向量与坐标
向量基本概念及坐标表示
向量基本概念及坐标表示1、向量：既有大小，又有方向的量.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、 (1)向量既有大小又有方向的量。
(2)向量的模一一有向线段的长度，|a|(3)单位向量|a o| 1, a o —|a|(4)零向量0 , |0| 0在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(5)相等的向量长度相等方向相同b // a (b 0) 存在唯一实数，使b aOA OB OC OA OB BA3.与向量 d （12,5）平行的单位向量为 （）12 A.占,5) 13 C( 12 5、十 / 12 5 C.(一，)或(，B.D ・( 12 513' 1312 513' 13 5、平面向量基本定理（向量的分解定理）e i , e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一实数对1、 2，使得a 1e i2e 2 ， e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
6向量的坐标表示i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 x ，y ，使得a x i y j ，称（x , y ）为向量a 的坐标，记作：a x ，y ，即为向量的坐标 表示。
设 a x 1， y 1， b X 2， y 2贝 y a b x 1，y 1y 1, y 2 x1y 1， X 2 y 2aX" y 1X 1, y 1若A x 1，y 1，B x 2，y 2则 AB X 2 X 1，y Y 1练习题：1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a12A. 2a bB.C. a b D .2.如图 1所示，向量OA,OB,C ）C 的终点A, B ，C 在一条直线上，且nnOAp ，mu OBq ，O C r ，则以下等式中成立的是（A. r3 312q B.r p 2qc. r尹 2qD.2p2b ）］化简成最简式为（2b ab a f图IuurACUUU 3CB ，设4. 已知向量a (2,3),b(1,2)，若ma nb 与a 2b 共线，则m等于()n11A. 1B.2C.丄 D.-2225 •已知非零向量 u 和e 2不共线，欲使te i e 2和◎ t e ?共线，则实数t 的值为 _______ •6•平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点•设AB a ， AD b ，,BJUD则MN _____________ (用a ， b 表示).7. 已知向量 a (3,1),b (1,3),c (k,7)，若(a c)//b,则k _____________ 8. 设向量a (1,2),b (2,3)，若向量 a b 与向量C (4,7)共线，则 = ______9. 两个非零向量厲，e 2不共线.ujuuur ium,「「八(1) 若 AB ee 2，BC2e 1 8e 2，CD3(©e 2)，求证：A B ，D 三点共线;(2) 求实数k ，使k e 1 e 2与2e k e ：共线.uuu10 .已知Y ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OAUUU UUU UULTUUUb 分别表示向量OC ，OD ，DC ，BC .错误!未找到引用源若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.11、设0(2是两个不共线的向量,AB 2ei ke 2 ,CB e 13e 2, CD 2e 1e 2，uuua ，OBb ，用向量a ，12.已知向量 a ( 3,2),b (2,1),c (3, 1),t R.若a tb与c共线，求实数t.。
第一章向量与坐标
y1 y2 y3 y4
z1 1 z2 1 z3 1 z4 1 0
x3 x1 y3 y1 z3 z1 0 或 x4 x1 y4 y1 z4 z1
2
x3 x4
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
① 5x 3y a ② 3x 2 y b 其中 a （ 2， 1， 2 ） ,b （ 1， 1， 2 ） .
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
1. 设 m 3 i 5 j 8 k , n 2 i 4 j 7 k , p 5 i j 4 k , 求向量 a 4 m 3 n p 在 x 轴上的投影及在 y
2×① －3×② , 得
解:
x 2 a 3 b (7 , 1,10)
代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
例3. 已知两点
及实数 1, 如图所示
在AB直线上求一点 M , 使
解: 设 M 的坐标为
A M B
AM MB AM OM OA MB OB OM
a b (a x bx , a y by , a z bz )
定理1.5.3 数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的 积。 a ( a , a , a ),
为实数 ， ( a , a , a ) a x y z
x y z
二、利用坐标作向量的线性运算
9
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
(2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
向量与坐标的转化与应用
向量与坐标的转化与应用向量是数学中的重要概念，它可以用来表示方向和大小。
在现实生活和各行各业中，向量的应用非常广泛。
向量与坐标的转化是常见的操作，也是解决向量问题的重要方法之一。
在本文中，将介绍向量与坐标的转化原理及应用。
首先，让我们来了解向量和坐标的基本概念。
向量是由大小和方向两个要素组成的量，常用有向线段表示。
向量的物理意义可以是力、速度、位移等。
而坐标则是用来描述一个点在空间中的位置的系统。
在二维空间中，常用直角坐标系表示，其中每个点的位置可以通过横纵坐标表示。
在三维空间中，常用空间直角坐标系表示，其中每个点的位置可以通过横纵高三个坐标表示。
在向量与坐标的转化中，我们常用的是将向量转化为坐标的形式，或将坐标转化为向量的形式。
现在我们以二维空间为例进行说明。
当已知一个向量的大小和方向时，我们可以将其转化为坐标的形式。
