一元二次方程培优提高例题
专题01 一元二次方程(经典基础题7种题型+优选提升题)(原卷版)
专题01 一元二次方程（经典基础题7种题型+优选提升题）一元二次方程的定义1．（2022秋广东珠海九年级校考期中）下面关于x 的方程中：①ax 2＋bx ＋c ＝0；②3（x ﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x 2＋1x ＋5＝0；④x 2＋5x 3﹣6＝0；⑤3x 2＝3（x ﹣2）2；⑥12x ﹣10＝0，是一元二次方程个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．（2022秋广西柳州九年级统考期中）方程254(1)20m m m x x +---=是关于x 的一元二次方程，则m的值为（ ）A ．1B ．6-C ．6D ．1或6-一元二次方程的解3．（2023春•玄武区期中）若m 是方程x 2+x ﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m 2﹣m 的值为 ．4．（2023春•射阳县校级期中）已知a 是方程x 2﹣2020x +4＝0的一个解，则的值为（ ）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020一元二次方程的解法5．（2023春•滨海县期中）如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（）A．±5 B．5C．﹣5 D．以上答案都不对6．（2023春•东台市期中）方程x2+2x＝0的根是．7．（2023春•江阴市期中）解方程：x2﹣4x+1＝0；8．（2023春•无锡期中）解方程：x2﹣2x﹣4＝0；9．（2023春•锡山区期中）解方程：x2﹣6x+5＝0；10．（2023春•东台市期中）解方程：3x（x﹣4）＝x﹣4．根的判别式11．（2023春•东台市校级期中）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＝﹣1 B．k＞﹣1 C．k＝1 D．k＞112．（2023春•射阳县校级期中）若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是．13．（2023春•灌云县期中）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．14．（2023春•海州区校级期中）已知关于x的方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根，则k的取值范围．15．（2023春•清江浦区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为．16．（2023春•东台市期中）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是．根与系数的关系17．（2023春•鼓楼区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个实数根，则的值为．18．（2023春•东台市期中）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是．一元二次方程的实际应用19．（2023春•东台市期中）为了响应全民阅读的号召，某校图书馆利用节假日面向社会开放．据统计，第一个月进馆560人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆830人次．设该校图书馆第二个月、第三个月进馆人次的平均增长率为x，则可列方程为．20．（2023春•东台市期中）某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程：．21．（2023春•东台市校级期中）某地区加大教育投入，2020年投入教育经费2000万元，以后每年逐步增长，预计2022年，教育经费投入为2420万元，则年平均增长率为．配方法的应用22．（2023春•江都区期中）若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为（）A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＜N23．（2023春•仪征市期中）若代数式x2﹣4x+a可化为（x﹣b）2﹣1，则a+b是（）A．5 B．4 C．3 D．224．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵无论a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代数式2（a﹣3）2+4≥4，即当a＝3时，代数式2a2﹣12a+22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a2+6a﹣8的最值为（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣8 C．最大值﹣11 D．最小值﹣5 25．（2023春•高邮市期中）若M＝2x2﹣12x+15，N＝x2﹣8x+11，则M与N的大小关系为．26．（2023春•江都区期中）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式x2+2x+3的最小值．解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．∴当x＝﹣1时，x2+2x+3的最小值是2．（1）在横线上添加一个常数项，使代数式x2+10x+25成为完全平方式；（2）请仿照上面的方法求代数式x2+6x﹣1的最小值；（3）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周长．27．（2023春•赣榆区期中）（1）已知3m＝6，3n＝2，求32m+n﹣1的值；（2）已知a2+b2+2a﹣6b+10＝0，求（a﹣b）﹣3的值．28．（2023春•江阴市期中）【阅读材料】初一上学期我们已学过：由（x+3）2+（y﹣1）2＝0知，x+3＝0，y﹣1＝0，∴x＝﹣3，y＝1．这不禁让人赞叹：精美的包装（数学模型），总可以给人满意的答案．初一下学期：利用完全平方式对上述式子进行变形：由（x+3）2+（y﹣1）2＝0知，（x2+6x+9）+（y2﹣2y+1）＝0，即x2+y2+6x﹣2y+10＝0．反之，若x2+y2+6x﹣2y+10＝0，则有（x2+6x+9）+（y2﹣2y+1）＝0，即（x+3）2+（y﹣1）2＝0，∴x+3＝0，y﹣1＝0，∴x＝﹣3，y＝1．精心挑选，合理搭配，让结果精彩纷呈．【知识应用】（1）若x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求x y的值；（2）若△ABC的三边为a、b、c，且满足4a2+4b2＝4ab+18b﹣27，求最长边c的取值范围．29．（2023春•吴江区期中）我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c （a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值．30．（2023春•吴江区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣2n+1＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣2n+1＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣2n+1）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣1）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣1）2＝0，∴n＝1，m＝1．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求x、y的值；（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，且△ABC是等腰三角形，求c 的值．一．选择题（共2小题）1．（2022秋•建邺区期中）关于x的一元二次方程ax2+bx＝c（ac≠0）一个实数根为2022，则方程cx2+bx ＝a一定有实数根（）A．2022 B．C．﹣2022 D．﹣2．（2022秋•宿城区期中）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛28场，参加比赛的球队有x支，则x的值为（）A．8 B．9 C．18 D．10二．填空题（共4小题）3．（2023春•溧阳市期中）已知：x2﹣3x+5＝（x﹣2）2+a（x﹣2）+b，则a+b＝．4．（2022秋•泗洪县期中）如果x满足一元二次方程（x﹣4）（x+5）＝0，则代数式x﹣4的值是．5．（2022秋•泗洪县期中）已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是．6．（2022秋•句容市期中）为建设美丽句容，改造老旧小区，我市2020年投入资金1000万元，2022年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求我市改造老旧小区投入资金的年平均增长率．三．解答题（共14小题）7．（2022秋•太仓市期中）某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边），设AB＝x米．（1）若花园的面积为300米2，求x的值；（2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为400米2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．8．（2022秋•梁溪区校级期中）某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．9．（2022秋•高邮市期中）某剧院可容纳1200人，经调研在一场文艺演出中，票价定为每张50元时，可以售出800张门票如果票价每降低1元，那么售出的门票就增加40张．要使门票收入达到47560元，票价应降低多少元？10．（2022秋•邗江区期中）2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．（1）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）后来举国上下众志成城，全都隔离在家．小玲的爷爷因为种的水果香梨遇到销滞难题而发愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里帮爷爷销售香梨．香梨每斤成本为4元/斤，她发现当售价为6元/斤时，每天可以卖80斤．在销售过程中，她还发现一斤香梨每降价0.5元时，则每天可以多卖出10斤．为了最大幅度地增加销售量，而且每天要达到100元的利润，问小玲应该将售价定为多少元？11．（2021秋•邗江区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm？（2）在（1）中，△PQB面积能否等于4cm2？请说明理由．12．（2021秋•洪泽区校级期中）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．（1）若现在按每千克60元销售，则月销售量千克，月销售利润元．（2）针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？13．（2021秋•邗江区校级期中）2021年8月，扬州疫情暴发，口罩供不应求，某药店在疫情前恰好新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个；如果每个口罩的售价每上涨0.5元，则销售量就减少10个．（1）问应将每个口罩涨价多少元，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？（2）店主想要获得每天620元的利润，小红同学认为不可能，你同意小红的说法吗？请说明理由．14．（2022春•泗洪县期中）利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子：例1．分解因式：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值：2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6＝2（x﹣1）2﹣8又∵2（x﹣1）2≥0∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣6m﹣7；（2）当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值；（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．