生物统计学-单因素方差分析
单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素方差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⽅）单因素⽅差分析概念是⽅来研究⽅个控制变量的不同⽅平是否对观测变量产⽅了显著影响。
这⽅，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⽅的⽅育率，研究学历对⽅资收⽅的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⽅）单因素⽅差分析步骤第⽅步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⽅⽅育率、⽅资收⽅；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⽅步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⽅的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽅数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽅较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽅例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽅例较⽅，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽅例⽅，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽅平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽅差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽅的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽅的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽅平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⽅步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⽅个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽅较检验。
生物统计上机操作第五讲 方差分析
研究生《生物统计学》课程第五讲方差分析主要内容：一、单因素方差分析二、两因素方差分析三、多因素方差分析一、单因素方差分析[Analyze]=>[Compare Means]=>[ One-Way ANOV A]（1）建立数据文件，在Variable Vew中定义变量“饲料”、“增重”，“饲料”小数位数为0，用1、2、3、4分别代表甲、乙、丙、丁4种饲料。
输入数据。
（2）方差分析：[Analyze]=>[Compare Means]=>[ One-Way ANOVA]，打开[One-Way ANOVA]主对话框。
选定“增重”使之进入[Dependent List]（样本观测值）框，选定“饲料”使之进入[Factor]（因素）框（3）单击[Options]进入“选项”对话框，选择[Descriptive]要求输出描述统计量，[Homogeneity of Variance tese]（方差齐性检验），[Continue]返回；（4）单击[Post Hoc]打开[One-Way ANOV A: Post Hoc Multiple Comparisions]（单因素方差分析：验后多重比较）对话框，可选择确定多重比较方法，如LSD法、Duncan 法，[Continue]返回；（5）单击[OK]，运行单因素方差分析。
结果显示：方差分析表：（P＝0.005<0.01 不同饲料对鱼增重的作用差异极显著）多重比较：LSD法（解释：甲与其他三种饲料都具有显著差异，乙、丙、丁间差异不显著）Duncan法（解释：用Duncan法划分的相似性子集，在显著性水平为0.05的情况下，第一组包括丙乙丁，组内相似的概率为0.123；第二组包括甲，说明甲的均值与其他三个具有显著性差异）2、练习：某灯泡厂用四种配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中作随机抽样，测量其使用寿命（单位：小时），数据如下：问不同灯丝制成的灯泡的使用寿命是否有显著差异，存在差异则做多重比较。
生物统计学第九章单因素方差分析
E(MSA )
=
σ2 +
n a1
a i=1
a
2 i
=
σ2 +
n a1
a i=1
(μi -μ)2
即 MSA 除了代表随机误了σ2 外， 还，还有效应，
也就是说MS
是代表了各处理间的差异．
A
4. 统计量
当零假设 H0 : α1 = α2 = = αa成=立0 时，处理效
应的方差为零，亦即各处理观察值总体均数i (i=1， 2，…，a) 相等时，处理间均方MSA与处理内均方 一样，也是误差方差2的估计值。
❖ 在计算处理间平方和时，各处理均数要受
a
(xi -x)2 0 这一条件的约束，故处理间自由度
i 1
为处理数减1，即a-1。 处理间自由度记为dft ，则dft= a-1。
在计算处理内平方和时，要受a个条件的约束， n
即 (xij -x，i )i=01,2,...a。故处理内自由度为资料中观 j 1
… Xi …
χi1
χa1
χi2
χa2
χi3
χa3
…
j
ห้องสมุดไป่ตู้xχ11j xχ22j xχ33j
n
xχ11n x 2χ2n x3χ3n
合计 μ1 μ2 μ3
平均数 a1 a2 a3
xχi ij
xχaaj x
x iχin
x aχan x
μi
μa μ
ai
aa
符号
a n
xij n
xi. xij
j 1
xi.
