高等数学第1章
高等数学第一章《函数与极限》
第一章 函数与极限一、内容提要（一）主要定义【定义 1.1】 函数 设数集,D R ⊂如果存在一个法则，使得对D 中每个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称:f D R →为定义在D 上的函数,记作(),y f x x D =∈.x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域.【定义1.2】 数列极限 给定数列{}x n 及常数a ,若对任意0ε>,总存在正整数N ,使得当n N >时,恒有x a n -<ε成立,则称数列{}x n 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim .【定义1.3】 函数极限（1）对于任意0ε>,存在()0δε>,当δ<-<00x x 时,恒有()ε<-A x f .则称A 为()f x 当0x x →时的极限,记为A x f x x =→)(lim 0.（2） 对于任意0ε>,存在0X >,当x X >时,恒有f x A ()-<ε.则称A 为()f x 当x →∞时的极限,记为lim ()x f x A →∞=.（3）单侧极限左（右）极限 任意0ε>,存在()0δε>,使得当000(0)x x x x δδ-<-<<-<时,恒有()ε<-A x f .则称当00()x x x x -+→→时)(x f 有左（右）极限A ,记为00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→== 或00(0)((0))f x A f x A -=+=.单边无穷极限 任意0ε>,存在0X >,使得当x X >（x X <-）时, 恒有f x A ()-<ε, 则lim ()x f x A →+∞=（lim ()x f x A →-∞=） .【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()f x 当0x x →(或x →∞)时的极限为零（|()|f x 无限增大）,那么称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小（无穷大）.【定义1.5】 等价无穷小 若lim 0,lim 0,lim 1βαβα===,则α与β是等价的无穷小.【定义 1.6】 连续 若)(x f y =在点0x 附近有定义,且)()(lim 00x f x f x x =→,称()y f x =在点0x 处连续.否则0x 为()f x 的间断点.（二）主要定理【定理1.1】极限运算法则 若a x u =)(lim , b x v =)(lim ,则 （1）()lim u v ±存在,()lim lim lim u v u v a b ±=±=±且; （2）()lim u v ⋅存在,()lim lim lim u v u v a b ⋅=⋅=⋅且; （3）当0≠b 时, limu v 存在,lim lim lim u u a v v b==且 推论 ⑴ lim lim Cu C u Ca ==; ⑵ ()lim lim nnnu u a ==. 【定理1.2】极限存在的充要条件⇔=→A x f x x )(lim 0lim ()x x f x -→=0lim ()x x f x A +→=.lim ()x f x A →∞=⇔lim ()x f x →-∞=lim ()x f x A →+∞=【定理1.3】极限存在准则 (1) 单调有界数列必有极限(2) 夹逼准则: 设数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足① n n n y x z ≤≤, ② lim =lim n n n n y z a →∞→∞=,则lim n n x →∞存在,且lim n n x a →∞=.【定理1.4】极限与无穷小的关系 若lim (),f x A =则(),f x A α=+其中lim 0.α=【定理1.5】两个重要极限 1sin lim0=→x x x ,e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .【定理1.6】 初等函数的连续性 初等函数在其定义区间内连续. 【定理1.7】闭区间上连续函数的性质（1）最值定理 闭区间上连续函数在该区间上一定有最大值M 和最小值m . （2）有界定理 闭区间上连续函数一定在该区间上有界.（3）介值定理 闭区间上连续函数必可取介于最大值M 与最小值m 之间的任何值. （4）零点存在定理 设函数()x f 在[]b a ,上连续,()a f ()0<⋅b f ,则至少存在一个ξ∈()b a ,,使 ()0f ξ=.二、典型题解析函数两要素：定义域，对应关系定义域：使表达式有意义的自变量的全体，方法为解不等式 对应关系：主要方法用变量替换（一）填空题【例1.1】 函数23arccos2xy x =+的定义域是 . 解 由arccos y u =的定义域知11u -≤≤,从而23112xx -≤≤+, 即 (][][),21,12,-∞--+∞.【例1.2】 设()()()2sin ,1f x x f x xφ==-,则函数()x φ的定义域为 .解 由已知()()2sin[()]1fx x xφφ==-，所以()2sin(1)x arc x φ=-，则2111,x -≤-≤即x ≤.【例1.3】设1()(0,1),()([...()])1n n f x x x f x f f f x x =≠≠=+次,试求()n f x 解 由()1xf x x =-,则21()[()]11xx f x f f x x x x -===--，显然复合两次变回原来的形式，所以,2(),211n x n k f x x n k x =⎧⎪=⎨=+⎪-⎩（二）选择题【例 1.9】设函数()f x 在(),-∞+∞上连续,又0a >且1a ≠,则函数()()()sin 2sgn sin F x f x x =-是 [ ](A) 偶函数 (B) 奇函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 奇偶函数. 解 因为()()sgn sin sgn sin x x -=-⎡⎤⎣⎦,所以()sgn sin x 为奇函数.而()sin 2f x -为偶函数,故()()sin 2sgn sin f x x -⋅为奇函数,故选 B .【例 1.10】设()f x 是偶函数,当[]0,1x ∈时,()2f x x x =-,则当[]1,0x ∈-时,()f x = [ ](A) 2x x -+(B) 2x x + (C) 2x x - (D) 2x x --.解 因为()()f x f x -=，取[]1,0x ∈-，则[0,1]x -∈，所以()()()22f x x x x x -=---=--, 故选 D .（三）非客观题 1.函数及其性质【例1.16】 求函数()lg(1lg )f x x =-的定义域. 解 要使()f x 有意义，x 应满足0,1lg 0x x >⎧⎨->⎩ 即010x <<，所以()f x 的定义域为 (0,10).【例1.17】 设函数()f x 的定义域是［0,1］,试求()f x a +＋()f x a -的定义域（0a >）.解 由()f x 的定义域是［0,1］,则0101x a x a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,故1a x a ≤≤-,则当1a a =-时,即12a =时,函数的定义域为12x =； 当1a a ->时,即12a <时,函数的定义域为[],1a a -； 当1a a -<时,即12a >时,函数的定义域为空集. 【例1.18】设()2,x f x e =()()1f x x ϕ=-并且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.解 因为()()2[()]1,x fx e x φϕ==-且()0x ϕ≥，故()x ϕ=,为使此式有意义,ln(1)0x -≥，所以函数()x ϕ的定义域为{}0x x ≤.【例1.19】 设()2422x xf x x ++=-,求()2f x -.解（ 法一）配方法 ()2(2)422(2)2x f x x +-+=-++,所以()24224.x xf x x --=-+解（法二） 变量代换法 令2x t =-,代入得()2422t f t t -=-+,即()2422xf x x -=-+，则()24224xxf x x --=-+.【例1.20】 设()22,01,12x x f x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩,()ln g x x =,求()f g x ⎡⎤⎣⎦. 解 ()[]ln f g x f x =⎡⎤⎣⎦ 22ln ,0ln 1ln ,1ln 2x x x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩[]()()222ln ,1,0, ln , ,0,x x e x x e e ⎧∈+∞⎪=⎨⎡⎤∈+∞⎪⎣⎦⎩[]222ln ,1,ln , ,x x e x x e e ⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩【例1.21】 设()1,10,1x x x ϕ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()22,12,1x x x x ψ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩,求 ()x ϕϕ⎡⎤⎣⎦,()x ϕψ⎡⎤⎣⎦. 解 ⑴ 当(),x ∈-∞+∞时，()01x ϕ≤≤ ，所以 ()()1,,x x ϕϕ≡∈-∞+∞⎡⎤⎣⎦.⑵ 因为 ()()()1,10,1x x x ψϕψψ⎧≤⎪=⎡⎤⎨⎣⎦>⎪⎩, 且 ()()1,12,1x x x x ψψ⎧==⎪⎨<≤≠⎪⎩ 1,故 ()1,10,1x x x ϕψ⎧=⎪=⎡⎤⎨⎣⎦≠⎪⎩. 【例1.22】 求函数()2312,1,121216,2x x f x x x x x ⎧-<-⎪=-≤≤⎨⎪->⎩的反函数.解 当21121,x y x <- -<-时，=则x =， 当312=8,x y x -≤≤ ≤≤时，-1则x =当212168,x y x > =->时， 则16,12y x +=所以()f x 的反函数为 ()111816,812x y f x x x x -⎧<-⎪⎪⎪==-≤≤⎨⎪+⎪>⎪⎩.