点群和空间群

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点群和空间群

如图所示，为4度螺旋轴。晶体绕 A
2
轴转900后，再沿该轴平移a/4，能自身
1
重合。
26
2.滑移反映面
经过该面的镜象操作
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是
A1
该方向上的周期矢量，n为
2或4)，晶体中的原子和相
A
同的原子重合。
M A2
A1
A
M
27
例题1：立方系的对称性简析。
(1) 三个相互垂直的四度轴
❖ 宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合，称为空间群。
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
对称要素。
有的
52
53
54
7大晶系
按照晶胞6个点阵常数（a, b, c, , , ）之间的关系特点，将晶体划分为7种晶系。
立方晶系 abc,900
四方晶系 abc,900
四方晶系菱方晶系
单斜晶系
菱方晶系 abc,900
六方晶系 a1a2 a3c,900 1200
正交晶系 abc,900
立方晶系六方晶系正交晶系三斜晶系
单斜晶系 abc,900
三斜晶系 abc,900
注意：准确的说划分晶系的依据是特征对称性而不是晶胞参数。
56
14种布拉菲点阵
按照结点在7大种晶系上的不同分布方式，可形成14种布拉菲点阵。

名词解释

点群：一个结晶多面体所有的全部宏观对称要素的集合，称为该结晶多面体的点群。

对称型：晶体结构中所有点对称要素（对称面、对称中心、对称轴和旋转反伸轴）的集合称为对称型，也称点群。

空间群：空间群：指在一个晶体结构中所存在的一切对称要素的集合。

它由两部分组成，一是平移轴的集合（也就是平移群），另外是除平移轴之外的所有其他对称要素的集合（与对称型相对应）。

无规则网络假说：凡是成为玻璃态的物质和相应的晶体结构一样，也是由一个三度空间网络所构成。

这种网络是由离子多面体（三角体或四面体）构筑起来的。

晶体结构网是由多面体无数次有规律重复构成，而玻璃中结构多面体的重复没有规律性。

网络形成体：单键强度大于335KJ/mol的氧化物，可单独形成玻璃。

网络变性（改变）体：单键强度小于250KJ/mol的氧化物，这类氧化物不能形成玻璃，但是能改变网络结构。

从而使玻璃性质改变。

正尖晶石；二价阳离子分布在1／8四面体空隙中，三价阳离子分布在l／2八面体空隙的尖晶石。

反型尖晶石：二价阳离子分布在八面体空隙中，三价阳离子一半在四面体空隙中，另一半在八面体空隙中的尖晶石。

萤石结构（CaF2）：F-填充在八个小立方体中心，8个四面体全被占据，八面体全空（有1+12*1/4=4个八面体空隙，其中有12个位于棱的中点，为4个晶胞所共用，1个位于体心) 。

可塑性：粘土与适当比例的水混合均匀制成泥团，该泥团受到高于某一个数值剪应力作用后，可以塑造成任何形状，当去除应力泥团能保持其形状，这种性质称为可塑性。

弗伦克尔缺陷：如果在晶格热振动时，一些能量足够大的原子离开平衡位置后，挤到晶格的间隙中，形成间隙原子，而原来位置上形成空位，这种缺陷称为弗伦克尔缺陷。

Frenkel缺陷的特点是：①间隙原子和空位成对出现；②缺陷产生前后，晶体体积不变。

网络形成剂：这类氧化物单键强度大于335KJ/mol，其正离子为网络形成离子，可单独形成玻璃。

液相独立析晶：是在转熔过程中发生的，由于冷却速度较快，被回收的晶相有可能会被新析出的固相包裹起来，使转熔过程不能继续进行，从而使液相进行另一个单独的析晶过程，就是液相独立析晶。

