最小二乘问题
最小二乘法及其应用研究
最小二乘法及其应用研究最小二乘法是一种常用的数据分析方法，它的应用非常广泛，被用于解决很多实际问题。
本文将从什么是最小二乘法到最小二乘法的应用进行详细的阐述。
一、什么是最小二乘法最小二乘法是一种用于拟合数据的方法，它可以帮助我们找到一条曲线或者直线，在这条曲线或者直线上所有数据的误差最小。
假设我们有一些数据点，我们想要用一条直线来描述这些数据点的分布规律，那么最小二乘法就可以帮助我们找到一条直线，使得这些数据点到这条直线的距离最小。
二、最小二乘法的应用最小二乘法的应用非常广泛，下面我们将分别从几个方面来介绍：1. 拟合数据最小二乘法可以用于拟合各种类型的数据，比如直线、曲线、多项式等等。
例如，我们可以用最小二乘法来拟合一条直线，从而得到这些数据点的趋势。
2. 预测结果最小二乘法不仅可以用于拟合数据，同时还可以用于预测结果。
例如，我们可以用最小二乘法来预测一些未来的数据趋势。
3. 优化算法最小二乘法还可以用于优化算法。
例如，在机器学习中，最小二乘法可以用于优化线性回归算法，从而得到更加准确的预测结果。
4. 数据处理最小二乘法还可以用于数据处理。
例如，我们可以用最小二乘法来处理某些特殊类型的数据，从而得到更加准确的结果。
三、最小二乘法的优缺点最小二乘法虽然有很多应用，但是它也有一些缺点，下面我们将介绍一下最小二乘法的优缺点：优点：1. 算法简单，易于实现2. 可以处理大部分数据类型3. 在处理异常数据时有一定的容错能力缺点：1. 当数据量较大时，计算量也会变得很大2. 在处理异常数据时容易产生误差3. 对数据类型有一定的限制四、总结最小二乘法是一种非常有用的数据分析方法。
它的应用非常广泛，被用于解决众多实际问题。
然而，我们也不能够完全依赖最小二乘法。
我们需要根据具体情况，选择合适的数据分析方法，从而得到更加准确的结果。
最小二乘法习题
1.(2007广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量X(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据：
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y 关于X 的线性回归方程
； ⑶已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值：
).
答案：⑴散点图，如图所示； X 3 4 5 6 Y 2.5 3 4 4.5
⑵；⑶(吨).
2.(2011山东理)某产品的广告费用x 与销售额y的统计数据如下表
广告费
4 2 3 5
用X(万
元)
销售额
49 26 39 54
Y(万元)
根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为万元.
答案：65.5.
3.(2011广东理)某数学老师身176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
答案：185cm.。
最小二乘问题公式(一)
最小二乘问题公式(一)最小二乘问题公式1. 最小二乘问题简介最小二乘问题是一种统计学和数学中常见的优化问题。
它的目标是求解一个线性模型，使得模型中的实际观测值与模型预测值之间的残差的平方和最小。
2. 最小二乘问题公式最小二乘问题的公式可以表示为：∥Ax−b∥2minx其中，A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。
3. 相关公式下面列举一些与最小二乘问题相关的公式：正规方程最小二乘问题的解可以通过使用正规方程求解：x=(A T A)−1A T b这里，A T表示A的转置，A−1表示A的逆矩阵。
最小二乘解的闭式解对于线性模型 Ax =b ，当 A T A 是满秩矩阵时，最小二乘问题的解存在唯一的闭式解。
QR 分解法除了使用正规方程，还可以使用QR 分解法求解最小二乘问题。
使用QR 分解可以将最小二乘问题转化为一个更容易求解的等价问题。
广义逆矩阵最小二乘问题的解可以通过求解广义逆矩阵的方式得到：x =A †b这里，A † 是矩阵 A 的广义逆矩阵。
4. 示例解释假设有一组观测数据，其中 m =5 表示观测样本数量，n =2 表示模型参数数量。
我们可以将这些观测数据表示为矩阵 A 和列向量 b 。
通过求解最小二乘问题，可以得到模型的最优参数估计。
