大学物理-功能原理 机械能守恒定律
(大学物理课件)§3.6功能原理及机械能守恒教程教案
机械能守恒定律的表述及含义
1
机械能守恒定律的表述
机械能守恒定律表述了一个系统内机械能的总量不会改变的事实。
2
机械能守恒定律的含义
机械能守恒定律的含义是，当一个物体的机械能发生变化时，它的动能和势能相互转换，但 总能量不变。
3
机械能守恒定律的应用
机械能守恒定律可以用于求解多种物理问题，如摆锤、小球自由落体等。
杠杆原理简介
什么是杠杆?
杠杆是指在一个支点绕着物体的悬挂点旋转的长条 形物体。
什么是杠杆原理?
杠杆原理是指在平衡状态下，杠杆两侧的力矩相等。
杠杆原理分类
1 一类杠杆
一类杠杆是指支点处的力作用在杠杆的一侧，称为杠杆的顶端。
2 二类杠杆
二类杠杆是指支点处的力作用于杠杆的中间，使其在顶端和底端之间移动。
焦耳定律简介
1 什么是热?
热是物体的分子或原子内部运动所产生的一种形式，是一种能量。
2 什么是焦耳定律?
焦耳定律是指热量的大小跟物体的质量、温度差以及物体的热容量等相关。
焦耳定律的表述及含义
1
焦耳定律的表述
热量的大小跟物体的质量、温度差以及物体的热容量等相关。
2Leabharlann 焦耳定律的含义焦耳定律的含义是物体温度的提高或降低是由吸收或释放的热量所决定的。
2 动能定理的应用有哪些?
动能定理可以用于求解运动物体的速度、加速度等问题。
动量守恒定律简介
1 什么是动量?
动量指物体的质量和速度 乘积。
2 什么是动量守恒定律? 3 动量守恒定律的应用
动量守恒定律指出，在一
有哪些?
个系统中，当没有外力作
动量守恒定律可以用于求
用时，系统的总动量保持
大学物理-机械能守恒定律
解：重力的功：W＝mgl( cosf－cos45°) ,根据动能定理有：
1 mv 2 mgl(cosf cos45)
2
O
所以 v 2gl (cosf cos45)
当f＝10°时， v＝2.33 m/s (亦可用功能原理求解)
45 °
f
l T
B＇
B
C＇
A
C mg
19
三、计算题
1．一质量为m的质点在沿x轴方向的合外力 F F0ekx作用下（其中，F0 ,k 为正的恒量），从x=0处自静止出发，求它沿x轴运动时所能达到的最大速 率。
Fy
dy
Fz
dz）
xB
Ax xA Fxdx
yB
Ay yA Fydy
zB
Az zA Fzdz
A Ax Ay Az
6
功的单位（焦耳）
1J 1Nm
平均功率 P A
t
瞬时功率
P
lim
ΔA
dW
Fv
t0 Δt
dt
P Fvcos
功率的单位（瓦特）
1 W 1 J s1 1 kW 103 W
(a)
即，各力作功之和等于合力作的功。 但对质点系：写不出像质点那样的简单式子， 即，各力作功之和不一定等于合力的功。
10
例 1 一质量为 m 的小球 竖直落入水中， 刚接触水面时
其速率为 v0 ．设此球在水中所
受的浮力与重力相等，水的阻
力为 Fr bv , b 为一常量.
求阻力对球作的功与时间的函
v
ds
P
17
m 1.0 kg l 1.0 m
0 30o
θ 10o
A mgl (cos cos0 )
大学物理：2-1 机械能守恒定律
26
例2 求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离太 阳引力作用的最小速度。(第三宇宙速度）
解 根据机械能守恒定律有
1 2
mv22
G
m ms r0
0
v2
2Gms 42.1103 m s-1 r0
地球公转速度 v1 物体相对于地球速度
Gms 29.7 103 m s-1 r0
v v2 v1 (42.1103 29.7 103 )m s- 1 12.4 103 m s-1
y
A
小mg球和在F滚N 两动个过力程的中作受用到。 h
合力为
F mg FN
O
FN
mg
B
x
根据动能定理有
B A
F
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv
2 A
即
B mg d r
A
B A FN
d
r
1 2
mvB2
1 2
mv2A
12
因
FN
始终垂直于
dr
，
所以
B A FN dr 0
(2)功和动能都是与参照系有关的量。但动能定理 在不同惯性系中都成立，这是力学相对性原理的必 然结果。在一般情况下，如无特别声明，就是指以 地面为参照系。
11
例3 小球以初速率vA 沿光滑曲面向下滚动,
如图所示。问当小球滚到距出发点A的垂直距离
为h 的B 处时, 速率为多大 ?