假设已知向量A的大小为a，方向与x轴的夹角为α。
以原点为起点，A的终点坐标可以表示为(Ax, Ay)。
其中Ax = a * cosα，Ay = a * sinα。
同理，在三维空间中，向量A的终点坐标可以表示为(Ax, Ay, Az)，其中Ax = a * cosα，Ay = a * sinα * cosβ，Az = a * sinα * sinβ。
通过这种方式，我们可以将向量转化为坐标的形式，方便进一步的计算与分析。
而当已知一个点的坐标时，我们可以将其转化为向量的形式。
假设给定一个点P的坐标为(Px, Py)，我们可以将P转化为向量的形式，记为P'。
向量P'的起点为原点，终点为点P，大小为P'的模长。
在二维空间中，P'的大小可以使用勾股定理计算：|P'| = √(Px^2 + Py^2)。
其方向可以通过计算与x轴的夹角α得到，其中α = arctan(Py/Px)。
同理，在三维空间中，向量P'的大小可以使用勾股定理计算：|P'| = √(Px^2 + Py^2 + Pz^2)。
数学中的向量与坐标系
数学中的向量与坐标系在数学中，向量和坐标系是两个基本概念，它们在数学的各个领域和应用中具有重要作用。
本文将介绍向量和坐标系的基本定义、性质以及它们之间的关系。
一、向量的定义和性质1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量可以表示为一个有序的元组，如(a, b, c)，也可以用字母加上箭头表示，如→AB。
2. 向量的性质（1）向量具有加法和数乘两种运算，分别表示向量的相加和缩放。
（2）向量的大小可以用模表示，记作|→AB|或者|AB|，表示向量→AB的长度。
（3）向量的方向可以用夹角表示，例如，向量→AB与向量→CD的夹角记作∠BAD。
3. 向量的表示方法（1）坐标表示法：向量可以用一组数值表示，称为坐标。
例如，一个二维向量→AB可以表示为(Ax, Ay)，表示向量在x轴和y轴上的投影。
（2）分量表示法：向量可以用一组分量表示，例如，一个三维向量→AB可以表示为(i, j, k)，其中i、j、k分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
二、坐标系的定义和类型1. 坐标系的定义坐标系是用来表示向量和点的位置的一组参照物和规则。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系等。
2. 直角坐标系（1）直角坐标系是最常用的坐标系之一，由两条相互垂直的坐标轴组成，通常用x轴和y轴表示。
任意点的位置可以由其在x轴和y轴上的坐标表示。
（2）直角坐标系中的点由一个有序的数对(x, y)表示，其中x表示点在x轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标。
3. 极坐标系（1）极坐标系是另一种常见的坐标系，用于描述平面上的点。
一个点的位置可以由其到原点的距离和与一个固定方向的夹角表示。
（2）极坐标系中，一个点的位置由一个有序的数对(r, θ)表示，其中r表示到原点的距离，θ表示与固定方向的夹角。
4. 球坐标系（1）球坐标系用于描述三维空间中的点，类似于极坐标系。
一个点的位置可以由其到原点的距离、与一个固定面的夹角和与一个固定方向的夹角表示。
向量运算与坐标运算的互化
向量运算与坐标运算的互化向量运算是数学中的一种重要概念，与之相关的有一种常见的运算方式叫做坐标运算。
向量运算和坐标运算之间存在着一种互化的关系，它们可以相互转换和应用，从而在数学和物理等领域中发挥重要的作用。
在开始了解向量运算和坐标运算的互化之前，先来了解一下它们分别代表的含义。
向量运算是指对向量进行各种数学运算的过程，如加法、减法、数量乘法、数量除法等。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，如A、B等。
向量运算主要用于描述力、速度、位移等概念。
坐标运算是指利用坐标系中的点进行数学运算的过程。
坐标系是由一组有序的数值排列而成的，通常用x、y、z代表不同的维度。
坐标运算主要用于描述位置、距离、角度等概念。
在向量运算中，可以将向量表示为一个有序的数组，如A=(a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别代表向量在x、y、z轴上的分量。
这就将向量运算转化为了坐标运算，可以通过对分量进行数学运算得到结果。
例如，向量的加法运算可以表示为：A +B = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。
而在坐标运算中，可以将坐标系表示为一个向量，如P=(x, y, z)，其中x、y、z 分别代表坐标系在x、y、z轴上的位置。
这就将坐标运算转化为了向量运算，可以通过对位置向量进行数学运算得到结果。
例如，两个点的距离可以表示为：AB = (x2-x1, y2-y1, z2-z1)。
通过以上的转换，我们可以看出向量运算和坐标运算是可以相互转换和应用的。
在不同的问题和情景下，我们可以根据具体需求选择使用向量运算或者坐标运算。
在物理学中，向量运算常常用于描述物体的运动和力的作用。
通过对速度、加速度等向量进行运算，我们可以得到物体的位移和动力学特性。
而坐标运算则常用于描述物体的位置和距离。
通过对位置向量进行运算，我们可以计算出物体之间的距离和方向。
在几何学中，向量运算是描述图形和空间关系的重要工具。
通过对线段、角度等向量进行运算，我们可以得到图形的性质和特征。
向量的坐标系和坐标变换
向量的坐标系和坐标变换向量是数学中的一个基本概念，它可以用来表示空间中的点和方向，是许多科学领域的重要工具。
在计算机图形学、物理学、机器学习等领域中，向量是不可或缺的一部分。
本文将介绍向量的坐标系和坐标变换。
一、坐标系坐标系是用来描述一个向量在空间中的位置的系统。
我们通常使用直角坐标系，它由三条相互垂直的坐标轴构成，分别标记为x 轴、y轴和z轴。
一个向量可以表示为(x, y, z)的形式，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影，z表示向量在z轴上的投影。
在直角坐标系中，每一个点都可以表示为一组坐标。
例如，(3, 4, 0)表示x轴上投影为3，y轴上投影为4，z轴上投影为0的点。
同样地，向量也可以表示为一组坐标。
二、坐标变换坐标变换是指将一个向量从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
在三维空间中，我们常用的坐标变换有平移、旋转和缩放。
1. 平移平移是指将一个向量从一个位置移动到另一个位置的过程。
在直角坐标系中，我们可以使用向量加法来进行平移运算。
