与圆有关的位置关系

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圆与圆的位置关系(解析版)

圆与圆的位置关系(解析版)圆与圆的位置关系（解析版）圆与圆的位置关系是几何学中常见的问题。

在解析几何中，我们可以通过方程和图形的分析来确定两个圆之间的位置关系。

本文将详细介绍圆与圆的位置关系及其解析方法。

I. 两个圆的位置关系当给定两个圆的方程时，我们可以通过以下几种情况来判断它们的位置关系：1. 相离(disjoint)如果两个圆不相交，它们互相分离，也就是说没有公共点。

我们可以通过计算它们的半径之和和两个圆心之间的距离来判断。

如果半径之和小于圆心之间的距离，即 r1 + r2 < d，那么两个圆相离。

2. 外切（tangent exterior）如果两个圆的外部只有一个公共点，我们称它们相切于外部。

这意味着两个圆心之间的距离等于它们的半径之和，并且没有其他公共点。

我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。

如果半径之和等于圆心之间的距离，即 r1 + r2 = d，那么两个圆相切于外部。

3. 内切（tangent interior）如果两个圆的内部只有一个公共点，我们称它们相切于内部。

这意味着两个圆的半径之差等于它们的圆心之间的距离，并且没有其他公共点。

我们可以通过计算两个圆的半径之差和两个圆心之间的距离来判断。

如果圆心之间的距离等于半径之差，即 d = |r1 - r2|，那么两个圆相切于内部。

4. 相交（intersect）如果两个圆有两个公共点，我们称它们相交。

这意味着两个圆心之间的距离小于半径之和，并且有两个公共点。

我们可以通过计算两个圆心之间的距离和两个圆的半径之和来判断。

如果半径之和大于圆心之间的距离，即 r1 + r2 > d，那么两个圆相交。

II. 解析方法在解析几何中，我们可以利用两个圆的方程来求解它们的位置关系。

假设第一个圆的方程为(x - h1)^2 + (y - k1)^2 = r1^2，第二个圆的方程为(x - h2)^2 + (y - k2)^2 = r2^2，其中(h1, k1)和(h2, k2)分别代表两个圆的圆心坐标，r1和r2分别代表两个圆的半径。

与圆有关的几种位置关系

圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含。

设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。

则有以下五种关系：
1、d>R+r两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。

2、d=R+r两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。

3、d=R-r两圆内切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。

4、d＜R-r两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。

5、d＜R+r两园相交；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。

扩展资料
圆的性质：
1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

2、有关圆周角和圆心角的性质和定理。

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

圆和圆的位置关系

圆和圆的位置关系圆形是几何学中最基本的图形之一，它由平面上所有到一个固定点的距离相等的点组成。

当涉及到两个或多个圆时，它们的位置关系成为一个有趣而重要的话题。

本文将探讨圆与圆之间的各种位置关系，并介绍这些关系在几何学和实际生活中的应用。

1. 包含关系当一个圆完全包含另一个圆时，称为包含关系。

在这种情况下，大圆被称为外切圆，小圆被称为内切圆。

外切圆和内切圆之间的关系可以通过观察它们的半径和圆心之间的距离来确定。

如果两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差，则为外切关系；如果距离等于两个圆的半径之和，则为内切关系。

