三年级奥数整数的速算与巧算

整数速算与巧算（二）

知识框架

一、整数四则运算定律

（1） 加法交换律：a b b a +=+的等比数列求和

（2） 加法结合律：()()a b c a b c ++=++

（3） 乘法交换律：a b b a ⨯=⨯

（4） 乘法结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯

（5） 乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯；()b c a b a c a +⨯=⨯+⨯

（6） 减法的性质：()a b c a b c --=-+

（7） 除法的性质：()a b c a b c ÷⨯=÷÷；

（8） 除法的“左”分配律：()a b c a c b c +÷=÷+÷；()a b c a c b c -÷=÷-÷，这里尤其要注意，除法

是没有“右”分配律的，即()c a b c a c b ÷+=÷+÷是不成立的！

备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．

二、利用位值原理思想进行巧算

（1） 位值原理的定义：

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

（2） 位值原理的表达形式： 以六位数为例：10000010000100010010abcdef a b c d e f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+

以具体数字为例：38976231000008100009100071006102=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+

三、提取公因数思想

1. 乘法运算中的提取公因数：

（1） 乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯或()b c a b a c a +⨯=⨯+⨯

（2） 提取公因数即乘法分配律的逆用：()a b a c a b c ⨯+⨯=⨯+或()b a c a b c a ⨯+⨯=+⨯

2.除法运算中的提取公因数：

（1）除法的“左”分配律：()

-÷=÷-÷

a b c a c b c

a b c a c b c

+÷=÷+÷；()

（2）除法的“左”提取公因数：()

a c

b

c a b c

÷+÷=+÷

例题精讲

一、位值原理

【例 1】计算：123223423523723823

+++++．

【考点】位值原理【难度】2星【题型】计算

【解析】原式=(10023

+)+(80023

+)+(70023

+)

+)+(40023

+)+(50023

+)+(20023

=(100200400500700800

+⨯=+=

+++++)23627001382838

【答案】2838

【巩固】计算：8532531153953653453

+++++

【考点】位值原理【难度】3星【题型】计算

【解析】原式(8211964)10053640100506364000300184318 =+++++⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=++=

【答案】4318

【例 2】计算：(1234234134124123)5

+++÷

【考点】位值原理【难度】3星【题型】填空

【关键词】2008年，第8届，走美杯，3年级，决赛，第1题，8分

【解析】原式中千位数的和除以5为，(1234)52

+++÷=，同样百位、十位、个位都为2，所以结果为2222。【答案】2222

【巩固】计算：(9876+7967+6688+8799)5

÷

【考点】位值原理【难度】3星【题型】填空

【解析】(9876+7967+6688+8799)5(9876)111156666

÷=+++⨯÷=

【答案】6666

【例 3】计算：(123456234561345612456123561234612345)3

+++++÷

【考点】位值原理【难度】3星【题型】计算

【解析】仔细观察我们可以发现1、2、3、4、5、6分别在个、十、百、千、万、十万6个数位上各出现

过一次，所以

原式=[(123456+++++)100000⨯+(123456+++++)10000⨯+ (123456+++++)1000⨯+ (123456+++++)100⨯+(123456+++++)10⨯+(123456+++++)]3÷

=[(123456+++++)111111⨯]32111111137111111777777÷=⨯÷=⨯=．

【答案】777777

【巩固】 计算：(1234567234567134567124567123567123467123457123456)7++++++÷

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 括号内的7个加数，都是由1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成，换句话说，这7个数的每一

位也分别是1、2、3、4、5、6、7，它们的和是28，即如果不进位，每一位的和都是28．所以 原式(28100000028100000281000028100028100281028)7=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+÷

2811111117=⨯÷1111111(287)=⨯÷4444444=

【答案】4444444

【例 4】 计算：(1234234134124123)(1234)+++÷+++

【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算

【关键词】第五届，希望杯

【解析】 原式=(1234+++)1111⨯÷(1234+++)1111=．

【答案】1111

【巩固】 计算：(1357357157137135+++)÷(1357+++)

【考点】位值原理 【难度】2星 【题型】计算

【解析】 原式=(1357+++)1111⨯÷(1357+++)1111=

【答案】1111

【例 5】 计算：(123456234561345612456123561234612345)111111+++++÷

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式(123456)11111111111121=+++++⨯÷=

【答案】21

【巩固】 计算：(1597153353375357971791199)55555++++÷

【考点】位值原理 【难度】3星 【题型】计算

【解析】 原式(1597153353375357971791199)555552511111555555++++÷=⨯÷=

【答案】5