假设观测数据的矩阵表示为：A =[ 12345678910]观测数据的目标值列向量表示为：b=[3 7 11 15 19]根据最小二乘问题的公式，我们可以求解最优参数估计：x=(A T A)−1A T b带入具体数值计算后，得到最优参数估计为：x=[11]这表示线性模型的最优参数为x1=1和x2=1。
5. 总结最小二乘问题是一种常见的优化问题，用于求解线性模型的最优参数估计。
通过求解最小二乘问题的公式，可以得到模型的最优参数估计。
正规方程、闭式解、QR分解法和广义逆矩阵都是常用的求解最小二乘问题的方法。
非线性最小二乘问题
非线性最小二乘问题非线性最小二乘问题是一种解决实际应用中非线性系统求解最优化问题的有效方法，是研究遥感、机器人导航、机床控制、智能控制等领域的研究的基础。
非线性最小二乘问题具有普遍性，在很多学科和领域中都有广泛的应用。
一般来说，非线性最小二乘问题是一种优化问题，它涉及到求解满足条件的参数及其对应的函数最小值，其函数由基本函数和残差函数两部分组成。
基本函数又称作目标函数，是根据实际问题解题的依据；残差函数又称作约束函数，是根据实际约束条件而确定的。
因此，非线性最小二乘问题的求解步骤有以下几个：(1)确定基本函数和残差函数；(2)确定求解的参数及其范围；(3)对对应的函数最小值，采用梯度下降法等优化方法求解；(4)判断最小值是否满足目标要求，以达到最优化的效果。
其中，梯度下降法是一种常用的优化方法，它可以帮助求解非线性最小二乘问题，梯度下降法的基本思想是，在每次迭代中，根据目标函数对变量的梯度信息，找到该函数局部最小值，通过迭代搜索不断改进求解结果，使得每次迭代都能获得更优的结果。
另外，针对不同问题，还可以采用其他有效的优化方法，如模拟退火算法、粒子群算法等，它们都可以有效解决非线性最小二乘问题。
模拟退火算法是一种迭代算法，它可以有效地控制步长，从而有效改善求解结果；粒子群算法是一种仿生算法，它可以通过考虑各个粒子之间的信息交互，自动学习出有效的优化参数，从而有效求解非线性最小二乘问题。
总之，非线性最小二乘问题是一种常见的优化问题，其解题的基本步骤是确定基本函数和残差函数，然后采用梯度下降法、模拟退火算法、粒子群算法等有效的优化方法，从而求解满足约束条件的非线性最小二乘问题最优解。
研究非线性最小二乘问题，有利于更好地解决遥感、机器人导航、机床控制等工程实际应用中的问题，从而实现更高效的控制和决策。
最小二乘拟合算法
最小二乘拟合算法最小二乘定义一般情况下，最小二乘问题求的是使某一函数局部最小的向量 x，函数具有平方和的形式，求解可能需要满足一定的约束：信赖域反射最小二乘要理解信赖域优化方法，请考虑无约束最小化问题，最小化 f(x)，该函数接受向量参数并返回标量。
假设您现在位于 n 维空间中的点 x 处，并且您要寻求改进，即移至函数值较低的点。
基本思路是用较简单的函数 q 来逼近 f，该函数需能充分反映函数 f 在点 x 的邻域 N 中的行为。
此邻域是信赖域。
试探步 s 是通过在 N 上进行最小化（或近似最小化）来计算的。
以下是信赖域子问题如果f(x + s) < f(x)，当前点更新为 x + s；否则，当前点保持不变，信赖域 N 缩小，算法再次计算试探步。
在定义特定信赖域方法以最小化 f(x) 的过程中，关键问题是如何选择和计算逼近 q（在当前点 x 上定义）、如何选择和修改信赖域 N，以及如何准确求解信赖域子问题。
在标准信赖域方法中，二次逼近 q 由 F 在 x 处的泰勒逼近的前两项定义；邻域 N 通常是球形或椭圆形。
以数学语言表述，信赖域子问题通常写作公式2其中，g 是 f 在当前点 x 处的梯度，H 是 Hessian 矩阵（二阶导数的对称矩阵），D 是对角缩放矩阵，Δ是正标量，∥ . ∥是 2-范数。
此类算法通常涉及计算 H 的所有特征值，并将牛顿法应用于以下久期方程它们要耗费与 H 的几个分解成比例的时间，因此，对于信赖域问题，需要采取另一种方法。
Optimization Toolbox 求解器采用的逼近方法是将信赖域子问题限制在二维子空间 S 内。
一旦计算出子空间 S，即使需要完整的特征值/特征向量信息，求解的工作量也不大（因为在子空间中，问题只是二维的）。
现在的主要工作已转移到子空间的确定上。
二维子空间 S 是借助下述预条件共轭梯度法确定的。
求解器将 S 定义为由 s1 和 s2 确定的线性空间，其中 s1 是梯度 g 的方向，s2 是近似牛顿方向，即下式的解或是负曲率的方向，以此种方式选择 S 背后的理念是强制全局收敛（通过最陡下降方向或负曲率方向）并实现快速局部收敛（通过牛顿步，如果它存在）。