点群格子及空间群

单面平行双面轴双面反映双面斜方柱斜方四面体斜方单锥斜方双
对称型符号
对称特点对称型种类
圣弗利斯符号
国际符号
晶类名称
9．L4
C4
4
10．L44L2
D4
42
有一个 L4或L4i
11．L4PC 12．L44P 13．L44L25PC
C4h
4/m
C4v
4mm
D4h
4/mmm
14．L4i
Oh5
226
228
Oh8
229
Oh9
230
Oh10
P31 m P3 c 1 P31 c R3 m R3 c
P23 F23 I23 P213 I213 Pm3 Pn3 Fm3 Fd3 Im3 Pa3 Ia3 P432 P4232 F 432 F4132 I 432 P4332 P4132 I 4132 P-43m F-43m I-43m P-43n F-43c I-43d Pm3m Pn3n Pm3n Pn3m Fm3m Fm3c Fd3m Fd3c Im3m Ia3d
对称型符号
对称特点对称型种类
圣弗利斯符号
国际符号
晶类名称
28．3L24L3
T
29．3L24L33PC
Th
有四个L3 30．3L4i 4L36P
Td
31．3L44L36L2
O
32．3L44L36L29PC
Oh
23 m3 -43m 43 m3m
五角三四面体偏方复十二面体六四面体五角三八面体六八面体
C6
6
D6
62
C6h
6/m
26．L66P

群论第8章

H （五维表示），", 一维复共轭表示实际上是二维表示（Mulliken 记号），物理上是不可约的。
能级简并(时间反演的结果). 实表示：Cn 的特征标为+1（ A 表示），-1（ B 表示）。反演对称操作i 的特征标为 1（偶宇称，下标用 g ），-1（奇宇称，下标用u ）.
除Ci ，有 10 个点群具有反演操作i 对称，它们均可以表示为Ci 群与另一正则转动群的直积：
对 n = 2,4,6 ，它包含一个反演操作 I (≡ C2σ h )。
Sn 群：有一个 n 度转动反演轴（ n = 4,6 ）；对 n = 2,3的 S2 和 S3 ，一般用 Ci 和 C3h 符号；
Dn 群：有一个 n 度转动轴及 n 个与之垂直的二度轴（ n = 2,3,4,6 ）； Dnd 群： Dn 群加 4 n 个垂直对交镜面（ n = 2,3）镜面将二度轴角度平分。 Dnh 群： Dn 群加一个水平镜面（ n = 2,3,4,6 ）. n = 2,4,6 时， Dnh 包含反演操作。除以上 27 个群外，还有Oh ， O ，Td ，Th 和T 群。
群论讲稿----吴长勤
第八章点群和空间群 (Point Groups and Space Groups)
§1 点群 (Point Groups)
点群：使系统（如分子）不变的对称操作的集合构成的群。（某点固定，空间任何两点距离不变的有限群）
一般，几何对称操作有：
E : 恒等操作；
Cn ：转角 2π / n 的操作，转动轴称 n 度轴；
{ } C3v : {E}, C3,C32 , {σ1,σ 2 ,σ 3}; 三个共轭类。 { } { } C'3v : {E},{E}, C3,C32 , EC3, EC32 ,{σ1,σ 2 ,σ 3},{Eσ1, Eσ 2 , Eσ 3};

