高中数学学业分层测评含解析北师大版选修
高中数学学业分层测评16含解析北师大版选修28
学业分层测评(十六)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AF 、BF 的长分别为m ,n ,则mnm +n等于( ) A.12aB .14aC .2aD .a4【解析】 抛物线y =ax 2(a >0)的标准方程x 2=1ay∴2p =1a ,p =12a ,∴1m +1n =2p =4a∴mn m +n =11m +1n=14a. 【答案】 B2.设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,曲线y =k x(k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,则k =( )A.12 B .1 C .32D .2【解析】 ∵y 2=4x ,∴F (1,0).又∵曲线y =k x(k >0)与C 交于点P ,PF ⊥x 轴,∴P (1,2). 将点P (1,2)的坐标代入y =k x(k >0)得k =2.故选D. 【答案】 D3.设O 是坐标原点,F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,A 是抛物线上的一点,FA →与x轴正向的夹角为60°,则|OA |为( )A.214p B .212p C.136p D .1336p【解析】 如图所示,设A (x 0,y 0),|FB |=m ,∵∠AFB =60°,∴|AF |=2m ,|AB |=3m ,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=m +p 2y 0=3m由抛物线的定义|AF |=x 0+p2=m +p∴2m =m +p ,∴m =p ,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32p ,3p ,∴|OA |=x 20+y 20=94p 2+3p 2=212p . 【答案】 B4.过点P (4,4)与抛物线y 2=2x 只有一个公共点的直线有( ) A .0条 B .1条 C .2条D .3条【解析】 当直线斜率不存在时,直线与抛物线有两个不同交点,不符合题意,故设直线方程为y -4=k (x -4),由⎩⎪⎨⎪⎧y -4=k x -,y 2=2x ,得:ky 2-2y +8-8k =0.当k =0时,解得:y =4,故直线与抛物线交于点(8,4), 当k ≠0时,由Δ=4-4k (8-8k )=0得:k =2±24,故有两条直线与抛物线相切,故符合条件的直线有3条. 【答案】 D5.设F 为抛物线y 2=4x 的焦点,A ,B ,C 为该抛物线上三点,若FA →+FB →+FC →=0,则|FA→|+|FB →|+|FC →|=( )A .9B .6C .4D .3【解析】 设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ), 由FA →+FB →+FC →=0,得x A +x B +x C =3.∴|FA →|+|FB →|+|FC →|=x A +p 2+x B +p 2+x C +p 2=3+32p =3+32×2=6.【答案】 B 二、填空题6.已知抛物线的离心率为e ,焦点为(0,e ),则抛物线的标准方程为________. 【解析】 由e =1,得焦点为(0,1),∴抛物线的标准方程为x 2=4y . 【答案】 x 2=4y7.已知A (2,0),点B 为抛物线y 2=x 上的一点,求|AB |的最小值为________. 【解析】 设点B (x ,y ),则x =y 2≥0,所以 |AB |=x -2+y 2=x -2+x =x 2-3x +4=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -322+74,所以当x =32时,|AB |取得最小值,且|AB |的最小值为72.【答案】728.已知定点A (-3,0),B (3,0),动点P 在抛物线y 2=2x 上移动,则PA →·PB →的最小值等于________.【导学号:32550080】【解析】 设P (x 0,y 0)则y 20=2x 0,x 0≥0, ∴PA →·PB →=(-3-x 0,-y 0)·(3-x 0,-y 0) =x 20+y 20-9 =x 20+2x 0-9,当x 0=0时,PA →·PB →min =-9. 【答案】 -9 三、解答题9.抛物线的顶点在原点,对称轴是椭圆x 24+y 29=1短轴所在的直线,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的方程及准线方程.【解】 ∵椭圆x 24+y 29=1的短轴在x 轴上,∴抛物线的对称轴为x 轴.设抛物线的标准方程为y 2=2px 或y 2=-2px (p >0), ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3, ∴p2=3,即p =6. ∴抛物线的方程为y 2=12x 或y 2=-12x ,准线方程分别为x =-3或x =3.10.若抛物线y 2=2px (p >0)上有一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6,求点M 的横坐标.【解】 ∵点M 到对称轴的距离为6, ∴设点M 的坐标为(x ,±6).∵点M 到准线的距离为10,∴⎩⎪⎨⎪⎧x +p 2=10,2=2px ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =9,p =2或⎩⎪⎨⎪⎧x =1,p =18.,即点M 的横坐标为1或9.[能力提升]1.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点O 为原点,若|AF |=3,则△AOB 的面积为( )A.22 B . 2 C.322D .2 2【解析】 设∠AFx =θ(0<θ<π)及|BF |=m ,则点A 到准线l :x =-1的距离为3,得3=2+3cos θ,则cos θ=13.又m =2+m cos (π-θ),则m =21+cos θ=32,所以△AOB 的面积为S △AOB =12|OF |·|AB |·sin θ=12×1×(3+32)×223=322.【答案】 C2.如图322,过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ,B ,交其准线l 于点C ,若|BC |=2|BF |,且|AF |=3,则此抛物线的方程为( )图322A .y 2=9x B .y 2=6x C .y 2=3xD .y 2=3x【解析】 如图,分别过A ,B 作AA 1⊥l 于点A 1,BB 1⊥l 于点B 1,由抛物线的定义知:|AF |=|AA 1|,|BF |=|BB 1|,∵|BC |=2|BF |,∴|BC |=2|BB 1|, ∴∠BCB 1=30°,∴∠AFx =60°,连接A 1F ,则△AA 1F 为等边三角形,过点F 作FF 1⊥AA 1于点F 1,则F 1为AA 1的中点,设l 交x 轴于点K ,则|KF |=|A 1F 1|=12|AA 1|=12|AF |,即p =32,∴抛物线方程为y 2=3x ,故选C. 【答案】 C3.已知定点Q (2,-1),F 为抛物线y 2=4x 的焦点,动点P 为抛物线上任意一点,当|PQ |+|PF |取最小值时,P 的坐标为________.【解析】 设点P 在准线上的射影为D ,则根据抛物线的定义可知|PF |=|PD |, ∴要使|PQ |+|PF |取得最小值,即需D ,P ,Q 三点共线时|PQ |+|PF |最小.将Q (2,-1)的纵坐标代入y 2=4x 得x =14,故P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14,-1.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14,-14.过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点.点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.求证:直线AC 经过原点O .【证明】 如图,∵抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2,0,∴经过点F 的直线AB 的方程可设为x =my +p2,代入抛物线方程得y 2-2pmy -p 2=0,若记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1,y 2是该方程的两个根,所以y 1y 2=-p 2.∵BC ∥x 轴,且点C 在准线x =-p2上,∴点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-p2,y 2,故直线CO 的斜率为k =y 2-p 2=-2y 2p =y 1x 1, 即k 也是直线OA 的斜率,所以直线AC 经过原点O .。
高中数学学业分层测评13(含解析)北师大版选修2-1(2021学年)
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学业分层测评(十三)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.椭圆错误!+错误!=1的焦点坐标为( )A.(5,0),(-5,0) B.(12,0),(-12,0)C.(0,12),(0,-12) D.(13,0),(-13,0)【解析】∵a2=169,b2=25,∴c2=169-25=144,∴c=12,又∵焦点在x轴上,∴焦点为(12,0),(-12,0).【答案】B2.对于常数m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆"的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件ﻩD.即不充分也不必要条件【解析】mn>0,若m=n则mx2+ny2=1不是椭圆.若方程mx2+ny2=1是椭圆则“mn>0一定成立."【答案】B3.过点(3,-2)且与椭圆\f(x2,9)+错误!=1有相同焦点的椭圆的方程是()A.错误!+错误!=1 B.错误!+错误!=1C.\f(x2,10)+错误!=1 D.错误!+错误!=1【解析】椭圆错误!+错误!=1的焦点在x轴上,且c2=5.设所求的椭圆方程为错误!+错误!=1,将(3,-2)代入方程得错误!+错误!=1,解得a2=15,故所求椭圆方程为\f(x2,15)+错误!=1。
高中数学 学业分层测评2(含解析)北师大版选修21
学业分层测评(二)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.“-2<x <1”是“x >1或x <-1”的( )A .充分条件B .必要条件C .既不充分也不必要条件D .充要条件【解析】 ∵-2<x <1x >1或x <-1,且x >1或x <-1-2<x <1,∴“-2<x <1”是“x >1或x <-1”的既不充分,也不必要条件.【答案】 C2.a <0,b <0的一个必要条件为( )A .a +b <0B .a -b >0 C.a b >1D .a b <-1【解析】 a +b <0a <0,b <0,而a <0,b <0⇒a +b <0. 【答案】 A3.“ab ≠0”是“直线ax +by +c =0与两坐标轴都相交”的( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】 ab ≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0,b ≠0,此时直线ax +by +c =0与两坐标轴都相交;又当ax +by +c =0与两坐标轴都相交时,a ≠0且b ≠0.【答案】 C4.一元二次方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分条件是( )A .a ≤0B .a >0C .a <-1D .a <1 【解析】 ∵一元二次方程ax 2+2x +1=0(a ≠0)有一正根和一负根.∴x 1x 2<0.即1a<0⇔a <0,本题要求的是充分条件.由于{a |a <-1}⊆{a |a <0},故答案应为C.【答案】 C5.设0<x <π2,则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】 因为0<x <π2,所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1,因此必要性成立.由x sin 2x <1得x sin x <1sin x ,而1sin x>1,因此充分性不成立. 【答案】 B二、填空题6.满足sin α=12的一个充分条件是α=____(填一角即可). 【解析】 ∵α=π6⇒sin α=12, ∴sin α=12的一个充分条件可以是α=π6. 【答案】 π67.