最小二乘问题常用的那些优化方法
最小二乘问题常用的那些优化方法题外话：从开始学习Slam十四讲第六章的时候就开始想写一个文档整理一下这些年遇到的优化算法，一周学一章，现在都学到第9章了，总算半整理半引用整理出来了...如果学一个东西是不断坑自己+自己去填坑的过程，下一次应该不会摔的那么疼了吧对于一个最小二乘问题的求解，根据目标函数可分为线性最小二乘和非线性最小二乘；对于非线性最小二乘问题，通常是进行泰勒展开将问题线性化，求解线性增量方程或是直接迭代找到最优值；对于线性最小二乘问题，通常是直接进行展开、求导等于零，构造\(A\vec{x}=\vec{b}\)的解方程问题，使用直接分解法或是迭代法求解；写完后发现文档较长，还是列一下有些什么东西吧：•梯度下降与其扩展算法（随机梯度下降、mini-batch梯度下降以及批梯度下降）•牛顿法与其优化算法（拟牛顿法、BFGS、LBFGS、高斯牛顿法以及列文伯格-马夸尔特法)•求解线性最小二乘问题的那些：1）直接分解（LU、LUP、Cholesky分解求解方阵线性方程组问题，QR分解解决欠定方程组问题以及超定方程组的最小二乘解）；2）迭代法（雅各比迭代、高斯赛德尔迭代、SOR以及超级好用的共轭梯度）•一些自己觉得不错的博客介绍；非线性最小二乘问题对于非线性最小二乘问题，通常会将目标函数进行泰勒展开，并将问题转换为一个线性求解问题：设有一个最小二乘问题：\[\min_{\vec{x}}F(\vec{x})=\frac{1}{2}||f(\vec{x})||_2 ^2\tag{1} \]有\(\vec{x}\in {R^n}, f\)是非线性函数，求解这个问题的常规思路是：1.给定某个初始值\(\vec{x}_0\)2.对于第k次迭代，寻找一个增量\(\Delta\vec{x}_k\)，使得\(||f(\vec{x}_k+\Delta\vec{x}_k)||_2^2\)3.\(\Delta\vec{x}_k\)足够小，则停止4.否则，令\(\vec{x}_{k+1}=\vec{x}_k +\Delta\vec{x}_k\)，返回第2步将非线性最小二乘问题求解的目标：从寻找最优值转换为寻找最小的\(\Delta\vec{x}_k\)，当函数下降到\(\Delta\vec{x}_k\)很小的时候，则等价为已找到最优值。
第十一章最小二乘问题
第十一章 最小二乘问题一、内容提要§11.1最小二乘问题1． 定义 给定矩阵nm RA ×∈，向量m b R ∈，求nR x ∈0，使得0||||min ||||nx Rb Ax b Ax ∈−=−, 称上述问题为线性最小二乘问题，简称为最小二乘问题；称解0x 为最小二乘解。
最小二乘问题也可以看作是线性方程组,m n Ax b A R ×=∈的最小二乘问题，相应地最小二乘解0x 称为线性方程组的最小二乘解。
2． 数学性质定理1 最小二乘问题的解恒存在；且解唯一的充分必要条件是 n A rank =)(。
定理2 最小二乘解满足方程组T T A Ax A b =，反之，若x 是上述方程组的解，则其是最小二乘解。
称上述方程为最小二乘问题的正规方程组（或法方程组或Euler 方程）。
3． QR 分解定理3 设矩阵nm R A ×∈列满秩，即n A rank =)(。
则存在列标准正交矩阵nm RQ ×∈及非奇上三角矩阵nn RR ×∈，使得QR A =，且在约定R 的对角元素0>ii r 情形下，上述分解唯一, 称之为矩阵A 的QR 分解。
所谓列标准正交矩阵 ()n q q Q L 1=，指的是列向量组标准正交，也即E Q Q T =。
利用QR 分解，可计算出最小二乘解：1） 作矩阵A 的QR 分解，QR A =； 2） 求解上三角方程组，TRx Q b =。
4． 相关概念设1(,,)m nn A a a R×=∈L ，定义矩阵A 的值域为，},|{)(n R x Ax y y A R ∈==1(,,)n L a a =L ；矩阵A 的零空间定义为. },0|{)(nR x Ax x A N ∈==，定理 4 )()(TA N A R =⊥， )()(A N A R T=⊥。
§11.2 奇异值分解1． 定义与结论 设矩阵nm RA ×∈，则A A T的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥≥>===L L ，称n i i i ,,1,L ==λσ为矩阵A 的奇异值；并称1,r σσ为A 的最大奇异值和最小奇异值。