解 建立右图的坐标系，
F3 F3n Fn3 Fn
所以 A外 + A非保内 = (EkQ +EpQ ) (EkP + EpP ) 22
系统的动能与势能之和称为系统的机械能，用E表示 于是有 A外 + A非保内 = E(Q) E(P)
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
功能原理 机械能守恒定律
``````
2GmE RE
2
2 gRE
E 0
第二宇宙速度
11.2km/s
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
3） 飞出太阳系 第三宇宙速度 第三宇宙速度 v3 ，是抛体脱离太阳引力所需的 最小发射速度 .
h
v
设
地球质量 mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE , 太阳质量 mS , 抛体与太阳相距 RS .
2. 公式推导：
由质点系动能定理：
A外 A内 EK EK 0＝EK
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
由质点系动能定理：
A外 A内 EK EK A内保＋A内非
则 又
A外＋A内保＋A内非＝EK－EK 0＝EK
A内保 E p
即保守内力作的功等于质点系势能增量的负值.
3、功能原理与动能定理并无本质的区别。它们的区别
仅在于功能原理中引入了势能而无需考虑保守内力的功，这正 是功能原理的优点；因为计算势能增量常比直接计算功方便。
4 – 5
二
功能原理
机械能守恒定律
机械能守恒定律 (law of conservation of mechanical energy) 由质点系的功能原理
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
作 业：
4.5.1 ， 4.5.3.
4 – 5
四 宇宙速度
功能原理
机械能守恒定律
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体 的运动轨迹取决于抛体的初速度
4 – 5
功能原理
机械能守恒定律
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 第一宇宙速度 v1，是在地面上发射人造地球卫星 所需的最小速度 . 设 地球质量
功能原理(大学物理)
va a
4R E
RE
2R E
∵G
m Em R2
E
＝m
g
设：卫星在a 点的速率为va
所受的向心力是由万有引力
提供，由牛顿第二定律可得：
b vb
F向心力＝ m a ＝m
v2 R
G （m2RE mE）2 ＝m
v2 a
2R E
∴
Gm R2
E
E
＝g
代入上式得：
∴ va＝
gR E 2
va a
≥
5 2
R
C
(2)小球在 A 点受重力mg 及
A
轨道对小球的正压力N 作用。
H
B
·R
N0
(3)如果小球由H =2R 的高处滑下
mg 小球将不能到达A点就掉下来了。
本题结束
例题： 如图所示，子弹水平地射入一端固定在弹簧上
的木块内，已知：子弹质量是0.02kg ，木块质量是 8.98kg。弹簧的劲度系数是100N/m，子弹射人木块 后，弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的滑动摩擦系 数为0.2，求:子弹的速度。
和轨道对小 球的正压力
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1 )
不脱轨的条件为： N = mRvA2－m g ≥ 0
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1)
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
0＋mg( H
-
2R
)=
1 2
m
v
大学物理(3.4.2)--功能原理机械能守恒定律能量守恒定律
第四讲功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律k k k i i i i ii e E E E v m v m W W ∆=-=-=+∑122122)2121(系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。
回顾前面学过的知识点：1. 质点系动能定理P1p 2p )(E E E W ∆-=--=2. 保守力作功等于势能的减少3. 成对力的功只与作用力和相对位移有关:r d F dW '⋅= 22/16※ 质点系功能原理1、系统的机械能: 动能与势能的总和称为机械能3、由势能的定义，保守内力的功总等于系统势能的减少pin c E W ∆-= 2、内力的功可分为： 保守内力的功和非保守内力功pk E E E +=（保守内力的功由势能代替）第四讲 功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 in ncin c in in W W W W i i+==∑非保守内力的功将导致机械能与其他形式的能量转换。
inncex p k W W E E E +=∆+∆=∆k in ncp ex in nc in c ex in ex E W E W W W W W W ∆=+∆-=++=+ 4、系统的功能原理 （由质点系动能定理）在选定的质点系内，在任一过程中，质点系总机械能的增量等于所有外力的功与非保守内力的功的代数和。
4/16※ 机械能守恒定律问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
0=+in nc ex W W 0=∆+∆=∆p k E E E 常量=+p k E E 由功能原理:则：或:如果： 如果系统内只有保守内力作功，其他内力和一切外力都不作功，或元功之和恒为零，则系统内各物体的动能和势能可以相互转换，但总机械能保持不变。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？in nc ex p k W W E E E +=∆+∆=∆力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零，机械能守恒。
3-6功能原理机械能守恒定律
又是怎样认识黑洞的呢 ?