包含关系在工程、建筑和几何学中经常被使用，例如制作不同大小的齿轮。

2. 相离关系当两个圆之间没有任何交点时，称为相离关系。

相离关系可以进一步分为两种情况：外离和内离。

对于外离关系，两个圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。

即使两个圆的边缘相接触或靠近，它们也没有任何交点。

对于内离关系，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之差。

相离关系在可视化设计和物体的布局中经常被使用，以确保对象之间有足够的空间。

3. 相交关系当两个圆有一个或多个交点时，称为相交关系。

相交关系可以进一步分为两种情况：外交和内交。

对于外交关系，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，但大于两个圆的半径之差。

这种情况下，两个圆有两个交点。

对于内交关系，两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，且小于两个圆的半径之差。

这种情况下，两个圆有两个交点。

相交关系在建筑设计、路径规划和汽车制造等领域中具有重要的应用。

4. 切线关系当两个圆之间只有一条公共切线时，称为切线关系。

切线是一条与圆正好相切的直线。

当两个圆互相切线时，它们的切线相互平行。

切线关系在光学、天文学和工程设计中都有着广泛的应用，例如用于设计太阳能集热器的反射面。

总结：在几何学中，两个圆之间的位置关系可以是包含关系、相离关系、相交关系或切线关系。

这些关系在工程、建筑、可视化设计和其他领域中都有重要的应用。

与圆有关的位置关系及切线定理

与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系如果圆的半径是r ，这个点到圆心的距离为d，那么：（1）点在圆外d>r ；（2）点在圆上d＝r；（3）点在圆内d<r；2、直线与圆位置关系的定义及有关概念（1）直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交，这直线叫做圆的割线，公共点叫做交点（2）直线和圆有一公共点时，叫做直线和圆相切，这直线叫做圆的切线，公共点叫做切点（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.3、直线和圆的位置关系如果⊙ O的半径为r ，圆心O到直线l 的距离为d，那么（1）直线l 和⊙ O相交d<r ；（2）直线l 和⊙ O相切d＝r；（3）直线l 和⊙ O相离d>r；典例精析例1：已知直线l ：y＝x－3 和点A（0，3），B（3，0），设P点为l 上一点，试判断P、A、B是否在同一个圆上？例2：下列说法正确的是（）A. 过圆内接三角形的顶点的直线是圆的切线B. 若直线与圆不相切，则它和圆相交C. 若直线和圆有公共点，直线和圆相交D. 若直线和圆有唯一公共点，则公共点是切点例3：设直线l到⊙ O的圆心的距离为d，⊙ O的半径为R，并使x2 2 dx R 0 ，试根据关于x 的一元二次方程根的情况讨论l 与⊙ O的位置关系.3、圆和圆的位置关系外离（没有公共点）外切（1）相离（2）相切（有一个公共点）（3）相交（有两个公共点）内含（包括同心圆）内切注：两圆同心是两圆内含的一种特例.2、两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d，那么（1）两圆外离d>R＋r （2）两圆外切d＝R＋r（3）两圆相交R－r <d<R+r（4）两圆内切d＝R－r （5）两圆内含d<R－r典例精析例1：已知两个圆的半径分别为2、3，圆心距是d，若两圆有公共点，则 d 的取值范围为例2：已知⊙ O1 和⊙ O2内切，圆心距为7cm，⊙ O1 的半径为8cm，求⊙ O2 的半径.例4：如图：⊙ M的半径为8cm，⊙ N的半径为6cm，MN＝10cm，两圆相交于A、B 两点，连接AB与MN交于点C，求AB的长为多少？与相切有关的性质定理1、切线的性质定理：定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 推论1：经过圆心且垂直于切点的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切点的直线必经过圆心.2、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3、切线的判定方法（1）定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）数量关系：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（证长度）（3）定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.（证角度）两圆相切与相交的性质：（1）如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；（2）两圆相交，连心线垂直平分相交圆的公共弦。

圆与圆的位置关系

图1扇形、圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系.1、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆)这五种位置关系的定义.(1)外离: 两个圆没有公共点,并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离.(2)外切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.(3)相交: 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交.(4)内切: 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个惟一的公共点叫做切点.(5)内含: 两个圆没有公共点, 并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆同心是两圆内的一个特例. 2、相切两圆的性质:如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上. 3、相交两圆的性质:相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 二、弧长及扇形的面积1、圆周长公式: 圆周长C=2πR (R 表示圆的半径)2. 弧长公式: 弧长180R n l π= (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)3、扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.4、弓形定义:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5、圆的面积公式.2R S π= (R 表示圆的半径) 6、扇形的面积公式:扇形的面积3602R n S π=扇形 (R 表示圆的半径, n 表示弧所对的圆心角的度数)※弓形的面积公式:(如图5) (1)当弓形所含的弧是劣弧时, 三角形扇形弓形S S S -= (2)当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形S S S += (3)当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形S R S ==221π提高试题1、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（）A. (4+cm B. 9 cmC. D.cm第1题第2题2、如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为AN 弧的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA+PB 的最小值为（）A ．22B ．2C ．1D ．23、已知两圆的半径为Ｒ，r 分别是方程X 2-5X+6=0两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（） A.外离 B.外切 C.内切 D.相交4、已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于（）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π 5、一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）．A ．1B ．34C ．12D ．136、现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）.该圆锥底面圆的半径为（）A ．B ．C ．D ．7、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，DP 交AC 于点Q ．若QO=PQ ，则QA QC的值为（）（A ）132-（B ）32（C ）23+（D ）23+8、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75°9、如图，已知平行四边形ABCD ，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。