什么是最小二乘原理
什么是最小二乘原理
最小二乘原理是一种常用的数学方法，用于求解线性最小二乘问题。
该原理的核心思想是最小化测量值与线性模型之间的误差平方和。
在最小二乘问题中，我们希望找到一条最佳拟合直线，使得该直线与实际观测数据的残差（即观测值与拟合值之间的差异）的平方和最小。
通过最小化误差平方和，我们可以得到最优的拟合解。
最小二乘原理的具体计算方法是通过最小化误差平方和的导数为零的条件来确定最优解。
这可以通过求解线性方程组或使用数值优化方法来实现。
最小二乘原理在许多领域中都有广泛的应用，包括回归分析、数据拟合、参数估计等。
它的优点是计算简单且可解析求解，可以精确地估计未知参数的最优值。
总之，最小二乘原理是一种基于误差平方和最小化的数学方法，用于求解线性最小二乘问题，广泛应用于各个领域的数据分析和建模中。
最小二乘法相关习题答案
最小二乘法相关习题答案最小二乘法是数学中一种常见的优化方法，广泛应用于数据拟合、回归分析等领域。
在这篇文章中，我们将探讨一些与最小二乘法相关的习题，并给出详细的答案解析。
1. 问题描述：已知一组数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，要求通过这些数据点找到一条直线y = ax + b，使得这条直线与数据点的拟合误差最小。
解答：根据最小二乘法的原理，我们需要最小化误差函数E = Σ(yi - (axi + b))^2。
为了求得最优解，我们需要对E分别对a和b求偏导，并令其为0。
对于a，我们有∂E/∂a = -2Σxi(yi - (axi + b)) = 0，整理得到a = (Σxiyi - nxb) / (Σxi^2 - nxa)。
对于b，我们有∂E/∂b = -2Σ(yi - (axi + b)) = 0，整理得到b = (Σyi - naxi) / n。
所以，最小二乘法的解为a = (Σxiyi - nxb) / (Σxi^2 - nxa)，b = (Σyi - naxi) / n。
2. 问题描述：已知一组数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，要求通过这些数据点找到一个二次曲线y = ax^2 + bx + c，使得这个二次曲线与数据点的拟合误差最小。
解答：与问题1类似，我们可以构建误差函数E = Σ(yi - (axi^2 + bxi + c))^2，并对E分别对a、b和c求偏导，并令其为0。
对于a，我们有∂E/∂a = -2Σxi^2(yi - (axi^2 + bxi + c)) = 0，整理得到a =(Σxi^2yi - bxΣxi - cΣxi^2) / (Σxi^4 - aΣxi^3 - bΣxi^2).对于b，我们有∂E/∂b = -2Σxi(yi - (axi^2 + bxi + c)) = 0，整理得到b = (Σxiyi- axiΣxi^2 - cΣxi) / (Σxi^3 - aΣxi^2 - bΣxi).对于c，我们有∂E/∂c = -2Σ(yi - (axi^2 + bxi + c)) = 0，整理得到c = (Σyi -axi^2Σxi - bxiΣxi) / n。
不等式约束的最小二乘
不等式约束的最小二乘最小二乘是一种常见的数学方法，用于估计一组数据的未知参数。
当数据中存在一些限制条件时，可以使用不等式约束的最小二乘方法来求解。
不等式约束的最小二乘方法的基本思想是将原问题转化为一个含有等式和不等式约束的优化问题，并利用拉格朗日乘数法求解。
具体来说，假设有一组数据 $(x_1,y_1),dots,(x_n,y_n)$，需要估计未知参数 $theta_1,dots,theta_m$，同时满足一些不等式约束条件 $g_1(theta),dots,g_p(theta)geq 0$。
则可以构造如下优化问题：$$min_{thetainmathbb{R}^m}sum_{i=1}^n(y_i-f(x_i;theta))^2$$ $$text{s.t.}quad g_1(theta)geq 0,dots,g_p(theta)geq 0$$ 其中 $f(x;theta)$ 是一个关于 $x$ 和 $theta$ 的函数，表示模型的预测值。