15．（2022秋•苏州期中）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元．（1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用；（2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积；（3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？16．（2020秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方程的解的个数会有哪些可能呢？（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为；（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止一个，直接写出这个方程的所有解；（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．17．（2022秋•盱眙县期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+6x+m2﹣1＝0的一个根是0，（1）求m的值．（2）求方程的另一根．18．（2023春•邗江区期中）仔细阅读下列解题过程：若a2+2ab+2b2﹣6b+9＝0，求a、b的值．解：∵a2+2ab+2b2﹣6b+9＝0∴a2+2ab+b2+b2﹣6b+9＝0∴（a+b）2+（b﹣3）2＝0∴a+b＝0，b﹣3＝0∴a＝﹣3，b＝3根据以上解题过程，试探究下列问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a2+5b2﹣4ab﹣2b+1＝0，求a、b的值；（3）若m＝n+4，mn+t2﹣8t+20＝0，求n2m﹣t的值．19．（2020秋•锡山区期中）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟？20．（2021春•工业园区校级期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1＝0，求a﹣b的值；（2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC 的周长；（3）已知x+y＝2，xy﹣z2﹣4z＝5，求xyz的值．。
一元二次方程专题能力培优(含答案)
一元二次方程专题能力培优(含答案)解得：m≠2m10当m≠2时，原方程可化为x-m+1=0.2.C解析：将方程化简可得(m-6)x+(m-6)=0，由于常数项为0，所以m-6=0，即m=6.3.a=2解析：由于一次项系数为0，所以根据一元二次方程的求根公式可得：x1=x2=-b/2a，代入a-b+c=0中得a=2.4.a=2解析：将方程化简可得(2a-4)x+(3a+6)x+(a-8)=0，由于一次项系数为0，所以2a-4+3a+6=0，解得a=2.5.D解析：由题可得另一个根为-b，代入x1x2=a/c=-a/b得到b=-2a，代入a-b得到a=2b，所以a-b=2b-b=b=2.6.a/2解析：由于a-b+c=0，所以c=b-a，代入一元二次方程的求根公式可得x1=(b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(b-√(b^2-4ac))/2a，代入x1x2=a/c得到a=(b^2-a^2)/(b-a)，解得a/2=b-a，即a=2b-2a，解得a/2.7.2012解析：由一元二次方程的求根公式可得a=2013/2+√(2013^2/4-1)，代入a-2012a-2013/2得到2012.2或者当m+1+（m-2）≠0且m+1=1时，它是一元一次方程。
解得：m=-1，m=0.因此，当m=-1或m=0时，为一元一次方程。
给定方程m^2-1=0，解得m=-1.因为m-1≠0，所以这是一元一次方程。
解方程3a+6=0，得到a=-2.因此，这是一元一次方程。
根据题意，方程x+bx+a=0的一个根是-a（a≠0）。
由此得到a-b=-1.解方程x^2=1，得到x=±1.因此，x=-1.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，因此a-2013a+1=0.解得a=-1/2012.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为-8或9.如果代数式x+6x+m是一个完全平方式，则m=9.用配方法证明：无论x为何实数，代数式-2x^2+4x-5的XXX小于零。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题含答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．【详解】解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去，2k ∴=-．【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1） 用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3． y与x的函数关系式为：y=1.7x（x≤m）;或( x≥m) ；4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a＝﹣10＜0，∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
一元二次方程专题培优训练精选
一元二次方程专题培优训练精选专题一利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A.m≠3.B.m≥3.C.m≥-2.D。
m≥-2且m≠3已知(m-3)x^2+m+2x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A。
m≠3.B。
m≥3.C。
m≥-2.D。
m≥-2且m≠32.已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？已知关于x的方程(m+1)x^m+1+(m-2)x^-1=，问：1）m取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程；2）m取何值时，它是一元一次方程？3.若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+1若一元二次方程ax^2+bx+c=0中，a-b+c=0，则此方程必有一个根为.a^2+14.已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2已知实数a是一元二次方程x-2013x+1=0的解，求代数式a-2012a-的值.2013^2方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.方法技巧：1.ax+bx+c=0是一元一次方程的情况有两种，需要分类讨论.2.利用一元二次方程的解求字母或者代数式的值时常常用到整体思想，需要同学们认真领会.专题二利用配方法求字母的取值或者求代数式的极值21.若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A.-9或11.B.-7或8.C.-8或9.C.-8或9 若方程25x-(k-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（）A。
-9或11.B。
-7或8.C。
人教【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题(含答案)附详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程：(x+1)(x﹣3)=﹣1．【答案】x1x2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=3，即（x﹣1）2=3，解得：x1，x2=12．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a （1﹣25%）（1+52m %）+a [120×0.8（1﹣25%）﹣920m ]（1+15m %）=120×0.8a （1﹣25%）×2（1+152m %），即72a （1+ 52m %）+a （72﹣ 920m ）（1+15m %）=144a （1+ 152m %），整理得：0．0675m 2﹣1.35m =0，m 2﹣20m =0，解得：m 1=0（舍），m 2=20．答：m 的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．3．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】【分析】 设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.5．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤ （2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥， 由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥，化简得：()210k -≤，得1k =.由于k 的取值范围为14k ≤， 故不存在k 使2212120x x x x --≥．6．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.7．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根8．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。
一元二次方程提高培优题
实用标准文案文档大全的值为（﹣=0实用标准文案如果人数超过25人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于75元。
如果人数不超过25人，人均活动费用为100元。
参考答案1．D【解析】先化简，由a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根，得a 2+a ﹣1=0，则a 2+a=1，再整体代入即可． 解：原式==，∵a 是方程x 2+x ﹣1=0的一个根， ∴a 2+a ﹣1=0，即a 2+a=1， ∴原式==1．故选D ． 2．D. 【解析】试题分析：(2)2x x x -=-(2)+2=0x x x --（） (1)(2)0x x +-=∴10x +=,20x -= 解得：11x =-，22x =故选D.考点: 解一元二次方程----因式分解法． 3．A ． 【解析】试题分析：设平均每次的降价率为x ，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x ）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x ）2=256． 故选：A ．考点: 由实际问题抽象出一元二次方程． 4．A. 【解析】 试题分析：：一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设每月游客的平均增长率x ，根据题意即可列出方程．设每月游客的平均增长率x ，根据题意可列出方程为：20（1+x ）2=50． 故选A ．考点: 由实际问题抽象出一元二次方程． 5．A ． 【解析】试题分析：根据题意得：每人要赠送（x ﹣1）张相片,有x 个人,所以全班共送：x （x ﹣1）=2070． 故选A ．考点：一元二次方程的应用． 6．D 【解析】试题分析：由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的范围：∵△=（﹣4）2﹣4m=16﹣4m ＜0，∴m ＞4。
故选D 。
7．A 。
【解析】∵a ，b 分别满足22a 6a 40b 6b 40-+=-+=，，且a ≠b ，∴a 与b 为方程x 2﹣6x+4=0的两根。
(完整版)一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)(最新整理)
A、1
B、2
C、 1 2
D、 3 2
18、已知是 、 方程 x 2 x 1 0 的两个实根，则 4 3 _______ .