2 E
第三宇宙速度
mE 1 2 -1 v3 ( v' 2G ) 16.4 km s RE
5 简谐运动的振幅 周期 频率和相位 3 ––16简谐运动 功能原理 机械能守恒定律
探路者无人飞船俯视火星
探路者飞船在火星着陆点地貌
5 简谐运动的振幅 周期 频率和相位 3 ––16简谐运动 功能原理 机械能守恒定律
5 简谐运动的振幅 周期 频率和相位 3 ––16简谐运动 功能原理 机械能守恒定律
* 四 宇宙速度
牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体的运轨 迹取决于抛体的初速度
5 简谐运动的振幅 周期 频率和相位 3 ––16简谐运动 功能原理 机械能守恒定律
(1) 人造地球卫星
第一宇宙速度
第一宇宙速度v1，是在地面上发射人造地球卫星所 需的最小速度 . 设:地球质量 mE , 抛体质量 m ,地球半径 RE
5 简谐运动的振幅 周期 频率和相位 3 ––16简谐运动 功能原理 机械能守恒定律
一
质点系的动能定理 对第 i 个质点，有
ex in
Wi Wi Eki Eki 0
外力功 内力功 对质点系，有
m1
ex Fi
in m i m2 Fi
W
i
ex
i
Wi Eki Eki 0 Ek Ek 0
2
va
va ( gRE / 2) 1/ 2 同理 vb ( gR E / 4)
1/ 2
a
4RE
o
RE
b
vb
1 mE m 1 2 Ea mva G m gR 1 E 2 2 RE 4 E mgR E 8 1 2 mE m 1 Eb mvb G m gR 10 E 2.3510 J 2 4 RE 8
大学物理3-3机械能守恒定律 能量守恒定律
1. 机械能守恒定律
机械能守恒定律：如果一个系统内只有保守内力 做功（常见），或者非保守内力与外力的总功为零， 则系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但机械 能的总值保持不变。这一结论称为机械能守恒定律。
条件 Ae 0，Aid 0；或 Ae Aid 0
E
弹 p1
1 2
kx02
如果物体因惯性继续下降的微小距离为h，并且
以这最低位置作为重力势能的零位置，那么，系统
初时的重力势能为
E
重 p1
mgh
守恒定律
系统在这初始位置的总机械能为
E1＝Ek
1＋E
弹 p1＋E
重 p1
1 2
mv
2 0
1 2
kx02
mgh
在物体下降到最低位置时，物体的动能 Ek，2 系0统
定律 EKa EPa EKb EPb
或 E EK EP 常量
能量守恒定律
2. 能量守恒定律
一个孤立系统经历任何变化时，该系统的 所有能量的总和是不变的，能量只能从一种 形式变化为另外一种形式，或从系统内一个 物体传给另一个物体。这就是普遍的能量守 恒定律。
守恒定律
例题3-5 起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以 速度v0作匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时， 物体因惯性进行下降，问钢丝绳再有多少微小的伸长？ (设钢丝绳的劲度系数为k，钢丝绳的重力忽略不计)。 这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？
T
x0
G
h
v0
守恒定律
解 我们考察由物体、地球和钢丝绳所组成的系统。 除重力和钢丝绳中的弹性力外，其它的外力和内力都 不作功，所以系统的机械能守恒。
大学物理-第三章三大守恒定律
i
i
1 若质点系动量守恒，则动量在三个坐标轴上的分量都守恒。
2、在系统内质点间的碰撞，打击，爆炸过程中，内力很大，可 忽略重力、摩擦力等外力，可近似认为动量守恒。
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3、虽然有时系统总动量不守恒，但只要系统在某个方向受 的合外力为0，则系统在该方向动量守恒。