为了求解上述问题，可以引入拉格朗日乘数$lambda_1,dots,lambda_p$，构造拉格朗日函数：$$L(theta,lambda)=sum_{i=1}^n(y_i-f(x_i;theta))^2+sum_{j=1}^plambda_j g_j(theta)$$则不等式约束的最小二乘问题等价于如下无约束优化问题：$$min_{theta,lambda}max_{lambda_igeq 0}L(theta,lambda)$$通过求解上述问题，可以得到最优解 $theta^*$ 和拉格朗日乘数 $lambda^*$，进而得到模型的最优参数估计。
不等式约束的最小二乘方法在实际应用中具有广泛的应用，例如在机器学习、经济学、工程学等领域中都有重要的应用。
双变量最小二乘问题
双变量最小二乘问题是一个在统计学和回归分析中常见的问题。
它的目标是通过最小化预测变量和实际观测值之间的平方差和，来找到最佳的线性回归模型参数。
假设我们有一个数据集，其中包含两个预测变量(X_1) 和
(X_2)，以及一个响应变量(Y)。
我们的目标是找到最佳的线性回归模型参数，使得(Y) 与(X_1) 和(X_2) 的预测值之间的平方误差最小。
数学上，双变量最小二乘问题可以表示为以下优化问题：
(\min_{b_0, b_1, b_2} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - (b_0 + b_1 X_{1i} + b_2 X_{2i}))^2)其中(n) 是样本数量，(b_0, b_1, b_2) 是线性回归模型的参数。
为了解决这个问题，我们可以使用最小二乘法的解法，通过计算样本矩阵的伪逆或使用其他优化算法（如梯度下降法）来找到最优解。
在Python中，我们可以使用NumPy库中的线性代数函数或Scikit-learn库中的线性回归模型来解决这个问题。
下面是一个使用Scikit-learn库的示例代码：
输出结果为：
最佳参数：[1. 1.]
这意味着最佳的线性回归模型参数为(b_0 = 1.0, b_1 = 1.0, b_2 = 0)。
最小二乘法
性质2：只要适当大，总成立：S( xk z) S( xk ).
性质3：当充分大时，方向z与方向 S( xk )充分接近。
6.采用进退方法调整：一次成功迭代后将缩小，迭代 遇到困难时将放大。
Ax * b 2 A 2 可见，当δ 0时取到最小值.
例
给定方程组
2 x1 x1
2x2 2x2
3 1
,
试用最小二乘法求此方程组
x1 4 x2 3
的近似解。
解：令 F ( x) ( 2x1 2x2 3 )2 ( x1 2x2 1)2 ( x1 4x2 3 )2 ,
(3)
性质：若f（x）满足一定条件且x0充分接近x *，
则： (1)由迭代得到的{ x k }是收敛的; (2) 在一定条件下,收敛阶是二阶的。
3.改进的Gauss-Newton法：
因为S( x)
m
2
fi ( x)fi ( x)
2 AT
(x)
f
(x),
i 1
记 Hk 2 AkT Ak , 则Hk 是 ( x) 在点 xk 的Hesse 矩阵。
f1
其中
A(
x
k
)
x1
fm
x1
... ...
f1
xn
fm
xn
(
fi ( x x j
k
)
)mn
。
x xk
记 Ak A( x k ) , 则有
S( x) f ( xk ) Ak ( x xk ) 2 Akd k f ( xk ) 2
[ Akd k f ( x k ) ]T [ Akd k f ( x k ) ], 其中：d k x xk。 记 ( x) [ Akd k f ( xk ) ]T [ Akd k f ( xk ) ],则可用min ( x) 的极小点近似原问题的极小点。
双变量最小二乘问题
双变量最小二乘问题双变量最小二乘问题（Bivariate Least Squares Problem）简介：双变量最小二乘问题是指通过建立一个数学模型，通过最小化误差的平方和，来求解包含两个变量的问题。
这个问题是最小二乘法的一个应用，最小二乘法是一种常见的数据拟合方法，用于通过找到一条或多条曲线，使得该曲线与数据点之间的误差最小化。
问题陈述：给定一组二维数据点，我们希望找到一条曲线，以最佳方式拟合这些数据点，以便预测未知的数据点或分析数据之间的关系。
这个问题中有两个变量，一个是自变量（通常是横坐标）和一个因变量（通常是纵坐标）。
我们的目标是找到一条最佳的曲线，使得该曲线与数据点之间的误差最小化。
解决方案：为了解决双变量最小二乘问题，我们假设数据点之间存在一种线性关系。
这意味着可以用直线或其他曲线来拟合数据点，以便找到最小化误差的平方和的曲线。
在最小二乘法中，我们将误差定义为每个数据点到拟合曲线的垂直距离的平方。
具体步骤如下：1.收集数据点：首先，我们需要收集一组包含自变量和因变量的数据点。