1 n
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
二 固定模型fixed model
生物统计（4）-单因素方差分析
生物统计（4）-单因素方差分析方差分析的基本思想在进行科学研究时，有时要按实验设计将所研究的对象分为多个处理组进行不同的处理，其中处理因素(treatment)至少有两个水平（level）。
这类科研资料的统计分析，是通过所获得的样本信息来推断各处理组均数间的差别是否有统计学意义，即处理是否有影响。
常用采用的分析方法就是方差分析（ANOVA，analysis of variance），这是由英国统计学家R.A.Fisher首创，以F命名，故方差分析又称为F 检验。
设处理因素有g(g>= 2)个不同水平，实验对象随机分为g组，分别接受不同水平的干预，第i(i=1,2,...,g)组的样本含量为n_{i}，第i处理组的第j(j=1,2,…ni个观测值用Xij来表示，其计算结果可能可以整理成以下面的形式，如下所示：方差分析的目的就是在成立的条件下，通过分析各处理组均数之间的差别大小，推断g 个总体均数之间有无差别，从面说明处理因素的效应是否存在。
记总均数为各处理组均数为总例数为其中，g为处理组数。
实验数据有三个不同的变异：1. 总变异。
全部观测值大小不同，这种变异称为总变异。
总变异的大小可能用离均差平方和(sum of squares of deviations from eman,SS)来表示，即各观测值与总均数X差值的平方和，记为。
公式略。
2. 组间变异。
各处理组由于接受处理的水平不同，各组的样本均数也大小不等，这种变异称为组间变异，其大小用各组均数与总均数的离均差平方和表示，记为SS组间，计算公式略。
各组均数之间相关越悬殊，它们与总均数的差值越在在，就越大，反之就越小。
反应了各组均数的变异，存在这种变异的原因有：①随机误差；②处理的不同水平可能对实验结果的影响。
3. 组内变异。
在同一处理组中，虽然每个实验对象接受的处理相同，但观测值仍各不相同，这种变异称为组内变异（误差）。
组内变异用组内各观测值与其所在组的均数的差值的平方和表示，记为，表示随机误差的影响。
生物统计第三节单因素试验资料的方差分析
C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
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退 出
SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
上一张 下一张 主 页
退 出
表6-15 SSR值及LSR值
dfe
上一张 下一张 主 页
退 出
将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k
生物统计-8第八章单因素方差分析
01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。
第二节 单因素试验资料的方差分析
第二节单因素试验资料的方差分析在方差分析中，根据所研究试验因素的多少，可分为单因素、两因素和多因素试验资料的方差分析。
单因素试验资料的方差分析是其中最简单的一种，目的在于正确判断该试验因素各水平的优劣。
根据各处理内重复数是否相等，单因素方差分析又分为重复数相等和重复数不等两种情况。
上节讨论的是重复数相等的情况。
当重复数不等时，各项平方和与自由度的计算，多重比较中标准误的计算略有不同。
本节各举一例予以说明。
一、各处理重复数相等的方差分析【例6.3】抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见表6-12，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著。
表6-12五个不同品种母猪的窝产仔数这是一个单因素试验，k=5,n=5。
现对此试验结果进行方差分析如下：1、计算各项平方和与自由度2、列出方差分析表，进行F检验表6-13不同品种母猪的窝产仔数的方差分析表根据df1=df t=4,df2=df e=20查临界F值得：F0.05(4,20)=2.87,F0.05(4,20)=4.43，因为F＞F0.01(4,20)，即P＜0.01，表明品种间产仔数的差异达到1%显著水平。
3、多重比较采用新复极差法，各处理平均数多重比较表见表6-14。
表6-14不同品种母猪的平均窝产仔数多重比较表(SSR法)-8.2 -9.6因为MS e=3.14,n=5，所以为：根据df e=20，秩次距k=2,3,4，5由附表6查出α=0.05和α=0.01的各临界SSR 值，乘以=0.7925，即得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
表6-15SSR值及LSR值将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品种，但与3号品种差异不显著；3号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于2号品种，与1号和4号品种差异不显著；1号、4号、2号品种母猪的平均窝产仔数间差异均不显著。
生物统计单因素方差分析PPT课件
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9
7.1.1 方差分析的一般概念
例 调查了5个不同小麦品系的株高，结果列于 表. 只出现“品系” 一个因素，称单 因素。有5个不 同品系，称这一 因素有5个水平。 5个品系认为5 个总体，表中数 据是从5总体抽 出5样通本过，比较5样本，判断5总体是否存在差异。
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生物统计与CAA
Biostatistics and Computer Aid Analysis
主讲教师：
关瑞章 冯建军 林鹏 谢钦明 黄良敏 郭松林
2020/4/18
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1
第七章 单因素方差分析
7.1 单因素试验设计 7.2 方差分析的基本原理 7.3 固定效应模型 7.4 随机效应模型 7.5 多重比较 7.6 方差分析应具备的条件
对于a个处理，各重复n次的单因素方差分析一般
化表示方法如下表：xij:第i次处理的第j次n 观测值
x i. x ij
j 1
第i个处理n个观测
值的和
n
xi. xij / n xi./ n
j1
第i个处理的平均数
kn
x..
