利用夹逼准则求极限精编WORD版
极限的夹逼定理及应用
极限的夹逼定理及应用在数学领域，极限是一个重要且基础的概念。
极限的夹逼定理是一种常见的极限求解方法，它在数学推导以及实际应用中扮演着关键的角色。
本文将介绍极限的夹逼定理的定义、原理以及其在数学和科学领域的应用。
一、极限的夹逼定理的定义和原理极限的夹逼定理，又称为夹逼准则或夹逼定理，是在求解极限问题时经常使用的方法之一。
它是基于一个基本观察：如果一个函数在某个点附近夹在两个趋于相同极限的函数之间，那么这个函数也将趋于相同的极限。
具体来说，设函数f(x)，g(x)，h(x)在点x=a的某个去心邻域内，满足以下条件：1. 对于所有的x，都有g(x)≤f(x)≤h(x)；2. lim[x→a]g(x)=lim[x→a]h(x)=L。
那么，当x趋近于a时，函数f(x)也将趋近于L，即lim[x→a]f(x)=L。
这个夹逼定理的原理直观而简洁。
通过将一个函数夹在两个已知极限相同的函数之间，我们可以确定该函数的极限值。
二、极限的夹逼定理的应用1. 极限的证明：极限的夹逼定理可以用于证明某个函数的极限存在或者不存在。
通过找到两个较为容易求解极限的函数，将待求解函数夹在两者之间，即可得到待求函数的极限值。
2. 应用于数列的极限求解：在数列的极限求解过程中，夹逼定理也起到了重要的作用。
通过将待求解的数列夹在两个已知数列之间，可以求得数列的极限。
3. 积分和导数的计算：夹逼定理在计算积分和导数时也有广泛的应用。
通过将待求解函数夹在两个已知函数之间，可以确定积分和导数的范围和结果。
4. 物理学中的应用：夹逼定理在物理学中也有许多应用。
例如，当我们研究一个系统的性质时，往往需要通过夹逼定理来确定其边界条件或者极限行为。
总结：极限的夹逼定理是数学中一种重要的计算方法，它可以用于证明极限的存在性、求解数列极限以及计算积分和导数等。
在实际应用中，夹逼定理在数学、物理学以及其他科学领域都有广泛的应用。
通过夹逼定理，我们可以更加准确地求解和分析各种问题，为我们的研究和实践提供有力的数学工具和理论支持。
1-05-极限的存在准则(精编版)
π
2
)
扇形OAB的圆心角为x , ∆OAB的高为BD, 于是有 sin x = BD , x = 弧AB , tan x = AC ,
sin x ∴ sin x < x < tan x , 即 cos x < < 1, x 上式对于 −
π
2
< x < 0也成立.当0 < x <
2
π
2
时,
2
x x 2 x 0 < cos x − 1 = 1 − cos x = 2sin , < 2( ) = 2 2 2 2 x Q lim = 0,∴ lim(1 − cos x ) = 0, x→0 2 x →0 sin x ∴ lim cos x = lim1 = 1,∴ lim = 1. x→0 x →0 x→0 x
单调数列
几何解释: 几何解释
x1 x 2 x 3x n x n + 1
A
M
x
例5 证明数列 xn = 3 + 3 + L + 3 ( n重根
式)的极限存在 .
证
显然xn +1 > xn ,∴ { xn }是单调递增的; 又 Q x1 = 3 < 3, 假定xk < 3, xk +1 = 3 + xk < 3 + 3 < 3, ∴ { xn }是有界的;∴ lim xn 存在.