点群空间群和晶体结构介绍

空间群可分为 230种
点式空间群(symmorphic space Group)
对称操作全部作用于同一个公共点上的，不包含任何一个比初基平移还要小的
平移τ。
73种
非点式空间群(Nonsymmorphic space Group)
157种
对称操作全部作用于同一个公共点上的，至少包含一个比初基平移还要小的平移τ。
滑移面由镜面和平移组合产生的对称元素称为滑移反映面，简称滑移面。滑移面的基本操作可表示为{m·t}，其对称群为{m·t}p，P=0，±1，±2……。
晶体中有3种不同的滑移面，即轴向滑移、对角线滑移（又称n滑移）和金刚石滑移。所有滑移中，都是经镜面操作后再平移单胞周期的某一分数的距离。和螺旋轴的操作相同，镜面和平移两步操作的先后次序是不重要的。
以合适的取向放到阵点上的含义如果希望每个阵点都具有正交对称性，那么放置物体时就必须使它的镜面和2次轴沿单胞某一轴方
向放置。这样导出的晶体结构，才会既有平移对称性又能使任何一个阵点都有C2v-mm2 的对称性。
这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。
图 (a)是正交点阵的阵点上放上对称性为C2v-mm2的物体的空间群的俯视图。
附图1
除了上述两种点群，我们不可能再增加任何对称操作而使物体仍属于三斜晶系，所以，属于三斜晶系的晶类只有两种。 Ci-1点群的对称操作最多(不严格地说它具有最高的对称性)，称这种点群为该晶系的全对称点群。
附图1
从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置的正规点系的数目和点群具有对称操作的数目相同，即与点群的阶数相同。
讨论点对称操作有哪些可能的组合方式，并对晶体做进一步划分。 3.1 群的概念和基本性质

点群与空间群的概念区别

晶体宏观外形只对应点对称操作，所有可能的点对称性组合可分成32个独立的晶体点群，可以说是宏观对称的表现；空间群是相对微观对称性而言的，除了点对称操作以外还有滑移反映、螺旋轴等的对称操作。

其实空间群是在点群上的细分，但二者又都是对晶体结构的分类。

宏观对称要素有平面，直线，点，即反映面、旋转轴、对称中心。

全部宏观对称要素的组合叫点群。

通过晶体具有不同宏观对称要素或其组合，将晶体分成7大晶系，共32种点群。

微观对称要素仅在晶格内部出现。

微观对称要素有平移轴、螺旋轴、滑移面。

点群：保留一点不变的对称操作群。

也就是各对称元素都过一个点。

只具有宏观的方向性，不涉及位置变动。

空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群对称操作和平移对称操作组合而成。

在点群操作的基础上增加了平移、滑移操作，不仅具有宏观的对称性，还涉及到了微观的位置的变动。

点群不存在平移操作，所有的对称要素都集中在一个共同的点上。

对称要素包括旋转、反映、反伸（对称中心）与旋转反伸。

有这4个对称要素组合出32个点群。

晶体点群、空间群简要归纳

晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。

另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作：保持系统不变的操作。

对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。

对称元素可以是点、直线、⾯等。

2.点群：1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。

这些对称操作会保持⼀个点不动。

2）点群分类第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。

第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。

因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。

3）点群的性质{()}性质1：点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式，其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值；C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。

性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。

2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。

3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中，G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+，即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群，其阶数是K∪K+的⼀半。

晶体结构空间群点群

(二)点群、单形及空间群点群：晶体可能存在的对称类型。

通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。

只能有32种对称类型，称32种点群表1- 3 32种点群及所属晶系*2/m表示其对称面与二次轴相垂直，/表示垂直的意思。

其余类推同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。

如错误!未找到引用源。

，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。

理想晶体的形态―单形和聚形：单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。

32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!书签自引用无效。

，错误!书签自引用无效。

所示聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。

大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。

属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。

F：代表面心格子。

I：代表体心格子。

C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。

A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。

R：代表三方原始格子。

其它符号：意义与前述相同表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4点群符号m 43m2晶系等轴晶系晶族高级晶族/k/174/stu/content/1.1.3.2.htm。

