真空中的麦克斯韦方程组的推导

真空中的麦克斯韦方程组的推导

一、电磁学的基本定律与定理

电荷：正负电荷同性相斥，异性相吸

1、库仑定律：真空点电荷之间相互作用力 12201

4r q q F e r πε= 电场：我们假定电荷与电荷之间的相互作用是通过场来传递的。

电场是一种物质

电场强度：反应了电场力的性质 F E q

=（定义式，任何情况下都成立） 对于真空中的点电荷Q 产生的电场有

201

4r Q E e r πε= （只适合于真空中的点电荷）

电场线：世上本来没有电场线，有好事者发明它，它是一种形象描述电场而引进的假想的曲线，它的密度代表电场强度的大小，它的切线方向代表电场的方向。 电场强度：等于垂直于电场方向单位面积的电场线的条数，代表着电场线的密度 dN E dS ⊥

= 电场强度E ⎧⎨⎩大小：电场线密度方向：正电荷受力的方向

2、高斯定理：电通量与电荷的关系的定理

电通量：S =E dS Φ⎰，通过某一曲面S 的电场线的条数 如果该曲面为闭合的曲面，则有

0q E dS εΦ==⎰

由库仑定律可以推导高斯定理，

014r dq dE e r πε= 024r Idl e dB r

μπ⨯= 由库仑定律可以推导高斯定理0q E dS εΦ==⎰ 由奥萨伐尔定律可以推导安培环路0B dl I μ=⎰

静电场无旋 0E dl =⎰ 磁场无源

0B dS =⎰

法拉弟电磁感应定律：变化的磁场产生电场

d d B dS dt dt

ξΦ=-=-⎰ 电荷守恒定律 q j dS t

∂=-∂⎰ 下面我们来总结一下得到的定理定律

1、库仑定律可推出与高斯定理和安培环路定理：因此库仑定律可以由高斯定理

和安培环路定理取代

000

()()q E dS E dV dV E ρρεεε=⇒∇=⇒∇=⎰⎰⎰ 2、静电场环路定理：0()00E dl E dS E =⇒∇⨯=⇒∇⨯=⎰⎰

由于毕奥萨伐尔定律可以推导出磁场的安培环路定理和高斯定理，因此毕奥萨伐尔定律的内容可以由安培环路定理和高斯定理取代

3、磁场的安培环路定理00B dl I B j μμ=⇒∇⨯=⎰

4、磁场高斯定理0=0B dS B =⇒∇⎰

5、法拉弟电磁感应定律

d d B B dS E dl B dS E dt dt t ξ∂=-⇒=-

⇒∇⨯=-∂⎰⎰⎰ 6、电荷守恒定律

q j dS j t t

ρ∂∂=-⇒∇=-∂∂⎰

二、电磁学定律的微分形式

1、0

E ρε∇=：静电场高斯定理 2、0E ∇⨯=：静电环路定理

3、0B j μ∇⨯=：静磁场中的安培环路定理

4、=0B ∇：磁场中的高斯定理：这一定成立

5、B E t ∂∇⨯=-∂：电磁感应定律：（变化的电磁场中成立）

6、j t

ρ∂∇=-∂：电荷守恒定律（任何情况下都成立） 第一我们来验证一下1在变化的电场中是不是成立，由于5式是变化的电场所以有 对于第5式

00B B E E t t

∂∂∇∇⨯=-⇒=∇∇⨯=-=∂∂ 因此1与5不冲突，1可以推广到变化的电场情况，2也可以由5包含。

对3式两边取散度

左边0B ∇∇⨯=，右边00j t μμρ∂∇=-∂，只有在稳恒场中0t ρ∂=∂才成立，因此3只在稳恒场中才成立，在变化的场中不成立

由电荷守恒定律j t

ρ∂∇=-∂可知 00()0E j j j t t t

ρρε∂∂∂∇=-⇒∇+=⇒∇+=∂∂∂ 所以可以将3式的j 换成0E j t

ε∂+∂就可以成立， 所以麦克斯韦方程组微分形式为

1、0E ρε∇=： 电荷是静电场的源

2、B E t ∂∇⨯=-∂：变化的磁场产生电场

3、=0B ∇：磁场无源

4、：000E B j t

μμε∂∇⨯=+∂ ，电流产生磁场，变化的电场产生磁场

三、真空中的电磁波

对于真空条件下（无介质，无电荷与电流），麦克斯韦方程组可以写为

1、0E ∇=：

2、B E t

∂∇⨯=-∂ 3、=0B ∇

4、00E B t

με∂∇⨯=∂ 将第二个方程取旋度并利用第四个方程可以得到

2

002()E B E t t

με∂∂∇⨯∇⨯=-∇⨯=-∂∂ 又因为2

()E E E ∇⨯∇⨯=∇∇-∇，且在真空条件下0E ∇=，则可以得到标准的行波方程 22

2

200222100E E E

E t v t με∂∂∇-=⇒∇-=∂∂ 其中v =

为波速，其实就是光速