19、若关于 x 的方程 2a x ax 1 只有一解，求 a 的值。 x 1 x2 x x
中考真题
1、若 x 1 1 ，则 x3 1 的值为（ ）
x
D、 1 和 1 2
6、实数 x、y 满足 x 2 xy y 2 2 ，记 u x 2 xy y 2 ，则 u 的取值范围是（ ）
A、 2 u 6 3
B、 2 u 2 3
C、1 u 6
D、1 u 2
7、已知实数 m，n 满足 m2 m 2009 0 ， 1 1 2009 0mn 1 ，则 1 n _____ .
答案： 2005
考点：因式分解的应用。
专题：整体思想。
分析：根据已知条件可得到 m 2 m 1 ，然后整体代入代数式求值计算即可。
解答：∵ m2 m 1 0
∴m2 m 1
∴原式 m m2 m m 2006 m2 m 2006 1 2006 2005
点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。
∵ x1 1， p q 3 ∴ x2 x1 x2 3 x1 2
∴ x1 x2 x1 x2 3
∴ x2 x1 1 2
7、已知 a b 8 ， ab c 2 16 0 ，则 a b c ________ .
D、 a b 4
8、已知 m 2 m 1 0 ，则 m3 2m 2 2006 ________ .
9、已知 a b 4 ， ab c 2 4 0 ，则 a b ________ .
4、已知方程 2x 2 2ax 3a 4 0 没有实数根，则代数式 a 2 8a 16 2 a _____ .
(完整版)一元二次方程培优提高例题
考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
（2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”: ①该项系数不为“0"； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ）A ()()12132+=+x x B 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。
针对练习:★1、方程782=x 的一次项系数是 ,常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程.★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m+x n—2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ )A 。
m=n=2 B.m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 .例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数 式的值。
九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)附答案
九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)附答案一、一元二次方程1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可. 试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x1=1+3，x2=1﹣3．3．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．4．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣+1=﹣．∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数， ∴﹣是负整数，即是正整数．∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6， ∴a 的值为7、8、9或12． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．5．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴x=2b b 4ac 2a--=732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长； （2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1． 【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5． （1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+34=0，∴x1=12，x2=32．当12为腰时，12+12<32，∴12、12、32不能构成三角形；当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12，此时周长为32+32+12=72．答：当m=2时，△ABC的周长为72．（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m）2﹣4（m2﹣14）=m2﹣2m+1=0，∴m1=m2=1．答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.6．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．7．解方程：(x＋1)(x－1)＝x.【答案】x1，x2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x＋1)(x－1)＝x2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴∴x1x2.8．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可． 试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得 1﹣2a+a 2=0， 解得a 1=a 2=1， 所以a 的值为1.9．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解． 【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】 【分析】(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．11．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12， 即x 2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.12．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。
【数学】数学一元二次方程的专项培优练习题附详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣26aa+，x1x2=6aa+，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣66a-是是负整数，即可得66a-是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴a≥0且a≠6．（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣+1=﹣．∵（x1+1）（x2+1）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为1、2、3或6，∴a的值为7、8、9或12．【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键．2．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1）用含的式子表示方程的两实数根；（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．∴由求根公式，得．∴或（II），∴．而，∴，．由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：3．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k ）²-4×2（k-1）=4k²-8k ＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k 为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂= ∴S=++ x 1+x 2 = == ==2k-2=2，解得k=2， ∴当k=2时，S 的值为2∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m 时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm ，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x ）dm ，宽为（6-2x ）dm ，根据长方体底面面积为12dm 2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm ，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x 2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm ，底面积为12dm 2.6．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同． （1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x ，根据题意得：400（1﹣x ）2=361，解得：x 1=0.05=5%，x 2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．7．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=. （1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值．【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根， ∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥，∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-； （2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-， 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=，解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =.