真空中的麦克斯韦方程组的推导
麦克斯韦方程组推导过程
麦克斯韦方程组推导过程麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程组，由麦克斯韦提出，描述了电磁场的运动规律。
下面我们通过推导的过程来了解麦克斯韦方程组的由来和含义。
我们从麦克斯韦方程的第一个方程开始推导。
这个方程是高斯定律，描述了电场与电荷之间的关系。
根据高斯定律，电场通过一个闭合曲面的通量与这个曲面内的电荷量成正比，且与曲面的形状无关。
这个方程可以表示为：∮E·dA = 1/ε₀ ∫ρdV其中，∮E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，ε₀为真空中的电介质常数，ρ为曲面内的电荷密度。
接下来，我们推导麦克斯韦方程的第二个方程。
这个方程是法拉第电磁感应定律，描述了磁场变化时引起的感应电场。
根据法拉第定律，磁场的变化率与感应电场的环路积分成正比。
这个方程可以表示为：∮E·dl = -dφB/dt其中，∮E·dl表示感应电场E沿闭合回路的环路积分，dφB/dt表示磁场B的变化率。
接下来，我们推导麦克斯韦方程的第三个方程。
这个方程是安培环路定律，描述了电流与磁场之间的关系。
根据安培环路定律，沿闭合回路的磁场的环路积分等于通过回路的电流与真空中的电介质常数的乘积。
这个方程可以表示为：∮B·dl = μ₀I + μ₀ε₀dφE/dt其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分，μ₀为真空中的磁导率，I为通过回路的电流，dφE/dt表示电场E的变化率。
我们推导麦克斯韦方程的第四个方程。
这个方程是电磁场的无源性方程，描述了电场和磁场的耦合关系。
根据电磁场的无源性，闭合回路上的电场的环路积分和磁场的环路积分之和为零。
这个方程可以表示为：∮B·dl = 0其中，∮B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分。
通过以上的推导过程，我们得到了麦克斯韦方程组，它们是描述电磁场的基本方程。
这四个方程分别描述了电场与电荷的关系、磁场与电流的关系、电场与磁场的耦合关系，以及磁场的无源性。
麦克斯韦公式推导过程
麦克斯韦公式推导过程麦克斯韦公式，也称作麦氏方程，是电磁学中最基本的方程之一，描述了电磁场的产生和传播。
它的完整形式由四个方程组成，即麦克斯韦方程组。
公式的推导过程相对复杂，需要基于一些关键的物理概念和数学原理。
下面是一个麦克斯韦公式的推导过程的简要阐述。
1.高斯定理的应用：首先，根据高斯定理，我们可以将磁场的闭合曲面积分转化为磁场的体积积分。
假设磁场的闭合曲面为S，磁场为B，磁场的体积为V，那么高斯定理可以表示为：∮B·dS=∫∫∫V(∇·B)dV2.安培环路定理的应用：根据安培环路定理，我们可以将电场的闭合曲线积分转化为电场的环路积分。
假设电场的闭合曲线为C，电场为E，电场的环路为L，那么安培环路定理可以表示为：∮E·ds = ∫∫∫S (∇×E)·dS3.法拉第电磁感应定律的应用：波动方程是电磁波在真空中传播时满足的方程。
根据法拉第电磁感应定律，磁感应强度的变化率与磁场强度的旋度有关。
假设磁感应强度为B，电场为E，时间变化率为∂/∂t，那么法拉第电磁感应定律可以表示为：∇×E=-∂B/∂t4.将波动方程和安培环路定理相结合：对于变化的电场和磁场，它们满足波动方程：∇²E-με(∂²E/∂t²)=0∇²B-με(∂²B/∂t²)=0其中，μ和ε分别是真空的磁导率和电容率。
将安培环路定理的方程应用到这个方程组中，得到：∮E·ds = -μ (∂/∂t) (∫∫∫S (∇×B)·dS)在右边的积分中运用高斯定理、安培环路定理和法拉第电磁感应定律，我们可以得到：∮E·ds = -μ (∂/∂t) (∫∫∫S (∇×B)·dS)=-μ(∂/∂t)(∫∫∫S(-με(∂E/∂t))·dS)=με(∂²E/∂t²)5.求解：将以上的结果代入波动方程，我们可以得到：∇²E-με(∂²E/∂t²)=0∇²B-με(∂²B/∂t²)=0结合以上两个方程，我们可以得到麦克斯韦方程组的完整形式：∇·B=0∇·E=0∇×E=-∂B/∂t∇×B=με(∂E/∂t)其中，∇是向量微分算子，·代表数量积，×代表矢量积，∂/∂t代表对时间的偏导数。
第05讲 真空中的麦克斯韦方程组
第4讲 真空中的麦克斯韦方程组 第一章 电磁现象的普遍规律（3） §1.3 真空中的麦克斯韦方程组以上两节由实验定律总结了恒定磁场的基本规律。
随着交变电流的研究和广泛应用，人们对电磁场的认识有了一个飞跃。
由实验发现不但电荷激发电场，电流激发磁场，而且变化着的电场和磁场可以互相激发，电场和磁场成为统一的整体——电磁场。
和恒定场相比，变化电磁场的新规律主要是： （1）变化磁场激发电场（法拉第电磁感应定律）； （2）变化电场激发磁场（麦克斯韦位移电流假设）。
下面分别讨论这两问题。
1. 电磁感应定律 自从发现了电流的磁效应之后，人们跟着研究相反的效应，即磁场能否导致电流？开始人们企图探测处于恒定磁场中的固定线圈上的感应电流，这些尝试都失败了，最后于1831年法拉第发现当磁场发生变化时，附近闭合线圈中有电流通过并由此总结出电磁感应定律：闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比，其方向关系在下面说明。
如图1-6，设L 为闭合线圈，S 为L 所围的一个曲面，d S 为S 上的一个面元。
按照惯例，我们规定L 的围绕方向与d S 的法线方向成右手螺旋关系。
由实验测定，当通过S 的磁通量增加时，在线圈L 上的感应电动势E 与我们规定的L 围绕方向相反，因此用负号表示。
电磁感应定律表为 ε=⎰⋅-S d dtdS B （1.3---1）线圈上的电荷是直接受到该处电场作用而运动的，线圈上有感应电流就表明空间中存在着电场。
