斜齿圆柱齿轮传动系统的耦合振动分析

▲图 2 斜齿轮啮合综合刚度
表示 ,本文中根据齿轮的精度等级所规定的齿轮偏差 ,用简
谐函数表示法进行模拟 。因此齿轮误差和基节误差用正弦
函数表示为 e ( t) = e0 + ersin (2πt/ Tz + φ) 式中 e0 , er ———轮齿误差的常值和幅值 ,取 e0 = 0
Tz ———周期 , T = 2π/ (ωz ) ;ω———齿轮工作圆频率 ; ω= nπ/ 30 ;φ———相位角 ,取 φ= 0
5 结 论
本文通过对斜齿轮传动系统的完全耦合振动的分析和 模拟计算 ,提出了一种适用于斜齿轮传动系统耦合振动的理 论分析方法和数值解法 。
增速箱 FH660 的齿轮传动系统包括输入轴 、中间轴 、输 出轴及各轴上齿轮 。对整个齿轮传动系统进行了实体造型 , 采用八节点六面体实体单元对整个齿轮传动系统的所有齿 轮 、传动轴部件进行有限元网格的自动划分 。齿轮传动系统 的有限元网格如图 3 所示 ,共计 24574 个节点 ,28137 个单元 。 对计算模型进行模态分析 ,得到齿轮传动系统的前 10 阶固有 频率 ,如表 1 所示 ,各阶固频对应的固有振型此处不列出 。用 振型叠加法求解该系统的振动响应 ,在施加激励时 ,同时加入 了各对啮合齿轮由刚度和误差激励引起的三个分力方向动态 载荷 。由此得到各传动轴径向和轴向计算点的响应 。
αn , e ( t) ———齿轮压力角及轮齿误差
将两齿轮间的动态啮合力沿 x , y , z 方向分解得系统的
分析模型为 :
m 1 x¨x 1 + c1 xx 1 + k 1 xx 1 = - F12cos (α1 - αn)
m 1 y¨y 1 + c1 yy 1 + k 1 yy 1 = - F12sin (α1 - αn)
风力发电机组增速箱 FH660 的传动系统就是采用斜齿 轮传递运动的 。为了确定其有关动力参数 ,进行结构动力分 析 。我们利用集中参数法 ,建立了斜齿轮传动系统耦合振动 模型 ,该模型同时考虑了轮齿的刚度激励和误差激励 ,推导 了参数激励的运动微分方程组 。利用该微分方程组对该传 动系统的耦合振动进行数值模拟计算 ,求解了振动响应 ,为 斜齿轮传动的动态设计提供了有效的方法 。并对该传动系 统进行了三维有限元模态分析 。
(3)
m 2 y¨y 2 + c2 yy 2 + k 2 yy 2 = F12sin (α1 - αn)
m 2 z¨z 2 + c2 zz 2 + k 2 z x 2 = F12tgβ
I 2θz ¨2 z = - T 2 + F12 r2
I 2 xΦ¨2 + c2θxΦ2 + k 2θxΦ2 = F12 rp2cosα1
1 建立斜齿轮传动系统的动力学模型
斜齿轮传动系统的振动形态除具有弯曲振动 、扭转振动
和轴向振动外 ,还具有因轴向动态啮合力分力使齿轮副产生
的扭摆振动 , 因此 , 其动力学方程为弯 —扭 —轴 —摆耦合振
动方程 。利用集中参数法建立斜齿轮传动系统 (齿轮 、轴 、轴
承) 的动力学模型如图 1 所示 。轴承用弹簧和阻尼器进行模
下标 1 和 2 分别表示主动轮和从动轮 。运动方程可表示为 :
[ M ]{δ¨} + [ C ]{δ·} + [ K ]{δ} = { F}
(1)
▲图 1 斜齿轮传动系统动力学模型
收稿日期 :2001 - 09 - 26 基金项目 :国家自然科学基金资助项目 (50075088)
式中 {δ} ———位称向量 ,它定义为 : {δ} = { x1 , y1 , z 1 ,θ1 z , <1 ,φ1 , x2 , y2 , z 2 ,θ2 z , <2 ,φ2} xi , yi , zi ( i = 1 ,2) ———齿轮轴心的横向弯曲及轴向位移 θiz , <i ,φi ( i = 1 ,2) ———齿轮扭转位移 、绕 x 方向及绕 y 方向的摆动位移 [ M ] 、[ C ] ———系统的质量 ,阻尼矩阵 [ K ] 、{ F} ———系统的刚度矩阵及外载荷向量
各个自由度方向上的等效质量 、等效刚度由齿轮和轴的