这些数据点可以是实验数据、观测数据或从其他来源获得的数据。
2.建立模型：根据数据点的特征和问题的背景，我们需要选择一个适当的数学模型来拟合数据。
我们可以选择一条直线、一个二次曲线或其他曲线形状。
3.最小化误差的平方和：通过调整模型的参数，我们可以将模型与数据点拟合得更好。
最小二乘法通过最小化误差的平方和来实现这一点。
误差的平方和是每个数据点到模型预测值的垂直距离的平方的总和。
4.求解最小二乘问题：通过微积分和优化算法，我们可以求解最小二乘问题，以找到使误差的平方和最小化的参数组合。
这些参数将确定最佳拟合曲线。
应用领域：双变量最小二乘问题在许多领域中都有应用，包括统计学、金融学、经济学等。
以下是一些常见的应用示例：1.经济学：双变量最小二乘问题可以用于经济模型中的参数估计，例如收入与消费之间的关系。
2.金融学：在金融模型中，双变量最小二乘问题可以用于拟合股票价格和其他金融指标之间的关系，以便预测未来的股票价格。
最小二乘法如何通过最小二乘法解决各种数学问题
最小二乘法如何通过最小二乘法解决各种数学问题在数学领域，最小二乘法是一种常见且广泛应用的数据拟合方法。
它通过最小化误差平方和的方式来找到最接近实际观测值的拟合曲线或平面，并用于解决各种数学问题。
最小二乘法常用于统计学和回归分析中，例如线性回归问题和曲线拟合问题。
当我们想要找到一个数学模型来描述变量之间的关系时，最小二乘法提供了一种有效的方法。
下面将介绍最小二乘法的原理和应用。
一、最小二乘法的原理最小二乘法的核心思想是使得拟合函数与实际观测值之间的误差最小化。
在解决回归问题时，我们通常选择一个数学模型，如直线、曲线或多项式，以描述不同变量之间的关系。
对于一个线性模型而言，我们可以假设观测值 y 和自变量 x 之间的关系可以用 y = ax + b 表示，其中 a 和 b 是待求解的参数。
最小二乘法的目标就是找到最佳的参数 a 和 b，使得观测值与拟合函数之间的误差最小。
二、最小二乘法的应用1. 线性回归在线性回归问题中，最小二乘法被广泛应用于拟合直线到一组数据点。
通过最小化观测值与拟合直线之间的误差平方和，我们可以找到最佳的直线拟合。
举个例子，假设我们有一组二维数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要找到一条直线 y = ax + b 来拟合这些数据。
通过最小二乘法，我们可以求解得到最佳的参数 a 和 b。
2. 曲线拟合不仅仅局限于直线拟合，最小二乘法还可以应用于曲线拟合问题。
如果我们有一组数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，希望找到一个函数 y = f(x) 来拟合这些数据，最小二乘法可以帮助我们找到最佳的拟合曲线。
常见的曲线拟合问题包括多项式拟合和指数拟合。
通过选择不同的函数形式，最小二乘法能够适应各种曲线拟合问题，并提供较为准确的拟合结果。
3. 数据平滑在数据处理过程中，有时候我们会遇到数据中的噪声或异常值。
最小二乘问题的解法
Hx
x
u
w
proof
(1)显然成立， ( 2)和(3)可直接得出， 事实上 H T H H 2 ( I 2 ww T )( I 2 ww T ) I 4 ww T 4 ww T ww T I
2
w
令w ( x y ) / x y 2 , 构 造Householde r变 换 2 H I 2 ww T I ( x y )( x y ) T 2 x y 2 注意到 x T x y T y (已 知),于 是 2 x y 2 ( x y ) T ( x y ) 2( x T x y T x ) 2 ( x y ) T x 从而 2 Hx x ( x y )( x y ) T x x ( x y ) y 2 x y 2 proof
i 1 T n
这 里A a i ,, a n .
于 是, 令x ( x1 , , x n ) ,即 有Ax b. 定理得证 Th3.1.2 方程 组 Ax b的解 存在 , 并且 假定 x是其 任一 给 定的 解 , 则方 程组 的全 部解 的集 合是 x N ( A) proof : 如 果y满 足 方 程 组 , 则A( y x ) 0,即( y x ) N ( A), 于是有 y x ( y x ) x N ( A).反 之, 如 果y x N ( A),则 存 在z N ( A),使y x z, 从 而 有 Ay Ax Az Ax b. 证 毕.