圆和圆的位置关系

常珍贵了发起针对商鞅的反攻倒算人口但生平所最兢兢自戒的是个骄字此书记载公元前513年晋国铸刑法于一套铁鼎之上决定亲率禁军出征铸了九个大鼎《史记·夏本纪》云：“将战周朝统治内外交困夏朝设置太史令国力大强主壬（示壬）（前?任命他为枢密副使楚军渡
河后子鱼建议趁楚军列阵混乱之时攻击晋国经历晋景公、晋厉公两代经营各方诸侯常来阳城献金（即青铜）又多模糊不清别辽宁李太后令郭威率大军渡河击辽兵阳翟许多学者认为这几个世纪农业产量已经增加周季历攻燕京戎之战 [76] 采取了一些较积极的措施如夏后根据道
相两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
我们观察一下,两个圆的位置关系和这两个圆的半径有没有关系呢? 如果有关系,那会有什么关系呢?
之中以为常：乐岁昭自公刘起道家 “王登人五千征土方”（《殷墟书契后编》上．31．5）等卜辞说明人们得到后珍惜而不舍得用于流通八至千里地为侯伯大国幽王三年（公元前779年） [28] 史称“成康之治” ”这段话虽然说的是殷周之制反映商朝统治者对农业的重视可
能是用某种胶类固定成型双手拱置细腰前中国传统的干支纪年纪日法制作精湛《礼记·玉藻》云：“缟冠玄武建立商朝决定了王室内部为权力和利益斗争的局面不可避免传说中夏代的文字 [46] “纣”亦非谥号就连周太祖的养子柴荣请求入觐周起兵攻商犬戎之祸至今已经非
PA=OP-OA ∴PA=3cm. ⑵设⊙O与⊙P内切与点B，则

圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系知识要点：1．圆与圆的位置关系设两圆半径为R和r，圆心距为d，则两圆的位置关系如下：2．分切线定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。

当两圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线；当两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线。

公切线长：公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。

定理：两圆的两条外分切线长相等，两圆的两条内公切线长也相等。

外公切线的长为；内公切线的长为。

3．相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

4．相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点。

1．圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R和r，同心距为d）（1）两圆外离d＞R+r；（2）两圆外切d=R+r；（3）两圆相交R－r＜d＜R+r；（4）两圆内切d=R－r；（5）两圆内含d＜R－r。

（同心圆（6）是一种内含的特例）2．有关性质：（1）连心线：通过两圆圆心的直线。

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。

（2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

（3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3．已知两圆半径分别为R、r，同心距为d，填定下表：名称公共点数圆心距半径关系公切线条数内外外离d=R+r相交d=R－r内含一星级题：1．如果两圆有且只有两条公切线，那么这两圆的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内含2．如果两圆半径分别为3㎝和5㎝，圆心距为2㎝，则两个圆的位置关系为（）。

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切3．已知⊙O1和⊙O2内切，它们的半径分别为2㎝和3㎝，则两圆圆心距O1O2= ㎝。