xij /knx../kn 表示全部观测值的总平均数
i1 j1
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• 区组(block)：把类似的试验材料在大致相同的环 境条件安排在同一组，该组就称为一个区组，如 不同养殖场、水面、滩涂等。区组内分小区，一 个小区进行一个水平的处理。
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单因素完全随机设计
• 试验中只考虑一个因素（A）其他因素保 持或控制不变或变化一致．选择A（即试 验因素）的a个不同水平，研究A对试验 考察指标的影响，这类试验称为单因素试 验
生物统计学-单因素方差分析知识分享
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部 分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离 均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方。
MS总
SS总 v总
MS组间
S S组间 v组间
MS组内
SS组内 v组内
总变异（Total variation, SS总）：全部测量值Yij与总均数Y
间的差异 组间变异（ between group variation, SS组间）：各组的均
数 Yi 与总均数 Y 间的差异
组内变异（within group variation,SS组内)：每组的每个测量Yij与该组均数 Yi 的差异
生物统计学-单因素方差分析
一. 方差分析基础
单因素方差分析的典型数据
重复次数 Y1
Y2
Y3
…
Yi
… Ya (level)
1
y11
y21
y31
yi1
y.1
2
y12
y22
y32
yi2
y.2
3
y13
y23
y33
yi3
y.3
.
.
j
y1j
y2j
y3j
.
yij
y.j
.
n
y1n
y2n
y3n
yin
y.n
平均数 Y1.
Y2.
Y3.
…
Yi.
…
Y..
因素也称为处理(treatment) 因素（factor），每一处理因素至少有两个水 平(level)（也称“处理组”， a个处理组）,各重复n次。
生物统计第7章 单因素方差分析
7.2 固定效应模型
7.2.1 线性统计模型
在固定效应模型中，αi是处理平均数与总体 平均数的离差，是个常量，故：∑αi=0（i=1，
2，…n），要检验a个处理效应的相等性，就 要判断各αi是否都等于0。若各αi都等于0，则
各处理效应之间无差异。因此，零假设为：H0： α1=α2= … =αa =0 备择假设为：HA： αi≠0（至少有一个i）
2020/6/19
7.3.3 不等重复时平方和的计算
• 上述情况，无论是固定效应模型，还是随机效 应模型，各处理的观测次数都是相同的。若不 同处理观测次数不同，以上的方差分析方法仍 然适用，但在计算平方和时，公式要作改动。
• 检验程序及结果分析同上述讨论。
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7.4 多重比较(multiple comparison)
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7.1 方差分析的基本原理