【例 1.23】设()f x 在(,)-∞+∞上有定义,且对任意,(,)x y ∈-∞+∞有()()f x f y x y -<-,讨论()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上的单调性.解 任取12,(,)x x ∈-∞+∞,不妨设21x x >,则由条件有()()()()21212121f x f x f x f x x x x x -<-<-=-，所以()()1221f x f x x x -<-,则可变形为()()1122f x x f x x +<+,即()()12F x F x <，故()F x 在(,)-∞+∞上单调增加.【例1.24】 求c 的一个值,使()sin()()sin()0b c b c a c a c ++-++=,这里b a >,且均为常数.解 令()sin f x x x =,则()f x 是一个偶函数,则有[]()()f b c f b c +=-+要使()(),()f b c f a c a b +=+≠成立,则有1()()()2a cbc c a b +=-+⇒=-+.极限与连续：不定式，等价关系，特殊极限 极限待定系数的确定原理 连续待定系数确定的原理【例1.4】 设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则a = . 解 因为 233lim lim lim 1x x xx x x x a x a a a x a x a x a →∞→∞→∞+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭3333lim 1x a axa x aa x a e x a --→∞⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭再由3ln83ln 28ln 2aee e a ===⇒=.【例1.5】（2004数三）若()0sin lim cos 5x x xx b e a→-=-,则a = ,b = .解 因()0sin limcos 5x x xx b e a→-=-,而()0limsin cos 0x x x b →-=，则0lim 0x x e a →-=, 所以1a =,又0x →时，sin ,1x xx e x -，则()()000sin limcos lim cos limcos51x x x x x x x b x b x b x e →→→-=-=-=-,154b b -=⇒=-. 【例 1.6】 已知当0x →时，123(1)1ax +-与1cos x -是等价无穷小，则常数a = .解 由1230(1)1lim1,1cos x ax x→+-=-而1222ln(1)3112ln(1)2333220000(1)112limlim limlim1cos 1cos 32ax ax ax x x x x ax e a xx x x ++→→→→+--====--，故3.2a = 【例1.7】 （2004数二）设()()21lim1n n x f x nx →∞-=+,则()f x 的间断点为x = .解 ()()()22111limlim ,0110,0n n n x n x x f x xnx nx x →∞→∞⎧--=⋅=≠⎪=⎨++⎪=⎩而 ()001lim lim(0)x x f x f x→→===∞≠，故()f x 的间断点（无穷）为0x =.【例1.8】 设()1sin , 02, 0x x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,在0x =处连续,则a = . 解 要使()f x 在0x =处连续,应有()()0lim 0,x f x f a →==而()0001sin1122lim lim sin lim 222x x x xx f x x x →→→===, 所以12a =.（二）选择题 【例1.11】()1, 10,01x x f x x x --<≤⎧=⎨<≤⎩ ,则()0lim x f x →= [ ](A) -1 (B) 0 (C) 不存在 (D) 1. 解 ()0lim lim 0x x f x x →+→+==, ()()0lim lim 11x x f x x →-→-=-=-.因为()()0lim lim x x f x f x →+→-≠,所以()0lim x f x →不存在，故选 C.【例1.12】 下列结论正确的是 [ ] (A) 若1lim1n n na a +→∞=,则lim n n a →∞存在;(B) 若lim n n a A →∞=,则11lim lim1lim n n n n nn n a a A a a A ++→+∞→∞→∞===; (C) 若lim n n a A →∞=,若lim n n b B →∞=,则()lim n bB n n a A →+∞=;(D) 若数列{}2n a 收敛且()2210n n a a n --→→∞,则数列{}n a 收敛.解 (A)不正确,反例{}n a n =,(B)不正确,因为只有当lim 0n n a →∞≠时，才能运用除法法则:11lim lim lim n n n n nn n a a a a ++→+∞→∞→∞= ,(C)不正确,只有0A ≠时,()lim n b B n n a A →+∞=成立.故选 D.注意无穷大与有界量的乘积关系 【例1.13】 当0x →时,变量211sin x x是 [ ] (A) 无穷小; (C) 有界的,但不是无穷小量; (B) 无穷大; (D) 无界的,但不是无穷大量. 解 M ∀,1,22n x n ππ∃=+只要,2M n π⎡⎤>⎢⎥⎣⎦则()2,2n f x n M ππ=+> 所以211sin x x 无界.再令 12x k π=,()0,1,2,k =±±，则()20lim lim(2)x k f x k π→→∞=⋅ sin 20k π≡,故()lim x f x →∞≠∞.故选 D.趋向无穷大主要是最高次项 趋向无穷小主要是最低次项【例1.14】 当0x →时，下列4个无穷小关于x 的阶最高的是 [ ](A) 24x x + (B)1 (C)sin 1xx- (D)-解 242200lim lim(1)1x x x x x x→→+=+=，所以24x x +是x 的2阶无穷小. 当0x →111sin 22x x ，故（B ）是x 的同阶无穷小. 311000sin 11sin 6lim lim lim k k k x x x x x x xx x xx ++→→→---==，要使极限存在2k =，故（C ）是x 的2阶无穷小.0x x →→= 3001sin (1cos )1lim lim 24cos k k x x x x x x xx →→-==, 同理（D ）是x 的3阶无穷小.故选D.指数函数的极限要注意方向【例1.15】（2005数二）设函数()111xx f x e-=-,则 [ ](A) 0x =,1x =都是()f x 的第一类间断点; (B) 0x =,1x =都是()f x 的第二类间断点;(C) 0x =是()f x 的第一类间断点,1x =是()f x 的第二类间断点; (D) 0x =是()f x 的第二类间断点,1x =是()f x 的第一类间断点. 解 因为()0lim x f x →=∞,则0x =是()f x 的第二类间断点;而()()11111111lim lim 0,lim lim 111xx x xx x x x f x f x ee++--→→→→--====---, 所以1x =是()f x 的第一类（跳跃）间断点,故选 D. （三）非客观题 求极限的各种方法（1） 用N ε-定义证明数列极限定义证明的关键是利用n x A ε-<倒推找正整数N （与ε有关）,这个过程常常是通过不等式适当放大来实现.【例1.25】求证lim1n n→∞=. 证明 对0ε∀>,1ε-<成立,则需1-n n =n a n n +-<a nε=<只要1an n ⎡⎤>+⎢⎥⎣⎦,取1a N n ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦,当n N >时,1ε<.证毕. 【例1.26】 设常数1,a >用N ε-定义证明lim 0!nn a n →∞=. 证明 对0ε∀>,要使0!na n ε-<成立,则需[]0!1[]([]1)[]1n a n a a a a a aa k n a a n a ε-⎛⎫⋅⋅⋅⋅-=<⋅< ⎪⋅⋅+⋅⋅+⎝⎭，(其中1[]a ak a ⋅⋅=⋅⋅)只要lg []lg[]1k n a a a ε>++,为保证0,N >取lg max 1,[]lg []1k N a a a ε⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎢⎥=+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭,当n N >时,有 0!na n ε-<，证毕. （2）通过代数变形求数列极限 逐项平方差【例1.27】求极限2421111lim(1)(1)(1)(1)2222nn →∞++++解 2421111lim(1)(1)(1)(1)2222n n →∞++++=2111(1)(1)(1)222lim n →∞-++2n 1（1+）211-22(1)12lim(1)22n n +→∞=-=平方差公式【例1.28】求极限lim )n n n →∞.解lim )nn n →∞n =limn →∞=limn =12=. 等比求和【例1.29】 求极限221112333lim 111555nn n →∞+++++++. 解 由等比数列的求和公式2(1)1n nq q q q q q-+++=-将数列变形，则221113211113213333lim lim 11111155551515n n n n n n →∞→∞-+⨯++++-=+++-⨯-112123lim 11145n x n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1221014+==. 分项求和【例1.30】 求[]31lim(21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++.解 []31lim (21)2(23)3(25)n n n n n n →∞-+-+-++()311lim 221nn k k n k n →∞==-+∑()23111lim 212n nn k k n k k n →∞==⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()()()32111211lim 226n n n n n n n n →∞++++⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()312111lim63n n n n n →∞++==.