高等代数习题及答案(1)
高等代数习题答案
《高等代数》习题答案一、1、存在多项式()()()()()()1,=+x v x g x u x f x v x u 使得与2、()()x f x f '和互质3、()()的重因式为x f x p4、05、1，-26、()k n n --121 7、3 8、- 48 9、相 10、相11、1或2（有非零解） 12、()()A r A r = 13、无 14、12 15、9816、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0001 17、E 18、()2222121,,r n Z Z Z x x x f ++= 19、()22122121,,r p p n Z Z Z Z x x x f --++=+ 20、大于零21、α为非零向量，α不能由β线性表出 22、无 23、关于V 的加法和数乘封闭 24、对于 V 中任意向量α、β和数域P 中任意数K 都有()()()βαβαA A A +=+和()()ααkA k A = 25、相似 26、线性无关的27、线性变量A 在数域P 中有个互异的特征的值 28、1 29、T A ，1 30、线性无关的 31、正交矩阵二、1、1）()()7422+--x x x 有理根22）()()333122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 有理根31,2-2、()()()n mx x n mx x n mx x x ---++=++-2342211=b ax x x x +++-23463 由7,37,3-==⇒=-=b a n m3、1）0211211211=+++→cba2)31131031605510019182402113------→9532001235250019182402113-----→409201235250019182402113=-----→3)1103100321011111033100321011111993952032101111=→→→4)()()()xaan x a x an x a a an x111-+-+-+→()[]a n x 1-+=xaa x a a111→()[]a n x 1-+ax a x a a --001=()[]()11---+n a x a n x5)n n y x +6)nna a a a a1001010011110---→nn a a a a a a 211011⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=4、1）系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---11178424633542 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→572527003542 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→000570005442通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=24231221157522t x t x t x t t x 则基础解系[]⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==57,1,0,520,0,1,221x x2)系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----7931181332111511⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→0000004720123018144472047201511通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221122723t x t x t t x t t x 则基础解系为[]⎪⎩⎪⎨⎧--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,0,2,10,1,27,2321x x5、1）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----112131111202121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→00000151505205301151501515002121通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+===+=21423122151515352t t x t x t x t x 令21,t t 为0，则特解⎥⎦⎤⎢⎣⎡=51,0,0,520x通解⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=511053101051005221t t x , 21,t t 为任意常数2）扩展矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---787695754636323⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000015100090232102001510036323通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=24231221151332t x t x t x t t x 令21,t t 为0，则特解[]0,1,0,00=x通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=150300132010021t t x , 21,t t 为任意常数6、扩展矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------11111111112111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→00220020201220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→022********220011111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→02200020*******11111 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--=-=+++022022141434244321x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-===⇒414141454321x x x x则432141414145ααααβ--+=5、因四元非齐次线性方程组的系数矩阵秩为3， 则通解形式为110x t x x +=则通解为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=432154321t x ， 1t 为任意常数6、()()A A x A x A 122--=⇒=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1111221124100111032100111011x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡411010103⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=3222352257、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1012010411001210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→1012001210010411⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→1283001210010411⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→2112311240101120011232001210011201则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----21123124112 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1243012210011101101201221000111110111010012001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→3132341032313201031313100112430323132010313131001，则逆矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----3132343231323131318、原式=()1123---AA A 3421322123111=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⋅-=--A9、⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡00CA ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==A X CX A X CX E 