x→x0 ( x→∞)
称为夹逼准则 或称为两边夹定理 两边夹定理。 准则 I和准则 I’称为夹逼准则 或称为两边夹定理。 和 称为 有人形象地称之为“ 有人形象地称之为“Sandwich Theorem”。 。
夹逼定理运用
夹逼定理运用夹逼定理（Squeeze theorem）是一种常用的极限求解方法，它可以用于证明一个函数在某一点的极限值。
其基本思想是，当一个函数在某一点附近夹在两个函数之间时，如果这两个函数的极限值相等，那么夹在中间的函数的极限值也必须等于它们的极限值。
具体来说，设函数f(x)、g(x)和h(x)在某一点x=a附近夹逼，即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有：f(x) ≥g(x) ≥h(x) -ε则有：lim(x->a) f(x) = lim(x->a) g(x) = lim(x->a) h(x)这就是夹逼定理的基本结论。
夹逼定理的运用非常广泛，下面列举几个例子：1. 证明一个数列的极限存在：假设存在数列{a_n}，且对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，有|a_n -a_m| < ε。
那么根据夹逼定理，数列{a_n}的极限存在，且等于a。
2. 证明一个函数的极限存在：假设存在函数f(x)，且对于任意正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x) - L| < ε。
那么根据夹逼定理，函数f(x)在x=a处的极限存在，且等于L。
3. 证明一个函数的导数存在：假设存在函数f(x)，且对于任意正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x+h) - f(x)| < εh，其中h是一个足够小的正数。
那么根据夹逼定理，函数f(x)在x=a处的导数存在，且等于L。
夹逼定理的应用非常广泛，可以用于证明极限、函数的导数、函数的连续性等问题。
在使用夹逼定理时，需要注意夹逼定理的前提条件，即夹逼定理要求存在两个函数，它们在某一点的极限相等，且夹在中间的函数的极限也等于它们的极限。
夹逼定理word版
一、夹逼准则及第一个重要极限1、 准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n =（2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞=则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞= .证明 由lim n n x a →∞=⇒0ε∀>,1N ∃,当1n N >时，有 n x a ε-<⇒n a x ε-<又由lim n n z a →∞=⇒对上述ε，2N ∃，当2n N >时，有n z a ε-<⇒n z a ε+<取12{},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<,故 lim n n y a →∞=.上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即:2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足(1) ()()()f x g x h x ≤≤ （ 当0,()U x x δ∈ (或x M >)时）；(2)0()lim ()x xx f x A→∞→=，0()lim ()x xx h x A→∞→=.则 0()lim ()x x x g x →∞→存在且等于 A .上述两个准则都称为夹逼准则. 举例 例1 求2n n→∞++++解因为2111n nn≤+++≤+又因为 lim1,lim 1n n→∞→∞==所以 由夹逼准则得21111n n →∞+++=+.3、第一个重要极限： 0sin lim 1x xx→=证明：在单位圆中， 有 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形 （如图1-35）而 sin x CB =，x AB =，tan x AD =. 所以111sin tan 222x x x <<， 即 sin tan x x x <<,从而得 sin cos 1xx x <<.因为函数sin xx 与cos x 都是偶函数，所以在区间(,0)2π-内，sin cos 1xx x<<也成立.135图-故对于一切满足不等式 02x π<<的x 都有sin cos 1xx x<< 由 0limcos 1x x →= 及夹逼准则可得0sin lim 1x xx→=.特点与用法：分出两个“0因子”： “sin x ”和“x ”，而与“0因子”无关的极限分开求. 举例例1 求 0tan lim x xx →解 00tan sin 1lim lim()cos x x x x x x x →→=⋅00sin 1lim lim 1cos x x x x x→→=⋅=.例2 求201cos lim x xx →-解 201cos lim x x x →-2202sin 2lim x x x →=20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭211122=⋅=.例3 求 1lim(1)tan 2x x x π→-解 设 1y x =-，即1x y =-，当1x →时，0y →，则1lim(1)tan2x x x π→-0(1)lim tan2y y y π→-=0lim cot2y yy π→=2lim coslim cos22sin sin222y y yyyyyy ππππππ→→=⋅=⋅2π=.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
第5节夹逼准则与两个重要极限
x x 1 x x 1
lim 1
2
x12
2
lim 1
2
x x 1
x x 1
e2 1 e2
例14 求
1
解: 原式 =
lim 2n2
e n n
e2
例知 解: 原式 =
x0 x
证 因为 sin(x) sin x , 故只讨论x0+的情形.
x
x
如图, 在单位圆中,AOB = x, BD = sinx, AC=tanx,
因为
SAOB < S扇形AOB < SAOC ,
所以
1 sin x 2
1x
2
1 tan x, 2
1 x 1 , sin x cos x
（1） g(x) f(x) h(x) (2) g (x) A, h(x) A (xx0或x),
则有 f(x) A (xx0或x) 准则I和准则I称为夹逼准则。
lim
x0
sin x x
sin 0 0
0 0
?
二、两个重要极限
(1) lim sin x 1.
