13平面点集的一般概念
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1-2节平面点集和连续
2019/2/9
5
逐段光滑 :由几段光滑曲线依次连 接所组成的曲
闭曲线 : 曲线 C :z z ( t)( a t b ), 若起点则 C 称为闭曲线。
简单曲线 :若 t的任何两个不同值 ( a 、 b 除外 )总对应
两个不同的点 ,则曲线称为简单 ,起点 z ( a ) 与
二 . 复变函数的极限
ˆ 定义 设 w f ( z ) 在 U ( z ) 内有定义 , 若对 0 , 0 0 当 0 | z z | 时 , 有 0 |f ( z ) A |
则称 A ( 常数 ) 为 f ( z ) 当 z z 时的极限 , 记为 0
2019/2/9
7
§1.3 复变函数的极限与连续
一 . 复变函数
定义 设 D 是一复 ,若 数对 集 z D ( zx iy )按 之对 ,则 应 称 w 是 z的 复 变 函 数 。
照一定的 ,总 法 有 则 一个或 w 几 u 个 iv 复 与数
记 w 作 f ( z ) u iv ( z D )
lim f(z )A
z z 0
注: 意 ( z x iy z x iy ) 0 0 0 x x 0 p ( x ,y ) p ( x ,y ) 0 0 0 y y 0
z0
即 定义中 z z 的方式是任意的 0
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Im z 例证明 : lim 不存在。 z 0 z
u u ( x , y ), v v ( x , y )
1 例如 w z
令 z x iy , w u iv
1 x iy x y 则 w i2 2 2 2 2 2 x iy x y x y x y
复变函数作业答案
=-251
8．化简
(1 i)n (1 i)n2
解：原式
(1
i)
2
1 1
i i
n
2ie
n 2
i
2i n1
第二次作业
教学内容：1.2 平面点集的一般概念 1.3 复变函数
1. 填空题
(1)连接点1 i 与 1 4i 的直线断的参数方程为 z 1 i (2 5i)t 0 t 1
(2) 以 原 点 为 中 心 ， 焦 点 在 实 轴 上 ， 长 轴 为 a ， 短 轴 为 b 的 椭 圆 的 参 数 方 程 为 z a cos t ib sin t 0 t 2
华东理工大学
复 变 函 数 与 积 分 变 换 作 业 （第 1 册）
班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________
第一次作业
教学内容：1.1 复数及其运算
1.2 平面点集的一般概念
1．填空题：
（1）
3 2
,
5 2
,
3 2
5 2
(2)1 cos i sin (0 )
解：1 cos i sin
2 sin
2
[cos(2
2
)
i sin(2
2
)]
2 sin
2
ei(
2
2
)
1
(3)
(cos 5 (cos 3
i sin 5)2 i sin 3)3
.
解：
(cos (cos
5 3
i i
sin sin
5 3
arg( z
2i)
2
且
第一章-平面点集概念(1)
先介绍几个有关平面曲线的概念。链接曲线概念.ppt
8
(8) 单连通域与多连通域的定义
复平面上的一个区域G, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于G, 就称 为单连通区域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通区域.
单连通域
多连通域
9
例设
，
由定义得知， 是单连通区域
D 是多连通区域．
12
(4) z 1 z 1 4 因 z1 z1 4 表示到1, –1的距离之和 为定值 4 的点的轨迹, 是椭圆, z 1 z 1 4表示该椭圆内部, 有界的单连通域.
13
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5) z 1 z 1 1
令 z r cos ir sin ,
z1 z1 1
[(r cos 1)2 r2 sin2 ][(r cos 1)2 r2 sin2 ] 1 (r2 2r cos 1)(r2 2r cos 1) 1 (r2 1)2 4(r cos )2 1 r 2 2cos 2 ,
办公室：主楼1001
1
§1-2 复平面上曲线和区域
一、平面点集与区域 二、复平面上曲线方程的各种表示
2
一、平面点集的相关概念
邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集， 闭集，区域
(1) 邻域 平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径
的圆内部点的集合
(2) 去心邻域
z
z0
称为 z0 的
邻域 .
15
(3) 0 z 1 i 2, 以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘, 是多连通域.
(4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为 1 的半射线 (不包括端点i ),
8
(8) 单连通域与多连通域的定义
复平面上的一个区域G, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于G, 就称 为单连通区域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通区域.