21221112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⇒--112121221100C A AX X X 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111ACX10、1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----524212425，,011225,05>=>01524212425>=---- 正定 2）064320222210,02422210,010,3020222210<-=-<-=->⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡- 不正定11、0545212111,0111,01,521211122>--=-->-=>⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--t t t tt t t t t则054<<-t12、1）031610213510610213112311213≠-=---→---→----03321021112210211131021211≠=-→--→，故为3P 的两组基 2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----173510101610211213131112021311211213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→0721010161031280313、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----00000110201000003306031155033033311341335512333则基为[][]3,3,1,34,5,2,3---与, 维数为214、1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100,0010101001M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡131211232221333231a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111213212223313233a a a a a a a a a2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-10010001,11000011k M k M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211111a a a a k a k a k a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33323123222113121111a ka a a k a a k a ka a3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100011001,100110011M M=-AM M 1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-333231231322122111131211a a a a a a a a a a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-++--+=33323231231322122221121113121211a a a a a a a a a a a a a a a a15、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111101011B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101则=B 110010001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111101011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121011101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21122011016、1）()()215122212221+-=---------=-λλλλλλA E 特征值1,521-==λλ（二重）51=λ代入()01=-X A E λ得基础解系[],1,1,11=X 特征向量为321εεε++12-=λ代入()02=-X A E λ得基础解系[][]1,1,0,1,0,132-=-=X X特征向量为3231εεεε--和由3dim dim dim 21P w w =+λλ知可对角化。
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x --6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+-- 7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩ 8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数期末试题及答案
高等代数期末试题及答案1. 选择题1.1 题目：解线性方程组已知线性方程组：\[\begin{cases}2x - 3y + z = 7 \\4x + y - 2z = -1 \\3x - 2y + 2z = 5\end{cases}\]其中，x、y、z为实数。
求解该线性方程组的解。
1.1 答案：解线性方程组的步骤如下：通过高斯消元法，将方程组化为行简化阶梯形式：\[\begin{cases}x - \frac{12}{7}z = 5 \\y - \frac{5}{7}z = 2 \\0 = 0\end{cases}\]由最后一行可以看出，方程存在自由变量z。
令z为任意实数，可以得到：\[\begin{cases}x = 5 + \frac{12}{7}z \\y = 2 + \frac{5}{7}z \\z = z\end{cases}\]因此，该线性方程组的解为：\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 +\frac{12}{7}z \\ 2 + \frac{5}{7}z \\ z \end{pmatrix}\]2. 填空题2.1 题目：求行列式的值计算行列式的值：\[D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\]2.1 答案：计算行列式的值，可以通过按任意行或列展开的方法来求解。
选择第一行进行展开计算：\[D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}\]计算上述三个二阶行列式的值，得到：\[D = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 2 \cdot (4 \cdot 9 - 6 \cdot 7) + 3\cdot (4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 0\]因此，行列式的值为0。
高等代数试卷及答案__(一)[1]
![高等代数试卷及答案__(一)[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/62321d0ff78a6529647d53c8.png)
一、填空题（共10 题，每题2分，共20分）。
1． 多项式可整除任意多项式。
2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。
3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于 个是0D =。
4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A *= 。
5．实数域上不可约多项式的类型有 种。
6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的 重因式。
7．写出行列式展开定理及推论公式 。
8．当排列12n i i i 是奇排列时，则12n i i i 可经过 数次对换变成12n 。
9．方程组12312322232121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当满足 条件时，有唯一解，唯一解为 。
10．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。
二、判断题（共10 题，每题1分， 共 10分）。
1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
（ ）2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。
（ ） 3．设12n ααα 是nP 中n 个向量，若nP β∀∈，有12,n αααβ 线性相关，则12n ααα 线性相关。
（ ）4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。
（ ） 5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。
（ ） 6 秩()A B +＝秩A ，当 且仅当秩0B =。
（ ） 7．向量α线性相关⇔它是任一向量组的线性组合。