即 F x 当 F ix 0 时 p x ， m iv ix 常量
mv1
得 F (0 .3 )22 0 32 0 2 2 0 3c0o 3 s()0 14 (N )51
0 .01
根据正弦定理
sm i 2 nvsiF n t() 18 ,即力的 v 夹 方 角 1向 6 。 为 2
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例2-6质量为m=30kg的铁锤（彩电）从1m高处由静止下落，碰撞
Ixt1 t2F xd tpx2px1mx2 vmx1v Iyt1 t2F yd tpy2py1my2v my1v Izt1 t2F zd tpz2pz1mz2 vmz1v
4 . 对于碰撞、打等 击过 、程 爆， 炸物体互 之作 间用 的
称为冲力， 值其 大特 ， 点 变 t短是 化 ，峰 大 在， 某
b v2
d v
d(m v )
d p
t 2
Fm am
Fdtdp
dt dt
微分形式
dt
a
v1
I 定义 ：t1 t动2F 量 d ptp p 1 m 2d vp p 2 t 1 p 1 P 2m mv( 2v I2 t1t2v F1 d)t
（ M d)v M (d v ) d( v M d v u ) Mv
大学物理机械能守恒定律
弹性碰撞中，两物体之间的相互作用力是保守力，因此系统机械能守恒。通过分析碰撞前 后的速度、动量等物理量，可以求解碰撞过程中的能量转化和损失情况。
03 弹性碰撞中机械能守恒
Байду номын сангаас
完全弹性碰撞过程描述
碰撞前后动能守恒
在完全弹性碰撞中，两个物体碰撞前后的总动能保持不变。
碰撞前后动量守恒
同时，两个物体碰撞前后的总动量也保持不变。
例题3
一质量为 $m$ 的匀质球体，半径为 $R$， 绕通过其中心且与球面垂直的轴以角速度 $omega$ 转动。若在球面上挖去一个质 量为 $Delta m$ 的小球体，求剩余部分 的动能和势能变化。
06 振动系统中机械能守恒
简谐振动过程中能量转化关系
简谐振动中，动能和势能不断相 互转化，但总机械能保持不变。
在平衡位置，动能最大，势能最 小；在最大位移处，动能最小，
势能最大。
简谐振动的能量与振幅的平方成 正比。
受迫振动和共振现象中能量传递特点
受迫振动中，驱动力的频率接 近系统固有频率时，振幅显著 增大，能量传递效率提高。
共振现象是系统固有频率与外 界驱动力频率相等时发生的， 此时能量传递效率最高。
在共振现象中，系统的振幅达 到最大值，能量在驱动力和系 统之间高效传递。
典型例题分析
例题1
一弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，分析其在振动过程中的能 量转化关系。
例题2
一单摆受到周期性驱动力作用，分析其在受迫振动过程中的能量传 递特点。
例题3
一RLC振荡电路在共振状态下工作，分析电路中的能量转化和传递过 程。
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大学物理-功能原理 机械能守恒定律
1
二 质点系的功能原理
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守力 的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex
W in nc
(
Ek
Ep
) ( Ek0
Ep0
பைடு நூலகம்
)
2
W ex
W in nc
(Ek
Ep ) (Ek0
1 R
） h
GMmh R（R h）
17
（2）取陨石为研究对象，由动能定理
R（GMRm hh）
1 2
mv2
得
v
2GM
h R（R
h）
18
例：求质量 M长 的l均匀细棒与质点
（1）质点 在细棒延m长线上； （2）质点 在m细棒中垂线上；
间的引m力势能。
解（1）质点 m在细棒延长线上，如图在细棒上任取一微
