上海市普陀区2021届高三一模数学试卷 含官方标答
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3
（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；
（2）求异面直线 AB 和 CD 所成角的大小（结果用
反三角函数值表示）.
3
（第 19 题图）
20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
已知无穷数列{an } 的首项为 a1 ，其前 n 项和为 Sn ，且 an+1 − an = d （ n N* ），其中 d 为 常数且 d 0 .
上海市普陀区 2020-2021 学年高三第一学期质量调研
数学
2020.12
考生注意:
1.本场考试时间 120 分钟.试卷 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.
2.作 答 前 ， 在 答 题 纸 正 面 填 写 姓 名 、 准 考 证 号 ， 反 面 填 写 姓 名 ， 将 核 对 后 的 条 形 码 贴
13.曲线 y 2 = 8x 的准线方程是（ ）.
(A) x = 4
(B) x = 2
(C) x = −2
(D) x = −4
x3 14
14.设 x 、 y 均为实数，且
−
= 7 ，则在以下各项中 (x, y) 的可能取值只能是（ ）.
62 5y
(A) (2,1)
(B) (2,−1)
(C) (−1,2)
（1）设 a1
(D)
16.设 b 、 c 均为实数，关于 x 的方程 x2 + b | x | +c = 0 在复数集 C 上给出下列两个结论：
①存在 b 、 c ，使得该方程仅有两个共轭虚根； ②存在 b 、 c ，使得该方程最多有 6 个互不相等的根.
其中正确的是（ ）.
(A) ①与②均正确
(B) ①正确，② 不正确
1. 若集合 A = {x | 0 x 1}， B = {x | (x −1)(x − 2) 0, x R}，则 A B =
.
2. 函数 y = x 2 （ x 0 ）的反函数为
.
3. 若 且 cos = − 1 ，则 tan =
.
2
3
4.
1 设无穷等比数列{an } 的各项和为 2 ，若该数列的公比为 2
若从此袋中任意取出 4 个球，则三种颜色的球均取到的概率为
.
9. 设 f (x) = 1 − lg x ，则不等式 f ( 1 − 1) 1 的解集为
.
x
x
10. 某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14 、10 、 6 （单位： m ），
且该区域的租金为每天 4 元/ m2 .若租用上述区域 5 天，
经过 F2 且与 的两条渐近线中
的一条平பைடு நூலகம்，与另一条相交且交点在第一象限.
（1）设 P 为 右支上的任意一点，求| PF1 |的最小值；
（2）设O 为坐标原点，求O 到 l 的距离，并求 l 与 的交点坐标.
19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分） 某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用. 如图，一顾客自
在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上或试卷题号对应的区域，不得错位 .在试卷上
作答一律不得分.
4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 .
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
（1）设 a = 3 ，求函数 y = f (x) 的单调递增区间及频率 f ； （2）若函数 y = f (x) 为偶函数，求此函数的值域.
18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
双曲线 ：
x2 16
−
y2 9
= 1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，直线 l
，则 a3
=
.
5. 在 x − 1 8 的二项展开式中 x4 项的系数为
.
x
6. 若正方体的棱长为1 ，则该正方体的外接球的体积为
.
7. 若圆 C 以椭圆 x 2 + y 2 = 1的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆 C 的方程为
.
16 12
8. 一个袋中装有同样大小、质量的10 个球，其中 2 个红色、3 个蓝色、5 个黑色.经过充分混合后，
一楼点 A 处乘Ⅰ到达二楼的点 B 处后，沿着二楼面上的圆弧 BM 逆时针步行至点 C 处，且 C 为弧 BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点 D 处.设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O 、 O1 、 O2 ，半 径为 8 米，相邻楼层的间距 AM = 4 米，两部电梯与楼面所成角的大小均为 arcsin 1 .
（第 10 题图） 1
则仅场地的租用费约需
元.（结果保留整数）
11.如图所示，在直角梯形 ABCD 中，已知 AD // BC ，ABC = ，AB = AD = 1，BC = 2 ，M 2
为 BD 的中点.设 P 、Q 分别为线段 AB 、CD 上的动点，若 P 、M 、 Q 三点共线，则 AQ CP
(D) (−1,−2)
15. 如图，在正四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中，底面边长 AB = 2 ，高 A1A = 4 ， E 为棱 A1A 的中
点.设 BAD = 、 BED = 、 B1ED = ，则 、 、 之间的关系正确的是（ ）.
(A) =
(B)
(C)
D1 A1
C1 B1
E
D
C
A
B
（第 15 题图）
(C) ①不正确，②正确
(D) ①与②均不正确
2
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤. 17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
设 a 为常数，函数 f (x) = a sin 2x + cos(2 − 2x) + 1（ x R ）
的最大值为
.
12.设 b 、 c 均为实数，若函数 f (x) = x + b + c 在区间 x
[1,+) 上有零点，则 b2 + c2 的取值范围是
.