已知“x >k ”是“3x +1<1”的充分条件,则k 的取值范围是________. 【导学号:32550004】【解析】 解不等式3x +1<1得,x <-1或x >2, ∵x >k ⇒x >2或x <-1∴k ≥2.【答案】 [2,+∞)8.已知p :x ∈A ={x |x 2-2x -3≤0,x ∈R },q :x ∈B ={x |x 2-2mx +m 2-4≤0,x ∈R ,m ∈R }.若p 是綈q 的充分条件,则实数m 的取值范围是________.【解析】 ∵A ={x |-1≤x ≤3},B ={x |m -2≤x ≤m +2},∴∁R B ={x |x <m -2或x >m +2}.∵p 是綈q 的充分条件,∴A ⊆∁R B ,∴m -2>3或m +2<-1,∴m >5或m <-3.【答案】 (-∞,-3)∪(5,+∞)三、解答题9.分别判断下列“若p ,则q ”命题中,p 是否为q 的充分条件或必要条件,并说明理由.(1)p :sin θ=0,q :θ=0;(2)p :θ=π,q :tan θ=0;(3)p :a 是整数,q :a 是自然数;(4)p :a 是素数,q :a 不是偶数.【解】 (1)由于p :sin θ=0⇐q :θ=0,p :sin θ=0 q :θ=0, 所以p 是q 的必要条件,p 是q 的不充分条件.(2)由于p :θ=π⇒q :tan θ=0,p :θ=π⇐/ q :tan θ=0,所以p 是q 的充分条件,p 是q 的不必要条件.(3)由于p :a 是整数q :a 是自然数,p :a 是整数⇐q :a 是自然数,所以p 是q 的必要条件,p 是q 的不充分条件.(4)由于p :a 是素数⇔/ q :a 不是偶数,所以p 是q 的不充分条件,p 是q 的不必要条件.10.已知p :4x +k ≤0,q :x 2-x -2<0,且p 是q 的必要条件,求k 的取值范围.【解】 由4x +k ≤0,得x ≤-k 4;由x 2-x -2<0,得-1<x <2.设A = ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤-k 4,B ={x |-1<x <2},由p 是q 的必要条件,得A ⊇B .∴-k 4≥2,∴k ≤-8.即k 的取值范围为(-∞,-8].[能力提升]1.不等式1-1x >0成立的充分条件是( )A .x >1B .x >-1C .x <-1或0<x <1D .x <0或x >1【解析】 x >1⇒1-1x >0,故选A.【答案】 A2.设a ,b 为向量,则“a ·b =|a ||b |”是“a ∥b ”的() A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】 ∵a·b =|a||b|cos 〈a ,b 〉=|a||b|,∴cos 〈a ,b 〉=1,∴〈a ,b 〉=0,∴a·b =|a||b|⇒a∥b .而∵a∥b 夹角可为π,∴a·b =-|a||b|,∴a·b =|a||b|⇐/ a∥b ,故选A.【答案】 A3.(2016·长春高二检测)如果命题“若A ,则B ”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A 是B 的________条件.【解析】 否命题为真,则逆命题为真.∴“若B ,则A ”为真,∴B ⇒A ,而原命题为假设A B ,∴A 是B 的必要条件.【答案】 必要4.已知p :x 2-2x -3<0,若-a <x -1<a 是p 的一个必要条件但不是充分条件,求使a >b 恒成立的实数b 的取值范围.【解】 由于p :x 2-2x -3<0⇔-1<x <3,-a <x -1<a ⇔1-a <x <1+a (a >0).依题意,得{x |-1<x <x |1-a <x <1+a }(a >0), 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1-a ≤-1,1+a ≥3,2a >4.解得a >2,则使a >b 恒成立的实数b 的取值范围是b ≤2,即(-∞,2].。
新高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2_1
新高中数学学业分层测评11含解析北师大版选修2_1(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.如图257,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是棱BB 1,B 1C 1的中点,若∠CMN =90°,则异面直线AD 1与DM 的夹角为( )图257A .30°B .45°C .60°D .90°【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,设D 1C 1=a ,C 1B 1=b ,C 1C =c .则D 1(0,0,0),A (0,b ,c ),D (0,0,c ),C (a,0,c ),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,b ,12c ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,12b ,0. 则MN →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-12b ,-12c ,MC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-b ,12c .∵∠CMN =90°,∴MN →·MC →=0. 即12b 2-14c 2=0,即b 2=12c 2. ∴AD 1→·DM →=(0,-b ,-c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,b ,-12c=-b 2+12c 2=0.∴AD 1与DM 的夹角为90°. 【答案】 D2.如图258,在正四面体A BCD 中,E 为棱AD 的中点,则CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为( )图258A.32B .23 C.12D .33【解析】 作AO ⊥平面BCD 于O ,则O 是△BCD 的中心,以O 为坐标原点,OD 为y 轴,OA 为z 轴建立空间直角坐标系,设AB =2,则O (0,0,0),A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,263,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-33,0,E ⎝⎛⎭⎪⎫0,33,63, ∴OA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,263,CE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,233,63,∴cos 〈OA →,CE →〉=OA →·CE →|OA →||CE →|=43263×3=23.∴CE 与平面BCD 的夹角的正弦值为23. 【答案】 B3.过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABC ,且PA =AB ,则平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为( )A .75°B .60°C .45°D .30° 【解析】 以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,不妨设AB =1,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),P (0,0,1),从而PD →=(0,1,-1),CD →=(-1,0,0).设平面ABC 与平面PCD 的法向量分别为n 1,n 2,取n 1=AP→=(0,0,1).设n 2=(x ,y ,z ),由n 2⊥CD →,n 2⊥PD →,可得⎩⎨⎧n 2·CD →=-x =0n 2·PD →=y -z =0,可取n 2=(0,1,1).于是cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=0+0+11×2=22,所以平面ABC 与平面PCD 所成锐二面角的度数为45°.【答案】 C4.如图259所示,已知点P 为菱形ABCD 所在平面外一点,且PA ⊥平面ABCD ,PA =AD =AC ,点F 为PC 中点,则平面CBF 与平面DBF 夹角的正切值为( )图259A.36 B .34C.33D .233【解析】 设AC ∩BD =O ,连接OF ,以O 为原点,OB ,OC ,OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设PA =AD =AC =1,则BD =3,∴B ⎝⎛⎭⎪⎫32,0,0,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,12,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,0,0.∴OC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0,且OC →为平面BDF 的一个法向量.由BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,12,0,FB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,0,-12可得平面BCF 的一个法向量n =(1,3,3).∴cos 〈n ,OC →〉=217,sin 〈n ,OC →〉=277.∴tan 〈n ,OC →〉=233.【答案】 D5.P 是二面角αAB β棱上的一点,分别在α,β平面内引射线PM ,PN ,如果∠BPM =∠BPN =45°,∠MPN =60°,那么α与β的夹角大小为( )【导学号:32550047】A .60°B .70°C .80°D .90°【解析】 设PM =a ,PN =b ,作ME ⊥AB ,NF ⊥AB ,则因∠BPM =∠BPN =45°,故PE =a 2,PF =b2.于是EM →·FN →=(PM →-PE →)·(PN →-PF →)=PM →·PN →-PM →·PF →-PE →·PN →+PE →·PF →=ab cos 60°-a ·b2cos 45°-a2·b cos 45°+a2·b2=ab 2-ab 2-ab 2+ab2=0.因为EM ,FN 分别是α,β内的与棱AB 垂直的两条直线,所以EM →与FN →的夹角就是α与β的夹角.【答案】 D 二、填空题6.若平面α的一个法向量为m =(3,3,0),直线l 的一个方向向量为b =(1,1,1),则l 与α所成角的余弦值为________.【解析】 ∵平面α的法向量为m =(3,3,0),直线l 的一个方向向量为b =(1,1,1).则cos 〈m ,b 〉=m·b |m ||b |=1×3+1×3+032×3=63,sin 〈m ,b 〉=33. ∴l 与α所成角的余弦值为33. 【答案】337.正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角,则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是________.【导学号:32550048】【解析】 建立如图坐标系,设AB =1,则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,32,A (0,0,0),AD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,32,F (1,0,0),B (0,1,0),BF →=(1,-1,0).cos θ=AD →·BF →|AD →|·|BF →|=12+0+01·2=24.【答案】248.如图2510所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,A 1C 与AB 夹角的余弦值为________,A 1C 1与平面BB 1C 1C 夹角为________,平面A 1BCD 1与平面ABCD 的夹角为________.图2510【解析】 ∠A 1CD 是A 1C 与AB 的夹角,cos ∠A 1CD =13=33; ∠A 1C 1B 1是A 1C 1与面BC 1的夹角,∠A 1C 1B 1=45°; ∠A 1BA 是面A 1BCD 1与面ABCD 的夹角,∠A 1BA =45°. 【答案】3345° 45° 三、解答题9.如图2511,在三棱锥S ABC 中,∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°,AC =2,BC =13,SB =29.图2511(1)求证:SC ⊥BC ;(2)求SC 与AB 所成角的余弦值.