7.1.1 方差分析的一般概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验， 平均数差异显著性检验----成组数据 t检验的一 种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差 异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数 据平均数之间的差异显著性。当然，在多组数 据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所 有对之间做t检验。但这样做会提高犯Ⅰ型错误 的概率，因而是不可取的。
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7.2.3 均方期望与统计量F
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7.2.4 平方和的简易计算方法
• 实际应用时，总的平 方和与处理平方和一 般按右式计算：
• 式中的被减数C通常被称 为校正项（correction) ：
• 误差平方由右式算出 ： • 用SAS软件更简便
单因素方差分析
单因素方差分析单因素方差分析（One-WayAnalysisofVariance，简称ANOVA）是统计学中的广泛使用的统计方法，它是研究多组数据样本的统计工具。
它可以检验不同组别间的差异是否具有统计学上的显著性。
在这里，说明其定义及计算原理，以及如何应用单因素方差分析，并介绍ANOVA在统计学中的重要地位。
一、单因素方差分析的定义单因素方差分析又称为“一元方差分析”，它是一种用于检验总体变量的分布不同组别间的均值是否有显著性差异的统计技术。
它可以用来检验两个或多个样本的变量的均值之间的差异。
单因素方差分析假设所有样本的总体方差应用同一个总体方差，并且没有其他因素对结果产生显著的影响。
二、单因素方差分析的计算原理单因素方差分析是基于抽样分布的概念，它以抽样分布提供的数据来评估不同组别之间的均值差异是否有统计上的显著性。
单因素方差分析之所以能够有效检验不同组别间的差异，是因为它基于抽样分布的统计原理，即总体均值小于零的均方差的期望值。
在实际运用中，单因素方差分析常用F-statistics来衡量总体均值大于零的样本均方差的可能性，如果F-statistics的检验结果显示p值低于设定的显著性水平，则可以推断出不同组别间的差异具有统计学上的显著性。
三、如何应用单因素方差分析应用单因素方差分析的基本思路是采集样本，搜集可用于分析的数据，然后通过单因素方差分析，对不同样本变量的均值差异进行检验，以评估各组别之间均值的显著性差异。
换句话说，单因素方差分析可以帮助研究人员判断不同组别之间的差异是否有统计学上的显著性。
四、单因素方差分析在统计学中的重要性单因素方差分析在统计学中占有重要地位，因为它可以控制多组样本之间的其他不相关因素，从而可以准确地检验不同组别之间的显著性差异。
此外，单因素方差分析也提供了一种可行的技术，可以根据差异的显著性判断某一变量是否有统计学上的显著差异。
总而言之，单因素方差分析是一种统计学中有用的工具，可以检验不同组别间的均值差异是否有显著性，而这也是它在统计学中的重要地位。
生物统计学-单因素方差分析.
每组具有n个观测值的k组样本数据资料
处理 重 复 A1 A2 … Ai … Ak x11 x21 … xi1 … xk1 x12 x22 … xi2 … xk2 … x1j x2j … xij … xkj … x1n x2n … xin … xkn T1. T2. … Ti. … Tk.
三、数学模型
方差分析的基本原理
组别 重 复
A1
A2 … Ai xi1 xi2 xij Ti.
x i
x11 x21 … x12 x22 … … x1j x2j … T1. T2. …
x1
x 2
…
总和Ti.
