13平面点集的一般概念

一、 复平面点集的一般概念 二、 区域 三、 平面曲线
一、复平面点集的一般概念
定义1 邻域:
平面上以z0 为中心, (任意的正数)为半径的圆:
z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
即 Nδ(z0)={z | |z-z0|<δ}
记
作:Nδ(z0)．
称由不等式0 z z0 所
一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多（复）连通域.
单连通域
多连通域
例2 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是
无界的,单连通的还是多连通的.
(1) Re(z2 ) 1; (2)arg z ; (3) 1 3;
3
z
(4) z 1 z 1 4.
三、 平面曲线
定义6 连续曲线
C的实参数方程
如果 x(t ) 和 y(t ) 是两个连续的实变函数,
那末方程组x x(t ) , y y(t ), ( t ) 代
表一条平面曲线, 称为连续曲线. 终点z()
平面曲线C的复数表示:
yz
z z(t) x(t) iy(t). ( t )
即 z( ) z( ) , 那末称 C 为简单闭曲线.
换句话说, 简单曲线自身不相交.
课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
z(a) z(a) z(b)
z(b) z(a) z(b) z(a)
z(b)
简
简
答单
单
案闭
不
闭
不
不
简
简
单
单
闭
不
闭
简单闭曲线的性质约当定理
任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成
C
C的复参数方程
起点z()
o
x
C的正向：起点终点
例如：
抛物线
y

x2的参数方程是 x y

t, t2
,
复数形式为
z x(t) iy(t) t it2．
圆x2

y2

a2的参数方程为
x y

a cos t , 0
a sin t ,

t

2
,
复数形式为 z a(cost i sint) (0 t 2 )
它为一个区域．
D
(1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何
z2
z1


两点都可以用完全属于D的一
条折线连结起来.
D加上D的边界称为闭域，记为D＝ D+D ．
说明
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不包含边界！
(1) 区域都是开的.
(2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立
C2
z C1
C3
的点所组成的.
以上基 本概念 的图示
边界
y
C,I(C),E(C) 三个互不相交 的点集.满足：
（1）I(C) 是一个有界区域
I(C)
o
E(C)
x
（称为C的内部）.
（2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）.
（3）C是I(C),E(C)的公共边界.
定义8 光滑曲线: 如果在 t 上, x(t) 和 y(t) 都是连续的,
即表示中心为 i, 半径为 2 的圆.
设 z x iy, x ( y 1)i 2,
x2 ( y 1)2 2, 圆方程 x2 ( y 1)2 4.
(2) z 2i z 2 表示所有与点 2i 和 2距离相等的点的轨迹. 故方程表示的曲线就是连接点 2i 和 2的线 段的垂直平分线. 设 z x iy, x yi 2i x yi 2, 化简后得 y x. (3) Im(i z) 4 设 z x iy, i z x (1 y)i, Im(i z ) 1 y 4, 所求曲线方程为 y 3.
点集Ｇ的全体边界点组成的集合称为Ｇ的边界. 记为：Ｇ．
若z0属于Ｇ ，但在z0某邻域内除z0外不含Ｇ的点，
则称z0为G的孤立点．
即 z0为Ｇ的孤立点 δ >0: Nδ(z0) Ｇ={z0}
定义3 开集与闭集
如果 Ｇ 内每一点都是它的内点,那么Ｇ 为开 平集面．上不属于 Ｇ 的点的全体称为Ｇ的余集；开集
z 0
确定的点的集合为z0 的去心邻域.
记作：Nδ0(z0)={z | 0<|z-z0|< δ}
定义2 内点、边界点、孤立点
设有点集Ｇ及一点z0 :
G
若存在点z0 的某邻域 Nδ(z0) Ｇ
则称 z0为Ｇ的内点；
若在z0的任意一个邻域内,都有属于Ｇ的点,也有 不属于Ｇ的点,则称z0为Ｇ的边界点．
1 3 z 1,
z
3
是以原点为中心, 半径为1 3
的圆的外部, 无界的多连通域.
(4) z 1 z 1 4
z1 z1 4 表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, z 1 z 1 4表示该椭圆内部,
有界的单连通域.
例3 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域,
的余集称为闭集． 或开集及其边界的并集称为闭集．
定义４ 有界集和无界集
如果一个点集G可以 被包含在一个以原点为中 心的圆里面,即存在 M 0, 使区域的每一个点都满足
z M , 那末 G 称为有界的,
y z
z
o
x
否则称为无界的.
有界！
二、 区域
定义5 区域
如果平面点集D满足以下两个条件,则称
是多连通域. (4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线 (不包括端点i ), 不是区域.
小结与思考
应理解区域的有关概念: 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、 区域、有界区域、无界区域 理解单连通域与多连通域.
或
z aeit (0 t 2 ).
平面上连接z1和z2两点的直线段复数形式方程为
z z1 (z2 z1)t (0 t 1).
例1 求下列方程所表示的曲线:
(1) z i 2;
(2) z 2i z 2;
(3) Im(i z ) 4.
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离 为2的点的轨迹.
定义7 简单曲线
对于满足 t1 , t2 的 t1 与 t2 ,当
t1 t2 而有 z(t1 ) z(t2 ) 时, 点 z(t1 ) 称为曲线C
的 重 点.
重点
重点
没有重点的曲线 C 称为
重点
简单曲线(或Jordan曲线).
如果简单曲线 C 的起点和终点重合,
且对于t 的每一个值, 有 [ x(t)]2 [ y(t)]2 0,那末 称 这 曲 线 为 光 滑 的.
特 （1）光滑曲线上的各点都有切线
点 （2）光滑曲线可以求长
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线
称为按段光滑曲线.
y
y
o
x
o
x
定义9 单连通域与多连通域: 复平面上的一个区域D, 如果在其中任作
边界
区域
z1
z0
邻域
z2
P边界点
课堂练习 判断下列区域是否有界?
r2
(1) 圆环域: r1 z z0 r2;
r1
z0
(2) 上半平面: Im z 0;
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
y
o
x
答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界.
指出是单连通域还是多连通域? y 6
(1) Im z 3,
5
4
是一条平行于实轴的直线,
3 2
不是区域.
1 -3 -2 -1
x 123
(2) Rez 2,
以 Rez 2 为右界的半平面 (不包括直线Rez 2 ),
单连通域.
(3) 0 z 1 i 2,
以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘,
解 (1)当 z x iy 时,
Re(z2 ) x2 y2,
Re(z2 ) 1 x2 y2 1,
无界的单连通域(如图).
(2) arg z 3
arg z arg z ,
33
3
是角形域, 无界的单连通域(如图).
(3) 1 3 z