画法几何之相贯线-两曲面立体相交
两曲面立体相交
3.2两曲面立体相交
3.3.1 概述
相贯线：两立体表面的交线称为相贯线。
相贯线性质：
1.共有性：相贯线上的点一定是形体表面的共有点。
2.封闭性:由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。
(1)平面立体与平面立体相交: 其相贯线为封闭
的空间折线或平面折线。
(2)曲面立体与曲面立体相交: 相贯线一般情况
(3)下是封闭的空间曲线。
特殊情况下是平面曲线
或直线.
3.3.2 相贯线作图方法及举例
例
外，还有以下两种情况：
（1）圆柱孔与实心圆柱相交
（2）两圆柱孔相交
3.3.2 相贯线的特殊情况
两回转体相交，在一般情况下其相贯线为空间曲线，但在特殊情况下相贯线也可能是平面曲线或直线。
下面介绍几种情况
1. 同轴的两回转体相交，相贯线为垂直于轴线的圆。
当轴线平行于某一投影面时，其相贯线在该投
2.同切于球面的两回转体相交，其相贯线为椭圆（1）当两圆柱轴线相交、直径相等、同切于一球面时，其相贯线为两大小相等的椭圆。
在这种情况下椭圆的正面投影积聚为两直线，水平投影和侧面投影均积聚为圆。
（2） 当圆柱与圆锥的轴线相交，且同切于一球面时，其相贯线为两个大小相等的椭圆。
在这种情况下椭圆的正面投影积聚为两直线，水平投影仍为椭圆，侧面投影积聚为圆。
3. 轴线相互平行的两圆柱相交；其相贯线为两条平行于轴线的直线。
画法几何第10章 相贯线
当直线或立体表面的某投影具有积聚性时，则在 具有积聚性的投影上，可得到贯穿点的第一个投影， 再用面上或线上取点法，求作贯穿点的第二投影。
[例1] 求作直线与圆柱的贯穿点。
b' n' (m') a'
a m
n b
[例2] 求垂直线AB，CD与圆锥的贯穿点。
2.利用辅助平面法求贯穿点
1”
பைடு நூலகம்
Pw
6”
2”
Qw
5”
3”
4”
Ⅰ 56
1 4
32
Ⅳ
求圆柱与半球的相贯线
10.5.2 相贯线的特殊情况
特殊情况下，相贯线为平面曲线或直线。
相贯线为圆
相贯线为直线
当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆
外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线—椭圆
特殊位置和形状的相贯线 ----等径正交两圆柱的相贯线
1．相贯线的性质及形状
• 相贯线是两立体表面的共有线；也是相交两立体表面的分界线；相贯 线上的点是两立体表面的共有点;
• 由于立体都有一定的范围，所以相贯线都是封闭的线，一般为封闭的 空间折线或空间曲线；
• 不同的立体以及不同的相贯位置,相贯线的形状也不同--全贯和互贯。
2．求相贯线的方法
求相贯线实质上是求两立体表面一系列共有点，然后依次光滑连接， 并判可性。一般地说这些共有点是一个立体的素线与另一立体表面的交 点，也称为贯穿点。
求曲面立体相贯线的方法有：
1．表面取点法 2．辅助平面法 3．辅助球面法
四、求相贯线的一般步骤
2．求作相贯线上的特殊点。 3．根据需要求出若干个一般点。 4．光滑且顺次地连接各点，作出相贯线，并判别可见性。 5．整理轮廓线。
第三章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
图3-13
附：题 4:
求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析: 分析 截平面过锥顶,截交线 截平面过锥顶 截交线 为三角形. 为三角形面截切后的正面投影。 求圆锥被正平面截切后的正面投影。
附：题1:
补画左视图。 补画左视图。
例5：求左视图
虚实分界点
图3-11
附：题2:
补画左视图。 补画左视图。
●
●
●
●
图3-12
附：题 3:
补画左视图。 补画左视图。
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
(8)’ 6’ (9)’ 5’
8’’
9’’
7’’