T xij
平均 xi
x
x
x
ij
x ( xij xi ) ( xi x )
x xij xi xi x
2
n 2 a n
ij
2
x
a i 1 j 1 a n i 1 j 1
ij x xij xi xi x i 1 j 1 a
2
x
ij
验方法，是将总变异按照来源分为处理效应和试验
误差，并做出其数量估计。
发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一
种统计分析方法。
二、方差分析的基本原理
总变异分解为组间变异和组内变异。 组内变异是个体差异所致，是抽样误差。 组间变异可能由两种原因所致， 一是抽样误差； 二是处理不同。 在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故 导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因 是否存在，需通过假设检验作出推断
方差分析的应用条件和用途
方差分析应用条件： 1、各样本须是相互独立的随机样本 2、各样本来自正态分布总体 3、各总体方差相等，即方差齐 方差分析基本用途： 1、多个样本平均数的比较 2、多个因素间的交互作用 3、回归方程的假设检验 4、方差的同质性检验
生物统计学-单因素方差分析
2021/3/11
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常规剂量钙 (0.5%) 332.96 297.64 312.57 295.47 284.25 307.97 292.12 244.61 261.46 286.46 322.49 282.42
2.计算检验统计量
t y1y2 S(y1y2)
53.87
4.1770
49.8 99(11)
66
t0.05/2,302.042
3.确定 P值，作出判断
按照α=0.05水准，组次1与2比较，拒绝H0, 差别有统计学意义，喂 养中等剂量钙9周后体重不同。
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应用
解：
1.建立假设检验， 确定检验水准
充分。
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数理统计的理论证明，当H0 成立时，F 统计量服从F分布
1.4 f( F)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
1 1, 2 5 1 5, 2 5
1 10, 2 10
2F
3
4
F 分布曲线
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二. 完全随机设计的单因素方差分析
为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36只肥胖模型大白鼠随 机等分为3组，每组12只，分别给予常规剂量钙（0.5%）、中等剂量钙 和高剂量钙（1.5%）3种不同的高脂饲料，喂养9周，测其喂养前后体 重的差值（表7.1）问3种不同喂养方式下大白鼠体重改变是否相同？
生物统计学 方差分析
缺点：加大犯I型错误的概率
Duncan多范围检验
P341
§8.5 方差分析应具备的条件
多个方差齐性检验
了解
Bartlett 检验（Bartlett test）
Levene 检验（ Levene test）
作业
P157
8.2（用C=80来编码） 8.8 （用C=4来编码）
请翻译以下术语/Try
§8.4 多重比较（multiple comparison）
目的：
哪些处理之间存在显著差异，平均数之 间进行一对一比较。
LSD法
Duncan法（SSR）
S-N-K法
/s/blog_54b63 97501014fz3.html
最小显著差数检验（LSD）检验
附：生物统计学
第九章 两因素及多因素 方差分析
2012.5
§9.2 固定效应模型
线性统计模型（linear
statistical model）
同一处理的处理效应是相同的
简易计算方法
statistical model）
如何做到？
§8.2 固定效应模型
线性统计模型
平方和与自由度的分解
艾塔
重要
组间 组内
简易计算方法
学习小组任务
自学并讲解表8-3及其计算式。
自学并讲解公式8.1的组成及含义
（p144-148）。 自学并讲解p149例题 。 课后阅读p152-154内容，或自行上网查 资料，说明多重比较是做什么的？常用 多重比较有哪些？
to translate these terms
please： One-factor ANOVA，固定因素，significant， 多重比较
生物统计第7章 单因素方差分析
由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜
用t检验，须采用方差分析法。
2020/6/19
生物试验常用术语
• 试验考察指标(target)：选定用于考察或衡量试验 效果的特性值。如养殖试验常用的日增量、产卵率 等。
• 试验因素(factor)：通常把影响试验考察指标的条 件或要素称为试验因素，可以是单因素，也可以是 多因素。如研究养殖日增重量时，品种、饲料、性 别、投喂方法等等就是其影响因素。
例 为了探讨不同窝的动物出生重是否存在差异， 每窝中均有四只幼仔，结果见表.
这两个例子共同点： 每个实验只有一个 因素，该因素有a 个处理，这样的实 验称为单因素实验。 从单因素实验的每 一处理所得到的结 果都是一随机变量 Xi.