单连通域
多连通域
9
例设
，
由定义得知， 是单连通区域
D 是多连通区域．
12
(4) z 1 z 1 4 因 z1 z1 4 表示到1, –1的距离之和 为定值 4 的点的轨迹, 是椭圆, z 1 z 1 4表示该椭圆内部, 有界的单连通域.
13
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5) z 1 z 1 1
令 z r cos ir sin ,
z1 z1 1
[(r cos 1)2 r2 sin2 ][(r cos 1)2 r2 sin2 ] 1 (r2 2r cos 1)(r2 2r cos 1) 1 (r2 1)2 4(r cos )2 1 r 2 2cos 2 ,
办公室：主楼1001
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§1-2 复平面上曲线和区域
一、平面点集与区域 二、复平面上曲线方程的各种表示
2
一、平面点集的相关概念
邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集， 闭集，区域
(1) 邻域 平面上以 z0 为中心, (任意的正数)为半径
的圆内部点的集合
(2) 去心邻域
z
z0
称为 z0 的
邻域 .
15
(3) 0 z 1 i 2, 以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘, 是多连通域.
(4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为 1 的半射线 (不包括端点i ),
1.3 平面点集的一般概念解析
§1.3 平面点集的一般概念 第 二、区域 一 1. 区域与闭区域 章 区域 平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件: 复 (1) D 是一个开集； 数 与 (2) D是连通的， 即 D 中任何两点都可以用完全属于 D 复 的一条折线连接起来。 变 函 不 数 连 连通
通
闭区域 区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。 6
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
不简单、不闭
12
§1.3 平面点集的一般概念 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数 4. 内区域与外区域 若尔当曲线定理 任一简单闭曲线将平面分成两个区域，它们
都以该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该闭曲线的
内部（内区域）；另一个为无界区域，称为外部（外区域）。 5. 单连通域与多（复）连通域 定义 设 D 为区域，如果 D 内的任何一条简单闭曲线的内部仍 属于 D，则 D 称为单连通域， 否则称为多连通域。
z xiy
~ f ( x , y ) 0 . (理解方程)
9
§1.3 平面点集的一般概念 第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
2i
2
x 2 ( y 1)2 4 .
(1)
i i i
y 0.
y x.
x2 y2 2 1. 2 2 ( 3)
(2)
z0
z0
3
§1.3 平面点集的一般概念 第 一、平面点集 一 章 2. 内点、外点、边界点、孤立点 考虑某平面点集 G 以及某一点 z 0 ， 复 数 内点 (1) z0 G ; (2) 0 , z : | z z | , 有 z G . 0 与 复 外点 (1) z G ; (2) 0 , z : | z z | , 有 z G . 0 0 变 函 外点 数 边界点 (1) z0 不一定属于 G ； (2) 0 , 在 | z z0 | 中， 内点
平面点集的基本概念定义将有序实数对
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2
称为点 P1 与点 P2的距离，表示为| P1 − P2|或 ρ (P1, P2 ) . 不难证明，对 ℜ2的任意三点 P1, P2 , P3, 它们之间的距离满足三角不等式，即 | P1 − P2 |≤| P1 − P3 | + | P3 − P2 | .
区域列{Rn }, 它满足下列条件：
1）R1 ⊃ R2 ⊃ ⋯ ⊃ Rn ⊃ ⋯ ；
() 2
2) lim d n →∞
Rn
= lim l = 0. 2 n→∞ n−1
每个Rn中所包含D的（非空）子集Dn−1没有有限覆盖.根据定理（1 闭矩形套定理），存在唯一
一点Ρ ∈ Rn (n = 1,2,3,⋯).
{(x, y) | | x − a |< r,| y − b |< r}，
称为点 P(a,b)的 r （方形）邻域，也表为 U (P, r).
注：这两种邻域只是形式不同，无本质区别 .
在 点 P(a,b) 的 r 邻 域 U (P, r) 中 去 掉 点 P ， 即 点 集
{ } (x, y)| 0 < (x − a2 )+ (y − b)2 < r
上任一点都是 M K 的聚点.