【解】 (1)证明:如图,取A 为原点,垂直于AB 的直线为x 轴,AB ,AS 分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则有AC =2,BC =13,SB =29,得B (0,17,0)、S (0,0,23)、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317,417,0, ∴SC →=⎝⎛⎭⎪⎫21317,417,-23, CB →=⎝⎛⎭⎪⎫-21317,1317,0. ∵SC →·CB →=0,∴SC ⊥BC . (2)设SC 与AB 所成的角为α AB →=(0,17,0),SC →·AB →=4,|SC →||AB →|=417, ∴cos α=SC →·AB →|SC →||AB →|=1717,即为所求.10.如图2512,在三棱柱ABO A 1B 1O 1中,OA ⊥OB ,且OB =3,OA =4,BB 1=4,D 为A 1B 1的中点.P 为BB 1上一点,且OP ⊥BD .图2512求直线OP 与底面AOB 的夹角的正弦值.【解】 以O 点为原点,以OB ,OA ,OO 1分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,由题意,有O (0,0,0),B (3,0,0),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,2,4,B 1(3,0,4). 设P (3,0,z ),则BD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,2,4,OP →=(3,0,z ). ∵BD ⊥OP ,∴BD →·OP →=-92+4z =0,解得z =98.∵BB 1⊥平面AOB , ∴BB 1→是底面AOB 的一个法向量,且BB 1→=(0,0,4). ∴sin ∠POB =|cos ∠BPO |=|OP →·BB 1→||OP →||BB 1→|=923738×4=37373.∴直线OP 与底面AOB 夹角的正弦值为37373.[能力提升]1.平面α的一个法向量为n 1=(4,3,0),平面β的一个法向量为n 2=(0,-3,4),则平面α与平面β夹角的余弦值为( )A .-925B .925 C.725D .以上都不对【解析】 cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=-925,∴平面α与平面β夹角的余弦值为925.【答案】 B2.已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形,AB ∥DC ,∠DAB =90°,PA ⊥底面ABCD ,且PA =AD =DC =12,AB =1,则AC 与PB 所成的角的余弦值为( )A.55B .105C.155 D .255【解析】 以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A xyz ,则各点坐标为A (0,0,0),B (0,1,0),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,0,P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,12,从而AC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,0,PB →=⎝⎛⎭⎪⎫0,1,-12, 所以cos 〈AC →,PB →〉=AC →·PB →|AC →|·|PB →|=105.【答案】 B3.正四棱锥S ABCD 中,O 为顶点在底面上的投影,P 为侧棱SD 的中点,且SO =OD ,则直线BC 与平面PAC 的夹角是________.【解析】 如图,以O 为原点建立空间直角坐标系,设OD =SO =OA =OB =OC =a ,则A (a,0,0),B (0,a,0),C (-a,0,0),P ⎝⎛⎭⎪⎫0,-a 2,a 2,则CA →=(2a,0,0),AP →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-a ,-a 2,a 2,CB →(a ,a,0).设平面PAC 的法向量为n ,可求得n =(0,1,1),设BC 与平面PAC 的夹角为θ,则sin θ=|cos 〈CB →,n 〉|=12,∴θ=30°.【答案】 30°4.如图2513,在四棱锥P ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AD ⊥AB ,AB ∥DC ,AD =DC =AP =2,AB =1,点E 为棱PC 的中点.【导学号:32550049】图2513(1)证明:BE ⊥DC ;(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;(3)若F 为棱PC 上一点,满足BF ⊥AC ,求二面角F AB P 的余弦值.【解】 依题意,以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B (1,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P(0,0,2)由E 为棱PC 的中点,得E (1,1,1). (1)证明:BE →=(0,1,1),DC →=(2,0,0), 故BE →·DC →=0,所以BE ⊥DC .(2)BD →=(-1,2,0),PB →=(1,0,-2). 设n =(x ,y ,z )为平面PBD 的法向量,则⎩⎨⎧n ·BD →=0,n ·PB →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧-x +2y =0,x -2z =0.不妨令y =1,可得n =(2,1,1)为平面PBD 的一个法向量. 于是有cos 〈n ,BE →〉=n ·BE →|n |·|BE →|=26×2=33.所以,直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33. (3)BC →=(1,2,0),CP →=(-2,-2,2),AC →=(2,2,0),AB →=(1,0,0). 由点F 在棱PC 上,设CF →=λCP →,0≤λ≤1.故BF →=BC →+CF →=BC →+λCP →=(1-2λ,2-2λ,2λ).由BF ⊥AC ,得BF →·AC →=0,因此,2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=34.即BF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12,32. 设n 1=(x ,y ,z )为平面FAB 的法向量,则⎩⎨⎧n 1·AB →=0,n 1·BF →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x =0,-12x +12y +32z =0.不妨令z =1,可得n 1=(0,-3,1)为平面FAB 的一个法向量.取平面ABP 的法向量n 2=(0,1,0).则cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=-310×1=-31010,易知,二面角F AB P 是锐角,所以其余弦值为31010.。
高中数学学业分层测评5(含解析)北师大版选修2-1(2021学年)
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学业分层测评(五)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知原命题是“若r,则p或q”,则这一命题的否命题是( )A.若綈r,则p且qﻩB.若綈r,则綈p或綈qC.若綈r,则綈p且綈qD.若綈r,则綈p且q【解析】“p或q”的否定为“綈p且綈q”.根据否命题的定义知:选项C正确.【答案】C2.命题p:点A在直线y=2x-3上,q:点A在抛物线y=-x2上,则使“p且q”为真命题的一个点A(x,y)是()【导学号:32550014】A.(0,-3) B.(1,2)C.(1,-1) D.(-1,1)【解析】若“p且q”为真命题,则p为真命题,q为真命题,则A点既在直线y=2x-3上,又在抛物线y=-x2上,所以通过验证只有C正确.【答案】C3.对于p:x∈A∩B,则綈p()A.x∈A且x∉BﻩB.x∉A或x∈BC.x∉A或x∉BD.x∈A∪B【解析】p等价于x∈A且x∈B,所以綈p为x∉A或x∉B.【答案】 C4.已知命题p:对任意a∈R,且a>0,a+\f(1,a)≥2,命题q:存在x0∈R,sin x0+cosx0=\r(3),则下列判断正确的是( )A.p是假命题ﻩ B.q是真命题C.p且(綈q)是真命题D.(綈p)且q是真命题【解析】由均值不等式知p为真命题;因为sin x0+cos x0=错误!sin错误!≤错误!,所以q为假命题,则綈q为真命题,所以p且(綈q)为真命题.故选C.【答案】 C5.命题p:函数y=log a(ax+2a)(a>0且a≠1)的图像必过定点(-1,1);命题q:如果函数y=f(x)的图像关于(3,0)对称,那么函数y=f(x-3)的图像关于原点对称,则有( )A.“p且q”为真ﻩB.“p或q”为假C.p真q假ﻩD.p假q真【解析】将点(-1,1)代入y=log a(ax+2a),成立,故p为真;由y=f(x)的图像关于(3,0)对称,知y=f(x-3)的图像关于(6,0)对称,故q为假.【答案】C二、填空题6.命题p:“相似三角形的面积相等”则綈p为________,否命题为________.【解析】綈p只否定命题的结论,而否命题则是命题的条件、结论都否定.【答案】相似三角形的面积不相等若三角形不相似则它们的面积不相等7.已知命题p:若实数x,y满足x2+y2=0,则x,y全为零.命题q:若a>b,则错误!<错误!.给出下列四个命题:①p且q;②p或q;③非p;④非q其中真命题是________.【解析】显然p为真命题;当a=1,b=-2时,q不成立,所以q是假命题.从而“p且q”“非p”为假命题,“p或q”“非q"为真命题.【答案】②④8.已知命题p:函数f(x)=lg(x2-4x+a2)的定义域为R;命题q:当m∈[-1,1]时,不等式a2-5a-3≥错误!恒成立,如果命题“p或q”为真命题,且“p且q"为假命题,则实数a 的取值范围是____________.【解析】若命题p为真,则Δ=16-4a2<0⇒a>2或a<-2.若命题q为真,因为m∈[-1,1],所以错误!∈[2错误!,3].因为对于任意m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥错误!恒成立,只需满足a2-5a-3≥3,解得a≥6或a≤-1.命题“p或q”为真命题,且“p且q"为假命题,则p,q一真一假.①当p真q假时,可得错误!⇒2<a<6;②当p假q真时,可得错误!⇒-2≤a≤-1.综合①②,可得a的取值范围是[-2,-1]∪(2,6).【答案】[-2,-1]∪(2,6)三、解答题9.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式,并判断真假.(1)p:2n-1(n∈Z)是奇数;q:2n-1(n∈Z)是偶数.(2)p:a2+b2〈0,q:a2+b2≥0。
高中数学学业分层测评13含解析北师大版选修
点 P 的横坐标 x0= ________.
→ 【解析】 由题意知 F1(2,0),F2(-2,0), F1P= (x0- 2,y0)
→ F2P= (x0+2,y0),∵∠ F1PF2= 90°,
→→ ∴ F1P· F2P= (x0- 2)(x0+2)+ y20= 0,
又∵
y20= 1-
x20 ,∴
5
x20
-
4+
1-
x
2 0
=
5
0,
15
∴ x0=±
. 2
15 【答案】 ±
2 x2 y2
4.设 M(x, y)是椭圆 16+ 9 = 1 上的任意一点,求 x+ y 的最值.
【解】 设 x= 4cos θ, y= 3sin θ, θ∈ [0, 2π),则 x+ y= 4cos θ+ 3sin θ=5sin (θ+ φ),
x2 y2 故所求椭圆方程为 15+ 10= 1.
【答案】 A 4.已知 A(0,- 1)、B(0,1)两点,△ABC 的周长为 6,则△ ABC 的顶点 C 的轨迹方程是 ( )
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》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
x2 y2 A. 4 + 3 = 1(x≠± 2)
C.充要条件
பைடு நூலகம்
D .既不充分也不必要条件
【解析】
x2
y2
将曲线 C 的方程化为: 5- k+ k- 3=1,若曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,
则有 k- 3>5- k> 0,即 4< k<5,故“ 4≤ k< 5”是“曲线 C 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的
必要不充分条件.