2020/6/19
7.1.1 方差分析的一般概念
对于a个处理，各重复n次的单因素方差分析一般 化表示方法如下表：xij:第i次处理的第j次观测值
• 水平(level)：每一个因素根据其质或量所分的等 级或所为不同的水平。
2020/6/19
生物试验常用术语
• 处理(treatment)：处理是指试验过程中设置的 所有试验因素的所有水平，是试验的具体条件或 状态。在一项试验中，同一个试验条件下的试验 称为一个处理，不同条件下的试验称为不同处理。 单因素试验中的“处理”与“水平”是一致的， 但“处理”的含义要较“水平”更广些。
• 把试验对象应用随机表分配到各试验组称 为完全随机设计
2020/6/19
单因素完全随机设计
• 完全随机设计对试验条件限制少，容易实 现，但试验误差偏大
• 单因素试验必须在各水平上重复多次试验， 假定重复数为n，则总共要进行an个试验， 这样的设计称为单因素等重复试验。
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中剂量钙(1.0%) 253.21 235.87 269.3 258.9 254.39 200.87 227.79 237.05 216.85 238.03 238.19 243.49 高剂量钙(1.5%) 232.55 217.71 216.15 220.72 219.46 247.47 280.75 196.01 208.24 198.41 240.35 219.56
S( y y
1
2)
1 1 MSE ( ) n1 n2
联合估计的方差， 用MSE代替(所有组联合 估计，比两个组的数据联合估计更好） MSE的自由度，临界值：t
0.05, N-a
适用于：事先指定的两个组进行比较
应用
解： 1.建立假设检验， 确定检验水准 H0：μA=μB,即两对比组总体均数相等 H1：μA≠μB,即两对比组总体均数不等 α =0.05 2.计算检验统计量
常规剂量钙(0.5%) 332.96 297.64 312.57 295.47 284.25 307.97 292.12 244.61 261.46 286.46 322.49 282.42
学过的统计学知识进行检验?
一. 方差分析基础
单因素方差分析的典型数据
重复次数 1
2 3 . . j . . n 平均数 y1n Y1. y2n Y2. y3n Y3. „ yin Yi. „ y.n Y.. y1j y2j y3j yij y.j
重复次数 1
2 3 . . j . . n 平均数 y1n Y1. y2n Y2. y3n Y3. „ yin Yi. „ y.n Y.. y1j y2j y3j yij y.j
Y1 y11
y12 y13
Y2 y21
y22 y23
Y3 y31
y32 y33
„
Yi yi1
yi2 yi3
„
Ya (level) y.1
t
y1 y 2 S( y y )
1 2
68.59 498.99( 1 1 ) 6 6
水平相同
建立假设检验 确定检验水准
H1 : 3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均
水平不全相同 a=0.05
方差分析的基本步骤
解:1. H0 : 3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均
水平相同
建立假设检验 确定检验水准
H1 : 3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均
水平不全相同 a=0.05 方差分析表
高剂量钙 (1.5%) 232.55 217.71 216.15 220.72 219.46 247.47 280.75 196.01 208.24 198.41 240.35 219.56 224.78 252.55
方差分析的基本步骤
解:1. H0 : 3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均
a=0.05 (犯第一类错误的概率， 假阳性） 1-a=0.95 （不犯第一类错误的概率） 检验3次，不犯第一类错误的概率为：0.95 3 = 0.857375 犯第一类错误的概率为： 1-0.857375=0.142625
统计资料的浪费，检验准确性的降低
方差分析基础
Analysis of Variance (ANOVA )
充分。
数理统计的理论证明，当H0 成立时，F 统计量服从F分布
1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 1 2 F 3
f( F)
1 1, 2 5
1 5, 2 5
1 10, 2 10
4
F 分布曲线
二. 完全随机设计的单因素方差分析
组间变异（variation between groups):各组均数Yi的变异程度
包含了：处理效应和随机误差
SS组间
n (Y
i 1 i
a
i
Y )2
v组间 a 1
组内变异（variation within groups): 各组均数Yij与其所在组的均数的变异程度 包含了：随机误差
1.离均差=（x - x ） 2.离均差之和= ∑（x - x ）= 0 3.离均差平方和 SS= ∑（x - x）2
虽然离均差（deviation from average) 可以衡量变异程度， 但是离均差之和为0，所以不是 理想的指标
为了合理地计算平均差异，用平方和的办法来消除离均差的正 负号，离均差平方相加，得到平方和（SS），但是由于不同样 本的观察值个数不同，所以离均差平方和也不是理想指标
第七ce（ANOVA )
为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36只肥胖模型大白鼠随 机等分为3组，每组12只，分别给予常规剂量钙（0.5%）、中等剂量钙 和高剂量钙（1.5%）3种不同的饲料，喂养9周，测其喂养前后体重的 差值（表7.1）问3种不同喂养方式下大白鼠体重改变是否相同？
常规剂量钙 (0.5%) 332.96 297.64 312.57 295.47 284.25 307.97 292.12 244.61 261.46 286.46 322.49 282.42 平均数 293.37
中剂量钙 (1.0%) 253.21 235.87 269.3 258.9 254.39 200.87 227.79 237.05 216.85 238.03 238.19 243.49 239.50
1. 方差分析的基本思想
所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个 部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异 是否具有统计学意义。
总变异（Total variation, SS总）：全部测量值Yij与总均数 Y 间的差异
组间变异（ between group variation, SS组间）：各组的均 数 Yi 与总均数 Y 间的差异
2.