【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.8．已知关于x 的方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0．(1)若该方程的一个根为1，求k 的值；(2)求证：不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．【答案】(1)k ＝1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把x ＝1代入方程，即可求得k 的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解】(1)把x ＝1代入方程x 2﹣(k +3)x +3k ＝0得1﹣(k ﹣3)+3k ＝0，1﹣k ﹣3+3k ＝0解得k ＝1；(2)证明：1,(3),3a b k c k ==-+=24b ac ∆=-∴ △＝(k +3)2﹣4•3k ＝(k ﹣3)2≥0，所以不论k 取何实数，该方程总有两个实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.9．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：∵）2=a ﹣b ≥0∴a +b a =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ； （2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值； （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算； （2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x⋅=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++()411x x +⋅+5=4+5=9，∴y 的最小值为9．（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9则由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD36x =，∴四边形ABCD面积=4+9+x36x+≥13+236xx⋅=25．当且仅当x=6时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．。
一元二次方程培优题
1、已知关于x 的一元二次方程()0122=+--k x k kx 有两个不相等的实根，求k 的取值范围2、关于x 的方程0122=--x k x 有实根，求k 的取值范围 3、已知关于x 的方程0342=+-x kx 有实根，则k 的非负整数值是 4、方程012=--x x 的两根为 5、解方程03222=-+a x a x6、 设c b a ,,是ABC ∆三边的长，且关于x 的方程()())0(0222>=--++n ax n n x c n x c 有两个相等的实数根，求证ABC ∆是直角三角形。
7、已知关于x 的方程()()011222=++---m x m x m ，当m 为何非负整数时， （1）方程只有一个实数根 （2）方程有两个相等的实根 （3）方程有两个不相等的实根8、 求证：k 为何实数，方程()()0112122=---+x k x k 一定有两个不相等的实根。
9、 已知n m ,为整数，关于x 的三个方程：()0372=++--n x m x 有两个不相等的实根； ()0642=++++n x m x 有两个相等的实根；()0142=++--n x m x 没有实根； 求n m ,的值。
10、若方程),(022是实数q p q px x =-+没有实根，（1）求证41<+q p ； （2）试写出上述命题的逆命题。
11、 关于x 的方程()()024*******=++++++b ab a x a x 有实根，求b a ,的值。
12、 设m 是有理数，问k 为何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根是有理数。
13、 设0≠c ，关于x 的一元二次方程02=++bc ax x 和02=++ca bx x 有一个公共根，求证：这两个方程的其他二根为方程02=++ab cx x 的根。
14、若关于x 的两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共解，（1）求此公共解； （2）求非公共解之和。
数学 一元二次方程的专项 培优练习题附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】 试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别以3cm /s 、2cm /s 的速度从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 向点D 移动．(1)若点P 从点A 移动到点B 停止，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过2s 时P 、Q 两点之间的距离是多少cm ？(2)若点P 从点A 移动到点B 停止，点Q 随点P 的停止而停止移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，问经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？(3)若点P 沿着AB →BC →CD 移动，点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点Q 从点C 移动到点D 停止时，点P 随点Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ 的面积为12cm 2？【答案】（1）2cm ；（2）85s 或245s ；（3）经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．【解析】 试题分析：（1）作PE ⊥CD 于E ，表示出PQ 的长度，利用PE 2+EQ 2=PQ 2列出方程求解即可；（2）设x 秒后，点P 和点Q 的距离是10cm ．在Rt △PEQ 中，根据勾股定理列出关于x 的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴2cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y ，则12QP•CB=12（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2．考点：一元二次方程的应用．3．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】 分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k =当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4．∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．4．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．5．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0． ∴∴另一根是2；(2)∵， ∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根6．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【答案】共有35名同学参加了研学游活动．【解析】试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．设九（1）班共有x人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x﹣30）]元，由题意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去．答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．考点：一元二次方程的应用．7．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x =5求出m 值．8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）552t ±=。
一元二次方程培优(含答案)
一元二次方程培优卷【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为____．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝____．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝____．6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根．【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1B ．x 1＝0，x 2＝5C ．x 1＝－3，x 2＝5D ．x 1＝－6，x 2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a ，b ，都有a ★b ＝a 2－3a ＋b ，如：3★5＝32－3×3＋5.若x ★2＝6，则实数x 的值是____．9．关于x 的一元二次方程为(m －1)x 2－2mx ＋m ＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是()A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是____．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝____．14．若x2－||2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为____．15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为______．一元二次方程的解法【思维入门】1．若关于x 的一元二次方程的两根为x 1＝1，x 2＝2，则这个方程是 ( B )A ．