第八讲点群符号空间群

Crystal System
Primary
Symmetry Direction Secondary
Tertiary
Triclinic
None
Monoclinic
[010]
Orthorhombic Tetragonal Hexagonal/ Trigonal
Cubic
[100] [001]
[001]
[100]/[010]/ [001]
以点群为m3m的晶体为例： CsCl 垂直于a方向为m
NaCl 垂直于a方向m，b，c，n共存
金刚石垂直于a方向为d
CsCl结构沿c方向投影垂直于a方向为m
NaCl结构沿c方向的投影
垂直于a方向m，b，c，n共存
金刚石结构沿c方向的投影垂直于a方向为d
属于同一点群的晶体，可以属于不同的空间群。属于同一宏观点群的所有空间群，称为与该点群同形的空间群。
27
8
圣佛里斯符号——Schoenflies notation
主要规则：
只有一个旋转轴：Cn 多个二次轴：Dn 多个高次轴：T
(Cyclic group) (Dihedra group) (Tetrahedral group)
八面体（等轴）：O
(Octahedral group)
与轴平行的反映面：v （vertical）
点群的国际符号和圣佛里斯符号
对称型的一般符号（也即对称型的全面符号）：按一定顺序将对称型中所有的对称要素都书写出来，不管方向性，且比较烦琐。
国际符号——一种比较简明的符号，也称HM符号。
（International notation 或者 Hermann-Mauguin notation）

第一章课时六点群空间群晶格对称性

13
四面体点群
E+8C3 + 3C2；绕3个立方轴（红色）旋转π/2, 3π/2，接着做水平面镜像，共6 个对称操作，记为6S4；对立方体相对面的对角线形成截面作镜像，共6个对称操作，记为6σd；共12+6+6=24个对称操作；
由如上所示的24个点对称操作{E, 3C2, 8C3, 6S4, 6σd}组成的点群，用T d表示，称为正四面体点群。
47
钙钛矿(BaTiO3)结构
布拉维格子是？基元是？空间群？
48
钙钛矿(BaTiO3)结构
Barium titanate can exist in five phases, listing from high temperature to low temperature: (1) hexagonal (2) Cubic (Pm-3m, 221) (3) Tetragonal (P4mm, 99) (4) Orthorhombic (5) Rhombohedral
1.12
63
64
65
66
67
68
69
C1群：只含有一个元素（不动），表示没有任何对称性
Cn群：只含有一个旋转轴的点群，共4个，C2, C3, C4, C6 Cnv群：Cn群加上包含n重轴的镜面，共4个 Cnh群：Cn群加上垂直于n重轴的镜面，共4个 Cs群：C1群加上镜面
Ci群：C1群加上中心反演
horizontal vertical inversion
space group table: /wiki/Space_group#Table_of_space_groups_in_3_dimension4s0
41

点群、空间群和晶体结构介绍

群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合，群的元素可以是字母、数字、对称操作、点阵等。
任何一个群都应具有以下4个基本性质：

封闭性（Closure）
群G的n个不等效元素中，任两个元素组合或一个同类元素自身组合都是群中的一个元素。
群中所有元素都遵循组合律，但组合次序不能变。
有唯一的单位元素（E）。它和群中任何一个元素的组合是元素本身。群中每一个元素，必有一个相应的逆元素（Inverse Element）使得两者相乘为其本身。以一个4次对称轴C4的全部操作所构成的群G来说明4个基本性质。两个独立群的直接积设有两个独立群 GA和GB，其中GA是n阶群，GB是m阶群。两个群中除了恒等元素外，没有其它共有元素，两个群的元素间相乘有 ai · bj=bj · ai 交换律，即两个群的直接积G以 G G A G B 表示：
立方系各晶类的投影图
在(e)所示：在投影面上{111)位置4个3轴，单胞3个轴为4次轴，过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等效点系共有48个点。 5种点群中(e) 是该晶系的全对称点群。从这5种点群可以看到立方晶系不一定有4次轴，例如点群(a) 和(b) 就没有4次轴。另外，立方晶系并不一定总是具有最高的对称性，例如四方晶系的点群D4h-4／mmm(16阶)和六方晶系的点群D6h-6／mmm(24阶)就比立方晶系的点群T-23(12阶)的对称性高。
这两种类型的对称操作正是描述整个晶体结构对称性的基本操作。图 (a)是正交点阵的阵点上放上对称性为 C2vmm2 的物体的空间群的俯视图。
(a)正交晶系的Pmm2空间群
图中画出单胞的轮廓，原点选在左上角，a轴指向页底，b 轴指向右， c 轴从页面指出来。以圆圈排列来表示它的对称性，在左边的图中每个阵点的对称性用一般位置点的等效点系表示。其中每一个圆圈既可以代表晶体中单个原子，也可以代表原子集团。在右边的图上给出对称元素的配置。在原点有一个沿 c 方向的2次轴和 2个镜面 (用粗线表示 )。 P- 初基点阵， mm2基本操作。非基本操作（附加的2次轴和镜面）未表示。

