三角形培优解析
有同学问我：“我听课能听懂，但是不会做题，这是怎么回事？”其实这样的同学大多数问题就出在这里：(1)你只听懂了浅层次的知识，没有深入，所掌握的东西达不到应用的高度；(2)有的同学浅尝辄止，会了一点就认为都会了，比如一个例题老师讲3种方法，他听懂一种就不再听其他解法了；(3)听懂了知识，但是没记住，或没弄明白怎么应用；(4)缺乏数学思想和数学方法的指导，像方程思想、分类讨论思想等都是重要的数学思想和方法；另外，还有些同学因为信心不足，认为数学很难，没有兴趣学，这样就失去了入门的过程，因此更没法深入。
知识点透析： 一.三角形的有关概念
1.三角形的概念包涵三层含义：
（1）不在同一条直线上；（2）三条线段；（3）首尾顺次相连.
2.平时所说的三角形的角是指三角形的内角。
3.在表示三角形时，三个字母没有先后顺序，只要三个字母相同就表示同一个三角形。
二．三角形的分类
1.三角形的两种分类方法是各自独立的，但是同一个三角形可以同属于两种不同类别，例如，等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形。
2.等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形。
3.在等腰三角形中，若没有指明腰和底边或顶角和底角，则解题时要分类讨论。
三.三角形的高
1.三角形的高是一条线段，即顶点到对边的垂直线段。
2.任意三角形都有三条高。
四．三角形的中线
1.三角形的中线是一条线段，即顶点到其对边中点之间的线段。
2.三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形。
五.三角形的角平分线
1.三角形的角平分线是线段，不是直线，不是射线。
2.一个三角形有三条角平分线，他们在三角形的内部，且交于一点。
六．三角形的稳定性
三角形的稳定性说明三角形三条边的长度确定后，其形状和大小也随之确定。
七．三角形的内角和定理
1.三角形内角和定理适用于任意三角形。
2.在三角形中，已知任意两个角，可以求出第三个角。
3.已知三角形中三个内角的关系，可以求出各个内角的度数，通常利用方程的知识来解决。
4.直角三角形的两锐角互余。
八．三角形的外角
1.在三角形的每个顶点处都有两个外角，这个两个外角相等。
2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，特别注意“不相邻”。
3.三角形的一个外角大于与它不相邻的每一个内角。
九．多边形
1.多边形是由不在同一直线上的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形，多边形的边数大于等于3，有几条边就是几边形。
2.用大写字母表示多边形时，字母必须按顺/逆时针的顺序排列。
3.正多边形必须具备的两个条件：
（1）边相等（2）角相等。二者缺一不可。
A B C
D E 十．多边形的内角和，外角和
1. n 边形内角和公式：0180)2(?-n
2. n 边形外角和公式：0360
常见考点：
1.三角形三边关系的应用
（1）三角形的三边长为3，8，x ，若x 为偶数，则x 的值有 个。
2.等腰三角形中周长和三边间的关系
（2）等腰三角形的周长为10cm ，其中一边长为3cm,则另两边长分别为
3.三角形的中线与面积
（3）如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且ABC S ?= 42
cm ，则EBF S ?等于
4.三角形的三边关系与绝对值的综合运用
（4）已知a,b,c,为△ABC 的三边长，化简a b c a c b +++--。 5.以三角形为背景的规律探究 （5）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是
6.三角形的内角和
（6）如图，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点O ，∠A=50度求∠BOC 的大小。
7.外角性质的应用
（7
8.直角三角的判定 （8）如图，AB//CD ，直线EF 分别交AB,CD 于E,F ，
∠BEF, ∠BDF 的平分线交于点P ，求证：△EPF 为直角三角形。
9.三角形内角与外角平分线的综合运用
（9）如图，∠ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线交于点O ，探究∠BOC 与∠A 的关系。
A B C D E F
…… 第1个 第2个 第3个 A B
C D E F P A B O A B O
如果一个人的注意力经常不能集中,那就让他学习数学好了。因为在证明数学定理时,即使是一刹那的思想不集中,就必须重新开始。 10.多边形的边数与对角线的条数
（10）若从多边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则该多边形是 边形，其对角线共有
条。
11.多边形的内角和与外角和的应用
（11）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=
基础过关： 1. 如图，∠1=750，∠A=∠BCA,∠CBD=∠CDB,
∠DCE=∠DEC, ∠EDF=∠EFD.则∠A 的度数为
2. 图中可数出的三角形个数为 个．
3. 如图，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为
4.如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，则与和之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是