y
Oy 轴。
设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态
b0 g 0(l b0 )g 0
b0
0 1 0
l
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链
条将开始滑动。 10
(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中 各部分之间相互作用的内力的功之和为零，
重力的功
W
l
b
ygdy
1 g(l2
2
b2 )
摩擦力的功
W
'
l
b
(l
y)gdy
1
2
g(l
b)2
11
根据动能定理有
1 g(l 2 b2 ) 1 g(l b)2 1 lv 2 0
大学物理 机械能守恒1
•质点系机械能守恒 质点系机械能守恒
• 功能原理与动能定理的物理本质是一致的，它们 功能原理与动能定理的物理本质是一致的， 的区别是从不同的角度处理保守内力作功。 的区别是从不同的角度处理保守内力作功。 • 只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变； 只有外力和非保守内力才会引起机械能的改变； 保守内力作功会引起质点系动能的改变， 保守内力作功会引起质点系动能的改变，但不会 引起质点系机械能的改变 • 当外力和内非保守力都有不作功或所作功之和为 零，则质点系机械能守恒。 则质点系机械能守恒。
v dr
v L1 F
rQΒιβλιοθήκη L2QP rP保守力：做功与路径无关的力， 保守力：做功与路径无关的力，或沿闭合回路做 功等于零的力 练一练：证明重力 是保守力 练一练：证明重力mg是保守力 挑战： 挑战：证明有心力和弹性力都是保守力 •保守力的势能：引力作功与路径无关，只取决于质 保守力的势能： 保守力的势能 引力作功与路径无关，
r2 r2
v •保守力与势能的微分关系：W保 = − ∆U , → F ⋅ dr = − dU 保守力与势能的微分关系： 保守力与势能的微分关系
•保守力与势能的微分关系进一步讨论 保守力与势能的微分关系进一步讨论* 保守力与势能的微分关系进一步讨论
r r f • dr = −dU 在直角坐标系中 : f x • dx + f y • dy + f z • dz = − dU ∂U ∂U ∂U 由偏微分公式知 : f x = − ; fy = − ; fz = − ∂x ∂y ∂z r r r r 可合写为 : f = f x i + f y j + f zk = −∇U = − gradU
大学物理 动能 势能 机械能守恒定律
2020年4月22日星期三
力作正功； 力作负功； 力不作功。
变力的功 合力的功 = 分力的功的代数和 直角坐标系中，
功的大小与参照系有关 功的量纲和单位 2.功率：单位时间内的功 平均功率
瞬时功率
功率的单位 （瓦特）
3 保守力的功
1） 重力的功 质量为m的质点在重力G作用 下由A点沿任意路径移到B点 。重力G只有z方向的分量
B、C、D 组成的系统
（A）动量守恒，机械能守恒 . B）动量不守恒，机械能守恒 . ）动量不守恒，机械能不守恒 . 动量守恒，机械能不一定守恒 .
（ （C （D）
C
D
C
D
A
B
A
B
讨论
下列各物理量中，与参照系有关的物 理量是哪些？ （不考虑相对论效应）
1）质量 4）动能
2）动量 5）势能
3）冲量 6） 功
➢ 非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
例2.9 质点所受外力
，求质点由点
(0,0)运动到点(2,4)的过程中力F所做的功：(1)先沿x
轴由点(0,0)运动到点(2,0)，再平行y轴由点(2,0)运动
到点(2,4)；(2)沿连接(0,0)，(2,4)两点的直线；(3)沿
抛物线
由点(0,0)到点(2,4)(单位为国际单位制.
2） 万有引力的功 以 为参考系， 的位置矢量为 .