第五节 夹逼准则与两个重要极限
利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的 极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如
lim tan x , lim ( 3 x )2x
x0 x
x 2 x
极限值各是多少？如何求解？
一、夹逼准则
二、两个重要极限
一、夹逼准则
准则I 如果数列{xn}, {yn}, {zn}满足 (1) yn xn zn, (n =1,2,3…)；
cos x sin x 1, x
夹逼法求函数极限经典例题
夹逼法求函数极限经典例题在初中数学中，函数极限经常作为一个常考概念出现。
如果求出函数极限时，你使用哪些方法呢？如果你能熟练运用夹逼法就能轻松解决。
夹逼法是函数极限学习中的一个重要方法。
夹逼法主要是利用函数的相关性质求解函数的极限。
所谓的夹逼法就是在掌握公式的前提下，使用一种特殊的夹逼法，通过夹住函数的某一元素或者函数一阶极限区域上的一个点来达到求解函数极限的目的。
本例例中求解函数极限就是利用了夹逼法的运算法则来求出某一元素或者函数上限区域上的一个点，所以我们可以说该类型题是一种典型的夹逼法求极限例题。
首先要说明一下夹逼法计算函数的极限并不是很困难的运算法则哦，主要是借助夹逼法可以得到函数的极限条件！所以当你学会夹逼题也会很轻松就能计算出函数极限区域上的一个点了！一、例题（模拟题）解：由定义可知, f (x)在坐标轴上的坐标为 x+1,函数的 f (x)的值在该坐标轴上最大值为1 (即 f (x)在坐标轴上的值为 a-1)’=x-1/n+2,由式中可以看出 f (x)的值不会大于1。
设函数 f (x)在 x轴上的最大最小值为1.分析：此题中，要求函数 f (x)在坐标轴上的最大值不小于2.由于 f (t)为一个连续 n阶数，故在坐标轴上唯一确定的是 t+2.因此，利用夹逼法可得到函数极限区的所有解中，只要 t>0即可得出极限区域上任何一个点可以包含两个素数。
因此正确答案是: a-1/2= b-1/3=0.因此 c为函数 f (x-3)在坐标轴中最大值。
解：请将原函数 f (x-3)分解成为函数 g 0、 g=2、 N 1四个解析式。
运用夹逼法能得出以下结论：此方法适合于复杂的数学题时，如直线解方程，圆解方程.当然这里要说明的是本例中使用夹逼法求极限区域上任意一个点都可以。
但在计算时一定不能仅考虑到变量间相互影响而是考虑到变量间相互独立性和对变量间相互影响。
所以要注意以下几点：求解极限区间及边界条件：首先我们要明确一点，函数有多个值之和时，若求出函数在某一个区间对应的一个极限可以省略某些值或直接将极限区间写成整数是不可行的。
函数极限存在的夹逼准则全
证: x0 ( , )
y sin(x0 x) sin x0
y
2
sin
x 2
cos( x0
x 2
)
x x 0 0
即
这说明
在
内任意一点连续 .
函数 在点 连续有下列等价命题:
lim y 0
x0
lim[
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
第一类间断点: 及
均存在 ,
若 若 第二类间断点:
称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称 x0 为振荡间断点 .
例如:
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点
.
x 0 为其振荡间断点 .