{ } 例 2.设 E = (x, y ) | x2 + y2 < 1 则E的所有点 都是内点 ，满足 x 2 + y 2 > 1的点都
是 E 的外点，圆周 x 2 + y 2 = 1的点都是 E 的界点.所有的内点都是 E 的聚点.所有的
界点都是 E 的聚点. 注：一般地，界点不一定都是聚点 .
n1 < n2 < ⋯ < nk < ⋯
称为点 P1 与点 P2的距离，表示为| P1 − P2|或 ρ (P1, P2 ) . 不难证明，对 ℜ2的任意三点 P1, P2 , P3, 它们之间的距离满足三角不等式，即 | P1 − P2 |≤| P1 − P3 | + | P3 − P2 | .
区域列{Rn }, 它满足下列条件：
1）R1 ⊃ R2 ⊃ ⋯ ⊃ Rn ⊃ ⋯ ；
() 2
2) lim d n →∞
Rn
= lim l = 0. 2 n→∞ n−1
每个Rn中所包含D的（非空）子集Dn−1没有有限覆盖.根据定理（1 闭矩形套定理），存在唯一
一点Ρ ∈ Rn (n = 1,2,3,⋯).
{(x, y) | | x − a |< r,| y − b |< r}，
称为点 P(a,b)的 r （方形）邻域，也表为 U (P, r).
注：这两种邻域只是形式不同，无本质区别 .
在 点 P(a,b) 的 r 邻 域 U (P, r) 中 去 掉 点 P ， 即 点 集
{ } (x, y)| 0 < (x − a2 )+ (y − b)2 < r
上任一点都是 M K 的聚点.
{ } 例 2.设 E = (x, y ) | x2 + y2 < 1 则E的所有点 都是内点 ，满足 x 2 + y 2 > 1的点都
是 E 的外点，圆周 x 2 + y 2 = 1的点都是 E 的界点.所有的内点都是 E 的聚点.所有的
界点都是 E 的聚点. 注：一般地，界点不一定都是聚点 .
n1 < n2 < ⋯ < nk < ⋯
平面点集
E 。如果对 M0的任何一个 领域OM0, ，在这一领域
内至少含有 E 中一个（不等于 M0 的）点，就称 M0是E 的一个聚点。
性质： 设 M0是 E 的聚点，则在 E 中存在一个点列
M n以 M0为极限。
6.闭集 设 E 的所有聚点都在 E 内，就称 E 是闭集。
7.区域
设 E 是一个开集，并且 E 中任何两点 M1 和 M2 之间都 可以用有限条直线所组成的折线连接起来，而这条折 线全部含在 E 中，我们就称 E 是区域。一个区域加上 它的边界就是一个闭区域。
§1 .平面点集
一、领域、点列的限
在解析几何中，我们已经知道平面上的点可以用坐标 x, y
来表示，又知道平面上任何两点M1x1, y1和 M2x2, y2 之
间的距离是
点 M0 x0, y0
，rM凡1,是M与2 M0距x1 离x2小2 于 y1(是y2某2 个现正在数，) 固的定那一
些点 M 组成的平面点集，叫做 M0的 领域，记为
收敛原理 平面点列 有极限的充要条件是：对任意 给定的 0 ，存在正整数 N ，当 n, m N 时，有
rMn, Mm
3边界点
设 M 是平面上的一点，它可以属于 E ，也可以不属 E
于M ，如果对M 的任何 领域 OM , ，其中既含有 E
的点，又含有非 E 的点，就称 M 是E 的一个边界点。 的边界点的全体叫做 E 边界。
4开集
如果 E 的点都是E 的内点，就称 E 是开集。
5聚点 设M0是平面上的一点，它可以属于 E ，也可以不属于
OM0, ,换句话说，领域 OM0, 是由坐标 x, y 满足下
列不等式
rM1, M2 x1 x2 2 y1 y2 2
内至少含有 E 中一个（不等于 M0 的）点，就称 M0是E 的一个聚点。
性质： 设 M0是 E 的聚点，则在 E 中存在一个点列
M n以 M0为极限。
6.闭集 设 E 的所有聚点都在 E 内，就称 E 是闭集。
7.区域
设 E 是一个开集，并且 E 中任何两点 M1 和 M2 之间都 可以用有限条直线所组成的折线连接起来，而这条折 线全部含在 E 中，我们就称 E 是区域。一个区域加上 它的边界就是一个闭区域。
§1 .平面点集
一、领域、点列的限
在解析几何中，我们已经知道平面上的点可以用坐标 x, y
来表示，又知道平面上任何两点M1x1, y1和 M2x2, y2 之
间的距离是
点 M0 x0, y0
，rM凡1,是M与2 M0距x1 离x2小2 于 y1(是y2某2 个现正在数，) 固的定那一
些点 M 组成的平面点集，叫做 M0的 领域，记为
