OP OA OB OC =++ C ．QP QA QB OC =++ D ．0OP OA OB OC +++=【答案】AB 【分析】根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】对于A ，由1233PC PA PB =+，12133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于B ，由111333OP OA OB OC =++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面.对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.10．已知ABC ∆是边长为()20a a >的等边三角形，P 为ABC ∆所在平面内一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能是（）A ．22a -B ．232a -C ．243a -D ．2a -【答案】BCD【分析】通过建系，用坐标来表示向量，根据向量的乘法运算法则以及不等式，可得结果.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.设(),P x y ，又()3A a ，(),0B a -， (),0C a ，则()3PA x a y =--， (),PB a x y =---，(),PC a x y =--.则()(),,a x y a P PC x y B -+--+-=-即()2,2PB x y PC --+=所以 ()()()32,2x a PA PB P y x y C =--⋅--⋅+ 则()PA PB PC ⋅+22223x y ay =+- 即()PA PB PC ⋅+222332222x y a a ⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以()PA PB PC ⋅+232a ≥-故选：BCD.【点睛】本题主要通过建系的方法求解几何中向量的问题，属中档题.。

(完整版)数列章末检测卷(含答案)

数列章末检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2 014，则序号n 等于( )A.667B.668C.669D.672答案 D解析由2 014＝1＋3(n －1)，解得n ＝672.2.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，∴d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A.1B.2C.4D.8答案 A解析 ∵a 3·a 11＝a 27＝16，∴a 7＝4，∴a 5＝a 7q 2＝422＝1. 4.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( )A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15答案 C解析 ∵a 2＋a 8＋a 11＝(a 1＋d )＋(a 1＋7d )＋(a 1＋10d )＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )为常数， ∴a 1＋6d 为常数.∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )也为常数. 5.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A.58B.88C.143D.176答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. 6.等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A.81B.120C.168D.192答案 B解析由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120.7.数列{(－1)n ·n }的前2 015项的和S 2 015为( )A.－2 013B.－1 008C.2 013D.1 008答案 B解析 S 2 015＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 014－2 015＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 014－2 015)＝(－1)＋(－1)×1 007＝－1 008.8.若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于( )A.1或2B.1或－2C.－1或2D.－1或－2答案 C解析依题意有2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.9.一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－6答案 C解析由题意，知a 6≥0，a 7<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝23＋5d ≥0，a 1＋6d ＝23＋6d <0，∴－235≤d <－236.∵d ∈Z ，∴d ＝－4.10.设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是() A.d <0B.a 7＝0C.S 9>S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值答案 C解析由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0即S 9<S 5.11.在等比数列{a n }中，a 1＝1,9S 3＝S 6，则数列{1a n }的前5项和为( )A.158和5 B.3116和5 C.3116D.158答案 C解析若q ＝1，则9S 3＝27a 1，S 6＝6a 1，∵a 1≠0，∴9S 3≠S 6，矛盾，故q ≠1.由9S 3＝S 6得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.∴1a n ＝(12)n －1. ∴{1a n }的前5项和S 5＝1－(12)51－12＝3116. 12.某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为( )A.qB.12qC.(1＋q )12D.(1＋q )12－1答案 D解析设第一年第1个月的生产总值为1，公比为1＋q ，该厂第一年的生产总值为 S 1＝1＋(1＋q )＋(1＋q )2＋…＋(1＋q )11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q )12，第2年全年生产总值S 2＝(1＋q )12＋(1＋q )13＋…＋(1＋q )23＝(1＋q )12S 1，∴该厂生产总值的年平均增长率为S 2－S 1S 1＝S 2S 1－1 ＝(1＋q )12－1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________. 答案 2解析设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.14.已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和.若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝____________.答案 63解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1，∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1×(1－26)1－2＝63. 15.如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.答案 2n －1解析当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)，∴a n ＝2a n －1，经检测n ＝1也符合，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.16.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________.答案 5－12 解析设三边为a ，aq ，aq 2(q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .解设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2. 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9).18.(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n ＋2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23. 19.(12分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n <1. (1)解设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 20.(12分)某商店采用分期付款的方式促销一款价格为每台6 000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的13，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%，到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？假设货主每月还商店a 元，写出在第i (i ＝1,2，…，36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式.解 (1)因为购买电脑时，货主欠商店23的货款，即6 000×23＝4 000(元)，又按月利率0.5%，到第一个月底的欠款数应为4 000(1＋0.5%)＝4 020(元).(2)设第i 个月底还款后的欠款数为y i ，则有y 1＝4 000(1＋0.5%)－a ，y 2＝y 1(1＋0.5%)－a＝4 000(1＋0.5 %)2－a (1＋0.5%)－a ，y 3＝y 2(1＋0.5%)－a＝4 000(1＋0.5%)3－a (1＋0.5%)2－a (1＋0.5%)－a ， …y i ＝y i －1(1＋0.5%)－a ＝4 000(1＋0.5%)i －a (1＋0.5%)i －1－a (1＋0.5%)i －2－…－a ，由等比数列的求和公式，得y i ＝4 000(1＋0.5%)i －a (1＋0.5%)i －10.5%(i ＝1,2，…，36). 21.(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2n －1.证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)知，b n ＝n ，a n 2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边同时乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.22.(12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1. (2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35(13)n －1，则数列{1a n }是首项为35，公比为13的等比数列. 从而∑n ＝1m 1a n ＝35[1－(13)m ]1－13＝910·[1－(13)m ]<910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列{1a n }是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *)，故∑n ＝1m 1a n <1. 综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m 1a n <1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1成立.。

