幂函数习题精选精讲

幂函数函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学学习的始终，而幂函数是其中的一部分内容，这部分内容虽然少而简单，却包含了一些重要的数学思想．下面剖析几例，以拓展同学们的思维．一、分类讨论的思想例1 已知函数223n n y x --=()n ∈Z 的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．解：因为图象与y 轴无公共点，故2230n n --≤，又图象关于y 轴对称，则223n n --为偶数，由2230n n --≤，得13n -≤≤，又因为n ∈Z ，所以0123n =±，，，．当0n =时，2233n n --=-不是偶数；当1n =时，2234n n --=-为偶数；当1n =-时，2230n n --=为偶数；当2n =时，2233n n --=-不是偶数；当3n =时，2230n n --=为偶数；所以n 为1-，1或3．此时，幂函数的解析为0(0)y x x =≠或4y x -=，其图象如图１所示．二、数形结合的思想例2 已知点(22)，在幂函数()f x 的图象上，点124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在幂函数()g x 的图象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <．分析：由幂函数的定义，先求出()f x 与()g x 的解析式，再利用图象判断即可．解：设()m f x x =，则由题意，得2(2)m =，∴2m =，即2()f x x =．再令()n g x x =，则由题意，得1(2)4n =-，∴2n =-，即2()(0)g x x x -=≠．在同一坐标系中作出()f x 与()g x 的图象，如图2所示．由图象可知：（1）当1x >或1x <-时，()()f x g x >；（2）当1x =±时，()()f x g x =；（3）当11x -<<且0x ≠时，()()f x g x <．小结：数形结合在讨论不等式时有着重要的应用，注意本题中()g x 的隐含条件0x ≠．三、转化的数学思想例3 函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是（）． Ａ．(512)-，Ｂ．(51)-+，∞Ｃ．(22)-，Ｄ．(1515)---+，解析：要使函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，可转化为2420mx x m +++>对一切实数都成立，即0m >且244(2)0m m ∆=-+<． 解得51m >-． 故选（Ｂ）幂函数中的三类讨论题所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略． 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论．在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现．类型一：求参数的取值范围例1 已知函数223()()m m f x xm -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式． 分析：函数223()()m m f x x m -++=∈Z 为偶函数，已限定了223m m -++必为偶数，且m ∈Z ，(3)(5)f f <，只要根据条件分类讨论便可求得m 的值，从而确定()f x 的解析式．解：∵()f x 是偶函数，∴223m m -++应为偶数． 又∵(3)(5)f f <，即22232335m m m m -++-++<，整理，得223315m m -++⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴2230m m -++>，∴312m -<<． 又∵m ∈Z ，∴0m =或1．当m =0时，2233m m -++=为奇数（舍去）；当1m =时，2232m m -++=为偶数．故m 的值为1，2()f x x =．评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础． 类型二：求解存在性问题例2 已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由． 分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间．解：∵2()f x x =，则42()(21)1g x qx q x =-+-+．假设存在实数(0)q q <，使得()g x 满足题设条件，设12x x <，则4242121122()()(21)(21)g x g x qx q x qx q x -=-+-+--22122112()()[()(21)]x x x x q x x q =+-+--． 若(]124x x ∈--，，∞，易知120x x +<，210x x ->，要使()g x 在(]4--，∞上是减函数，则应有2212()(21)0q x x q +--<恒成立．∵14x <-，24x -≤，∴221232x x +>．而0q <，∴2212()32q x x q +<.．从而要使2212()21q x x q +<-恒成立，则有2132q q -≥，即130q -≤． 若12(40)x x ∈-，，，易知1221()()0x x x x +-<，要使()f x 在(40)-，上是增函数，则应有2212()(21)0q x x q +-->恒成立． ∵140x -<<，240x -<<，∴221232x x +<，而0q <，∴2212()32q x x q +>．要使2212()21q x x q +>-恒成立，则必有2132q q -≤，即130q -≥． 综上可知，存在实数130q =-，使得()g x 在(]4--，∞上是减函数，且在(40)-，上是增函数． 评注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用．