f ( x0 ) f ( x0 ) 称 f (x) 在x0 点处左连续 f ( x0 ) f ( x0 ) 称 f (x) 在x0 点处右连续
若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
其图像是一条连续而不间断的曲线。
y
y tan x
o x （ ， ）
2
22
a
b
[a , b]
二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一函数 f (x) 在点 不连续 :
(1) 函数 在 无定义 ;
(2)
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
利用夹逼准则求极限
利用夹逼准则求极限夹逼准则是常用的一种极限求解方法，它可以帮助我们确定一个函数的极限，尤其在无法直接计算极限的情况下，夹逼准则往往是非常有用的。
夹逼准则的基本原理是：如果函数f(x)被两个其他函数g(x)和h(x)夹住，即在一些区间[a, b]上，对于任意x∈[a, b]，有g(x) ≤ f(x)≤ h(x)，同时满足lim(x→a)g(x) = lim(x→a)h(x) = L，那么lim(x→a)f(x) = L。
接下来，我们将从简单到复杂地介绍几个使用夹逼准则求解极限的例子。
例1：求极限lim(x→0)xsin(1/x)。
首先我们观察到0 ≤ ，xsin(1/x)，≤ ，x。
因为当x≠0时，有-，x，≤ sin(1/x) ≤ ，x。
所以，当x≠0时，我们得到0 ≤ ，xsin(1/x)，≤ ，x。
根据夹逼准则，我们有lim(x→0)0 ≤ lim(x→0)，xsin(1/x)，≤ lim(x→0)，x。
显然lim(x→0)0 = 0，同时lim(x→0)，x， = 0，所以根据夹逼准则，我们得到lim(x→0)xsin(1/x) = 0。
例2：求极限lim(x→∞)(2x³ + 3)/(x³ + 4x²)。
对于该函数，我们可以将其进行化简，得到lim(x→∞)(2 +3/x³)/(1 + 4/x)。
当x→∞时，3/x³和4/x都趋近于0，所以我们可以得到lim(x→∞)(2 + 3/x³)/(1 + 4/x) = lim(x→∞)2/1 = 2例3：求极限lim(x→0)(sin(3x)/x)。
首先我们观察到-1 ≤ sin(3x)/x ≤ 1，因为sin(3x)的值在[-1, 1]之间。
根据夹逼准则，我们得到-1 ≤ sin(3x)/x ≤ 1、因此，我们有lim(x→0)-1 ≤ lim(x→0)(sin(3x)/x) ≤ lim(x→0)1、显然lim(x→0)-1 = -1，同时lim(x→0)1 = 1，所以根据夹逼准则，我们得到lim(x→0)(sin(3x)/x) = 1例4：求极限lim(x→∞)(x² + 3)/(√(x⁴ + 1))。
夹逼准则在求极限中的应用
夹逼准则在求极限中的应用夹逼准则在求极限中的应用数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级敖欢指导教师刘学文摘要：极限的思想方法贯穿于整个数学分析中，一些基本概念如微分、积分的定义都与极限有密不可分的联系。
极限是高等数学的理论基础和重要工具。
不同形式的极限求解的方式各不相同，解题思路不同所得到的效果也是不一样的。
本文主要举例讨论并分析夹逼准则的应用，特别是其在求极限中的应用。
关键词：极限；夹逼准则；函数；数列Abstract：The thinking method of limit throughout the mathematical analysis, some basic concepts such as differential, integral and limit are inseparable links. Limit of higher mathematics is the theoretical foundation and important tool. Different forms of the solution to the limit the way is also different, different thoughts of solving the effect is not the same.This paper mainly discussed by examples and analysis of squeeze rule applications, especially in the limit of application.Key words：Limit;Squeeze rule;Function;Series极限是从初等数学跨向高等数学的一座重要桥梁。
在青少年阶段或者更早吸收了解极限先进思想和概念，无疑对他们的人生发展有着不可估量的影响。
极限理论是数学分析的入门和基础，是人们把握无限的金钥匙。
夹逼准则在求极限中的应用
夹逼准则在求极限中的应用夹逼准则（Squeeze theorem），也被称为夹逼定理、挤压定理或确界定理，是数学分析中一种常用的极限求解方法。
它提供了一种判断函数极限的方法，特别适用于无法通过代数计算直接得到极限的情况。
夹逼准则的核心思想是通过构造夹逼或挤压的方式，将要求解的函数与已知的函数夹在两者之间，利用已知函数极限的性质推导出待求函数的极限。
因此，夹逼准则常用于处理复杂函数的极限问题，帮助我们对其极限进行估计和求解。
夹逼准则往往涉及到一系列函数，其中最为常见的情况是求解当自变量趋于其中一特定值时，函数的极限。
为了更好地理解夹逼准则在求极限中的应用，下面将介绍一些典型的例子。
案例一：求极限考虑函数f(x) = x sin(1/x)，要求证明：当x趋于0时，f(x)的极限为0。
解：首先，我们可以观察到sin函数在区间[-1, 1]上有界，即-1≤sin(1/x)≤1、另外，根据x的趋近方式，我们可以得到以下不等式：-x≤x sin(1/x)≤x根据夹逼准则，如果当x趋于0时，上面的不等式失去其成立性，那么极限不存在。
反之，如果我们可以证明当x趋于0时，不等式依然成立，那么可以得出f(x)的极限为0。
由于上面不等式的两边都是x的线性函数，因此可以得到以下推论：当x趋于0时，-x的极限为0，x的极限为0所以，当x趋于0时，根据夹逼准则，我们可以得出f(x)的极限为0。
案例二：求极限考虑函数g(x) = x^2 cos(1/x)，要求证明：当x趋于0时，g(x)的极限不存在。
解：与案例一类似，我们可以观察到cos函数在区间[-1, 1]上有界，即-1≤cos(1/x)≤1、另外，由于x^2大于等于0，因此可以得到以下不等式：-x^2≤x^2 cos(1/x)≤x^2根据夹逼准则，如果当x趋于0时，上面的不等式失去其成立性，那么极限不存在。
