河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考理科数学

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河北衡水中学2019届全国高三第一次摸底联考
理科数学
本试卷4页，23小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的相应位置。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0.5mm 黑色笔记签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数(34)z i i =--在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知全集U R =，2{|2}M x x x =-≥，则U M =ð A ．{|20}x x -<< B ．{|20}x x -≤≤
C ．{|20}x x x <->或
D ．{|20}x x x ≤-≥或
3．某所高中2018年高考考生人数是2015年考生人数的1.5倍．为了更好的对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考各层次的达线率，得到如下柱状图
则下列结论正确的是
A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少
B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍
C ．与2015年相比，2018年艺体达线人数不变
D ．与2015年相比，2018年未达线人数有所增加
4．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a =
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()ln f x x x =，则0x <时，()f x =
A ．ln x x
B ．ln()x x -
C ．ln x x -
D ．ln()x x --
6．已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>和直线l ：143x y +=，若过椭圆C 的左焦点和下顶点的直线与直
线l 平行，则椭圆C 的离心率为
A ．45
B ．35
C ．34
D ．15 7．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2A
E EO =u u u r u u u r ，则ED =u u u r
A ．1233AD A
B -u u u r u u u r B ．2133AD AB +u u u r u u u r
C ．2133A
D AB -u u u r u u u r D ．1233AD AB +u u u r u u u r 8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体
A ．有四个两两全等的面
B ．有两个互相全等的面
C ．只有一对互相全等的面
D ．所有面都不全等
9．赵爽是我国古代的数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀
算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得
到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类
比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与
中间的一个小等边三角形拼成了一个大等边三角形．设22DF AF ==，若在
大等边三角形中随即取一点，则此点来自小等边三角形的概率是
A ．413
B ．21313
C ．926
D ．31326
10．已知函数,0()ln ,0
x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩（e 为自然对数的底数），若关于x 的方程()0f x a +=有两个不等的实根，则a 的取值范围是
A ．1a >-
B ．11a -<<
C ．01a <≤
D ．1a <
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线的右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为
A ．2y x =±
B ．3y x =±
C ．y x =±
D ．2y x =±
12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱11,BB CC 的中点，点O 为上底面的中心，过,,E F O 三点的平面分别把正方体分为两部分，其中含有1A 的部分为几何体1V ，不含1A 的部分为几何体2V ，已知M 为几何体2V 中（内部与表面）的任意一点，设1A M 与平面1111A B C D 所成的角为α，则sin α的最大值为
A ．
2 B ．255
C ．26
D ．26
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数,x y 满足约束条件102400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值为________．
14．已知数列{}n a ，若数列1{3}n n a -的前n 项和11655n n T =⨯-，则5a =________． 15．由数字0，1组成的一串数字代码，其中恰好由7个1，3个0，则这样的不同数字代码共有______个．
16．已知函数()sin(
)|2|(||)32f x x x ππϕϕ=-++-<的图像关于直线2x =对称，当[1,2]x ∈-时，()f x 的最大值为________．
三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题12分）
如图，在ABC ∆中，P 是边BC 上一点，60APC ∠=︒，23AB =，4AP PB +=．
（1）求BP 的长；
（2）若534
AC =，求cos ACP ∠的值．
18．（本小题12分）
在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22AB BC CD ==，如图1．以DE 为轴将ADE ∆翻折，使点A 到达点P 的位置，如图2．
（1）证明：平面BCP ⊥平面CEP ；
（2）若平面DEP ⊥平面BCED ，求直线DP 与平面BCP 所成角的正弦值．
19．（本小题12分）
某高校为了对2018年录取的大一理工科新生有针对性地进行教学，从大一理工科新生中随机抽取40名，对他们2018年高考的数学分数进行分析，研究发现这40名新生的数学分数x 在[100,150)内，且其频率y 满足1020
n y a =-
（其中1010(1)n x n ≤<+，n N +∈） （1）求a 的值；
（2）请画出这40名新生高考数学分数的频率的分布直方图，并估计这40名新生的高考数学分数的平均
数（同一组中的数据用该组的中间值代替）
（3）将此样本的频率估计为总体的太绿，随机调查4名该校的大一理工科新生，记调查的4名新生中“高考数学分数不低于130分”的人数为随机变量ξ，求ξ的数学期望．
20．（本小题12分）
已知抛物线E ：22(0)x py p =>的焦点为F ，0(2,)A y 是E 上一点，且||2AF =．
（1）求E 的方程；
（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交E 于点M ，求证：直线BM 过定点．
21．（本小题12分）
已知函数()1()ax f x e x a R =--∈．
（1）当1a =时，求证：()0f x ≥；
（2）讨论函数()f x 的零点个数．
请考生在22、23两题中任选一题作答，注意，只能做所选定的题目，如果多做则按所做的第一道题记分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题10分）
在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
2sin 2cos (0)a a ρθθ=+>；直线l 的参数方程为2222
x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于
,M N 两点．
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若点P 的极坐标为(2,)π，||||2PM PN +=a 的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题10分）
已知函数()|2|f x x =-．
（1）求不等式(1)(3)f x xf x +<+的解集；
（2）若函数2()log [(3)()2]g x f x f x a =++-的值域为R ，求实数a 的取值范围．。