点群和空间群

平移不变性（translation invariance） 这样微观对称元素共有两个： ❖ 螺旋轴（screw rotation） ❖ 滑移面（glide）。
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螺旋轴 screw rotations
平移对称与旋转轴对称结合，即形成 “螺旋轴”。螺旋轴操作为绕此轴旋 转360/n后，再沿此轴方向平移l/n 周期，图形即可自身重合，其中n=1、 2、3、4、6，l=1、2、…、（n-1）。 螺旋轴的国际符号为21；31，32；41， 42，43；61，62，63，64，65。
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宏观对称元素的组合，可以导出32
种点群；宏观对称元素与微观对称元
素的组合，可以导出230种空间群。
空间群的国际符号由两部分组成，第
一部分为大写字母P、C、I、F，表
示14种布喇菲格子中的原始格子
（P）、底心格子（C）、体心格子
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Space group P212121 (222)
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晶轴和直角坐标轴的选择
晶面符号和晶棱符号的确定取决于晶轴的 选择，晶轴选择方式不同，晶面符号和晶 棱符号也不一样。其次，在讨论晶体的弹 性性质、介电性质和压电性质时，采用直 角坐标系是比较方便的。由于晶轴之间夹 角不一定等于90，所以选定晶轴之后， 有时还要另选直角坐标系。选择不同的直 角坐标系，所得到的数学表达式也不一样。 为了避免混乱，必须对晶轴的选择和直角
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例如：国际符号31表示三次螺旋轴， 平移为c/3；国际符号32表示三次螺 旋轴，平移为2c/3。螺旋轴与螺旋线 一样，可以有左旋和右旋之别，平移 大于1/2时为左旋，平移小于1/2时 为右旋，平移等于1/2时无左旋和右 旋之别。
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熊夫利斯（Schöenfles）符号
❖ Cn：字母表示旋转的意思，组标n表示旋 转的次数，n=1、2、3、4、6。例如C2 代表二次旋转轴。
❖ Cnh：表示除了n次旋转轴外，还包括一 个与此轴垂直的对称面。
❖ Cnv：表示除了n次旋转轴外，还包括一 个与此轴重合（即平行）的对称面。
❖ Cni：表示除了n次旋转轴外，还包括一 个对称中心。
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❖ Ci：表示有一个对称中心。 ❖ S4：表示有一个四次旋转倒反轴。 ❖ Dn：表示除了n次主旋转轴外，还包括n
个与之轴垂直的二次旋转轴。
❖ Dnh：表示除了Dn的对称性外，还包括一 个与主旋转轴垂直的对称面，和n个与二 次旋转轴重合（即平行）的对称面。
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滑移面 slide
平移对称与对称面结合即形成“滑 移面”。滑移面操作为对此平面反 映后，再沿平行于此平面的某个方 向上平移二分之一或四分之一周期， 图形即可自身重合。滑移面的国际 符号为a、b、c、n、d等。
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例如，a表示沿a轴方向的滑移面， 平移a/2；n表示沿对角线方向的滑 移面，平移（a/2+ b/2），或 （b/2+ c/2）或（c/2+ a/2）；d 表示沿对角线方向的滑移面，但平 移为（a/4+ b/4），或（b/4+ c/4）或（c/4+ a/4）。
❖ 由这些对称操作所构成的集合就是晶体中 的点群；
❖ 点：所有这些对称操作下，肯定有一个点 是不变的；
❖ 晶体中一共有32个这样的点群；
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空间群 space groups 晶轴和直角坐标轴
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空间群的概念
晶体的对称性，不仅包括了宏观对称元素， 而且也包括了微观对称元素。
❖ 由于分子没有无限周期性的限制，所以 分子点群的数目要多于晶体中的点群数 目32个；
❖ 自然界对称性很多，例如：五度对称性， 足球，富勒烯C60, buckministerfullerence，碳管
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（I）和面心格子（F）；第二部分为
对称类型的国际符号（与点群符号类
似）。
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例如空间群I 42d表示四方体心格子，
在沿c轴方向为四次旋转倒反轴，在 a轴与b轴方向上为二次旋转轴，在a 轴与b轴之间的对角线方向上为滑移 面。又如空间群P21212表示是正交 原始格子，沿a轴和b轴方向上为二 次螺旋轴，沿c轴方向为二次旋转轴。
国际符号 international symbol
采用国际符号，不仅可以表示出各种晶类 中有那些对称元素，而且还能表示出这 些对称元素在空间的方向。国际符号根 据各种晶类的对称性可以是三项、或二 项、或一项符号组成，它分别表示晶体 某三个、或二个、或一个方向上的对称 元素。如果在某一个方向上，同时具有 对称轴和垂直于此轴的对称面，则写成 分数形式。
❖ Dnd：表示除了Dn的对称性外，还包括n
个平分两个二次旋转轴夹角的对称面。
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❖ T：除了四个三次旋转轴外，还包括三个 正交的二次旋转轴。
❖ Th：除了T的对称性外，还包括与二次旋 转轴垂直的三个对称面。
❖
Td：除了T的对称性外，还包括六个平分 两个二次旋转轴夹角的对称面。
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小结 summary
❖ 密勒指数（Miller indices） ❖ 对称元素和对称操作 ❖ 晶体的三十二个点群 ❖ 对称性和点群对于压电铁电体非常重要！ ❖ 只有晶体才会有压电铁电性，不存在非
晶压电铁电体。但是有非晶半导体和非 晶磁性材料。
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晶体中的点群
❖ 由于无限大周期性的限制，晶体中的对称 操作只能有：1，2，3，4，6，i，m,4 ；
❖ O：包括三个互相垂直的四次旋转轴，六 个二次旋转轴，和四个三次旋转轴。
❖ Oh：除了O的对称性外，还包括Td与Th的
对称面。
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国际符号与熊氏符号对比
国际符号
熊氏符号
1
C1
2
C2
3
C3
4
C4
6
C6
m
Cs
1
Ci，S2
4
S4
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其它注意事项