点群格子及空间群

21 D62
22 D72
23 D82
24 D92
25
C12v
26
C22v
27
C32v
28
C42v
29
C52v
30
C62 v
31
C72v
32
C82v
33
C92v
34
C102v
35
C112v
36
C122v
37
C132v
P1
1 C1
43
P-1
1 Ci
44
45
P2
46
P21
2
47
C2（A2，Ⅰ2） C2
48
156
C3v1
P4 P41 P42
I-4m2 I-4c2 1-42m 1-42d P4/mm P4/mcc P4/nbm P4/nnc P4/mbm P4/mnc P4/nmm P4/ncc P42/mmc P42/mcm P42/nbc P42/nnm P42/mbc P42/mnm P42/nmc P42/ncm I4/mmm I4/mcm I41/amd I41/acd P3 P31 P32 R3 P-3 R-3 P312 P321 P3112 P3121 P3212 P3221 R32
Pmma(Pmmb,pmam,
Pmcm, Pbmm, Pcmm)
Pnna(Pnnb,Pnan,
Pncn,Pbnn, Pcnn)
Pmna(Pnmb, Pman,
Pncm,Pbmn,Pcnn)
Pcca(Pccb,Pbab,Pbcb,
Pbaa,Pcaa)
mmm
Pbam(Pcma, Pmcb)
Pccn(Pbnb, Pnaa)

点群和空间群

国际符号international symbol 采用国际符号，不仅可以表示出各种晶类中有那些对称元素，而且还能表示出这些对称元素在空间的方向。

国际符号根据各种晶类的对称性可以是三项、或二项、或一项符号组成，它分别表示晶体某三个、或二个、或一个方向上的对称元素。

如果在某一个方向上，同时具有对称轴和垂直于此轴的对称面，则写成分数形式。

熊夫利斯（Sch öenfles ）符号C n ：字母表示旋转的意思，组标n 表示旋转的次数，n=1、2、3、4、6。

例如C 2代表二次旋转轴。

C nh ：表示除了n 次旋转轴外，还包括一个与此轴垂直的对称面。

C nv ：表示除了n 次旋转轴外，还包括一个与此轴重合（即平行）的对称面。

C ni ：表示除了n 次旋转轴外，还包括一个对称中心。

C i：表示有一个对称中心。

S4：表示有一个四次旋转倒反轴。

D n：表示除了n次主旋转轴外，还包括n 个与之轴垂直的二次旋转轴。

D nh：表示除了D n的对称性外，还包括一个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二次旋转轴重合（即平行）的对称面。

D nd：表示除了D n的对称性外，还包括n个T：除了四个三次旋转轴外，还包括三个正交的二次旋转轴。

T h：除了T的对称性外，还包括与二次旋转轴垂直的三个对称面。

T d：除了T的对称性外，还包括六个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。

O：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六个二次旋转轴，和四个三次旋转轴。

O h：除了O的对称性外，还包括T d与T h的对国际符号与熊氏符号对比国际符号熊氏符号1C 12C 23C 34C 46C 6m C sC i ，S 2S 14其它注意事项由于分子没有无限周期性的限制，所以分子点群的数目要多于晶体中的点群数目32个；自然界对称性很多，例如：五度对称性，足球，富勒烯C 60,buckministerfullerence ，碳管小结summary密勒指数（Miller indices）对称元素和对称操作晶体的三十二个点群对称性和点群对于压电铁电体非常重要！只有晶体才会有压电铁电性，不存在非晶压电铁电体。