（ ）8． 若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。
（ ） 9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。
高等代数习题及答案
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高等代数习题及答案篇一：高等代数试题及答案中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷共2页第2页五(10分)证明：设A为n级矩阵,g(x)是矩阵A的最小多项式,则多项式f(x)以A为根的充要条件是g(x)|f(x).六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,A,B是V上的线性变换，且ABBA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间.a七(10分)设2n阶矩阵Ababbab,ab,求A的最小多项式.a八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式px,qx互素,且满足pfqf0(零变换),Skerqf求证：VWS,Wkerpf中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试学院(A卷)答案一.判断题1.×2.×3.×4.√5.√二.解：1A=11111111111113，｜EA|(4)，所以特征值为0，4（3重）.将特征值代入，求解线性方程组(EA)x0，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量：1＝(12,12,112,2)'，2＝(-0,0)'，3＝(-0)'，4＝(-6662'.126111所以正交阵T2641而T'AT0206122三.证：(1)A,BM.验证AB,kAM即可.01 1(2)令D0En110，D为循环阵，E1Dk0EnkEk0，(Ek为k阶单位阵)则D,D2,,Dn1,DnE在P上线性无关..0且Aa1Ea2Dan1Dn2anDn1，令f(x)a1a2xanxn1,有Af(D).BM，必P上n1次多项式g(x)，使Bg(D)，反之亦真.ABf(D)g(D)g(D)f(D)BA(3)由上可知：E,D,D2,,Dn1是M的一组基，且dimMn.四.解：A 的行列式因子为D3()(2)3,D2()D1()1.所以，不变因子为d3()(2)3,d2()d1()1，初等因子为(2)3，2因而A的Jordan标准形为J1221五．证："":f(x)g(x)q(x)""：f(A)0,g(A)0f(A)g(A)q(A)0设f(x)g(x)q(x)r(x),r(x)0或(r(x))(g(x)).所以0＝f(A)g(A)q(A)r(A),因而r(A)0.因为g(x)为最小多项式，所以r(x)0.g(x)|f(x).六．证：在B 的核V0中任取一向量，则()A(BB(A)BA)AB(A)0所以A在B下的像是零，即AV0．即证明了V0是A的不变子空间．在B的值域BV中任取一向量B，则A(B)B(A)BV.因此，BV也是A的不变子空间．综上，B的值域与核都是A的不变子空间．七．解：EA(a)b22n篇二：高等代数习题及答案(1)高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、p(x)若是数域F上的不可约多项式，那么p(x)在F中必定没有根。
《高等代数》第一章习题及答案
习题1.1解答1.下列数集哪些是数域？哪些是数环？哪些既非数域也非数环？1）所有正实数所成的集合．2）所有偶数（或奇数）构成的集合． 3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合．4）F={Q b a b a ∈+,23}．解 1）所有正实数所成的集合对减法不封闭，所以不是数环，当然也非数域．2）所有偶数构成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．4）在F={Q b a b a ∈+,23} 中取32，显然32×32∉F ，即对乘法不封闭，所以F 不是数环，当然也非数域．2.证明：两个数域的交是一个数域．解 设A ，B 是两个数域，则0,1∈A ，0,1∈B ，从而0,1∈A ∩B ；对任意x,y ∈A ∩B ，有x,y ∈A 和x,y ∈B ，从而x+y ∈A ，x-y ∈A ，x ×y ∈A ，x ÷y ∈A （对y ≠0），同样也有x+y ∈B ，x-y ∈B ，x ×y ∈B ，x ÷y ∈B （对y ≠0），所以x+y ∈A ∩B ，x-y ∈A ∩B ，x ×y ∈A ∩B ，x ÷y ∈A ∩B （对y ≠0），故A ∩B 是数域．3*.证明：F={a+bi|a,b ∈Q}（i 是虚单位）是一个数域．解 显然0=0+0i ∈F ，1=1+0i ∈F ；对任意a+bi,c+di ∈F ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈F ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ∈F ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈F ，若c+di ≠0，则(a+bi)÷(c+di)=F i d c ad cb d c bd ac d c di c bi a ∈+-+++=+-+222222)())((．所以F 是数域．4*.证明：G={a+bi|a,b ∈Z}是数环而不是数域．解 对任意a+bi,c+di ∈G ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈G ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i∈G ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈G ，所以G 是数环．数1=1+0i ∈G ，2=2+0i ∈G ，2≠0，但1÷2∉G ，所以G 不是数域．习题1.2解答1.用行的初等变换，将下列矩阵化为行最简形．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-213312011 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321③⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112110013 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213312011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-240330011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--200110011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----23/700200032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----200023/70032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001 ③⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112110013→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443100131211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564036401211 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200036401211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100006400211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100002/31002/101 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----231890126306600010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----660002318901263010521 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11000130001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---40000110001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10000010000063000521 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000100000310001012*.用行的与列的初等变换，将上题中的③化成形为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000sE 的矩阵． 