【答案】 A
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高中数学学业分层测评14含解析北师大版选修2_1
——教学资料参考参考范本——高中数学学业分层测评14含解析北师大版选修2_1______年______月______日____________________部门(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.若点P(a,1)在椭圆+=1的外部,则a 的取值范围为( )【导学号:32550071】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-233,233 B.∪⎝⎛⎭⎪⎫233,+∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫43,+∞D.⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-43 【解析】 因为点P 在椭圆+=1的外部, 所以+>1,解得a >或a <-. 【答案】 B2.已知椭圆+=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF⊥x 轴,直线AB 交y 轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是( )A. B .22C.D .12【解析】 如图,由题意得OP∥FB,=2,∴==,即=.∴=e=.【答案】D3.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为( )A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1【解析】由题意设椭圆G的方程为+=1(a>b>0),因为椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12,所以a=6.由离心率为,得=,解得c=3.所以b2=a2-c2=36-27=9,则椭圆G的方程为+=1.【答案】A4.椭圆(1-m)x2-my2=1的长轴长为( )A. B.2m-1m-1C.-D.-2--m1-m【解析】椭圆标准方程为+=1,∴∴m<0.此时1-m>-m>0,∴<-.∴a2=-,b2=,2a=2=-.【答案】C5.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A. B .⎝ ⎛⎦⎥⎤0,34C.D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫34,1【解析】 根据椭圆的对称性可求得a 的值,再根据短轴的端点到直线的距离求得b 的取值范围,代入离心率公式即可得答案.根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ,B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a =2(|AF|+|BF|)=8,所以a =2.又d =≥,所以1≤b<2,所以e ===.因为1≤b<2,所以0<e≤,故选A.【答案】 A 二、填空题6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是______________________.【解析】 由已知得∴a2=16,b2=4. ∴标准方程为+=1. 【答案】 +=17.椭圆+=1和+=k(k >0,a >0,b >0)具有________. ①相同的顶点;②相同的离心率;③相同的焦点;④相同的长轴和短轴.【解析】 不妨设a >b ,则椭圆+=k 的离心率e2==.而椭圆+=1的离心率e1=,故②正确.【答案】 ②8.焦点在x 轴上的椭圆,焦距|F1F2|=8,离心率为,椭圆上的点M 到焦点F1的距离2,N 为MF1的中点,则|ON|(O 为坐标原点)的值为________.【导学号:32550072】【解析】∵|F1F2|=2c=8,e==,∴a=5,∵|MF1|+|MF2|=2a=10,|MF1|=2,∴|MF2|=8.又∵O,N分别为F1F2,MF1的中点,∴ON是△F1F2M的中位线,∴|ON|=|MF2|=4.【答案】4三、解答题9.已知椭圆mx2+(m+3)y2=m(m+3)(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.【解】椭圆方程可化为+=1,则a2=m+3,b2=m,c==.所以e==,解得m=1,则a=2,b=1,c=.所以椭圆的标准方程为+y2=1,椭圆的长轴长为4;短轴长为2;焦点坐标分别为(-,0),(,0);顶点坐标分别为(-2,0),(2,0),(0,1),(0,-1).10.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求该椭圆的方程;(2)若P是该椭圆上的一个动点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,求·的最大值与最小值.【解】(1)设椭圆的半焦距为c,由题意=,且a=2,得c=,b=1,∴所求椭圆方程为+y2=1.(2)设P(x ,y),由(1)知F1(-,0),F2(,0),则·=(--x ,-y)·(-x ,-y)=x2+y2-3=x2+-3=x2-2,∵x∈[-2,2],∴当x =0,即点P 为椭圆短轴端点时,PF1→·有最小值-2;当x =±2,即点P 为椭圆长轴端点时,·有最大值1.[能力提升]1.若直线ax +by +4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a ,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为( )A .0B .1C .2D .需根据a ,b 的取值来确定【解析】 直线ax +by +4=0与圆x2+y2=4没有公共点,即相离,∴>2,∴a2+b2<4, ∴+<1, ∴+<+<1,∴(a ,b)在椭圆+=1的内部故有2个公共点. 【答案】 C2.设F1,F2分别是椭圆C :+=1(a >b >0)的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF1的中点在y 轴上,若∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为( )A. B .13C.D .33【解析】 设PF1的中点为M ,连接PF2,由于O 为F1F2的中点,则OM 为△PF1F2的中位线,所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.由于∠PF1F2=30°,所以PF1=2PF2, 由勾股定理得F1F2==PF2,由椭圆定义得2a =PF1+PF2=3PF2⇒a =,2c =F1F2=PF2⇒c =,所以椭圆的离心率为e ==·=.故选D.【答案】 D3.如图312,椭圆的中心在坐标原点O ,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为 F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P 点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率e 的取值范围为________.图312【解析】 设椭圆方程为+=1, 建立如图所示的坐标系.则A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),F2(c,0),(-c ,-b),(a ,-b),F2B1→·=(-c ,-b)·(a,-b)=-ac +b2<0,又∵a2=b2+c2,∴-ac +a2-c2<0,∴e2+e -1>0, 又∵0<e<1, ∴<e<1.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+52,14.如图313,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P ,Q 两点,且PQ⊥PF1.图313(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.【解】 (1)由椭圆的定义,有2a =|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a =2.设椭圆的半焦距为c ,由已知PF1⊥PF2, 因此2c =|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2 ==2.即c =,从而b ==1,故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)法一:连接F1Q ,如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1⊥PF2,则x20+=1,x+y=c2,a2求得x0=±,y0=±.由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,从而|PF1|2=2+b4c2=2(a2-b2)+2a=(a+)2.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|,又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,解得e==-.法二:如图,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,则|PF1|=2(2-)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e==|PF1|2+|PF2|22a=22==-.。
高中数学学业分层测评4含解析北师大版选修2_1
——教学资料参考参考范本——高中数学学业分层测评4含解析北师大版选修2_1______年______月______日____________________部门(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.将“a2+b2+2ab=(a+b)2”改写成全称命题是( ) A.存在a0,b0∈R,使a+b+2a0b0=(a0+b0)2B.存在a0<0,b0>0,使a+b+2a0b0=(a0+b0)2C.存在a0>0,b0>0,有a+b+2a0b0=(a0+b0)2D.对所有a,b∈R,有a2+b2+2ab=(a+b)2【解析】a2+b2+2ab=(a+b)2是全称命题,隐藏了“对所有a,b∈R”.【答案】D2.下列命题中的真命题是( )A.存在x0∈N,使4x0<-3B.存在x0∈Z,使2x0-1=0C.对任意x∈R,2x>x2D.对任意x∈R,x2+2>0【解析】当x∈R时,x2≥0,∴x2+2≥2>0【答案】D3.已知命题p:∃x0∈R,sin x0<x0,则綈p为( )A.∃x0∈R,sin x0=x0 B.∀x∈R,sin x<xC.∃x0∈R,sin x0≥x0 D.∀x∈R,sin x≥x【解析】原命题为特称命题,故其否定为全称命题,即綈p:∀x∈R,sin x≥x.【答案】D4.非空集合A、B满足,下面四个命题中正确的个数是( )①对任意x∈A,都有x∈B;②存在x0∉A,使x0∈B;③存在x0∉B,使x0∈A;④对任意x∉B,都有x∉A.A.1 B.2C.3 D.4【解析】根据知,①②④正确,③错误.【答案】C5.下列命题中的假命题是( )A.对任意x∈R,2x-1>0B.对任意x∈N*,(x-1)2>0C.存在x∈R,lg x<1D.存在x∈R,tan x=2【解析】A项,∵x∈R,∴x-1∈R,由指数函数性质得2x-1>0;B项,∵x∈N*,∴当x=1时,(x-1)2=0,与(x-1)2>0矛盾;C项,当x=时,lg=-1<1;显然D正确.【答案】B二、填空题6.下列命题,是全称命题的是________;是特称命题的是________.【导学号:32550011】①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.【解析】①②③都是省略了全称量词的全称命题.④是特称命题.【答案】①②③④7.“所有的自然数都大于零”的否定是________.【解析】改变量词并否定判断词.【答案】存在一个自然数小于或等于零8.若命题“存在x0∈R,x+mx0+2m-3<0”为假命题,则实数m的取值范围是________.【解析】由题意可知,命题“对任意x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,故Δ=m2-4(2m-3)=m2-8m+12≤0,解得2≤m≤6.【答案】[2,6]三、解答题9.判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断真假.(1)对任意的实数a、b,关于x的方程ax+b=0恰有唯一解;(2)存在实数x,使得=.【解】(1)该命题是全称命题.当a=0,b≠0时方程无解,故该命题为假命题.(2)该命题是特称命题.∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,∴≤<.故该命题是假命题.10.写出下列全称命题或特称命题的否定:(1)所有能被3整除的整数都是奇数;(2)每一个四边形的四个顶点共圆;(3)有的三角形是等边三角形.【解】(1)该命题的否定是:至少存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)该命题的否定是:至少存在一个四边形,它的四个顶点不共圆.(3)该命题的否定是:所有三角形都不是等边三角形.[能力提升]1.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A.每一个锐角三角形的内角都是锐角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x0,使>2【解析】B,D是特称命题,D是假命题,B是真命题.【答案】B2.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )A.存在x∈R,使得f(x)>0成立B.存在x∈R,使得f(x)≤0成立C.对任意x∈R,使得f(x)>0成立D.对任意x∈R,f(x)≤0成立【解析】“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x,使得f(x)>0成立”,故选A.【答案】A3.命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是________.【解析】本题中的命题是全称命题,省略了全称量词,加上全称量词后该命题可以叙述为:所有偶函数的图像关于y轴对称.将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”,结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”,所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于y轴不对称”.【答案】有些偶函数的图像关于y轴不对称4.已知对任意x∈(-∞,1],不等式(a-a2)4x+2x+1>0恒成立.求a的取值范围.【导学号:32550012】【解】令2x=t,∵x∈(-∞,1],∴t∈(0,2],∴a2-a<.要使上式在t∈(0,2]上恒成立,只需求出f(t)=在t∈(0,2]上的最小值即可.∵f(t)==2+=2-,且∈,∴f(t)min=f(2)=.∴a2-a<.∴-<a<.所以a的取值范围是.。