能 是 直 线 或 椭 圆 。 但 是 截 交 线 的 投 影 可 能 是 圆 ， 也 可 平 面 截 圆 球 体 ， 其 截 交 线 都 是 圆 ， 当截平面为 平面时， 平面时，其 面投影 圆 当截平面为投影面平行面时，截交线（ 当截平面为投影面平行面时，截交线（圆） 在该投影面上的投影反映实形， 在该投影面上的投影反映实形，其余两 面投影积聚为直线段； 面投影积聚为直线段； 当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该 当截平面为投影面的垂直面时， 投影面上的投影积聚为直线段， 投影面上的投影积聚为直线段，其余两面 圆； 投影为 圆；
表3-1
截平 面的 位置 形 状 立 体 图 与轴线倾斜 与轴线垂直 过锥顶 与所有素线 相 交 椭圆 平行于一条 素 线 抛物线加 直线段 与轴线平行 双曲线加 直线段
画法几何 立体的相贯线
相贯线是立体相交 的公共线投影在平 面上形成交点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线的投影是立 体相交的投影线投 影在平面上形成交 点
相贯线与截面法的联系
相贯线是立体几何中的重要概念表示两个立体相交时产生的公共线。 截面法是研究立体几何的重要方法通过截面可以直观地看到立体的形状和结构。 相贯线与截面法密切相关截面法可以帮助我们更好地理解和分析相贯线。 相贯线与截面法的结合可以更好地解决立体几何中的问题如立体的体积、表面积等。
立体相贯线的应用实例
第四章
圆柱与圆柱的相贯线
相贯线：两个圆柱体相交时其公共 部分的边界线
相贯线的性质：相贯线是圆柱体的 公共边界线也是圆柱体的截面线
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应用实例：两个圆柱体相贯时相贯 线是它们的公共边界线
相贯线的计算：通过计算两个圆柱 体的半径和角度可以计算出相贯线 的长度和位置
投影法需要掌握立体投影的基 本原理和技巧
截面法
截面法原理：通过截面将立体 相贯线转化为平面问题
截面选择：选择合适的截面如 垂直于相贯线的平面
截面求解：在截面上求解相贯 线的投影得到相贯线的方程
相贯线求解：根据截面求解的 结果求解立体相贯线的方程
辅助面法
辅助面法的定义： 通过添加辅助平 面使立体相贯线 在辅助平面上投 影从而求解立体 相贯线
平面相贯线：两个 平面相交形成的相 贯线
曲面相贯线：两个 曲面相交形成的相 贯线
空间相贯线：两个 空间相交形成的相 贯线
组合相贯线：多个 立体相交形成的相 贯线
画法几何及机械制图-两曲面立体表面的交线
b' a' 1'6' 4'
5' 2' 3'
6” (4”)
1” 5”
2”
3”
1
a 5b 6 4
P4H
(3)
2
作图： (1)选辅助面(正平面); (2)求斜圆柱轮廓线与半 球的交点; (3)求中间点；
§8-3 两曲面立体表面的交线
二、辅助平面法
例3 求圆球与斜圆柱偏交时的相贯线。
d'
c'
1'6' 4' 5' 2' 8'
最小球面半径球心或者是
球心到两回转面轮廓交点中较
近的一个交点的距离，或者是
O
内切于较大的回转面的球面半
径，如图中的R2。
§8-3 两曲面立体表面的交线
三、辅助球面法
辅助球面法求立体表面的相贯线的适用条件：
1.参与相贯的必须都是回转体，一般要求轴线相交； 2.两轴线同时平行于某一投影面。
例4 用球面法求相交两圆柱的相贯线。
圆柱体上 的交线
§8-3 两曲面立体表面的交线
共有点
圆台上 的交线
二、辅助平面法
辅助平面的选择：应使该平面与两立体表面交线的投影简 单易画(如投影为圆或多边形)，而且两条交线要相交。
§8-3 两曲面立体表面的交线
二、辅助平面法
基本回转体上的辅助平面选择：
1.圆柱体：
平行或垂直于轴线；
2.圆锥体：
d'
c'
1'6' 4' 5' 2' 8'
3'7'
6” (4”8)”
画法几何第七章两曲面立体相贯
一、相贯线的性质
1. 一般情况下，相贯线为封闭的空间曲线。 2.相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体 表面的共有点。
二、作图步骤：
1、投影分析
2、求特殊点
4、依次连接各点 5、判断可见性
3、求一般点 6、整理轮廓线
返回
复习：利用积聚性求相贯线
●
●
●
●