点群和空间群

点群和空间群
群是一个集合的概念。

点群和空间群是对称操作的集合。

群具有封闭性的特点。

点群是指一个晶体中点对称元素的集合。

所谓点对称操作，就是说对称操作时，晶格中至少有一点保持不动。

这也就是针对前面所说的宏观对称要素。

根据计算，总共有32种点群。

根据对点阵的讨论，根据六个点阵参数的相互关系可将晶体分为7种晶系，而现在按对称性又有32种点群，这表明同属一种晶系的晶体可为不同点群。

因为晶体的对称性不仅决定与所属晶系，还决定于其阵点上的原子组合情况。

通过对点群特征的分析，可以判断晶体所属晶系。

空间群用以描述晶体中原子组合的所有可能方式，是确定晶体结构的依据。

它是通过宏观和微观对称元素在三维空间的组合而得出。

属于同一点阵的晶体可因其微观对称元素的不同而分属不同的空间群。

故可能存在的空间群数目远远多于点阵数。

已证明晶体中可能存在的空间群有230种，分属32个点群。

点群空间群和晶体结构

点群空间群和晶体结构
一、点群
点群是模拟物体在实际应用中的一种常用方法，它可以使用离散的点
来模拟物体的形状，形成空间网格。

它比传统三维建模技术更易于实现，
更少的信息就可以获得一个物体的完整几何描述。

点群可以被用来快速创建几何模型，而且可以利用点的位置和位置关
系来描述一个物体的形状特征，例如法向量和曲率，这对于计算机视觉、
求解机器人运动规划任务等都是非常有用的信息。

点群技术也被用来提取
复杂物体的特征，比如可以通过计算点群中局部点的法向量和曲率等特征
来识别物体的形状。

点群技术的另一个重要应用是三维重构，也就是把两个点群之间的关
系映射为3D模型，这样可以根据点群之间的变换关系或者任意点群之间
的距离来精确恢复模型的几何形状和位置变换。

点群技术的另一个作用就是可以将点群视为物体制作模型的基础构件，如通过点群文件可以构建3D打印、CAD和CAM模型。

二、空间群
空间群是由含有三维空间元素的群体组成的，是用来描述三维物体的
空间结构的一种技术。

空间群可以帮助科学家和工程师深入理解物体的表
面结构，从而更好地控制物体的生长和变化。

32个点群和230个空间群

记号
备注
晶系
点群
空间群
编号
空间群
记号
备注
四方
4mm
99
P4mm
非心
三方
32
149
P312
手性
100
P4bm
非心
150
P321
手性
101
P42cm
非心
151
P3112
手性*
102
P42nm
非心
152
P3121
手性*
103
P4cc
非心
153
P3212
手性*
104
P4nc
非心
154
P3221
手性*
105
P42mc
P4122
手性
43
Fdd2
非心*
92
P41212
手性*
44
Imm2
非心
93
P4222
手性*
45
Iba2
非心
94
P42212
手性*
46
Ima2
非心
95
P4322
手性*
mmm
47
Pmmm
中心
96
P43212
手性*
48
Pnnn
中心
97
I422
手性
49
Pccm
中心
98
I4122
手性*
晶系
点群
空间群
编号
空间群
221
Pm3m
中心
204
Im3
中心
222
Pn3n
中心*
205
Ia3