解 接上题中的③的行最简形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100004/61002/101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000100001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********习题1.3解答1.写出以下列行最简形矩阵为增广矩阵的线性方程组的全部解．①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032100301 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110000010010011 解 ①对应的线性方程组可写为⎩⎨⎧+=-=32312330x x x x令x 3=c ，得x 1=-3c ，x 2=3+2c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=c x c x c x 321233 其中c 为任意数．② 对应的线性方程组可写为⎪⎩⎪⎨⎧==-=1014321x x x x令x 2=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=1014321x x c x c x 其中c 为任意数．2.解下列线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432321321321321x x x x x x x x x x x x③⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x ④⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2/54/112/502/174/112/502124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110034111002124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2400034111002124 由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，所以原方程组无解．② 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328341325421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----147702814140147705421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000021105421 对应的同解方程组可写为⎩⎨⎧+=--=-323212452x x x x x令x 3=c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=cx c x cx 321221 其中c 为任意数．③对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020000100011112 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧=+-=02/12/12/14321x x x x令x 2=c 1，x 3=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=021212142312211x c x cx c c x 其中c 1，c 2为任意数．④ 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111124312325341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------5957010181014025341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000005957025341 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧+-=--+-=+432432195575324x x x x x x x令x 3=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-=++=24132122117/97/57/57/7/7/6c x c x c c x c c x 其中c 为任意数．3.解下列齐次线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----430013101211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---430030103/4001 令x 4=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=cx c x c x c x 43213/433/4 中c 为任意数．② 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---040004001121~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004001121对应的同解方程为⎩⎨⎧=-+-=+04234231x x x x x令x 2=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=2431221102c x x c x c c x ③ 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----5132631472137421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----199703419901410707421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----51007/1127/43001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----510011243001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100051001410707421 系数矩阵的秩为4，对应的齐次线性方程组只有零解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x4.讨论a,b 取什么值时下面的线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？①⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=-+b x a x x x x x x x x 3221321321)5(322 ②⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x ax x x 解 ①系数矩阵的行列式为5111211112--a =400211112--a =(a-2)(a+2)当a ≠2且a ≠-2时，方程组有唯一解。
高等代数课程试卷
高等代数课程试卷及参考答案代数与解析几何试题（一）一、计算（20分）1）3643141227251531------- 2）ax aaa a x a a a ax ---二、证明：（20分）1）若向量组n αα 1线性无关，则它们的部分向量组也线性无关。
2）若向量组n αα 1中部分向量线性相关，则向量组n αα 1必线性相关 三、（15分）已知A 为n 阶方阵A ~为A 的伴随阵，则|A |=0，A ~的秩为1或0。
四、（10分）设A 为n 阶阵，求证，ran k （A+I ）+ran k （A-I ）≥n 五、（15分）求基础解系⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=+--032030432143214321x x x x x x x x x x x x 六、（10分）不含零向量的正交向量组是线性无关的 七、（10分）求证△ABC 的正弦正定理Cc Bb Aa sin sin sin ==答案(一)一、1）-126 2）1)2]()2([---+n a x a n x 二、证明：1）n αα 1线性无关，r αα 1是其部分向量组，若存在不全为0的数r k k 1使011=++r r k k αα 则取021=++=++n r r k k k ，则000111=++++++n r r r k k αααα ，则可知n αα 1线性相关矛盾，所以r αα 1必线性无关。
2）已知r αα 1是向量组中n αα 1中的部分向量，且线性相关即r k k 1 不全为0，使011=++r r k k αα ，取01===+n r k k ，于是有不全为0的001 r k k ，使000111=++++++n r r r k k αααα 即nαα 1线性相关。
三、证明：I A A A A A A ||||||||~=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=由于|A |=0 ，A 的秩≤n -11）若A 的秩为n -1，则A ~中的各元素为A 的所有n -1阶子式，必有一个子式不为0，又由于A ~的各列都是AX =0齐次线性方程组的解，其基础解系为n-（n -1）=1，由此A ~的秩为1。
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数习题(北大第四版)答案一到四章.