拆分原理【例1.31】 求极限2111lim()31541n n →∞+++-.解 因为()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭,则 2111lim()31541n n →∞+++-111111lim [(1)()()]23352121n n n →∞=-+-++--+ 111lim (1)2212n n →∞=-=+. 求和后拆分【例1.32】 求极限111lim(1)1212312n n→∞+++++++++.解 111lim(1)1212312n n→∞+++++++++（由等差数列的前n 项和公式）222lim 12334(1)n n n →∞⎡⎤=++++⎢⎥⨯⨯+⎣⎦ （逐项拆分） 111111lim 12()23341n n n →∞⎡⎤=+-+-++-⎢⎥+⎣⎦2lim 221n n →∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭（3）利用夹逼准则求数列极限 【例1.33】求lim n解 11111n n ≤+<+，而1lim(1)1n n→∞+=，∴ 由夹逼准则得 lim 1n →∞=. 掌握扩大和缩小的一般方法 【例1.34】 求22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++. 解212n n n n +++++2221212nn n n n n n n<+++++++++2121n n n +++<++ 且 2121lim,2n n n n n →∞+++=++ 2121lim 21n n n n →∞+++=++， 由夹逼准则得 22212lim()12n nn n n n n n n →∞+++++++++=12. 【例1.35】 求极限226n nn →∞++.解≤≤，则2221nnnk k k===≤≤且 22111limlim 3nnn nk k →∞→∞====,由夹逼准则得原式21lim3nn k→∞===.以下两题了解一下即可 【例1.36】 证明 1;1(0)n n a ==>证明 1） 1n h =+，则22(1)(1)(1)122n nn n n n n n n n n n h nh h h h --=+=+++>，即 0n h <<由夹逼准则 lim 0,n n h →∞=从而lim(1) 1.n n n h →∞=+=2）当1a >时，0<<由夹逼准则1n =；当01a <<，令11b a=>，则lim lim 1n n →∞→∞==，从而1(0).n a =>注 【例1.36】的结果以后直接作为结论使用. 【例1.37】 求极限nk n a ++.（12,,,0k a a a >,k N ∈）解 记{}12max ,,,k aa a a =,则nk a≤++≤.且,n n n a a a ==⋅=,由夹逼准则得{}12max ,,,nk k n a a a a a ++==.（4）利用单调有界准则求数列极限给出前后项的关系，证明其单调，有界，设出极限解方程数列单调性一般采用证明110,1,nn n n x x x x ---≥≥或函数的单调性；数列的有界性方法比较灵活.【例1.38】 求lim n n a a a a →∞++++个根号.解 设n x a =++,则12x x ==…,n x =,从而 1n nx x -<,数列{}n x 单调增加；又n x =,21n nx a x -=+,111n n n n x a x x x -=+<+=,数列有上界,故{}n x 有极限.不妨设lim n n x A →∞=,将21n n x ax -=+两边取极限，有2A a A =+,故12A ±=【例1.39】 求33n .（共有n 个根号）解 设33n x =，显然1n n x x ->,{}nx单调增加；且1n x x =2x =3n x <,{}n x 有上界，所以数列极限存在.不妨设lim n n x A →∞=,将213n n x x -=两边取极限，有23A A =,则()3,0A A ==舍.【例1.40】 设2110,0,,1,2,2n n nx aa x x n x ++>>==,证明数列{}n x 收敛,并求极限.解 2102nn n na x x x x +--=≤，数列{}n x 单调递减；且21122n n n n n x a a x x x x +⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭≥=,{}n x 有界,所以数列{}n x 收敛.令lim n n x A →∞=,对212n n nx a x x ++=两边取极限,有12a A A A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则A =. （5）利用无穷小的性质求数列极限 【例1.41】 求下列极限（1）（2）题的方法化为指数形式常用，（3）要说明无穷小乘有界量为无穷小 （1） lim 1)(0)n n a →∞-> （2）1121lim (33)n n n n +→∞- （3）2lim 1n nn →∞+解 （1）当1ln 11ln a nn e a n→∞-时， ，则 1ln lim 1)lim (1)a nn n n n e→∞→∞-=-1lim ln ln n n a a n→∞=⋅=（2）当n →∞时， 1ln 331nn-（n+1）（n+1），则11112211lim (33)lim3(31)nnn n n n n n ++→∞→∞-=-（n+1）121ln 3lim 3lim ln 3n n n n n+→∞→∞⋅=⋅=（n+1）（3）因为0n →∞=，而sin 1n ≤，由于无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小，所以2lim 01n nn →∞=+ 注 limsin n n →∞不存在，故不能写成lim sin 0n n n n →∞→∞→∞=⋅=. 综合题了解一下即可【例1.42】 求())()22211131lim arctan !22311n n nn n n n →∞⎡⎤⎛⎫+⨯-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⨯--⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 解()arctan !2n π≤,()221=()2limarctan !0n n →∞∴=,有界量乘无穷小()1111lim lim 112231n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫+++=-=⎢⎥ ⎪⨯-⎝⎭⎣⎦，拆分求和2231lim 31n n n →∞+=-, 则 ()2211131lim 322311n n n n n →∞⎡⎤++++=⎢⎥⨯--⎣⎦ )()222131lim arctan !lim 1lim 1n n x n n n n n →∞→∞→∞+⎛⎫⎡⎤-- ⎪⎢⎥⎣⎦-⎝⎭故原式＝ 033=-=-.两极限都存在用四则运算法则注利用函数极限求数列极限见第三章；利用定积分定义求数列极限见第六章； 利用级数收敛的性质求极限见第十一章. 3．函数的极限（1）用εδ-定义或X ε-定义证明极限用εδ-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到0x x -与ε的关系，确定()δε；而X ε-定义证明函数极限关键是用倒推法适当放缩找到x 与ε的关系，确定()X ε.【例1.43】 证明 22lim 4x x →= 此题典型要搞清楚自变量的约束范围的确定证明 对于0ε∀>，不妨设21,x -<则222225,x x x +≤+<-++< 要使242252x x x x ε-=+⋅-<⋅-<，只要取min{1,}5εδ=，当02x δ<-<时，有24x ε-<.证毕.注 函数在0x 的极限只与函数在0(,)U x δ的定义有关，与函数的整个定义范围无关.因此上例作了假设2 1.x -<也可假设122x -<等. 【例1.44】 用X ε-定义证明：232lim .33x x x →∞+=证明 对于0ε∀>，要使2322321333x x x x x xε++--==<，只要1.x ε>故取11,X ε=+当x X >时，均有23233x x ε+-<，即232lim .33x x x →∞+=（2）用极限存在的充要条件研讨极限 含有,xxe e-的表达式x →∞的极限；含有[]11,,,xxe e x x -的表达式0x →的极限；分段函数在分段点的极限，一般来说用极限存在的充要条件讨论.注意指数函数的极限，一般要考虑两边趋势【例1.45】 讨论极限 lim x xx xx e e e e --→∞-+.解 221lim lim 11x x x xx x x x e e e e e e --→-∞→-∞--==-++； 221lim lim 11x x xx x x x x e e e e e e--→+∞→+∞--==++. 所以 lim x xx xx e e e e --→∞-+不存在.【例1.46】 求1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 解 1402sin lim 1x x x e x x e +→⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦43402sin lim 0111x xx xe e x x e +--→-⎡⎤+⎢⎥=+=+=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 1402sin lim 2111x x x e x x e -→⎡⎤+⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦； 所以 1402sin lim 1x x x e x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1=. 【例1.47】 []x 表示不超过x 的最大整数，试确定常数a 的值，使[]210ln(1)lim ln(1)x x x e a x e →⎧⎫+⎪⎪+⎨⎬⎪⎪+⎩⎭存在，并求出此极限.解 由[]x 的定义知，[][]0lim 1,lim 0,x x x x -+→→=-=故所给极限应分左、右极限讨论. []22211110000ln(1)ln(1)lim lim lim lim .ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x xe e e a x a a e a a e e e ----→→→→⎧⎫++⎪⎪+=-=-=-=-⎨⎬⎪⎪++⎩⎭[]222211110002ln(1)ln(1)ln (1)lim lim 0lim 01ln(1)ln (1)ln(1)x xxxx x x x x x xe e e e x a x e e e e x+++--→→→--⎧⎫+++⋅+⎪⎪+=+=+⎨⎬⎪⎪+⋅+++⎩⎭212ln(1)lim 21ln(1)xx xe e +-→-++==++.所以，当2a =-时所给极限存在，且此时极限为2.【例1.48】设21,1,()23, 1.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩试求点1x =处的极限.解 211(10)lim ()lim(23)5x x f f x x --→→-==+=; 111(10)lim ()lim 1x x f f x x++→→+===; 即(10)(10)f f -≠+，1lim ()x f x →∴不存在.（3）通过代数变形求函数极限 【例1.49】求下列极限（1）22232lim 2x x x x x →-+++- （2）422123lim 32x x x x x →+--+ （3）11lim ,()1n x x n Z x +→-∈- 解 （1）原式222(1)(2)(1)(2)limlim (1)(1)(1)(11)x x x x x x x x x x →-→-++++==-+--++211lim.13x x x →-+==-（2）原式22211(1)(3)(1)(3)limlim 8.(2)(1)2x x x x x x x x x →→-+++===---- （3）原式121(1)(1)lim1n n x x x x x x --→-++++=- (提零因子)121lim(1)n n x xx x n --→=++++=.注 分子分母都为0必有共同的0因子① 因为分母极限为零，所以不能直接用计算法则； ② 当0x x →时，0x x ≠. 【例1.50】求下列极限注意多项式商的三种形式的规律0x x x a →∞→→，，，最高项，最低项，零因子（1）247lim 52x x x x x →∞-+++ （2）()()()3020504192lim 61x x x x →∞++- （3） 3225lim 34x x x x →∞-++解（1）原式234341170lim 0.5211x x x x x x→∞-+==++（2）原式3020501249lim 16x x x x →∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭1030205049263⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭. （3）3225lim 34x x x x →∞-=∞++ (因为2334lim 025x x x x →∞++=-) 注 x →∞时有理函数求极限，分子、分母同时除以x 的最高幂次.即抓“大头”.综合题也可直接用结论 0101101,lim0,,m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪=>⎨+++⎪∞<⎪⎪⎩. 【例1.51】求下列极限了解共轭因式，尤其是N 方差公式 （1）)0lim 0x aa +→>. （2）0x → （3）limx解 ⑴原式0lim x a+→=limx a+→=lim x a+→==⑵ 原式=2x x →x →=32=⑶ 原式2limx=2123lim 1x --==.（4）利用两个重要极限求极限利用0sin lim 1x x x →=，1lim 1nn e n →∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦求极限，则有0sin 1lim 1,lim(1)e →→∞=+=（此两式中的形式必须相同）.【例1.52】 求下列极限 （1）201cos limx xx →-）（2）22sin sin lim x a x a x a→--（3）31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x→∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦解 （1）原式22200212sin sin1222limlim 2()2x x x xx x →→==.（2）原式()()sin sin sin sin limx ax a x a x a→-+=-()2limsin cos sin sin 22x a x a x a x a x a →-+=+-()sin2limcos sin sin 22x a x ax a x a x a →-+=⋅+-1cos 2sin sin 2a a a =⨯⨯=. （3）3lim sin ln(1)x x x →∞+ 3sin ln(1)33lim ln(1)0 limln(1)3ln(1)x x x x x x x→∞→∞++=⋅++ 33333lim ln 1ln lim[(1)]3x x x x x x⋅→∞→∞⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭同理 1lim sin ln(1)1x x x→∞+=,所以 31lim sin ln(1)sin ln(1)x x x x →∞⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦312=-=.【例1.53】 求下列极限 趋向常数的极限通常会做变量替换 （1）1lim(1)tan2x xx π→- （2）22sin lim1x xx ππ→- 解 （1）令1,t x =-则 原式02lim tan()lim cotlimlim222tan22t t t t ttt tt t ttππππππ→→→→=⋅-=⋅===（2） 令,x t π=-则原式2222200002sin()sin sin lim lim lim lim .()2(2)221t t t t t t t t t t t t t ππππππππππ→→→→-====----- 【例1.54】 求下列极限（1）32lim 22xx x x →∞-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）cot 0lim tan 4xx x π→⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦解 （1）原式1222111lim 1lim 11222222x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1e e =⋅=（2）原式11tan t 001tan 1t lim()lim()1tan 1t x x t x x →→--==++122t 102t lim(1)1tt t t +-⋅-+→-=++02lim1122t02tlim(1)1t t ttt e →-++--→⎡⎤-=+=⎢⎥+⎣⎦.注 1∞型极限的计算还可用如下简化公式：设(),(),u u x v v x ==且lim 1,lim u v ==∞，则lim(1)lim .u vvu e-=（因为 (1)1lim(1)1lim lim [1(1)]u vu vvu u u e---⎧⎫⎪⎪=+-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭）和ln lim lim .v v uu e=【例1.55】 求下列极限 （1）lim hx kx ax b ax c +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭（2）1sin sin 20cos lim cos 2x xx x x →⎛⎫⎪⎝⎭解 （1） 原式＝()()lim 1lim x x ax b b c hx k hx k ax c ax c e e→∞→∞+-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=()b c hae-＝（2） 原式22000cos 1cos cos 211cos cos 2lim 1lim limcos 2sin sin 2cos 2cos 222x x x x x x x xxx xx xxx eee→→→--⎛⎫⎛⎫-⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭===2222220011(2)1cos 21cos 322lim []lim []22224x x x x x xx x x xeee →→----===.（5）利用函数的连续性求极限① 设()f x 在x a =连续，按定义则有 lim ()()x af x f a →=.因此对连续函数求极限就是用代入法求函数值.② 一切初等函数在它的定义域上连续.因此，若()f x 是初等函数，a 属于它的定义域，则lim ()()x af x f a →=.③ 设lim ()x ag x A →=，若补充地定义()g a A =，则()g x 在x a =连续.若又有()y f u =在u A =连续，则由复合函数的连续性得 lim (())(lim ())()x ax af g x f g x f A →→==.【例1.56】 求下列极限（1）3225lim243x x x x →+++ （2）3x →解 利用函数的连续性得 （1）332252251lim243224233x x x x →+⨯+==++⨯+⨯+，（2）x →==（6）利用无穷小的性质求极限常用的几个重要等价无穷小代换(当0→x 时)有: sin arcsin tan arctan 1ln(1)x xx x x xe x -+x cos 1-～22x , 1-xa ～)0(ln >a a x , )1(log x +α～ln x a.1)1(-+αx ～x α(α为任意实数), 3tan sin ,2x x x -3sin .6x x x - 利用等价无穷小代换时，通常代换的是整个分子、分母或分子、分母的因子. 【例1.57】求下列极限（1）201lim sin 3x x e x →- （2）cos 0lim sin x x e e x x →- （3）0x →解 （1）当0x →时，212,sin 33xex x x -,∴200122limlim sin 333x x x e x x x →→-==. （2）当0x →时，1cos 0x -→，1cos 11cos xex -∴--.