高中数学数列复习题集附答案

高中数学数列复习题集附答案高中数学数列复习题集附答案一、选择题1. 设数列 {an} 的通项公式为 an = 3n + 2，则 {an} 的首项是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 数列 {an} 的通项公式为 an = 2^n，则 {an} 的前5项分别是：A. 1, 2, 3, 4, 5B. 2, 4, 8, 16, 32C. 1, 4, 9, 16, 25D. 2, 3, 4, 5, 6答案：B3. 已知数列 {an} 的首项是 a1 = -5，公差是 d = 3，求 {an} 的通项公式。

A. an = -5 + 3nB. an = -5 - 3nC. an = -5n + 3D. an = -5 - 3^n答案：A二、填空题1. 求等差数列 {an} 的前5项和，已知首项 a1 = 3，公差 d = 4。

答案：S5 = 752. 求等差数列 {an} 的第10项，已知首项 a1 = 2，公差 d = -3。

答案：a10 = -253. 若等差数列 {an} 的第7项是 20，末项是 74，求首项和公差。

答案：a1 = -16，d = 6三、解答题1. 求等差数列 {an} 的通项公式，已知前三项分别是：a1 = 3，a2 = 7，a3 = 11。

解答：设通项公式为 an = a + (n-1)d，代入前三项得到以下等式：3 = a + 0d7 = a + 1d11 = a + 2d解上述方程组可得，a = 3，d = 4。

因此，该数列的通项公式为an = 3 + 4(n-1)。

2. 若等差数列 {bn} 的前5项的和为 40，已知首项 b1 = 1，公差 d = 2，求数列的前n项和 Sn。

解答：首先确定数列的通项公式为 bn = 1 + (n-1)2 = 2n-1。

因此，前n项和 Sn = (b1 + bn) * n / 2 = (1 + (2n-1)) * n / 2 = n^2。

数列复习题及答案

数列复习题及答案1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_4=8，求该数列的通项公式。

答案：设等差数列的公差为d，则根据等差数列的性质，有a_4 = a_1 + 3d。

将已知条件代入，得到8 = 2 + 3d，解得d = 2。

因此，该数列的通项公式为a_n = 2 + 2(n-1) = 2n。

2. 求数列{b_n}的前n项和S_n，已知b_n = 3^n - 2^n。

答案：首先计算前n项和S_n = (3^1 - 2^1) + (3^2 - 2^2) + ... + (3^n - 2^n)。

通过分组求和，可以得到S_n = (3 + 3^2 + ... + 3^n) - (2 + 2^2 + ... + 2^n)。

利用等比数列求和公式，得到S_n =\frac{3(1-3^n)}{1-3} - \frac{2(1-2^n)}{1-2} = \frac{3^{n+1} - 3}{2} - 2(2^n - 1)。