高中数学学业分层测评20含解析北师大版选修2_1
学业分层测评(二十)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.若点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P 的轨迹是( )A .圆B .椭圆C .双曲线D .抛物线【解析】 点P 到直线x =-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,即点P 到直线x =-2的距离与它到点(2,0)的距离相等,符合抛物线的定义,故点P 的轨迹是抛物线.【答案】 D2.已知双曲线方程为x 2-y24=1,过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点,则共有L ( )A .4条B .3条C .2条D .1条【解析】 因为双曲线方程为x 2-y24=1,所以P (1,0)是双曲线的右顶点,所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条.【答案】 B3.已知抛物线y 2=2px (p >0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ,B 两点,若线段AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )A .x =1B .x =-1C .x =2D .x =-2 【解析】 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2,0,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y =x -p 2,即x =y +p 2,将其代入y 2=2px =2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y +p 2=2py +p 2, 所以y 2-2py -p 2=0,所以y1+y22=p =2, 所以抛物线的方程为y 2=4x ,准线方程为x =-1.【答案】 B4.过双曲线2x 2-y 2=2的右焦点作直线l 交双曲线于A ,B 两点,若|AB |=4,则这样的直线l 的条数为( )A .1B .2C .3D .4【解析】 由2x 2-y 2=2得x 2-y22=1,∴a 2=1,b 2=2,当直线l 与两支相交时需|AB |≥2a =2.由|AB |=4可得直线l 有两条;当直线l 只与右支相交时,需|AB |≥2b2a=4,由|AB |=4可得直线l 只有1条.综上,符合题意的直线l 共有3条.【答案】 C5.设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y =x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )A.54B .5 C.52 D . 5【解析】 设双曲线的渐近线方程为y =kx ,这条直线与抛物线y =x 2+1相切,联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y =kx ,y =x2+1,整理得x 2-kx +1=0,则Δ=k 2-4=0,解得k =±2,即b a=2,故双曲线的离心率e =c a =a2+b2a2=1+⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2= 5. 【答案】 D二、填空题 6.直线y =x +4与双曲线x 2-y 2=1的交点坐标为________.【解析】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ y =x +4,x2-y2=1,消去y 得x 2-(x +4)2=1,则x =-178,代入y =x +4得y =158. 故直线y =x +4与双曲线x 2-y 2=1的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫-178,158. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫-178,158 7.已知直线l 过点P (0,2)且与椭圆x 2+2y 2=2只有一个公共点,则直线l 的方程为____________.【导学号:32550096】【解析】 当直线l 斜率不存在时,方程为x =0,与椭圆x 2+2y 2=2有两个公共点,舍去;。
高中数学北师大选修学业分层测评 数学归纳法的应用 含解析
学业分层测评(十三)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.用数学归纳法证明不等式1n +1+1n +2+…+12n >1324(n ≥2)的过程中,由n =k 递推到n =k +1时不等式左边( )A .增加了一项12(k +1)B .增加了两项12k +1和12k +2C .增加了B 中的两项但减少了一项1k +1D .以上均不正确【解析】 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k +2+1k +3+…+12(k +1)-⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k +1+1k +2+…+12k =12k +1+12k +2-1k +1=12k +1-12k +2.故选C. 【答案】 C2.利用数学归纳法证明不等式“n 2<2n 对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时,n 0应取值为( )A .1B .3C .5D .7【解析】 12<21,22=22,32>23,42=24,利用数学归纳法验证n ≥5,故n 0的值为5.【答案】 C3.对于不等式n 2+n <n +1(n ∈N +),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n =1时,12+1<1+1,不等式成立.(2)假设当n =k (k ∈N +)时,不等式成立,即k 2+k <k +1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<(k2+3k+2)+(k+2)=(k+2)2=(k+1)+1,∴当n=k+1时,不等式成立,则上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【解析】在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.【答案】 D4.对于正整数n,下列说法不正确的是()A.3n≥1+2n B.0.9n≥1-0.1nC.0.9n<1-0.1n D.0.1n≥1-0.9n【解析】由贝努利不等式(1+x)n≥1+nx(x≥-1,n∈N+),当x=2时,(1+2)n≥1+2n,A正确.当x=-0.1时,(1-0.1)n≥1-0.1n,B正确,C不正确.当x=0.9时,(1-0.9)n≥1-0.9n,因此D正确.【答案】 C5.若不等式1n+1+1n+2+…+12n>m24对大于1的一切自然数n都成立,则自然数m的最大值为()A.12 B.13C.14 D.不存在【解析】令f(n)=1n+1+1n+2+…+12n,易知f(n)是单调递增的.∴f(n)的最小值为f(2)=13+14=712.依题意712>m24,∴m<14.因此取m =13. 【答案】 B 二、填空题6.用数学归纳法证明“2n +1≥n 2+n +2(n ∈N +)”时,第一步的验证为__________.【导学号:94910041】【解析】 当n =1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立. 【答案】 21+1≥12+1+27.观察式子:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,…,则可归纳出__________.【答案】 1+122+132+…+1n 2<2n -1n (n ≥2,n ∈N +)8.用数学归纳法证明a n +b n 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2n(a ,b 是非负实数,n ∈N +)时,假设n =k 时不等式a k +b k 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2k(*)成立,再推证n =k +1时不等式也成立的关键是将(*)式同乘__________.【解析】 要想办法出现a k +1+b k +12,两边同乘以a +b2,右边也出现了要求证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2k+1. 【答案】a +b2三、解答题9.设a ,b 为正实数,证明:对任意n ∈N +,有(a +b )n ≥a n +n ·a n -1b . 【证明】 由(1+x )n ≥1+nx (x ≥-1,n ∈N +), ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1+b a n ≥1+nb a ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b a >0, 即(a +b )n a n ≥1+nb a ,∴(a +b )n≥a n+n ·ba na ,故(a +b )n ≥a n +nb ·a n -1.10.设0<a <1,定义a 1=1+a ,a n +1=1a n+a .求证:对一切正整数n ∈N +,有1<a n <11-a.【证明】 (1)当n =1时,a 1>1,又a 1=1+a <11-a ,∴当n =1时,命题成立.(2)假设n =k (k ≥1,k ∈N +)时,命题1<a k <11-a 成立.当n =k +1时,由递推公式,知a k +1=1a k+a >(1-a )+a =1,同时,a k +1=1a k +a <1+a =1-a 21-a <11-a ,当n =k +1时,命题也成立, 即1<a k +1<11-a.综合(1)、(2)可知,对一切正整数n ,有1<a n <11-a.[能力提升]1.用数学归纳法证明122+132+142+…+1(n +1)2>12-1n +2,假设n =k 时,不等式成立,则当n =k +1时,应推证的目标是( )A.122+132+…+1(k +2)2>12-1k +3B.122+132+…+1(k +1)2>12-1k +2C.122+132+…+1k2>12-1k+1D.122+132+…+1(k-1)2>12-1k【解析】注意不等式两边含变量“n”的式子,因此当n=k+1时,应该是含“n”的式子发生变化,所以n=k+1时,应为122+132+…+1(k+1)2+1 (k+2)2>12-1(k+1)+2.【答案】 A2.若k棱柱有f(k)个对角面,则(k+1)棱柱对角面的个数为()A.2f(k) B.k-1+f(k)C.f(k)+k D.f(k)+2【解析】由n=k到n=k+1时增加的对角面的个数与底面上由n=k到n =k+1时增加的对角线一样,设n=k时,底面为A1A2…A k,n=k+1时底面为A1A2A3…A k A k+1,增加的对角线为A2A k+1,A3A k+1,A4A k+1,…,A k-1A k+1,A1A k,共有(k-1)条,因此对角面也增加了(k-1)个.【答案】 B3.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点,若用f(n)表示这n条直线的交点的个数,则f(4)=______;当n>4时,f(n)=____________________(用n表示).【导学号:94910042】【解析】f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.∴f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,…,f(n)-f(n-1)=n-1.累加,得f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1)=3+(n-1)2(n-3),∴f (n )=12(n +1)(n -2). 【答案】 5 12(n +1)(n -2)4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1=12,a n +2S n S n -1=0(n ≥2,n ∈N+).(1)判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是否为等差数列,并证明你的结论;(2)证明:S 21+S 22+…+S 2n ≤12-14n . 【解】 (1)S 1=a 1=12, ∴1S 1=2.当n ≥2时,a n =S n -S n -1, 即S n -S n -1=-2S n S n -1. ∴1S n -1S n -1=2,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项,2为公差的等差数列. (2)证明:①当n =1时,S 21=14=12-14×1,成立.②假设n =k (k ≥1,且k ∈N +)时,不等式成立,即S 21+S 22+…+S 2k ≤12-14k 成立,则当n =k +1时,S 21+S 22+…+S 2k +S 2k +1≤12-14k +14(k +1)2=12-14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k -1(k +1)2=12-14·k 2+k +1k (k +1)2<12-14·k 2+k k (k +1)2=1 2-14(k+1).即当n=k+1时,不等式成立.由①②可知对任意n∈N+不等式成立.。