原式cos 1cos 1cos cos 22000(1)(1)lim lim lim x x x xx x x e e e e x x--→→→--==⋅20(1cos )1lim2x x x→-==(因为当210,1cos 2x x x →-). （3）原式0x →=0x x →→=012x →=201112lim 1222x xx x →==⋅.【例1.58】 已知()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-,求()20lim x f x x →. 解 由()0lim 310x x →-=及()0ln 1sin lim 231x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=-，必有()0limln 10sin x f x x →⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 所以 ()ln 1sin f x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦～()sin f x xln3311x x e -=-～ln 3x 原式()0sin lim ln 3x f x x x →=()201lim ln 3sin x f x x x x →=⋅ ()201lim ln 3x f x x→==2，则 ()2lim2ln 3x f x x→=.【例1.59】 求 30sin tan limsin x x xx→- 解 原式33001sin (1)sin (cos 1)cos limlim sin cos sin x x x x x x x x x →→--==⋅23001()1lim lim cos 22x x x x x x→→⋅-=⋅=-⋅.注 3300sin tan limlim 0.sin sin x x x x x xx x→→--≠= 【例1.60】 求 213sin 2sin lim x x xx x→∞+解 213sin 2sin lim x x xx x→∞+=13sin 1lim2lim sin 1x x x x x x→∞→∞+， 1sin1lim1;lim 0,sin 1,1x x x x x x→∞→∞==≤ 则1lim sin 0x x x →∞=， ∴原式=303+=.（7）利用其它方法求极限① 利用导数定义求极限(见第二章) 利用导数定义=')(0x f 00)()(limx x x f x f x x --→可以将某些求极限问题转化为求导数;② 利用罗必达法则(详见第三章); ③ 利用微分中值定理(详见第三章); 【例1.61】 设()()00,0f f '=存在,求()limx f x x→. 解 因为()()00,0f f '=存在,所以()0limx f x x →()()()00lim 0x f x f f x→-'== *【例1.62】 求lim x→+∞解 令()f t =,显然当0x >时,()f t 在[,1]x x +上满足拉格朗日中值定理,所以有,()()()()f b f a f b a ξ'-=⋅-.所以,原式=cos ξ 其中1x x ξ≤≤+故lim lim cos 0x ξξ→+∞→+∞==4.函数的连续性（1）函数的连续性与间断点的讨论【例1.63】 设()2,0sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续,求常数a b 与的关系.解 ()00sin sin lim lim lim x x x bx bx f x b b x bx+++→→→==⋅= ()()200lim lim x x f x a bx a --→→=+=. 因为函数在点0x =连续,所以()0lim x f x +→b =()0lim x f x a -→==,故a b =. *【例1.64】 设()2122lim 1n n n x ax bxf x x +→∞++=+,当,a b 取何值时,()f x 在(),-∞+∞处连续.解 ()2,1,11,121,12a bx x x x ab f x x a b x ⎧+ <⎪>⎪⎪--=⎨=-⎪⎪++⎪=⎩,由于()f x 在()()(),1,1,1,1-∞--+∞上为初等函数,所以是连续的,只要选取适当的,a b ,使()f x 在1x =±处连续即可. 即11lim ()lim ()(1)x x f x f x f -+→→==; ()()()11lim lim 1x x f x f x f -+→-→-==-. 得 1011a b a a b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩. 【例1.65】 研究函数(),111,11x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩或的连续性,并画出函数的图形.解 ()f x 在(),1-∞-与()1,-+∞内连续, 在1x =-处间断,但右连续,因为在1x =-处,()()11lim lim 11x x f x x f ++→-→-==-=-,但()11lim lim 11x x f x --→-→-==，即()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.【例1.66】 指出函数22132x y x x -=-+的间断点,说明这些间断点的类型.解 ()22132x f x x x -=-+在1x =、2x =点没有定义，故1x =、2x =是函数的间断点.因为 ()()()()2211111lim lim3212x x x x x x x x x →→-+-=-+--11lim 22x x x →+==--,所以1x =为第一类可去间断点.因为2lim x y →=∞,所以2x =为第二类无穷间断点.【例1.67】 讨论函数()221lim 1nnn x f x x →∞-=+的连续性,若有间断点,判别其类型.解 ()22 11lim0 1 1 1nnn x x x f x x x x x →∞⎧->⎪-===⎨+⎪<⎩, ()11lim lim 1x x f x x ++→→=-=-,()11lim lim 1x x f x x --→→==,()()11lim lim x x f x f x +-→→≠; ()11lim lim 1x x f x x ++→-→-==-,()11lim lim 1x x f x x --→-→-=-=,()()11lim lim x x f x f x +-→-→-≠.故 1x =±为第一类跳跃间断点.（2）闭区间上连续函数的性质【例1.68】 证明方程3910x x --=恰有三个实根. 证明 令()391f x x x =--，则()f x 在[]3,4-上连续，且()()310,290,f f -=-<-=> ()()010,4270f f =-<=>所以()f x 在()()()3,2,2,0,0,4---各区间内至少有一个零点,即方程3910x x --=至少有三个实根. 又它是一元三次方程,最多有三个实根.证毕【例1.69】 若n 为奇数,证明方程110n n n x a x a -+++=至少有一个实根.证 令()11n n n f x x a x a -=+++，则()1(1)nnn a a f x x xx=+++， 于是 lim (),lim ()x x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，故存在1,x 使()10f x A =>；存在2,x 使()20f x B =<.所以()f x 在[]12,x x 至少有一个零点,即方程至少有一个实根.【例1.70】 设()f x 在[],a b 上连续,且()(),f a a f b b <>,试证:在(),a b 内至少有一点ξ,使得()fξξ=.证 令()()F x f x x =-,()F x 在[],a b 连续,且()0,()0,F a F b <>由介值定理得在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()0F ξ=,即()fξξ=.【例1.71】 设()f x 在[]0,2a ()0a >上连续,且()()02f f a =,求证存在()0,a ξ∈,使()()ff a ξξ=+.证 构造辅助函数()()()g x f x a f x =+-,则()()()00g fa f =-,()()()2g a f a f a =-()()0f a f =--⎡⎤⎣⎦()0g =-,即()0g 与()g a 符号相反,由零点存在定理知存在()0,a ξ∈,使()0g ξ=,即()()ff a ξξ=+.【例1.72】 设()f x 在[],a b 上连续,且a c d b <<<,证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()pf c qf d p q f ξ+=+，其中,p q 为任意正常数.证()f x 在[],a b 上连续,∴ ()f x 在[],a b 上有最大值M 和最小值m ，则()m f x M ≤≤.由于,[,]c d a b ∈，且,0p q >，于是有(),()pm pf c pM qm qf d qM ≤≤≤≤.⇒ ()()()()p q m pf c qf d p q M +≤+≤+， ⇒()()pf c qf d m M p q+≤≤+.由介值定理，在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()()pf c qf d f p qξ+=+，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+ 5．综合杂例【例1.73】 已知lim 2003,(1)ab bn n n n →∞=--求常数,a b 的值.解 lim lim lim 11(1)[1(1)](1)1aaa bbb n n n b b b n n n n n n n n-→∞→∞→∞-==------ 1lim lim 1a b a b n n n n bb n--+→∞→∞-==- 为使极限为2003，故10,a b -+=且12003,b =所以12002,.20032003b a ==- 【例1.74】 已知221lim2,sin(1)x x ax bx →++=-求常数,a b 的值. 解 由221lim 2,sin(1)x x ax bx →++=-则分子的极限必为0，即21lim()0x x ax b →++=， 从而 10a b ++=；另一方面，当1x →时，22sin(1)1x x --，因此2222221111lim lim 10lim sin(1)11x x x x ax b x ax b x ax a a b x x x →→→+++++--=++=--- 1(1)(1)lim2(1)(1)x x x a x x →-++==-+，从而11211a ++=+，即2,a =又10a b ++=， 得 3.b =【例1.75】已知lim ())0,x ax b →+∞+=求常数,a b 的值.