x 2＋3x －2＝0B ．x 2－3x ＋2＝0C ．x 2－2x ＋3＝0D ．x 2＋3x ＋2＝02．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为 ( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 2 3．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的解为__x 1＝1，x 2＝12__．4．已知关于x 的一元二次方程2x 2－3kx ＋4＝0的一个根是1，则k ＝__2__．5．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1__．【解析】 ∵一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，∴a ＋1≠0且a 2－1＝0，∴a ＝1.6. 先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x 2＋3x ＋2＝0的根． 解：原式＝(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x －1x ＋1＝(x －1)·x ＋1－x ＋1＝－x －1. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x 1＝－1，x 2＝－2.当x 1＝－1时，原式无意义，所以x 1＝－1舍去．当x 2＝－2时，原式＝1.【思维拓展】7．若关于x 的方程m (x ＋h )2＋k ＝0(m ，h ，k 均为常数，m ≠0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m (x ＋h －3)2＋k ＝0的解为( B ) A ．x 1＝－6，x 2＝－1 B ．x 1＝0，x 2＝5C．x1＝－3，x2＝5 D．x1＝－6，x2＝28．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是__－1或4__．9．关于x的一元二次方程为(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：(1)根据题意得m≠1，Δ＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4，∴x1＝2m＋22()m－1＝m＋1m－1，x2＝2m－22()m－1＝1.(2)由(1)知x1＝m＋1m－1＝1＋2m－1，∵方程的两个根都是正整数，∴2m－1是正整数，∴m－1＝1或2.∴m＝2或3.10．某文献对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程m－1x－1－xx－1＝0无解，方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m.(1)求m和k的值；(2)求方程x2＋kx＋6＝0的另一个根．解：(1)∵将分式方程m－1x－1－xx－1＝0去分母化成整式方程得(m－1)－x＝0，解得x＝m－1.又∵关于x的方程无解，∴x＝m－1是增根．∴m－1－1＝0，解得m＝2.∵方程x2＋kx＋6＝0的一个根是m，即x＝2.∴22＋2k＋6＝0.解得k＝－5.(2)x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.【思维升华】11．若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－5m＋6＝0的常数项为0，则m的值是(B)A．2 B．3C．2或3 D．012．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的根，则m＋n的值是__－3__．13．已知n为正整数，且n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，则n＝__8__．【解析】易知n＝1，n＝2均不符合题意，所以n≥3，此时一定有(n2＋n＋2)2＝n4＋2n3＋5n2＋4n＋4＜n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，(n2＋n＋4)2＝n4＋2n3＋9n2＋8n＋16≥n4＋2n3＋6n2＋12n＋25，而n4＋2n3＋6n2＋12n＋25为完全平方数，所以一定有n4＋2n3＋6n2＋12n＋25＝(n2＋n＋3)2，整理得n2－6n－16＝0，解得n＝8(负根n＝－2舍去)．2x－1－4＝0，则满足该方程的所有根之和为．14．若x2－||15．若x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，则a的值为__2__016或－1__．【解析】∵x＝－1是关于x的方程a2x2＋2 015ax－2 016＝0的一个根，∴将x＝－1代入方程得a2－2 015a－2 016＝0，因式分解得(a－2 016)(a＋1)＝0，可化为a－2 016＝0或a＋1＝0，解得a1＝2 016，a2＝－1，则a的值为2 016或－1.。
一元二次方程培优提高题
10.已知方程x 2 3x 1 0的两根也是方程x 4 px 2q 0的根，求p 、q 的值.【例题求解】第一节求根公式【例1】满足(n 2 n 1)n 2 1的整数个.【例2】设x 1、x 2是二次方程x 2 x3 0的两个根，那么x 13 4x 2219的值等于()【例3】解关于x 的方程(a 1)x 2 2ax a 0 .【例4】 设方程x 2 2x 1 4 求满足该方程的所有根之和.【练习题 1.已知a 、b 是实数，且.、2a 62.已知x 2 3x 2 0，那么代数式 0，那么关于x 的方程(a2)x 2 b 2x a 1 的根(x兰」的值是13.若两个方程A . a b x 2 ax b 0 和 x 2B . a b 0 4.若 x 2 5x 1 0，则 2x 2 9x 3 xbx a 0只有一个公共根，则(C . a b 1D . a b 5 _ _ 1 •x 2 5.已知m 、n 是有理数，方程x mx n 0有一个根是、一5 2，则n 的值为1 6.已知a 、b 都是负实数，且- am 1 .5B .2 7.已知 x 22x 20，求代数式 8.已知 9.已知 的值.1 0,那么 a bc 1 75 C .2 2(x 1)2 (x 3)( x 3)_________ 43219 8、3，求x 6x2 2x 18x 23 的值.xm 、n 是一元二次方程 x 28x 15卫的值是(a(x 3)(x 1)的值.2001x 7 0的两个根，求2 2(m 22000m 6)(m 2 2002 n 8)第二节根的判别式【例题求解】【例1】已知关于x 的一元二次方程(1 2k)x 2 2.、k 1x 1 0有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 ______________________ .【例2】已知关于x 的方程x 2 (k 2)x 2k 0,(1) 求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2) 若等腰三角形△ ABC 的一边长a = 1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ ABC 的周长.【例3】设方程x 2 ax 4，只有3个不相等的实数根，求 a 的值和相应的3个根.【例4】已知关于x 的方程x 2 2(2 m)x 3 6m 0 (1) 求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；(2) 如果方程的两实根分别为 &、X 2，满足X 1=3X 2，求实数m 的值. 【练习题】范围是()2 2a(x 1) 2cx b(x 1) 0的根的情况为A •有两个相等的实数根 C .有两个不相等的实数根 6.如果关于x 的方程(m 2)x 2 2(m 1)x mmx 2 (m 2)x (4 m) 0的根的情况是()A .没有实数根B .有两个不相等的实数根C .有两个相等的实数根D .只有一个实数根7. 在等腰三角形 ABC 中，/ A 、/ B 、/ C 的对边分别为a 、b 、c ,已知a 3 , b 和c 是 1关于x 的方程x 2 mx 2 -m 0的两个实数根，求△ ABC 的周长.1.已知a 4 b 0，若方程 kx 2 ax b 0有两个相等的实数根，则 k =2.若关于x 的方程0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 3.已知关于x 方程 x 2、、2k4x k 0有两个不相等的实数解, 化简 k 2 J k 2 4k 4 =4.若关于x 的一元次方程 (m 2)2x 2(2 m 1)x 10有两个不相等的实数根，则m 的取值3 A . m -45. 已知一直角三角形的B . m边为a3-且m 24,那么关于x 的方程8. 已知一元二次方程x2bx c 0，且b、c可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有()A . 12 个B . 10 个C. 7 个D. 5 个9. 如果关于x的方程mx2 2(m 2)x m 5 0没有实数根，那么关于x的方程2(m 5)x 2(m 2)x m 0的实根的个数()A . 2B . 1 C. 0 D .不能确定10. 已知△ ABC的三边长为a、b、c,且满足方程a2x2(c2a2b2)x b20，则方程根的情况是()A.有两相等实根B.有两相异实根C.无实根D .不能确定11. a、b为实数，关于x的方程x2ax b 2有三个不等的实数根.2(1) 求证：a 4b 8 0 ;(2) 若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°;(3) 若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值.12. 关于x的方程kx2 (k 1)x 1 0有有理根，求整数是的值.没有实数根无法确定个实数根，那么方程第三节韦达定理【例题求解】【例4】设X 1、X 2是方程2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0的两个实数根，当m 为何值时，x/ x ?2 有最小值？并求出这个最小值.【例5】 已知：四边形 ABCD 中，AB // CD ,且AB 、CD 的长是关于x 的方程21 2 7 x 2 2mx (m )20的两个根.24(1)当m = 2和m>2时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形？并说明理由.⑵若M 、N 分别是 AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P,Q, PQ = 1,且AB<CD , 求AB 、CD 的长. 【练习题】1. (1)已知x 1和x 2为一元二次方程 2x 2 2x 3m 10的两个实根，并 x 1和x 2满足不等式2 已知 、是方程的两个实数根，则代数式3 4 5 2 2 2的值为 ________ .