质量 、刚度确定 ,用弹簧和阻尼器模拟轴承各个方向的刚度 和阻尼 ,轮齿啮合参数用一对弹簧和阻尼器进行模拟 。因 此 ,该齿轮传动系统的力学模型为三维空间动力学模型 , 它 能更好地模拟实际齿轮传动系统的振动形态 。沿啮合线的
动态作用力为 :
F12 = - F21 = kmcosβb[ ( r1θ1 z - r2θ2 z) + ( x1 - x2) cos(α1 - αn) + ( y1 -
摘 要 : 建立了斜齿轮传动系统 (斜齿轮 、轴与轴承) 的弯曲 —扭转 —轴向 —扭摆耦合振动的动力学模型 ,推导 了其振动微分方程 ,计算了风力发电机组增速箱 FH660 的传动系统的振动响应 ,并进行了三维有限元模态分析 。 对斜齿轮传动系统进行了很好的数值模拟 ,为斜齿轮传动系统的动态设计提供了有效的方法 。 关键词 : 斜齿轮传动 ;耦合振动 ;振动响应 ;有限元 中图分类号 : TH132. 41 文献标识码 A
第 18 2002
卷第 5 期 年 10 月
机械设计与研究 Machine Design and Research
Vol. 18 No. 5 Oct . ,2002
文章编号 :100622343 (2002) 0520030202
斜齿圆柱齿轮传动系统的耦合振动分析
王立华 , 李润方 , 林腾蛟 , 杨成云 (重庆大学机械传动国家重点实验室 ,重庆 400044)
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机械设计与研究 第 18 卷
k1 ———磨损系数
或可将 (5) 表示为磨损率 Ih :
Ih
=
k1ησcp1 3σs
(6)
式中 k1 , C1 ———实验常数 η———实际接触面积与名义面积之比 , 计算方法见式
(3) ,代入 (6) 得
Ih
=
k1σCp1 (1 - e- βσCP/ E) 3σS
y2) sin (α1 - αn) + ( z 1 - z 2) tgβ + (φ1 rp1 - φ2 rp2) cosα1tgβ + (φ1 rp1
- φ2 rp2) sinα1tgβ - e ( t) ] + cmcosβb[ ( r1θ·1 z - r2θ·2 z) + ( x 1 -
x 2) cos(α1 - αn) + ( y1 - y2) sin (α1 - αn) + ( z 1 - z 2) tgβ + (φ1 rp1 -
( Hz) 219. 63
▲图 6 齿轮 1 摆动振动位移曲线 ▲图 7 齿轮扭转振动位移曲线
(1) 建立了斜齿轮传动系统在各个方向上的弯 —扭 —
▲图 3 齿轮传动系统的有限元网格 表 1 增速箱 FH660 的齿轮传动系统前 10 阶固有频率
轴 —摆耦合振动的动力学模 型和数学模型 。
2
▲图 4 齿轮 1 横向振动位移曲线
4 振动微分方程的求解及应用实例
将式 (3) 整理后得到式 (1) 的形式 ,其中 [ M ]矩阵按集中 质量进行简
▲图 5 齿轮 1 轴向振动位移曲线
化,即将轴的
质量向齿轮简
化 。[ C]和 [ K]
矩阵是对称矩
阵,为计算出 斜齿轮传动系 统在输入载荷
模态阶数 1 固有频率
φ2 rp2) cosα1tgβ + (φ1 rp1 - φ2 rp2) sinα1tgβ -
· e ( t) ]
(2)
式中 km , cm ———齿轮平均啮合刚度及阻尼
ri , rpi ( i = 1 ,2) ———齿轮基圆 、节圆半径
β,βb ———齿轮螺旋角及其基圆柱面上的螺旋角 α1 ———两齿轮中心连线与垂直面的夹角
3
4
5
6
7
8
9
10
(2) 在啮合刚度激励和误
248. 73 413. 93 417. 27 439. 95 488. 33 490. 18 502. 07 526. 75 535. 28
差激励的作用下 ,求解了斜齿 (下转第 40 页)
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I 2 φy¨2 + c2θφy¨2 + k 2θyφ2 = F12 rp2sinα1