例如，向量(1, 2, 3)加上向量(4, 5, 6)等于向量(5, 7, 9)，表示向量在x轴上平移了4个单位，在y轴上平移了5个单位，在z轴上平移了6个单位。
2. 旋转旋转是指将一个向量绕一个轴旋转一定角度的过程。
在直角坐标系中，我们可以使用矩阵乘法来进行旋转运算。
例如，对向量(1, 0, 0)进行绕y轴旋转90度的运算，可以表示为：cos(90) 0 sin(90)0 1 0-sin(90) 0 cos(90)乘以向量(1, 0, 0)得到向量(0, 0, 1)，表示向量绕y轴旋转90度后的结果。
3. 缩放缩放是指将一个向量的大小按照一定比例进行变换的过程。
在直角坐标系中，我们可以使用矩阵乘法来进行缩放运算。
例如，对向量(1, 2, 3)进行按照2倍缩放的运算，可以表示为：2 0 00 2 00 0 2乘以向量(1, 2, 3)得到向量(2, 4, 6)，表示向量按照2倍缩放后的结果。
向量与坐标系讲解
向量与坐标系讲解引言：在高中数学中，向量与坐标系是非常重要的概念。
向量是具有大小和方向的量，而坐标系是表示位置和方向的工具。
理解向量与坐标系的概念对于解决几何和代数问题至关重要。
本教案将详细讲解向量与坐标系的相关知识，帮助学生更好地掌握这一内容。
一、向量的定义与性质1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量。
在平面坐标系中，向量可以用有向线段表示，有起点和终点。
向量通常用小写字母加上一个箭头表示，例如a→。
2. 向量的加法与减法向量的加法与减法是将两个向量的对应分量相加或相减得到新的向量。
具体而言，设有向量a→(a₁, a₂)和b→(b₁, b₂)，则它们的和a→+b→=(a₁+b₁, a₂+b₂)，差a→-b→=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
3. 向量的数量积与向量积向量的数量积（点乘）和向量积（叉乘）是向量的重要运算。
数量积的结果是一个标量，向量积的结果是一个向量。
二、坐标系的建立与表示1. 直角坐标系直角坐标系是最常用的坐标系，它由两个垂直的坐标轴x轴和y轴组成。
在直角坐标系中，每个点都可以用一个有序数对(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，它由一个原点O和一个极轴组成。
在极坐标系中，每个点可以用一个有序数对(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与极轴的夹角。
3. 坐标系的转换在不同的坐标系之间进行转换是很有必要的。
例如，将直角坐标系中的点(x, y)转换为极坐标系中的点(r, θ)，可以使用以下公式：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)三、向量与坐标系的关系1. 向量的坐标表示在直角坐标系中，向量可以用有序数对(x, y)表示。
例如，向量a→可以表示为a→(a₁, a₂)。
2. 向量的基底表示基底是表示向量的一组特殊向量，通常用i→和j→表示。
在直角坐标系中，向量可以表示为向量基底的线性组合。
向量与坐标的运算
向量与坐标的运算在数学中，向量（vector）是表示有方向和大小的物理量，通常用箭头表示。
坐标（coordinate）是一个点在坐标系中的位置，用有序数对表示。
向量与坐标之间存在着一种运算关系，通过这种关系我们可以进行向量的加法、减法、数乘等运算，以及向量的点积、叉积等计算。
一、向量的表示和运算向量通常用字母带箭头表示，例如向量a可以表示为→a。
向量有大小和方向两个要素，其中大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
向量的运算主要包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加。
设有向量→a和→b，它们的加法运算表示为：→a + →b = →c式中，→c表示向量→a与向量→b的和向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量进行相减。
设有向量→a和→b，它们的减法运算表示为：→a - →b = →d式中，→d表示向量→a减去向量→b的差向量。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将向量与一个实数相乘。
设有向量→a和实数k，它们的数乘运算表示为：k→a = →e式中，→e表示向量→a与实数k的积向量。
二、坐标的表示和运算坐标系统是描述点位置的一种方法，常用的有直角坐标系和极坐标系。
在直角坐标系中，我们用有序数对(x, y)表示点在平面上的位置。
1. 坐标的加法坐标的加法是指将两个坐标进行相加。
设有点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)，它们的加法运算表示为：A +B = C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)式中，C(x, y)表示点A和点B坐标相加得到的新点C的坐标。
2. 坐标的减法坐标的减法是指将两个坐标进行相减。
设有点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)，它们的减法运算表示为：A -B = D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)式中，D(x, y)表示点A减去点B得到的新点D的坐标。
3. 坐标的数乘坐标的数乘是指将坐标的每个分量与一个实数相乘。
向量及其坐标表示法
3 2 a y a cos 6 4 , 3 2 az a cos 6 4. 3
例6 已知作用于一质点的三 个力为F1 i 2k , F2 2i 3 j 4k , F3 j k , 求其合力F的大小及方向角。
单位向量：模为1的向量.
0
0 2
1
不考虑起点位置的向量.即只考虑向量 自由向量： 的大小和方向，而不论它的起点在何处. 相等向量： 大小相等且方向相同的向量.
a
:
： b
负向量： 大小相等但方向相反的向量. a
: a
a:
向量的加减法
[1] 加法： a b c
{a x bx , a y by , a z bz }; a ( a x )i ( a y ) j ( a z )k
a x , a y , az .
例3 已知a {3,5,1}, b {2,2,2}, c {4,1,3} 求(1)a b ( 2)2a 3b 2c
2 2
2
y
cos
az a x a cos 2 cos 2 cos 2 1
特殊地：单位向量可表示为
0 a a |a |
{cos , cos , cos }.