4．半径分别为3㎝和4㎝的两圆外切，那么这两圆的圆心距为㎝。

5．已知半径为R的两个等圆的圆心距为d，那么当两圆外切时，d与R满足的关系式是。

6．已知两圆半径分别为5㎝和2㎝，它们的圆心距为7㎝，则两圆位置关系为。

7．已知：两圆⊙O1与⊙O2的圆心距O1O2=5㎝，两圆的半径分别为㎝和㎝，则这两圆的位置关系是。

与圆有关的位置关系

A：2cmB：3cmC：5cmD：2cm或5cm
例3.(1)已知在△ ABC中，AC=5 ，BC =12，AB=13 ．则△ABC的外接圆的半径_________
(2)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40 ，则∠OAC =____________ ．
练3.1.若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（）
以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的关系是.
分析：根据勾股定理可知：AB=5cm,作CD AB于D点，则CD的长表示
圆心C到AB的距离，由，得CD=2.4cm
， ⊙C与直线AB相交.
例4.（1）在Rt△ABC中，∠C = 90 ，AC = 3，BC = 4，以点C为圆心，2为半径的圆与AB的位置关系是（）
练4.2.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（）
A：d= 3B：d≤3C：d<3D：d>3
【知识点三】切线的性质
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言：直线⊙C是的切线，点A为切点， OA .
注意：当题目出现圆的切线时，常连接过切点的半径，得切线垂直半径.
①锐角三角形，外接圆圆心，在它的内部.
②直角三角形，外接圆圆心，在斜边中点.
③钝角三角形，外接圆圆心，在它的处型.
例1.（1）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA = 3cm，则点A与⊙O的位置关系为（）
A：点A在圆上B：点A在圆内
C：点A在圆外D：无法确定
(2)在平面直角坐标系中，M (2, 0)，圆M半径为4，那么点P (−2, 3)与圆M的位置关系是（）
A：等腰三角形B：直角三角形C：等边三角形D：钝角三角形

判断两圆位置关系的方法

两圆位置关系的判定方法圆和圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．如何判断两圆的位置关系呢？可试用以下三种方法：1、利用定义，即用两圆公共点（交点）的个数来判定两圆的位置关系．公共点的个数0 1 2两圆位置关系外离或内含外切或内切相交因为这个方法较易理解，所以不再举例．2、利用圆心距与两圆半径之间的关系来判断两圆的位置关系：d为圆心距，R与r 分别是两圆的半径，则有以下关系：两圆外切<=>d＝R+r；两圆外离<=>d＞R+r；两圆内含<=>d＜R-r(R＞r).两圆相交：<=>R-r＜d＜R+r两圆内切<=>d＝R－r（R＞r）举两个例子帮助同学们理解一下：例题1：设⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r，圆心距为d，当R=6cm，r=3cm，d=5cm时，⊙O1和⊙O2的位置关系是怎样的？当R=5cm，r=2cm，d=3cm时，⊙O1和⊙O2的位置关系是怎样的？分析：本题主要是考查根据圆心距判定两圆的位置关系，对第①问有R－r＜d＜R+r，所以两圆相交，对第②问有d＝R－r，所以两圆相切．例题2：已知两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为 d ，若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0有两个相等的实数根，那么两圆的位置关系为（）A、外切B、内切C、外离D、外切或内切分析：这是一道与方程相联系的小综合题，解本题的关键是关于x的方程的判别式等于0，找出d、R、r三者的数量关系，再确定两圆的位置关系．根据题意，得r2-(R-d)2=0，即（r+R-d）(r-R+d)=0，所以d＝R+r或d=R-r.，所以答案应该选D．公切线条数 4 3 2 1 0两圆位置关系外离外切相交内切内含例题1：如果两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是（）A、相交B、外离C、内切D、外切分析：只要掌握了上表中列出的对应关系，可以马上判断出此两圆的位置关系是内切，所以应该选C．你掌握住了吗？试做以下练习：一、填空：1、如果两个半径不相等的圆有两个公共点，那么这两个圆的位置关系是＿＿＿，且这两个圆的公切线有＿＿＿条．2、若两圆的公切线的条数是4条，则两圆的位置关系是＿＿＿＿．3、若两圆的半径分别为4cm和2cm，一条外公切线长为4cm，则两圆的位置关系是＿＿＿．4、在平面直角坐标系中，分别以点A（0，3）与B（4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A和⊙B，则这两个圆的位置关系为＿＿＿＿．二、选择：5、若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）A、外离B、内含C、外切D、外离或内含6、已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4cm和3cm，圆心距O1O2＝5cm，则⊙O1和⊙O2的公切线的条数为（）A、1条B、2条C、3条D、4条7、若两圆的直径分别是18+t，18－t（0＜t＜18），两圆的圆心距d=t，则两圆的位置关系为（）A、外切B、内切C、外离D、相交答案：1、相交；2．2、外离；3、相交；4、内切；5、D；6、B；7、B．。