计算 检验统计量
确定P值 作出推断
3.根据v1=v组间=2， v2=v组内=33， 在附表中无 v=33,在保守
的原则下取不大于33且接近于33的数值，30，得 F0.05(2,32)=3.316, F0.01（2,32）=5.390，由F=31.36知 P<0.01,
按照P<0.05水准，拒绝H0, 差异具有统计学意义，可以认 为3组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全 相同。
s
2
x x
n 1
n 1
2
将离均差平方和求平均数，称为样本方 差(均方差 mean deviation, MD) ，目 的是消除观察值个数的影响
2
s
x x
样本均方开方，目的是使变异还原，即 标准差（ Standard Deviation ）。
一. 方差分析基础
SS组内 v组内
F 值与F 分布 如果各组样本的总体均数相等（H0），即各处理组的样本来自相同总 体，无处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反映随机误 差作用的大小。组间均方与组内均方的比值称为F 统计量
MS组间 F MS组内
F值接近于l，就没有理由拒绝H0；反之，F 值越大，拒绝H0的理由越
三.平均值之间的多重比较
不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足 分析终止 拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等 哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？ 需要进一步作多重比较。
H 0 : μi = μj H 1 : μi ≠ μj 事先指定的两个组(i,j)进行比较：
一类错误的概率为： 比较性错误率 （comparison-wise error
y.2 y.3
因素也称为处理(treatment) 因素（factor），每一处理因素至少有两个水 平(level)（也称“处理组”， a个处理组）,各重复n次。
1. 方差分析的基本思想
所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为多个 部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异 是否具有统计学意义。
Y1 y11
y12 y13
Y2 y21
y22 y23
Y3 y31
y32 y33
„
Yi yi1
yi2 yi3
„
Ya (level) y.1
y.2 y.3
因素也称为处理(treatment) 因素（factor），每一处理因素至少有两个水 平(level)（也称“处理组”， a个处理组）,各重复n次。
第一类错误的概率增大
t
y1 y 2 S( y y )
1 2
53.87 498.99( 1 1 ) 6 6
4.1770
t0.05 / 2,30 2.042
3.确定 P值，作出判断 按照α =0.05水准，组次1与2比较，拒绝H0, 差别有统计学意义，喂 养中等剂量钙9周后体重不同。
应用
解： 1.建立假设检验， 确定检验水准 H0：μA=μB,即两对比组总体均数相等 H1：μA≠μB,即两对比组总体均数不等 α =0.05 2.计算检验统计量
=
+
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部 分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离 均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方。
MS总 SS总 v总
MS组间
SS组间 v组间
MS组内
SS组内 (Yij Yi ) 2
i 1 j 1
a
n
v组内 N a v组内 ( ni 1)
i
2.三种“变异”之间的关系
检验样本平均数之间的变异（方差）的大小 离均差平方和(sum of squares of deviations from mean ，SS )