第八章卡尔曼滤波与LQG控制

带有离散状态观测器的闭环反馈控制系统：
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Kalman滤波器-最优估计 如何设计状态观测器的增益系数，考虑噪声环境下
测量噪声v(k) 和过程噪声w(k)为零均值高斯噪声,即
测量噪声方差Rv一般由传感器指标决定 过程噪声方差Rw主要考虑未知扰动和模型误差
Kalman滤波的原理是选择观测器增益Ke, 使得如下方差最小:
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x1 0 1 x1 0 例3.6.1把状态方程 u x2 2 3 x2 1 T 0.2s. 离散化，
解：(1) 近似离散化:
则G I TA
1 1 0.2 1 0 0 0.2 , 0 1 2 3 0.4 0.4 0 0 0.2 1 0.2
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Kalman滤波器-最优估计的瞬态解 瞬态增益系数的解如下
测量更新 时间更新
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Kalman滤波器-最优估计的两步更新过程
测量更新,由新息和历史数据进行估计
由测量得到新息 做最优估计
时间更新,为下一步最优估计作准备
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卡尔曼增益Kk的求法
P(k)--误差估计阵
~ ~ T ˆ (k | k 1))(X X ˆ (k | k 1))T ] P(k | k 1) E[ X k ,k 1 X k ,k 1 ] E[( X k X k
若设H=1，则基本滤波方程变成： ˆ (k ) (I K ) X ˆ (k | k 1) K Z (k ) X k k
卡尔曼滤波方程中各参数的含义
• 滤波方程中各参数的含义：
– P(k) ----- 滤波误差方差阵
~ ~T ˆ )(X X ˆ )T ] J P(k ) E[ X k X k ] E[(X k X k k k
– P(k|k-1) ----- 一步预测误差方差阵 – Kk ------ 卡尔曼滤波增益
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拟合、滤波与估计
已知 过去 ←--- 现在时刻 ---→ 将来
？
求过去时间段 某一点的值— —数据平滑、 插值、拟合
？
求现在时刻的 值——滤波
？
求将来时间段 某一点的值— —估计、预测
时间 k
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离散化状态观测器 预测：
滤波：
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离散化状态观测器与闭环控制
其状态方程的解为：
x t e
A t t0
x t0 e
t0
t
A t
Bu d
假设： (1) 等采样周期T：
(2) u t u kT , kT t k 1T .
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令 t k 1T , t0 kT ,
其中： 进而：
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连续系统的离散化
框图表示为：
Z变换表示为：
引入状态反馈控制： 可以得到：
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3.6 连续系统的时间离散化
3.6.1 近似离散化
考虑系统
x t At x t B t u t ,
(1)
当采样周期T 很小时，有
x t x k 1 x k T.
x k 1T Gx kT Hu kT .
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连续系统离散化的几点说明： (1) 近似离散化是一般离散化的特例 (2) 定常系统离散化是时变系统离散化的特例 (3) 一般说来，没有精确离散化 (4) 离散化是有条件的，“连续化”是无条件的 (5) 连续系统的结论可以在离散系统中找到对应， 反之则未必
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所以近似离散化状态方程为:
x k 1T Gx kT Hu kT ,
0.2 1 0 即x 0.2 k 1 0.4 0.4 x 0.2k 1 u 0.2k
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Kalman滤波器-稳态解与LQG
Kalman滤波器稳态解
估计的Hamilton矩阵为:
为Hamilton矩阵的特征根 MATLAB命令为:
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Kalman滤波器- LQG应用实例
LQG=Linear Quadratic Gaussian Regulator
状态变量:
(2)
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令t kT , (1) (2) :
x k 1T x kT T A kT x kT B kT u kT ,
x k 1T I TA kT x kT TB kT u kT ,
G kT x kT H kT u kT .
其中：
G kT I TA kT , H kT TB kT .
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3.6.2 线性时不变系统状态方程的离散化 考虑系统： x t Ax t Bu t ,
Kk—卡尔曼增益阵
• 卡尔曼滤波的特点：
– – – – –
P(k|k-1)-- 一步测量误差阵
适用于平稳/非平稳时间序列的滤波； 递推形式，便于实时； Kk与观测无关，可离线计算出来； 由于存在两个延迟环节，因此需要给出P0和X(0)（实验表明，可任取）； Kk在滤波收敛之后，不再发生改变。
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则有：
x轾 (k + 1)T = e x (kT ) + 臌
AT
ò
kT
(k + 1)T
kT
e
A轾 (k + 1)T - t 臌
Bu (t ) d t
e x kT
AT
k 1T
e
A k 1T
Bd u kT
令 t k 1T , 则 d dt ,
采样周期:
Fra Baidu bibliotek
two_mass_sys.m
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x轾 (k + 1)T = e x (kT ) + 臌
AT
ò
t
0 t
e
A(t )
Bdt u (kT ) dt Bu (kT )
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= e x (kT ) +
AT
ò
0
e
A(t )
T 令 G e , H e At d B, 0 AT
则线性时不变系统离散状态方程为：
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College of Automotive, Tongji University
钟再敏
离散时间状态观测器与LQG控制 Discrete Time Observers and LQG Control
现代控制理论基础6
目录
1.
引言
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连续系统的离散化 给定LTI系统
LTI系统的输入u为离散控制量，采样周期为T，采样期间ZOH零阶保持， 则采样保持期间的系统相应可以计算得到：