基于容积卡尔曼滤波的自适应IMM算法

0
引
言
雷达数据处 机动目标跟踪广泛存在于导航制导、 理、 航天航空以及边境监控等领域， 目前最常用的跟踪 Shalom 提出的 算法是 20 世纪 80 年代由 Blom 和 Bar［1 － 3 ］ 。该算法利用马尔科夫 交互式多模型（ IMM） 算法 概率转移矩阵在不同模型间切换， 调整各运动模型的 权值， 从而达到实时匹配目标运动状态 ， 提高跟踪精度 的目的。2006 年， 臧荣春等提出了一种适用于二模型 ［4 ］ 的马尔科夫参数自适应的 IMM 算法 ， 通过实时调整 马尔科夫参数， 从而实现自适应的目的， 取得了较好的 。 ， 滤波效果 最近 封普文等又提出了一种马尔科夫矩 阵修正的 IMM 算法 ， 将臧荣春提出的算法从二模型 推广到了三个及以上的模型中。通过程序仿真和理论
－ In × n ］ ， I 是 n 维单位阵； 1］= ［ In × n ， 式中： 容积点集［ ［ 1］ j 是第 j 列向量 。 CKF 步骤如下 ： （ 1 ） 时间更新 S k －1 = chol（ P k －1 ） X j， k －1 = S k －1 ξ j + x k －1 X
* j， k ^
｝ ， j= 式中 j 是选用模型的序号， 及协方差｛ P 1， 2， …， M。给定初始马尔科夫转移概率矩阵 П ij 和初
M 始模型概率｛ μ k － 1， j｝ j =1。
= 60 s， 6， 3， 28， 6， 3） ， 初始协方差矩阵为 P0 = diag（ 28， 假
2 定目标在20 s时机动加速度分别变为 a x = － 20 m / s ， 2 a y = － 30 m / a y = － 10 m / s2 ， 在 40 s 时 a x = － 35 m / s ，
EKF 通过泰勒展开， 强， 将非线性系统近似为线性会 带来极大的误差， 从而导致滤波精度下降甚至发散。 UKF 通过 Sigma 点来计算向量的均值和方差， 克服了 EKF 线性近似带来的巨大误差。 但是， UKF 在系统状 一旦系统状态 态维数较低时， 有较好的滤波精度 ， UKF 需要认真调节滤波参数， 维数超过三维， 而且常 常会出现因为协方差矩阵非正定导致的程序错误 ， 导 致滤波精度急剧下降。 近年来， 国外学者 Arasaratnam 和 Haykin 提出了一 ［ 11 ］ ， 种全新的非线性滤波器， 即容积卡尔曼滤波（ CKF ） CKF 通过一组等权值的容积点来近似求解贝叶斯积分， 避免了复杂的运算， 同时， 由于是等权值， 也不用在滤波 。 UKF ， CKF 前刻意去调整滤波参数 相比 在高维系统中 有着更高的滤波精度和数值稳定性， 在导航定位和目标 ［ 12 ］ 跟踪等领域获得了较好的应用 。 本文针对两种模型的情况 ， 在 IMM 算法的基础上 — 27 —
* *
= ΦX j， k －1
m i =1
xk = Σ ωi X* i， k
* T T P k| k －1 = Σ ω j X * j， k X j， k － x k x k + Q k －1 j =1 m
（ 2 ） 量测更新 S k = chol（ P k| k －1 ） X j， k = Sk ξj + xk Z j， k = h （ X j， k）
［10 ］
推导发现， 该方法实现的前提是马尔科夫概率矩阵的 对角元素在本行始终占绝对优势， 但是通过该方法计 算的自适应马尔科夫概率矩阵， 很容易出现几步迭代 后， 矩阵对角元素失去绝对优势而导致程序出现错误
基金项目： 国家自然科学基金资助项目（ 61203007 ） Email： 604227248@ qq． com 通信作者： 戴定成 1009 0122 收稿日期： 2014修订日期： 2015-
m
（ 8） （ 9） （ 10 ） （ 11 ） （ 12 ） （ 13 ） （ 14 ）
图1 AIMMCKF 算法流程图
z k = Σ ω i Z i， k
i =1 T T P zz = Σ ω j Z j， k Z j， k － zk zk + Ｒk j =1 m m
T T P xz = Σ ω j X j， k Z j， k － xk zk j =1 －1 K k = P xz P zz
根据滤波后验信息实时更新马尔科夫概率转移矩阵 ， 增大于匹配模型的转移概率， 减少不匹配模型的概率， 从而实现自适应调节的效果。该文献中提出的误差压 缩率定义如下 λ i （ k） =
^ ^
{z
Ｒk 。
x k = f（ x k +1 ） + v k －1
k
= h（ x k ） + w k
（ 1）
Hale Waihona Puke Baidu
X oi （ k） － X i （ k） X（ k） － X i （ k）
Adaptive IMM Algorithm Based on Cubature Kalman Filter
DAI Dingcheng ， CAI Zongping ， NIU Chuang （ Department of Automation ，The Second Artillery Engineering University ， Xi'an 710025 ，China）
M k － 1 | k － 1， j j =1
M j =1
以
x 方向和 y 方向上的位置、 速度以及加速度。 观测值 z k 是目标的径向距离以及方位角。仿真实验采用两个 1 000 ，250 ， 当前统计模型， 设定仿真初值如下： x0 = ［
T ， 20， 3 000， 150， － 10］ 采样时间 N 采样间隔 T = 1 s，
第 37 卷 第 3 期 2015 年 3 月
现代雷达 Modern Ｒadar 中图分类号： TP391 文献标志码： A
Vol． 37 No． 3 Mar． 2015 文章编号： 1004 － 7859（ 2015） 03 － 0027 － 04
·信号 / 数据处理·
基于容积卡尔曼滤波的自适应 IMM 算法
进行 CKF 滤波时要求解容积点及其权值
{
ξj = ωj =
槡
m ［ 1］ j 2
（ 2）
1 ， j = 1， 2， …， m = 2n m
{