5. 如图，正方形网格中，小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图形所示，C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1个平方单位，则点C 的个数为 个。
6.点P 是△ABC 内一点，连结BP 并延长交AC 于D ，连结PC ，则图中∠1、∠2、∠A 的大小关系是
7.若三角形的三个内角比为∠A ：∠B ：∠C =1：3：5，这个三角形为 三角形．
8. 一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是_____边形。
9. P 为△ABC 中BC 边的延长线上一点，∠A ＝50°，∠B ＝70°，则∠ACP ＝_____。
10. 七边形共有 条对角线。
A B C
D E F G H T1 T2 T3 T4 A B A B D
P 1 2 T5 T6
专题训练一：三角形的内角和与外角性质中的重要问题类型一:与角平分线有关的问题
例1.如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相
交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依次类推，∠A4BC与
∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（）
A．19.2°B．8°C．6°D．3°
类型二.面积问题
例2.如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影等于（）
A．2cm2 B．1cm2 C．12cm2 D．14cm2
类型3.折叠问题
例3.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠
（折痕为DE），使点C落在△ABC内的C′处，若∠AEC′=20°，则∠BDC′
的度数是（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
类型4.实际应用
例1.一个大型模板如图，设计要求BA和CD相交成30°角，DA和CB相交
成20°角，怎样通过测量∠A、∠B、∠C、∠D的度数来检查模板是否合格．
专题针对训练：
1.如图，在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依次类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）
A．56°B．60°C．68°D．94°
2. 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠C=32°，∠D=28°，求∠P的度数．
3.如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB、如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．
试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：_________；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．（直接写出结论即可）
4.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACD的角平分线相交于点E，
（1）如果已知∠A=60°，∠ABC=50°，求∠E的大小．
（2）如果已知∠A=70°，∠ABC=60°，求∠E的大小．
（3）根据（1）和（2）的结论，试猜测一般情况下，∠E和∠A的大小关系，并说明理由．
5.（1）如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠A=40°，求∠BOC的度数；（2）如图②，△A′B′C′的外角平分线相交于点O′，∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数；
（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系若∠A=∠A′=n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？
《全等三角形》数学培优作业
A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 （考查内容：边角边） 命题人：吴全胜1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。求证：△ABE≌△ACF。 2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF． 求证：△ABE≌△CDF． 3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE 4、如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知：如图，AD∥BC，CB AD=。求证：CBA ADC? ? ?。 6、已知：如图，AD∥BC，CB AD=，CF AE=。求证：CEB AFD? ? ?。 7、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DB AC=，DF AE=，AD EA⊥，AD FD⊥，垂足分别是A、D。求证：FDC EAB? ? ?