因此，电磁感应现象的实质是变化磁场在其周围空间中激发了电场，这是电场和磁场内部相互作用的一个方面。
感应电动势是电场强度沿闭合回路的线积分，因此电磁感应定律（1.3---1）式可写为LSdd d dt ⋅=-⋅⎰⎰E B S l （1.3---2） 若回路L 是空间中的一条固定回路，则上式中对t 的全微商可代为偏微商 LS d d t∂⋅=-⋅∂⎰⎰BE S l 化为微分形式后得t∂∂-=⨯∇BE （1.3---3） 这是磁场对电场作用的基本规律。
麦克斯韦方程组与光速不变
麦克斯韦方程组与光速不变
麦克斯韦方程组是经典电磁理论的重要基石，它描述了电磁场的形成和传播规律。
其中，麦克斯韦方程组的一个基本性质是光速在真空中的不变性。
根据麦克斯韦方程组，电场与磁场满足一定的关系，并且它们都是随空间和时间变化的。
其中，麦克斯韦方程组的一个重要结论是电磁波的存在，电磁波即光的一种表现形式。
光速在真空中的不变性是在麦克斯韦方程组的框架下被推导出来的。
根据麦克斯韦方程组的形式，可以得出光速在真空中的数值为常数，并且在任何参考系中都保持不变。
这意味着不论我们观察光的传播是否与光源有关，光速都将保持不变。
光速不变的概念是狭义相对论的基础之一。
爱因斯坦在他的狭义相对论中，基于光速不变性提出了相对论的理论框架。
相对论的基本原理是光速在任何参考系中都保持不变，在光速的参考系中时间和空间会发生变化。
总之，麦克斯韦方程组中的光速不变性是一条重要的物理学原理。
它将导致一系列引人注目的效应和现象，并深刻影响了我们对电磁波和光的理解。
麦克斯韦方程组的几种推导方法的比较
麦克斯韦方程组的几种推导方法及其比较摘要：介绍麦克斯韦方程组的几种推导方法。
从经典、能量守恒、拉格朗日方程的方面推导得出现有的麦克思维方程组，从侧面说明了麦克斯韦的普遍适用性和有其他一些普遍存在的定理定律的等价性。
通过分析三种方法的优缺点，从而加深对麦克斯韦方程组的物理意义的理解，培养科学求真的探索精神。
关键词：拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律目录引言： (4)1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 (4)1.1 第一方程式的推导 (4)1.2第二方程式的推导 (5)1.3第三方程式的推导 (6)1.4第四方程式的推导 (7)2_从电磁场能量和能流形式推导麦克斯韦方程组 (8)3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组的方法。
(10)4_三种方法的比较 (14)4.1经典方法的优势 (14)4.2能量方法推导的优缺点 (14)4.3拉格朗日方程推导的特点 (15)结束语： (15)参考文献： (15)引言：麦克斯韦方程组是电磁理论的基本方程，在电磁学中有很重要的地位，在与很多工业领域有很多应用。
关于它的推导建立，有我们熟知的经典方法，还有后来的根据拉格朗日方程等分析力学方法推导，以及由能量守恒的方法推导等诸多方法。
下面我们来一一推导证明1_用经典方法推导麦克斯韦方程组的方法 1.1 第一方程式的推导 电荷的库仑定律：F =0ε41πr r q q 3'此电荷的场强为：E =0ε41πr rq 3对电荷的场强沿着球面求面积分，得到：⎰SdS E =∑0εi Q =⎰V1dV ρε电场强度通过面元d S的通量为：dS E •=Ecos θds=204rQ πεcos θds 。
θ是d S与E 的夹角，cos θds/2r 位球面的立体角元。
所以包裹电荷的闭合曲面和球面的积分是相同的。
由于对电荷的场强求面积分只与包裹着的电荷有关系，所以积分的面没有关系。
又因为电荷的体密度的定义：ρ=V q根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度的体积分：⎰•∇VdV E=ρV/0ε得到：0/ερ=•∇E等效都是在真空下的方程式，如果在介质下的束缚电荷密度p ρ，那么：E•∇=（ρ+p ρ）/0ε。
电磁学中的麦克斯韦方程组及其推导
电磁学中的麦克斯韦方程组及其推导电磁学是物理学中的一个重要分支，研究电荷和电流之间的相互作用以及电磁场的产生和传播规律。
麦克斯韦方程组是电磁学的基础，描述了电磁场的运动和变化，对于我们理解电磁现象和应用电磁技术具有重要意义。
麦克斯韦方程组由四个方程组成，分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和法拉第电磁感应定律的积分形式。
这四个方程的推导过程相对复杂，需要借助一些数学和物理知识。
首先，我们从高斯定律开始推导。
高斯定律描述了电场和电荷之间的关系。
根据高斯定律，电场通过一个闭合曲面的通量与该曲面内的电荷量成正比。
通过一系列的数学推导和假设，我们可以得到高斯定律的微分形式和积分形式。
接下来，我们来推导法拉第电磁感应定律。
法拉第电磁感应定律描述了磁场的变化对电场的影响。
根据法拉第电磁感应定律，一个变化的磁场可以在闭合回路上产生感应电动势。
通过一系列的实验和观察，我们可以得到法拉第电磁感应定律的微分形式和积分形式。
安培环路定律是电磁学中的另一个重要定律。
安培环路定律描述了电流和磁场之间的相互作用。
根据安培环路定律，磁场的旋度等于通过一个闭合回路的电流的总和。
通过一系列的实验和观察，我们可以得到安培环路定律的微分形式和积分形式。
最后，我们推导法拉第电磁感应定律的积分形式。
通过对法拉第电磁感应定律的微分形式进行积分，我们可以得到法拉第电磁感应定律的积分形式。
这个积分形式给出了磁场变化对闭合回路上感应电动势的贡献。
通过以上的推导过程，我们得到了麦克斯韦方程组的微分形式和积分形式。
这四个方程描述了电磁场的运动和变化，是电磁学的基础。
它们的推导过程相对复杂，需要借助一些数学和物理知识。
但是，它们的应用范围非常广泛，不仅仅局限于电磁学领域，还涉及到其他许多科学领域。