3. 判断数列{c_n}是否为等比数列，已知c_1=1，c_2=2，c_3=4。

答案：根据等比数列的定义，若数列{c_n}为等比数列，则有c_2/c_1 = c_3/c_2。

将已知条件代入，得到2/1 = 4/2，即2 = 2，满足等比数列的条件。

因此，数列{c_n}是等比数列。

4. 已知数列{d_n}的前n项和S_n满足S_n = 2^n + 3n，求d_5的值。

答案：根据前n项和的定义，有d_5 = S_5 - S_4。

将S_n的表达式代入，得到d_5 = (2^5 + 3*5) - (2^4 + 3*4) = 32 + 15 - 16 - 12 = 19。

5. 求数列{e_n}的通项公式，已知e_1=1，且e_{n+1} = 2e_n + 1。

答案：首先写出数列的前几项：e_1 = 1，e_2 = 2*1 + 1 = 3，e_3 = 2*3 + 1 = 7，e_4 = 2*7 + 1 = 15。

数列多选题期末复习测试综合卷学能测试试卷

数列多选题期末复习测试综合卷学能测试试卷一、数列多选题1．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221nn a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，其中n *∈N ，则下列说法中正确的是（）A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立D ．当()2km k N *=∈时，有2n kn k aa +++=恒成立【答案】AC 【分析】题设中的递推关系等价为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，根据首项可找到{}n a 的局部周期性，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()14751221n n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，故1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故58a a ≠，故B 错误.当2km =即12ka =时，根据等比数列的通项公式可有11222k kk a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =，所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项）故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项.2．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（）A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+B ．n +∀∈N ，33314n a n +≥ C ．m +∃∈N ，16m b = D ．n +∀∈N ，113n S ≤< 【答案】BD 【分析】用累加法得到222n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入33n a n+求最值可判断B ；令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D.【详解】因为1n n n a a +-=，所以211a a -= 322a a -=11(2)n n n a a n -=-≥-以上各式累加得1121(1)2n a a n n n =+++-=--，所以(1)12n n n a -=+，当1n =时，11a =成立，所以2(1)2122n n n n a n --+=+=，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)1222(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫====- ⎪+++++⎝-+⎭+，对于A ，()()5254922122m a m m m m ++++++==，25(1)5(51)2411222m a a m m m m -⨯--+=+++=+ ，当55m m a a a +=+时，222492222m m m m -+++=，得15m +=∉N ，A 错误；对于B，(1)1(13333343411)22222n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+，当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8333184a +=，所以B 正确；对于C ，令1121612m b m m ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭得，215308m m ++=，解得m +=N ，所以C 错误；对于D ， n +∀∈N ，1231111112233412n S b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪++⎝⎭112211222n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭，可以看出n S 是关于n 递增的，所以1n =时有最小值13，所以113n S ≤<，D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a ，然后代入求出n b ，考查了学生的推理能力、计算能力.3．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】BC 【分析】分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =，因此，当6n =或7时，n S 最小. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下：（1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果；（2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.4．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122...2212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nnS a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的几个命题，其中正确的有（） A ．数列{}n a 递增B ．n S 为{}n a 的前n 项和,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列 C ．若n a n =，n S 为{}n a 的前n 项和，且n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，则0cD ．若70a =，n S 为{}n a 的前n 项和，则方程0n S =有唯一的根13n = 【答案】ABD 【分析】选项A. 由题意10n n a a d +-=>可判断；选项B.先求出112n S n a d n -=+⨯，根据1012n n S S dn n +-=>+可判断；选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则0c 或1c =时n S n c ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列可判断；选项D.由1602n n S dn -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可判断. 【详解】选项A. 由题意10n n a a d +-=>，则1n n a a +>，所以数列{}n a 递增，故A 正确. 选项B. ()112n n n S na d -=+⨯,则112n S n a d n -=+⨯ 所以1012n n S S d n n +-=>+，则11n n S S n n +>+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列. 故B 正确. 选项C. 