圆的定义、垂径定理的复习解析

利用新知 解决问题
8.（课本90页9题）如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交 小圆于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
C A
DB
O
5．利用新知 问题回解
C
A
D
B
O
解决求赵州桥拱半径的问题：
AB
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面 的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．
(2)若∠A＝40°，则∠ABO＝__4_0_°__，∠C＝__5_0_°_，∠ABC ＝__9_0_°__.
图 24-1-2
3．如图 24-1-4，在⊙O 中，点 C 为弦 AB 上一点，AC＝2， BC＝6，⊙O 的半径为 5，则 OC＝( A )
A. 13
图 24-1-4
B．4
C．3
D．2 3
图 24-1-5
思路点拨：利用已知条件，把垂径定理和勾股定理相结合， 构造直角三角形．
解：如图D28，连接OA，过点O 作OE⊥AB，垂足为点 E， 交圆于点F，则AE＝ 1AB＝30(cm)．
2
图 D28
7．(课本123页3题)如图 24-1-7，已知 AB 是⊙O 的弦， 半径 OA＝20 cm，∠AOB＝120°，求△AOB 的面积．
【跟踪训练】
1．半径为 5 的圆的一条弦长不可能是( D )
A．3
B．5
C．10
D．12
2．如图 24-1-2.(1)若点 O 为⊙O 的圆心，则线段__O_A__或__O__B_ _或___O_C__是圆 O 的半径；线段__A_B__或__B__C_或___A_C__是圆 O 的弦， 其中最长的弦是_直__径___A_C_；_弧__A_B__或__弧___B_C_是劣弧；弧___A_C_是半圆；
rd E
r2 =(r-h)2+( a)2 A
2
a∟
C
B
归纳：垂直于弦的直径___平__分___弦，并且__平__分___弦所对 的两条弧．
注意：“平分(不是直径)弦的直径垂直于弦，并平分弦所 对的弧”，在平分弦做条件时，一定要注意平分不是直径的弦 时，才能由垂径定理得出垂直于弦并且平分弦所对的弧．
图 24-1-7
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解：过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，如图 D29，
∴∠AOC＝12∠AOB＝60°，AC＝BC＝12AB.
∵在 Rt△AOC 中，∠A＝30°，
∴OC＝12OA＝10，
AC＝ OA2－OC2＝10 3(cm)． ∴AB＝2AC＝20 3(cm)．
图 D29
∴△AOB 的面积＝12AB·OC＝12×20 3×10＝100 3 (cm2)．
【跟踪训练】 4．高速公路的隧道和桥梁最多．如图 24-1-6 是一个隧道 的横截面，若它的形状是以 O 为圆心的圆的一部分，路面 AB＝10 米，净高 CD＝7 米，则此圆的半径 OA＝( )
A．5 米
图 24-1-6
B．7 米
C.357米
D.377米
6.如图 24-1-5，某居民区一处圆形水泥管下水管道 破裂塌陷，修理人员准备更换一段新管道，现量得污水面宽度 为 60 cm，水面到管道顶部距离为 10 cm，问修理人员应准备内 径是多少的水泥管道？
2．圆的有关概念 (1)连接圆上任意两点的线段叫做____弦____，经过圆心的弦 叫做___直__径___． (2)圆上任意两点间的部分叫做弧，以 A，B 为端点的弧记 作___A_B__，大于半圆的弧叫做___优__弧___，用三个点的字母表示； 小于半圆的弧叫做___劣__弧___，用两个点的字母表示． 注意：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不 一定是半圆．
在图中 AB=37.4 m,CD=7.2 m，
AD 1 AB 1 37.4 18.7（,m）,
2
2
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2
即 R2=18.72+（R－7.2）2
A
C D B
解得R≈27.9.
R O
因此，赵州桥的主桥拱半径约为
27.9 m.
3．圆的同等关系 能够重合(或半径相等)的两个圆叫做___等__圆___；在同圆或 等圆中，能够互相重合的弧叫做__等__弧____． 注意：只有在同圆或等圆中才存在等弧．在判断等弧时， 首先要看两弧所在的圆是否为同圆或等圆，然后再看弧的长度 是否相等． 4．圆的性质 圆是轴对称图形，又是___中__心____对称图形．圆绕__圆__心____ 旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫圆 的旋转不变性．
5．垂径定理 探究：结合图 24-1-1 完成填空：
图 24-1-1 已知 CD 是直径，CD ⊥AB 于点 E ，则_____A_E_＝__B_E___ ， ___A_D__＝__B_D____，___A__C_＝__B__C__.
设圆的半径是r，圆心到弦的
距离d，弦长a
三者关系如
何？
O
r2 =d2+( a2)2
24.1 圆的有关性质
第1课时 圆和垂直于弦的直径
1．圆的定义及其表示方法 (1) 定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O___旋__转__一__周___，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．固定的 端点 O 叫做___圆__心___，线段 OA 叫做___半__径___． (2)表示方法：以点 O 为圆心的圆，记作“__⊙__O____”，实作 “圆 O”． (3)特征：①圆上各点到定点(圆心 O)的距离都等于定长(半 径 r)；②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 注意：圆心为O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离为定点 r 的点的集合．
知识点 1 圆的有关概念
【例 1】 判断正误：
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；
(8)半径相等的两个圆是等圆； (9)等弧就是长度相等的弧．
思路点拨：解题的关键是理解好圆中的相关概念．