总之，电磁学中的麦克斯韦方程组是电磁学的基础，描述了电磁场的运动和变化。
这四个方程的推导过程相对复杂，需要借助一些数学和物理知识。
麦克斯韦方程组的应用范围非常广泛，不仅仅局限于电磁学领域，还涉及到其他许多科学领域。
电磁波动方程
电磁波动方程一、电磁波的基本概念电磁波是由电场和磁场相互作用而产生的一种能量传播形式。
它是一种横波，能在真空中传播，速度为光速。
二、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括四个方程式：高斯定律、安培定理、法拉第电磁感应定律和安培-马克思定律。
三、电磁波动方程电磁波动方程是由麦克斯韦方程组推导出来的。
它描述了电场和磁场在空间中随时间变化的规律。
四、推导过程首先，根据法拉第电磁感应定律和安培-马克思定律可以得到：$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$ 和 $\nabla \times H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$其中，$E$ 和 $B$ 分别表示电场和磁场强度，$H$ 和 $D$ 分别表示磁场强度和电位移密度，$J$ 表示自由电流密度。
然后，根据高斯定律和安培定理可以得到：$\nabla \cdot D = \rho$ 和 $\nabla \cdot B = 0$其中，$\rho$ 表示电荷密度。
接着，将上述方程式代入麦克斯韦方程组中，可以得到：$\nabla^2 E - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = 0$ 和 $\nabla^2 H - \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 H}{\partialt^2} = 0$其中，$\mu_0$ 表示真空中的磁导率，$\epsilon_0$ 表示真空中的介电常数。
五、电磁波动方程的性质1. 是一个二阶偏微分方程。
2. 描述了电场和磁场在空间中随时间变化的规律。
3. 可以用来计算电磁波在不同介质中的传播速度。
4. 可以用来解释光学现象和无线通信等实际应用。
六、总结电磁波动方程是描述电磁场在空间中随时间变化的规律的基本方程式。
它是由麦克斯韦方程组推导出来的二阶偏微分方程。
麦克斯韦方程组的三维分量形式 csdn
麦克斯韦方程组的三维分量形式 csdn麦克斯韦方程组是描述电磁现象的基本定律。
其中涉及到三维场，即电场E和磁场B的三个分量，分别为x、y、z方向的分量。
本文将介绍麦克斯韦方程组的三维分量形式。
一、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个方程组成，分别是：1.高斯定律$$\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$其中，$\rho$表示电荷密度，$\epsilon_0$为真空介电常数。
2.安培定理$$\nabla \cdot \vec B = 0$$3.法拉第电磁感应定律$$\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$4.安培-马克斯韦定理$$\nabla \times \vec B = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t}+\mu_0\vec J$$其中，$\mu_0$为真空磁导率，$\vec J$为电流密度。
二、三维分量形式以上四个方程中，前两个只涉及一个场，分别是电场和磁场，因此只有三个方程涉及到三个场的三个分量，即第三个和第四个方程。
1.法拉第电磁感应定律的三维分量形式$$\begin{cases} \frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}=-\frac{\partial B_x}{\partial t} \\ \frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partialE_z}{\partial x}=-\frac{\partial B_y}{\partial t} \\\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}=-\frac{\partial B_z}{\partial t} \\ \end{cases}$$2.安培-马克斯韦定理的三维分量形式$$\begin{cases} \frac{\partial B_x}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial x}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial E_z}{\partial t}+\mu_0J_x \\ \frac{\partial B_y}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial y}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t}+\mu_0J_y \\ \frac{\partial B_z}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial z}=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial E_y}{\partial t}+\mu_0J_z \\ \end{cases}$$三、总结麦克斯韦方程组中一共涉及到六个场分量，其中前两个方程只关注一个场的分量，后两个方程则可以通过三个场的三个分量互相推导。