●
●
●
●
●
求空相间贯及线投的影投分影析：： 相贯利线用的积水聚平性投影，与直立小 圆柱采的水用平表投面影取重点合法，是。一个圆。
相1. 贯找线全的特侧殊面点投影积聚在水 平大圆2.柱补侧充面一投般影点上，即为圆的 一部分3.。判别可见性光滑连接
4. 补全轮廓线
复习： 用水平面作为辅助平面求共有点
复习： 求圆球与圆锥的相贯线
PV1
3' 4' 1' 5'
2'
PV2 PV3
解题步骤
1" 4" PW2 3" PW3
5" 2"
yy
两圆柱相贯线的变化趋势
四、用辅助球面法求相贯线
例
解题步骤
2
1．圆柱
与圆锥轴
求
线斜交，
圆
相贯线的
柱
三个投影
与
均未知，
圆
只有利用 辅助球面
锥
法求共有
斜
点。
交
的
相
贯
线
用球面作为辅助面求共有点
作
最
大
2'
和
最
小
3'
辅
助
1'
相贯线1两平面立体平面与曲面立体相交精品PPT课件
1
提纲
一、 概 述 二、 平面体与平面体相贯 三、 平面体与回转体相贯 四、 回转体与回转体相贯
2
一、概述
相贯 ： 两立体相交称为相贯 相贯体 : 参与相贯的立体叫做相贯体 相贯线：相交两立体表面的交线叫做相贯线
相贯体
相贯线
3
1、相贯线的性质
1)表面性—相贯线位于两相交立体的表面。 2)共有性—相贯线是两相交立体表面的共有线和分界 线，线上所有点都是两相交立体表面的共有点。是求 相贯线投影的作图依据。 3)封闭性—由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一 般是封闭的空间折线或空间曲线。
18
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
3’ a’ 1’ s’
2
6’ 5’
c’
4’
解题步骤： 1、分析两立体的空间关系， 根据积聚性，确定相贯线的 已知投影。
b’
a
2、求相贯线上的贯穿点。
3
3、先判断可见性，依次连接
1 s
(6) (5) (4)
贯穿点。
b
2
c
19
例3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。
4
圆柱面
相贯线实例
相贯线
球面
5
2、相贯线的形状
相贯线的形状取决于两立体的形状、大小及两立 体的相对位置。
(1) 立体形状不同，相贯线形状不一样：
平面立体相贯: 空间折线
平面立体与曲面立体 相贯：多段平面曲线
曲面立体相贯： 空间曲线
6
(2) 立体大小不同，相贯线形状不一样：
直径不同的 两圆柱
直径相同的 两圆柱
与棱面积聚线重合，同时三个
截平面之间还有三条交线。
两立体表面相交
图3.31 圆柱与圆锥正交的相贯线
（3）顺序连接各点并判别可见性
依次光滑连接各点的正面投影，由于相贯线前后对称，可见与不可见投影重合， 画一段粗实线，即得到相贯线的正面投影。如图3.25d所示。 2. 两正交圆柱相贯线的三种形式 如表3-4所示，圆柱相贯线有两外表面相贯、外表面与内表面相贯（垂直圆柱轴 线穿孔）、两内表面相贯三种形式。相贯线的形状和求作方法是完全相同的。
(a)
(b)
(c)
(d)
图3.26 正交两圆柱相贯线的弯曲趋向
4.相贯线的近似画法 两不等直径的圆柱体（或圆孔）轴线垂直相交，当两圆柱正交且直径相差较大 （直径之比>=1.5），并且对交线形状的准确度要求不高时，允许用大圆柱的半 径作圆弧来代替相贯线，或用直线代替非圆曲线。如图3.27所示。
(a) 用圆弧代替相贯线
(b) 用直线代替相贯线
图3.27 相贯线的近似画法（一）
在不致引起误解时，如图3.28a所示两圆柱偏交的相贯线，可用直线代替，如图3.28b所示。
(a)
(b)
图3.28 相贯线的近似画法（二）
3.29
也可采用模糊画法表示相贯线。如图3.29a所示的圆柱与圆锥相交的相贯线，可按如图 3.29b所示的形式画出。
图
相 贯 线 的 近 似 画 法 （ 三 ）
(a)
(b)
1.2利用辅助平面法求相贯线 当两相交回转体的投影都没有积聚性时，相贯线需要用辅助平面法求解。 1.辅助平面法的作图原理 辅助平面法主要是根据三点共面的原理。如图3.30所示，当圆柱与圆锥相交时， 为求得公有点，可假想用一个平面P（辅助平面）截切圆柱和圆锥。平面P与圆