【例1】已知 是方程x * 2x1 0的两个实数根，则代数式2( 2)的值为【例2】如果b 都是质数，且 a 2 13a ,b 213b m那么- ab 的值为(123 A .22B . 125 或 222C . 125 22D . 【例3】已知关于x 的方程:x 2(m 2)x2m4(1)求证：无论m 取什么实数值, 这个方程总有两个相异实根.(2)若这个方程的两个实根为、 X 2满足X 2|凶 2，求 m 的值及相应的 x 1、x 2 .9. 已知关于x 的方程x 2 (2k 3)x k 2 1 0 .(1)当k 是为何值时，此方程有实数根; 10. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的长为10,且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方 程的两个根.(1) 求rn 的值；(2) 若E 是AB 上的一点，CF 丄DE 于F ,求BE 为何值时，△ CEF 的面积是厶CED 的面 积的1，请说明理由.311. 如图，已知在△ ABC 中，/ ACB=90，过 C 作 CD 丄 AB 于 D ，且 AD = m , BD=n , AC 2: BC 2= 2: 1;又关于x 的方程】x 2 2(n 1)x m 2 12 0两实数根的差的平方小于192，求4 整数m 、n 的值.作 1 ,则实数m 取值范围是 ________________________ . x 1 x 2 4(2)已知关于x 的一元二次方程 8x 2 (m 1)x m 7 0有两个负数根，那么实数 m 的取值 范围是 . 3. CD 是Rt △ ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程x 2 6x 4 0的两根，则△ ABC 的面积是 _______ .4. 设X 1、X 2是关于x 的方程x 2 px q 0的两根，X 1 +1、X 2 +1是关于x 的方程 x 2 qx p 0的两根，贝U p 、q 的值分别等于()A . 1, -3B . 1 , 3C . -1 , -3D . -1 , 35. 在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°, a 、b 、c 分别是/ A 、/ B 、/ C 的对边，a 、b 是关于 x 的方程x 2 7x c 7 0的两根，那么AB 边上的中线长是()35A .B .C . 5D . 2226.方程x 2 px 19970恰有两个正整数根 X i 、 X 2 , 则P的值是( )(X 11)(X 2 1)B . -l11 C . — D.-227.已知 是方程 x 2 x 1 0的两个根，则8. △ ABC是的一边长为 5，另两边长恰为方程2x 2 3 的值为 ____________ .12x m 0的两根，则m 的取值范围(2)若此方程的两个实数根 X 1、X 2满足：凶|仪 3，求k 的值.。
第二章 一元二次方程 综合题型归类 培优练习(含详解)
一元二次方程-综合题型归类 培优练习【综合题型一】一元二次方程➼➻解法【综合①】一元二次方程的解法➼➻解一元二次方程★✭分式方程★✭换元法1．（2008·浙江温州·中考真题）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①2310x x -+=；①2(1)3x -=；①230x x -=；①224x x -=．2．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．3．（2019·上海·中考真题）解分式方程：228122-=--x x x x．4．（2020·湖北荆州·统考中考真题）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值．问题：解方程2250x x ++=（提示：可以用换元法解方程），()0t t =≥，则有222x x t +=，原方程可化为：2450t t +-=，续解：2212(1)121x x x x x x +++-÷+++，其中x 满足220x x --=．6．（2020·四川广元·统考中考真题）先化简，再求值：2111a a a a a a--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭，其中a 是关于x 的方程2230x x --=的根．【综合题型二】解一元二次方程➼➻根的判别式★✭韦达定理★✭换元法【综合①】根的判别式➼➻求参数取值范围★✭证明7．（2017·北京·中考真题）已知关于x 的方程()23220x k x k -+++=（1）求证：方程总有两个实数根（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k 的取值范围8．（2013·山东淄博·中考真题）关于x 的一元二次方程()2a 6x 8x 90--+=有实根．（1）求a 的最大整数值；（2）当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；①求2232x 72x x 8x 11---+的值．9．（2016·北京·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2-1=0有两个不相等的实数根．【综合②】根的判别式✭★韦达定理➼➻求参数取值范围★✭证明10．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．11．（2021·湖北荆门·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x ，2x 两实数根．（1）若11x =，求2x 及m 的值；（2）是否存在实数m ，满足()()126115x x m --=-？若存在，求出求实数m 的值；若不存在，请说明理由．12．（2022·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1) 求实数k 的取值范围．(2) 设方程的两个实数根分别为12,x x ，若()()12111x x ++=-，求k 的值．【综合题型三】一元二次方程的应用【综合①】一元二次方程的应用➼➻增长率问题★✭传播问题13．（2022·四川眉山·中考真题）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．(1) 求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；(2) 2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加14．（2022·广西南宁·校联考一模）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感．(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)若一个患流感的人打一个喷嚏喷出的病毒粒子（忽略触角近似于球体）达8000万个，且该流感病毒粒子的直径为160纳米．请完成下列填空及问题：①用科学记数法表示数据8000万个为__________个；①如图，若把8000万个病毒粒子最大纵切面圆面相切放在一条直线上，求这些病毒粒子纵切面的总直径是多少米？（参考数据：1纳米910-=米）15．（2017·广西桂林·中考真题）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2018年该市投入基础教育经费5000万元，2020年投入基础教育经费7200万元．(1) 求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；(2) 如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算．该市计划2021年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校．若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？【综合②】一元二次方程的应用➼➻图形问题★✭营销问题16．（2010·湖北宜昌·中考真题）如图，有一块等腰梯形的草坪，草坪上底长48米，下底长108米，上下底相距40米，现要在草坪中修建一条横、纵向的“H”型甬道，甬道宽度相等，甬道面积是整个梯形面积的213.设甬道的宽为x米.（1）求梯形ABCD的周长；17．（2021·山东日照·统考中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y （桶）与每桶降价x （元）（020x <<）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？18．（2021·山东烟台·统考中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？19．（2012·山西·中考真题）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【挑战题型一】一元二次方程➼➻阅读材料问题★✭规律问题20．（2022·湖北黄石·统考中考真题）阅读材料，解答问题：材料1为了解方程()22213360x x -+=，如果我们把2x 看作一个整体，然后设2y x ，则原方程可化为213360y y -+=，经过运算，原方程的解为1,22x =±，3,43x =±．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．材料2已知实数m ，n 满足210m m --=，210n n --=，且m n ≠，显然m ，n 是方程210x x --=的两个不相等的实数根，由韦达定理可知1m n +=，1mn =-．根据上述材料，解决以下问题：(1) 直接应用：方程42560x x -+=的解为_______________________；(2) 间接应用：已知实数a ，b 满足：422710a a -+=，422710b b -+=且a b ，求44a b +的值； (3) 拓展应用：已知实数x ，y 满足：42117m m +=，27n n -=且0n >，求241n m+的值．21．（2022·四川凉山·统考中考真题）阅读材料：材料1：若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1x 2＝c a 材料2：已知一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n ＋mn 2的值．解：①一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根分别为m ，n ，①m ＋n ＝1，mn ＝－1，则m 2n ＋mn 2＝mn （m ＋n ）＝－1×1＝－1(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求n mm n+的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求11s t-的值．