收敛原理 平面点列 有极限的充要条件是：对任意 给定的 0 ，存在正整数 N ，当 n, m N 时，有
rMn, Mm
3边界点
设 M 是平面上的一点，它可以属于 E ，也可以不属 E
于M ，如果对M 的任何 领域 OM , ，其中既含有 E
的点，又含有非 E 的点，就称 M 是E 的一个边界点。 的边界点的全体叫做 E 边界。
4开集
如果 E 的点都是E 的内点，就称 E 是开集。
5聚点 设M0是平面上的一点，它可以属于 E ，也可以不属于
OM0, ,换句话说，领域 OM0, 是由坐标 x, y 满足下
列不等式
rM1, M2 x1 x2 2 y1 y2 2
13 平面点集的一般概念
边界点 (1) z 0 不一定属于 G ； (2) z | 中， 0 , 在 |z 0
外点 内点
G . G , 又有 z 既有 z
边界点
边界 G 的边界点的全体称为 G 的边界。
一、平面点集
3. 开集与闭集 开集 如果 G 的每个点都是它的内点，则称 G 为开集。 闭集 如果 G 的边界点全部都属于 G ，则称 G 为闭集。 4. 有界集与无界集 定义 若存在 0 ，使得点集 G 包含在原点的 邻域内， 则 G 称为有界集， 否则称为非有界集或无界集。
二、区域
1. 区域与闭区域 区域 平面点集 D 称为一个区域，如果它满足下列两个条件: (1) D 是一个开集； (2) D是连通的， 即 D 中任何两点都可以用完全属于 D 的一条折线连接起来。
不 连 通 连通
闭区域 区域 D 与它的边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。
二、区域
2. 有界区域与无界区域 (顾名思义)
( ) z ( ) . 简单闭曲线 简单曲线且 z
( t) 0 . 光滑曲线 在区间 [, ] 上，x(t )和 y(t ) 连续且 z
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
不简单、不闭
三、平面曲线
4. 有向曲线 定义 设 C 为平面上一条给定的光滑(或分段光滑)曲线， 如果
指定 C 的两个可能方向中的一个作为正向，则 C 为带有 方向的曲线，称为有向曲线，仍记为 C。 相应地，C 则
xx ( )R cos , ( 0 2 π ) . (1) 在直角平面上 yy ( )R sin ,
R (cos i sin ) , z ( ) x ( ) i y ( ) (2) 在复平面上 z
复变函数第一章-2
2) 由 z 2 z 2 6 得
化简得
( x 2) iy ( x 2) iy 6 x2 y2 1 化简得 9 5 x2 y2 1 因此， z 2 z 2 6 表示的是椭圆 9 5 的内部 (包含椭圆)，是有界单连通的闭区域.
10
3) zz 2 i z 2 i z 4 可写成
x 0 y 0
z 0
21
z 【例1.18】问函数 f ( z ) 在z=0有无极限？ z
解： f(z)的定义域是全平面除去z=0的区域
当z≠0时，设 z r (cos i sin ) ，则
f ( z ) cos( 2 ) i sin( 2 )
考虑从z=0出发方向角为0的射线l0 ，有
§1.3 平面点集的一般概念
§1.3.1 开集与闭集
平面上以z0为中心，(任意的正数)为半径的开圆： z z0 内部的点的集合称为z0的邻域.
而称由不等式 ：0 z z0 所确定的点集称为z0的去心邻域.
1
设G为一平面点集
1) z0为G中任意一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内 的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的 每个点都是它的内点，则称G为开集. 2) 平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记作GC，开 集的余集称为闭集。 3) z0是一点，若在z0的任一邻域内既有G的内点又有G的外 点，则称z0是G的一个边界点；G的边界点的全体称为G 的边界. 4) z0 G ，若在z0的某一邻域内除点z0外不含G的点，则 称z0是G的一个孤立点。G的孤立点一定是G的边界点。 5) 如果存在一个以点z=0为中心的圆盘包含G，则称G为有 界集，否则称G为无界集。
化简得
( x 2) iy ( x 2) iy 6 x2 y2 1 化简得 9 5 x2 y2 1 因此， z 2 z 2 6 表示的是椭圆 9 5 的内部 (包含椭圆)，是有界单连通的闭区域.