高等代数答案第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ：1）123)(,13)(223+−=−−−=x x x g x x x x f ；2）2)(,52)(24+−=+−=x x x g x x x f 。
解1）由带余除法，可得92926)(,9731)(−−=−=x x r x x q ；2）同理可得75)(,1)(2+−=−+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有1）q px x mx x ++−+32|1，2）q px x mx x ++++242|1。
解1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=−+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=−=++012m q m p 时有q px x mx x ++−+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=−−+=−−010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=−−m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==1q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =−−=+；2）32(),()12f x x x x g x x i =−−=−+。
解1）432()261339109()327q x x x x x r x =−+−+=−；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=−−+=−+。
4．把()f x 表示成0x x −的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +−+−++−+⋯的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =−+=−；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+−+−++=−。
大学高等代数试题及答案
大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。
A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。
A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。
A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。
7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。
8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。
9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。
10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
完整版高等代数习题解答(第一章)
完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。
若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。
若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。
综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。
1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。
由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。
用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。
(完整word版)高等代数多项式习题解答
第一章多项式习题解答1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x).5x2. m, p,q 适合什么条件时，有 1) x 2 mx 11 x 3 px qq(x)x 2 x 1, r(x)5x 7.x 3 0x 2 px q xp 10,q m 时 x 2 mx 11 x 3 px1) f(x)x 3 3x 2 2x3x 232x 3xx 1 3 2 2 1x —x -x3 3 7 24 1 x x 3 37 2 14 7 —x ■ x — 3 9 926 2 —x9 9q(x) £ r (x )26 x92) f(x)2x 5, g(x)4 x 4x0x 3 0x 2 x 3 2x 2 x 3 2x 22x 32x x 2xx2x2x 54x 5 x 2 mx 1当且仅当m 2 i,g(x)x 2x 1 1—x 3 3x 2本题也可用待定系数法求解 .当X 2 mx 1| x 3 px q 时，用x 2 mx 1去除x 3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为 x q.于是有因此有m 2 p 1 0, q m .2) x 2 mx 11 x 4 2px q由带余除法可得42/ 2x px q (x mx1)( x2mx 2p 1 m ) m(2pm 2)x (q 1 pm 2) 当且仅当r(x) m(2 p 2m )x (q 1 p m 2) 0 时2x 42mx 11 x pxq .即m(2 p m 2) 2m，即 mQ 或 p 2小m 2,q 1p 0q 1 p,q 1.本题也可用待定系数法求解.当x 2 mx 1|x 4px 2 q 时，用x 2 mx 1去除x 4 px 2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为 x 2 ax q .于是 有3. 求 g(x)除 f (x)的商 q(x)与余式 r(x). 531) f (x) 2x 5x 8x, g(x) x 3; 解：运用综合除法可得 32580 6 18 39 1173272 6 1339 109 327商为 q(x) 2x 4 6x 3 13x 2 39x 109，余式为 r(x) 327.4 2x pxq (x 2ax q)( 2x mx 1)(m a)x 3 (ma2q 1)x(a mq)x q.ma q 1 p,a mq 0.消去a 可得m 0,或2p m 2,q 1 p,q 1.x 4 比较系数可得m a 0,2px q (x q)(x mx 1)x 3 (m q)x 2(mq 1)x q .2) f(x) x 3 x 2x,g(x) x 1 2i .解:运用综合除法得：1 2i 11 1 0 1 2i4 2i 9 8i 1 2i5 2i9 8i商为x 2 2ix (5 2i),余式为9 8i .c 0即为x X o 除f (x)所得的余式，商为q(x) q 可得C 1为x x o 除商q(x)所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数 解：1)解法一：应用综合除法得•1 1 o o o o o11111 111111 112 3 4 1 1 2 3 4 51 3 6 1 1 3 6 1o1 4 1 1 4 1o 14.把 f(; x)表成x X °的方幂和，即表示成CoC 1(X X o ) C 2(X X o )2的形1) f(x) 5x12) f(x) 4x 2x 23, xo2;3) f(x) 4x2ix 3 (1 i)x 2 3x 7 i,x o1分析： 假设 f(x) 为n 次多项式，令f(x)C o G (x X o ) C 2(X X o )2C n (x X o )n式.x o )n1]C o (x X o )[G C 2(x x o )C n (x C 2(x X 。
高等代数习题及答案(1)
高等代数试卷一、判断题〔下列命题你认为正确的在题后括号内打“√〞，错的打“×〞；每小题1分，共10分〕1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。
〔 〕2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。
〔 〕3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。
〔 〕4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。
〔 〕 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。
〔 〕 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
〔 〕 7、零变换和单位变换都是数乘变换。
〔 〕 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。
〔 〕 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
〔 〕10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==ni i i x 1αβ，那么∑==ni ix12β。
