6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题(1)
合集下载
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。
第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶2007-10-15
目标:min f=300y1+400y2+250y3
s.t. y1+2y2>=50
y1+y2+y3>100
y1,y2,y3 >=0
❖ 目标:max z=50x1+100x2
❖ S.t. ❖ x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250
❖
❖ x1,x2>=0
原问题
目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t.
x1的目标函数系数C’有：
50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50，
0≤C‘≤100时，最优解不变。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 27500
变量
最优解 相差值
-------
-------- --------
设备B
2
设备C
0
II
资源限制
1
300台时
1
400
1
250
生产I可获得50元,II可获得100元,如何安排生产,获得 MAX?
模型
❖ 目标:max z=50x1+100x2 ❖ S.t. x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250 ❖ x1,x2>=0
假设现在有一个公司要租用工厂设备，那 么工厂获取利润有两种方法，一是自己生 产，二是出租设备资源。自己生产已有模 型。那么，如果出租，那么如何构建模型？ 设备价格为Ay1,By2,Cy3; 则
s.t. y1+2y2>=50
y1+y2+y3>100
y1,y2,y3 >=0
❖ 目标:max z=50x1+100x2
❖ S.t. ❖ x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250
❖
❖ x1,x2>=0
原问题
目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t.
x1的目标函数系数C’有：
50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50，
0≤C‘≤100时，最优解不变。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 27500
变量
最优解 相差值
-------
-------- --------
设备B
2
设备C
0
II
资源限制
1
300台时
1
400
1
250
生产I可获得50元,II可获得100元,如何安排生产,获得 MAX?
模型
❖ 目标:max z=50x1+100x2 ❖ S.t. x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250 ❖ x1,x2>=0
假设现在有一个公司要租用工厂设备，那 么工厂获取利润有两种方法，一是自己生 产，二是出租设备资源。自己生产已有模 型。那么，如果出租，那么如何构建模型？ 设备价格为Ay1,By2,Cy3; 则
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
《管理运筹学》第四版 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1．解： （1）c 1≤24 （2）c 2≥6 （3）c s 2≤82．解：（1）c 1≥−0.5 （2）−2≤c 3≤0 （3）c s 2≤0.53．解：（1）b 1≥250 （2）0≤b 2≤50 （3）0≤b 3≤1504．解： （1）b 1≥−4 （2）0≤b 2≤10 （3）b 3≥45. 解：最优基矩阵和其逆矩阵分别为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1401B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-14011B ； 最优解变为130321===x x x ，，最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为2140321===x x x ，，，最小值变为-96；6．解：（1）利润变动范围c 1≤3，故当c 1=2时最优解不变。
（2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