8、已知：如图，AC AB=，AE AD=，2 1∠ = ∠。求证：ACE ABD? ? ?。 9、如图，在ABC ?中，D是AB上一点，DF交AC于点E，FE DE=，CE AE=， AB与CF有什么位置关系？说明你判断的理由。 10、已知：如图，DBA CAB∠ = ∠，BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知：如图，AC和BD相交于点O，OC OA=，OD OB=。 求证：DC∥AB。 12、已知：如图，AC和BD相交于点O，DC AB=，DB AC=。求证：C B∠ = ∠。 13、已知：如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证：(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D．求证：BD=CD． 15、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证： BE=AD D C A B E
三角形培优训练100题集锦
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
初中几何经典培优题型(三角形)
全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换 中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接 起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
解三角形培优
2021届高三培优（平面向量） 1.已知O 为△ABC 的外心，若2 AO BC BC ?=，则△ABC 为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 2.如图，在△ABC 中，2AN NC =，P 是BN 上一点，若 1 3 AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ） A. 16 B. 23 C. 1 2 D. 34 3.已知O 是△ABC 内一点，230OA OB OC ++=，2AB AC ?=-，且2 3 BAC π∠=，则 OBC ?的面积为（ ） A. 3 3 B. 3 C. 3 2 D. 3 4.已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 5.已知a ,b 是单位向量,且a ·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( ). A.√2-1 B.√2 C.√2+1 D.√2+2 6.已知向量a ，b 的夹角为4 π ，2a ||=，||2b =，c 与a b -共线，则||b c -的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 2 7.若函数2()2cos 2sin f x x x a =-++在[,]63ππ -上的最小值为12，则f (x )在[,]63 ππ -上的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 32 + D. 5 32 + 8.已知函数()sin 26f x x π?? =- ?? ? ，若方程()2 3 f x = 的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）
全等三角形证明题培优提高经典例题练习题
全等三角形证明题专练 1、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 2、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B 3、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 A E D C B A B C D E F O
4、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 5、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。 （１） 请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。 你添加的条件是：________ ___ （2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： ______________（不再添加其他线段，不再标注或使用 其他字母，不必写出证明过程） 6、已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。求证：BF ⊥AC 。 F E D C A B G H A B C D E F
7、已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。求证：△ABC ≌△A’B’C’。 8、已知：如图，AB=CD ，AD=BC ，O 是AC 中点，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F 。求证：OE=OF 。 A B C D E F O 9、已知：如图，AC ⊥OB ，BD ⊥OA ，AC 与BD 交于E 点，若OA=OB ，求证：AE=BE 。 O B A C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4
(完整word版)三角形提高题 培优卷
1 、如图，三角形ABC 内任一点P ，连接PA 、PB 、PC ， 求证：1/2（AB+BC+AC ）
8、如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠ C ＝60°，求∠DAC 及∠BOA ． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并 说明理由。 C B A P 图① （2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 图② （3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ （4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 图④ C B A P 1P 2
全等三角形专题培优[带答案]
全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） ? 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. ? 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 ? 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. ? 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. ? 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. ? 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；?②；?③；?④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 ? 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 ? 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. ? 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. ? 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） ?
word完整版培优专题3 等腰三角形含答案1推荐文档
3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系, 理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问 【知识精读】 （-）等腰三角形的性质 1.有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等; 3等腰三角形 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对 称轴的轴对称图形; 推论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 2.定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系, 由两边相等推出两 角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、 底边上的高、顶 角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等， 两个角相等以及两条直线互相垂 直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角 对 等边”。） 推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论 它是证明线段相等的重要定
