四年级数学下册竞赛第七讲格点图形的计算

哪个图形的面积与其他图形不一样？

同学们已经学过了正方形、长方形、三角形、平行四边形及梯形的面积公式，掌握了用公式求面积这一基本方法．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．

怎么做到这一点呢？请大家看下面的例题．

分析 这两个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？注意切成的每一小块面积都要能通过最小正方形或最小正三

米．这个多边形的面积是多少平方厘米？最小正三角形的面积为米．这个多边形的面积是多少平方厘米？

角形的面积来计算，大家动手试一试吧．

练习

1.（1）左图中相邻格点围成的最小正方形的面积为1．这个多边形的面积是多少？（2）右图中相邻格点围成的最小正三角形的面积为1．这个多边形的面积是多少？

例题1中我们把大图形分成了好几块规则的小图形，这种方法称为“分割法”．但是不一定每个图形都很容易分割，有一些图形就是这么奇怪，想把它们分割成规则图形非常不容易，但是如果在它们的周围添上几小块规则图形，恰好能补成一块很大的规则图形．这时我们采用“添补法”就更合适了．

分析 对于这两个图形，像例题1那样的分割法究竟好不好用呢？尝试用添补法会不会更容易？除了图形的形状之外，还有没有什么条件看上去和例题1不一样呢？

练习

2.图中每个最小正方形或三角形的面积都是2，请分别求出两个图中阴影部分的面积．分面积是多少平方厘米？

形的面积是分面积是多少平方厘米？

（1）

（2）

分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形．

添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算．

“割”一题，“补”一题，“割割补补”又一题．下面的例题中，分割法和添补法哪个更好用呢？

分析 大家分别用分割法和添补法试试看吧．

练习

3.图中每个最小正方形的面积都是10，请求出图中阴影部分的面积．

对于复杂的格点图形，使用割补法一定能计算面积．但是割补法有时显得有些繁琐，有没有更简单明了的方法呢？有的．如果图形恰好是顶点都是格点的多边形，即格点多边形，就好办了！

例如，我们要计算如右图的格点多边形面积（假设最小的正方形面积为1）．

割补的方法是可以求出这个图形的面积的，同学们可以自行尝试一下．

我们还有另一种方法，从格点数入手：围成阴影部分的边线，经过了一些格点．这些边界上的格点（图中标成黑色圆点）叫做边界格点，一共有12个；格点图形还完全盖住了一些格点，这些图形内部的格点（图中标成白色圆点）叫做内部格点，一共有1个．

一般的，在最小正方形面积为1的正方形网格中，我们有：

这样，按122116÷+−=计算，我们就得到图中格点图形的面积了．

方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米？

分析 看上去用分割法比添补法要容易一些，但能不能直接用格点公式计算呢？

练习

4.如图，每个小方格的面积都是类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式：

仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍．大家想一下，为什么是这样呢？

分析 试着比较分割法、添补法、公式法，这三个方法哪个更合适？

练习

5.如图，三角形网格的总面积是的面积是多少平方厘米？

96平方厘米，求阴影图形的面积．

对于大部分格点图形而言，分割法和添补法都可以用来求面积．对于特殊的格点图形，如果不易分割，可以试试添补；如果不易添补，可以试试分割；如果用分割法和添补法都不易解决，只能请格点公式出马了！

在用格点公式时，要注意是正方形格点还是三角形格点，是2÷还是2×，是减1还是减2．在数边界格点和内部格点的时候，尽量按顺序来数，一定要做到不重不漏．还有一点容易忽视的是格点图形中最小的正方形或正三角形的面积．大家要看清已知条件给出的是边长还是面积，一定要弄清楚最小正方形或正三角形的面积是多少．

看似这一讲的题目不是很难，怎么保证计算的准确性呢？如果你用分割法计算面积，不妨再用添补法验算一下．如果你用割补法计算面积，不妨再用格点公式算一算．用不同方法得到的都是同样的结果，基本上就不会出错了．

本讲知识点汇总

一、分割法与添补法计算格点图形的面积．二、格点多边形的面积计算公式．

1.在最小的正方形面积为1的图形中：

注意：

例题2题（1）的图形不是一个格点多边形，但可以按照两个格点多边形来算面积．

2.在最小正三角形面积为1的图形中：积是多少平方厘米？

作业

1.如图，每相邻两个格点的距离都是1，那么这两个阴影图形的面积分别是多少？

2.如图，三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为1，请计算图中四个三角形的面积．

3.每个最小正方形面积为2，则图中阴影部分的面积是多少？

4.三角形网格的总面积是100平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

5.如图，三角形点阵所能连出的最小正三角形面积为4，请算出下面两个图形的面积各是多少．

A

B