2019—2020年北师大版高中数学选修1-2全册学业分层测评4及解析.docx
(新课标)2017-2018学年北师大版高中数学选修1-2学业分层测评(四)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.执行如图218的程度框图,如果输入的N =100,则输出的X =( )图218A .0.95B .0.98C .0.99D .1.00 【解析】 由程序框图知,输出X =11×2+12×3+13×4+…+199×100=⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12-13+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13-14+…+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫199-1100=99100=0.99. 【答案】 C2.进入互联网时代,发电子邮件是不可少的,一般而言,发电子邮件要分成以下几个步骤:a.打开电子信箱;b.输入发送地址;c.输入主题;d.输入信件内容;e.点击“写邮件”;f.点击“发送邮件”.则正确的是( )A.a→b→c→d→e→f B.a→c→d→f→e→bC.a→e→b→c→d→f D.b→a→c→d→f→e【解析】依题意知发送电子邮件的步骤应是:a→e→b→c→d→f.【答案】 C3.如图219,小黑点表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相连,连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量是( )图219A.26 B.24C.20 D.19【解析】由A→B有4条路线,4条路线单位时间内传递的最大信息量为6+8+12=26.【答案】 A4.小明每天早晨起床后要做如下事情:洗漱用5分钟,收拾床褥用4分钟,听广播用15分钟,吃早饭用8分钟,要完成这些事情,小明要花费的最少时间为( )A .17分钟B .19分钟C .23分钟D .27分钟【解析】 把过程简化,把能放在同一个时间内完成的并列,如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭,共用5+4+8=17(分钟).【答案】 A5.执行下面的程序框图2110,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3,则输出的M =( )图2110A .203B .165C .72D .158【解析】 当n =1时,M =1+12=32,a =2,b =32;当n =2时,M =2+23=83,a =32,b =83;当n=3时,M=32+38=158,a=83,b=158;n=4时,终止循环.输出M=15 8.【答案】 D 二、填空题6.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为S=πab,当a=4,b=2时,计算椭圆面积的流程图如图2111所示,则空白处应为________.图2111【解析】由S=πab知,需要输入a,b的值,由已知a=4,b=2,而且用的是框,故为赋值.【答案】a=4,b=27.如图2112是计算1+13+15+…+199的程序框图,判断框中应填的内容是________,处理框中应填的内容是________.图2112【解析】用i来表示计数变量,故判断框内为“i>99?”,处理框内为“i=i +2”.【答案】i>99?i=i+28.执行如图2113所示的程序框图,若输入n=3,则输出T=________.图2113【解析】初始值:i=0,S=0,T=0,n=3,①i=1,S=1,T=1;②i=2,S=3;T=4;③i=3,S=6,T=10;④i=4,S=10,T=20,由于此时4≤3不成立,停止循环,输出T=20.【答案】20三、解答题9.设计一个计算1+2+…+100的值的程序框图.【解】程序框图设计如下:10.数学建模过程的流程图如图2114.图2114根据这个流程图,说明数学建模的过程.【解】数学建模的过程:根据实际情境提出问题,从而建立数学模型得出数学结果,然后检验是否合乎实际,如果不合乎实际,进行修改后重新提出问题.如果合乎实际,则成为可用的结果.[能力提升]1.某工厂加工某种零件的工序流程图如图2115:图2115按照这个工序流程图,一件成品至少经过几道加工和检验程序( )A.3 B.4C.5 D.6【解析】由流程图可知加工零件有三道工序:粗加工、返修加工和精加工,每道工序完成都要对产品进行检验,粗加工的合格品进入精加工,不合格品进入返修加工;返修加工的合格品进入精加工,不合格品作为废品处理;精加工的合格品为成品,不合格品为废品.由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验四道程序.【答案】 B2.执行两次如图2116所示的程序框图,若第一次输入的a的值为-1.2,第二次输入的a的值为1.2,则第一次、第二次输出的a的值分别为( )图2116A.0.2,0.2 B.0.2,0.8C.0.8,0.2 D.0.8,0.8【解析】第一次:a=-1.2<0,a=-1.2+1=-0.2,-0.2<0,a=-0.2+1=0.8>0,a=0.8≥1不成立,输出0.8.第二次:a=1.2<0不成立,a=1.2≥1成立,a=1.2-1=0.2≥1不成立,输出0.2.【答案】 C3.如图2117所示算法程序框图中,令a=tan 315°,b=sin 315°,c=cos 315°,则输出结果为________.图2117【解析】程序框图的算法是求出a,b,c三个数中的最大值.对于tan 315°=-1,sin 315°=-22,cos 315°=22,故输出的结果为22.【答案】2 24.栽种一棵梧桐树,其种树过程是:(1)取树苗;(2)挖直径1米,深1.5米的树坑;(3)将树苗放至树坑中央;(4)向树坑中培土到树坑边,离边缘0.2米;(5)向树坑中浇水;(6)判断水是否浇透,若水未浇透,则转(5);否则转(7);(7)栽种完毕.试画出该过程的流程图.【解】流程图如图所示.。
高中数学学业分层测评10含解析北师大版选修20.doc
学业分层测评(十)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题 1.以下四组向量:①a =(1,-2,1),b =(-1,2,-1); ②a =(8,4,0),b =(2,1,0); ③a =(1,0,-1),b =(-3,0,3);④a =⎝ ⎛⎭⎪⎫-43,1,-1,b =(4,-3,3). 其中a ,b 分别为直线l 1,l 2的方向向量,则它们互相平行的是( ) A .②③ B .①④ C .①②④D .①②③④【解析】 ①∵a =-b ,∴a ∥b . ②∵a =4b ,∴a∥b . ③∵b =-3a ,∴a ∥b . ④∵b =-3a ,∴a ∥b . 【答案】 D2.已知线段AB 的两端点坐标为A (9,-3,4),B (9,2,1)则线段AB 与坐标平面( )A .xOy 平行B .xOz 平行C .yOz 平行D .yOz 相交 【解析】 ∵A (9,-3,4),B (9,2,1) ∴AB →=(0,5,-3)∵yOz 平面内的向量的一般形式为a =(0,y ,z ) ∴AB →∥a∴AB →∥平面yOz .∴AB ∥平面yOz . 【答案】 C3.已知向量a =(2,4,5),b =(3,x ,y )分别是直线l 1,l 2的方向向量,若l 1∥l 2,则( )A .x =6,y =15B .x =3,y =152C .x =3,y =15D .x =6,y =152【解析】 ∵l 1∥l 2,设a =λb , ∴(2,4,5)=λ(3,x ,y ), ∴x =6,y =152.【答案】 D4.已知平面α的法向量是(2,3,-1),平面β的法向量是(4,λ,-2),若α⊥β,则λ的值是( )【导学号:32550041】A .-103B .6C .-6D .103【解析】 ∵α⊥β,∴α的法向量与β的法向量也互相垂直.∴(2,3,-1)·(4,λ,-2)=8+3λ+2=0,∴λ=-103.【答案】 A5.已知平面α内有一个点A (2,-1,2),α的一个法向量为n =(3,1,2),则下列点P 中在平面α内的是( )A .(1,-1,1)B .⎝ ⎛⎭⎪⎫1,3,32C.⎝⎛⎭⎪⎫1,-3,32 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,3,-32【解析】 要判断点P 是否在平面α内,只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直,即PA →·n 是否为0,因此,要对各个选项进行检验.对于选项A ,PA →=(1,0,1),则PA →·n =(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A ;对于选项B ,PA →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-4,12,则PA →·n =(1,-4,12)·(3,1,2)=0,故B 正确;同理可排除C ,D.故选B. 【答案】 B 二、填空题6.已知l ∥α,且l 的方向向量为(2,-8,1)平面α的法向量为(1,y,2),则y =________.【解析】 ∵l ∥α,∴l ⊥α的法向量, ∴2×1-8y +1×2=0,∴y =12.【答案】 12.7.已知A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),向量(x ,y ,z )是平面ABC 的一个法向量,则x ∶y ∶z =________.【解析】 设n =(x ,y ,z )则n ·AB →=0,即(x ,y ,z )·(-1,1,0)=0, ∴-x +y =0,n ·BC →=0,即(x ,y ,z )·(0,-1,1)=0, ∴-y +z =0, ∴x ∶y ∶z =1∶1∶1. 【答案】 1∶1∶18.已知a =(1,1,0),b =(1,1,1),若b =b 1+b 2,且b 1∥a ,b 2⊥a ,则b 1=________,b 2=________.【解析】 设b 1=(x ,y ,z ),∵b 1∥a ,∴x =y ,z =0. 又∵b 2=b -b 1=(1-x,1-y,1-z ),b 2⊥a , ∴b 2·a =1-x +1-y =0,得x +y =2. ∴x =y =1.即b 1=(1,1,0),b 2=(0,0,1). 【答案】 (1,1,0) (0,0,1) 三、解答题9.用向量方法证明:如果两个相交平面与第三个平面垂直,则它们的交线也与第三个平面垂直.【解】 已知:如图,α∩β=l ,α⊥γ,β⊥γ. 求证:l ⊥γ证明:设平面α,β,γ的法向量分别为a ,b ,c ,直线l 的方向向量为e ,则a·e=0,b·e =0.因为a ,b 与e 不共面,故存在实数x ,y ,z 使c =x a +y b +z e . 因为a ⊥c ,b⊥c ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a x a +yb +z e =0,b x a +y b +z e =0,⎩⎪⎨⎪⎧x ·a 2+y a·b =0.x a ·b +y b 2=0,因为α与β相交,所以a 与b 不共线,所以a 2a·b ≠a·b b2,所以方程组有唯一解⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =0,所以c =z e ,即c∥e ,从而有l ⊥γ.图24410.如图244所示,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F .证明:(1)PA ∥平面EDB ; (2)PB ⊥平面EFD .【证明】 (1)以D 为坐标原点,DA 、DC 、DP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.连结AC ,AC 交BD 于G . 连结EG .设DC =a ,依题意得A (a,0,0),P (0,0,a ),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a 2,a2,∵底面ABCD 是正方形, ∴G 是此正方形的中心,故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2,a2,0, 且PA →=(a,0,-a ),EG =⎝ ⎛⎭⎪⎫a2,0,-a 2.∴PA →=2EG →,即PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB , ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ,a,0),PB =(a ,a ,-a ). 又DE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,a 2,a 2, 故PB →·DE →=0+a 22-a 22=0,∴PB ⊥DE ,由已知EF ⊥PB ,且EF ∩DE =E , 所以PB ⊥平面EFD .[能力提升]1.已知AB →=(1,5,-2),BC →=(3,1,z ).若AB →⊥BC →,BP →=(x -1,y ,-3),且BP ⊥平面ABC ,则x ,y ,z 分别为( )A.337、-157、4 B .407、-157、4C.407、-2、4 D .4、407、-15【解析】 AB →⊥BC →,∴AB →·BC →=0,得z =4.又BP ⊥平面ABC ,∴BP →·AB →=0,BP →·BC →=0,可解得x =407,y =-157.【答案】 B2.如图245,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为正方形,E 是CD 的中点,F 是AD 上一点,当BF ⊥PE 时,AF :FD 的值为( )图245A .1∶2B .1∶1C .3∶1D .2∶1【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA =a .则B (1,0,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,0, P (0,0,a ).设点F 的坐标为(0,y,0),则BF →=(-1,y,0),PE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,-a . ∵BF ⊥PE ,∴BF →·PE →=0,解得y =12,则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0,∴F 为AD 中点,∴AF ∶FD =1∶1. 