反之，如果我们可以证明当x趋于0时，不等式依然成立，那么可以得出g(x)的极限存在。
(2021年整理)利用夹逼准则求极限
（完整）利用夹逼准则求极限编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）利用夹逼准则求极限）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）利用夹逼准则求极限的全部内容。
利用夹逼准则求极限 夹逼准则的使用方法：定理1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小.要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍,并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。
题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限. 证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项,则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)()(lim 1)()(limx x x n x n βαβα==例1.求)21 (4)121(lim 222nn n n n ++++++∞→.解：.11lim 22lim 22lim 2121lim222222==++=++=++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n由推论1，.1221 (4)1212122222→+≤++++++≤+←n n nn n n nn n由夹逼准则可得所求极限为1.例2。
求).1...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→解：.11lim 111lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n由推论1,.011 (2111022222)→++≤+++++++++≤++←n n nn n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0。
利用夹逼定理求极限
利用夹逼定理求极限
夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于通过构造夹逼函数来确定极限值的情况。
夹逼定理的原理是，当存在两个数列lim an = lim bn = L，且对于所有n，都有an ≤ cn ≤ bn，那么有lim cn = L。
具体的步骤如下：
1. 首先，确定要求解的极限表达式。
2. 根据给定的函数表达式，找到一个或多个夹逼函数。
3. 判断夹逼函数的极限是否存在，并求出它们的极限值。
4. 利用夹逼定理，得出原极限的极限值。
以下是一个例子：
求lim (3n^2 - 2n + 1)/(2n^2 + 3n)。
解：首先，我们可以发现夹逼函数an = 3n^2/(2n^2 + 3n)和bn = (3n^2 + 4n)/(2n^2 + 3n)都可以夹住原函数。
然后，我们计算an和bn的极限：
lim an = lim (3n^2/(2n^2 + 3n)) = 3/2
lim bn = lim ((3n^2 + 4n)/(2n^2 + 3n)) = 3/2
根据夹逼定理，我们可以得出lim (3n^2 - 2n + 1)/(2n^2 + 3n) = 3/2。
所以，利用夹逼定理，我们成功求得了极限值。
通过构造夹逼函数，夹逼定理可以帮助我们确定复杂函数的极限值，但需要注意选择夹逼函数时要考虑函数的性质和区间的选择。
夹逼准则求极限例题
夹逼准则求极限例题
以下是一道夹逼准则的极限例题：
考虑函数序列f_n(x) = x^n(1-x), 其中n为正整数，x为实数且0≤x≤1。
我们想要求该函数序列在区间[0,1]上的极限，即lim(n→∞) f_n(x)。
根据夹逼准则，我们需要找到两个函数序列g(x)和h(x)，使得g(x) ≤ f_n(x) ≤ h(x)对于所有的n
成立，并且当n趋向于正无穷时，g(x)和h(x)的极限相等，即lim(n→∞) g(x) = lim(n→∞) h(x)。
这样我们就可以得到lim(n→∞) f_n(x)的极限。
首先，我们来求g(x)和h(x)。
令g(x) = 0和h(x) = x^n。
对于所有的n和x，我们有0 ≤ x^n(1-x) ≤ x^n。
因此，g(x) ≤ f_n(x) ≤ h(x)对于所有的n成立。
接下来，我们来求lim(n→∞) g(x)和lim(n→∞) h(x)。
对于g(x)，我们有lim(n→∞) g(x) = lim(n→∞) 0 = 0。
对于h(x)，因为0 ≤ x ≤ 1，所以当n趋向于正无穷时，x^n趋向于0（假设x不等于1）。
因此，lim(n→∞) h(x) = lim(n→∞) x^n = 0。
由于lim(n→∞) g(x) = lim(n→∞) h(x) = 0，根据夹逼准则，我们得到lim(n→∞) f_n(x) = 0。
因此，函数序列f_n(x)在区间[0,1]上的极限为0。
用数列极限计算函数极限的夹逼定理
核心提示：1、夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。
2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间
1、夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。
2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。
应用
1、设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a。
2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。
夹逼定理准则1
2
0
cos x 1
1 cos x
2 sin2
x
2
x 2
x2
,
2 2 2
即
x2 0 1 cos x ,
2
10
当x 0时, x 2 0,由夹逼定理知l：imcos x 1,
2
x0
再由1式及夹逼定理得：
lim sin x 1. x x 0
1
x
a a
x
a
,
x
由于
x
lim1
a a
e,
x x
令
1
a a
u,
由复合函数求极限的法则：
x
lim1
a
x
limua
ea.