（3）0≤b 2≤45。
（4）最优解不变，故不需要修改生产计划。
（5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响。
7. 解：(1)设321,,x x x 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为,, 4005132 4505510 35010168 325.2max 321321321321321≥≤++≤++≤++++=x x x x x x x x x x x x x x x z 约束条件：解得三种食品产量分别为0,75.43321===x x x ，这时厂家获利最大为109.375万元。
(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
（3）B 食品的加工工序改良之后，仍不投产B ，最大利润不变；若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中667.31110,167.144321====x x x x ，，；（4）若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中382.70,114321====x x x x ，，；所以建议生产乙产品。
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
感谢您的观看
THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
单纯形法灵敏度分析线性规划对偶理论
单纯形法的灵敏度分析与 线性规划对偶理论
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
《管理运筹学》第三版习题答案(韩伯棠教授)
第 2 章 线性规划的图解法11a.可行域为 OABC 。
b.等值线为图中虚线所示。
12c.由图可知，最优解为 B 点，最优解： x 1 = 769 。
7 2、解：15 x 2 =7， 最优目标函数值：a x 210.60.1O1有唯一解 x 1 = 0.2 函数值为 3.6 x 2 = 0.6 b 无可行解 c 无界解 d 无可行解 e 无穷多解1 2 2 1 2f 有唯一解20 x 1 =3 8函数值为 92 33、解：a 标准形式：b 标准形式：c 标准形式：x 2 =3max fmax f= 3x 1 + 2 x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 9 x 1 + 2x 2 + s 1 = 30 3x 1 + 2 x 2 + s 2 = 13 2 x 1 + 2x 2 + s 3 = 9x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥ 0 = −4 x 1 − 6x 3 − 0s 1 − 0s 2 3x 1 − x 2 − s 1 =6x 1 + 2x 2 + s 2 = 10 7 x 1 − 6 x 2 = 4 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥max f = −x ' + 2x '− 2 x '' − 0s − 0s' ''− 3x 1 + 5x 2− 5x 2 + s 1 = 702 x ' − 5x ' + 5x '' = 50122 ' ' '' 3x 1 + 2 x 2 − 2x 2− s 2 = 30' ' ''4 、解：x 1, x 2, x 2, s 1 , s 2 ≥ 0标准形式： max z = 10 x 1 + 5x 2 + 0s 1 + 0s 23x 1 + 4 x 2 + s 1 = 9 5x 1 + 2 x 2 + s 2 = 8 x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥ 0s 1 = 2, s 2 = 0标准形式： min f = 11x 1 + 8x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 310 x 1 + 2x 2 − s 1 = 20 3x 1 + 3x 2 − s 2 = 18 4 x 1 + 9x 2 − s 3 = 36x 1 , x 2 , s 1 , s 2 , s 3 ≥ 0s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 136 、解：b 1 ≤c 1 ≤ 3c 2 ≤ c 2 ≤ 6d x 1 = 6x 2 = 4e x 1 ∈ [4,8]x 2 = 16 − 2x 1f 变化。
6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