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。
麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念：1.麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
2.麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。
综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。
这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。
在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。
因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。
变化电磁场的规律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。
麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念：1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。
综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。
这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。
在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。
因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。
变化电磁场的规律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组之杨若古兰创作关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变更电场和变更磁场其实不适用.麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念： 1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变更的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式标明，任何随时间而变更的磁场，都是和涡旋电场联系在一路的.2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变更的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了普通方式下的安培环路定理在真空或介质中的暗示方式，即上式标明，任何随时间而变更的电场，都是和磁场联系在一路的. 综合上述两点可知，变更的电场和变更的磁场彼此不是孤立的，它们永久密切地联系在一路，彼此激发，构成一个统一的电磁场的全体.这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念.在麦克斯韦电磁场理论中，自在电荷可激发电场，变更磁场也可激发电场，则在普通情况下，空间任一点的电场强度应当暗示为又因为，稳恒电流可激发磁场，变更电场也可激发磁场，则普通情况下，空间任一点的磁感强度应当暗示为是以，在普通情况下，电磁场的基本规律中，应当既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变更电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变更的磁场可以在空间激发变更的涡旋电场，而变更的电场也能够在空间激发变更的涡旋磁场.是以，电磁场可以在没有自在电荷和传导电流的空间单独存在.变更电磁场的规律是： 1.电场的高斯定理在没有自在电荷的空间，由变更磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线.通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非守旧场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变更的电场发生的磁场和传导电流发生的磁场不异，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线.是以，磁场的高斯定理仍适用，即4.磁场的安培环路定理由本节公式（3）已知，变更的电场和它所激发的磁场满足的环路定理为在变更电磁场的上述规律中，电场和磁场成为不成分割的一个全体.将两种电、磁场的规律合并在一路，就得到电磁场的基本规律，称之为麦克斯韦方程组，暗示如下上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分方式.将麦克斯韦方程组的积分方式用高等数学中的方法可变换为微分方式.微分方式的方程组如下上面四个方程可一一说明如下：在电磁场中任一点处（1）电位移的散度等于该点处自在电荷的体密度；（2）电场强度的旋度等于该点处磁感强度变更率的负值；（3）磁场强度的旋度等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和；（4）磁感强度的散度处处等于零. 麦克斯韦方程是宏观电磁场理论的基本方程，在具体利用这些方程时，还要考虑到介质特性对电磁场的影响，即，和欧姆定律的微分方式.方程组的微分方式，通常称为麦克斯韦方程.在麦克斯韦方程组中，电场和磁场曾经成为一个不成分割的全体.该方程组零碎而完好地概括了电磁场的基本规律，并预言了电磁波的存在.。