【答案】 B3.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果AB →=(2,-1,-4),AD →=(4,2,0),AP →=(-1,2,-1).对于结论:①AP ⊥AB ;②AP ⊥AD ;③AP →是平面ABCD 的法向量;④AP →∥BD →,其中正确的是________.【导学号:32550042】【解析】 ∵AP →·AB →=0,AP →·AD →=0, ∴AP ⊥AB ,AP ⊥AD 且AP →是平面ABCD 的法向量. 【答案】 ①②③4.如图246,在三棱锥P ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥AC .图246(1)求证:AC ⊥PB ;(2)设O ,D 分别为AC ,AP 的中点,点G 为△OAB 内一点,且满足OG →=13(OA →+OB →),求证:DG ∥面PBC ;【证明】 (1)因为PA ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,所以PA ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ,且PA ∩AB =A , 所以AC ⊥平面PAB . 又因为PB ⊂平面PAB , 所以AC ⊥PB .(2)法一:因为PA ⊥平面ABC , 所以PA ⊥AB ,PA ⊥AC . 又因为AB ⊥AC ,所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.设AC =2a ,AB =b ,PA =2c ,则A (0,0,0),B (0,b,0),C (2a,0,0),P (0,0,2c ),D (0,0,c ),O (a,0,0), 又因为OG →=13(OA →+OB →),所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,b3,0. 于是DG →=⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,b3,-c , BC →=(2a ,-b,0),PB →=(0,b ,-2c ). 设平面PBC 的一个法向量n =(x 0,y 0,z 0),则有⎩⎨⎧n ·BC →=0,n ·PB →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0-by 0=0,by 0-2cz 0=0.不妨设z 0=1,则有y 0=2c b ,x 0=ca,所以n =⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ,2c b ,1因为n ·DG →=⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ,2c b ,1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3,b 3,-c =c a ·a 3+2c b ·b 3+1·(-c )=0,所以n ⊥DG →.又因为DG ⊄平面PBC ,所以DG ∥平面PBC .法二:取AB 中点E ,连接OE ,则OE →=12(OA →+OB →).由已知OG →=13(OA →+OB →)可得OG →=23OE →,则点G 在OE 上.连接AG 并延长交CB 于点F ,连接PF .因为O ,E 分别为AC ,AB 的中点,所以OE ∥BC ,即G 为AF 的中点.又因为D 为线段PA 的中点,又所以DG ∥PF ,又DG ⊄平面PBC ,PF ⊂平面PBC ,所以DG ∥平面PBC .。
2020-2021学年北师大版高中数学选修1-2全册学业分层测评7及解析
(新课标)最新北师大版高中数学选修1-2学业分层测评(七)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A .一条中线上的点,但不是中心B .一条垂线上的点,但不是垂心C .一条角平分线上的点,但不是内心D .中心【解析】 由正四面体的内切球可知,内切球切于四个面的中心. 【答案】 D2.下列推理正确的是( )A .把a(b +c)与log a (x +y)类比,则有log a (x +y)=log a x +log a yB .把a(b +c)与sin(x +y)类比,则有sin(x +y)=sin x +sin yC .把(ab)n 与(a +b)n 类比,则有(x +y)n =x n +y nD .把(a +b)+c 与(xy)z 类比,则有(xy)z =x(yz)【解析】 乘法的结合律与加法结合律相类比得(xy)z =x(yz).故选D. 【答案】 D3.设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r =2Sa +b +c ,类比这个结论可知:四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球半径为R ,四面体S ABC 的体积为V ,则R =( )A.VS 1+S2+S3+S4B.2VS1+S2+S3+S4C.3VS 1+S2+S3+S4D.4VS1+S2+S3+S4【解析】设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.则四面体的体积为V四面体SABC =13(S1+S2+S3+S4)R,∴R=3VS1+S2+S3+S4.【答案】 C4.在等差数列{an }中,若an>0,公差d≠0,则有a4a6>a3a7.类比上述性质,在等比数列{bn }中,若bn>0,公比q≠1,则关于b5,b7,b4,b8的一个不等关系正确的是( )A.b5b7>b4b8B.b7b8>b4b5C.b5+b7<b4+b8D.b7+b8<b4+b5【解析】b5+b7-b4-b8=b1(q4+q6-q3-q7)=b1[q3(q-1)+q6(1-q)]=b1[-q3(q-1)2(1+q+q2)]<0,∴b5+b7<b4+b8.【答案】 C5.已知结论:“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则AGGD=2”.若把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体ABCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”,则AOOM=( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】如图,设正四面体的棱长为1,即易知其高AM=63,此时易知点O即为正四面体内切球的球心,设其半径为r,利用等体积法有4×13×34r=13×3 4×63⇒r=612,故AO=AM-MO=63-612=64,故AO∶OM=64∶612=3∶1.【答案】 C二、填空题6.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,观察发现S′=l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=43πr3,观察发现V′=S.已知四维空间中“超球”的三维测度V=8πr3,猜想其四维测度W=________. 【导学号:67720014】【解析】因为V=8πr3,所以W=2πr4,满足W′=V.【答案】2πr47.在Rt△ABC中,若C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆半径为r=a2+b22,将此结论类比到空间有______________________________.【解析】Rt△ABC类比到空间为三棱锥ABCD,且AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD;△ABC的外接圆类比到空间为三棱锥ABCD的外接球.【答案】在三棱锥ABCD中,若AB⊥AC,AB⊥AD,AC⊥AD,AB=a,AC=b,AD=c,则三棱锥ABCD的外接球半径R=a2+b2+c228.等差数列有如下性质:若数列{an }是等差数列,则当bn=a1+a2+…+ann时,数列{bn }也是等差数列;类比上述性质,相应地,若数列{cn}是正项等比数列,则当dn =________时,数列{dn}也是等比数列.【解析】类比等差数列与等比数列的性质,可猜测dn=nc1c2…cn时,{dn}为等比数列.【答案】nc1c2…cn三、解答题9.如图3113①,在平面内有面积关系S△PA′B′S△PAB=PA′·PB′PA·PB,写出图3113②中类似的体积关系,并证明你的结论.①②图3113【解】类比S△PA′B′S△PAB=PA′·PB′PA·PB,有VPA′B′C′VPABC=PA′·PB′·PC′PA·PB·PC.证明:如图,设C′,C到平面PAB的距离分别为h′,h.则h′h=PC′PC,故V P A ′B ′C ′V P ABC =13S △PA ′B ′·h ′13S △PAB ·h =PA ′·PB ′·h ′PA ·PB ·h =PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC.10.在等差数列{a n }中,若a 10=0,则有等式a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n(n<19,n ∈N +)成立.类比上述性质,相应地,在等比数列{b n }中,若b 9=1,则有什么样的等式成立?【解】 在等差数列{a n }中,由a 10=0,则有a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n(n<19,n ∈N +)成立,相应地,在等比数列{b n }中,若b 9=1,则可得 b 1b 2…b n =b 1b 2…b 17-n (n<17,n ∈N +).[能力提升]1.已知正三角形内切圆的半径是其高的13,把这个结论推广到空间正四面体,类似的结论是( )A .正四面体的内切球的半径是其高的12B .正四面体的内切球的半径是其高的13C .正四面体的内切球的半径是其高的14D .正四面体的内切球的半径是其高的15【解析】 原问题的解法为等面积法,即S =12ah =3×12ar ⇒r =13h ,类比问题的解法应为等体积法,V =13Sh =4×13Sr ⇒r =14h ,即正四面体的内切球的半径是其高的14.【答案】 C2.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为( )A .2 017×22 015B .2 017×22 014C .2 016×22 015D .2 016×22 014【解析】 由题意知数表的每一行都是等差数列,且第一行数的公差为1,第二行数的公差为2,第三行数的公差为4,…,第2 015行数的公差为22 014,第1行的第一个数为2×2-1, 第2行的第一个数为3×20, 第3行的第一个数为4×21, …第n 行的第一个数为(n +1)×2n -2, 第2 016行只有一个数M ,则M =(1+2 016)×22 014=2 017×22 014,故选B.【答案】 B3.类比“等差数列”的定义,写出“等和数列”的定义,并解答下列问题: 已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18=__________,这个数列的前n 项和S n 的计算公式为__________.【解析】 定义“等和数列”:在一个数列中,从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.由上述定义,得a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n 为奇数,3,n 为偶数,故a 18=3.从而S n =⎩⎨⎧52n -12,n 为奇数,52n ,n 为偶数.【答案】 3S n=⎩⎨⎧52n -12,n 为奇数,52n ,n 为偶数4.(1)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)与x 轴交于A ,B 两点,点P 是椭圆C 上异于A ,B 的任意一点,直线PA ,PB 分别与y 轴交于点M ,N ,求证:AN →·BM →为定值b 2-a 2;(2)类比(1)可得如下真命题:双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)与x 轴交于A ,B 两点,点P 是双曲线C 上异于A ,B 的任意一点,直线PA ,PB 分别与y 轴交于点M ,N ,则AN→·BM →为定值,写出这个定值(不要求写出解题过程).【解】 (1)证明如下:设点P(x 0,y 0)(x 0≠±a), 依题意,得A(-a,0),B(a,0), 所以直线PA 的方程为y =y 0x 0+a(x +a). 令x =0,得y M =ay 0x 0+a ,同理得y N =-ay 0x 0-a ,所以y M y N =a 2y 20a 2-x 20.又因为点P(x 0,y 0)在椭圆上,所以x 20a 2+y 20b 2=1,因此y 20=b 2a2(a 2-x 20),所以y M y N =a 2y 20a 2-x 20=b 2.因为AN →=(a ,y N ),BM →=(-a ,y M ), 所以AN →·BM →=-a 2+y M y N =b 2-a 2. (2)-(a 2+b 2).。
高中数学学业分层测评含解析北师大版选修20
学业分层测评 (十二 )
(建议用时: 45 分钟 ) [学业达标 ]
一、选择题
→
→ 1→
1.正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1上且 AM =2MC1, N 为 B1B 的中点,
→ 则| MN | 为 ( )
y=- z
→
→n
又 AD = ( - 7 , - 7,7) , ∴ 点 D 到 平 面 ABC 的 距 离 为 d = AD ·| n| =
3× -7 + 2× - 7 - 2× 7 49 49 17
32+ 22+ - 2 2
==
.
17 17
49 17
【答案】
17
8.如图 2-6-7 所示,正方体的棱长为 1,E,F, M, N 分别是棱的中点,则平面 A1EF 与平面 B1NMD 1 的距离为 ________.
→
→
∵ AD = (0,2,0),AP= (1,1,2),
→
→
∴ AD · n= 0,且 AP·n= 0.
∴ y=0,x+y+ 2z= 0,取 z= 1,得 n=(- 2,0,1).