x1
x2 100
0 0 1 100 0
s1 0
1 -2 0
s2 0
0 1 0 0 0
s3 0
-1 1 1
比值
c'1 50
1 0 0
b
50 50 250 27500
bi/aij
x2 zj
c'1 50
0
c'1 50 -c'1 -50
-c'150 +100 c'1100 -50
σj=cj-zj
1、用c'1代替原来的c1=50 2、从σ3≤0，得− c'1 ≤0，即 c'1≥0
若σ'k≤0，则原最优解仍然为最优解。若σ'k>0，则继续进行迭 代以求出最优。
§1
单纯形表的灵敏度分析
例 1．以第二章例1为基础，该厂除生产Ⅰ，Ⅱ 种产品外，现试制新产品Ⅲ，已知生产产品Ⅲ，每件 需要设备2台时，A原料0.5公斤,B原料1.5公斤，获利 150元，问该厂是否该生产该产品、生产多少？ 分析：这是一个增加新变量的问题，可以认为是 改变x3 在初始表上的系数列的问题。
由于σj = cj － zj
) j c j zj c j ( z j ck akj = j ck akj
§1
单纯形表的灵敏度分析
0 当j≠k时， j 0 akj 0 akj ck ck
2．在最终的单纯形表中，xk 是基变量 由于进行行初等变换，约束方程增广矩阵不变 基变量系数cB变化 对所有的zj都变化，包括zk
z j cB p j
假设cB=(cB1, cB2,…, ck ,…,cBm)
6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题
分别用大M法和两阶段法求解下列 线形规划问题,并指出解的类型
• minZ=2x1+3x2+x3 • x1+4x2+2x3≥8 • S.t. 3x1+2x2 ≥6 • x1,x2,x3 ≥0
• 时间:1:40—2:10
Cj
CB
-2
-3 x2 4
-1 x3 2
0 x4 -1
0 x5 0
-M x6 1
-M x7 0 初 始 单 纯 形 表 格
• 考虑： • 1、定价不能太高？ • 2、定价不能太低？
设A、B、C资源的出售价格分别为 y1 、 y2和y3
甲 A 3 乙 2 资源 限制 65 y1
min w 65y1 40y2 75y3
B
C 单件 利润
2
0
1
3
40
75
y2
y3
3 y1 2 y2 ≥1500 2 y1 y2 3 y3 ≥2500
…
amm
…
amn
≤
bm
• 由表可以看出：
1. 从行看是原问题（Ⅰ），从列看是对偶问题（Ⅱ），两个问题 的变量系数矩阵互为转置矩阵。 2. 原问题（Ⅰ）的常数项是对偶问题（Ⅱ）的目标系数，反之， 原问题（Ⅰ）的目标系数是对偶问题（Ⅱ）的常数项。 3. 原问题（Ⅰ）有n个决策变量，对偶问题（Ⅱ）有n个约束方程； 原问题有m个约束方程，对偶问题就有m个决策变量。 4. 原问题的约束是“≤”型，对偶问题的约束是“≥”型。 5. 原问题的目标函数是求极大，对偶问题的目标是求极小。
怎么样怎么样简单吧对称型线性规划问题2非对称型对偶问题表对偶变换的规则原问题max?技术系数矩阵a价值系数c右端项b第i行约束条件为?型第i行约束条件为?型第i行约束条件为?型第i行约束条件为型决策变量xj?0决策变量xj?0决策变量xj?不限对偶问题min?技术系数矩阵at右端项b价值系数c对偶变量yi?0对偶变量y?0对偶变量yi?0对偶变量yi?不限第j行约束条件为?型第j行约束条件为?型第j行约束条件为型??????????好难记呀
• minZ=2x1+3x2+x3 • x1+4x2+2x3≥8 • S.t. 3x1+2x2 ≥6 • x1,x2,x3 ≥0
• 时间:1:40—2:10
Cj
CB
-2
-3 x2 4
-1 x3 2
0 x4 -1
0 x5 0
-M x6 1
-M x7 0 初 始 单 纯 形 表 格
• 考虑： • 1、定价不能太高？ • 2、定价不能太低？
设A、B、C资源的出售价格分别为 y1 、 y2和y3
甲 A 3 乙 2 资源 限制 65 y1
min w 65y1 40y2 75y3
B
C 单件 利润
2
0
1
3
40
75
y2
y3
3 y1 2 y2 ≥1500 2 y1 y2 3 y3 ≥2500
…
amm
…
amn
≤
bm
• 由表可以看出：
1. 从行看是原问题（Ⅰ），从列看是对偶问题（Ⅱ），两个问题 的变量系数矩阵互为转置矩阵。 2. 原问题（Ⅰ）的常数项是对偶问题（Ⅱ）的目标系数，反之， 原问题（Ⅰ）的目标系数是对偶问题（Ⅱ）的常数项。 3. 原问题（Ⅰ）有n个决策变量，对偶问题（Ⅱ）有n个约束方程； 原问题有m个约束方程，对偶问题就有m个决策变量。 4. 原问题的约束是“≤”型，对偶问题的约束是“≥”型。 5. 原问题的目标函数是求极大，对偶问题的目标是求极小。