式中 T1 、T2 ———输入 、负载力矩
α1 ———为两齿轮轴心连线与水平线的夹角
cθi x , cθi y , kθi x , kθi y , ( i = 1 , 2) ———扭摆振动阻尼和刚度
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m 1 z¨z 1 + c1 zz 1 + k 1 z x 1 = - F12tgβ
I 1θz ¨1 z = T 1 - F12 r1
I 1 xφ¨1 + c1θxΦ1 + k1θxΦ1 = - F12 rp1cosα1
I 1 φy¨1 + c1θφy¨1 + k 1θyφ1 = - F12 rp1sinα1 m 2 x¨x 2 + c2 xx 2 + k 2 xx 2 = F12cos (α1 - αn)
(7)
式中 ,σP ,σS , E 的量纲均为 MPa ,β, C , C1 为无量纲数 , k1
的量纲为 mm3/ km 。
4. 2 本文的研究方法 建立摩擦学特性的数学模型一直是摩擦学设计的重要
且非常复杂的问题 ,本文采用固定其它变化参数 ,而选一主 要参数来进行研究 ,可使问题大大简化 ,从而使摩擦学设计 “建模”成为可能 ,以同样的方法 ,逐一对每个主要影响参数 独立建模 ,最后可以获取一个较为完善的适合于整个系统条 件的总的数学模型 ,以用于摩擦学设计 ,当然这将是一个十 分庞大的工程 。
3 三维有限元模态分析
条件下的振动响应 ,可编程求解出其数值解 。采用直接积分 法的 Newmark2β法编制出齿轮系统响应求解程序 ,利用此
程序对动力学运动微分方程进行计算得到各自由度的响应
时间历程 ,并可计算出振动速度 、加速度及各坐标轴方向的
动态啮合力 。此处计算采用的斜齿轮副为增速箱 FH660 的
直齿啮合中存在阶跃性突变 , 而是在某一均值下的微小波
动 ,其典型曲线如图 2 所示 , 因此 , 本文所建模型中 , 轮齿啮
合刚度用平均刚度简化计算 。平均刚度按 ISO 标准求得 。
齿轮误差可
以用实测误差数
值或误差曲线 ,
也可以用以齿频
为基频的傅立叶
级数表示 , 或者
在一般情况下用
齿频的简谐函数
拟 ,这样 ,每个齿轮在空间有 6 个自由度 ,整个齿轮传动系统
共有 12 个自由度 ,包括沿齿轮轴的横向弯曲振动 (水平方向
和垂直方向) 、沿 z 轴轴向振动 、扭转振动 (绕 z 轴) 、绕 y 轴
的扭摆振动 (水平方向) 、绕 x 轴的扭摆振动 (垂直方向) 等 4
种运动 、6 个运动方向 。图中 k 为刚度系数 , c 为阻尼系数 ,
第 5 期 王立华等 :斜齿圆柱齿轮传动系统的耦合振动分析
31
2 系统的激励分析
齿轮系统的动态激励分内部激励和外部激励两类 。外
部激励包括输入及负载力矩 。内部激励包括刚度激励 、误差
激励和啮合冲击激励 。此处 , 考虑了刚度激励和误差激励 。
因为 ,斜齿轮轮齿的啮合综合刚度虽然是时变的 , 但并不象
传动系统的第一级传动齿轮 ,其主要几何参数列于表 2 中 。
表 2 齿轮副参数
齿 数 z 2/ z 1
18/ 73
模 数 m n/ mm
12
螺旋角 β/ (°)
10
压力角 α/ (°)
20
齿 宽 B/ mm
250
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齿轮的精度等级为 6 级 ,输入力矩为 133887. 7N. m ,输 入转速为 25. 5r/ min 。轴承刚度和阻尼由模态参数识别得 到 。对上述系统进行计算后得到传动系统的振动响应 。图 4 、图 5 分别为齿轮 1 横向 ( x 向) 振动位移和轴向振动位移 , 图 6 、图 7 分别为摆动位移和扭转位移 。从图中可知 ,轴向 位移比横向振动位移小 ,而摆动位移比扭转位移小 。可在此 基础上 ,利用已求得的振动位移求解齿轮的动载系数 ,并将 各个方向上的动态啮合力加在齿轮箱的轴承连接处 ,对齿轮 箱进行动态响应分析 。