点群和空间群

7
六方晶系正交晶系三斜晶系
59
60
61
62
63
64
重要对称元素的书写与图形记号
A4
A3
4
3
A2
A1
A
整数；T为沿u轴方向上的周期矢量)。
晶体只能有1，2，3，4，6度螺旋轴。
如图所示，为4度螺旋轴。晶体绕
轴转900后，再沿该轴平移a/4，能自身
2 1
26
重合。
2.滑移反映面经过该面的镜象操作
A2
M
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是该方向上的周期矢量，n为 2或4)，晶体中的原子和相同的原子重合。
47
49
230种晶体学空间群
除了宏观对称要素之外，还有平移、平移与旋转结合形成
的螺旋对称轴、平移和反映结合形成的滑移面等微观对称
要素。宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合，称为空间群。经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任
何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
单胞中结点数目：简单(原始)点阵: 1 面心点阵： 4 底心点阵： 2 体心点阵： 2
按照结点在7大种晶系上的不同分布方式，可形成14种布拉菲点阵。
简单点阵 : 1 ［［000］］
体心点阵: 2 [000] [1/2 1/2 1/2 ]
底心点阵:2 [000] [1/2 1/2 0 ]
面心点阵: 4 [000] [1/2 1/2 0] [1/2 0 1/2] [ 0 1/2 1/2]
点群和空间群
1
晶体对称性
2
3
4
5
§1 晶体的特殊对称性——对称操作

空间群、点群

一些物理对象能够在一定的操作下保持不变，这种性质称为对称性，使物理对象保持不变的操作O叫做对称操作。

按顺序先做对称操作O1，再做对称操作O2，显然物理对象保持不变，因此连做两次对称操作是一个新的对称操作O3，可以记为O3 O2O1，O2O1称为对称操作的乘积。

对称操作O的逆操作也保持物理对象不变，因此也是一个对称操作，记为O−1，按照数学上的定义，对称操作全体关于前面定义的乘法成为一个群，称为对称群，对称操作O称为对称元素。

使晶体保持不变的空间变换构成的群称为空间群。

空间群的元素一般写成 R| ，其中R是一个3 3矩阵，代表对称操作的旋转部分（包括空间反演），是一个矢量， R| 把空间矢量r 变为 R| r Rr 。

乘法规则R2| 2 R1| 1 r R2| 2 R1r 1R2R1r R2 1 2R2R1|R2 1 2 r就是说R2| 2 R1| 1 R2R1|R2 1 2因此R−1|−R−1 R| I|0R| −1 R−1|−R−1一般来说即使 R| 是一个对称操作，单纯的转动R也不是对称操作，但是按照上面的乘法和取逆规则，空间群元素的旋转部分全体也构成一个群，这个群叫做点群。

晶体的点群的元素R一般不能保持晶体不变，点群一般不是晶体的空间群的子群。

下面证明几个基本事实：1.对任意格矢l 和对称操作 R| ，都有Rl l ′，也就是说虽然 R|0 一般不能保持晶体不变，但是 R|0 可以保持空间点阵不变。

证明： R| 、 I|l 和 R| −1 R−1|−R−1 都是对称操作，因此它们的乘积也是对称操作，按照上面的乘法规则，我们有R| I|l R−1|−R−1R|Rl R−1|−R−1I|Rl这是一个单纯的平移，因此Rl l ′必定是一个格矢。

2.对称操作的旋转角只能取0，60∘，90∘，120∘，180∘及其整数倍。

证明：首先任取一个不平行于转轴的格矢l ，按照上面的结论，Rl 也是格矢，因此非零矢量Rl −l （如果det R −1，R包含空间反演或镜面反射，则取Rl l ）也是格矢，且从几何关系易知格矢Rl −l （如果det R −1，R包含空间反演或镜面反射，则取Rl l ）垂直于转轴。

点群和空间群

点群和空间群

名词解释

点群格子及空间群

群论第8章

点群空间群和晶体结构介绍

点群与空间群的概念区别

晶体点群、空间群简要归纳

晶体结构空间群点群

第八讲 点群符号空间群

第一章 课时六 点群 空间群 晶格对称性

点群、空间群和晶体结构介绍

点群格子及空间群

点群和空间群

点群和空间群

点群空间群和晶体结构

32个点群和230个空间群

点群和空间群

空间群、点群

第八讲点群符号空间群

第一章课时六点群空间群晶格对称性