怎么样怎么样简单吧对称型线性规划问题2非对称型对偶问题表对偶变换的规则原问题max?技术系数矩阵a价值系数c右端项b第i行约束条件为?型第i行约束条件为?型第i行约束条件为?型第i行约束条件为型决策变量xj?0决策变量xj?0决策变量xj?不限对偶问题min?技术系数矩阵at右端项b价值系数c对偶变量yi?0对偶变量y?0对偶变量yi?0对偶变量yi?不限第j行约束条件为?型第j行约束条件为?型第j行约束条件为型??????????好难记呀
运筹学 第六章1
-1 1 1 50 -50
50 50 250
9
cj − zj
50 100 50 0 0 -50
0 0
1 进行灵敏度分析： 对 b1 进行灵敏度分析： D1 = − 2, 0 xBi xBi 50 50 m − ax di′1 > 0 = − = −50, m − ′1 < 0 = − in di = 25. ′1 1 −2 di di′1 − 50 ≤ ∆b1 ≤ 25,
判断最优解的原则： 判断最优解的原则： σj≤0
4
} c′ −100 ≤ 0
′ −c1 ≤ 0
1
注：用此方法对目标函数中的系数进行灵敏度分析，指的是只有 用此方法对目标函数中的系数进行灵敏度分析， 一个系数发生变化。 一个系数发生变化。 二.约束方程右边常数灵敏度分析 对偶价格：在约束条件右边量增加一个单位，而使最优目 对偶价格：在约束条件右边量增加一个单位， 标函数值得到改进的数量。 标函数值得到改进的数量。 一般地说， 发生变化，资源投入起了变化， 一般地说，由于 bi 发生变化，资源投入起了变化，最优解是 变化的。对右边常数进行灵敏度分析，是指求出 bi 的取值范围， 变化的。对右边常数进行灵敏度分析， 的取值范围， 在这个范围内变化时，其对偶价格不变。 使得 bi 在这个范围内变化时，其对偶价格不变。
1 2 0 0 50
x1 50
1 1 10 E 1 0 0 0
s2 0
0 0
s1 0
300 400 250 0 0 0
0 0 1
(
)
s3 0
bi
θi
x1 s2
50 0 100
2
x2 zj
对偶单纯形法灵敏度分析
对偶单纯形法灵敏度分析
汇报人：XX
单击输入目录标题 对偶单纯形法概述 对偶单纯形法灵敏度分析的步骤 对偶单纯形法灵敏度分析的优点和局限性 对偶单纯形法灵敏度分析的改进方向 对偶单纯形法灵敏度分析的实际应用案例
添加章节标题
对偶单纯形法概述
对偶单纯形法的定义
对偶单纯形法是一种线性规划 算法
它基于对偶理论，通过迭代寻 找最优解
结论：对偶单纯形法灵敏度分析在资源分配问题中具有广泛的应用前景，能够为企业带来巨大 的经济效益。
THANK YOU
汇报人：XX
各变量对目标函数的影响程度。
求解最优解
确定初始对偶解
确定迭代步长
计算对偶方向 更新最优解
计算灵敏度
计算对偶问题的 最优解
确定最优解对应 的基变量和自由 变量
计算基变量的灵 敏度
计算自由变量的 灵敏度
对偶单纯形法灵敏度分析的优 点和局限性
优点
计算简单：对偶单 纯形法在计算上相 对简单，易于理解 和实现。
对偶单纯形法适用于求解标准 型线性规划问题
它具有简单、高效、可靠等优 点
对偶单纯形法的原理
对偶性：将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的最优解得到原问题 的近似最优解 单纯形法：利用线性规划的迭代方法，通过不断迭代寻找最优解
灵敏度分析：分析决策变量变化对最优解的影响，为决策提供参考
对偶单纯形法的应用场景
分析灵敏度结果：根据灵敏度系数的大 小和符号，分析各变量对目标函数的灵
敏度，为决策提供依据。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
确定约束条件和目标函数：在分析过程 中，首先需要确定问题的约束条件和目 标函数，这是对偶单纯形法灵敏度分析
汇报人：XX
单击输入目录标题 对偶单纯形法概述 对偶单纯形法灵敏度分析的步骤 对偶单纯形法灵敏度分析的优点和局限性 对偶单纯形法灵敏度分析的改进方向 对偶单纯形法灵敏度分析的实际应用案例
添加章节标题
对偶单纯形法概述
对偶单纯形法的定义
对偶单纯形法是一种线性规划 算法
它基于对偶理论，通过迭代寻 找最优解
结论：对偶单纯形法灵敏度分析在资源分配问题中具有广泛的应用前景，能够为企业带来巨大 的经济效益。
THANK YOU
汇报人：XX
各变量对目标函数的影响程度。
求解最优解
确定初始对偶解
确定迭代步长
计算对偶方向 更新最优解
计算灵敏度
计算对偶问题的 最优解
确定最优解对应 的基变量和自由 变量
计算基变量的灵 敏度
计算自由变量的 灵敏度
对偶单纯形法灵敏度分析的优 点和局限性
优点
计算简单：对偶单 纯形法在计算上相 对简单，易于理解 和实现。
对偶单纯形法适用于求解标准 型线性规划问题
它具有简单、高效、可靠等优 点
对偶单纯形法的原理
对偶性：将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的最优解得到原问题 的近似最优解 单纯形法：利用线性规划的迭代方法，通过不断迭代寻找最优解