解lim ())lim ())0,x x bax b x a x→+∞→+∞-+=+=而lim ,x x →+∞=∞要使原式极限为0，则lim()0,x ba x→+∞-+=所以 1.a =1lim )lim )lim.2x x x b ax x →+∞→+∞=-===【例1.76】 若 30sin 6()lim 0,x x xf x x →+=求206()lim .x f x x→+ 解 因为30sin 6()lim0,x x xf x x→+=由极限存在与无穷小的关系，得 3sin 6()0,x xf x x α+=+其中0lim 0.x α→=从而 2236()6sin 6,f x xx x x α+=-+ 所以 32233300006()6sin 66sin 6(6)lim lim()lim lim 366x x x x f x x x x x x x x x xα→→→→+-=-+=== 【例1.77】 已知0()lim4,1cos x f x x →=-求10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 因为200()2()limlim 4,1cos x x f x f x x x→→==-则20()lim 2x f x x →=.从而 221()()lim()200()()lim 1lim 1x x f x f x xf x x x x x f x f x e e x x →⋅→→⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭注 此题也可用极限存在与无穷小的关系求解.【例1.78】 当0x →x 的几阶无穷小量. 解3255x-=则203limx xx→→==∴x 的23阶无穷小.三、综合测试题。
高数第一章 函数与极限
第一章函数与极限初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。
一、本章主要内容：1、数列极限的定义，函数极限的定义，函数的左右极限。
2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。
3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。
4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。
5．极限存在的两个准则与两个重要极限，（1）单调有限准则，重要极限（2）夹逼准则，重要极限6．函数的连续性概念和间断点的类型7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。
二、内容提要框图三本章重点1. 正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象．2. 建立极限概念与理解ε－N方法, 函数极限的概念与ε－δ方法3. 无穷小的概念与性质4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用5. 初等函数的连续性及其应用四本章难点1. 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的复合函数的关系式．2. ε－N, ε－δ极限定义证明法3. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别4. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机．5. 闭区间上连续函数的几条性质．第一节映射与函数学习指导1．教学目的读者应理解集合、映射的概念；理解函数概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，了解反函数概念。
2．基本练习会求函数的定义域，会求函数的反函数。
会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；熟练掌握基本初等函数的图形和性质。
会把复合函数分解成基本初等函数的组合。
3．应注意的事项本节内容大多数中学阶段已经学过，此处为了教学方便，将中学阶段的内容加以归纳，扩充，提高。
学生可根据自己的知识结构进行复习、有重点地学习，对教材上的练习题，先阅读题目，再适当选做部分练习题。
高等数学第一章.
记作A
B,即A
B
x
xA或xB.
交集(Intersection): 设A和B是两个集合,由既属
于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为集合A
和集合B的交集, 空集:如果A和B没有公共元素，则称集合A和集合B
集合的表示方法：列举法和描述法。
1.列举法：就是把所有元素都列出来，用大括号括
起来。
s 例如：如果令 表示由2、3、4三个数组成的集合，
用列举法将其写成：s ={2,3,4}
2. 描述法：用语言描述出所有元素的共有特征。
若令 I 表示所有正整数集合,列举便很困难,则我们
可以简单地描述其元素,
写成：
称A是有限集,否则称为无限集(Infinite Set). 我们用N表示全体自然数的集合，即N{1,2,3,L }， 如果存在从A到自然数集合N的双射,则称A是可数无 限集(Countable Infinite Set). 1.2 实数 用Z表示全体整数的集合， 用Q表示全体有理数的集合。
有理数和无理数统称为实数, 用R表示. 把数轴叫做实直线。 上界(Upper Bound):令X是R的一个子集。若存在一 个实数u(不一定属于X), 满足对X中的任意x都有xu, 则称u是X的上界(Upper Bound). 这时称X是有上界的(Bounded Above).类似地，可以
定义下界(Lower Bound).
上确界(Supremum): 令X是R 的一个有上界的子集，
若s是X的一个上界，且对于任意的 y s 都存在一个 xX ,使得x y，则称s是X的上确界。 记为s=sup X; 类似地，可以定义X的下确界(Infimum)。 上确界是最小上界，下确界是最大下界 若X是R的一个有上界（下界）的子集，则X有上确界
高等数学第一章的总结
例.
01
解:
02
原式
03
例. 求
04
例
解
解法讨论
典型例题
例：
例：
函数连续的等价形式
有
函数间断点
第一类间断点
跳跃间断点
第二类间断点
可去间断点
无穷间断点
振荡间断点
三、连续与间断
小结：
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
3.间断点的分类与判别;
2.区间上的连续函数;
第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）.
例. 证明
例：
01
求极限
02
解：
03
原式
04
求极限
05
提示：
06
原式
07
左边
08
= 右边
09
故极限存在，
设
, 且
求
则由递推公式有
解：
设
∴数列单调递减有下界，
故
利用极限存在准则
例：
思考与练习
, 求 时, 设 不对! 此处
1.如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
2.已知
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 下述作法是否正确? 说明理由. 由递推式两边取极限得
右极限存在,
不存在.
补充结论：
D
C
A
B
思考题解答
小结:
例
商的法则不能用
解
由无穷小与无穷大的关系,得
解
例
(消去零因子法)
例
解
(无穷小因子分出法)
结论:
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
大学高数第一章函数和极限
x1
x1
x1
x1
3lim x2 2 lim x 1
x1
x1
312 2 11 2
可见，上例求极限，可以直接用定理 1.1 中的(1).
只须将 x x0 之 x0 代入函数中的 x 处运算即可。
例 求 limx(x 2) x2 x2 1
解：lx im 2 x(xx2 12)
limx(x2) xl i2m (x2 1)
必经过点(0,1)
f(x)log2 x
f (x)log0.5 x
正弦、余弦函数基本性质
解析式: ysinx/cosx
基本特征:定义域为实数集R，值域为[-1,1]，最小正
周期T为 2
正切、余切函数基本性质
解析式: ytanx/cotx
基本性质:正切函数定义域为 {x|x2k,,余kZ}
医用高等数学
第1章 函数和极限
1.1 函数 1.1.1函数的概念
定义 1.1 设 X ,Y 是非空数集，对于集合 X 中的任意一个数 x ， 在集合 Y 中均有确定值 y 与其对应，则称 y 是 x 的函数，记为：
y f (x) ，其中 x 称为自变量， y 称为因变量，
其中，集合 X 称为定义域，集合 Y 称为值域。
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是 变量 x 的函数，即： y f (u)， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
例 讨论函数 f (x) | x | 当 x 0 时的极限. x
高等数学 第一章
数列中的每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称 为数列的一般项或通项．
（一）数列极限的概念
定义 2 对于数列 {xn} ，当 n 无限增大时，如果数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数
值
a，则称常数
a
是数列 {xn} 的极限，或称数列 {xn} 收敛，其收敛于
（二）指数函数
y ax (a 0 ，a 1) 为指数函数，它的定义域为 ( ， ) ，值域为 (0 ， ) ．当 a 1 时，y ax 单调增加；当 0 a 1 时， y ax 单调减少．指数函数的图形都经过点 (0 ，1) ，且均在 x 轴上方。
（三）对数函数
y loga x (a 0 ，a 1) 为对数函数，它是指数函数 y ax 的反函数，其定义域为 (0 ， ) ，值 域为 ( ， ) ．当 a 1 时， y loga x 单调增加；当 0 a 1 时， y loga x 单调减少．对数函数 的图形都经过点 (1，0) ，且均在 y 轴的右方.