若n a n =,则()12n n n S +=，则()()12n n n S n c n c =+++当0c时，12+n S n c n =+为等差数列. 当1c =时，2n S n c n=+为等差数列.所以选项C 不正确.选项D. 70a =,即7160a a d =+=，则16a d =-又()()1111660222n n n n n n S na d dn d dn ---⎛⎫=+⨯=-+⨯=--= ⎪⎝⎭由0,0d n >>，所以1602n --=，得13n =，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的判定和单调性的单调，解答本题的关键是利用等差数列的定义和前n 项和公式进行判断，求出162n n S dn -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，从而判断，属于中档题.7．已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是（）A ．11111n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列 C ．211011111111a a a a +++>+++ D ．若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项求和法可判断C 选项的正误；求出1212111nn a a a a a a ++++++的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】在数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.对于A 选项，()()()111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确；对于B 选项，210n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项正确；对于C 选项，由A 选项可知，11111n n n a a a +=-+，所以，1212231011111110111111111111111a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，12122311111111111111111n n n n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()()()12121212111111111111n nn n a a a a a a a a a a a a +-+++=+++++++++-+-+121111111112111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则101na <<，从而1122120n n n a +⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦+，得122n =，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若981S =，713a =，3S ，1716S S -，k S 成等比数列，则（） A ．2n S n = B ．122310*********a a a a a a ++⋅⋅⋅+= C ．11k = D ．21n a n =-【答案】ACD 【分析】先根据题意求出等差数列的首项和公差，再根据等差数列的通项公式和求和公式求得,n n a S ，再由3S ，1716S S -，k S 成等比数列列出式子求解得出k 的值，再利用裂项相消法求和，得到122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，从而判断各项的正误.【详解】依题意，95981S a ==，解得59a =；而713a =，故75275a a d -==-，则1541a a d =-=，则21n a n =-，2n S n =，故D 、A 正确：因为3S ，1716S S -，k S 成等比数列，故()223171617k S S S S a =-=，则22933k =，解得11k =，故C 正确；而122310111111021a a a a a a ++⋅⋅⋅+=，故B 错误．故选：ACD ．【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据题意，求得通项公式，进而求得前n 项和；（2）根据三项成等比数列的条件，列出等式，求得k 的值；（3）利用裂项相消法，对12231011111a a a a a a ++⋅⋅⋅+求和；（4）对选项逐个判断正误，得到结果.二、平面向量多选题9．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（） ABCD【答案】ABC 【分析】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.计算出1377OM OA OB =+，设OM xOE yOF =+，结合OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>可得出13177x y λμ+=+=，然后将λμ+与1377λμ+相乘，展开后利用基本不等式求出λμ+的最小值，即可得出结论. 【详解】先证明结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.充分性：若E 、F 、M 三点共线，则存在k ∈R ，使得=EM k EF ，即()OM OE k OF OE -=-，所以，()1OM k OE kOF =-+，因为(),OM xOE yOF x y R =+∈，则()11x y k k +=-+=，充分性成立；必要性：因为(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=，所以，()1OM xOE x OF =+-，即()OM OF x OE OF -=-，所以，FM xFE =，所以，E 、F 、M 三点共线.本题中，取OC 的中点N ，连接DN ，如下图所示：D 、N 分别为OB 、OC 的中点，则DN //BC 且12DN BC =， 14OC OA =，67AC AN ∴=，即67AC AN =，//BC DN ，即//CM DN ，67AM AC AD AN ∴==，67AM AD ∴=， 12AD OD OA OB OA =-=-，6611377277OM OA AM OA AD OA OB OA OA OB ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭， E 、F 、M 三点共线，O 为直线EF 外一点，则(),OM xOE yOF x y R =+∈且1x y +=.OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则OM xOE yOF xOA yOB λμ=+=+，所以，1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得1737x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由1x y +=可得13177λμ+=，由基本不等式可得()1313134247777μλμλλμλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭423+=. 当且仅当3μλ=时，等号成立. 所以，λμ+的最小值为423+，ABC 选项均不满足4237λμ++≥. 故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用三点共线的结论：当O 为直线EF 外一点时，E 、F 、M 三点共线(),OM xOE yOF x y R ⇔=+∈，1x y +=.利用该结论推出13177λμ+=；（2）利用基本不等式求出λμ+的最小值.10．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个【答案】BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错，以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=22(1)(2)10m n -+-(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．。