灵敏度分析：分析决策变量变化对最优解的影响，为决策提供参考
对偶单纯形法的应用场景
分析灵敏度结果：根据灵敏度系数的大 小和符号，分析各变量对目标函数的灵
敏度，为决策提供依据。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
确定约束条件和目标函数：在分析过程 中，首先需要确定问题的约束条件和目 标函数，这是对偶单纯形法灵敏度分析
6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
以第二章例1在最终单纯形表上对进行b1灵敏度分析：
x1 x2 s1 s2 s3
50
1 0 0 50 0
100
0 0 1 100 0
0
1 -2 0 50 -50
0
0 1 0 0 0
0
-1 1 1 50 -50
b
50 50 250 27500
比值
bi/aij
x2 zj
σj=cj-zj
在第一个约束方程中含有松弛变量s1,其对应的列为(1,-2,0)T,
管理运筹学
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
§1
单纯形表的灵敏度分析
c c 一、目标函数中变量系数 ck 灵敏度分析 c k k k
1、在最终的单纯形表里，xk是非基变量
使得对应约束条件 的对偶价格不变
0
xBi xBi max dik 0 bk min dik 0 dik dik
§1
迭代 次数 基变 量
x1 s2
2
单纯形表的灵敏度分析
cB
50 0 100
b1 0 b 2 0 b b b b b k bk 0 b m 0
bk bk bk
原始的最终单纯形表中基变量xB变为x'B：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1 单纯形表的灵敏度分析(重点.难点.掌握)
§2 线性规划的对偶问题
一、对偶问题实例
例1 某工厂生产甲、乙两种产品，要消耗A、B和C三种资源，
已知每件产品对这三种资源的消耗、这三种资源的现有数量和每 件产品可获得的利润如表所示.问：如何安排生产计划，使得既能 充分利用现有资源又使总利润最大？
产品 资源
纯
4/5 1 0 -2/5 1/5 -2/5 -1/5 2/5 形 表
4M-2 6M -3 2M-1 -M -M 0
0格
第六章 单纯形法的灵敏度分析
与对偶
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船
对偶是一种普遍现象
DUAL
学习重点与难点
• §1 单纯形表的灵敏度分析(重点.难点.掌握) • §2 线性规划的对偶问题 (重点.理解.掌握) • §3 对偶规划的基本性质(重点.应用) • §4 对偶单纯形法(难点.掌握---前面已讲)
咋办？
• 考虑：
• 1、定价不能太高？
• 2、定价不能太低？
设A、B、C资源的出售价格分别为 y1 、 y2和y3
甲 乙 资源
min w 65 y1 40 y2 75 y3
限制
A
3
2 65 y1
3y1 2 y2 ≥1500
B
2
1 40 y2
2 y1 y2 3y3 ≥2500
C
0
3 75 y3
分别用大M法和两阶段法求解下列 线形规划问题,并指出解的类型
• minZ=2x1+3x2+x3
•
x1+4x2+2x3≥8
• S.t. 3x1+2x2 ≥6
•
x1,x2,x3 ≥0
• 时间:1:40—2:10
Cj CB XB -M x6
-M x7
检验数j
Cj CB XB -3 X2
-2 x1
检验数j
Y1 2Y2 Y3 5 3Y1 Y2 Y3 4 Y1,Y2 ,Y3 0
怎么样 简单吧
2、非对称型对偶问题
表 对偶变换的规则
好难记呀！
原问题(max,)
对偶问题(min,)
技术系数矩阵 A 价值系数 C
技术系数矩阵 AT
右端项 b
右端项 b
价值系数 C
第 i 行约束条件为 型
对偶变量 yi 0
≤ bm
• 由表可以看出：
1. 从行看是原问题（Ⅰ），从列看是对偶问题（Ⅱ），两个问题 的变量系数矩阵互为转置矩阵。
2. 原问题（Ⅰ）的常数项是对偶问题（Ⅱ）的目标系数，反之， 原问题（Ⅰ）的目标系数是对偶问题（Ⅱ）的常数项。
3. 原问题（Ⅰ）有n个决策变量，对偶问题（Ⅱ）有n个约束方程； 原问题有m个约束方程，对偶问题就有m个决策变量。
Min W = 65 y1 + 40 y2 + 75 y3
s.t. 3y1 + 2 y2
≥1500
2y1 + y2 + 3y3 ≥2500
y1, y2 , y3 ≥ 0
min
A=
3 2
20 13
b=
1500 2500
c= 65 40 75
二、对偶问题的形式
1、对称型对偶问题
原问题 Max Z=cX s.t. AX≤b
X ≥0
max
C
对偶问题 Min W=bTY s.t. ATY≥CT
Y ≥0
min bT
m
A
≤b
n AT ≥ CT
n
m
• 对偶关系表
x1