题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题, 在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合， 添加辅助线时, 有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况 来定。 【分类解析】 例1.如图，已知在等边三角形 ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE =CD ，DM 丄BC ,垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 所以/ 1 = - / ABC 2 又因为CE = CD ，所以/ CDE = / E 所以/ ACB = 2/ E 即/ 1=/ E 所以BD = BE ,又DM 丄BC ,垂足为 M 分析：欲证M 是BE 的中点，已知 DM 丄BC ,所以想到连结 BD ，证BD = ED 。因为△ ABC 是等边三角形，/ DBE = - / ABC ，而由 CE = CD ，又可证/ E = - / ACB ，所以/ 1 2 2 =/ E ,从而问题得证。 证明：因为三角形 ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理） 例2.如图，已知: ABC 中，AB AC , D 是 BC 上一点，且 AD DB , DC CA , 求 BAC 的度数。 E D
北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练
北师大八年级下三角形的证明练习题培优训练 Revised by Chen Zhen in 2021
第一章 培优训练 1．在△ABC 中，∠BAC=130°，若PM 、QN 分别垂直平分AB 和AC ，那么∠PAQ= 度． 2．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 是BC 上一点，作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE+DF= ． 3．如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A 与B 重合，∠B=30°，AC=3，则折痕DE 等于 ． 4．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DE 于F ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠E=105° ∠DAC=10°则∠DFB= ． (3题图) (4题图) 5.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度 6、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一 些钢管EF 、FG 、GH …… 添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。 7．两个三角形如果具有下列条件： ①三边对应相等；②两边和其中一边上的中线对应相等；③两边和第三边上的高对应相等；④三个角对应相等；⑤两边和一个角对应相等；其中一定全等的有 ( )个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (1题图) (2题图) (5题图) E D (B) B C A
8．在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CMD=35°，则∠MAB 是多少度”大家经过了一翻热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出了正确结论，你知道他说的是( ) A ．20° B ．35° C ．55° D ．70° 9．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，三条垂线段长的和为( ) A ．23 B ．32 C ．2 D ．22 10．如图，在等边三角形ABC 的三边上有三点D 、E 、F ，且△DEF 也是等边三角形，其中BD=3，CF=1，则△ABC 的高等于( ) A ．3 B ． 23 C ．10 D ．4 11．在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，且AE ＝ 21（AB ＋AD ），求∠ABC ＋∠ADC 的度数． （11题图） 12. 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o ， （1）在图1中，AC 与BD 相等吗请说明理由（4分） （2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗为什么（8分） 13.在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与 ∠ACB 的角平分线交于点E ，与∠ACB 的外角平分线交于点F ，求证：OE=OF A B C E D A B C D E F A B C D M (10题图)
2020届高考数学专题七解三角形精准培优专练理
培优点七 解三角形 例1：ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2sin a C c A b A +=，则A 的值 为（） A ． 5π6 B ． π6 C ． 2π3 D ． π6或5π6 【答案】D 【解析】由cos cos 2sin a C c A b A +=，结合正弦定理可得sin cos sin cos 2sin sin A C C A B A +=． 即sin()2sin sin A C B A +=，故sin 2sin sin B B A =． 又sin 0B ≠，可得1sin 2A = ，故π6 A =或5π 6．故选D ． 例2：在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1bc =，2cos 0b c A +=，则当角B 取得最大值时，ABC △的周长为（） A ．2 B ．2+C ．3 D ．3 【答案】A 【解析】由已知2cos 0b c A +=，得222 202b c a b c bc +-+? =，整理得2222b a c =-． 二、余弦定理的运用 一、正弦定理的运用
由余弦定理，得222223cos 24a c b a c B ac ac +-+==≥= a =时等号成立， 此时角B 取得最大值，将a =，代入2 2 2 2b a c =-，可得b c =． 又1bc =，所以1b c == ，a =ABC △ 的周长为2+．故选A ． 例3：在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2 b a c =，且sin C B =， 则ABC △的最小内角的余弦值为（） A ． B C D ． 34 【答案】C 【解析】由sin C B =及正弦定理，得c =． 又2 b a c =，所以b = ，所以2c a =，所以A 为ABC △的最小内角． 由余弦定理，知222222cos 28b c a A bc +-=== ，故选C ． 一、选择题 1．在平面四边形ABCD 中，90D ∠=?，120BAD ∠=?，1AD =，2AC =，3AB =， 对点增分集训 三、正弦定理与余弦定理的综合
全等三角形培优经典题
全等三角形培优经典题
全等三角形培优习题 1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）直接写出线段EG与CG的数量关系； （2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？ A D E G 图1 F A D C G 图2 F A E 图3 D
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC的中点．90 AEF ∠=o，且EF交正方 形外角DCG ∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的 中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． A D F C G E 图A D F C G E 图 A D F C G E B 图
(学生版)八下第一章《三角形证明》培优提高(三)
（学生版）八下第一章《三角形证明》培优提高 （三） 八下第一章《三角形证明》培优提高（三） 3、（2012?广州）在 Rt △ AB 中, △ C=90°AC=9, BC=12,则点 C 到 AB 的距离是（ B . 12 25 B . 2 ; 7、（ 2012?贵阳）如图，在RtA AB C 中，/ ACB=90°,AB 的垂直平分线 DE 交于BC 的延长线于 F,若/ F=30 °, DE=1，则EF 的长是（ ） 一、选择题: 1、已知△ ABC 中，AB = AC, 则^ ABC 的腰和底边长分别为 AB 的垂直平分线交 AC 于D,A ABC 和^ DBC 的周长分别是 60 cm 和38 cm , （ ） A . 24 cm 和 12 cm B . 16 cm 和 22 cm C. 20 cm 和 16 cm D . 22 cm 和 16 cm 2、（2013?郴州）如图，在 Rt△XCB 中，ZACB=90 °, △\=25 °, D 是 AB 上一点.将 使B 点落在AC 边上的B 处，则△XDB 等于（ ） Rt △KBC 沿CD 折叠, A . 25 C . 35° D . 40 C. 9 4 4、（2011?恩施州）如图， AD 是△KBC 分别为 50和39,则ZEDF 的面积为（ 的角平分线，DF△XB ，垂足为F , ） DE=DG , ZADG 和 △KED 的面积 （2012?广安） 已知等腰^ ABC 中，AD 丄BC 于点D, 且 AD =2BC ， 则^ ABC 底角的度数为（ A . 45 B . 75 C . 45 或 75 D . 60 （2012?毕节地区）如图.在 接CD,若BD=1,则AC 的长是（ RtA ABC 中，/ ） A=30 °, DE 垂直平分斜边 AC ,交AB 于D , E 是垂足，连 D . A . 11 B . 第4题 第6题 C . 7 D . 3.