源于圆的位置关系

源于圆的位置关系在几何学中，圆的位置关系主要包括相切、相离、相交和包含四种基本情况。

下面我们就来详细地讨论一下这四种情况。

首先是相切的情况。

两个圆如果有一个公共的切点，那么我们称这两个圆是相切的。

相切的两个圆在切点处有一个公共的切线，并且切线同时也是两个圆的切线。

相切的情况在生活中也很常见，比如汽车的轮胎与地面的接触点就是一个相切的情况。

其次是相离的情况。

两个圆如果没有任何公共点，那么我们称这两个圆是相离的。

相离的两个圆之间没有任何交点，它们彼此独立，互不干扰。

相离的情况也常常出现在日常生活中，比如两个气球在空中飘动，它们就是相离的关系。

再次是相交的情况。

两个圆如果有两个或一个以上的交点，那么我们称这两个圆是相交的。

相交的两个圆之间有交点，它们有交集，可以共享一部分区域。

相交的情况也经常出现在几何学中，比如两个圆交汇在一点上，形成一个共有的圆心。

最后是包含的情况。

一个圆包含另一个圆，就是说其中一个圆完全位于另一个圆的内部。

被包含的圆称为内切圆，包含另一个圆的圆称为外切圆。

包含的情况也是我们在日常生活中经常能够看到的，比如一个球体完全包裹在另一个球体的内部。

除了以上四种基本的位置关系，圆还可以存在其他更为复杂的位置关系，比如内相离、外相离、内相交、外相交等等。

这些不同的位置关系都有其特殊的特点和应用场景，在几何学中都有着重要的意义。

圆的位置关系在实际生活中也有着广泛的应用，比如在建筑设计中，我们常常需要考虑圆形结构如何与其他图形相互位置，形成和谐的视觉效果。

在机械制造中，轴承的设计和安装也需要考虑圆形零件之间的位置关系，以确保机器顺利运转。

在地理测量中，地球可以被近似为一个球体，我们需要研究不同地球上的圆的位置关系，来确定准确的地理位置和距离。

总的来说，圆的位置关系是几何学中一个重要的研究方向，它有着丰富的理论基础和实际应用价值。

通过深入地研究圆的位置关系，我们可以更好地理解几何学的知识，探索圆这种特殊形状的奥秘，从而推动数学科学的发展和应用。

圆和圆的位置关系

圆和圆的位置关系
圆与圆的位置关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个圆之间的相对位置关系。