10
3) zz 2 i z 2 i z 4 可写成
x 0 y 0
z 0
21
z 【例1.18】问函数 f ( z ) 在z=0有无极限？ z
解： f(z)的定义域是全平面除去z=0的区域
当z≠0时，设 z r (cos i sin ) ，则
f ( z ) cos( 2 ) i sin( 2 )
考虑从z=0出发方向角为0的射线l0 ，有
§1.3 平面点集的一般概念
§1.3.1 开集与闭集
平面上以z0为中心，(任意的正数)为半径的开圆： z z0 内部的点的集合称为z0的邻域.
而称由不等式 ：0 z z0 所确定的点集称为z0的去心邻域.
1
设G为一平面点集
1) z0为G中任意一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内 的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的 每个点都是它的内点，则称G为开集. 2) 平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记作GC，开 集的余集称为闭集。 3) z0是一点，若在z0的任一邻域内既有G的内点又有G的外 点，则称z0是G的一个边界点；G的边界点的全体称为G 的边界. 4) z0 G ，若在z0的某一邻域内除点z0外不含G的点，则 称z0是G的一个孤立点。G的孤立点一定是G的边界点。 5) 如果存在一个以点z=0为中心的圆盘包含G，则称G为有 界集，否则称G为无界集。
平面点集的一般概念
§1.3 平面点集的一般概念
三、平面曲线
3. 曲线旳分类
考虑曲线 z z(t) x(t) i y(t) , ( t ) . 简朴曲线 t1 ( , ) , t2 [ , ], 当 t1 t2 时，z(t1 ) z(t2 ) . 简朴闭曲线 简朴曲线且 z( ) z( ) .
曲线 区域 区域
14
§1.3 平面点集的一般概念
第一章 复数与复变函数
轻松一下吧 ……
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
15
第一章 复数与复变函数
§1.3 平面点集的一般概念
§1.3 平面点集旳一般概念
一、平面点集 二、区域 三、平面曲线
1
第一章 复数与复变函数
§1.3 平面点集的一般概念
一、平面点集
1. 邻域
定义 设 z0 为复平面上旳一点， 0 , (1) 称点集 { z : | z z0 | } 为 z0 点旳 邻域； (2) 称点集 { z : 0 | z z0 | }为 z0 点旳 去心邻域。
旳一条折线连接起来。
不
连
连通
通
闭区域 区域 D 与它旳边界一起构成闭区域或闭域, 记作 D。 5
第一章 复数与复变函数
§1.3 平面点集的一般概念
二、区域
2. 有界区域与无界区域 (顾名思义) 3. 内区域与外区域 定义 一条“简朴闭曲线(?)”把整个复平面提成两个区域，其中
有界旳一种称为该简朴闭曲线旳内部(内区域)， 另一种 称为该简朴闭曲线旳外部(外区域)。（怎样围出面积最大旳区域）
4. 有界集与无界集
定义 若存在 0 ，使得点集 G 包括在原点旳 邻域内，
则 G 称为有界集，不然称为非有界集或无界集。
平面点集
). 则
同样覆盖了D, 即
D
i 1
Hale Waihona Puke i.n注 将本定理中的 D 改设为有界闭集, 而将 { } 改设为一族开集, 此时定理结论依然成立 .
三、二元函数
※ 函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对
应关系. R 到 R 的映射是一元函数, R2 到 R 的映 射则是二元函数.
如图
y 易见, 直线上方每 一点都是D的内点. 即 D=D,但直线 x+y=0 D 上的点不是D的内
点. 0 x
例 设平面点集（见图 16 – 3）
D ( x , y ) 1 x 2 y 2 4 . (4)
y
满足 1 x 2 y 2 4 的一切点都 是 D 的内点; 满足 x y 1
当把 ( x , y ) D 和它所对应的 z f ( x , y ) 一起组成
三维数组 ( x, y, z ) 时, 三维点集
S ( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D R 3
是二元函数 f 的图象. 该图象是一空间曲面。
例： 函数 z 2 x 5 y 的图象是 R3 中的一个平面, 其定义域是 R2, 值域是 R .