λ1 （ k） =
p21 p11 μ1 （ k） + p21 μ2 （ k）
p12 λ2 （ k） = p12 μ1 （ k） + p22 μ2 （ k）
（ 18 ）
Abstract ： To solve the problem that the filtering accuracy of unscented Kalman filter is tend to decrease or diverge in maneuvering target tracking，an adaptive interacting multiple model cubature Kalman filter（ AIMMCKF） is proposed． Firstly，the cubature Kalman filter is combined with interacting multiple model to improve the filtering precision under highdimensional and nonlinear situation． And then，the adaptive Markov parameter method is utilized in model probability update step． The Markov transition matrix is revised by posterior information，thus the matching model probability is magnified and the switching time is decreased． Finally， two current statistical models are used in target tracking simulation to examine the new algorithm， simulation results demonstrate the availability of AIMMCKF． Key words： target tracking； interacting multiple model； cubature Kalman filter； Markov transition matrix
^ ^
^
^
（ 17 ）
n 式中： x k ∈Ｒ 是系统状态变量； f （ · ） 和 h （ · ） 是非线 性函数； z k 是观测值； 系统噪声 v k － 1 和观测噪声 w k 是 服从高斯分布的零均值噪声， 其 方 差 分 别 为 Qk － 1 和
式中： 分子‖X oi （ k） － X i （ k） ‖定义为某模型滤波估计 值与交互后的估计值的偏差， 而分母则定义为滤波器 的估计值与交互输出值之间的偏差 。 对于两模型系统， 有
戴定成， 蔡宗平， 牛 创
（ 第二炮兵工程大学 自动化系， 西安 710025 ）
针对无迹卡尔曼滤波在高维状态下容易出现滤波精度下降甚至发散的问题， 提出了一种自适应交互 摘要： 在目标跟踪中， 式多模型容积卡尔曼滤波算法 。首先， 将容积卡尔曼滤波引入到交互式多模型算法中， 提高了算法在高维非线性情况下 的滤波精度。然后， 结合马尔科夫参数自适应思想， 在模型概率更新阶段， 利用后验信息修正马尔科夫概率转移矩阵， 增 “当前 ” 大匹配模型的转移概率， 进一步提高模型之间的切换速度 。最后， 在目标跟踪仿真中利用 统计模型对算法进行验 证， 实验结果证明了算法的有效性 。 关键词： 目标跟踪； 交互式多模型； 容积卡尔曼滤波； 马尔科夫矩阵
xk = xk + Kk （ zk － zk ） P k = P k| k －1 + K k P zz K T k
^
（ 15 ） （ 16 ）
2
2． 1
自适应 IMMCKF 算法
马尔科夫参数自适应 IMM 算法 4］ 即 文献［ 中提出了针对 IMM 算法的改进方法，
1
容积卡尔曼滤波
下面简要介绍 CKF 算法。考虑如下非线性系统
通过压缩率修正马尔科夫概率转移矩阵有 1 － λ1 p λ2 12 = λ2 p λ1 21 λ2 1 － p21 λ1 λ1 p λ2 12
P （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7）
* ij
（ 19 ）
通过分析可以看出， μ1 ＞ 当模型 1 为匹配模型时， p12 会减小， p21 会增大， 通过压缩率的调整， 反之亦 μ2 ， 然。即通过马尔科夫参数自适应， 能够让 IMM 算法选 取模型更加逼近目标的运动状态。 2 ． 2 AIMMCKF 算法 本文给出 AIMMCKF 的流程图， 如图 1 所示。
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现代雷达
引入 CKF 滤波器， 同时利用马尔科夫自适应的思想来 调整马尔科夫概率转移矩阵， 提高了滤波精度和数值 稳定性。仿真实验结果表明： 相比于交互式多模型容 积卡尔曼滤波（ IMMCKF） 以及自适应交互式多模型容 积卡尔曼滤波（ AIMMUKF ） ， 本文提出的 AIMMCKF 目 标跟踪效果更好。
— 28 —
·信号 / 数据处理· 具体的算法步骤如下： （ 1 ） 输入交互作用
戴定成， 等： 基于容积卡尔曼滤波的自适应 IMM 算法
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T x， vx ， ax ， y， vy ， a y］ ， xk = ［ 代表目标在笛卡尔坐标系下
假设初始 k = 1 时刻的状态变量 ｛ x k － 1 | k － 1， j｝
［5 ］
的情况， 因此该方法的有效性还有待进一步检验 。 IMM 算法中常用的滤波器有扩 针对非线性系统， 展卡尔曼滤波
［6 － 7 ］
迹卡 尔 曼 滤 波 等。EKF 适用 于 弱 非 线 性 系 统， 一旦系统非线性较
［8 － 9 ］
（ Extended Kalman Filter，EKF ） ， 无 （ Unscented Kalman Filter，UKF ）