→
→
| B1A· n| 6 5
∵ B1A= (- 2,0,2),∴ B1 到平面 PAD 的距离 d= | n|
=. 5
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
图 2-6-10
A. 6
35 B. 5
65 C. 5
32 D. 2
【解析】 以 A1B1 为 x 轴,A1D 1 为 y 轴,A1A 为 z 轴建立空间直角坐标系, 设平面 PAD 的法向量是 n= (x, y, z),
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学业分层测评(十二)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在AC 1→上且AM →=12MC 1→,N 为B 1B 的中点,则|MN →|为( )A.216a B .66a C.156a D .153a 【解析】 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A (a ,0,0),C 1(0,a ,a ),N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,a ,a 2.设M (x ,y ,z ).∵点M 在AC 1→上且AM →=12MC 1→.∴(x -a ,y ,z )=12(-x ,a -y ,a -z ),∴x =23a ,y =a 3,z =a 3.于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3,a 3,a 3. ∴|MN →| =⎝ ⎛⎭⎪⎫a -23a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫a -a 32+⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2-a 32 =216a . 【答案】 A2.已知平面α的法向量为n =(-2,-2,1),点A (x,3,0)在平面α内,则点P (-2,1,4)到平面α的距离为103,则x =( )【导学号:32550053】A .-1B .-11C .-1或-11D .-21【解析】 PA →=(x +2,2,-4),而d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·n |n |=103,即|-2x +2-4-4|4+4+1=103,解得x =-1或-11. 【答案】 C3.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长是1,则直线DA 1与AC 间的距离为( ) A.13 B .23 C.33D .34【解析】 建系如图A (1,0,0),A 1(1,0,1),C (0,1,0),AC →=(-1,1,0),DA 1→=(1,0,1),设n =(x ,y ,z ),令⎩⎨⎧n ·AC →=0n ·DA 1→=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧-x +y =0x +z =0令x =1则n =(1,1,-1)DA →=(1,0,0),DA 1→与AC 的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DA →·n |n|=33.【答案】 C4.△ABC 的顶点分别为A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AC 边上的高BD等于( )A .5B .41C .4D .2 5【解析】 设AD →=λAC →,D (x ,y ,z ). 则(x -1,y +1,z -2)=λ(0,4,-3). ∴x =1,y =4λ-1,z =2-3λ,∴BD →=(-4,4λ+5,-3λ).∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0,∴λ=-45,∴BD→=⎝ ⎛⎭⎪⎫-4,95,125,∴|BD →|= 16+8125+14425=5.【答案】 A5.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83 B .38 C.43D .34【解析】 如图,建立空间直角坐标系,则D (0,0,0),A (2,0,0),A 1(2,0,4),B 1(2,2,4),D 1(0,0,4).∴D 1B 1→=(2,2,0), D 1A →=(2,0,-4),AA 1→=(0,0,4),设n =(x ,y ,z )是平面AB 1D 1的一个法向量,则n ⊥D 1B 1→,n ⊥D 1A →,∴⎩⎨⎧n ·D 1B 1→=0,n ·D 1A →=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2x +2y =0,2x -4z =0.令z =1,则平面AB 1D 1的一个法向量为n =(2,-2,1).∴由AA 1→在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |n |=43.【答案】 C 二、填空题6.如图265所示,在直二面角D AB E 中,四边形ABCD 是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB =90°,则点D 到平面ACE 的距离为________.图265【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,-1,0),E (1,0,0),D (0,-1,2),C (0,1,2).AD →=(0,0,2),AE →=(1,1,0),AC →=(0,2,2),设平面ACE 的法向量n =(x ,y ,z ),则⎩⎨⎧n ·AE →=0,n ·AC →=0.即⎩⎪⎨⎪⎧x +y =0;2y +2z =0.令y =1,∴n =(-1,1,-1). 故点D 到平面ACE 的距离d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-23=233. 【答案】2337.设A (2,3,1),B (4,1,2),C (6,3,7),D (-5,-4,8),则点D 到平面ABC 的距离为________.【导学号:32550054】【解析】 设平面ABC 的法向量n =(x ,y ,z ),∵n ·AB →=0,n ·AC →=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x ,y ,z ·2,-2,1=0,x ,y ,z ·4,0,6=0,即⎩⎪⎨⎪⎧2x -2y +z =0,4x +6z =0,⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =-32z y =-z 令z =-2,则n =(3,2,-2).又AD →=(-7,-7,7),∴点D 到平面ABC 的距离为d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪AD →·n |n |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×-7+2×-7-2×732+22+-22=4917=491717. 【答案】4917178.如图267所示,正方体的棱长为1,E ,F ,M ,N 分别是棱的中点,则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________.图267【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,0),B 1(1,1,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,1,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,1,D 1(0,0,0),M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,1,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,1.∵E ,F ,M ,N 分别是棱的中点, ∴MN ∥EF ,A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离. 设平面B 1NMD 1的法向量为n =(x ,y ,z ),∴n ·D 1B 1→=0,且n ·B 1N →=0. 即(x ,y ,z )·(1,1,0)=0,且(x ,y ,z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0,1=0.∴x +y =0,且-12x +z =0,令x =2,则y =-2,z =1.∴n =(2,-2,1),n 0=⎝ ⎛⎭⎪⎫23,-23,13.∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d =|A 1B 1→·n 0| =⎪⎪⎪⎪⎪⎪0,1,0·⎝ ⎛⎭⎪⎫23,-23,13=23.【答案】 23三、解答题9.如图268,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB =4,BC =3,CC 1= 2.图268(1)求证:直线CD 1∥平面A 1BC 1; (2)求直线CD 1与平面A 1BC 1间的距离. 【证明】 (1)建系如图,则C (0,4,0),D 1(0,0,2),B (3,4,0),A 1(3,0,2),C 1(0,4,2),所以CD 1→=(0,-4,2),BA 1→=(0,-4,2),BC 1→=(-3,0,2),BC →=(-3,0,0).∵CD 1→=BA 1→,∴CD 1∥BA 1,又因为CD 1平面A 1BC 1,BA 1平面A 1BC 1,所以CD 1∥平面A 1BC 1.(2)设平面A 1BC 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则⎩⎨⎧n ·BA 1→=0,n ·BC 1→=0,即⎩⎪⎨⎪⎧-4y +2z =0,-3x +2z =0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y =12z ,x =23z .取z =6,则x =4,y =3,∴n =(4,3,6),则BC →·n =(-3,0,0)·(4,3,6)=-12,|n |=61.所以点C 到平面A 1BC 1的距离即直线CD 1到平面A 1BC 1的距离,即d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·n |n |=|-12|61=126161.10.如图269,已知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形,SA ⊥平面ABC ,SA =BC =2,AB =4,M ,N ,D 分别是SC ,AB ,BC 的中点,求点A 到平面SND 的距离.图269【解】 建立如图所示的空间直角坐标系,则N (0,2,0),S (0,0,2), D (-1,4,0),∴NS →=(0,-2,2), SD →=(-1,4,-2).设平面SND 的法向量为n =(x ,y,1).∴n ·NS →=0,n ·SD →=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧-2y +2=0,-x +4y -2=0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =1.∴n =(2,1,1).∵AS →=(0,0,2).∴点A 到平面SND 的距离为|n ·AS →||n|=26=63.[能力提升]1.若正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面边长为1,AB 1与底面ABCD 成60°角,则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33B .1 C. 2D . 3【解析】 如图所示,直线AB 1与底面ABCD 所成的角为∠B 1AB ,而A 1C 1到底面ABCD 的距离为AA 1,在Rt △ABB 1中,B 1B =AB ·tan 60°= 3.所以AA 1=BB 1= 3.【答案】 D2.如图2610,P ABCD 是正四棱锥,ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体,其中AB =2,PA =6,则B 1到平面PAD 的距离为( )图2610A .6B .355C.655D .322【解析】 以A 1B 1为x 轴,A 1D 1为y 轴,A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系,设平面PAD 的法向量是n =(x ,y ,z ),∵AD →=(0,2,0),AP →=(1,1,2), ∴AD →·n =0,且AP →·n =0.∴y =0,x +y +2z =0,取z =1,得n =(-2,0,1).∵B 1A →=(-2,0,2),∴B 1到平面PAD 的距离d =|B 1A →·n ||n |=655.【答案】 C3.如图2611所示,已知边长为42的正三角形ABC 中,E ,F 分别为BC 和AC 的中点,PA ⊥平面ABC ,且PA =2,设平面α过PF 且与AE 平行,则AE 与平面α间的距离为________.【导学号:32550055】图2611【解析】 设AP →,AE →,EC →的单位向量分别为e 1,e 2,e 3,选取{e 1,e 2,e 3}为空间向量的一个基底,易知e 1·e 2=e 2·e 3=e 3·e 1=0,AP →=2e 1,AE →=26e 2,EC →=22e 3,PF →=PA →+AF →=PA →+12AC →=PA →+12(AE →+EC →)=-2e 1+6e 2+2e 3.设n =x e 1+y e 2+e 3是平面α的一个法向量,则n ⊥AE →,n ⊥PF →,∴⎩⎨⎧n ·AE →=0n ·PF →=0⇒⎩⎨⎧x e 1+y e 2+e 3·26e 2=0x e 1+y e 2+e 3·-2e 1+6e 2+2e 3=0⇒⎩⎨⎧26y |e 2|2=0-2x |e 1|2+6y |e 2|2+2|e 3|2=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y =0,x =22.∴n =22e 1+e 3. ∴直线AE 与平面α间的距离为d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2e 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫22e 1+e 3⎪⎪⎪⎪⎪⎪22e 12+|e 3|2=233. 【答案】2334.已知正方形ABCD 的边长为1,PD ⊥平面ABCD ,且PD =1,E ,F 分别为AB ,BC 的中点.(1)求点D 到平面PEF 的距离;(2)求直线AC 到平面PEF 的距离.【解】 (1)建立以D 为坐标原点,DA ,DC ,DP 分别为x 轴,y 轴,z 轴的空间直角坐标系,如图所示.则P (0,0,1),A (1,0,0),C (0,1,0),E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,0,F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,0,EF →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12,0,PE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,-1, 设平面PEF 的法向量n =(x ,y ,z ), 则n ·EF →=0且n ·PE →=0, 所以⎩⎪⎨⎪⎧-12x +12y =0,x +12y -z =0.令x =2,则y =2,z =3, 所以n =(2,2,3),所以点D 到平面PEF 的距离为d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪DE →·n |n |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2+14+4+9=31717, 因此,点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)因为AE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,0, 所以点A 到平面PEF 的距离为d =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AE →·n |n |=117=1717,所以AC 到平面PEF 的距离为1717.。