人教版高二数学必修5解三角形测试卷培优提高题(含答案解析)
高中数学必修5第一章单元测试题 一 选择题：（共12小题，每题5分，共60分，四个选项中只有一个符合要求) 1．在ABC ?中,若b 2 + c 2 = a 2 + bc , 则A =( ) A ．30? B ．45? C ．60? D ．120? 2．在ABC ?中，若20sin A sin B cosC -=，则ABC ?必定是 （ ） A 、钝角三角形 B 、等腰三角形 C 、直角三角形 D 、锐角三角形 3．在△ABC 中，已知5cos 13A =，3 sin 5 B =，则cos C 的值为（ ） A 、1665 B 、5665 C 、1665或5665 D 、16 65- 4．不解三角形，确定下列判断中正确的是 （ ） A. 30,14,7===A b a ，有两解 B. 150,25,30===A b a ,有一解 C. 45,9,6===A b a ，有两解 D. 60,10,9===A c b ，无解 5．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为 A ．5000米 B ． 米 C ．4000米 D ． 6．已知ABC △ 中，a = b =60B = ，那么角A 等于 A ．135 B ．90 C ．45 D ．45 或135 7．在△ABC 中，60A ∠=?，2AB =，且△ABC 的面积ABC S ?=，则边BC 的长为（ ） A B ．3 C D ．7 8．已知△ABC 中，2cos c b A =，则△ABC 一定是 A 、等边三角形 B 、等腰三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 9．在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若22241c b a + =，则c B a c o s 的值为（ ） A.41 B. 45 C. 85 D.8 3 10．设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C 等于( ) (A) π3 错误！未找到引用源。(B) 2π3 错误！未找到引用源。 (C)错误！未
全等三角形经典培优题型(含问题详解)
全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 全等三角形证明经典题 1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A D B C
三角形培优训练100题集锦.docx
三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变 换中的“对折” 。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的 思维模式是全等变换中的“旋转” 。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角 形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移” 或“翻转折叠” 。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证 明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连 线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ ABC 中， AB=5， AC=3，求中线 AD 的取值范围 . 2、如图，△ ABC中， E、 F 分别在 AB、 AC 上， DE⊥ DF， D 是中点，试比较BE+CF与 EF的大小 . A E F B D C
北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高
三角形的证明单元检测卷 1．(4分)（２0１3?钦州)等腰三角形的一个角是8０°,则它顶角的度数是( ）Ａ．80°B．80°或20°C．80°或5０°Ｄ. 20° 2.（４分）下列命题的逆命题是真命题的是（） A．如果a＞0，ｂ＞0,则a+b>０B．直角都相等 C．两直线平行,同位角相等D．若a=6，则|a|=｜b| ３.△AＢＣ中,∠A:∠B:∠C＝1:２：３,最小边BC=4cm,最长边AB的长是A．5cm B. ６cm Ｃ. 7cm D. 8cｍ 4.(4分）如图，已知AE=CF,∠AFＤ=∠CＥB,那么添加下列 一个条件后,仍无法判定△AＤF≌△ＣBE的是（) Ａ. ∠A=∠ＣB．A D＝CＢC．ＢE=DF D．ＡD∥BC ５．(4分）如图，在△ＡBＣ中,∠B=30°,BC的垂直平分线 交ＡＢ于E,垂足为Ｄ．若EＤ=５，则CE的长为（） A. 1０ B. ８Ｃ．5D．2．5 ６.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，ＢE⊥ ＣD,垂足为Ｄ，交AC于点Ｅ,∠A=∠ABE．若AC= ５,BC＝3,则BD的长为( ） A．２.5 B．1．5 C．2 D. 1 7.(４分)如图，AＢ=AC,BE⊥AC于点Ｅ,ＣF⊥AB于点F,B Ｅ、CF相交于点D，则①△ABE≌△ＡCF； ②△BDF≌△CDE;③点Ｄ在∠BAC的平分线上.以上结 论正确的是() A. ① B. ②C．①② D. ①②③8．（４分)如图所示,AＢ⊥BC，ＤＣ⊥ＢC,E是BC上一点， ∠BAE=∠ＤEＣ=６０°，AB=3，ＣＥ＝4,则AD等于（）A．10 B. 12 C. 24 Ｄ．48 9．如图所示，在△AＢC中,ＡB=AＣ,D、Ｅ是△ＡBC内两点,ＡD平分 ∠BAC．