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的根本纪律,可总结归纳成以下四条根本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤登时给出了静电场和稳恒磁场的纪律,对变更电场和变更磁场其实不实用.麦克斯韦在稳恒场理论的基本上,提出了涡旋电场和位移电流的概念：1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念,揭示出变更的磁场可以在空间激发电场,并经由过程法拉第电磁感应定律得出了二者的关系,即上式标明,任何随时光而变更的磁场,都是和涡旋电场接洽在一路的.2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念,揭示出变更的电场可以在空间激发磁场,并经由过程全电流概念的引入,得到了一般情势下的安培环路定理在真空或介质中的暗示情势,即上式标明,任何随时光而变更的电场,都是和磁场接洽在一路的.分解上述两点可知,变更的电场和变更的磁场彼此不是孤立的,它们永久亲密地接洽在一路,互相激发,构成一个同一的电磁场的整体.这就是麦克斯韦电磁场理论的根本概念.在麦克斯韦电磁场理论中,自由电荷可激发电场,变更磁场也可激发电场,则在一般情形下,空间任一点的电场强度应当暗示为又因为,稳恒电流可激发磁场,变更电场也可激发磁场,则一般情形下,空间任一点的磁感强度应当暗示为是以,在一般情形下,电磁场的根本纪律中,应当既包含稳恒电.磁场的纪律,如方程组（1）,也包含变更电磁场的纪律,依据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念,变更的磁场可以在空间激发变更的涡旋电场,而变更的电场也可以在空间激发变更的涡旋磁场.是以,电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独消失.变更电磁场的纪律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间,由变更磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线.经由过程场中任何关闭曲面的电位移通量等于零,故有：2.电场的环路定来由本节公式（2）已知,涡旋电场长短保守场,知足的环路定理是3.磁场的高斯定理变更的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场雷同,都是涡旋状的场,磁感线是闭合线.是以,磁场的高斯定理仍实用,即4.磁场的安培环路定来由本节公式（3）已知,变更的电场和它所激发的磁场知足的环路定理为在变更电磁场的上述纪律中,电场和磁场成为不成朋分的一个整体.将两种电.磁场的纪律归并在一路,就得到电磁场的根本纪律,称之为麦克斯韦方程组,暗示如下上述四个方程式称为麦克斯韦方程组的积分情势.将麦克斯韦方程组的积分情势用高级数学中的办法可变换为微分情势.微分情势的方程组如下上面四个方程可一一解释如下：在电磁场中任一点处（1）电位移的散度等于该点处自由电荷的体密度;（2）电场强度的旋度等于该点处磁感强度变更率的负值;（3）磁场强度的旋度等于该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和;（4）磁感强度的散度处处等于零.麦克斯韦方程是宏不雅电磁场理论的根本方程,在具体运用这些方程时,还要斟酌到介质特征对电磁场的影响,即,以及欧姆定律的微分情势.方程组的微分情势,平日称为麦克斯韦方程.在麦克斯韦方程组中,电场和磁场已经成为一个不成朋分的整体.该方程组体系而完全地归纳分解了电磁场的根本纪律,并预言了电磁波的消失.。
麦克斯韦方程组的几种推导方法的比较
麦克斯韦方程组得几种推导方法及其比较摘要:介绍麦克斯韦方程组得几种推导方法。
从经典、能量守恒、拉格朗日方程得方面推导得出现有得麦克思维方程组,从侧面说明了麦克斯韦得普遍适用性与有其她一些普遍存在得定理定律得等价性。
通过分析三种方法得优缺点,从而加深对麦克斯韦方程组得物理意义得理解,培养科学求真得探索精神。
关键词:拉格朗日方程、麦克思维方程组、能量守恒定律目录引言: (1)1_用经典方法推导麦克斯韦方程组得方法 (2)1、1 第一方程式得推导 (2)1、2第二方程式得推导 (3)1、3第三方程式得推导 (3)1、4第四方程式得推导 (5)2_从电磁场能量与能流形式推导麦克斯韦方程组 (6)3_用拉格朗日方程推导麦克斯韦方程组得方法。
(8)4_三种方法得比较 (11)4、1经典方法得优势 (11)4、2能量方法推导得优缺点 (12)4、3拉格朗日方程推导得特点 (12)结束语: (13)参考文献: (13)引言:麦克斯韦方程组就是电磁理论得基本方程,在电磁学中有很重要得地位,在与很多工业领域有很多应用。
关于它得推导建立,有我们熟知得经典方法,还有后来得根据拉格朗日方程等分析力学方法推导,以及由能量守恒得方法推导等诸多方法。
下面我们来一一推导证明1_用经典方法推导麦克斯韦方程组得方法1、1 第一方程式得推导电荷得库仑定律:F =0ε41πr r q q 3' 此电荷得场强为:E =0ε41πr rq 3 对电荷得场强沿着球面求面积分,得到:⎰S dS E =∑0εi Q =⎰V 01dV ρε电场强度通过面元d S 得通量为:dS E • =Ecos θds=204r Qπεcos θds 。
θ就是d S 与E 得夹角,cos θds/2r 位球面得立体角元。
所以包裹电荷得闭合曲面与球面得积分就是相同得。
由于对电荷得场强求面积分只与包裹着得电荷有关系,所以积分得面没有关系。