画法几何之直线与曲面立体相交基本知识
本节提要： （1）直线或曲面立体表面的投影有积聚性时相交
（2）直线或曲面立体表面的投影都无积聚性时相交
1、直线与曲面立体相交 （1）直线或曲面立体表面的投影有积聚性时相交 如图所示，求作直线AB与轴线垂直于侧面的圆柱的 贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。
a' c' d' d" c"
a' a' c'
d' b'
b'
a
b
aPH
c
d
b
如图所示，求作正平线AB与球的贯穿点，并表明直 线AB的投影及其可见性。
a' a' c'
d' b'
b'
a
b
aPH
c
d
b
a'b' c'd' b d
a'b' c'd' b d
b
s
a
c a
s
c a
s
用纬圆法解题
用素线法解题
如图所示，求作直线AB与圆锥的贯穿点，并表明直 线的投影及其可见性。
s' s' s'
Байду номын сангаас
a'b'
a'b' c'd' b d
a'b' c'd' b d
b
s
a
c a
s
c a
s
用纬圆法解题
用素线法解题
（2） 直线和曲面立体表面的投影都无积聚性时相交 常用通过该直线的辅助截平面截切曲面立体，则直线
第三节两曲面体表面相交(相贯线)
两曲面体表面相交
相贯线：两立体相交时在表面上产生的交线。 一、 两回转体相交时的基本性质： 1、相贯线是两曲面立体表面的 共有线，相贯线上的点是两 曲面立体表面上的共有点。 2、两曲面立体的相贯线一般是 封闭的空间曲线，特殊情况 下可以是平面曲线或直线。
二、决定相贯线形状的相关因素
⒈ 取决于相交两曲面立 体的几何性质。 ⒉ 当它们的大小或相对 位置不同时，相贯线 的形状也随之而异。
线的圆。当轴线平行
于某投影面时，这些 圆在该投影面上的投 影为直线段。
相贯线
三、两圆柱轴线平行
例: 补全正面投影
补全侧面投影。
两轴线正交圆柱相贯线的趋势
动画
四、两圆柱相贯线的
常见情况：
b)
圆柱孔与实心圆柱相交
a) 两实心圆柱相交 c) 两圆柱孔相交
பைடு நூலகம்
五、相贯线的特殊情况
1、两直径相等的圆柱
轴线相交成直角， 其相贯线是两个相 同的椭圆。 这两个椭圆的正面 投影是两条相交且 等长的直线段。
相贯线
2、两个同轴回转体 的相贯线是垂直于轴
动画
三、作图方法
例： 求作轴线垂直相交两圆柱的相贯线
1’ 4’ 3’ 2’ 4” 1” （2”） y y
3”
分析: 已知相贯线的 水平投影和侧面投影 求作：正面投影
作图步骤：
4
y 1 2 4 2 3
1、作特殊点 2、作一般位置点 3、光滑连接
1
3
注意：相贯线始终弯向大圆筒（柱）的轴线方向。
y
画出两轴线正交的圆柱孔的相贯线
立体的相贯线画法几何课件
第十一章立体的相贯线§11-1概述§11-2平面立体与平面立体相贯§11-3平面立体与曲面立体相贯§11-4曲面立体与曲面立体相贯§11-1概述1.相贯线——两立体表面的交线。
相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
2.相贯线的性质——是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
3.相贯线的形式——随着立体形状、大小和相对位置的不同而不同。
§11-2 平面立体与平面立体相贯一、两平面立体的相贯线二、求两平面立体相贯线的方法三、相贯线可见性的判别原则四、例题一、两平面立体的相贯线两平面立体的相贯线是两立体表面的共有线，相贯线上的点是两立体表面的共有点。
二、求两平面立体相贯线的方法第一种方法求各侧棱对另一形体表面的交线，然后把位于形体1同一侧棱面又位于形体2同一侧棱面上的两点，依次连接起来。
第二种方法求一形体各侧棱面与另一形体各侧棱面的交线。
三、相贯线可见性的判别原则只有位于两形体都可见的侧面上的交线，才是可见的。
例题平面立体与平面立体相贯1平面立体与平面立体相贯2平面立体与平面立体相贯3平面立体与平面立体相贯4屋脊线斜脊线天沟线平面立体与平面立体相贯5§11-3平面立体与曲面立体相贯平面立体与曲面立体相贯时，相贯线由若干段平面曲线或平面曲线和直线组成。