22．（2018·贵州黔东南·统考中考真题）“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．23．（2022·安徽合肥·校考二模）观察下列图形中小黑点个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：＝第1个等式：1221+=++=+＝第2个等式：4682+=+＝第3个等式：912183+=+＝第4个等式：1620324(1)写出第5个等式：________．(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示）．(3)若第n组图形中左右两边各有210个小黑点，求n．24．（2018·江苏常州·中考真题）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；（2）拓展：用“转化”x=的解；（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．【挑战题型二】一元二次方程➼➻拓展问题★✭探究问题25．（2014·四川凉山·统考中考真题）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=1n（n+1）2n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是12下列用一元二次方程解决上述问题n（n+1）设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有12整理这个方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．26．（2022·山东青岛·统考二模）实际问题：婚礼上有116名宾客，地面上水平放置了一个长方体蛋糕，要保证这116名宾客都能分得蛋糕（忽略大小，水平切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕才能完成任务．问题探究：为解决这个问题我们从最简单的长方形分割开始研究．探究一：用一条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图1所示，一条线来分多出1部分，最多分成1+1=2部分；探究二：用2条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图2所示，第2条线与第一条线相交，多出2部分，最多分成1+1+2=4部分；探究三：用3条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图3所示，第3条线与前2条线相交，多出3部分，最多分成1+1+2+3=7部分；探究四：用4条直线分一个长方形，最多可以分成几部分？如图4所示，第4条线与原来3条线相交，多出4部分，最多分1+1+2+3+4=11部分；(1)探究五：用5条直线分一个长方形，第5条线与原来4条线相交，多出部分，即最多分成部分；(2)探究六：用n条直线分一个长方形，最多可以分成部分；（用含n的代数式表示）(3)探究七：我们可以将开始提出的问题转化为切割长方体，借助以上探究长方形切割的结论如何将长方体切割成14块？我们只需要在探究三的基础上，先在长方体中竖直切割3刀最多分成7块，平行于地面切一刀，此时4刀可切成7×2=14块．探究八：如何用最少的切割次数，将一个长方体蛋糕切割成44块，请说明切割过程，无需画图；切割的方向只能与地面平行，垂直切割只能与地面垂直），小明说我10刀即可完成任务，你认为小明是怎样切这个蛋糕？请说明切割的过程，无需画图．27．（2020·山东青岛·中考真题）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表①所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．参考答案1．①x =①1x =①10x =，23x =；①1x = 【分析】①利用公式法求解即可．①利用直接开平方法求解即可．①利用因式分解法求解即可；①利用配方法求解即可；解：①2310x x -+=； ①a =1，b =-3，c =1， ①①=（-3）2-4×1×1=5＞0，①x =即12x x ==； ①2(1)3x -=；①x -1=①1211x x == ①230x x -=； ①x （x -3）=0 ①x =0或x =3 ①10x =，23x =； ①224x x -= ①22141x x -+=+ ①()215x -=；①1x -=①1211x x ==2．1x 2x 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x -34=0，然后变形为29x x 172﹣＝，然后利用配方法解方程． 解：原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣＝， 29x x 172﹣＝， 298181x x 1721616-++＝，29353x 416-（）＝，所以12x 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．x ＝－4.【分析】首先去分母，化为整式方程，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到答案．解：去分母得2x 2－8＝x 2－2x ， 移项、整理得x 2＋2x －8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝－4．经检验：x ＝2是增根，舍去；x ＝－4是原方程的根． ①原方程的根是x ＝－4．【点拨】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法；注意解分式方程要检验，避免产生增根．4．11x =-21x =-．【分析】利用因式分解法解方程t 2+4t -5=0得到t 1=-5，t 2=11=，然后进行检验确定原方程的解．解：续解：()229t +=，23t ∴+=±，解得11t =，25t =-（不合题意，舍去），1t ∴=，221x x +=，2(1)2x ∴+=，1211x x ∴=-=-经检验都是方程的解．【点拨】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．5．x （x +1）；6【分析】先求出方程220x x --=的解，然后化简分式，最后选择合适的x 代入计算即可． 解：①220x x --= ①x =2或x =-1 ①2212(1)121x x x x x x +++-÷+++ =()221212()111x x x x x x +++÷+++-=()2222()11x x x x x ++÷++ =()()22112x x x x x ++⨯++=x （x +1）①x =-1分式无意义，①x =2当x =2时，x （x +1）=2×（2+1）=6．【点拨】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x 的值是解答本题的易错点．6．a 2+2a+1；16【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可． 解：2111a a a a a a--⎛⎫-+÷ ⎪+⎝⎭ ()()1111a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-⨯⎢⎥-⎣⎦ ()()()1111a a a a aa+-+=⨯-()21a =+=a 2+2a+1①a 是关于x 的方程2230x x --=的根， ①a 2-2a -3=0， ①a=3或a=-1， ①a 2+a≠0， ①a≠-1， ①a=3，①原式=9+6+1=16.【点拨】此题主要考查了分式的化简求值以及一元二次方程的解，正确化简分式是解题关键． 7．（1）证明见分析；（2）10k -<<【分析】（1）证出根的判别式240b ac ∆=-≥即可完成； （2）将k 视为数，求出方程的两个根，即可求出k 的取值范围. 解：（1）证明：1,(3),22a b k c k ==-+=+22224[(3)]41(22)21(1)0b ac k k k k k ∆=-=-+-⨯⨯+=-+=-≥①方程总有两个实数根（2）()23220x k x k -+++=①3(1)2k k x +±-=①121,2x k x =+= ①方程有一个小于1的正根①011k <+< ①10k -<<【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 8．（1）a 的最大整数值为7．（2）①12x 4x 4==①292-【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到()644a 690∆=-⨯-⨯≥且a 60-≠，解得7a 79≤且a≠6，然后在此范围内找出最大的整数．（2）①把a 的值代入方程得到2x 8x 90-+=，然后利用求根公式法求解．①由于2x 8x 90-+=则2x 8x 9-=-，把2x 8x 9-=-整体代入所求的代数式，再变形得到()272x 8x 2-+，再利用整体思想计算即可．解：（1）根据题意() a 60{644a 690-≠∆=-⨯-⨯≥，解得 a 6{7a 79≠≤．①a 的最大整数值为7．（2）①当a=7时，原方程变形为2x 8x 90-+=， 6441928∆=-⨯⨯=，①x 4==①12x 4x 4== ①①2x 8x 90-+=，①2x 8x 9-=-． ①()()2222232x 732x 7777292x 2x 2x 16x 2x 8x 29x 8x 119112222---=-=-+=-+=⨯-+=--+-+【点拨】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握①与根的情况之间的关系是关键.9．（1）m ＞-54；（2）x 1=0，x 2=-3．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）结合（1）结论，令m =1，将m =1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论． 解：（1）①关于x 的一元二次方程2x +（2m +1）x +2m ﹣1=0有两个不相等的实数根， ①Δ=()()2221411m m +-⨯⨯-=4m +5＞0， 解得：m ＞54-；（2）m =1，此时原方程为2x +3x =0， 即x （x +3）=0， 解得：1x =0，2x =﹣3．【点拨】本题考查了一元二次方程的根的情况，解一元二次方程，解决此题的关键是正确的计算． 10．(1) 见分析(2) 1m =±【分析】（1）根据根的判别式24b ac ∆=-，即可判断；（2）利用根与系数关系求出2αβ+=，由25αβ+=即可解出α，β，再根据23m αβ⋅=-，即可得到m 的值． 