高中数学学业分层测评含解析北师大版选修
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学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→
上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →
|
为( )
A.
21
6a B ．
66a C.156
a D ．
153a 【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a ，0,0)，C 1(0，a ，a )，
N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．
∵点M 在AC 1→
上且AM →＝12
MC 1→.
∴(x －a ，y ，z )＝1
2(－x ，a －y ，a －z )，
∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3. ∴|MN →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2－a 32 ＝
216
a . 【答案】 A
2．已知平面α的法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (x,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为10
3
，则x ＝( )
【导学号：32550053】
A ．－1
B ．－11
C ．－1或－11
D ．－21
【解析】 PA →＝(x ＋2,2，－4)，而d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪PA →·n |n |＝10
3，
即
|－2x ＋2－4－4|4＋4＋1
＝10
3，解得x ＝－1或－11. 【答案】 C
3．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长是1，则直线DA 1与AC 间的距离为( ) A.1
3 B ．23 C.33
D ．
34
【解析】 建系如图A (1,0,0)，A 1(1，0,1)，C (0,1,0)，AC →＝(－1,1,0)，DA 1→
＝(1,0,1)，
设n ＝(x ，y ，z )，令⎩⎨⎧
n ·AC →＝0n ·DA 1
→
＝0
，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－x ＋y ＝0x ＋z ＝0令x ＝1则n ＝(1,1，－1)
DA →
＝(1,0,0)，DA 1→
与AC 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪DA →·n |n|＝33.
【答案】 C
4．△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD
等于( )
A ．5
B ．41
C ．4
D ．2 5
【解析】 设AD →＝λAC →
，D (x ，y ，z )． 则(x －1，y ＋1，z －2)＝λ(0,4，－3)． ∴x ＝1，y ＝4λ－1，z ＝2－3λ，
∴BD →
＝(－4,4λ＋5，－3λ)．
∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0，∴λ＝－4
5，
∴BD
→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，95，125，
∴|BD →
|＝ 16＋8125＋144
25
＝5.
【答案】 A
5．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1
的距离为( )
A.83 B ．38 C.43
D ．34
【解析】 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2，0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，
D 1(0,0,4)．
∴D 1B 1→
＝(2,2,0)， D 1A →
＝(2,0，－4)，AA 1→
＝(0,0,4)，
设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，
则n ⊥D 1B 1
→
，n ⊥D 1
A →
，∴⎩⎨⎧
n ·D 1B 1
→＝0，n ·D 1
A →
＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.
令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．
∴由AA 1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪AA 1→·n |n |＝4
3.
【答案】 C 二、填空题
6．如图265所示，在直二面角D AB E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△AEB
是等腰直角三角形，其中∠AEB ＝90°，则点D 到平面ACE 的距离为________．
图265
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，E (1,0,0)，D (0，－1,2)，C (0,1,2).AD →＝(0,0,2)，AE →＝(1,1,0)，AC →
＝(0,2,2)，
设平面ACE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧
n ·AE →＝0，
n ·AC →
＝0.
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝0；2y ＋2z ＝0.
令y ＝1，∴n ＝(－1,1，－1)． 故点D 到平面ACE 的距离
d ＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪AD →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝
233. 【答案】
23
3
7．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则点D 到平面ABC 的距离为________．
【导学号：32550054】
【解析】 设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵n ·AB →＝0，n ·AC →
＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ，y ，z ·2，－2，1＝0，x ，y ，z ·4，0，6＝0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －2y ＋z ＝0，
4x ＋6z ＝0，