例4 已知M 1 1,2,3, M 2 4,2,1，求 M 1 M 2的模 及方向余弦。
a AB OB OA
3. 向量运算的坐标表达式 设 a {a x , a y , az }, b {bx , b y , bz },
则 a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k
空间坐标系与向量的表示
空间坐标系与向量的表示在数学和物理学中，空间坐标系和向量是两个重要的概念。
空间坐标系是为了描述物体在空间中的位置而建立的一种坐标系统，而向量则是用来表示空间中的大小和方向的量。
本文将介绍空间坐标系和向量的表示方法。
一、空间坐标系空间中常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
直角坐标系是一种以直角为基础的坐标系，其中的三个坐标轴分别与空间中的三个方向相垂直。
我们通常用x、y和z分别表示直角坐标系的三个坐标轴。
在直角坐标系中，每个点的位置可以用一个有序的数对 (x, y, z) 来表示，其中x表示点在x轴上的投影长度，y表示点在y轴上的投影长度，z表示点在z轴上的投影长度。
另一种常用的空间坐标系是极坐标系。
极坐标系通常用于描述平面上的点，但也可以扩展到三维空间中。
在极坐标系中，点的位置由极径和极角确定。
将极径表示为r，极角表示为θ，那么可以用一个有序的数对(r, θ, z) 来表示空间中的点的位置。
二、向量的表示向量是空间中的一种几何量，它既有大小又有方向。
在空间中，向量通常用有序的组数来表示。
假设空间中有一个向量A，它的大小为|A|，方向为从点P指向点Q。
那么向量A可以表示为⃗PQ。
向量的表示方法有多种，常见的有分量表示法和坐标表示法。
1. 分量表示法分量表示法是将向量A在各个坐标轴上的投影长度表示为有序的数对 (Ax, Ay, Az)。
其中Ax表示向量在x轴上的投影长度，Ay表示向量在y轴上的投影长度，Az表示向量在z轴上的投影长度。
例如，向量A在直角坐标系中的分量表示为 (Ax, Ay, Az)。
2. 坐标表示法对于直角坐标系来说，向量A的坐标表示与分量表示是相同的。
即向量A的坐标表示为 (Ax, Ay, Az)。
而对于极坐标系来说，向量A的坐标表示为 (r, θ, z)。
其中r表示向量的大小，θ表示向量与正x轴的夹角，z表示向量在z轴上的投影长度。
三、总结本文介绍了空间坐标系和向量的表示方法。
空间坐标系包括直角坐标系和极坐标系，用来描述物体在空间中的位置。
向量的坐标与坐标变换
向量的坐标与坐标变换一、概述在数学中，向量是一种有方向和大小的量。
在三维空间中，向量通常由三个有序实数（或复数）组成，称为向量的坐标。
这些坐标可以用来表示一个点到另一个点的位移，并且可以通过坐标变换来实现向量在不同坐标系下的表示与计算。
二、向量的坐标向量的坐标是描述向量在某个坐标系下的位置的数值。
在三维空间中，通常使用笛卡尔坐标系（也称为直角坐标系）来描述向量的位置。
笛卡尔坐标系由三个互相垂直的轴构成，通常表示为x轴、y轴和z轴。
一个向量的坐标通常表示为(x, y, z)，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影，z表示向量在z轴上的投影。
这些坐标用实数表示，可以是正数、负数或零。
三、坐标变换坐标变换是将向量从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。
在三维空间中，常见的坐标变换包括平移、旋转和缩放。
1. 平移平移是将向量沿着某个方向上的位移，在三维空间中，一个向量平移了(dx, dy, dz)后的位置可以表示为(x+dx, y+dy, z+dz)。
2. 旋转旋转是将向量绕某个轴旋转一定角度，旋转后的向量的坐标会发生改变。
在三维空间中，常用的旋转方式有绕x轴旋转、绕y轴旋转和绕z轴旋转。
旋转后的向量的坐标可以通过旋转矩阵的乘法运算得到。
3. 缩放缩放是改变向量的大小，使向量的每个分量乘以一个比例因子。
在三维空间中，一个向量经缩放后的坐标可以表示为(sx*x, sy*y, sz*z)，其中sx、sy和sz分别为缩放因子。
四、向量的应用向量在数学和物理中有广泛的应用。
在几何学中，向量可以用来描述几何图形的位置、位移和方向。
在物理学中，向量可以用来描述物体的速度、加速度和力。
在计算机图形学中，向量可以用来描述三维模型的位置、旋转和缩放。
除了基本的向量运算（如向量的加法、减法和数量乘法），坐标变换是处理向量的重要工具之一。
通过坐标变换，可以将向量从一个坐标系转换到另一个坐标系，使得向量在不同坐标系下的表示与计算变得更加方便和灵活。
解析几何第一章向量与坐标
第一章向量与坐标本章教学要求：1.正确理解向量的有关概念，并掌握向量的线性运算及其运算规律。
2.弄清标架与坐标系的联系和区别3.理解向量乘法运算的定义，掌握他们的运算规律和熟悉它们的几何性质4.能熟练地进行向量的各种运算，并能利用向量或坐标来解决一些集合问题§1.1 向量的概念一、相关定义1.向量（矢量）：既有大小又有方向的量。
简称矢例如：位移，力，速度，加速度反例：（数量）温度，时间，质量，密度，功，长度，面积，体积2.表示：①：有向线段表示，始点～始点终点～终点方向～向量的方向长度～向量的大小（向量的模）例如：AB A为始点B为终点 A B②：小写字母a b c a③：黑体字母a b c a 模长a3.两种特殊的向量：①零向量0：模长等于0的向量方向：不确定非零向量：不是零向量的向量②单位向量：模等于1的向量向量a的单位向量：与向量a具有同一方向的单位向量记作：a04.向量间的几种特殊关系①、平行（共线）：向量a平行于向量b，意即a所在直线平行于b所在直线，记作a∥b，规定：零向量平行于任何向量.②、相等：向量a等于向量b，意即a与b同向且模相等，记作a=b.注意：两向量相等与否仅取决于他们的模与方向，而与其位置无关，这种与位置无关的向量称为自由向量，我们以后提到的向量都是自由向量。
③、互为相反向量：两个模相等，方向相反的向量。
a的相反向量记作-a AB的相反向量-BA④、向量共线：平行于同一直线的一组向量特殊情况：零向量与任何共线的向量组共线⑤、共面向量：平行于同一平面的一组向量特殊情况：零向量与任何共面的向量组共面5例题讲解（1）下列情形中向量的终点各构成什么图形①把空间中一切单位向量归结到共同的始点《球》②把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点《单位圆》 ③把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点《直线》④把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的始点《两个点》（2）（2）设△ABC 和△C B A '''分别是三棱台ABC-C B A '''的上下底面，试在向量AB ,BC ,CA ,B A '',C B '',A C '',A A ',B B ',C C '中找出共线向量和共面向量。
向量坐标知识点总结
解析几何复习知识点总结第一章向量与坐标第一节向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。
向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。