对 的万有引力为
移动 时， 作元功为
3 ） 弹簧弹性力的功 F
x
O
保守力和非保守力 ➢ 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 . 引力功
重力功 弹力功
大学物理 2.4 功能原理 机械能守恒定律
得到
A A
外
E E E E
kA
pA
pA
k p
系统的动能和势能之和叫做系统机械能，用 E表示，则 E E E
以 E 和 E 分别表示系统初态和末态的机械能，则
A B
A A E E
外 非保 B
A
外力和非保守内力做功的总和等于系统机械能的总量。这一结 论为功能原理。
即
把
x1和 x2
1 1 2 K (x2 ) m1 gx2 K (x1 ) 2 m1 gx1 2 2 1 1 K (x 2 ) 2 K (x1 ) 2 m1 g (x1 x 2 ) 2 2
代入上式，化简可得： 所以得
F 2 (m1 g m2 g ) 2
2.4 功能原理 机械能守恒定律
由质点系动能原理
A A E E
外 内 kB
kA
内力中既有保守力也有非保守力，因此内力做功可分为保守内 力做的功和非保守内力做的功
A A A
外 保内
非保内
E E
kB
kA
保守力的功等于相应势能增量的负值，则
A E E
保内 pB 非保内 kB pB
x 2
1
如图2-12(a)所示；弹簧自然长度时的位置为弹性势能的零点，同时取作 m1 m2 g x m1 上跳过程必须使弹簧伸长 1 的零势能点，如图2-12(b)所示。撤力后 k 才能使下面的木板 m2 恰能提起，如图2-12(c)所示。
k
图2-12
把两个木块、弹簧、地球做系统，只有重力和弹力做功，所以 系统机械能守恒，初终状态动能均为零，故初始状态的弹性势能和 重力势能之和与终了状态的弹性势能和重力势能之和相等。
功能原理 机械能守恒定律 能量守恒定律 东北大学 大学物理
※ 能量守恒定律的意义及其重要性
（3）自然界一切已经实现的过程无一例外地遵守着这 一定律，如果发现有所违反，那常常是因为过程中孕含着 还未被认识的新事物。于是人们就按守恒定律要求去寻找 和发现新事物。例如：中微子的发现。(20世纪初衰变的 研究中发现实验结果与能量守恒相违背，泡利提出中微子 假说，20年后，科学终于证实了中微子的存在）。
设坡底势能为零，由功能原理
W
ex
Ain nc
E
则：
fr s (0 mg
s
sin
)
(
1 2
mv02
0)
0.05mg
s
1 2
mv02
0.010mg
s
解得： s
v02
85(m)
2g(0.05 0.010)
提示：在应用功能原理时，由于取车与地球为系统，考虑了系统的
重力势能，因此，就不能再把重力当成外力来计算它的功了。
问题1：有非保守内力作功，系统的机械能不守恒 ？
例如：摩擦力作功，机械能转变成热能。
问题2：有摩擦力作功：机械能守恒？ 力 f 作正功，f ' 作负功，总和为零， 机械能守恒。(元功之和恒为零)
※ 能量守恒定律
1、“守恒” 与 “相等”
“守恒”：指在一个过程中始终不变。 “Conservation” “相等”：指两个特定状态之间的关系。 “Equation”
1 2
m
(v2
uv2)22
(vv112
u)2
Ek
• 变化量 △P由力的冲量决定 △Ek由力的功决定 △P与惯性系的选择无关 △Ek随惯性系的不同而不同
大学物理名词解释
名词解释：1.功能原理:系统所受外力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。
2.质点系的动能定理：质点系总动能的增量在数值上等于所有外力做的功与所有内力做的功的代数和。
3.刚体：在任何情况下大小、形状都保持不变的物体.4.机械能守恒定律：对于物体组（系统）而言，如果只有保守内力（重力、弹性力）做功，没有非保守内力及一切外力的功，那么，物体组内各物体之间的动能和势能虽然可以互相转换，但它们的总和是恒量。
5.转动惯量：反映刚体的转动惯性大小。
6.多普勒效应：由于声源与观察者的相对运动，造成接收频率发生变化的现象。
7.惠更斯原理：在波的传播过程中，波前上的每一点都可看成是发射子波的波源，在波的前进方向上经Δt时间后这些子波波面的包迹就是t+Δt时刻的新波面8.波的干涉：两列频率相同，振动方向相同，相位相同或相位差恒定的波的叠加。
9.平衡态：如果气体与外界没有能量和物质的交换，内部也无任何形式能量的转化，则密度、温度和压强都将长期维持均匀不变，这种状态称为平衡态。