最小二乘法
最小二乘法1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。
举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta _nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。
矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。
最小二乘法
(1)正交性的有关性质
在线性代数欧氏空间理论中 , 将 R 3 中两个向量 x,y之间的夹角φ满足的关系式 xTy=‖x‖2‖y‖2cosφ 推广到Rn. T
x y 1 设x,y∈Rn, 由Cauchy不等式 1 || x ||2 || y ||2
从而得到Rn中两个向量之间的夹角为
x y arccos || x ||2 || y ||2
(i , f ) ( xk )i ( xk ) f ( xk )
k 0
m
则:
(i , f ) ci (i ,i )
拟合函数 f ( x) c00 ( x ) c11 ( x ) cnn ( x)
例1
设函数y=f(x)的离散数据如下表所示, 试用二次 多项式拟和上述数据,并求平方误差. i 0 xi 0 yi 1.000 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718
T
定理1
设x, y是Rn中的向量, x与y正交的充分必要条
件为xＴy=0.
证明 必要性. 当x与y正交，它们的夹角φ=π/2， 有xＴy=0. 充分性. 当xＴy=0, φ=π/2, 即x与y正交. 注：如果x与y正交, 记为x⊥y
定理2
设x, y∈Rn, 且x⊥y, 那 么： ‖x+y‖22＝‖x‖22＋‖y‖22．
假设x⊥R(A), 即αiＴx=0 (i=1,2,…,k). 从而AＴx=0 另一方面,如果AＴx=0, 那么有z∈Rk, 使Az=y∈R(A). 这时，yＴx=zＴAＴx=0,即x⊥y. 由z的任意性， 得Az是任意的， 因此x⊥R(A). 由这个定理， 容易得到： 推论1 设A是n×k阶矩阵， 那么R(A)有唯一的正交 补子空间N(AＴ).
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1 1
例
已知A 1
1
,求A的广义逆A。
1 1
解：A是列满秩的矩阵，可以求它的左逆
A
( AT A)1 AT
14 8 -4
2 2
2 2
验算有A A
I2 , 但AA
I
。
3
10
数值分析
数值分析
4 A Rmn是行满秩矩阵（m n, r( A) m）,则
A＝A（T AAT）1,且AA Im (但一般不成立A A In );
4
数值分析
数值分析
定理1 : x Rn是矛盾方程组Ax b的最小二乘解的 充分必要条件是 : x是方程组AT Ax AT b的解.
证明: 设有x, y Rn ,且x y,则 r( y) 2 b Ay 2 (b Ax) ( Ax Ay) 2
r( x) ( Ax Ay) 2 r( x) 2 2(r( x), Ax Ay) ( Ax Ay) 2
（2）最小二乘解不唯一；
（3）x=A+b最小二乘解中欧氏范数最小的解；
（4）A列满秩时，最小二乘解唯一。
22
数值分析
数值分析
第四节 列满秩线性最小二乘问题 的数值解法
列满秩线性最小二乘问题存在唯一解x=A+b 有四种解法： 1. 直接解法方程 ATAx=ATb 2. 正交分解法 A=QR 3. 奇异值分解法 A=U∑VT 4. 迭代法
数值分析
数值分析
1 0 B 1 0,
0 1
1 0
BT
B
1 0
1 0
0 1
1 0
0 1
2 0
0 1
B
(BT B)1 BT
1 / 2
0
0 1 1 0
1 0
0 1 / 2
1
0
1/ 2 0
0 1
1 0
C
1
0
2 3
1 2
,
CC
T
1
0
2 3
1
2
2 1
3 2
1 14
13 8
8
6
1
C
如 果 存 在x Rn , 对 任 意y Rn ,使
(r( x), Ax Ay) 0 则 有 r( x) 2 r( y) 2 , y Rn
即x是 矛 盾 方 程 组Ax b的 最 小 二 乘 解.