∠EBC=∠E＝60°，若BE=６,DE＝2,则ＢＣ的长度是（) A．６Ｂ. 8 C．9 D．１0 10.(４分)(2013?遂宁)如图，在△ABＣ中，∠C=９０°，∠B=3 ０°，以A为圆心,任意长为半径画弧分别交ＡB、ＡC于点M 和N，再分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN的长为半径画弧， 两弧交于点P,连结AＰ并延长交BC于点Ｄ,则下列说法中正确 的个数是（) ①AD是∠BＡC的平分线;②∠ADC=6０°；③点D在AＢ的 中垂线上；④S△DAＣ:S△ABC＝1:3. A. 1 Ｂ．2C．3 D. 4 1２.（4分）如图,在平面直角坐标系xOy中,Ａ(0，２),B（0， ６）,动点Ｃ在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角 形是等腰三角形，则点Ｃ的个数是(） Ａ. 2 B．３ C. 4 D. 5 1３.(4分)如图，在等腰Rｔ△ABＣ中，∠Ｃ=90°，ＡC=8,F是AB边上的中点,点Ｄ，E分别在ＡC,BC边上运动,且保持AD=CE．连接ＤE,DF，EF.在此运动变化的过程中,下列结论: ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFＥ不可能为正方形, ③DE长度的最小值为4; ④四边形CDFE的面积保持不变; ⑤△ＣＤE面积的最大值为８． 其中正确的结论是（)
八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
全等三角形各种类型证明培优(经典)
全等三角形 全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 ABCDE ≌五边形 A'B'C'D' E' ． 全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示： 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形． 点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为 “≌ ”． 全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3) 有公共边的，公共边常是对应边． (4) 有公共角的，公共角常是对应角． (5) 有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理 ( SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理 ( ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理 ( SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理 ( AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理 ( HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 判定三角形全等的基本思路： 找夹角 SAS 已知两边 找直角 HL 找另一边 SSS 能够相互重合的顶 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于． E D
培优专题等腰三角形含答案
9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
解三角形培优提升练习
解三角形练习 1．在锐角△ABC 中，c b a 、、分别为∠A 、∠B 、∠C （1）确定∠C 的大小； （2）若c ABC 周长的取值范围． 2．（本小题满分12分）设ABC ?是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且 （1）求角A 的大小； （2） 若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长． 3．已知ABC ?的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且 （1）求角A 的大小； （2）若2bc =，求边长a 的最小值．
4．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值； （2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 5．（本题满分12分）设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且．若ABC △不是钝角三角形，求： （1 （2 6．ABC ?中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,(1,2),(cos 2m n A ==且1=?n m . （1）求A 的大小； （2求ABC ?的面积并判断ABC ?的形状.
7．（本小题满分12分）在AB C ?中，角C B A 、、的对边分别为c b 、、a ，若 （1 （2）若,bc c b =+求AB C ?的面积. 8．（本小题满分15分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足 （Ⅰ）求角C 的大小； 取得最大值时，试判断ABC ?的形状． 9．（本小题满分12分）如图，在ABC ?中，,D 是BC 边上的一点， 6.DC = （1）求ADB ∠的值； （2）求sin DAC ∠的值.