x
x
ue
lim1
a
x
ea
x x
第七节 极限存在准则 两个重要极限
夹逼准则
推出
重要极限:
lim
x0
sin x x
1
应
极限存在准则
单调有界数列 推出 必有极限
重要极限:
lim1
1
x
e
用
x x
柯西极限存在准则
1
一、极限存在准则及重要极限
1.极限存在准则
①夹逼准则 （夹逼定理）
准则1：如果数列xn,yn及zn满足下列条件：
证：先设x 0, x 0, 可设0 x .
2
如图：A,C在单位圆周上,AOC x,
OC是半径,且AB OC , DC OC ,
用数列极限计算函数极限的夹逼定理
用数列极限计算函数极限的夹逼定理摘要 通过对一些实例的分析介绍了两个利用数列极限计算函数的夹逼定理，可以有效的计算一类函数极限.关键词 数列极限 函数极限 夹逼定理函数极限1lim(1)x n e x→∞+=在计算函数极限和数列极限中起着重要的作用.许多数学分析教材中称之为重要极限.但一些教材再推导过程中，叙述中含糊，不够准确.本文通过对几个实例的分析介绍了2个利用数列极限计算函数极限的夹逼定理.1.问题的提出.下文中我们只研究1lim(1)x n e x →∞+=，因为1lim(1)x n e x→∞+=可用换元法得到.首先来看一个应用.引例1.1计算3333lim()1n n n n →∞++解：33212132333312lim()lim 111112n n n n n e n n n +-→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥+⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦评注 1.1 本例中数列极限31231lim 112n n e n +→∞⎛⎫ ⎪+= ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，很多同学认为是由于1lim(1)n n e n →∞+=.但这种想法是似是而非的.严格的讲这是由1lim(1)x n e x→∞+=及Heine 定理得出来的．类似的例子几乎都是如此．可见1lim(1)x n e x→∞+=为什莫成立时确实需要弄明白的. 引例1.2证明证明：对于任意的1x ≥，有 [][][][]11111111x x xx x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中[]x 表示ｘ的整数部分，令x →+∞时，不等式左，右两侧表现为两个极限．11lim(1)n n e n +→∞+= 与1lim(1)1nn e n →∞+=+再利用函数极限的夹逼性得到1lim(1)x n e x→∞+=评注1.2本例中所述“令x →+∞时，不等式左，右两侧表现为两个数列的极限”部分说得比较含糊，对于初学学生理解起来较为困难，更不将“n →∞”与“x →+∞”区分开．下面我们分析一下是否数列极限1lim(1)1nn e n →∞+=+能够明显得到函数[][]1lim 11x x e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎪+⎝⎭.研究数列极限如函数极限时.我们都会想到HEINE 定理.根据HEINE 定理.[][]1lim 11x x e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎪+⎝⎭的充分必要条件是对于任意趋于+∞的数列{}n x 都有[][]1lim 11n x x n e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎪+⎝⎭当n x n=时，数列[][]111n x n x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪+ ⎪⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭=121111,1,,1,11211nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭所以 []11lim 1lim 111nx nn n n e x n →∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 当2n x n =数列[][]214921111111,1,1,1,11141911n x n n x n ⎧⎫⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭是数列111n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭的子列，所以 [][]2211lim 1lim 111n x n n n n e x n →∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭. 但是当n x 时，数列[][]11121111111,1,1,1,1,111111121n x n x ⎧⎫⎛⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++ ⎪⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ +++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎝⎩⎭，显然数列111nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭是数列1⎛ ⎝的子列.因此从逻辑上我们就不能直接由1lim(1)1n n e n →∞+=+得到lim 1n e →∞⎛ += ⎝也就不能直接得到[][]1lim (1)1x n e x →+∞+=+.