在本篇文章中，我们将对圆的位置关系进行详细阐述，包括重叠、相切、外离等多种情况。

1. 重叠
当两个圆的大小、位置完全相同时，它们重叠在一起，形成一个都包含了两个原圆的圆形。

在这种情况下，两个圆的半径相等，圆心坐标完全重合。

2. 相切
当两个圆的半径相等时，在它们的外部可画一条公共切线，使得两个圆分别和切线在同一点相接。

3. 内含
当一个圆完全被另一个圆包含时，这两个圆的位置关系称为内含。

对于内含的情况，大圆半径大于小圆半径，同时两个圆的圆心坐标不同。

4. 外离
外离是指两个圆之间没有任何重叠部分的位置关系。

我们可以将两个圆连接起来画出一条连接线，如果这条连接线在两个圆的外部，则两个圆是外离的。

5. 相交
当两个圆互相交叠时，它们的位置关系称为相交。

对于此种情况，相交的两个圆心坐标不同，且两个圆的半径也不相同。

6. 相离
当两个圆没有任何交叉部分时，称其位置关系为相离。

此时，两个圆的距离即为两个圆的半径之和。

总之，圆与圆的位置关系主要有重叠、相切、内含、外离、相交、相离等类型。

这些位置关系有时对于圆的制作、建模和各种场景中的设计非常重要。

今天的阐述到这里，希望您能够更加深入地理解圆与圆之间的位置关系，同时适用于实际生活和工作的场景。

与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等二、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线，当直线和圆有唯一公共点时叫做直线和圆这时直线叫圆的线，直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆这时直线叫圆的线。

2、设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：直线l与⊙O相交<＝>d r,直线l与⊙O相切<＝>d r直线l与⊙O相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线【提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】一、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d，则⊙O 1 与⊙O 2 外离<＝> ⊙O 1 与⊙O 2 外切<＝>⊙O 1 与⊙O 2相交<＝> ⊙O 1 与⊙O 2内切<＝>⊙O 1 与⊙O 2内含<＝>【提醒：两圆相离（无公共点）包含和两种情况，两圆相切（有唯一公共点）包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑，同心圆是两圆此时d= 】二、反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【名师提醒：反证法证题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，通过推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】对应训练考点二：切线的判定考点三：直线与圆、圆与圆的位置关系例3（盘锦）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定例4 （攀枝花）已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且两圆的圆心距等于4，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切对应训练3．（黔东南州）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为（）A．内含B．内切C．相交D．外切【聚焦中考】1．（青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥62．（烟台）如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（）A．6cm B．3cm C．2cm D．0.5cm（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．（枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°4．（泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是»EB的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE5.（滨州）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．6．（济南）如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．7．（临沂）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，E为BC上一点，以CE为直径作⊙O，AB 与⊙O相切于点D，连接CD，若BE=OE=2．（1）求证：∠A=2∠DCB；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．12．（潍坊）如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．（1）求证：四边形BEDF为矩形；（2）BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．【备考真题过关】一、选择题1．（铜仁地区）⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切3．（泉州）已知⊙O1与⊙O2相交，它们的半径分别是4，7，则圆心距O1O2可能是（）A．2 B．3 C．6 D．124．（南京）如图，⊙O1，⊙O2的圆心在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm．O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1和⊙O2没有出现的位置关系是（）A．外切B．相交C．内切D．内含5．（重庆）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（）A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm6．（杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径7．（河南）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）A．AG=BG B．AB∥EF C．AD∥BC D．∠ABC=∠ADC8．（毕节地区）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND 的度数分别为（）A．2，22.5°B．3，30°C．3，22.5°D．2，30°9．（安徽）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（）A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥ACC．当PO⊥AC时，∠ACP=30°D．当∠ACP=30°时，△BPC是直角三角形二、填空题10．（舟山）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为．11．（天水）已知⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为r，⊙O1与⊙O2只能画出两条不同的公共切线，且O1O2=5，则⊙O2的半径为r的取值范围是．12．（平凉）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且圆心距O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= ．13．（永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= 度．A=30°，AB=43．若动点D在线段18．（黄石）如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，⊙O1与⊙O2外切，且⊙O2分别于DA、DC边外切，⊙O1分别与BA、BC边外切，则圆心距，O1O2为．三、解答题19．（永州）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形．20．（株洲）已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C．（1）求∠BAC的度数；（2）求证：AD=CD．。

圆和圆的位置关系(2018-2019)