又因为电荷得体密度得定义:ρ=Vq 根据斯托克斯公式可以把面积分化成散度得体积分: ⎰•∇VdV E =ρV/0ε 得到:0/ερ=•∇E等效都就是在真空下得方程式,如果在介质下得束缚电荷密度p ρ,那么:E •∇=(ρ+p ρ)/0ε。
(完整版)麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。
麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念：1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。
综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。
这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。
在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。
因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。
变化电磁场的规律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。
电磁场理论中的麦克斯韦方程组推导
电磁场理论中的麦克斯韦方程组推导电磁场理论是物理学的重要分支之一，它描述了电磁场的性质和行为。
其中，麦克斯韦方程组是电磁场理论的核心内容，它由四个方程组成，分别是麦克斯韦方程的积分形式和微分形式。
首先，我们来看麦克斯韦方程的积分形式。
第一个方程是高斯定律，它描述了电场的产生和电荷的分布之间的关系。
根据高斯定律，电场的通量与其所包围的电荷量成正比。
这个方程可以用数学形式表示为：∮E·dA = 1/ε₀∮ρdV其中，∮E·dA表示电场E的通量，∮ρdV表示电荷密度ρ在闭合曲面上的积分，ε₀是真空中的介电常数。
第二个方程是法拉第定律，它描述了磁场的产生和电流的分布之间的关系。
根据法拉第定律，磁场的环流与通过该闭合曲面的电流成正比。
这个方程可以用数学形式表示为：∮B·dℓ = μ₀I + μ₀ε₀ d(∮E·dA)/dt其中，∮B·dℓ表示磁场B的环流，I表示通过闭合曲面的电流，μ₀是真空中的磁导率。
接下来，我们来看麦克斯韦方程的微分形式。
第三个方程是法拉第定律的微分形式，它描述了磁场的旋度与电流密度之间的关系。
根据法拉第定律的微分形式，磁场的旋度等于电流密度的负时间导数。
这个方程可以用数学形式表示为：∇×B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t其中，∇×B表示磁场B的旋度，J表示电流密度，∂E/∂t表示电场E的时间导数。
最后一个方程是安培定律，它描述了电场的旋度与电流的变化率之间的关系。
根据安培定律，电场的旋度等于电流的负时间导数与磁场的叠加。
这个方程可以用数学形式表示为：∇×E = -∂B/∂t其中，∇×E表示电场E的旋度，∂B/∂t表示磁场B的时间导数。
通过对这四个方程的推导和分析，我们可以得出电磁场的一些基本性质。
例如，根据麦克斯韦方程组，电磁波的存在是可以预测的，它是电场和磁场的相互作用产生的一种传播现象。
麦克斯韦方程组推导波动方程
麦克斯韦方程组推导波动方程麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括四个方程：高斯定律、高斯磁定律、安培定律和法拉第电磁感应定律。
推导波动方程的过程如下：首先考虑电场和磁场在时空上的变化关系，根据安培定律和法拉第电磁感应定律，可以得到：$\nabla \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$其中，$\mathbf{E}$是电场，$\mathbf{B}$是磁场，$\mathbf{J}$是电流密度，$\mu_0$是真空中的磁导率，$\epsilon_0$是真空中的电介质常数。
然后，根据法拉第电磁感应定律，可以得到电场的旋度与磁场的空间变化率之间的关系：$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = - \nabla \times\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$由矢量恒等式$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) =\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E}$，可以将上式改写为：$\nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} = - \nabla \times \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$再根据高斯方程$\nabla \cdot \mathbf{E} =\frac{\rho}{\epsilon_0}$，其中$\rho$是电荷密度，可有：$\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = \frac{1}{\epsilon_0} \rho$其中$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$为真空中的光速。
麦克斯韦方程组的推导及说明
13-6 麦克斯韦方程组关于静电场和稳恒磁场的基本规律，可总结归纳成以下四条基本定理：静电场的高斯定理：静电场的环路定理：稳恒磁场的高斯定理：磁场的安培环路定理：上述这些定理都是孤立地给出了静电场和稳恒磁场的规律，对变化电场和变化磁场并不适用。