数列多选题期末复习自检题检测试卷

数列多选题期末复习自检题检测试卷一、数列多选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”.则以下结论正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”B ．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则数列{}n a 是“T 数列”C ．若12(1)2n n n a n n ++=+，则数列{}n a 是“T 数列”D ．若2241n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列【答案】BC 【分析】写出等差数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断A ；写出等比数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断B ；利用裂项相消法求和判断C ；当n 无限增大时，n S 也无限增大判断D ．【详解】在A 中，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 错误. 在B 中，因为{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，所以()11111112111111n nn n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确. 在C 中，因为11211(1)22(1)2n n n n n a n n n n +++==-+⋅+⋅，所以122311111111111||122222322(1)22(1)22n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅∣∣.所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 正确.在D 中，因为22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222111114342143141n S n n ⎛⎫=+++++⎪⨯-⨯--⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【分析】计算可得2q，故选项A 正确；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 为递增数列，∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；所以122n n S +=-,则9822510S =-=，故选项C 正确.又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有：（1）定义法；（2）通项公式法（3）等差（等比）中项法（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.3．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（）A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列B ．满足100n S <的n 的最大值是9C ．n S 除以4的余数只能为0或1D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得()*21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()111n n na n a +-+=，故等式两边同除以()1n n +得：()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，2111121122a a =-⨯-= 故根据累加法得：()11121n a a n nn =-≥-，由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足，故()*21n a n n N=-∈所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确；由等差数列前n 项和公式得：()21212n n n S n +-==，故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确；对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正确；对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.4．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中正确的有（） A ．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则数列{}n a 为等差数列B ．若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等比数列C ．若等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >D ．数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，仍为等比数列【答案】AB 【分析】对于A ，求出 42n a n =-，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，求出2n n a =，则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．【详解】对于A ，若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，所以212(1)(2)n S n n -=-≥，所以142(2)n n n a S S n n -=-=-≥，适合12a =，所以数列{}n a 为等差数列，故选项A 正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，所以122(2)nn S n -=-≥，所以12(2)n n n n a S S n -=-=≥，又1422a =-=，2218224a S S =-=--=， 212a a =则数列{}n a 为等比数列，故选项B 正确；对于选项C ，若等比数列{}n a 是递增数列，则有可能10,01a q <<<，不一定 1q >，所以选项C 错误；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列，比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列．故选项D 不正确．故选：AB 【点睛】方法点睛：求数列的通项常用的方法有：（1）公式法；（2）归纳法；（3）累加法；（4）累乘法；（5）构造法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.5．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．1q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】BC 【分析】计算可得2q，故选项A 错误；8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.【详解】∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴23142332,12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或238,4a a =⎧⎨=⎩， ∵{}n a 为递增数列， ∴234,8a a =⎧⎨=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2nn a =，()12122212nn nS +⨯-==--，∴9822510S =-=，122n n S ++=，∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；又lg 2lg 2lg nn n a ==⋅，∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：BC.方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.6．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.7．下列说法中正确的是（）A ．数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+B ．数列{}n a 成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有212n n n a a a ++=C ．若数列{}n a 是等差数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等差数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则n S 、2n n S S -、32n n S S -也是等比数列【答案】AC 【分析】利用等差中项法可判断A 选项的正误；取0n a =可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式以及等差中项法可判断C 选项的正误；取1q =-，n 为偶数可判断D 选项的正误.对于A 选项，充分性：若数列{}n a 成等差数列，则对任意的正整数n ，n a 、1n a +、2n a +成等差数列，则121n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+，充分性成立；必要性：对任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，则121n n n n a a a a +++-=-，可得出2132431n n a a a a a a a a +-=-=-==-=，所以，数列{}n a 成等差数列，必要性成立.所以，数列{}n a 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有122n n n a a a ++=+，A 选项正确；对于B 选项，当数列{}n a 满足0n a =时，有212n n n a a a ++=，但数列{}n a 不是等比数列，B选项错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，()2122122n n n d S na -=+，()3133132n n n dS na -=+，所以，()()()22111322112222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ()()()232111533122132222n n n n d n n d n n d S S na na na ---⎡⎤⎡⎤-=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，()()()()22232111532222n n n n n d n n d n n d S S S na na na ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+=+++=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()22n n S S =-，所以，n S 、2n n S S -、32n n S S -是等差数列，C 选项正确；对于D 选项，当公比1q =-，且n 是偶数时，n S 、2n n S S -、32n n S S -都为0，故n S 、2n n S S -、32n n S S -不是等比数列，所以D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛；1.判断等差数列有如下方法：（1）定义法：1n n a a d +-=（d 为常数，n *∈N ）；（2）等差中项法：()122n n n a a a n N*++=+∈；（3）通项法：n a p n q =⋅+（p 、q 常数）；（4）前n 项和法：2n S p n q n =⋅+⋅（p 、q 常数）.2.判断等比数列有如下方法：（1）定义法：1n na q a +=（q 为非零常数，n *∈N ）；（2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅，n *∈N ，0n a ≠；（3）通项公式法：nn a p q =⋅（p 、q 为非零常数）；（4）前n 项和法：nn S p q p =⋅-，p 、q 为非零常数且1q ≠.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【答案】ACD 【分析】由已知得()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，可判断A ；由已知得出2437d -<<-，且()12+3n a n d =-，得出[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d =-，可得出1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n nN ，上单调递增，可判断B ；由()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，可判断C ；判断 n a ，n S 的符号， n a 的单调性可判断D ；【详解】由已知得311+212,122d a a a d ===-，()()612112712+12+220a a a a S ==>，又70a <，所以6>0a ，故A 正确；由7161671+612+40+512+3>0+2+1124+7>0a a d d a a d d a a a d d ==<⎧⎪==⎨⎪==⎩，解得2437d -<<-，又()()3+312+3n a n d n d a =-=-，当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，又()1112+3n a n d=-，所以[]1,6n ∈时，1>0na ，7n ≥时，10n a <，所以1na 在1,6n n N上单调递增，1na 在7n n N，上单调递增，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是递增数列，故B 不正确；由于()313117713+12203213a a a S a ⨯==<=，而120S >，所以0n S <时，n 的最小值为13，故C 选项正确；当[]1,6n ∈时，>0n a ，7n ≥时，0n a <，当[]1,12n ∈时，>0n S ，13n ≥时，0n S <，所以当[]7,12n ∈时，0n a <，>0n S ，0nnS a <，[]712n ∈，时，n a 为递增数列，n S 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项，故D 正确；【点睛】本题考查等差数列的公差，项的符号，数列的单调性，数列的最值项，属于较难题.二、平面向量多选题9．下列命题中真命题的是（）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向【答案】BC 【分析】对于A ：利用共线定理判断对于B ：利用平面向量的数量积判断对于C ：利用数量积的应用判断对于D ：利用向量的四则运算进行判断【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误. 对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确.对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BD cosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误. 故选：BC. 【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.10．给出下列结论，其中真命题为（） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 【答案】CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题；对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD.【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.。