10.热力学第零定律：如果有三个物体A、B、C，A、B两个物体分别处于确定状态的C达到了热平衡，那么A、B两个物体也会处于热平衡状态，两者相互接触，不会有能量的传递。
11. 自由度：确定一个物体在空间的位置需要的独立坐标数目。
12.能量按自由度均分定理：气体分子的每一个自由度都具有相同的平均平动动能，其大小都等于kT/2。
13.熵增加原理：在绝热过程中，系统的熵永不减少.对于可逆绝热过程，系统的熵不变，对于不可逆绝热过程，系统的熵总是增加.14.循环过程：系统经历一系列变化后又回到初始状态的整个过程。
简称循环15.卡诺循环：是在两个温度恒定的热源（一个高温热源，一个低温热源）之间工作的循环过程，在整个循环中，工作物质之和高温热源、低温热源交换能量。
由两个准静态等温过程和两个准静态绝热过程组成的循环。
16.热力学第二定律：热量不可能自动地从低温物体传向高温物体。
大学物理中的动能和势能机械能的转换与守恒
大学物理中的动能和势能机械能的转换与守恒大学物理中的动能和势能：机械能的转换与守恒在大学物理中，动能和势能是非常重要的概念。
它们描述了物体在运动或者相对位置改变时所具有的能量。
本文将深入探讨动能和势能的定义、相互转换以及机械能的守恒。
一、动能和势能的定义动能（kinetic energy）是指一个物体由于其运动而具有的能量。
动能的大小取决于物体的质量和速度。
根据动能的定义，我们可以得出动能的公式：动能 = 1/2 ×质量 ×速度的平方势能（potential energy）是指一个物体由于其相对位置而具有的能量。
常见的势能有重力势能和弹性势能。
重力势能是指一个物体在地球表面的高度处具有的能量，计算公式为：重力势能 = 质量 ×重力加速度 ×高度弹性势能是指一个物体由于其形变而具有的能量，主要应用在弹簧体系中。
弹性势能的计算公式为：弹性势能 = 1/2 ×弹性系数 ×形变的平方二、动能和势能的转换动能和势能之间可以相互转换。
在物理学中，最常见的转换是动能转化为势能和势能转化为动能。
1. 动能转化为势能当一个物体处于高处时，具有较高的势能。
这是因为地球对物体具有引力，当物体下落时，动能逐渐转化为势能。
例如，将一个小球从一定高度抛出，当它上升到最高点时，动能减小而势能增大，然后在下落过程中，势能减小而动能增大。
2. 势能转化为动能当一个物体从高处下落时，势能逐渐转化为动能。
例如，将一个小球从一定高度自由下落，当它下落到一定高度时，势能减小而动能增大。
三、机械能的守恒根据动能和势能的转换可以知道，当一个物体在一个封闭的机械系统中运动时，其总机械能保持不变，即机械能守恒。
这是因为在闭合系统中，动能和势能可以相互转换，但总能量始终保持不变。
根据机械能守恒定律，我们可以得出以下结论：1. 在没有任何外力和能量损耗的情况下，一个物体的机械能将保持不变。
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ex in nc
i
W W ( Ek Ep ) ( Ek 0 Ep 0 )
2
3-6 功能原理
机械能守恒定律
W
ex
W ( Ek Ep ) ( Ek 0 Ep 0 )
in nc
机械能 E Ek Ep
W W E E0
ex in nc
——质点系的功能原理
W Ek E k 0
in
1
i
注意
内力可以改变质点系的动能
3-6 功能原理
机械能守恒定律
二
质点系的功能原理
W
ex
W Ek E k 0
in
W
in c
in
Wi
i
in
in Wc
in Wnc
非保守 力的功
W ( Epi Epi 0 ) ( Ep Ep0 )
13
3-6 功能原理
机械能守恒定律
解(1)将物体、槽、地球视为系统，仅有保守内 力重力做功，系统机械能守恒。以 v 和V分别表 示物体刚离开槽时物体和槽的速度，则有
1 1 2 2 mgR mv MV 2 2
对物体和槽，水平方向动量守恒
mv MV 0
联解可得
v
2 MgR M m
2 gR V m M (M m)
3-6 功能原理
机械能守恒定律
一
质点系的动能定理
对第 i 个质点，有
m1
ex Fi
Wi Wi Eki Eki 0
ex in
in m i m2 Fi
外力功 内力功
对质点系，有
W
i
ex
i
Wi Eki Eki 0 Ek Ek 0
in i i
ex
质点系动能定理 W
2 MgR M m
2 gR M m
(1)
15
3-6 功能原理
