向量与坐标

第一章向量与坐标

&1.1向量的概念

&1.2向量的加法

&1.3数量乘向量

&1.4向量的线性关系与向量的分解

&1.5标架与坐标

&1.6向量在轴上的射影

&1.7两向量的数量积

&1.8两向量的向量积

&1.9三向量的混合积

&1.10三向量的双重向量积

第一章向量与坐标

&1.1向量的概念

定义1.1.1既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢。

向量的大小叫做向量的模，也称向量的长度。向量AB与a的模分别记作︱A B︳与︱a︳

模等于1的向量叫做单位向量，与向量a具有同一方向的单位向量叫做向量a单位向量常用a0来表示

模等于0的向量叫做零向量记作0，它的起点与终点重合的向量，零向量的方向不定，不是零向量的响量叫做非零向量

定义1.1.2如果两个向量的模相等且方向相同，那么就叫相等向量，所有零向量都相等，向量a与b相等，记作a＝b

始点可以任意选取，而模和方向决定的向量，这样的向量通常叫做自由向量

*必须注意，由于向量不仅有大小，而且有方向，因此，模相等的向量不一定相等，因此他们的方向可能不同

定义1.1.3两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量，向量a的反向量记作-a

定.义1.14平行于同一直线的一组向量叫做共线向量，零向量与任何共线的向量组共线

定义1.1.5平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面

&1.2向量的加法

定义1.2.1设已知向量a,b，以空间任意一点O为始点接连作向量OA＝a,AB＝b得一折线OAB，从折线的端点O到另一端点B的向量OB＝c，叫

做两向量a与b的和，记作c＝a+b,求两向量a与b的和a+b的运算叫做向量加法

定理1.2.1如果以两个向量OA，OB为邻边组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量OC=OA+OB，这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则

定理1.2.2向量的加法满足下面的运算规律

1》交换律 a+b=b+a

2》结合律（a+b）+c=a+（b+c）

3》a+0=a

4》a+（-a）=0

自任意点O开始，依次引OA1=a1,A1A2=a2,…A n-1A n+1=a n,由此得一折线OA1A2A n，于是向量OA n=a就是n个向量a1a2…a n,的和：

a=a1+a2+…+a n

即OA n=OA1+A1A2+…+A n-1A n

特别地当A n与O重合时它们的和为零向量0，这种求和方法叫做多边形法则

定义1.2.2当向量b与向量c的和等于向量a，即b+c=a时，我们把向量c叫做向量a与b的差，并记作c=a-b,有两向量a与b求它们的差a-b的运算叫做向量减法

&1.3数量乘向量

定义1.3.1实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa,它的模是|λa|=|λ||a|λa的方向，当λ＞0时与a相同，当λ＜0时与a相反。我们把这种运算叫做数量与向量的乘法，简称为数乘

已知向量a和它的单位向量a0,下面的等式显然成立

a=|a|a0或a0=a／|a|

由此可知，一个非零向量乘以它的模的倒数，结果是一个与它同方向的单位向量

定理1.3.1数量与向量的乘法满足下面的运算定律

1》 1·a=a;

2》 结合律λ（μ）=（λμ）a

3》 第一分配律（λ+μ）a=λa+μa

4》 第二分配律λ（a+b）=λa+λb

这里a,b为向量，λ，μ为任意实数

&1.4向量的线性关系与向量的分解

定义1.4.1由向量a1a2…a n与实数λ1λ2…λn所组成的向量

a=λ1a1+λ2a2+…+λn a n

叫做向量a1a2…a3的线性组合

像λa只有一个向量与实数结合的情况，也称它为向量a的线性组合定理1.4.1如果向量e≠0，那么向量r与向量e共线的充要条件是r可以用向量e线性表示，或者说r是e的线性组合即

r=xe

并且系数x被e,r唯一确定

定理1.4.2如果向量e1e2不共线，那么向量r与e1e2共线的充要条件是可以用e1e2线性表示或者说向量r可以分解成e1e2的线性组合

即 r=xe1+ye2

并且系数x,y被e1，e2，r唯一确定

这是e1，e2叫做平面向量的基底

定理1.4.3如果向量e1 e2 e3不共面，那么空间任意向量r可以由向量e1 e2 e3线性表示，或者说空间任意向量r可以分解成向量e1 e2 e3的线性组合，即r=xe1+ye2+ze3

并且其中系数x，y，z被e1 e2 e3唯一确定

这时e1 e2 e3叫做空间向量的基底

定义1.4.2对于n（n≥1）个向量a1a2…a n如果存在不全为零的n个数λ1λ2…λn使得

λ1a1+λ2a2λ+…+λn a=0

那么n个向量a1a2…a n叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关

向量a1a2…a n叫做线性无关就是指：只有当λ1=λ2=…=λn=0时

λ1a1+λ2a2λ+…+λn a=0才成立

定理1.4.4在n≥2时，向量a1a2…a n线性相关的充要条件是其中有一

个向量是其余向量的线性组合………………

定理1.4.5如果一组向量中得一部分向量线性相关，那么这一组向量

就线性相关

定理1.4.6两向量共线的充要条件是它们线性相关

定理1.4.7三向量共面的充要条件是它们线性相关空间任何四个向量总是线性相关

&1.5标架与坐标

定义1.5.1空间中的一个定点O，连同三个不共面的有序向量

e1，e2，e3的全体，叫做空间中的一个标架，记做{O，e1，e2， e3}，如果e1，e2，e3都是单位向量，那么{O；e1，e2，e3}叫做笛卡尔标架e1，e2，e3亮亮互相垂直的笛卡尔标架叫做笛卡尔直角标架；简称直角标架；在一般的情况下，{O；e1，e2，e3}叫做仿射标架

￥对于标架{O;e1，e2，e3}，如果e1，e2，e3间的互相关系和右手拇指、食指、中指相同，那么这标架就叫做右旋标架或称右手标架。如果

e1，e2，e3和左手的拇指、食指、中指相同那么这个标架叫做左旋标架或称左手标架

定义1.5.2r=xe1+ye2+ze3式中的x，y，z，叫做向量r关于标架

{O;e1，e2，e3}的坐标或称为分量，记做r{x，y，z}或{x，y，z}

定义1.5.3对于取定了标架{O；e1，e2，e3}的空间中任意点P，向量OP叫做点P的向径，或称点P的位置向量，向径OP关于标架{O；e1，e2，e3}的坐标x，y，z叫做点P关于标架{O；e1，e2，e3}的坐标，记做

P（x，y，z）或（x，y，z）

当空间取定标架{O;e1，e2，e3}之后，空间全体向量的集合或者全体点的集合与全体有序三数组x，y，z的集合具有一一对应的关系，这种一一对应的关系叫做空间向量或点的一个坐标系，这时，向量或点关于标架{O;e1，e2，e3}的坐标，也称为该向量或点关于由着标架所确定的坐标系的坐标

由于空间坐标系由标架{O；e1，e2，e3}完全决定，因此空间坐标系也常用标架{O；e1，e2，e3}来决定，这时点O叫做坐标原点；向量e1，e2，e3都叫做坐标向量。

￥由右旋标架决定的坐标系叫做右旋坐标系或称右手坐标系，由左旋标架决定的坐标系叫做左旋坐标系或称左手坐标系；仿射标架、笛卡儿标架与直角标架所确定的坐标系分别叫做仿射坐标系、笛卡儿坐标系与直角坐标系

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