高阶偏导数(教案)

高阶偏导数(教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高阶偏导数

韩桂玲

教学目标： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义

2.会求二元函数的二阶偏导数

3..理解二阶连续混合偏导数相等的定理证明

教学重点： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义

2.会恰当的用定义法和公式法求二元函数的二阶及高阶偏导数

教学难点： 二阶连续混合偏导数相等的定理证明

教学方法： 讲授法

教学过程：

引入：若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的一阶偏导数，对D y x ∈∀),(

x

y x f y x x f y x f x z x x ∆-∆+='=∂∂→∆),(),(lim ),(0 (把y 看作常数) y

y x f y y x f y x f y z y y ∆-∆+='=∂∂→∆),(),(lim ),(0 (把x 看作常数) 1.二阶偏导数定义

若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的（一阶）偏导数),(y x f x

z x '=∂∂与),(y x f y z y '=∂∂则在D 内它们都是x 与y 的二元函数。若它们关于x 与y 的偏导数存在，即

),()(22y x f x

z x z x xx ''=∂∂=∂∂∂∂x y x f y x x f x x x ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0 (把y 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f y x z x z y xy ''=∂∂∂=∂∂∂∂y

y x f y y x f x x y ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0 (把x 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f x y z y z x yx ''=∂∂∂=∂∂∂∂x

y x f y x x f y y x ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0(把y 看作常数) 定义法表出 ),()(22y x f y

z y z y yy ''=∂∂=∂∂∂∂y y x f y y x f y y y ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0(把x 看作常数) 定义法表出

则称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导数，其中第二、三个二阶偏导数称为混合偏导数。

2.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数：二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数 例如符号k k n n y

x z ∂∂∂-或),()(y x f n y x k k n -表示),(y x f z =的n 阶偏导数（先对x 求k n -阶偏导数，再对y 求k 阶偏导数）

3.高阶偏导数：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例1求函数3233y y x x z +-=的二阶偏导数 解：xy x x

z 632-=∂∂，2233x y y z -=∂∂ y x x z 6622-=∂∂，x y x z 62-=∂∂∂，x x y z 62-=∂∂∂，y y

z 622=∂∂ 从例1中我们发现=∂∂∂y x z 2x

y z ∂∂∂2即两个混合偏导数相等但并不说明所有函数的高阶混合偏导数都与求导顺序无关。例如

例2：⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++-=0,00,),(2222222

2y x y x y x y x xy y x f

它的一阶偏导数为

022=+y x 时，)0,0(x f '＝x f x f x ∆-∆+→∆)0,0()0(lim 0000lim 0=∆-=→∆x x 022≠+y x 时，2

2222222222)()(2)(2),(y x y x x y x x xy y x y x y y x f x +--+++-=' 2224

224)

(4y x y y x x y +-+= 同理⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++--='0,00,)(4),(22222224

224y x y x y x y y x x x y x f y

则1lim )0,0()0,0(lim )0,0(00-=∆∆-=∆'-∆+'=''→∆→∆y y y

f y f f y x x y xy 1lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆∆=∆'-∆+'=''→∆→∆x

x x f x f f x y y x yx 所以： )0,0(xy

f '')0,0(yx f ''≠ 但例1又不是偶然，事实上，它满足定理1：

若函数),(y x f 在点)(0,0y x P 的邻域G 存在二阶混合偏导数),(y x f xy

''与),(y x f yx ''，并且它们在点)(0,0y x P 连续，则=''),(00y x f xy

),(00y x f yx ''。 证明：把),(00y x f xy

''与),(00y x f yx ''按定义表示成极限形式 ),(00y x f xy ''y

y x f y y x f x x y ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 00000 ]),(),(lim ),(),(lim [1lim 00000000000x

y x f y x x f x y y x f y y x x f y x x y ∆-∆+-∆∆+-∆+∆+∆=→∆→∆→∆ y x y x f y x x f y y x f y y x x f x y ∆∆+∆+-∆+-∆+∆+=→∆→∆),(),(),(),(lim lim 000000000

0 令),(),(),(),(),(00000000y x f y x x f y y x f y y x x f y x F +∆+-∆+-∆+∆+=∆∆

则),(00y x f xy ''y

x y x F x y ∆∆∆∆=→∆→∆),(lim lim 00 同理),(00y x f yx

''y x y x F y x ∆∆∆∆=→∆→∆),(lim lim 00 现只需证两个累次极限相等

令),(),()(00y x f y y x f x g -∆+=

则)()(),(00x g x x g y x F -∆+=∆∆

f 存在关于x 的偏导数∴函数

g 可导，)(x g 在],[00x x x ∆+上应用微分中值定理 )()(),(00x g x x g y x F -∆+=∆∆x x x g x ∆∆+'=)(10θ 101<<θ

x y x x f y y x x f x x ∆∆+'-∆+∆+'=)],(),([010010θθ