多元函数微分学习题课

多元函数微分学习题课

1．已知)(),(22y x y x y x y x f ++-=-+ϕ，且x x f =)0,(，求出),(y x f 的表达式。

2．（1）讨论极限y x xy y x +→→00lim 时，下列算法是否正确？解法1：0111lim 00=+=→→x

y y x 原式；解法2：令kx y =，01lim 0=+=→k

k x x 原式；解法3：令θcos r x =，θsin r y =，0sin cos cos sin lim 0=+=→θθθθr r 原式。 （2）证明极限 y x xy y x +→→0

0lim 不存在。 3．证明 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=00

)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上处处连续。

4. 试确定 α 的范围，使 0|)||(|lim 22)0,0(),(=++→y

x y x y x α

。 5. 设 ⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠+++=000)sin(||),(22222222y x y x y x y x xy y x f ，讨论

（1）),(y x f 在)0,0(处是否连续？ （2）),(y x f 在)0,0(处是否可微？

6. 设F ( x , y )具有连续偏导数, 已知方程0),(=z y z x F ，求dz 。

7. 设),,(z y x f u =有二阶连续偏导数, 且t x z sin 2=，)ln(y x t +=，求x u ∂∂，y

x u ∂∂∂2。 8. 设)(u f z =，方程⎰+

=x y t d t p u u )()(ϕ确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ϕ可微，)(),(u t p ϕ'连续，且 1)(≠'u ϕ，求 y

z x p x z y p ∂∂+∂∂)()(。 9. 设22v u x +=，uv y 2=，v u z ln 2=，求y

z x z ∂∂∂∂,。 10.设),,(z y x f u =有连续的一阶偏导数 , 又函数)(x y y =及)(x z z =分别由下两式确定：

2=-xy e xy ，dt t t e z

x x ⎰-=0sin ，求dx

du 。 11. 若可微函数 ),(y x f z = 满足方程 y

z x z y x '='，证明：),(y x f 在极坐标系里只是ρ的函数。

12. 在变换 22,y x v x u -== 下，求下面方程的解 0=∂+∂y

x x y 。 13. 求常数c b a ,,的值，使函数 232

),,(z cx byz axy z y x f ++= 在点)1,2,1(-处沿z 轴正方向的方向导数

有最大值64。

14. 设函数 z y x z y x f +=2),,(， (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线 ⎪⎩

⎪⎨⎧=-== 12 32t z t y t x 在该点切线方向的方向导数；

(2) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处的梯度与 (1) 中切线方向的夹角 θ 。

15. 直线L ：⎩⎨⎧=--+=++0

30z ay x b y x ，在平面π上，而π与曲面22y x z +=相切于)5,2,1(-，求b a ,之值。 16. 已知椭球面 2222a yz xy z y x =++++，)0(>a ，

（1）求椭球面上z 坐标为最大和最小的点； （2）求椭球面在xoy 面上的投影区域的边界曲线。

17. 求两球面25222=++z y x 与1)8(222=-++z y x 的公切面方程，使该公切面在x 轴和y 轴的上半

轴上的截距相等。

18. 试求椭圆124522=++y xy x 的长轴和短轴之长。

19. 当n 个正数n x x x ,,21之和为常数时，求它们的乘积开n 次方的最大值，并由此证明

)(12121n n n x x x n

x x x ++≤ 。 20．已知两平面曲线0),(=y x f ，0),(=y x g ，),(βα和),(ηξ分别为两曲线上的点，试证：如果这两

点是这两曲线上相距最近或最远的点，则 ),(),(),(),(ηξηξβαβαηβξαy x y x g g f f ''=''=--。

21．设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为

}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ，小山的高度函数为 xy y x y x h +--=2275),(。

（1）设),(00y x M 为区域D 的一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向

导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。

（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点。也就是说，要在D 的的边界线752

2=-+xy y x 上找出使（1）中的),(y x g 达到最大值的点。试确定攀岩起点的位置。

22．已知平面上两定点 A ( 1 , 3 ), B ( 4 , 2 ) ，试在椭圆 )0,0(,14

9≥≥=+y x 圆周上求一点 C ，使△ABC 面积 S △ 最大 。

23．求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者。

24．求平面上以d c b a ,,,为边的面积最大的四边形，试列出其目标函数和约束条件。

25．设 ),(y x z z =是由方程 181026 222=--++y x z yz xy 确定的隐函数。已知3)3 ,9( =z ，求

),(y x z z =在 )3 ,9( 点带Peano 型余项的二阶Taylor 公式，判断 ),( y x z z =在 )3 ,9( 点是否取得 极值。