〔 〕二、单项选择题〔从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分〕 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是〔 〕 ①()()()()()()n n nx g x f x g x f,,=；②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。
2、设D 是一个n 阶行列式，那么〔 〕①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。
高等代数 习题及参考答案
高等代数习题及参考答案第一章多项式1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：322f(x)?x?3x?x?1,g(x)?3x?2x?1； 1）2）f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。
q(x)?17262x?,r(x)??x?3999；解 1）由带余除法，可得2q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。
2）同理可得2．m,p,q适合什么条件时，有23x?mx?1|x?px?q， 1）242x?mx?1|x?px?q。
2）2(p?1?m)x?(q?m)?0，解 1）由假设，所得余式为0，即?p?1?m2?0?23q?m?0x?mx?1|x?px?q。
?所以当时有?m(2?p?m2)?0?2q?1?p?m?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。
?m?0?q?1??2242p?q?1p?m?2x?mx?1|x?px?q。
??综上所诉，当或时，皆有3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：53f(x)?2x?5x?8x,g(x)?x?3； 1）2）f(x)?x?x?x,g(x)?x?1?2i。
32q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109解 1）r(x)??327；q(x)?x2?2ix?(5?2i)2）r(x)??9?8i。
x?x0的方幂和，即表成4．把f(x)表示成c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：5f(x)?x,x0?1； 1）42f(x)?x?2x?3,x0??2； 2）432f(x)?x?2ix?(1?i)x?3x?7?i,x0??i。
3）2345f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1)解 1）由综合除法，可得； 2）由综合除法，可得x?2x?3?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)；432x?2ix?(1?i)x?3x?(7?i) 3）由综合除法，可得42234?(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2?2i(x?i)3?(x?i)4。
高等代数1考试题及答案
高等代数1考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是（）A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的2. 线性方程组的解集是（）A. 一个点B. 一条直线C. 一个平面D. 一个空集3. 向量空间的基是（）A. 一组线性无关的向量B. 一组线性相关的向量C. 一组向量，但不一定线性无关D. 一组向量，但不一定线性相关4. 矩阵A和B可以相乘的条件是（）A. A的行数等于B的列数B. A的列数等于B的行数C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数5. 矩阵的秩是指（）A. 矩阵中非零行的最大数量B. 矩阵中非零列的最大数量C. 矩阵中非零行和列的最大数量D. 矩阵中零行和零列的最大数量6. 线性变换的特征值是（）A. 变换后向量的长度B. 变换后向量的方向C. 变换后向量长度的缩放因子D. 变换后向量方向的旋转角度7. 二次型可以表示为（）A. 一个对称矩阵B. 一个斜对称矩阵C. 一个正定矩阵D. 一个负定矩阵8. 线性方程组的增广矩阵是（）A. 系数矩阵和常数项的组合B. 系数矩阵和变量的组合C. 常数项和变量的组合D. 系数矩阵和变量的组合9. 矩阵的迹是指（）A. 矩阵对角线元素的和B. 矩阵非对角线元素的和C. 矩阵所有元素的和D. 矩阵所有元素的乘积10. 线性方程组有无穷多解的条件是（）A. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且小于变量的个数B. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩C. 系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩D. 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且等于变量的个数二、填空题（每题4分，共40分）1. 如果矩阵A的行列式为1，则矩阵A是_________的。
2. 线性方程组的解集是空集，说明该方程组是_________的。
3. 向量空间的基是一组_________的向量。
4. 矩阵A和B可以相乘的条件是A的_________等于B的_________。
高等代数第三版习题答案
高等代数第三版习题答案高等代数是一门研究线性代数、多项式、群、环、域等代数结构及其性质的数学分支。
第三版的高等代数教材通常会包含大量的习题，旨在帮助学生更好地理解和掌握代数的基本概念和技巧。
以下是一些习题的答案示例，请注意，这些答案仅为示例，具体习题的答案需要根据实际的题目来确定。
第一章：线性空间习题1：判断下列集合是否构成线性空间，并说明理由。
- 解：集合\{(x, y) ∈ R^2 | x + y = 1\}不构成线性空间，因为它不满足加法封闭性。
例如，取两个元素(1, 0)和(0, 1)，它们的和(1, 1)不在集合中。
习题2：证明线性空间的基具有唯一性。
- 解：设{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}是线性空间V的两个基。
根据基的定义，任何向量v ∈ V都可以唯一地表示为v =c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn和v = d1*w1 + d2*w2 + ... + dm*wm。
由于表示是唯一的，我们可以得出n = m，并且存在一个可逆矩阵P，使得[v1, v2, ..., vn] = [w1, w2, ..., wn]P。
这意味着两个基是等价的，从而证明了基的唯一性。
第二章：线性变换习题1：确定线性变换T: R^3 → R^3，定义为T(x, y, z) = (x + y, x - y, z)的核和像。
- 解：核N(T)是所有满足T(v) = 0的向量的集合。
设(x, y, z) ∈ N(T)，则(x + y, x - y, z) = (0, 0, 0)。
解这个方程组，我们得到x = 0，y = 0，z可以是任意实数。
因此，核是一维的，由向量(0, 0, 1)生成。
习题2：证明线性变换的复合是线性的。
- 解：设T: V → W和S: W → X是两个线性变换。
对于任意的v1, v2 ∈ V和任意的标量c，我们需要证明(S ∘ T)(cv1 + v2) = c(S∘ T)(v1) + (S ∘ T)(v2)。
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高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。
（ ）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。
（ ）3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。
（ ）4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。
（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。
（ ）6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。
（ ）7、零变换和单位变换都是数乘变换。
（ ）8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。
（ ）9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ ）10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==ni i i x 1αβ，那么∑==n i i x12β。
（ ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ）①()()()()()()n n n x g x f x g x f ,,=；②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=；③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。