规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.模为1的向量称为单位向量。
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。
记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。
长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。
1共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=a x+b y3空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=x a+y b+z c。
任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
1.2 向量的加法三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，向量的加法结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向量减法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
（平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
）坐标系解向量加减法：在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,A(X1,Y1) B(X2,Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2）简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。
类似于物理的正交分解。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
向量的表示和坐标
向量的表示和坐标在数学中，向量是一个重要的概念。
它没有固定的位置，只有大小和方向。
向量的表示和坐标是研究向量的基本方法，也是解决向量相关问题的关键。
一、向量的表示向量可以用有向线段表示。
有向线段有一个起点和一个终点，起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。
向量的长度与有向线段的长度相等，向量的方向与有向线段的方向相同。
向量在图像上通常表示为箭头或点，箭头表示向量的方向，点表示向量的位置。
如果两个向量的大小和方向相同，则认为它们是相等的。
二、向量的坐标向量的坐标是一个有序数对，表示向量起点和终点在坐标系中的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是平面上常用的坐标系。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，通常用x和y表示。
任何一个点都可以用有序数对(x,y)表示，在坐标系中表示为一个点。
向量的坐标也可以用有序数对表示。
向量的起点固定在原点，终点可以在坐标系中的任意位置。
如果向量AB的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，则向量AB的坐标表示为(x2-x1,y2-y1)。
向量的长度可以用勾股定理来计算：|AB| = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。
2. 极坐标系极坐标系是二维坐标系的另一种表示方法。
它用极径和极角来表示点的位置。
极径是点离原点的距离，通常用r表示。
极角是从x轴到点所在直线的夹角，通常用θ表示。
向量的坐标也可以用极坐标系表示。
向量的起点固定在原点，终点可以在任意位置。
向量的坐标可以由向量的长度和方向来表示，向量长度为r，方向为θ。
如图所示，向量的坐标表示为(r,θ)。
三、向量的运算向量的坐标表示方便进行向量的运算。
向量的加、减、数乘和点积都可以用向量的坐标表示方法来计算。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的坐标相加得到一个新的向量。
如果向量A的坐标为(x1,y1)，向量B的坐标为(x2,y2)，则向量A+B的坐标为(x1+x2,y1+y2)。
空间直角坐标系与向量
空间直角坐标系与向量在数学中，空间直角坐标系与向量是两个重要的概念。
空间直角坐标系是一个三维坐标系，用于表示三维空间中的点，而向量则是空间中的量，具有大小和方向。
一、空间直角坐标系空间直角坐标系由三个相互垂直的坐标轴构成，通常分别用x、y 和z表示。
x轴和y轴在平面上垂直，z轴垂直于二维平面，形成一个直角坐标系。
通过坐标轴上的刻度，我们可以确定空间中任意一点的位置。
在空间直角坐标系中，每一个点都可以用一个三元组(x, y, z)表示，其中x、y和z分别表示与x轴、y轴和z轴的距离。
这样，每一个点都有唯一的坐标表示。
空间直角坐标系具有以下特点：1. 三个坐标轴相互垂直，形成直角；2. 坐标轴上的刻度是相等的，表示长度单位；3. 任意一点在空间中都有唯一的坐标表示。
二、向量向量是空间中的量，具有大小和方向。
在空间直角坐标系中，向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量通常用字母加上一个箭头表示，比如AB。
这表示从点A指向点B的有向线段。
向量还可以用坐标表示，比如向量AB可以表示为(ABx, ABy, ABz)，其中ABx、ABy和ABz分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
向量的加法和减法可以通过各个分量的加法和减法来进行，比如向量AB加上向量CD可以表示为(ABx + CDx, ABy + CDy, ABz + CDz)。
向量还有一些重要的性质，比如向量的模、向量的单位向量、向量的点积和叉积等，这些性质在解决空间几何问题中非常有用。
三、空间直角坐标系与向量的应用空间直角坐标系和向量在数学和物理中有广泛的应用。
在几何中，我们可以通过空间直角坐标系来描述和计算点、线、面的性质，比如两点之间的距离、直线的方程和平面的方程等。
在物理中，空间直角坐标系和向量也被广泛应用于描述物体的运动、受力和力的合成等问题。
通过向量的运算，我们可以求解物体的加速度、速度和位移等物理量。
此外，空间直角坐标系和向量还在计算机图形学、工程和导航等领域有着重要的应用。
向量与坐标知识点
向量与坐标知识点一、向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，常用于表示物理量（如力、速度等）。
向量一般用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
1.1 向量的定义向量的定义是一个标量（向量的大小）与一个方向的组合。
向量通常用大写字母表示，如A、B等。
1.2 向量的性质- 向量相等：当且仅当它们的大小和方向完全相同时，两个向量才相等。
- 零向量：大小为0的向量，表示没有方向。
零向量通常用0或O表示。