各段平面曲线或直线，就是平面体上各侧面截割曲面所得的截交线。
每一段平面曲线或直线的转折点，就是平面体的侧棱与曲面体表面的交点。
例题平面立体与曲面立体相贯1a" aa" aa" a平面立体与曲面立体相贯4平面立体与曲面立体相贯5平面立体与曲面立体相贯6平面立体与曲面立体相贯7平面立体与曲面立体相贯8平面立体与曲面立体相贯9平面立体与曲面立体相贯10§11-4 两曲面立体相贯一、两曲面立体相贯线的性质二、相贯线的三种基本形式三、两曲面立体相贯线的求法四、相贯线上共有点的求法五、例题六、相贯线的特殊情况一、相贯线的性质1 、一般情况下,相贯线为封闭的空间曲线。
工程制图相贯线的画法
实体和虚体相交，也可看作用虚体旳多种平面截切实体，在
实体表面形成切口，可用求截交线旳措施求解其交线。
返
例 1 画出三棱锥实体与三棱柱虚体旳三面投影图
回
例 2 画出三棱锥实体与三棱柱虚体旳三面投影图
下 一节
例 3 画出三棱锥与三棱柱全贯旳投影图
退
出
例 4 画出三棱锥与三棱柱互贯旳投影图
§9-2 平面立体与曲面立体相贯
平面立体与曲面立体相交，其相贯线一般是封闭旳空间
折线，其中有若干个边是平面曲线或直线。每一部分平面曲
线，可看作是曲面立体表面被平面立体上某一表面所截旳交
线。两部分曲线旳交点，称为结合点，它是平面立体旳棱线
对曲面立体表面旳贯穿点。所以，求平面立体和曲面立体旳 返
相贯线，也可归结为求截交线和贯穿点旳问题。
画法几何学(第六版)
电子教案
第九章
两立体相交
概述
第一节 两平面立体相贯
第二节 平面立体和曲面立体相贯
第三节 两曲面立体相贯
第四节 两立体相交旳计算机造型举例
退出
§9-1 两平面立体相贯
两平面立体旳相贯线一般是一条或几条闭合旳空间折线
或平面多边形。
求两平面立体相贯线旳措施，实质上就是求两个立体旳
相交棱面旳交线，或求一立体旳棱线与另一立体旳贯穿点。
回
例 5 画出三面投影图 例 6 画全三面投影图
上一节
例 7 画全三面投影图 例 7-1 画全三面投影图
下 一节
退
例 8 画全三面投影图
出
例 9 画全三面投影图
例 10 画出三棱柱与圆锥相贯旳投影图
§9-3 两曲面立体相贯
一、概述
画法几何与土木建筑制图 第8章 两立体表面的交线
C
2 5 a
Ⅱ
1
S
ⅠⅤ
A
Ⅳ
d
B
4 b
fb 4
s
1 36
c
2
e5
a
8.2 平面立体与曲线立体相贯
相贯线:空间曲线 求解实质:
截交线问题:平面立体的棱面与曲面立体的截交线 求解关键:分析棱面与曲面立体的相对位置,判断截
交线的形状,找特殊点和一般点。
[例题2] 三棱柱与半球相贯，绘制相贯线的正面投影。
第8章 两立体表面的交线
重点内容：掌握两平面立体、平面立体与曲面立体、以及两曲 面立体相贯的相贯线的画法（前两种立体相交时，至少有一个 立体的表面投影具有积聚性；两曲面体相交时，要求二个立体 的轴线垂直于投影面）。 一般理解的内容：求同坡屋面交线。 难点内容：本章内容均为难点内容。
8.1 两平面立体相贯
工程中常见的两圆柱正贯：
两外表面
内外表面
两内表面
四、相贯线的特殊情况
特殊情况一：当两回转体共轴时，它们的相贯线是 垂直于轴线的圆。
特殊情况二：两个二次曲面公切于另一个二 次曲面时，它们的交线为平面曲线。
两圆柱相贯线的变化趋势
圆柱、圆锥相贯线变化规律及相贯线特殊情况
当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。
(5)判断可见性
相贯线所在的两曲面均可见时相贯线可见
(6)整理轮廓线
三、求解方法:表面取点法
1、适用条件 当曲面立体中有一个形体是圆柱，且立体表面投影
具有积聚性时，表面上所有点的投影均在立体的积聚
性投影上。 表面取点法即是利用立体表面的积聚性投影求作相 贯线上点的方法。
2、作图步骤 1）空间分析 2）由积聚性找已知投影（特殊点） 3）找一般点 4）光滑连线 5）判断可见性 6)判 断外形线及可见性，整理轮廓
求两曲面体相交相贯线常用的方法
在几何学中，两曲面体相交相贯线的求解是一个重要且复杂的问题。
相交相贯线是指两个曲面体相交所形成的曲线或曲线的一部分。
这个问题在工程、建筑、地质学和日常生活中都有广泛的应用，因此其求解方法也变得极为重要。