人教版数列多选题期末复习专项训练学能测试试卷

人教版数列多选题期末复习专项训练学能测试试卷一、数列多选题1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，201920212020S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列结论中正确的是（） A ．20200a >B ．20210a <C ．2019202020212022a a a a ⋅>⋅D ．2019n =时，n T 取得最大值【答案】ABC 【分析】根据题设条件，得到2021202020212020201920200,0S S a S S a -=<-=>，进而求得201920220a a >->，20192020a a >20212022a a ，再结合“裂项法”求得12121112n n n T d a a a a ++⎫⎛=-⎪⎝⎭，结合0d <，即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为201920212020S S S <<，可得2021202020210S S a -=<，2020201920200S S a -=>，20212019S S -=202120200a a +>，即202020210a a >->，202020210a d a d ->-->，即201920220a a >->，所以20192020a a >20212022a a ，0d <，即数列{}n a 递减，且10a >，20a >，…，20200a >，20210a <，又由12n n n n b a a a ++=，可得1211n n n n b a a a ++==1121112n n n n d a a a a +++⎛⎫- ⎪⎝⎭，则122323341121211111111122n n n n n T d a a a a a a a a a a a a d a a +++⎛⎫⎛=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪⎝⎝⎭121n n a a ++⎫⎪⎭，由0d <，要使n T 取最大值，则121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值，显然1210n n a a ++>，而23a a >34201920202021202220222023a a a a a a a a >⋅⋅⋅>><<⋅⋅⋅，所以当2020n =时，121211n n a a a a ++⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值. 综上可得，正确的选项为ABC. 故选：ABC.【点睛】本题主要考查了数列的综合应用，其中解答中熟练应用通项n a 和n S 的关系式，数列的“裂项法”求和，以及数列的单调性进行求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( )A ．20192g =B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-，所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确；对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

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