x2
…
c1
c2
…
xm
…
xn
cm
…
cn
maxZ
minW
Y1
A11
a12
…
Y2
a21
a22
…
Ym
am1
am2
…
a1m
…
a2m
…
amm
…
a1n
≤ b1
a2n
≤ b2
amn
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
-2 -3 -1 0 0 -M -M
b
x1 x2
x3
x4
x5Biblioteka x6x7初 始8 1 4 2 -1 0 1 0 单
纯
6 3 2 0 0 -1 0 1 形 表
4M-2 6M -3 2M-1 -M -M 0
0格
-2 -3 -1 0 0 -M -M
b
x1 x2
x3
x4
x5
x6
x7
最 终
9/5 0 1 3/5 -3/10 1/10 3/10 -1/10 单
§3 对偶规划的基本性质
一、单纯形法计算的矩阵描述:
对称形式线形规划问题为:
Max Z=cX s.t. AX≤b
X ≥0
加上松弛变量化为标准形后为:
Max Z=cX +0Xs s.t. AX+IXs=b
X ≥0,Xs ≥0
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
y1, y2 , y3 ≥0
单件 1500 2500 利润
原问题：
max Z=1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2 65 A资源
2x1+ x2 40 B资源 3x2 75 C资源
x1,x2 0
max 32 A= 2 1 03
65 b= 40
75
c= 1500 2500
对偶问题：
• 对偶变换是一一对应的
例3：
Min z= 5x1+ 25x2 7x1+ 75x2 ≤98
s.t. 5x1 + 6x2 = 78 24x1+ 12x2≥54 x1≥0 、x2 ≤ 0
怎么样， 没问题吧！
Max w= 98y1+ 78y2 + 54y3 7y1+ 5y2 + 24y3 ≤ 5
s.t. 75y1+ 6y2 + 12y3 ≥25 y1 ≤ 0 、y2无限制、 y3≥0
甲
A
3
B
2
C
0
乙
资源 限制
该问题的数学模型为：
2
65
max Z=1500x1+2500x2
s.t. 3x1+2x2 65 A资源
1
40
2x1+ x2 40 B资源 3x2 75 C资源
3
75
x1,x2 0
单件利 润
1500
2500
假设该厂现自己不生产，因而要转让资源A、B和C，请问他
们应如何给这三种资源定价？
第 i 行约束条件为 型
对偶变量 yi 0
第 i 行约束条件为 = 型
对偶变量 yi 不限
决策变量 xj 0
第 j 行约束条件为 型
决策变量 xj 0
第 j 行约束条件为 型
决策变量 xj 不限
第 j 行约束条件为 = 型
• 约束条件的类型(规范与否)与非负条件相互对应 • 非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件
4. 原问题的约束是“≤”型，对偶问题的约束是“≥”型。 5. 原问题的目标函数是求极大，对偶问题的目标是求极小。
例2 请给出下列线性规划问题的对偶问题：
max Z＝5x1 +4x2
x1 3x2 90
s
t
2x1 x x1 x2
2 80 45
x1、x2 0
对称型线性规划问题
min W 90Y1 80Y2 45Y3
§2 线性规划的对偶问题
一、对偶问题实例
例1 某工厂生产甲、乙两种产品，要消耗A、B和C三种资源，
已知每件产品对这三种资源的消耗、这三种资源的现有数量和每 件产品可获得的利润如表所示.问：如何安排生产计划，使得既能 充分利用现有资源又使总利润最大？
产品 资源
纯
4/5 1 0 -2/5 1/5 -2/5 -1/5 2/5 形 表
4M-2 6M -3 2M-1 -M -M 0
0格
第六章 单纯形法的灵敏度分析
与对偶
窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船
对偶是一种普遍现象
DUAL
学习重点与难点
• §1 单纯形表的灵敏度分析(重点.难点.掌握) • §2 线性规划的对偶问题 (重点.理解.掌握) • §3 对偶规划的基本性质(重点.应用) • §4 对偶单纯形法(难点.掌握---前面已讲)
咋办？
• 考虑：
• 1、定价不能太高？
• 2、定价不能太低？
设A、B、C资源的出售价格分别为 y1 、 y2和y3
甲 乙 资源
min w 65 y1 40 y2 75 y3
限制
A
3
2 65 y1
3y1 2 y2 ≥1500
B
2
1 40 y2
2 y1 y2 3y3 ≥2500
C
0
3 75 y3
分别用大M法和两阶段法求解下列 线形规划问题,并指出解的类型
• minZ=2x1+3x2+x3
•
x1+4x2+2x3≥8
• S.t. 3x1+2x2 ≥6