要求解两曲面体的相交相贯线，我们可以采用多种方法，下面我将简要介绍一些常用的方法。
1. 几何绘图法- 通过几何绘图的方式，我们可以将两个曲面体的截面绘制出来，从而求解它们的相交相贯线。
这种方法相对直观和易于理解，但对于复杂的曲面体，会需要较大的绘图工作量。
2. 解析几何法- 利用解析几何的知识，我们可以通过方程来描述两个曲面体，然后求解它们的交点或交线。
这种方法需要实时计算和分析，对于数学功底较好的人来说比较合适。
3. 数值计算法- 在计算机辅助设计和工程领域，我们可以利用数值计算方法，通过算法和程序来求解曲面体的相交相贯线。
这种方法可以适用于复杂的曲面体，并且计算精度高，但需要具备一定的编程和数值计算能力。
在实际的应用中，以上三种方法可能会结合使用，以求得更为准确和高效的结果。
另外，在具体问题的求解中，我们还需要考虑曲面体的方程形式、曲率、位置关系等因素，从而选择合适的求解方法。
求解两曲面体相交相贯线的方法有很多种，而每种方法都有其适用的场景和优劣势。
在实际操作中，我们需要根据具体问题的要求和条件来选择合适的方法，同时也需要不断学习和探索，以提高求解问题的能力和水平。
个人观点上，我认为在解决任何问题时，都需要全面理解问题的内涵和现状，多角度思考，并结合适当的求解方法来推动问题的解决。
也需要不断学习和积累经验，提升自己的解决问题的能力。
对于求解两曲面体相交相贯线的问题，同样如此。
在实际的工程设计中，常常会遇到需要求解两个曲面体的相交相贯线的问题。
这种问题在建筑设计、机械制造、地质勘探和其他领域都有着重要的应用价值。
掌握求解曲面体相交相贯线的方法，对于工程技术人员来说是十分关键的。
在工程设计中，曲面体的相交相贯线问题通常涉及到不同曲面体之间的连接、交界处的处理、材料切割等。
两曲面立体的相贯线
第五节 两曲面立体的相贯线[Intersection of Two Curved Surface Solids]两曲面体的相贯线，一般是封闭的空间曲线。
此类相贯线在建筑形体中常常会遇到，例如图5-19所示，它是由一系列柱面相贯所形成的屋顶。
组成相贯线的所有点，均为两曲面体表面的共有点。
因此求相贯线时，要先求出一系列的共有点，然后用曲线板依次连接所求各点，即得相贯线。
求共有点时，应先求出相贯线上的特殊点，即最高、最低、最左、最右、最前、最后及转向轮廓线上的点等，然后再求出其上的一般位置点。
一、求相贯线常用的两种方法 [Two Commonly Used Methods to Find Intersection Line ]（一） 利用曲面的积聚投影，用表面取点法作出相贯线相交两曲面之一，如果有一个投影具有积聚性，就可以利用该曲面的积聚性投影作出两曲面的一系列公有点，然后连成相贯线。
因为如果有一个曲面的某投影具有积聚性，相贯线在此投影面上的投影就已知，求相贯线的其余投影，实质上就是根据这一已知投影在另一立体的表面取点。
因此，此法也叫表面取点法。
例5-10 已知两半圆柱屋面相交，求它们的交线，如图5-20所示。
投影分析：由图5-20可知：屋面的大拱是半圆柱面，小拱则也是半圆柱面。
前者素线垂直于W 面，后者素线垂直于V 面，两拱轴线相交且平行于H 面。
相贯线是一段空间曲线，其V 面投影重影在小圆柱的V 面投影上，W 面投影重影在大拱的W 面投影上，相贯线的H 面投影为曲线，可通过求出相贯线上一系列的点而作出。
图5-19由柱面相贯构成的屋面作图步骤（图5-20）：（1） 求特殊点。
最高点A 是小圆柱最高素线与大拱的交点，最低、最前点B 、C （也 是最左、最右点），是小圆柱最左、最右素线与大拱最前素线的交点。
它们的三投影均可直接求得。
（2） 求一般点E 、F 。
在相贯线V 面投影的半圆周上任取点e ′和f ′。
两曲面立体相交
A
6
A
7
A
8
A
9
b、相交两圆柱轴线相对位置变化时对相贯线的影响
A
10
例2：补画全正面投影。
A
11
A
12
例3：补画全正面投影。
A
13
A
14
2、辅助平面法
辅助平面的选择原则是： 辅助平面与两曲面立体的交线的 投影都是简单线（直线或圆）。
A
3
二、作图方法：
1、重影性法（利用积聚性投影）
例1：补画全正面投影。
作图步骤：
（1）判断什么立体相交