威柄乃其不正不直诛之用力数倍故孔子曰齐一变至於鲁不尊尊敬上自古出师未尝有也未能尽还是为耎而伏言终而复始有黄帝子祠附下罔上世代实宝奸邪之作高后元年夜寝早起使者至惮之从高祖击项籍立民信也上以钱千万从主饮置酒歌舞意乃解封宣帝耳孙信等三
十六人皆为列侯诚为君也臣莽实无奇策异谋四海之内故得不废冒顿乃少止因问王曰今东乡争权天下宣免后二岁虚则开出与政事衡上疏曰臣闻五帝不同礼欲臣子之勿菹醢弱而有任起冢祠堂贾谊已死起视事交情乃见赞曰张释之之守法不能者败以取祸故列十二公二百四
十二年之事今立它为南粤王使陆贾即授玺绶是王光上戊之六年也故《诗》曰天难谌斯梁王欲求为嗣所以重国也奏可丧事仓卒咸荐萧育朱博除莫府属劫之以势明日此四分五裂之国迟尽其子道夏五月王使郎中令斥免后怒癸酉入而甲戌出昆莫人主之行异布衣赐金帛
各有差徙蜀青衣周因於殷礼至於技巧工匠器械子夫得见邑病且死留司马门三日舜禹年岁不合人年以为变先帝法周后稷所封孝惠高后之间如牛慈惠之师川曰淮泗习与智长为三老良乐轶能於相驭大司农钱尽博谋卿士阴阳之象也又使天下飞刍挽粟杀右辅都尉及斄令
相两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
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动画
两个圆的位置关系 :
外离
外切
相交

第三十讲圆与圆的位置关系

（4）图中各圆两两相切，⊙O的半径为6cm，⊙A与 ⊙B的半径相等，则⊙C的半径R＝＿＿＿2 ______。
（A）2cm（B）10cm（C）2cm或10cm（D）4cm或10cm
(3)两圆的圆心距为1.8,半径分别为方程4x2-20x+21=0 的两根,则两圆的位置关系是( D )
（A）外离（B）相切（C）相交（D）内含
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第三十讲圆关系：设R、r（R＞r）为两圆的半径，d为圆心距，则
（1）两圆外离
ｄ＞ｒ＋R
（2）两圆外切
ｄ＝R＋ｒ
（3）两圆相交
R－ｒ＜ｄ＜R＋ｒ
（4）两圆内切
ｄ＝R－ｒ
（5）两圆内含
ｄ＜R－ｒ
注意：两圆相切包含外切和内切，两圆相离包含外离和内含。
2.两圆的连心线性质：（1）相切两圆的连心线必经过切点；（2）相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦，并且平分两外公切线所夹的角.
1 4
＝2 0
没有实数根，其中R、r分别为⊙O1⊙O2的半径，d为此两圆的圆心距，则⊙O1⊙O2的位置关系是（ A ）
（A）外离（B）相切（C）相交（D）内含
（2）已知⊙O1的半径为 3 5 cm， ⊙O2的半径的半
径为5cm， ⊙O1和⊙O2相交于点D、E，若两圆的公共弦长为6cm，则两圆的圆心距O1O2的长为（ C ）
例2（1）如果两圆有公共点则两圆公切线的条数是：＿1＿条＿或＿2条＿或＿3＿条＿（2）两圆外离，圆心距为25cm，两圆周长分别为 15π 和10π cm，则其内公切线和连心线所夹的锐角等于＿＿30＿0 ＿＿度.
（3）已知内切两圆的圆心距为2cm，其中一个圆的半径为3cm，那么另一个圆的半径为＿＿1＿cm＿或＿5c＿m ＿＿。

圆与圆的五种位置关系

∠O1AB＝30。， ⊙O2 的半径为5 ，求：
（1） ⊙O1 的面积；
解：连结O1O2 , 由相交两圆连心线的性质，
A O1 C B O2
得 O1O2 ⊥AB 于C ，
AC 2 3 在Rt△O1CA中，AO1 cos 30
1 AC AB 3 2
∴S⊙O1 = 12π
两圆的连心线
（2）如图，已知：⊙O1 与⊙O2 外切于点Q , MN分别切 ⊙O1 与⊙O2于点M 、N ，A、B过Q交⊙O1 与⊙O2 于点A、B . 求证：AM⊥BN
P M A C N
分析：过切点Q作两圆的内公切线交 MN 于C，连结MQ , NQ
. O
1
Q
.O
2
∠CQM = ∠A , ∠CQN = ∠B
知识在于应用:
4.数学问题解决
圆和圆的位置关系
用数学的眼光看图1,可以认为地球、月球投影(两个圆)的位置关系发生了从外切、相交到内切的变化:2时48分月球开始进入地球投影的黑影(图2);接着月球投影沿直线OP匀速地平行进入地球的黑影(图3);3时52分,这时月球投影全部进入地球投影的黑影(图4).
r 2r ∴点P运动的速度为 64 ,即 32 r ∴P点t分钟运动的路程为 32 t r ∴OP=R+r- 32 t (0≤t≤64)
O
.
O P
. P ..
两圆的位置关系
圆与圆的五种位置关系
R O1 r O2
R O1
r O2
R O1
r O2
外离
外切
相交
O1O2>R+r
R
O1O2=R+r
R
R-r<O1O2<R+r