其中，D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．
（三）函数的定义
当 x 取定义域 D 内的某一定值 x0 时，按照对应法则 f ，所得的对应值 y0 称为函数 y f (x) 在
x0 处的函数值，记作
y0
y x x0
f (x0 ) ，
当 x 取遍定义域 D 中的所有数值时，按照对应法则 f ，所得的所有对应值 y 构成的集合称为函 数的值域，记作 M {y | y f (x) ，x D}．
则称函数 f (x) 在区间 I 上是单调增加的，区间 I 称为单调增区间；如果对于区间 I 内的任意两 点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ，
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
高等数学第一章：函数与极限
第一章：函数与极限第一节：函数1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。
（重点在于单调性与奇偶性）单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。
)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。
奇函数如果连续则一定经过0点，值为0周期性：)()(T x f x f +=，注意，a T x f a x f ++=+)()(， 如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为aT第二节：极限1、数列极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→A x N n N A x n n n ,,0,0limM x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞→,,0,0lim性质：1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。
4) 保号性：A x n n =∞→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞→∞→≤lim lim 。
四则运算：1) b a y x n n n +=+∞→）（lim2) b a y x n n n ⋅=⋅∞→）（lim3) bay x n n n =∞→）（lim ，（b ≠0） 2、函数极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00，当性质：1) 唯一性，左极限等于右极限。
高等数学第一章
连续
桥梁
第一节 函数
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 通常用大写字母表示集合 用小写字母表示集合的元素.
没有任何元素的集合称为空集,记作
表示 M 中排除 0 与负数的集 . M
注: M 为数集
* 表示 M 中排除 0 的集 ; M
一、基本概念——集合的表示法
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y M y=f(x) o -M x 有界 X y
M
o
-M
x0
X
无界
x
注：有界性和定义区间有关．
二、函数——性质 2．函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D, x1 , x2 I , 当 x1 x2
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 单调增函数 ; 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 单调减函数 .
二、函数——举例
例 A，B两地间的汽车运输，旅客携带行李按下列标准支付 运费：不超过10公斤的不收行李费；超过10公斤而不超过30 公斤的，每公斤收运费0.50元；超过30公斤而不不超过100 公斤的，每公斤收运费0.80元。试列出运输行李的运费y与行 李的重量x之间的函数关系式，写出其定义域，并求出所带行 李分别为18公斤和60公斤的甲、乙两旅客各应支付多少运费？
)2 解: f ( 1 2
1 2
2
1 1 , 0 t 1 t 1 f (t ) 2 t 1 , t 定义域 D [0 , )
值 域 f ( D ) [0 , )
高等数学-第一章-第一节-映射与函数
若函数
为单射, 则存在逆映射
称此映射 为 f 的反函数 .
习惯上,
的反函数记成
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) 其反函数
且也单调递增 (减) .
2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
例如 , 指数函数 对数函数
它们都单调递增, 其图形关于直线
互为反函数 , 对称 .
(2) 复合函数 — 复合映射的特例
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有
(满射)
说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用 名称. 例如,
X (≠ )
Y (数集) f 称为X 上的泛函
X (≠ )
X
f 称为X 上的变换
X (数集 或点集 )
R
f 称为定义在 X 上的为函数
当x= 0 当x< 0
例5. 求
解: 当 则
当 则
当 则
反函数
时, 时, 时,
的反函数及其定义域. 定义域为
课后小结
1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素
定义域 对应规律
3. 函数的特性
有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构
课后习题
1. 设
且
a, b, c 为常数, 且
2. 逆映射与复合映射 (1) 逆映射的定义 定义: 若映射
使
为单射, 则存在一新映射 其中
称此映射 为 f 的逆映射 . 习惯上 ,
的逆映射记成
例如, 映射
其逆映射为
(2) 复合映射 引例.
《高等数学(上册)》 第一章
作U (a ， ) ，即
o
U (a ， ) {x | 0 | x a | } ． 点 a 将整个邻域分为两部分，左边的称为左邻域，用区间 (a ，a) 表示，右边的称为 右邻域，用区间 (a ，a ) 表示．
1.1.2 函数的概念
在研究各种实际问题时，经常会遇到两种不同类型的量：一种 在所研究问题的过程中可取不同的数值；另一种在所研究问题的过 程中保持不变，只取一个固定值．前者为变量，后者为常量．在同 一个过程中，往往有几个变量同时变化，但是它们的变化不是孤立 的，而是按照一定的规律互相联系着．变量之间互相依赖的关系， 就是下面我们要介绍的函数关系．
1.1.3 函数的几种特性
2．单调性 一般地，设函数 y f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义，如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内单调增加；如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内 单调减少． 单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数，若函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是单 调函数，则称 (a ，b) 是该函数的单调区间．
一般地，设 y 是 u 的函数 y f (u) ，u 是 x 的函数 u (x) ．如果 u (x) 的值
域或其部分包含在 y f (u) 的定义域中，则 y 通过 u 构成 x 的函数，称为 x 的复合
函数，记作 y f [ (x)] ．其中，x 是自变量，u 称为中间变量．
1.1.4 反函数与复合函数
y f 1(x) 在各自的定义域内具有相同的单调性，在同一直角 坐标系中，它们的图像关于直线 y x 对称，如图所示．
第1章 函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质
提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解 本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1
2e
2
.
高等数学 第1章 函数极限与连续 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学 第1章 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o
x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.
《高等数学》第一章函数与极限第一节 函数
4 x 5,
4
5
6
x
5） . 因此，函数的定义域为 D [4，
14
第1 章 函数与极限
1.1 函数
3. 单值函数与多值函数
若自变量在定义域内任取一个数值时，对应的 函数值总是只有一个，这种函数称为单值函数，否 则称为多值函数．
例如，x y a ．
2 2 2
y a x
( 0,1)
当 0<a<1 时，函数单调减少
28
第1 章 函数与极限
1.1 函数
3. 对数函数
y loga x (a 0, a 1)
y log a x
对数函数是指数函数 y = ax 的反函数 定义域为(0, +) 图形通过(1, 0)点 当 a>1 时, 函数单调增加 当 0<a<1 时, 函数单调减少
则称 f ( x ) 在I 上有上界, M 为 f ( x ) 的一个上界.
若I D, 数m, x I , 总有 f ( x) m 成立,
则称 f ( x) 在I 上有下界, m为 f ( x ) 的一个下界.
如果 f ( x ) 在 I 上既有上界, 又有下界, 则称函数 f ( x ) 在 I 上有界.