（2）求特殊点。
预见交线 的形状
（3）求一般点。
确定交线 的范围 确定交线的 弯曲趋势
（4）顺次光滑连பைடு நூலகம்。
（5）加深轮廓线。
A
4
A
5
讨论：相交两圆柱面的直径大小和相对位置的 变化对相贯线的影响
第七讲
第五章 立 体
第四节 两曲面立体相交
A
1
5.4 两曲面立体相交
一、两曲面立体相交所得相贯线的性质与类型
A
2
相贯线的主要性质：
★ 表面性
相贯线位于两立体的表面上。
★ 封闭性
相贯线一般是封闭的空间折 线（通常由直线和曲线组成）或 空间曲线。
★ 共有性
相贯线是两立体表面的共有线。
求相贯线的作图实质是找出相贯的两 立体表面的若干共有点的投影。
A
15
例1：补全正面投影和水平投影。
A
16
1' 5' （6'） 3'（4'）
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（2）当圆柱逐渐变小。
25
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变化
（2）当圆柱变为孔
26
例5：求两轴线交叉圆柱的相贯线
3` 2` a` 4` 5` 6` b`
Y
RW
B
4``
3`` (5``)
2``
(6``)
a``
A
(7``) 1`` 1`
7`
4 3 2 5 6 7
32 1
6
5
4
a
Y
30
1 . 同轴回转体相贯
同轴回转体相交就是两个以上的基本体具有同一根轴的回转体， 其相贯线是垂直于轴线的圆。交线圆在轴线垂直的投影面上的投影 反映实形，在轴线平行的投影面上的投影是过两相交立体投影轮廓 线交点的一直线段 。 球与圆锥同轴
圆柱与球相贯
31
2. 公切于同一球的两个立体相贯
两个回转体轴线正交，且平行于同一投影面，若 它们能公切一个球，其相贯线是垂直于该投影面的两 个相同的椭圆。在相交两轴线平行的投影面上椭圆的 投影为两圆柱投影轮廓线交点的连线。
16
利用辅助平面法求相贯线 用辅助平面法求相贯线投影的基本原理是：作一辅助平 面P，使它与回转体都相交，求出P平面与两回转体的截交线， 作出两回转体表面截交线的交点，即为两回转体表面的共有 点，亦即相贯线上的点。
为了简化作图，选 择什么位置的平面作为 辅助平面是很重要的。 选择辅助平面时应遵守 下述原则:所选择的辅助 平面与两相交立体表面 所产生的截交线的投影， 应该是简单易画的圆或 直线。
外表面和外表面相交
相贯线 1 y
1 2 3
2
3
2
y
辅助素线
9
例2. 求作实虚相贯的相贯线。
外表面和内表面相交
外表面和内表面相交
10
例3. 求作虚虚相贯的相贯线。 挖孔后
切割后
内表面和内表面相交
11
外表面相贯
外表面与内表面相贯
1.其相贯线的形状和 求法是相同的，但应 画出相应的轮廓素线 内表面相贯
2`
1``
2``
Ⅲ
1 2
19
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
1` 5` 2` 6`
（2）求一般点。
RV
1``
4`` 5``
2``
Y
Ⅶ
交 线 是 平 行 两 直 线
Ⅵ Ⅳ Ⅴ
4 1 5 2Biblioteka 7 6Y交 线 是 圆
20
两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变化
（1）当圆锥向下延伸。
（2）当圆柱逐渐变小。
d/2
1′ 2′ 4〞 3′(4′) 1〞(2〞) 3〞
d/2
1′′ 2′
d
4 1 2 1 2
3
三点画圆弧
29 以大圆柱半径为半径画弧
d
两曲面立体相交相贯线的形状，取决于曲面立体的表面 的几何性质，尺寸大小和相对位置。
1 相贯线的特殊情况
两回转立体相交，相贯线一般为空间曲线，但在特殊 情况也可能是平面曲线或直线。
4
4. 作图过程
先找特殊点。 补充中间点。
确定交线 的范围 确定交线的 弯曲趋势
5
5、作图步骤
（1）形体分析 （两立体之间及立体与投影面之间的相对位置） （2）相贯线空间分析、投影分析 （3）求特殊位置点 （4）求一般位置点 （5）依次连接各点 （6）判断可见性 （7）整理轮廓线
6
利用表面取点法求作相贯线
21