※ 一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集. 开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集. 闭集——若 E 的所有聚点都属于 E ( 即 E E ), 则
称 E 为闭集. 若 E 没有聚点 ( 即 E d ), 这时也称
z
1
1.3平面点集的一般概念
起点z()
o
x
C的正向：起点终点
例如：
抛物线
y
x2的参数方程是 x y
t, t2
,
复数形式为
z x(t) iy(t) t it2．
圆x2
y2
a
2的参数方程为
x y
a cos t , 0
a sin t ,
t
2
,
复数形式为 z a(cost i sint) (0 t 2 )
或
z aeit (0 t 2 ).
D
(1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何
z2
z1
•
•
两点都可以用完全属于D的一
条折线连结起来.
D加上D的边界称为闭域，记为D＝ D+D ．
说明
不包含边界！
(1) 区域都是开的.
(2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立
C2
z C1
C3
的点所组成的.
以上基 本概念 的图示
边界
设 z x iy, x ( y 1)i 2,
x2 ( y 1)2 2, 圆方程 x2 ( y 1)2 4.
(2) z 2i z 2 表示所有与点 2i 和 2距离相等的点的轨迹. 故方程表示的曲线就是连接点 2i 和 2的线 段的垂直平分线. 设 z x iy, x yi 2i x yi 2, 化简后得 y x. (3) Im(i z) 4 设 z x iy, i z x (1 y)i, Im(i z ) 1 y 4, 所求曲线方程为 y 3.
以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘,
是多连通域. (4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线 (不包括端点i ), 不是区域.
12节平面点集和连续15
(1) D 是一个开集; (2) D 是连通的, 即 D 中的任何两点都可用完全含在
D 内的一条折线连起来; 区域的边界可以是一条或几条曲线和一些孤立的点组成
如 0 | z z0 | 边界由圆周 | z z0 | 与点 z0 组成
闭区域: 区域 D 与它的边界一起构成的点集。 简称闭域, 记为 D。
v(
x,
y)
v0
y y0
y y0
复变函数极限的存在等价于其实部和虚部两个
二元实函数极限的存在性。
定理 2 若 lim f (z) A, lim g(z) B ( A、B 为有限复数)
zz0
zz0
则 : (1) lim[ f (z) g(z)] A B zz0
(2) lim[ f (z) g(z)] A B zz0
(1) p(z) a0 a1z anzn 在整个z 平面连续; (2) 有理分式函数w p(z) ( p(z)、Q(z) 为多项式
Q(z) 函数) 在 z 平面上使Q(z) 0 的点处连续。
2019/9/15
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称曲线是光滑曲线。
2019/9/15
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逐段光滑:由几段光滑曲线依次连接所组成的曲线。
闭曲线:曲线 C : z z(t ) (a t b), 若起点与终点重合 (即z(a) z(b)), 则 C 称为闭曲线。
简单曲线: 若 t 的任何两个不同值(a、b除外) 总对应曲线上 两个不同的点, 则曲线称为简单曲线, 起点 z(a)与 终点 z(b) 重合时为简单闭曲线。
单值函数: 一个 z 值对应一个w 值;
多值函数: 一个 z 值对应多个w 值;
2019/9/15
D 内的一条折线连起来; 区域的边界可以是一条或几条曲线和一些孤立的点组成
如 0 | z z0 | 边界由圆周 | z z0 | 与点 z0 组成
闭区域: 区域 D 与它的边界一起构成的点集。 简称闭域, 记为 D。
v(
x,
y)
v0
y y0
y y0
复变函数极限的存在等价于其实部和虚部两个
二元实函数极限的存在性。
定理 2 若 lim f (z) A, lim g(z) B ( A、B 为有限复数)
zz0
zz0
则 : (1) lim[ f (z) g(z)] A B zz0
(2) lim[ f (z) g(z)] A B zz0
(1) p(z) a0 a1z anzn 在整个z 平面连续; (2) 有理分式函数w p(z) ( p(z)、Q(z) 为多项式
Q(z) 函数) 在 z 平面上使Q(z) 0 的点处连续。
2019/9/15
15
称曲线是光滑曲线。
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5
逐段光滑:由几段光滑曲线依次连接所组成的曲线。
闭曲线:曲线 C : z z(t ) (a t b), 若起点与终点重合 (即z(a) z(b)), 则 C 称为闭曲线。
简单曲线: 若 t 的任何两个不同值(a、b除外) 总对应曲线上 两个不同的点, 则曲线称为简单曲线, 起点 z(a)与 终点 z(b) 重合时为简单闭曲线。
单值函数: 一个 z 值对应一个w 值;
多值函数: 一个 z 值对应多个w 值;
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13平面点集的一般概念
定义7 简单曲线
对于满足 t1 , t2 的 t1 与 t2 ,当
t1 t2 而有 z(t1 ) z(t2 ) 时, 点 z(t1 ) 称为曲线C
的 重 点.