- 相反向量：大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量。
- 平行向量：方向相同或相反的向量称为平行向量。
- 单位向量：大小为1的向量称为单位向量。
1.3 向量的表示方法向量的表示方法有多种，常见的有：- 数字表示法：使用坐标表示向量的分量，如A(2,3)表示向量A的坐标为(2,3)。
- 点表示法：以线段的终点表示向量的方向和大小。
- 三角形法：以线段的起点表示向量的起点，线段的终点表示向量的终点和方向。
二、向量的运算向量有多种运算，包括向量的加法、减法、数乘运算等。
2.1 向量的加法向量的加法满足以下规则：- 向量的加法满足交换律，即A + B = B + A。
- 向量的加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
- 零向量是加法的单位元，即A + O = A，其中O表示零向量。
2.2 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘运算来实现。
假设向量B是向量A的相反向量，则A - B = A + (-B)。
2.3 数乘运算向量的数乘运算是将向量的每个分量乘以一个常数。
常见的数乘运算有：- 数乘的交换律：k(A + B) = kA + kB，其中k为常数。
- 数乘的结合律：(k1k2)A = k1(k2A)，其中k1、k2为常数。
三、坐标系与坐标变换坐标系是用于表示向量的框架，常见的坐标系包括直角坐标系和极坐标系。
3.1 直角坐标系直角坐标系是由两个互相垂直的坐标轴组成，通常用x轴和y 轴表示。
空间几何中的向量与坐标
空间几何中的向量与坐标在空间几何中，向量和坐标是两个重要的概念，它们在描述和解析空间中的物理量和几何关系时起着关键作用。
本文将介绍向量和坐标的定义、性质以及它们在几何中的应用。
一、向量的定义和性质向量是空间中的一个有大小和方向的量，可以用箭头来表示。
向量的大小用模表示，方向用箭头的指向表示。
在几何中，向量有两种表示方式：代数表示和几何表示。
代数表示就是使用坐标来表示向量，而几何表示则是使用箭头来表示。
向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，向量的减法是用一个向量减去另一个向量得到一个新的向量，数量乘法是将一个标量与向量的每个分量相乘得到一个新的向量。
向量的性质包括共线性、相等性和平行性。
如果两个向量的方向相同或者相反，它们就是共线的；如果两个向量的大小和方向都相等，它们就是相等的；如果两个向量的方向相同或者相反，但大小不一定相等，它们就是平行的。
二、坐标的定义和性质在空间中，我们可以引入坐标系来描述点的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
在直角坐标系中，我们用三个坐标轴x、y和z来描述一个点的位置。
坐标是用有序数组表示的，通常用(x, y, z)来表示一个点在直角坐标系中的位置。
x、y和z分别表示点在x轴、y轴和z轴上的投影。
坐标之间的运算包括点的平移、旋转和缩放。
点的平移是将点沿着某个向量移动一定的距离，点的旋转是将点绕着某条轴旋转一定的角度，点的缩放是将点沿着某个方向进行放大或缩小。
坐标的性质包括唯一性和有序性。
每个点在直角坐标系中有唯一的坐标表示，坐标中的每个分量有一定的顺序。
三、向量与坐标在空间几何中的应用向量和坐标在空间几何中有着广泛的应用。
它们可以用来表示点的位置、直线的方向、平面的法向量以及物体的运动等。
在点的位置表示中，我们可以使用向量来表示两个点之间的位移或者一个点相对于坐标系原点的位置。
向量的加法可以用来得到两个点之间的位移向量，向量的减法可以用来得到一个点相对于坐标系原点的位置向量。
向量及向量的坐标表示
a
B
O
y
x
设
a a xi a y j azk ,
b bxi by j bzk ,
则
a b (a x bx )i (a y by ) j (az bz )k ,
α (αx )i (a y ) j (az )k ,
( 为数量).
3 , - 2 , 3 ,
所以，可得
F 3 2 ( -2) 2 3 2 22 4.7,
cosa 3 22 , cos b -2 22 , cos 3 22 .
查表可得
a 5014 ，
b 11514,
5014,
合力的 因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位， 三个方向角为
或 a b
(a x bx , a y by , az bz ),
a a x , a y , az .
例2 解
已知 a = { 2 , - 1 , - 3 }， b = { 2 , 1 , - 4 } ， a + b 2 2 , - 1 1 , - 3 ( -4) a - b 2 - 2 , - 1 - 1 , - ， 终点为 P(x, y, z). 过 a 的终点 P(x, y, z)作三个平面分别垂直于三条坐 标轴， 设垂足依次为 A， B ，C， 则点 A 在 x 轴上 的坐标为 x ，根据向量与数的乘法运算得向量
OA x i , 同理 OB yj , OC zk .
例 1 已知 a AB 是以 A( x1, y1, z1 )为起点， B(x2, y2 , z2)为终点的向量，求向量 a 的坐标表达 式.
解 a AB OB - OA
第一章向量与坐标
§1.5 标架与坐标
1. 在空间直角坐标系{O; i , j, k }下，求 P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标.
取 E，F，G 分别为 AB，BC，CA 之中点，则有 PE ＝ 1 ( PA + PB ).从而 2
同理可证 BP ＝2 PG , AP ＝2 PF .故 P 为△ABC 的重心.
CP ＝2 PE .
4. 证明三个向量 a ＝－ e1 +3 e2 +2 e3 , b ＝4 e1 －6 e2 +2 e3 ，c ＝－3 e1 +12 e2 ＋11 e3 共面，其中 a 能否用 b , c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.
KL 1 AC. KL 与 AC 方向相同；在ΔDAC 中，NM 1 AC.
2
2
NM 与 AC 方向相同，从而 KL＝NM 且 KL 与 NM 方向相同，
所以 KL ＝ NM .
4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面体，在下 列各对向量中，找出相等的向量和互为相反向量的向量：
(1) AB 、 CD ; (2) AE 、 CG ;(3) AC 、 EG ; (4) AD 、 GF ; (5) BE 、 CH . [解]：相等的向量对是（2）、（3）和（5）；
OA1 ＋ OA3 ＝λ OA2 , OA2 ＋ OA4 ＝λ OA3 , ……
OAn−1 + OA1 ＝λ OAn , OAn ＋ OA2 ＝λ OA1 , 所以 2( OA1 + OA2 +…+ OAn )＝λ( OA1 + OA2 +… + OAn ), 所以 (λ－2)( OA1 + OA2 +…+ OAn )＝ 0 . 显然 λ≠2, 即 λ－2≠0. 所以 OA1 + OA2 +…+ OAn ＝ 0 .