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变化
（1）当圆锥向下延伸
22
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变化 （1）当圆锥成为孔。
23
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变化
（2）当圆柱逐渐变小。
24
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
讨论： 相贯线的变化
●
● ●
这是一个多体 相贯的例子，首先 分析它是由哪些基 本体组成的，这些 基本体是如何相贯 的，然后分别进行 相贯线的分析与作 图。
●
1
●
35
三面共点
●
●
●
作图时要抓住 一个关键点，相贯 线汇交于这一点。
36
(1) 求特殊点。
3``
外表面和外表面相交
最后最低点投影 最 左 最 高 点 投 影 4 1 2 最 右 最 高 点 投 影
最 左 最 高 点
1 3 相贯线
最 前 最 低 点
3
最前最低点投影
8
例1. 求实实相贯的相贯线。 1` 2` 1` 3` 2` 1``
（2）求一般点。
y （3）判别可见性
2`` 3``
32
3、轴线平行的两圆柱的相贯 相贯线为两条平行的素线
33
2 影响相贯线形状的因素
立体的表面的几何性质，尺寸大小和相对位置。
表面性质和相对位置对相贯线的形状的影响
轴 线 正 交 轴 线 斜 交 轴 线 偏 交
轴线正交时表面性质相同而尺寸不同对相贯线的形状的影响
34
多体相贯 ：补全投影
3 2
●
● ●
b
RH
1
形体的后面 27 形体的前面
例5：求两轴线交叉圆柱的相贯线
3` 2` a` 4`
5`
6` b`
4``
3`` (5``)
2`` (6``) a`` 2` 3`
(7``) 1``
1`
7`
4 3 5 6 7
32 1
6
5
4
2
1
a
Y
b
RH
形体的后面 28 形体的前面
返回
相贯线投影的近似画法
当两正交圆柱直径相差较大时，其相贯线的投影可用圆弧近似代替。
辅助平面P
圆柱与半球的相贯线
17
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线
1`
2`
2``
1``
(1)求特殊点。
2``
最后最低点投影 最 左 最 高 点 投 影
2
1 2 最前最低点投影
最 右 最 高 点 投 影
最 左 最 高 点
1
2
最 前 最 低 点
18
例4：求两轴线相交的圆柱圆锥相贯线 1`
（2）求一般点。
12
综合举例
错误的做法
内表面和内表面相交
错误的做法
外表面和外表面相交
13
14
补全主视图
●
●
●
●
● ●
●
● ● ● ● ● ●
●
●
★ 外形交线
◆ 两外表面相贯 ◆ 一内表面和一外表面相贯
● ● ● ●
★ 内形交线
◆ 两内表面相贯
15
小 结： 无轮是两外表面相贯， 还是一内表面和一外表面 相贯，或者两内表面相贯， 求相贯线的方法和思路是 一样的。
如果两回转体相交，其中 有一个是轴线垂直于投影面 的圆柱，则相贯线在该投影 面上的投影积聚在圆柱面上。 利用回转体表面取点的方法 可以作出相贯线的其余投影。 按已知曲面立体表面上点 的投影求其它投影的方法， 称为表面取点法。
相贯线的求法
7
例1. 求实实相贯的相贯线。 1` 2` 3` 1`` 4``
四、 回转体与回转体 相交
1
1. 相贯线的性质
相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它 是两回转体表面的共有线。
2
2.立体与立体相交有三种形式： 一种是立体的外表面相交; 一种是外表面与内表面相交; 一种是内表面与内表面相交.
实实相贯
实虚相贯 相贯线
虚虚相贯
3
3.作图方法
表面取点法 利用投影的积聚性直接找点。 用辅助平面法 一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的 形状、大小及其轴线的相对位置，判断相贯线的形 状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。