【数学】2012新题分类汇编：函数与导数(高考真题+模拟新题)

函数与导数(高考真题+模拟新题)

课标文数13.B1[2011·安徽卷] 函数y ＝

1

6－x －x

2

的定义域是________．

课标文数13.B1[2011·安徽卷] 【答案】 (－3,2)

【解析】 由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2

＋x －6<0，故－3

课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 设V 是全体平面向量构成的集合，若映射f ：V →R 满足：

对任意向量a ＝(x 1，y 1)∈V ，b ＝(x 2，y 2)∈V ，以及任意λ∈R ，均有f (λa ＋(1－λ)b )＝λf (a )＋(1－λ)f (b )．

则称映射f 具有性质P . 现给出如下映射：

①f 1：V →R ，f 1(m )＝x －y ，m ＝(x ，y )∈V ； ②f 2：V →R ，f 2(m )＝x 2＋y ，m ＝(x ，y )∈V ； ③f 3：V →R ，f 3(m )＝x ＋y ＋1，m ＝(x ，y )∈V .

其中，具有性质P 的映射的序号为________．(写出所有具有性质P 的映射的序号) 课标理数15.B1，M1[2011·福建卷] 【答案】 ①③ 【解析】 设a ＝(x 1，y 1)∈V ，b ＝(x 2，y 2)∈V ，则

λa ＋(1－λ)b ＝λ(x 1，y 1)＋(1－λ)(x 2，y 2)＝(λx 1＋(1－λ)x 2，λy 1＋(1－λ)y 2)， ①f 1(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2－[λy 1＋(1－λ)y 2] ＝λ(x 1－y 1)＋(1－λ)(x 2－y 2)＝λf 1(a )＋(1－λ)f 1(b )， ∴映射f 1具有性质P ；

②f 2(λa ＋(1－λ)b )＝[λx 1＋(1－λ)x 2]2＋[λy 1＋(1－λ)y 2]，

λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )＝λ(x 21 ＋y 1 ) ＋ (1－λ)(x 2

2 ＋ y 2 )， ∴f 2(λa ＋(1－λ)b )≠λf 2(a )＋(1－λ)f 2(b )， ∴ 映射f 2不具有性质P ；

③f 3(λa ＋(1－λ)b )＝λx 1＋(1－λ)x 2＋(λy 1＋(1－λ)y 2)＋1

＝λ(x 1＋y 1＋1)＋(1－λ)(x 2＋y 2＋1)＝λf 3(a )＋(1－λ)f 3(b )， ∴ 映射f 3具有性质P .

故具有性质P 的映射的序号为①③.

课标文数8.B1[2011·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ，x >0，

x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的

值等于( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3 课标文数8.B1[2011·福建卷] A 【解析】 由已知，得f (1)＝2； 又当x >0时，f (x )＝2x >1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，

∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.

课标文数4.B1[2011·广东卷] 函数f (x )＝1

1－x

＋lg(1＋x )的定义域是( )

A ．(－∞，－1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－1,1)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，＋∞)

课标文数4.B1[2011·广东卷] C 【解析】 要使函数有意义，必须满足⎩

⎪⎨⎪⎧

1－x ≠0，

1＋x >0，所以

所求定义域为{x |x >－1且x ≠1}，故选C.

课标文数16.B1[2011·湖南卷] 给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .

(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________________； (2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________． 课标文数16.B1[2011·湖南卷] (1)a (a 为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f 是正整数到正整数的映射，因为k ＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f 在n ＝1处的函数值为任意的a (a 为正整数)；

(2)因为2≤f (n )≤3，所以根据映射的概念可得到：1,2,3,4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2,3,4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f 的个数等于16.

课标文数11.B1[2011·陕西卷] 设f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

lg x ，x ＞0，

10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________.

课标文数11.B1[2011·陕西卷] －2 【解析】 因为f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

lg x ，x >0，

10x ，x ≤0，－2<0，f (－2)＝

10

－2,10－2>0，f (10－2)＝lg10－2

＝－2.

大纲文数16.B1[2011·四川卷] 函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：

①函数f (x )＝x 2

(x ∈R )是单函数；

②指数函数f (x )＝2x

(x ∈R )是单函数；

③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) 大纲文数16.B1[2011·四川卷] ②③④ 【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2,2∈A ，f (－2)＝f (2)，则①错误；对于②，当2x 1＝2x 2时，总有x 1＝x 2，故为单函数；对于③根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对于④，函数f (x )在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以④正确．

课标理数1.B1[2011·浙江卷] 设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

－x ，x ≤0，

x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝( )

A ．－4或－2

B ．－4或2

C ．－2或4

D ．－2或2 课标理数1.B1[2011·浙江卷] B 【解析】 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4；

当α＞0，f (α)＝α2

＝4，α＝2.

课标文数11.B1[2011·浙江卷] 设函数f (x )＝4

1－x

，若f (α)＝2，则实数α＝________.

课标文数11.B1[2011·浙江卷] －1 【解析】 ∵f (α)＝4

1－α

＝2，∴α＝－1.

大纲理数2.B2[2011·全国卷] 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( )

A ．y ＝x 24(x ∈R )

B ．y ＝x 2

4(x ≥0)

C ．y ＝4x 2(x ∈R )

D ．y ＝4x 2

(x ≥0)

大纲理数2.B2[2011·全国卷] B 【解析】 由y ＝2x 得x ＝y

24

，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数

的反函数为y ＝x

24

x ≥0)．故选B.