抛物线练习题

抛物线练习题

抛物线练习题

一、选择题

1. （2014·重庆高考文科·Ｔ8）设1

2

,F F 分别为双曲线

22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得()

2

21

2

3,

PF

PF b ab -=- 则该双曲线的离心率为 （）

215

417

【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于,a b 的等式，进而求出离心率的值.

【解析】选 D.由双曲线的定义知，()

2

21

2

4,

PF PF a -=又

()2

2

1

2

3,PF PF b ab -=-

所以2

243a

b ab

=-

等号两边同除2

a ，化简得2

340b b a a ⎛⎫

-•-= ⎪⎝⎭

，解得4,b a =或1b

a

=-（舍去） 故离心率

2

22222

117.c c a b b e a a a a +⎛⎫

====+= ⎪⎝⎭

2. （2014·天津高考文科·Ｔ6同2014·天津高考理科·Ｔ5））已知双曲线

)0,0(12

2

22>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线

,

102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（ ） A.

120

52

2=-y x B.

15

202

2=-y x C.

1100

32532

2=-y x D.

125

310032

2=-y x

【解析】选 A.因为双曲线的一个焦点在直线l 上，所以

0210,

c =+即5,c =又因为渐近线平行于直线,102:+=x y l 故有

2,b a

=结合2

2

2

,

c

a b =+得2

2

5,20,

a

b ==所以双曲线的标准方程为

120

52

2=-y x

3. （2014·湖北高考理科·Ｔ9）已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123

F PF π

∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）

A.

433 B.23

3

C.3

D.2 【解题提示】 椭圆、双曲线的定义与性质，余弦定理及用基本不等式求最值 【解析】选A. 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为1a （1a a >），半焦距为c ，由椭圆、双曲线的定义得a PF PF 2||||21=+，121||||2PF PF a -=，所以11||a a PF +=，

12||a a PF -=，

因为

123F PF π

∠=

，由余弦定理得

22211114()()2()()cos

3c a a a a a a a a π

=++--+-，

所以2

1

2

2

34a a c +=，即2

122122221)(2124c a c a c a c a c a +≥+=-，

所以21

214

8)11(e e e -≤+，

利用基本不等式可求得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为

43

.

4.(2014·广东高考理科)若实数k 满足0

225

x -

29y k

-=1与曲线

225x k

--29

y =1的 ( )

A.焦距相等

B.实半轴长相等

C.虚半轴长相等

D.离心率相等

【解题提示】先判断两曲线是哪种圆锥曲线,进而求a ,b ,c ,e 加以判断. 【解析】选A.因为0

x -29y k

-=1与曲线

225x k

--29

y =1都表示焦点在x 轴上

的双曲线,且25≠25-k ,9-k ≠9,但a 2

+b 2

=34-k ,故两双曲线的焦距相等.

10. （2014·山东高考理科·Ｔ10）

已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22

221x y a b

-=，1C 与2C 的离心

率之积为

3

，则2C 的渐近线方程为（ ） A 、20x y ±= B 、20x y ±= C 、20x y ±= D 、20x y ±=

【解题指南】 本题考查了考查了椭圆、双曲线的几何性质，利用椭圆，双曲线中a,b,c 之间的关系即可求解.

【解析】选 A.椭圆的离心率为2222221

a b a a c e -==，双曲线的离心率为2

22222

2a

b a a

c e +==，所以()

4

34

442

21=+=a b a e e ，所以444b a =. 所以

22±=a b .双曲线的渐近线方程为x y 2

2

±=，即02=±y x ，故选A.