•
x1,x2,x3 ≥0
• 时间:1:40—2:10
Cj CB XB -M x6
-M x7
检验数j
Cj CB XB -3 X2
-2 x1
检验数j
Y1 2Y2 Y3 5 3Y1 Y2 Y3 4 Y1,Y2 ,Y3 0
怎么样 简单吧
2、非对称型对偶问题
表 对偶变换的规则
好难记呀！
原问题(max,)
对偶问题(min,)
技术系数矩阵 A 价值系数 C
技术系数矩阵 AT
右端项 b
右端项 b
价值系数 C
第 i 行约束条件为 型
对偶变量 yi 0
≤ bm
• 由表可以看出：
1. 从行看是原问题（Ⅰ），从列看是对偶问题（Ⅱ），两个问题 的变量系数矩阵互为转置矩阵。
2. 原问题（Ⅰ）的常数项是对偶问题（Ⅱ）的目标系数，反之， 原问题（Ⅰ）的目标系数是对偶问题（Ⅱ）的常数项。
3. 原问题（Ⅰ）有n个决策变量，对偶问题（Ⅱ）有n个约束方程； 原问题有m个约束方程，对偶问题就有m个决策变量。
Min W = 65 y1 + 40 y2 + 75 y3
s.t. 3y1 + 2 y2
≥1500
2y1 + y2 + 3y3 ≥2500
y1, y2 , y3 ≥ 0
min
A=
3 2
20 13
b=
1500 2500
c= 65 40 75
二、对偶问题的形式
1、对称型对偶问题
原问题 Max Z=cX s.t. AX≤b
X ≥0
max
C
对偶问题 Min W=bTY s.t. ATY≥CT
Y ≥0
min bT
m
A
≤b
n AT ≥ CT
n
m
• 对偶关系表
x1
x2
…
c1
c2
…
xm
…
xn
cm
…
cn
maxZ
minW
Y1
A11
a12
…
Y2
a21
a22
…
Ym
am1
am2
…
a1m
…
a2m
…
amm
…
a1n
≤ b1
a2n
≤ b2
amn
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
-2 -3 -1 0 0 -M -M
b
x1 x2
x3
x4
x5Biblioteka x6x7初 始8 1 4 2 -1 0 1 0 单
纯
6 3 2 0 0 -1 0 1 形 表
4M-2 6M -3 2M-1 -M -M 0
0格
-2 -3 -1 0 0 -M -M
b
x1 x2
x3
x4
x5
x6
x7
最 终
9/5 0 1 3/5 -3/10 1/10 3/10 -1/10 单
§3 对偶规划的基本性质
一、单纯形法计算的矩阵描述:
对称形式线形规划问题为:
Max Z=cX s.t. AX≤b
X ≥0
加上松弛变量化为标准形后为:
Max Z=cX +0Xs s.t. AX+IXs=b
X ≥0,Xs ≥0
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
y1, y2 , y3 ≥0
单件 1500 2500 利润
原问题：
max Z=1500x1+2500x2 s.t. 3x1+2x2 65 A资源
2x1+ x2 40 B资源 3x2 75 C资源
x1,x2 0
max 32 A= 2 1 03
65 b= 40
75
c= 1500 2500
对偶问题：
• 对偶变换是一一对应的
例3：
Min z= 5x1+ 25x2 7x1+ 75x2 ≤98
s.t. 5x1 + 6x2 = 78 24x1+ 12x2≥54 x1≥0 、x2 ≤ 0
怎么样， 没问题吧！
Max w= 98y1+ 78y2 + 54y3 7y1+ 5y2 + 24y3 ≤ 5
s.t. 75y1+ 6y2 + 12y3 ≥25 y1 ≤ 0 、y2无限制、 y3≥0
甲
A
3
B
2
C
0
乙
资源 限制
该问题的数学模型为：
2
65
max Z=1500x1+2500x2
s.t. 3x1+2x2 65 A资源
1
40
2x1+ x2 40 B资源 3x2 75 C资源
3
75
x1,x2 0
单件利 润
1500
2500
假设该厂现自己不生产，因而要转让资源A、B和C，请问他
们应如何给这三种资源定价？
第 i 行约束条件为 型
对偶变量 yi 0
第 i 行约束条件为 = 型
对偶变量 yi 不限
决策变量 xj 0
第 j 行约束条件为 型
决策变量 xj 0
第 j 行约束条件为 型
决策变量 xj 不限
第 j 行约束条件为 = 型
• 约束条件的类型(规范与否)与非负条件相互对应 • 非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件
4. 原问题的约束是“≤”型，对偶问题的约束是“≥”型。 5. 原问题的目标函数是求极大，对偶问题的目标是求极小。
例2 请给出下列线性规划问题的对偶问题：
max Z＝5x1 +4x2
x1 3x2 90
s
t
2x1 x x1 x2
2 80 45
x1、x2 0
对称型线性规划问题
min W 90Y1 80Y2 45Y3