根据牛顿定律 将式(1)代入，得
机械能守恒定律
v'2 N ' mg m R
'2
v 2m N ' mg m (3 )mg R M
16
3-6 功能原理
机械能守恒定律
例：一陨石从距地面 h 高处由静止开始落向地面， 忽略空气阻力，求： （1）陨石下落过程中，地球引力做的功； （2）陨石落地时速度多大？ 解（1）取地心为原点，从 o 指向陨石为 r 的正方向， 如图。陨石从 a 落到 b ，地球引力的功为
8
3-6 功能原理
机械能守恒定律
例2: 长为l 的均质链条，部分置于水平面上， 另一部分自然下垂, 已知链条与水平面间静摩 擦系数为0 , 滑动摩擦系数为 O 求:
(1) 满足什么条件时，链条将开始滑动 (2) 若下垂部分长度为b 时，链条自静 止开始滑动，当链条末端刚刚滑离 桌面时，其速度等于多少？ y
l
11
3-6 功能原理
机械能守恒定律
根据动能定理有
1 1 1 2 2 2 g( l b ) g( l b) lv 2 0 2 2 2
v g 2 g 2 (l b ) ( l b )2 l l
12
3-6 功能原理
机械能守恒定律
例2.3.9 一质量为m的物体，从质量为M的园弧形 槽顶由静止滑下，设园弧形槽的半径为R、张角 为 ，如忽略所有摩擦，求：(1) 物体刚离开槽底 端时，物体和槽的速度各为多少？(2) 在物体从A滑 到B的过程中，物体对滑槽做的功; (3) 物体到达B 时对槽的压力。
Ek Ep
5
3-6 功能原理
机械能守恒定律
四、守恒定律的意义 1.守恒定律 · 力学中：动量守恒定律 机械能守恒定律 角动量守恒定律
· 自然界中还有： 质量守恒定律、 电荷守恒定律； (粒子物理中的)重子数、轻子数、 奇异数、 宇称守恒定律
6
3-6 功能原理
机械能守恒定律
2.守恒定律的特点 (1)方法上：针对一过程，但不究过程细节， 给出始末态的情况。 (2)适用范围广：宏观、微观、高速、低速 均适用。
在应用功能原理时，应只计及非保守内力和含外力
做功对质点系机械能改变的贡献。
4
3-6 功能原理
机械能守恒定律
三
机械能守恒定律
当W
ex
W
in nc
0 时，有 E E0
——只有保守内力作功的情况下，质点 系的机械能保持不变．
E Ek Ep
Ek Ek 0 ( Ep Ep 0 )
讨论：关于功能原理的理解 (1) 功能原理的适用条件：仅对惯性参照系适用;
3
3-6 功能原理
机械能守恒定律
(2) 功能原理描述质点系的运动规律。在应用功能
原理求解问题时，必须正确确定质点系的范围，
保证引入势能时，涉及势能的所有质点都包含在 所研究的质点系中; (3) 功能原理与动能定理的不同之处在于它把质点 系内的保守内力做功用质点势能改变来替代，因此，
14
3-6 功能原理
机械能守恒定律
(2) 对槽，只有物体对它的压力N对它做功，依 据动能定理，物体对槽做的功应等于槽动能的 增量，即
1 m 2 gR WN MV 2 2 Mm
(3) 物体到达B的瞬间，槽在水平方向不受外力， 加速度为0，视为惯性参照系。此时，物体的水 平速度为
v' v V
9
例
3-6 功能原理
机械能守恒定律
解: (1) 以链条的水平部分 为研究对象，设链条每单位 长度的质量为，沿铅垂向 下取Oy 轴。
O
y
设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态 0 b0 l b0 g 0 ( l b0 ) g 0 1 0
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链 条将开始滑动。
7
讨论
3-6 功能原理
机械能守恒定律
(1) 内力和为零,内力功的和是否为零？
f1f 2 W 1 f 1L
不一定为零
f 0
f1
B A
f2
B A
W 2 f 2S
1
W f ( L S )
(2) 内力的功也能改变系统的动能
S L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内 力所做的功转化为弹片的动能。
10
3-6 功能原理
机械能守恒定律
(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中 各部分之间相互作用的内力的功之和为零， 重力的功
1 W b ygdy g ( l 2 b 2 ) 2
l
摩擦力的功
1 W ' b ( l y ) gdy g ( l b )2 2