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第一章向量与坐标&1.1向量的概念&1.2向量的加法&1.3数量乘向量&1.4向量的线性关系与向量的分解&1.5标架与坐标&1.6向量在轴上的射影&1.7两向量的数量积&1.8两向量的向量积&1.9三向量的混合积&1.10三向量的双重向量积第一章向量与坐标&1.1向量的概念定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢。
向量的大小叫做向量的模，也称向量的长度。
向量AB与a的模分别记作︱A B︳与︱a︳模等于1的向量叫做单位向量，与向量a具有同一方向的单位向量叫做向量a单位向量常用a0来表示模等于0的向量叫做零向量记作0，它的起点与终点重合的向量，零向量的方向不定，不是零向量的响量叫做非零向量定义1.1.2如果两个向量的模相等且方向相同，那么就叫相等向量，所有零向量都相等，向量a与b相等，记作a＝b始点可以任意选取，而模和方向决定的向量，这样的向量通常叫做自由向量*必须注意，由于向量不仅有大小，而且有方向，因此，模相等的向量不一定相等，因此他们的方向可能不同定义1.1.3两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量，向量a的反向量记作-a定.义1.14平行于同一直线的一组向量叫做共线向量，零向量与任何共线的向量组共线定义1.1.5平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面&1.2向量的加法定义1.2.1设已知向量a,b，以空间任意一点O为始点接连作向量OA＝a,AB＝b得一折线OAB，从折线的端点O到另一端点B的向量OB＝c，叫做两向量a与b的和，记作c＝a+b,求两向量a与b的和a+b的运算叫做向量加法定理1.2.1如果以两个向量OA，OB为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量OC=OA+OB，这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2向量的加法满足下面的运算规律1》交换律 a+b=b+a2》结合律（a+b）+c=a+（b+c）3》a+0=a4》a+（-a）=0自任意点O开始，依次引OA1=a1,A1A2=a2,…A n-1A n+1=a n,由此得一折线OA1A2A n，于是向量OA n=a就是n个向量a1a2…a n,的和：a=a1+a2+…+a n即OA n=OA1+A1A2+…+A n-1A n特别地当A n与O重合时它们的和为零向量0，这种求和方法叫做多边形法则定义1.2.2当向量b与向量c的和等于向量a，即b+c=a时，我们把向量c叫做向量a与b的差，并记作c=a-b,有两向量a与b求它们的差a-b的运算叫做向量减法&1.3数量乘向量定义1.3.1实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa,它的模是|λa|=|λ||a|λa的方向，当λ＞0时与a相同，当λ＜0时与a相反。
我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘已知向量a和它的单位向量a0,下面的等式显然成立a=|a|a0或a0=a／|a|由此可知，一个非零向量乘以它的模的倒数，结果是一个与它同方向的单位向量定理1.3.1数量与向量的乘法满足下面的运算定律1》 1·a=a;2》 结合律λ（μ）=（λμ）a3》 第一分配律（λ+μ）a=λa+μa4》 第二分配律λ（a+b）=λa+λb这里a,b为向量，λ，μ为任意实数&1.4向量的线性关系与向量的分解定义1.4.1由向量a1a2…a n与实数λ1λ2…λn所组成的向量a=λ1a1+λ2a2+…+λn a n叫做向量a1a2…a3的线性组合像λa只有一个向量与实数结合的情况，也称它为向量a的线性组合定理1.4.1如果向量e≠0，那么向量r与向量e共线的充要条件是r可以用向量e线性表示，或者说r是e的线性组合即r=xe并且系数x被e,r唯一确定定理1.4.2如果向量e1e2不共线，那么向量r与e1e2共线的充要条件是可以用e1e2线性表示或者说向量r可以分解成e1e2的线性组合即 r=xe1+ye2并且系数x,y被e1，e2，r唯一确定这是e1，e2叫做平面向量的基底定理1.4.3如果向量e1 e2 e3不共面，那么空间任意向量r可以由向量e1 e2 e3线性表示，或者说空间任意向量r可以分解成向量e1 e2 e3的线性组合，即r=xe1+ye2+ze3并且其中系数x，y，z被e1 e2 e3唯一确定这时e1 e2 e3叫做空间向量的基底定义1.4.2对于n（n≥1）个向量a1a2…a n如果存在不全为零的n个数λ1λ2…λn使得λ1a1+λ2a2λ+…+λn a=0那么n个向量a1a2…a n叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关向量a1a2…a n叫做线性无关就是指：只有当λ1=λ2=…=λn=0时λ1a1+λ2a2λ+…+λn a=0才成立定理1.4.4在n≥2时，向量a1a2…a n线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合………………定理1.4.5如果一组向量中得一部分向量线性相关，那么这一组向量就线性相关定理1.4.6两向量共线的充要条件是它们线性相关定理1.4.7三向量共面的充要条件是它们线性相关空间任何四个向量总是线性相关&1.5标架与坐标定义1.5.1空间中的一个定点O，连同三个不共面的有序向量e1，e2，e3的全体，叫做空间中的一个标架，记做{O，e1，e2， e3}，如果e1，e2，e3都是单位向量，那么{O；e1，e2，e3}叫做笛卡尔标架e1，e2，e3亮亮互相垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架；在一般的情况下，{O；e1，e2，e3}叫做仿射标架￥对于标架{O;e1，e2，e3}，如果e1，e2，e3间的互相关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这标架就叫做右旋标架或称右手标架。
