最新自主招生数学解读(二)PPT课件

1.方程论的相关知识
本题给出的是解决多项式问题的一个通法, 利用本题的方法,我们甚至都可以找到一个 根为pmqn(p,q,m,nN*)的整系数多项式.
2.函数的性质
函数的特征是通过其性质（如单调性、奇 偶性、周期性、对称性等）反映出来的， 有关概念在高中数学讲述得较为明白，在 此不再赘述，这里只补充一些在自主招生 中常用的知识：
co从 s3而 得4cos302,43c,o4s2.
cos(
3
)cos
cos(
3
)
ta因 n3此 方 ta程 n(的 3 解 5为 )tax n7 2 ta,n2 (c 3o s 5 4 ) ,2 c o s7 4.
1.方程论的相关知识
3.(2009年 清 华 大 学 ) 试 求 出 一 个 整 数 系 多 项 式 f(x)anxnan1xn1 a0, 使 f(x)0有 一 个 根 为233. 解 : 设 x 2 3 3 ,则 x 2 3 3 ,所 以 ( x 2 ) 3 3
则 称 f(x )是 区 间 I上 的 凹 函 数 （ 也 称 上 凸 函 数 ） .
2.函数的性质
特别地,当=1时,有f(x1x2)f(x1)f(x2)
2
2
2
或f(x1x2)f(x1)f(x2).
2
2
判 断 一 下 函 数 是 凸 ( 凹 ) 函 数 的 方 法 , 除 了 定 义 以 外 ,
还 有 一 个 定 理 :
1.方程论的相关知识
方程论的问题在自主招生考试中占有相当 大的比例.所关心话题的主要有四个方面：
方程有没有根？何时有根？ 如果有根有多少个根？ 方程的根是什么？
1.方程论的相关知识
1.(2008年南开大学) 求 证 : 方 程 2 x x 2 7 0 有 唯 一 的 实 数 根 x 5 .
即 x 3 3 x 2 2 3 x2 22 3 所 以 x36x3(3x22) 2 两 边 平 方 , 得 (x36x3 )22 (3x22 )2 即 x 6 3 6 x 2 9 1 2 x 4 6 x 3 3 6 x 1 8 x 4 2 4 x 2 8 即 x 6 6 x 4 6 x 3 1 2 x 2 3 6 x 1 0 . 所 以 所 求 的 多 项 式 f ( x ) x 6 6 x 4 6 x 3 1 2 x 2 3 6 x 1 .
f(x)2xln22x(x4) f(x)2xln222(x4) 且 24ln22ln2 20.35.
4 而 很 显 然 有 ln21,即 ln41
2 从 而 f(x)0(x4),所 以 f(x)单 调 递 增 , 且 f(4)16ln288 (ln4 1 )0 ,知 f(x)0. 所 以 f( x ) 在 [ 4 , ) 上 单 调 递 增 , 因 而 原 命 题 成 立 .
自主招生数学解读(二)
高校自主招生试题热Байду номын сангаас解读
但通过对各高校的自主招生试题的分析来看，自主招生 试题的命题热点，除了集中于高考所要求的热点问题以 外，还集中在以下几个方面：
一.方程论的相关知识 二.函数的性质 三.函数与方程 四.不等式的扩充 五.数列的递推 六.复数的扩充* 七.简单的整数理论* 八.组合数学*（带有*号的主要是清华、中科大、浙大等名校考查）
定 理 : 设 f(x )是 区 间 I上 的 二 阶 可 导 函 数 , 则 f(x )是 区 间 I
上 凸 ( 凹 ) 函 数 的 充 要 条 件 是 f(x ) 0 (f(x ) 0 ).
2.函数的性质
4.(2009年 清 华 大 学 ) x0,y0,xy1,nN*,求 证 :x2ny2n221n1. 分析:为了习惯起见,我们把题目中的字母作一改变, 不影响原问题: a0,b0,nN*,求证:a2nb2n221n1.
2.函数的性质
a 0 ,b 0 ,n N * ,求 证 : a 2 n b 2 n2 2 1 n 1. 构 造 函 数 y x 2 n ,n N * ,先 证 明 它 是 凸 函 数 .
由 于 y 2 n x 2 n 1 ,y 2 n ( 2 n 1 )x 2 n 2 0
故 y x 2 n ,n N * 是 ( , ) 上 的 凸 函 数 .
2.函数的性质
1.凸函数 设f (x)是定义在区间I上的函数,若对于I上的
任意两点x1, x2和实数(0,1),总有 f (x1 (1)x2) f (x1)(1) f (x2)
则称f (x)是区间I上的凸函数.
反 之 , 若 有 f(x 1 (1 )x 2) f(x 1 ) (1 )f(x 2 )
1.方程论的相关知识
2.(2009年南京大学) 解方程x3 3x x2. 解 : 如 果 x 2 , 则 方 程 的 右 边 无 定 义 , 此 时 方 程 无 解 ;
如果x 2, f (x) x3 3x x2, f (x) 3x2 3 1 0
2 x2 且f (2) 0,从而知在(2,)上没有根. 所 以 , 如 果 方 程 的 解 存 在 , 则 一 定 位 于 [ 2 ,2 ] 中 .
1.方程论的相关知识
2.(2009年南京大学)
解方程x3 3x x2.
令 x2cos,0
则 方 程 变 为 8 c o s 3 6 c o s2 c o s 2 ,
s三 即 in又 倍23因 c角o为 s公33s3式in:2c4ossi[n203,(70])sin(3于 所 是 以 )3n sin02或 sinn (23n1 .(n) Z)
1.方程论的相关知识
其实本题，我们可以非常容易地利用观察法发 现x=5是原方程的一个根，但利用观察法的缺点 是会减根，不能找到全体的根.确定唯一性的方 法是多种多样的，构造函数证明该函数的单调 性来进行说明唯一性是我们最常用的一种方法. 但对本题而言，直接证明单调性却很难做出， 应该首先对根所在的区间进行缩小范围，再来 证明其单调性.类似的题目在2009年的南京大学 的自主招生试题中也有所体现，例如：