32
第1 章 函数与极限
1.1 函数
5. 反三角函数
y
反正弦函数
y arcsin x
-1
p
2
定义域为[-1, 1]
p p 值域为 , 2 2
O
1 x
p
2
函数单调增加，奇函数，是有界函数
33
第1 章 函数与极限
1.1 函数
高等数学第一章第二章总结
高等数学第一章第二章总结1 第一章：绪论第一章是高等数学的绪论，其中介绍了数学的定义、作用、历史及其发展等。
在第一章中，数学是定量和定性研究物质及其结构、关系及运动规律的科学。
它由实数、整数、有理数、分数和平面几何等基本概念组成，用各种计算、逻辑推理及分析等方法来描述客观的现象或思想的抽象模型，从而得出准确的结果。
另外，数学涉及到它在科学、技术、社会、文化等方面的应用，它是社会发展的基础。
数学发展史从古代有算术、代数、几何等学科，逐渐发展至近代以及现代，学科不断壮大，研究的领域越来越广泛，涉及到人类生活的方方面。
2 第二章：初等数学第二章主要介绍初等数学，包括数论、向量运算、数列和统计等。
数论是计算数值的研究，它涉及到质数分解、最大公约数、最小公倍数、随机数等概念，数论在正文、加密等方面有广泛的应用。
向量运算是向量和向量、向量和物体之间的运算关系，它包括线性组合、内积、外积等，向量运算在物理、声学、飞行、机器人等领域有着重要的用途。
数列是按数次递增或递减的数值序列，它包括等差数列和等比数列，比如阶乘及斐波那契数列，它们能够描述物理几何尺寸及次序关系，有着极为广泛的应用。
最后，统计是从测量、计数、比较等不同数据中抽象出的概念，它包括平均数、标准差、概率分布等，是综合应用概率论、数理逻辑及数学知识。
统计学主要用来分析和预测人们的意见、举措等，对于改进社会的规划、预防未来的决策都有着重要意义。
综上所述，第一章绪论介绍了数学的定义、作用、历史及其发展，第二章介绍了初等数学，包括数论、向量运算、数列和统计等，它们都是数学学科中非常重要的知识。
高等数学第一章函数与极限
两个函数 f 与 g 构成复合函数的关键在于内函
数的值域要包含在外函数的定义域中。
例2 分析下列复合函数的结构：
⑴ y = cot x
2
解 ⑴ y= u, ⑵ y = eu ,
; u cot v ,
u sin v ,
单调递增或单调递减函数统称为单调函数。
（3）有界性 设函数 y = f ( x ) 定义在区间 (a，b) 上，若存在
一个常 数 k ， 使得当 x ∈ (a，b) 时，恒有 f (x) k
( f (x) k) 成立，则称f ( x )在 (a，b)有上界（下界）。
若 f ( x )在 (a，b)既有上界又有下界， 则称f (x )在 (a，b)上有界。 如果函数 f ( x ) 在其定义域内有界，则称f ( x ) 为有界函数。
指数函数
y ax (a ＞0,a ≠1,a 为常数)
对数函数 三角函数 反三角函数
y =loga x (a ＞0,a ≠1,a 为常数)
y = sin x , y =cos x , y =tan x , y =cot x y =secx, y =csc x
y = arcsin x , y arccotx
y arccos x ,
y arctan x
这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、 图形必须熟悉．
1.2.2 复合函数
设 y f (u),其中 u (x) ,且 (x) 的值全部或部分落
在 f (u)的定义域内，则称 y f (x)为 x 的复合函数，而 u
1 x0
y
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• 预备知识 • 区间 • 区间是高等数学中常用的实数集,包括四种有限区间和五种无穷区间. • 1. 有限区间 设a,b为两个实数,且a<b,则满足不等式a≤x≤b的所有实数x的集
合称为一个闭区间,记作 • [a,b]={x|a≤x≤b}
• 类似地,有开区间和半开区间 • (a,b)={x|a<x<b} • [a,b)={x|a≤x<b} • (a,b]={x|a<x≤b}
• 2. 无穷区间 满足不等式-∞<x<+∞的所有实数x的集合称为无穷区间,记作 • (-∞,+∞)={x|-∞<x<+∞}
• 类似地,有半无穷区间 • (a,+∞)={x|a<x<+∞} • [a,+∞)={x|a≤x<+∞} • (-∞,b)={x|-∞<x<b} • (-∞,b]={x|-∞<x≤b}
• 邻域 • 设δ>0,x0为实数,则集合{x| |x-x0|<δ}称为x0的δ邻域.由|x-x0|<δ即x0-δ<x<x0+δ
可知,x0的δ邻域是以x0为中心,长度为2δ的开区间(x0-δ,x0+δ).
刚起步的学生需要知道比事实和技巧更多的东西:吸收一种数学 的世界观,一组判断问题是否有意思的准则,一种向别人传递数学 知识、数学热情和数学味道的方法.
格列夫斯
本章将在复习和加深函数有关知识的基础上着重讨论函数的极限,并介 绍函数的连续性.
函数
• 函数是一种反映变量之间相依关系的数学模型.
• 在自然现象或社会现象中,往往同时存在几个不断变化的量,这些变量 不是孤立的,而是相互联系并遵循一定的规律.函数就是描述这种联系 的一个法则.比如,一个运动着的物体,它的速度和位移都是随时间变 化而变化的,它们之间的关系就是一种函数关系.
图1-8
图1-9
• 1.1.4 反函数
• 定义2 给定函数y=f(x)，如果把y作为自变量，x作为因变量，则由 关系式y=f(x)所确定的函数x=φ(y)称为函数y=f(x)的反函数，而y=f(x) 称为直接函数。习惯上总是用x表示自变量，y表示因变量，因此 y=f(x)的反函数x=φ(y)通常也写成y=φ(x)。函数y=φ(x)与函数y=f(x)的 图像关于直线y=x对称。
• 需要注意的是:分段函数在整个定义域上是一个函数,而不是几个函数.
图1-5
• 1.1.3 函数的几种特性 • 1.函数的奇偶性 • 设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称，且对任意x∈D均有f(-x)=f(x)，
则称函数f(x)为偶函数；若对任意x∈D均有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x) 为奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，如图1-6a所示；奇函数的图 像关于原点对称，如图1-6b所示。
图 1-6
• 2.函数的单调性 • 若 函 数 y=f(x) 区 间 (a ， b) 内 的 任 意 两 点 x1 ， x2 ， 当 x2>x1 时 ， 有
f(x2)>f(x1)，则称此函数在区间(a，b)内单调增加；若有f(x2)<f(x1)，则 称此函数在区间(a，b)内单调减少。单调增加的函数与单调减少的函 数统称为单调函数。 • 单调增加函数的图像是沿x轴正向逐渐上升的，如图1-7a所示；单调 减少函数的图像是沿x轴正向逐渐下降的，如图1-7b所示。
图 1-2
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• 将自变量和因变量之间的关系用数学式子来表示的方法,称为公式法. 这些数学式子也称为解析表达式.函数的解析表达式分三种,由此函数 也可分为显函数、隐函数和分段函数.
• (1) 显函数 函数y由x的解析式直接表示出来.例如,y=x2-1.
• (2) 隐函数 函数的自变量x和因变量y的对应关系是由方程F(x,y)=0来 确定.例如,y-sin(x+y)=0.
• (3) 分段函数 函数在其定义域的不同范围内,具有不同的解析表达式.
• 例如,函数 • 其图像如图1-3所示.
再如,符号函数 其图像如图1-4所示.
图1-3
图1-4
• 有些分段函数也用一些特殊的符号来表示.例如,整函数y=[x],其中[x]表示 不大于x的最大整数,如[3.14]=3;[-0.2]=-1.整函数的部分图像如图1-5所示.
图1-10
• 1.1.5 基本初等函数 • 常数函数 y=C(C是任意实数) • 幂函数 y=xα(α是任意实数) • 指数函数 y=ax(a>0，a≠1，a为常数) • 对数函数 y=logax(a>0，a≠1，a为常数) • 三角函数 y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx • 反三角函数 y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx • 以上六种函数统称为基本初等函数。
图1-7
• 3.函数的有界性
• 设D是函数y=f(x)的定义域，若存在一个正数M，使得对一切x∈D，都有 |f(x)|≤M，则称函数f(x)是有界函数，否则称函数f(x)为无界函数。
• 4.函数的周期性
• 对于函数y=f(x)，若存在常数T>0，使得对一切x∈D，皆有f(x)=f(x+T)成立， 则称函数f(x)为周期函数。大家熟悉的三角函数就是周期函数。其实，在实 际应用中会遇到许多周期函数，如电学中的矩形波(见图1-8)、锯齿波(见图 1-9)等。
图 1-1
• 1.1.2 函数的表示法
• 常用的函数表示法有三种:
• 1.表格法
• 将自变量的值与对应的函数值列成表的方法,称为表格法.例如,平方 表、三角函数表等都是用表格法表示的函数关系.
• 2.图像法 • 在坐标系中用图形来表示函数关系的方法,称为图像法.例如,气象台
用自动记录仪把一天的气温变化情况自动描绘在记录纸上,如图1-2所 示.根据这条曲线,就能知道一天内任何时刻的气温了。
• 为了便于理解,可以把函数想象成一个数字处理 装置.当输入(定义域的)一个值x,则有(值域的)唯 一确定的值f(x)输出,如图1-1所示。
• 函数的定义域、对应关系称为函数的两个要素.
• 关于函数的定义域,在实际问题中应根据实际意 义具体确定.如果讨论的是纯数学问题,则往往取 使函数的表达式有意义的一切实数所组成的集 合作为该函数的定义域.
• 1.1.1 函数的定义
• 定义1 设x,y是两个变量,D是给定的一个数集,若对于D中的每一个x 值,根据某一法则f,变量y都有唯一确定的值与它对应,那么,我们就说变 量y是变量x的函数.记作
• y=f(x),x∈D
• 式中x称为自变量,y称为因变量.自变量x的变化范围D称为函数y=f(x) 的定义域,因变量y的变化范围称为函数y=f(x)的值域.