重点
重点
没有重点的曲线 C 称为
重点
简单曲线(或Jordan曲线).
如果简单曲线 C 的起点和终点重合,
z 0
确定的点的集合为z0 的去心邻域.
记作：Nδ0(z0)={z | 0<|z-z0|< δ}
定义2 内点、边界点、孤立点
设有点集Ｇ及一点z0 :
G
若存在点z0 的某邻域 Nδ(z0) Ｇ
则称 z0为Ｇ的内点；
若在z0的任意一个邻域内,都有属于Ｇ的点,也有 不属于Ｇ的点,则称z0为Ｇ的边界点．
三、 平面曲线
定义6 连续曲线
C的实参数方程
如果 x(t ) 和 y(t ) 是两个连续的实变函数,
那末方程组x x(t ) , y y(t ), ( t ) 代
表一条平面曲线, 称为连续曲线. 终点z()
平面曲线C的复数表示:
yz
z z(t) x(t) iy(t). ( t )
它为一个区域．
D
(1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何
z2
z1
两点都可以用完全属于D的一
条折线连结起来.
D加上D的边界称为闭域，记为D＝ D+D ．
说明
不包含边界！
(1) 区域都是开的.
(2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立
C2
z C1
C3
的点所组成的.
以上基 本概念 的图示
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z 0
确定的点的集合为z0 的去心邻域.
记作：Nδ0(z0)={z | 0<|z-z0|< δ}
定义2 内点、边界点、孤立点
设有点集Ｇ及一点z0 :
G
若存在点z0 的某邻域 Nδ(z0) Ｇ
则称 z0为Ｇ的内点；
若在z0的任意一个邻域内,都有属于Ｇ的点,也有 不属于Ｇ的点,则称z0为Ｇ的边界点．
或
z aeit (0 t 2 ).
平面上连接z1和z2两点的直线段复数形式方程为
z z1 (z2 z1)t (0 t 1).
例1 求下列方程所表示的曲线:
(1) z i 2;
(2) z 2i z 2;
(3) Im(i z ) 4.
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离 为2的点的轨迹.
的余集称为闭集． 或开集及其边界的并集称为闭集．
定义４ 有界集和无界集
如果一个点集G可以 被包含在一个以原点为中 心的圆里面,即存在 M 0, 使区域的每一个点都满足
z M , 那末 G 称为有界的,
y z
z
o
x
否则称为无界的.
有界！
二、 区域
定义5 区域
如果平面点集D满足以下两个条件,则称
1 3 z 1,
z
3
是以原点为中心, 半径为1 3
的圆的外部, 无界的多连通域.
(4) z 1 z 1 4
z1 z1 4 表示到1, –1的距离之 和为定值4的点的轨迹, 是椭圆, z 1 z 1 4表示该椭圆内部,
有界的单连通域.
例3 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域,
是多连通域. (4) arg( z i) ,
4 以 i 为端点, 斜率为1的半射线 (不包括端点i ), 不是区域.
小结与思考
应理解区域的有关概念: 邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、 区域、有界区域、无界区域 理解单连通域与多连通域.
即 z( ) z( ) , 那末称 C 为简单闭曲线.
换句话说, 简单曲线自身不相交.
课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线?
z(a) z(a) z(b)
z(b) z(a) z(b) z(a)
z(b)
简
简
答单
单
案闭
不
闭
不
不
简
简
单
单
闭
不
闭
简单闭曲线的性质约当定理
任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成
C
C的复参数方程
起点z()
o
x
C的正向：起点终点
例如：
抛物线
y
x2的参数方程是 x y
t, t2
,
复数形式为
z x(t) iy(t) t it2．
圆x2
y2
a2的参数方程为
x y
a cos t , 0
a sin t ,
t
2
,
复数形式为 z a(cost i sint) (0 t 2 )
点集Ｇ的全体边界点组成的集合称为Ｇ的边界. 记为：Ｇ．
若z0属于Ｇ ，但在z0某邻域内除z0外不含Ｇ的点，
则称z0为G的孤立点．
即 z0为Ｇ的孤立点 δ >0: Nδ(z0) Ｇ={z0}
定义3 开集与闭集
如果 Ｇ 内每一点都是它的内点,那么Ｇ 为开 平集面．上不属于 Ｇ 的点的全体称为Ｇ的余集；开集
解 (1)当 z x iy 时,
Re(z2 ) x2 y2,
Re(z2 ) 1 x2 y2 1,
无界的单连通域(如图).