麦克斯韦在稳恒场理论的基础上，提出了涡旋电场和位移电流的概念：1. 麦克斯韦提出的涡旋电场的概念，揭示出变化的磁场可以在空间激发电场，并通过法拉第电磁感应定律得出了二者的关系，即上式表明，任何随时间而变化的磁场，都是和涡旋电场联系在一起的。
2. 麦克斯韦提出的位移电流的概念，揭示出变化的电场可以在空间激发磁场，并通过全电流概念的引入，得到了一般形式下的安培环路定理在真空或介质中的表示形式，即上式表明，任何随时间而变化的电场，都是和磁场联系在一起的。
综合上述两点可知，变化的电场和变化的磁场彼此不是孤立的，它们永远密切地联系在一起，相互激发，组成一个统一的电磁场的整体。
这就是麦克斯韦电磁场理论的基本概念。
在麦克斯韦电磁场理论中，自由电荷可激发电场，变化磁场也可激发电场，则在一般情况下，空间任一点的电场强度应该表示为又由于，稳恒电流可激发磁场，变化电场也可激发磁场，则一般情况下，空间任一点的磁感强度应该表示为因此，在一般情况下，电磁场的基本规律中，应该既包含稳恒电、磁场的规律，如方程组（1），也包含变化电磁场的规律，根据麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流的概念，变化的磁场可以在空间激发变化的涡旋电场，而变化的电场也可以在空间激发变化的涡旋磁场。
因此，电磁场可以在没有自由电荷和传导电流的空间单独存在。
变化电磁场的规律是：1.电场的高斯定理在没有自由电荷的空间，由变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列的闭合曲线。
通过场中任何封闭曲面的电位移通量等于零，故有：2.电场的环路定理由本节公式（2）已知，涡旋电场是非保守场，满足的环路定理是3.磁场的高斯定理变化的电场产生的磁场和传导电流产生的磁场相同，都是涡旋状的场，磁感线是闭合线。
真空中的麦克斯韦方程组的推导
真空中的麦克斯韦方程组的推导一、电磁学的基本定律与定理电荷：正负电荷同性相斥，异性相吸1、库仑定律：真空点电荷之间相互作用力2 r4「° r电场：我们假定电荷与电荷之间的相互作用是通过场来传递的。
电场是一种物质电场强度：反应了电场力的性质FE=-（定义式，任何情况下都成立）q对于真空中的点电荷Q产生的电场有E」Qg4二;0r2 r（只适合于真空中的点电荷）电场线：世上本来没有电场线，有好事者发明它，它是一种形象描述电场而引进的假想的曲线，它的密度代表电场强度的大小，它的切线方向代表电场的方向。
电场强度：等于垂直于电场方向单位面积的电场线的条数，代表着电场线的密度__ dNE 二dS_电场强度f大小：电场线密度方向：正电荷受力的方向2、高斯定理：电通量与电荷的关系的定理电通量：叮u.sELdS，通过某一曲面S的电场线的条数如果该曲面为闭合的曲面，则有①=[yE_dS=q由库仑定律可以推导高斯定理，法拉弟电磁感应定律：变化的磁场产生电场dt dt '电荷守恒定律■—1a下面我们来总结一下得到的定理定律1、库仑定律可推出与高斯定理和安培环路定理：因此库仑定律可以由高斯定理和安培环路定理取代J(^[E)dV = J(#)dV 二V]E =——®0 £o %2、静电场环路定理：卅出(亦E)_dS = 0n g E=0由于毕奥萨伐尔定律可以推导出磁场的安培环路定理和高斯定理，因此毕奥萨伐尔定律的内容可以由安培环路定理和高斯定理取代3、磁场的安培环路定理Vx B = %j4、磁场高斯定理[]B_dS=o= jB=o5、法拉弟电磁感应定律J -d J B&Sn H Ejdt = f B]dSn g E =-生dt 匕dt c t6电荷守恒定律二、电磁学定律的微分形式1、让已一 :静电场咼斯定理E o2、I E =0 :静电环路定理' I3、'、总=J o j :静磁场中的安培环路定理4、：|_B=0 :磁场中的高斯定理：这一定成立5、I E =:电磁感应定律：（变化的电磁场中成立）a6、I |_j •:电荷守恒定律（任何情况下都成立）t第一我们来验证一下1在变化的电场中是不是成立，由于5式是变化的电场所以有对于第5式E 括,E 刃［B\ E 0 E =S t c t因此1与5不冲突，1可以推广到变化的电场情况，2也可以由5包含。
真空介电常数和真空磁导率的关系
真空介电常数和真空磁导率的关系真空介电常数和真空磁导率是两个基本的物理常数，它们在电磁学中起着非常重要的作用。
它们之间的关系可以通过麦克斯韦方程组来推导得到。
首先，我们来了解一下真空介电常数和真空磁导率的定义。
真空介电常数是指在真空中，电场强度与电位移之间的比值，通常用符号ε0表示。
而真空磁导率则是指在真空中，磁场强度与磁感应强度之间的比值，通常用符号μ0表示。
它们的数值分别为：ε0 = 8.85 × 10^-12 F/mμ0 = 4π × 10^-7 H/m接下来，我们来推导一下它们之间的关系。
根据麦克斯韦方程组，我们可以得到：∇·E = ρ/ε0∇×E = -∂B/∂t其中，E表示电场强度，B表示磁感应强度，ρ表示电荷密度。
将第二个方程式中的B用磁场强度H表示，再将H用磁感应强度B和真空磁导率μ0表示，可以得到：∇×E = -1/μ0 * ∂(μ0B)/∂t将上式代入第一个方程式中，可以得到：∇·E = ρ/ε0∇×(-1/μ0 * ∂(μ0B)/∂t) = -∂B/∂t对第二个方程式进行旋度运算，可以得到：∇×(∇×E) = -∇×(1/μ0 * ∂(μ0B)/∂t)根据矢量恒等式，可以将左边的式子化简为：∇×(∇×E) = ∇(∇·E) - ∇^2E将上式代入原方程式中，可以得到：∇(∇·E) - ∇^2E = -∇×(1/μ0 * ∂(μ0B)/∂t)由于在真空中没有电荷，所以ρ=0，因此可以将第一个式子化简为∇^2E。
同时，由于在真空中没有磁荷，所以∇×B=0，因此可以将第二个式子化简为∂E/∂t。
于是可以得到：∇^2E = 1/c^2 * ∂^2E/∂t^2其中，c=1/√(ε0μ0)为真空中的光速。
