初中数学知识点精讲精析 有理数的减法

2.2 有理数的减法

学习目标

1. 理解并掌握有理数减法法则。

2. 了解有理数减法和现实生活的广泛联系，学会运用有理数减法解决的实际问题，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。

知识详解

1.有理数的减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示该法则为：a-b=a+（-b）；其中a、b表示任意有理数，即a、b既可以是正数，也可以是负数和0。

注意：（1）进行有理数的减法运算有两个步骤：第一步，将减号变成加号，把减数的相反数变成加数。第二步，进行有理数加法运算，特别注意在第一步中将有理数减法“转化”为加法时，要同时改变两个符号：a运算符号由“-”号变为“+”号；b改变减数的性质符号。（2）减数与被减数不能互换，即减法没有交换律。

有理数的减法体现了转化的思想，把未知的问题转化为已知的问题赖解决。

2. 代数和

几个正数和负数的和称为代数和。代数和一般用省略加号、括号的和的形式来表示，因为m-n=m+（-n），所以可将m-n看做m和-n的代数和，即m+（-n）形式省略加号和括号，写成m-n的形式。

3. 有理数的加减混合运算

有理数的加减混合运算可统一为加法运算。它的运算方法和步骤如下：

（1）利用有理数减法法则将减法统一成加法；

（2）省略各加数的括号和它前面的加号；

（3）运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。

注意：

（1）每个数字前面的符号都是这个数字的性质符号，因此在交换加数的位置时，一定要连同符号一起交换。

（2）计算如果需要添括号，一定要连同加数前面的符号一起括进括号内，并将原来省略的符号还原。

【典型例题】

例1：计算-10-8所得的结果是（）

A．-2

B．2

C．18

D．-18

【答案】D

【解析】-10-8=-18

例2：有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（）

A．a+b＜0

B．a+b＞0

C．a-b=0

D．a-b＜0

【答案】B

【解析】由数轴得：a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，∴a+b＞0，a-b＞0．

例3：某天北京的最高气温是11℃，最低气温是-2℃，那么这一天的温差是（）A．-13℃

B．-9℃

C．13℃

D．9℃

【答案】C

【解析】11-（-2）=11+2=13℃．

【误区警示】

易错点1：减法运用

1.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是在（）

A．甲站的东边70千米处

B．甲站的西边20千米处

C．甲站的东边30千米处

D．甲站的西边30千米处

【答案】C

【解析】根据题意，设向东为正，则向西为负，则向东行驶50千米，记为50；然后向西行驶20千米，记为-20；则汽车的位置是50+（-20）=30，此时汽车的位置是甲站的东边30千米处．

易错点2：减法与数轴

2.下列表示某地区早晨、中午和午夜的温差（单位：℃），则下列说法正确的是（）

A．午夜与早晨的温差是11℃

B．中午与午夜的温差是0℃

C．中午与早晨的温差是11℃

D．中午与早晨的温差是3℃

【答案】C

【解析】A、午夜与早晨的温差是-4-（-7）=3℃，故本选项错误；B、中午与午夜的温差是4-（-4）=8℃，故本选项错误；C、中午与早晨的温差是4-（-7）=11℃，故本选项正确；D、中午与早晨的温差是4-（-7）=11℃，故本选项错误．

【综合提升】

针对训练

1. 昆明小学1月份某天的最高气温为5℃，最低气温为-1℃，则昆明这天的气温差为（）A．4℃

B．6℃

C．-4℃

D．-6℃

2. 有理数a，b在数轴上的对应的位置如图所示：则（）

A．a+b＜0

B．a-b＜0

C．a-b=0

D．a-b＞0

3. A地的海拔高度是4600米，B地的海拔高度是-100米，则A地比B地高（）A．4600米

B．100米

C．4500米

D．4700米

1.【答案】B

【解析】这天的温差就是最高气温与最低气温的差，即5-（-1）=5+1=6℃．

2.【答案】D

【解析】∵-1＜b＜0，又∵1＜a＜2，∴a-b＜0．

3.【答案】D

【解析】依题意得：4600-（-100）=4700米．

【中考链接】

（2014年哈尔滨）哈市某天的最高气温为28℃，最低气温为21℃，则这一天的最高气温与最低气温的差为（）

A．5℃

B．6℃

C．7℃

D．8℃

【答案】C

【解析】28-21=28+（-21）=7

课外拓展

随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西。为了表示这样的量，又产生了负数。正整数、负整数和零，统称为整数。如果再加上正分数和负分数，就统称为有理数。有了这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了。