(2) arg z 3
arg z arg z ,
33
3
是角形域, 无界的单连通域(如图).
(3) 1 3 z
且对于t 的每一个值, 有 [ x(t)]2 [ y(t)]2 0,那末 称 这 曲 线 为 光 滑 的.
特 （1）光滑曲线上的各点都有切线
点 （2）光滑曲线可以求长
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线
称为按段光滑曲线.
y
y
o
x
o
x
定义9 单连通域与多连通域: 复平面上的一个区域D, 如果在其中任作
边界
区域
z1
z0
邻域
z2
Байду номын сангаас
P边界点
课堂练习 判断下列区域是否有界?
r2
(1) 圆环域: r1 z z0 r2;
r1
z0
(2) 上半平面: Im z 0;
(3) 角形域: 0 arg z ;
(4) 带形域: a Im z b.
y
o
x
答案 (1)有界; (2) (3) (4)无界.
一、 复平面点集的一般概念 二、 区域 三、 平面曲线
一、复平面点集的一般概念
定义1 邻域:
平面上以z0 为中心, (任意的正数)为半径的圆:
z z0 内部的点的集合称为z0 的邻域.
即 Nδ(z0)={z | |z-z0|<δ}
记
作:Nδ(z0)．
称由不等式0 z z0 所
定义7 简单曲线
对于满足 t1 , t2 的 t1 与 t2 ,当
t1 t2 而有 z(t1 ) z(t2 ) 时, 点 z(t1 ) 称为曲线C
的 重 点.
重点
重点
没有重点的曲线 C 称为
重点
简单曲线(或Jordan曲线).
如果简单曲线 C 的起点和终点重合,
一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多（复）连通域.
单连通域
多连通域
例2 指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是
无界的,单连通的还是多连通的.
(1) Re(z2 ) 1; (2)arg z ; (3) 1 3;
3
z
(4) z 1 z 1 4.
它为一个区域．
D
(1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何
z2
z1
两点都可以用完全属于D的一
条折线连结起来.
D加上D的边界称为闭域，记为D＝ D+D ．
说明
不包含边界！
(1) 区域都是开的.
(2) 区域的边界可能是 由几条曲线和一些孤立
C2
z C1
C3
的点所组成的.
以上基 本概念 的图示
三、 平面曲线
定义6 连续曲线
C的实参数方程
如果 x(t ) 和 y(t ) 是两个连续的实变函数,
那末方程组x x(t ) , y y(t ), ( t ) 代
表一条平面曲线, 称为连续曲线. 终点z()
平面曲线C的复数表示:
yz
z z(t) x(t) iy(t). ( t )
边界
y
C,I(C),E(C) 三个互不相交 的点集.满足：
（1）I(C) 是一个有界区域
I(C)
o
E(C)
x
（称为C的内部）.
（2）E(C) 是一个无界区域（称为C的外部）.
（3）C是I(C),E(C)的公共边界.
定义8 光滑曲线: 如果在 t 上, x(t) 和 y(t) 都是连续的,
即表示中心为 i, 半径为 2 的圆.
设 z x iy, x ( y 1)i 2,
x2 ( y 1)2 2, 圆方程 x2 ( y 1)2 4.
(2) z 2i z 2 表示所有与点 2i 和 2距离相等的点的轨迹. 故方程表示的曲线就是连接点 2i 和 2的线 段的垂直平分线. 设 z x iy, x yi 2i x yi 2, 化简后得 y x. (3) Im(i z) 4 设 z x iy, i z x (1 y)i, Im(i z ) 1 y 4, 所求曲线方程为 y 3.
指出是单连通域还是多连通域? y 6
(1) Im z 3,
5
4
是一条平行于实轴的直线,
3 2
不是区域.
1 -3 -2 -1
x 123
(2) Rez 2,
以 Rez 2 为右界的半平面 (不包括直线Rez 2 ),
单连通域.
(3) 0 z 1 i 2,
以 (1 i) 为圆心, 2为半径 的去心圆盘,