至于有的教材中将[][]111n x n x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪+ ⎪⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭认为是111n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭的子列，则是明显不对的.2．主要结果通过上节讨论，我们可以提出下面的用数列极限计算函数极限的夹逼定理 定理2.1 设()f x 在[],a +∞上有定义()0a >，如果存在数列{}n x ，{}n y 满足对于任意x a ≥当()1n x n n N +≤<+∈时，有()n n x f x y ≤≤，且lim lim n n x x x y A →∞→∞==（A为有限数），则()lim x f x A →+∞=.证明：0ε∀>，由于lim lim n n x x x y A →∞→∞==所以N N +∃∈（不妨设N a ≥）当n >N 时，有n x A ε-<且n y A ε-<.取X=N+1当x > X 时，总可以找到0n N +∈满足0n N >且001n x n ≤<+，由条件可得()00n n x f x y ≤≤.所以()00n n x A f x A y A -≤-≤-，于是(){}00max ,n n f x A x A y A ε-≤--<，由极限定义知()lim x f x A →+∞=.例2.1 证明1lim 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.证明：对于1x ∀≥，当1n x n ≤<+时，有[][][][]111111111111111x x nxn n x x x n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+<+<+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭而111lim 1lim 11n n x x e n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.由定理2.1可知1lim 11xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪+⎝⎭. 例2.2 证明1lim 1xx x →+∞=.证明：对于1x ∀≥，当1n x n ≤<+时有[][][]()[]()111111111n xx x nn x x x n ++=<<+=+而且()111lim lim 11n nx x nn +→∞→∞=+=.由定理2.1可知1lim 1xx x →+∞=.在学习定积分时遇到下面的习题：例2.3.计算极限0cos limxx t dt x→+∞⎰解：对于任意的2x π≥当()()()212122k k x k N ππ+-+≤<∈时，有21222112cos cos cos 12i kxi i t dt t dt t dt k πππ+-=≤+=+∑⎰⎰⎰及()211222112cos cos cos 121i k xi i t dt t dt t dt k πππ+--=≥+=+-∑⎰⎰⎰于是()()()()()()()0cos 22112*122112*2121212122xt dt k k k k k k k xk ππππ-+-++=≤≤=+-+-⎰而且()()()()2212212lim lim 2121k k k k k k πππ→∞→∞-+==+-.所以受定理2.1的启发.结论应该是0cos limxx t dt x→+∞⎰=2π.然而这并非用定理2.1的结果，事实上定理2.1中控制x 的间隔是1（从n 到n+1），而例2.3中控制x 的间隔是π（从()212k π-到()212k π+）.那末能不能有更一般的结果可以涵盖例2.3的结果呢？下面我们给出更一般的结果.定理2..2 设()f x 在[),a +∞上定义()0a >，如果存在数列{}n x .{}n y .且存在一个趋于+∞的一个递增的正数列{}n a .满足对于任意x a ≥，当()1n n a x a n N ++≤<∈时，有()n n x f x y ≤≤且lim lim n n x x x y A →∞→∞==（A 为有限数）.则()lim x f x A →+∞=.证明：0ε∀>.由于lim lim n n x x x y A →∞→∞==.故N N +∃∈，当n N >时，有n x A ε-<.且n y A ε-<，取{}1max ,N X a a +=，当x X >时，由于()n a n →+∞→∞，故区间[)[)11,,n n n N X a a ∞+=++∞⊂，因此总可以找到0n N +∈满足01n N N ≥+>且001n n a x a +≤<，由条件可得()00n n x f x y ≤≤，所以()00n n x A f x A y A -≤-≤-于是(){}00max ,n n f x A x A y A ε-≤--<.由极限定义知()lim x f x A →+∞=.评注2.1通过上面的思考可以学会或更好的理解下面的知识点 （一）数列极限和函数极限的概念.（二）体现数列极限和函数极限的关系的Heine 定理. （三） 数列极限夹逼定理和函数极限的夹逼定理. （四） 数列极限和其子列极限之间的关系. （五） 新的用数列极限计算函数极限的方法.参考文献•陈纪修 於崇华 金路.数学分析(第二版)[上][M].北京:高等教育出版社,2004.84-85.• 陈传璋 金福临 朱学炎 欧阳光中.数学分析(第二版)[上][M].北京:高等教育出版社,1983.71-72.• 周民强.数学分析(第一册)[M].上海:上海科学技术出版社,2002.107-108. •李成章 黄玉民.数学分析(上)[M].北京:科学出版社,1983.61.。
1-15夹逼准则
(2)
lim
n
yn
a,
lim
n
zn
a,
那末数列 xn的极限存在,
且lim n
xn
a.