5
数值分析
数值分析
对x Rn ,(r( x), Ax Ay) 0,y Rn ( x y)T AT r( x) 0,y Rn
数值分析
第四章 最小二乘问题
问题的提出
给定m 1个数据点xi x0 , x1 ,L , xm ,
yi y0 , y1 ,L , ym ,
及基函数
j( x)
n j0
(m n)
构造出拟合函数s( x) H span0 ( x),L ,n ( x),
m
使
( yi s( xi ))2 min (1)
AT r( x) 0 r( x) N ( AT ) AT (b Ax) 0 AT Ax AT b 即存在x Rn ,使(r( x), Ax Ay) 0,y Rn 存在x Rn ,使AT Ax AT b
证毕
AT Ax AT b称为最小二乘问题的法方程. 求x使 b Ax 2 min 求x使AT Ax AT b
A为行满秩时，称A为A的“右逆”。
例
已知A
1 1
2 2
3 1
6 2
,
求A的广义逆A。
解：A是行满秩的矩阵，可求它的右逆
1
A AT ( AAT )1 1 2
76 11
8
9
18
23
4
11
验算有AA
1 0
0 1
I2 , 但A
A
I
。
4
数值分析
数值分析
定理 2 设矩阵A Rmn有奇异值分解
A U r
i0
等价于 AT AC ATY 或 GC F
1
数值分析
数值分析
0 ( x0 ) 1( x0 ) L
其中
A
(0
,
1
,
...,
n
)
0 ( x1
L
)
1( x1 )
L
L L
0( xm ) 1( xm ) L
Y ( y0 , y1 ,L , ym )T
n( x0 )
n
(
x1
)
L
n( xm )
(0,0 )
对于列正交的矩阵Q Rmn，有Q QT。
15
数值分析
数值分析
定理 3 设A Rmn , 秩r( A) 0,则必有列
满秩矩阵B Rmr和行满秩矩阵C Rrn , 使A BC
称为矩阵A的满秩分解（简称秩分解）。
证
:
PAQ
Ir 0
0 0 ,
Ir
0
0 0
Ir 0
Ir
0
A
P
1
Ir 0
7
数值分析
数值分析
第二节 矩阵的广义逆
若A Rnn可 逆,则 存 在 逆 阵A1 ,且 有 AA1 A A, A1 AA1 A1 , ( AA1 )T AA1 , ( A1 A)T A1 A
Ax b的 解x A1b.
若A Rnn不可逆，或A Rmn， 是否有类似的性质
8
数值分析
数值分析
定义 设 A Rmn，若存 n m矩阵 X Rnm
满足以下四个条件（也称为Penrose条件）:
1 AXA A;
2 XAX X;
3（ AX）T AX; 4 ( XA)T XA
则称X 是矩阵A的广义逆，又称为Penrose-Moore
广义逆，并记为A（ 也称为加号逆，或为伪逆）。
A+的简单性质
17
数值分析
数值分析
(3)r(
A)
1,
A
a11 a21
a12 a22
a11 ba11
a12
ba12
1
b
a11
a12
-1 2 1
例:设A= -1 2 1 ,试用A的满秩分解求广义逆A+。
0 3 2
1 0
解 : r( A) 2, A 1 0
0 1
1 0
2 3
1 2 BC
18
s( L
x1 L
)
c00 ( x1 )
c11( x1 )
...
cnn ( x1 )
y1
s( xm ) c00 ( xm ) c11( xm ) ... cnn ( xm ) ym
S Y AC Y
显然这是不能成立的。只能求出C使 AC Y 2 min 2
C是矛盾方程组 AC Y 的最小二乘解。
25
数值分析
数值分析
例 用正交分解法求解矛盾方程组Ax b
1 1 2 2
2
2
2
1 1
2
2
A 2
2
2 ,
b 2
1
1
2
2 2
2
0
2
1
1 2
2
2 2
2
解：(1)对A用Householder变化换做正交分解A QR
1 1
2
2
0
1
2
1
Q
2
0
1 2
1 2
1 1 0 , R 0 1 1
B A
1 0
0 0
( AB) B A
但是,当A列满秩, B行满秩时, 有( AB) B A
13
数值分析
数值分析
例 如:
A
1 0,
B 1 1,
1 1 AB 0 0,
( AB)
1 2
1 1
0 0
B
BT (BBT
)1
1 2
1 1,
A ( AT A)1 AT 1
( AB) B A
14
0, B A
线性最小二乘问题：求矛盾方程组 AC Y 的最小二乘解。
3
数值分析
数值分析
第一节 求解线性最小二乘问题的一般原理
线性最小二乘问题 : 求矛盾方程组Ax b,使 r 2 b Ax 2 min的解. 其中A Rmn , (m n).
1 例 : 1
1
1
0
1 2
x1
x2
1 为矛盾方程组. 0
1当A Rnn是可逆阵时,A+ A-1;
2 ( A A)2 A A, ( AA )2 AA , ( A ) A;
9
数值分析
数值分析
3 A Rmn是列满秩矩阵（m n, r( A) n）,
则A＝（AT A）1 AT ,且A A In (但一般不成立AA Im ) A为列满秩时，称A为A的“左逆”；
BC
0
0
Q
1
P
1
Ir 0
Ir
0 Q 1
其中
16
B
P
1
Ir 0, C Ir Nhomakorabea0 Q 1
数值分析
数值分析
注（1）满秩分解不唯一
如矩阵A
1 1
0 0
,
秩r
(
A)
1,
显然
1 1
0 0
1 1
1，0
是A的一个满秩分解，
1 1
0
0
2
2
1 2
，0
也是A的一个满秩分解。
(2)A BC A C B CT (CCT )1(BT B)1 BT
C T (CC T )1