如果e1，e2，e3和左手的拇指、食指、中指相同那么这个标架叫做左旋标架或称左手标架定义1.5.2r=xe1+ye2+ze3式中的x，y，z，叫做向量r关于标架{O;e1，e2，e3}的坐标或称为分量，记做r{x，y，z}或{x，y，z}定义1.5.3对于取定了标架{O；e1，e2，e3}的空间中任意点P，向量OP叫做点P的向径，或称点P的位置向量，向径OP关于标架{O；e1，e2，e3}的坐标x，y，z叫做点P关于标架{O；e1，e2，e3}的坐标，记做P（x，y，z）或（x，y，z）当空间取定标架{O;e1，e2，e3}之后，空间全体向量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x，y，z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间向量或点的一个坐标系，这时，向量或点关于标架{O;e1，e2，e3}的坐标，也称为该向量或点关于由着标架所确定的坐标系的坐标由于空间坐标系由标架{O；e1，e2，e3}完全决定，因此空间坐标系也常用标架{O；e1，e2，e3}来决定，这时点O叫做坐标原点；向量e1，e2，e3都叫做坐标向量。
￥由右旋标架决定的坐标系叫做右旋坐标系或称右手坐标系，由左旋标架决定的坐标系叫做左旋坐标系或称左手坐标系；仿射标架、笛卡儿标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡儿坐标系与直角坐标系坐标 ⅠⅡⅢ Ⅳ ⅤⅥⅦⅧ卦限X + - - ++--+Y + +- -++--Z + ++ +----定理1.5.1向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标定理1.5.2两向量和的坐标等于两向量对应的坐标和定理1.5.3数乘向量的坐标等于这个数与向量的对应坐标的积定理1.5.4两个非零向量a{X1,Y`1,Z1},b{X2,Y2,Z2}共线的充要条件是对应成比例,即X 1／X 2=Y1／Y2 =Z1／Z2定理1.5.5三个非零向量a{X1,Y1,Z1}b{X2,Y2,Z2}和c{X3,Y3,Z3}共面的充要条件是︱X1 Y1 Z1︱︱X2 Y2 Z2︱︱X3 Y3 Z3︱定理1.5.6设有向线段向量P1P2的始点为P1（x1，y1，z1）终点为P2（x2,y2,z2）,那么分有向线段P1P2成定比λ（λ≠1）的分点P的坐标是x=x1+λx2／1+λ&1.6向量在轴上的射影定义1.6.1设向量AB的始点A和终点B在轴l上的射影分别为点A’B’，那么向量A’B’叫做向量AB在轴l上的射影向量，记作射影向量t AB定理1.6.1向量AB在轴l上的射影等于响亮的模乘以轴与该向量的夹角的余弦；射影t AB=︱AB︱cosθ，θ=∠（l，AB）定理1.6.2对于向量a，b有射影t（a+b）=射影t a+射影t b定理1.6.3对于任何向量a与任意实数λ有射影t （λa）=λ射影t a&1.7两向量的数量积定义1.7.1两向量a和b的模和它们夹角的余弦的乘积叫作向量a和b的数量积（也称内积）,记作a·b或ab,即a·b=︱a︱︱b︱cos∠（a,b）两向量的数量积是一个数量而不是向量,特别地当两向量中有一个为零时,例如b=0,那么︱b︱=0,从而有a·b=0当a,b为两非零向量时,可得a·b=︱a︱射影a b=︱b︱射影b a特别地,当b为单位向量e时,有a·e=射影e a·如果·a·b=︱a︱︱b︱cos∠（a,b）中友b=a那么有a·a=︱a︱2我们把数量积a·a叫做a的数量平方，并记作a2定理1.7.1两向量a与b互相垂直的充要条件是a·b=0定理1.7.2向量的数量积满足下面的运算规律1）交换律 a·b=b·a2）关于数因子的结合律 （λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）3）分配律 （a+b）·c=a·c+b·c4）a·a=a2＞0（a≠0）定理1.7.3设a=X1i+Y1j+Z1k,b=X2i+Y2j+Z2k那么a·b=X1X2+Y1Y2+Z1Z2定理1.7.4设a=Xi+Yj+Zk,那么︱a︱=根号下a方=根号下X2+Y2+Z2定义1.7.6非零向量a=Xi+Yj+Zk的方向余弦是Cosα=X／︱a︱=X／根号下X2+Y2+Z2cosβ=Y／︱a︱=Y／根号下X2+Y2+Z2／cosγ=Z／︱a︱=Z／根号下X2+Y2+Z2且 cosα2+cosβ2+cosγ2=1定理1.7.7设空间中两个非零向量为a{X,Y,Z}和b{X,Y,Z},那么它们夹角的余弦是；cos∠（a，b）=a·b／︱a︱︱b︱=X1X2+Y1Y2+Z12Z／（根号下X12Y12Z12·G根号下X22Y22Z22）&1.8两向量的向量积定义1.8.1两向量a与b的向量积（也称外积）是一个向量，记作a×b 或［ab］，它的模是 ︱a×b︱=︱a︱︱b︱sin∠（a，b）它的方向与a和b都垂直，并且按a，b，a×b这个顺序构成右手标架{O；a，b，a×b}定理1.8.1两不共线向量a与b的向量积的模，等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积定理1.8.2两向量a与b共线的充要条件是a×b=0定理1.8.3向量积是反交换的，即a×b=-b×a定理1.8.4向量积满足关于数因子的结合律，即λ（a×b）=（λa）×b=a×（λb）定理1.8.5向量积满足分配律，即（a+b）×c=a×c+b×c例1证明（a-b）×（a+b）=2（a×b）,并说明它的几何意义证; （a-b）×（a+b）=a×a-b×a+a×b-b×b=0-b×a+a×b-0=a×b+a×b=2（a×b）它的几何意义是：平行四边形面积的两倍等于以它的对角线为边的平行四边形面积定理1.8.6如果a=X1i+Y1j+Z1k，b=X2i+Y2j+Z Z k那么a×b=︱Y1 Z1︱i+︱Z1 X1︱j+︱X1 Y1︱k︱Y2 Z2︱ ︱Z2 X2︱ ︱X2 Y2︱&1.9三向量的混合积定义1.9.1给定空间的三个向量a，b，c，如果先做前两个向量a与b的向量积再作所的向量与第三个向量c的数量积，最后得到的这个数叫做三向量a，b，c，的混合积，记作（a×b）·c或（a，b，c）或（abc）定理1.9.1三不共面向量a，b，c的混合积的绝对值等于以a，b，c，为棱的平行六面体的体积V，并且当a，b，c，构成右手系是混合积是整数，当a，b，c，构成左手系的时候，混合积是负数，也就是有（abc）=εV当a，b，c，是右手系时ε=1，a，b，c，是左手系时ε=-1定理1.9.2三向量a，b，c共面的充要条件是（abc）=0定理1.9.3轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要癌变乘积符号，即（abc）=（bca）=（cab）=-（bac）=-（cba）=-（acb）定理1.9.4如果a=X1i+Y1j+Z1k，b=X2i+Y2j+Z2k，c=X3i+Y3j+Z3k那么︱X1 Y1 Z1︱（abc）=︱X2 Y2 Z2︱︱X3 Y3 Z3︱&1.10三向量的双重向量积定义1.10.1 给定空间三向量，先作其中两个向量的向量积，再作所的向量与第三个向量的向量积，那么最后的结果仍然是一向量，叫做所给三向量的双重向量积定理1.10.1（a×b）×c=（a·c）b-（b·c）a。