判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练．类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况例3 讨论函数2221()k k y k k x --=+在0x >时随着x 的增大其函数值的变化情况．分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论．解：（1）当20k k +=，即0k =或1k =-时，0y =为常函数；（2）当2210k k --=时，12k =-或12k =+，此时函数为常函数；（3）220210k k k k ⎧+>⎪⎨--<⎪⎩，，即012k <<+时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小； （4）当220210k k k k ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩，，即1k <-或12k >+时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大； （5）当220210k k k k ⎧+<⎪⎨--<⎪⎩，，即120k -<<时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大； （6）当220210k k k k ⎧+<⎪⎨-->⎪⎩，，，即112k -<<-时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小． 评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素．这应引起我们的高度警觉．幂函数习题幂函数这一知识点，表面上看内容少而且容易，实质上则不然．它蕴涵了数形结合、分类讨论、转化等数学思想，是培养同学们数学思维能力的良好载体．下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用．例1 若11(1)(32)m m --+<-，试求实数m 的取值范围．错解（数形结合）：由图１可知10320132m m m m +≠⎧⎪-≠⎨⎪+>-⎩，，，解得 23m >，且32m ≠．剖析：函数1(0)y x x -=≠虽然在区间(0)-，∞和(0)+，∞上分别具有单调性，但在区间(0)(0)-+ ，，∞∞上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的．正解（分类讨论）： （1）10320132m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，，，解得2332dm <<； （2）10320132m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得1m <-．综上可得23(1)32m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，，∞． 现在把例1中的指数1-换成3看看结果如何．例2 若33(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．错解（分类讨论）：由图2知， （1）10320321m m m m +>⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，1， 解得213m -<<； （2）10320321m m m m +<⎧⎪-<⎨⎪->+⎩，，，此时无解；（3）10320m m +<⎧⎨->⎩，，， 解得 1m <-． 综上可得 2(1)13m ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭ ，，∞． 剖析：很明显，此解法机械地模仿例１的正确解法，而忽视了函数间定义域的不同．由此，使我们感受到了幂函数的定义域在解题中的重要作用．正解（利用单调性）：由于函数3y x =在()-+，∞∞上单调递增，所以132m m +<-，解得23m <． 例2正确解法深化了对幂函数单调性的理解，激活了同学们的思维．下面再对12α=和4α=两个问题与解法进行探究． 例3若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围．解：由图3，10320321m m m m +⎧⎪->⎨⎪->+⎩，，，，解得 213m -<≤．例4 若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 解析：作出幂函数4y x =的图象如图4．由图象知此函数在(0)(0)-+ ，，∞∞上不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑4α=时，44x x =．于是有44(1)(32)m m +<-，即44132m m +<-．又∵幂函数4y x =在(0)+，∞上单调递增， ∴132m m +<-， 解得23m <，或m ＞4． 上述解法意识到幂函数(0)y x αα=>在第一象限的递增性，于是巧妙运用转化思想解题，从而避免了分类讨论，使同学们的思维又一次得到深化与发展．解题点悟：通过以上探究，我们对幂函数的定义域、单调性、奇偶性及图象又有了较深刻的认识，同时对于形如[()][()]f x g x αα<（α是常数）型的不等式的解法有了以下体会：（1）当11135α=--- ，，，，解法同例1（2）当1113535α= ，，，，，，解法同例2 （3）当111246α=±±± ，，，，，解法同例3 （4）当246α=±±± ，，，，解法同例4． 编者点评：本文通过对一典型例题的多种变换，使我们对幂函数的性质及图象都有了较深刻的认识，其中例4解题过程中虽涉及了含绝对值不等式的解法，超出了我们的所学范围，但它其中蕴含的这种“转化”的思想，一方面拓宽了我们的解题思路，同时也体现了对知识的灵活应用能力，当然此题还可用分类讨论的方法解决，同学们不妨一试．。