例1
求 lim x x0
2 x
.
解
由取整函数的定义,
有
2 x
1
2 x
2, x
故当 x 0 时,
2
x
x
2 x
2;
当x0Biblioteka 时,2 x 夹逼准则
夹逼准则
y
O
y h(x)
y a
y f (x) y a y a
y g(x)
x0 x0 x0
x
关于函数极限的夹逼准则
0
定理 设 x U ( x0 , ) ( | x | X ) 时, 有
g( x) f ( x) h( x) .
若 lim g( x) lim h( x) a , 则必有
x x0
x x0
2 0, 当 0 | x x0 | 2 时, | h( x) a | .
即 a h( x) a .
3 0, 当 0 | x x0 | 3 时, | g( x) a | . 即 a g(x) a .
n(
n 2!
1)
an2
ann
n(
n 2!
1)
an2
0 an
2 n1
1
1 nn 1
2
n1
小结
小结：这一讲我们学习了夹逼准则，又称为两边夹法则或者 夹挤准则等。在使用的过程中，要注意不等式的放缩技巧， 注意放缩后不等式两边的函数或者数列的极限一定要相等。
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利用夹逼准则求极限精
编W O R D版
IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
利用夹逼准则求极限
夹逼准则的使用方法：
定理1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。
要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。
题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限
推论1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。
证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)
()(lim 1)()(lim x x x n x n βαβα== 例1.求)21...4121(lim 222n n n n n ++++++∞→. 解：.11lim 22lim 22lim 2
121
lim 222222==++=++=++∞
→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n 由推论1，.1221...41212122222→+≤++++++≤+←n n n n n n n n n
由夹逼准则可得所求极限为1.
例2.求).1...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞
→
解：.11lim 1
1
1
lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01
1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0.
例3.求)....2211(lim 222n n n n n n n n n +++++++++∞
→ 解：
由推论1，
2
1112)1(...221112)1(2122222→++⋅+<+++++++++<++⋅+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2
1. 由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩 接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧
例4.求!
2lim n n
n ∞→. 解：).(42...322212!20放到第二项最大！
n n n n ≤⨯⨯⨯⨯=< 且0!
4lim =∞→n n .故由夹逼准则可知.0!2lim =∞→n n n 例5.求).1(lim >∞→ααn n n
解：设),0(1>+=h h α则 从而,)1(202
h n n
n -<<α因为,0)1(2lim 2=-∞→h n n 由夹逼准则可知.0lim =∞→n n n
α
例6.求.1)!sin(lim 3
2+∞→n n n n 解：由于,111)!sin(0333232
323
2n
n n n n n n n n n ==<+≤+≤(三角函数有界性) 即332311)!sin(1n
n n n n <+<-,而,01lim 1lim 33==-∞→∞→n n n n 由夹逼准则可知.01)!sin(lim 3
2=+∞→n n n n 例7.求.)321(lim 1n n n n ++∞
→ 解：原式.]1)3
2()31[(3lim ]1)32()31[(3lim 11n n n n n n n n ++=++=∞→∞→ 因为1)32()31(0<+<n n ,31)3
2()31(1<++<n n , 两边同时乘以n 3得到133213+<++<n n n n ,
再两边同时开n 次方根得到.33]321[311
n n n n ⨯<++<
当∞→n 时,.3lim 3133lim 3)33(lim 11左边右边===⨯=⨯=⨯=∞→∞→∞→n n n n n
故由夹逼准则可得.3)321(lim 1
=++∞→n n n
n 例8.求[].lim x
x x ∞→ 解：由取整函数的性质可知[].1x x x ≤≤- 当,0时>x [][]；即111,1≤≤-≤≤-x
x x x x x x x x 当,
0时<x [][]；即111,1≥≥-≥≥-x x x x x x x x x 因为，1)11(lim =-∞→x
x 由夹逼准则可得[].1lim =∞→x x x 例9.求).0,0(lim 0>>⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+→b x b x x αα 解由取整函数的性质可知)0(1≠≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-x x
b x b x b , 当0>x 时，各项乘以αx 得到ααααb x b x x b ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<- 因为,)(lim 0αααb x b
x =-+→由夹逼准则可得.lim 0ααb x b x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。