A
D
P
M
Q
B
（第 11 题图）
C
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答 题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；
（2）求异面直线 AB 和 CD 所成角的大小（结果用
反三角函数值表示）.
3
（第 19 题图）
20.（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）
已知无穷数列{an } 的首项为 a1 ，其前 n 项和为 Sn ，且 an+1 − an = d （ n N* ），其中 d 为 常数且 d 0 .
上海市普陀区 2020-2021 学年高三第一学期质量调研
数学
2020.12
考生注意:
1.本场考试时间 120 分钟.试卷 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.
2.作 答 前 ， 在 答 题 纸 正 面 填 写 姓 名 、 准 考 证 号 ， 反 面 填 写 姓 名 ， 将 核 对 后 的 条 形 码 贴
13.曲线 y 2 = 8x 的准线方程是（ ）.
(A) x = 4
(B) x = 2
(C) x = −2
(D) x = −4
x3 14
14.设 x 、 y 均为实数，且
−
= 7 ，则在以下各项中 (x, y) 的可能取值只能是（ ）.
62 5y
(A) (2,1)
(B) (2,−1)
(C) (−1,2)
（1）设 a1
(D)
16.设 b 、 c 均为实数，关于 x 的方程 x2 + b | x | +c = 0 在复数集 C 上给出下列两个结论：
①存在 b 、 c ，使得该方程仅有两个共轭虚根； ②存在 b 、 c ，使得该方程最多有 6 个互不相等的根.
其中正确的是（ ）.
(A) ①与②均正确
(B) ①正确，② 不正确
1. 若集合 A = {x | 0 x 1}， B = {x | (x −1)(x − 2) 0, x R}，则 A B =
.
2. 函数 y = x 2 （ x 0 ）的反函数为
.
3. 若 且 cos = − 1 ，则 tan =
.
2
3
4.
1 设无穷等比数列{an } 的各项和为 2 ，若该数列的公比为 2
若从此袋中任意取出 4 个球，则三种颜色的球均取到的概率为
.
9. 设 f (x) = 1 − lg x ，则不等式 f ( 1 − 1) 1 的解集为
.
x
x
10. 某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14 、10 、 6 （单位： m ），
且该区域的租金为每天 4 元/ m2 .若租用上述区域 5 天，
经过 F2 且与 的两条渐近线中
的一条平பைடு நூலகம்，与另一条相交且交点在第一象限.
（1）设 P 为 右支上的任意一点，求| PF1 |的最小值；
（2）设O 为坐标原点，求O 到 l 的距离，并求 l 与 的交点坐标.
19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分） 某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用. 如图，一顾客自
在答题纸指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上或试卷题号对应的区域，不得错位 .在试卷上
作答一律不得分.
4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题 .
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1—6 题每题 4 分，第 7—12 题每题 5 分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
（1）设 a = 3 ，求函数 y = f (x) 的单调递增区间及频率 f ； （2）若函数 y = f (x) 为偶函数，求此函数的值域.
18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
双曲线 ：
x2 16
−
y2 9
= 1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，直线 l
，则 a3
=
.
5. 在 x − 1 8 的二项展开式中 x4 项的系数为
.
x
6. 若正方体的棱长为1 ，则该正方体的外接球的体积为
.
7. 若圆 C 以椭圆 x 2 + y 2 = 1的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆 C 的方程为
.
16 12
8. 一个袋中装有同样大小、质量的10 个球，其中 2 个红色、3 个蓝色、5 个黑色.经过充分混合后，
一楼点 A 处乘Ⅰ到达二楼的点 B 处后，沿着二楼面上的圆弧 BM 逆时针步行至点 C 处，且 C 为弧 BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点 D 处.设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为O 、 O1 、 O2 ，半 径为 8 米，相邻楼层的间距 AM = 4 米，两部电梯与楼面所成角的大小均为 arcsin 1 .
（第 10 题图） 1
则仅场地的租用费约需
元.（结果保留整数）
11.如图所示，在直角梯形 ABCD 中，已知 AD // BC ，ABC = ，AB = AD = 1，BC = 2 ，M 2
为 BD 的中点.设 P 、Q 分别为线段 AB 、CD 上的动点，若 P 、M 、 Q 三点共线，则 AQ CP
(D) (−1,−2)
15. 如图，在正四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 中，底面边长 AB = 2 ，高 A1A = 4 ， E 为棱 A1A 的中
点.设 BAD = 、 BED = 、 B1ED = ，则 、 、 之间的关系正确的是（ ）.
(A) =
(B)
(C)
D1 A1
C1 B1
E
D
C
A
B
（第 15 题图）
(C) ①不正确，②正确
(D) ①与②均不正确
2
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤. 17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
设 a 为常数，函数 f (x) = a sin 2x + cos(2 − 2x) + 1（ x R ）
的最大值为
.
12.设 b 、 c 均为实数，若函数 f (x) = x + b + c 在区间 x
[1,+) 上有零点，则 b2 + c2 的取值范围是
.
A
D
P
M
Q
B
（第 11 题图）
C
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答 题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.