2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ）①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。
3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ）①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式。
4、设()n x x x f ,,,21 为n 元实二次型，则()n x x x f ,,,21 负定的充要条件为（ ）①负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n -； ④f 的秩=n 。
5、设{}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ）①任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑=≠mi i i k 10α；②任一组数m k k k ,,,21 ，有∑==mi i i k 10α；③当021====m k k k 时，有∑==mi i i k 10α；④任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑==mi i i k 10α。
6、若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（ ）①维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +； ②维()21W W +=维()1W +维()2W ； ③维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ；④维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。
7、设σ是n 维线性空间V 的线性变换，那么下列错误的说法是（ ） ①σ是单射⇔σ的亏=0； ②σ是满射⇔σ的秩=n ；③σ是可逆的⇔核()σ={}0； ④σ是双射⇔σ是单位变换。
8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交的。
9、设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ）①若()()γβγαβα=⇒=,,； ②若βαβα=⇒=；③若()11,=⇒=ααα； ④若()βα,>βα=⇒0。
10、欧氏空间3R 中的标准正交基是（ ） ①()0,1,0;21,0,21;21,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛； ②()1,0,0;21,21;0,21,21⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛；③()0,0,0;31,31,31;31,31,31⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； ④()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1--- 三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。
每空2分，共20分）1、多项式2)(24-+=x x x f 在实数域R 上的标准分解为 。
2、利用行列式的性质可知四阶行列式g f e d c b a 000000000的值为 。
3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增广矩阵的秩等于 。
4、在线性空间V 中，定义()0αασ=（其中0α是V 中一个固定向量）， 那么当=0α 时，σ是V 的一个线性变换。
5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。
6、n 阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类。
7、若基Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为P ，而向量α关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为X 和Y ，那么着两个坐标的关系是 。
8、设W 是线性空间V 的非空子集，若W 对V 的加法和数乘 ，则称W 为V 的子空间。
9、若线性变换σ关于基{}21,αα的矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，那么σ关于基{}12,3αα的矩阵为 。
10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。
四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。
指出错误1分，更正错误2分。
每小题3分，共15分）1、如果)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式，那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式。
2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解，那么B AX =也有无穷多解。
3、设A 是一个n m ⨯矩阵，若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ，则相当对A 施行了一次“A 的第三列乘5加到第四列”的初等变换。
4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量，那么任取221121,,ααk k F k k +∈也是A 的属于0λ的特征向量。
5、设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角。
五、计算题（每小题10分，共40分）1、计算n 阶行列式 0,1111111111111111111121321≠++++=n nn a a a a a a a D2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+++-=+----=--++--=-+-+21931644321452342354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3、解矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--87107210031012423321X4、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,00014321αααα是()F M 2的一个基，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231,2121,1121,25324321ββββ是另一组基，求由{}4321,,,αααα到{}4321,,,ββββ的过渡矩阵，并求向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2945ξ在{}4321,,,ββββ下的坐标。
六、证明题设321,,ααα是三维欧氏空间V 的一个标准正交基，试证：()()()321332123211223122312231αααβαααβαααβ--=+-=-+=也是V 的一个标准正交基。
高等代数试卷参考解答一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10× × √ √ × √ √ × √ √二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ① ④ ③ ① ④ ④ ② ③ ①三、填空题1、()()()2112++-x x x ；2、acef ；3、4；4、0；5、正交；6、()()221++n n ； 7、X P Y 1-=； 8、封闭； 9、⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡b a d c33； 10、相同的维数。
四、改错题1、'那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式。
'2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解，那么B AX =也有无穷多解。
当AX=B 有解时，AX=B 也有无穷多解3、设A 是一个n m ⨯矩阵，若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ，则相当对A 施行了一次“A 的第三列乘5加到第四列”的初等变换。
A 的第4列乘5加到第3列4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量，那么任取,,21F k k ∈5、设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角。
必要条件。