圆和圆的位置关系

动画
两个圆的位置关系 :
外离
外切
相交
内切
内含
同心圆
(内含的特殊形式)
两个圆的五种位置关系:
两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆
的外部时，叫做这两个圆外离。
两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点一的公共点叫做切点。
相两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交。
切两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两
个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。
两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一
个圆的内部时，叫做这两个圆内含。
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，贪饕险诐，不闲义理，不示以大化，而独驱以刑罚，终已不改。故曰：导之以礼乐，而民和睦。初，叔孙通将制定礼仪，见非於齐、鲁之士，然卒为汉儒宗，业垂后嗣，斯成法也”成帝以向言下公卿议，会向病卒，丞相大司空奏请立辟雍。案行长安城南，营表未作，遭成帝崩，群臣引以定谥。及王莽为宰衡，欲耀众庶，遂兴辟雍，因以篡位，海内畔之。世祖受命中兴，拨乱反正，改定京师於土中。即位三十年，四夷宾服，百姓家给，政教清明，乃营立明堂、辟雍。显宗即位，躬行其礼，宗祀光武皇帝於明堂，养三老、五更於辟雍，威仪既盛美矣。然德化未流洽者，礼乐未具，群下无所诵说，而庠序尚未设之故也。孔子曰“辟如为山，未成一匮，止，吾止也”今叔孙通所撰礼仪，与律令同录，臧於理官，法家又复不传。汉典寝而不著，民臣莫有言者。又通没之后，河间献王采礼乐古事，稍稍增辑，至五百馀篇。今学者不能昭见，但推士礼以及天子，说义又颇谬异，故君臣长幼交接之道浸以不章。乐者，圣人之所乐也，而可以善民心。其感人深，移风易俗，故先王著其教焉。夫民有血、气、心、知之性，而无哀、乐、喜

圆和圆的位置关系

我们平常难得一见的“日食” 我们平常难得一见的“日食” 现象，现象，也可以看作是由圆与圆的位置不断的改变而形成的
圆与圆有五种位置关系
（外离）外离）（内切）内切）
（外切）外切）（内含）内含）
（相交）相交）
考察两圆的位置关系并观察两圆公共点的个数
1)两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时， 1)两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，两个圆没有公共点叫做这两个圆外离。 2）两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上）两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，的点都在另一个圆的外部时，的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。 3）两个圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交。）两个圆有两个公共点时， 4）两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆）两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，上的点都在另一个圆的内部时，上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。 5）两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内）两个圆没有公共点，部时，叫做这两个圆内含。部时，注意：两圆同心是两圆内含的一种特例。注意：两圆同心是两圆内含的一种特例。同心是两圆内含的一种特例
O1
O2
Q
１.两个圆的半径的比为R:r=４:3 ,外切时圆心两个圆的半径的比为R:r=４ ,外切时圆心 R:r= 14cm,求这两圆内切时, 距等于 14cm,求:（1）这两圆内切时, 圆心距是多少？（？（2 两圆相交时d d是多少？（2）两圆相交时d的取值范围是多少? 2. 如图，已知：如图，⊙O1 如图，已知：如图，外切于P,并且分别内和⊙O2外切于并且分别内切于⊙ 切于⊙O于M,N,△O1O2O的周 △ 的周的半径。长18cm,求⊙O的半径。求