将上式代入原方程式中，可以得到：1/c^2 * ∂^2E/∂t^2 = -∇×(1/μ0 * ∂(μ0B)/∂t)对上式两边同时取旋度，可以得到：1/c^2 * ∂^2(∇×E)/∂t^2 = -1/μ0 * ∂(∇×B)/∂t由于在真空中没有磁荷，因此∇×B=0，于是可以得到：∂^2(∇×E)/∂t^2 = 0将上式积分一次，可以得到：∇×E = A + Bt其中，A和B为常数。
真空中的麦克斯韦方程组
E E 2 E
E 2 ( E ) E ( B) 0 0 2 t t
2
E E 0 0 2 0 t
2 2
1 E 2 E 2 0 2 C t
1 C 0 0
总电场的旋度与散度方程
假定电荷分布激发的场为 ES t 满足： t ES 0 ES
Ei 0
感生电场是 有旋无源场
S
总电场为：E ES Ei 因此得到总电场满足的方程：
0
t B E , E t 0
变化电场是有旋有源场， 它不仅可以由电荷直接 激发，也可以由变化磁 场激发。
麦克斯韦在多 方面考虑后取
JD
E 0 t
它仅在产生 磁场上与传 导电流相同
四、总磁场的旋度和散度方程
旋度 方程
（1）B 为总磁感应强度 （2）若 J t 0， B 仍为有旋场
散度 方程
E B 0 J 0 0 t
（3）可认为磁场的一部分直接由变化电场激发
§3 真空中的麦克斯韦方程组
一、电磁感应定律
电磁感应现象
1831年法拉第发现：当一个 磁铁插进或拔出导体回路时， 在回路中将出现感应电流。 由此他总结了这一现象服从 的规律：
dS
(其中 B B dS )
S
d B i dt
B
S
二、总电场的旋度和散度方程
感生电场的旋度方程
具体求解方程还要考虑 空间中的介质，导体以 及各种边界上的条件。
0 E E t t 0
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真空中的麦克斯韦方程组的推导
一、电磁学的基本定律与定理
电荷：正负电荷同性相斥，异性相吸
1、库仑定律：真空点电荷之间相互作用力 12201
4r q q F e r πε= 电场：我们假定电荷与电荷之间的相互作用是通过场来传递的。
电场是一种物质
电场强度：反应了电场力的性质 F E q
=（定义式，任何情况下都成立） 对于真空中的点电荷Q 产生的电场有
201
4r Q E e r πε= （只适合于真空中的点电荷）
电场线：世上本来没有电场线，有好事者发明它，它是一种形象描述电场而引进的假想的曲线，它的密度代表电场强度的大小，它的切线方向代表电场的方向。
电场强度：等于垂直于电场方向单位面积的电场线的条数，代表着电场线的密度 dN E dS ⊥
= 电场强度E ⎧⎨⎩大小：电场线密度方向：正电荷受力的方向
2、高斯定理：电通量与电荷的关系的定理
电通量：S =E dS Φ⎰，通过某一曲面S 的电场线的条数 如果该曲面为闭合的曲面，则有
0q E dS εΦ==⎰
由库仑定律可以推导高斯定理，
014r dq dE e r πε= 024r Idl e dB r
μπ⨯= 由库仑定律可以推导高斯定理0q E dS εΦ==⎰ 由奥萨伐尔定律可以推导安培环路0B dl I μ=⎰
静电场无旋 0E dl =⎰ 磁场无源
0B dS =⎰
法拉弟电磁感应定律：变化的磁场产生电场
d d B dS dt dt
ξΦ=-=-⎰ 电荷守恒定律 q j dS t
∂=-∂⎰ 下面我们来总结一下得到的定理定律
1、库仑定律可推出与高斯定理和安培环路定理：因此库仑定律可以由高斯定理
和安培环路定理取代
000
()()q E dS E dV dV E ρρεεε=⇒∇=⇒∇=⎰⎰⎰ 2、静电场环路定理：0()00E dl E dS E =⇒∇⨯=⇒∇⨯=⎰⎰
由于毕奥萨伐尔定律可以推导出磁场的安培环路定理和高斯定理，因此毕奥萨伐尔定律的内容可以由安培环路定理和高斯定理取代
3、磁场的安培环路定理00B dl I B j μμ=⇒∇⨯=⎰
4、磁场高斯定理0=0B dS B =⇒∇⎰
5、法拉弟电磁感应定律
d d B B dS E dl B dS E dt dt t ξ∂=-⇒=-
⇒∇⨯=-∂⎰⎰⎰ 6、电荷守恒定律
q j dS j t t
ρ∂∂=-⇒∇=-∂∂⎰
二、电磁学定律的微分形式
1、0
E ρε∇=：静电场高斯定理 2、0E ∇⨯=：静电环路定理
3、0B j μ∇⨯=：静磁场中的安培环路定理
4、=0B ∇：磁场中的高斯定理：这一定成立
5、B E t ∂∇⨯=-∂：电磁感应定律：（变化的电磁场中成立）
6、j t
ρ∂∇=-∂：电荷守恒定律（任何情况下都成立） 第一我们来验证一下1在变化的电场中是不是成立，由于5式是变化的电场所以有 对于第5式
00B B E E t t
∂∂∇∇⨯=-⇒=∇∇⨯=-=∂∂ 因此1与5不冲突，1可以推广到变化的电场情况，2也可以由5包含。
对3式两边取散度
左边0B ∇∇⨯=，右边00j t μμρ∂∇=-∂，只有在稳恒场中0t ρ∂=∂才成立，因此3只在稳恒场中才成立，在变化的场中不成立
由电荷守恒定律j t
ρ∂∇=-∂可知 00()0E j j j t t t
ρρε∂∂∂∇=-⇒∇+=⇒∇+=∂∂∂ 所以可以将3式的j 换成0E j t
ε∂+∂就可以成立， 所以麦克斯韦方程组微分形式为
1、0E ρε∇=： 电荷是静电场的源
2、B E t ∂∇⨯=-∂：变化的磁场产生电场
3、=0B ∇：磁场无源
4、：000E B j t
μμε∂∇⨯=+∂ ，电流产生磁场，变化的电场产生磁场
三、真空中的电磁波
对于真空条件下（无介质，无电荷与电流），麦克斯韦方程组可以写为
1、0E ∇=：
2、B E t
∂∇⨯=-∂ 3、=0B ∇
4、00E B t
με∂∇⨯=∂ 将第二个方程取旋度并利用第四个方程可以得到
2
002()E B E t t
με∂∂∇⨯∇⨯=-∇⨯=-∂∂ 又因为2
()E E E ∇⨯∇⨯=∇∇-∇，且在真空条件下0E ∇=，则可以得到标准的行波方程 22
2
200222100E E E
E t v t με∂∂∇-=⇒∇-=∂∂ 其中v =
为波速，其实就是光速。