解：（1）()22224241(3)412b ac m m ∆=-=--⨯⋅-=+， ①2120m ≥， ①241240m +≥>，∴该方程总有两个不相等的实数根；（2）方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，2αβ+=，23m αβ⋅=-， ①25αβ+=， ①52αβ=-， ①522ββ-+=， 解得：3β=，1α=-， ①23133m -=-⨯=-，即1m =±．【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 11．（1）25x =，3m =；（2）存在，2m =【分析】（1）根据题意可得①＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m 的方程，整理后可即可解出m 的值． 解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m −1)>0， ①m <5，将x 1=1代入原方程得：m =3， 又①x 1•x 2=2m −1=5， ①x 2=5，m =3；（2）设存在实数m ，满足()()126115x x m --=-，那么 有()1212615x x x x m -++=-⋅， 即6(21)615m m --+=-， 整理得：28120m m -+=， 解得2m =或6m =． 由（1）可知5m <， ①6m =舍去，从而2m =， 综上所述：存在2m =符合题意．【点拨】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式①的关系：（1）①＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）①=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）①＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，12b x x a +=-，12cx x a=．12．(1) k 174≤；(2) k =3【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0，解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==-，将等式左侧展开代入计算即可得到k 值． （1）解：①一元二次方程2320x x k ++-=有实数根． ①∆≥0，即32-4（k -2）≥0， 解得k 174≤（2）①方程的两个实数根分别为12,x x ， ①12123,2x x x x k -+==-， ①()()12111x x ++=-， ①121211x x x x +++=-， ①2311k --+=-， 解得k =3．【点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．13．(1) 20% (2) 18个【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ，根据2019年投入资金2(1)x ⨯+=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x ， 根据题意得：21000(1)1440x +=， 解这个方程得，10.2x =，2 2.2x =-， 经检验，0.220%x ==符合本题要求．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2022年可以改造y 个老旧小区， 由题意得：80(115%)1440(120%)y ⨯+≤⨯+， 解得181823y ≤． ①y 为正整数，①最多可以改造18个小区． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．【点拨】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．14．(1) 10个人(2) ①7810⨯；①12.8米【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据“有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感”建立方程，解方程即可得；（2）①根据科学记数法的定义（将一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）即可得；①利用160纳米乘以8000万即可得．（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人， 由题意得：22(1)242x +=，解得1210,12==-x x （不符题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了10个人． （2）解：①8000万34781010810=⨯⨯=⨯， 故答案为：7810⨯；①9729716010810 1.6101081012.8--⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=（米）， 答：这些病毒粒子最大纵切面的总直径是12.8米．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、科学记数法、负整数指数幂与同底数幂乘法的应用，正确建立方程和熟练掌握科学记数法是解题关键．15．(1) 该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20% (2) 2021年最多可购买电脑880台【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ，根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）根据年平均增长率求出2021年基础教育经费投入的金额，再根据总价＝单价×数量，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，取其中的最大值即可．（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x ， 根据题意得：5000（1＋x ）2=7200， 解得：x 1=0.2=20%，x 2=−2.2（舍去）．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%；（2）解：2021年投入基础教育经费为7200×（1＋20%）=8640（万元）， 设购买电脑m 台，则购买实物投影仪（1500−m ）台， 根据题意得：3500m ＋2000（1500−m ）≤86400000×5%， 解得：m ≤880，答：2021年最多可购买电脑880台．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据2018年及2020年投入的基础教育经费金额，列出关于x 的一元二次方程；（2）根据总价＝单价×数量，列出关于m 的一元一次不等式．16．（1）256米 （2）（128-2x ）米 （3）4米解：（1）在等腰梯形ABCD 中， AD =EF =48，()121(10848)23050AE BC DF BC BE CF BC EF AB CD ⊥⊥==-=-=∴===，，，，∴梯形ABCD 的周长=AB +BC +CD +DA =50+108+50+48=256(米).···· 2分（2）甬道的总长：402482(1282)x x ⨯+-=-米.··············· 4分 （3）根据题意，得 21(1282)40(48108)132x x -=⨯⨯+.····················· 7分 整理，得x 2−64x +240=0， 解之得x 1=4，x 2=60.因6048>，不符合题意，舍去. 答：甬道的宽为4米.···························· 10分17．（1）y =10x +100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元【分析】（1）设y 与x 之间的函数表达式为y kx b =+，将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式，即可求解； （2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于x 的一元二次方程，通过解方程即可求解． 解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y kx b =+， 将点(1,110)、(3,130)代入一次函数表达式得：1101303k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得：10100k b =⎧⎨=⎩，故函数的表达式为：10100y x =+；（2）由题意得：(10100)(5535)1760x x +⨯--=， 整理，得210240x x --=． 解得112x =，22x =-（舍去）． 所以5543x -=．答：这种消毒液每桶实际售价43元．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量⨯每件的利润=总利润得出一元二次方程是解题关键．18．（1）50元；（2）八折【分析】（1）设每件的售价定为x 元，根据利润不变，列出关于x 的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m 折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 解：（1）设每件的售价定为x 元， 则有：60(1020)(40)(6040)205xx -⨯+⨯-=-⨯，解得：125060x x ==，(舍)，答：每件售价为50元；（2）设该商品至少打m 折， 根据题意得：62.55010m ⨯≤， 解得：8m ≤，答：至少打八折销售价格不超过50元．【点拨】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键．19．（1）4元或6元；（2）九折【分析】（1）设每千克核桃降价x 元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．解：（1）设每千克核桃应降价x 元根据题意，得（60﹣x ﹣40）（100+x 2×20）=2240， 化简，得 x 2﹣10x+24=0，解得x 1=4，x 2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.①要尽可能让利于顾客，①每千克核桃应降价6元此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90%60⨯ 答：该店应按原售价的九折出售．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．20．(1) 1x ，2x =3x 4x =(2)454(3) 15【分析】（1）利用换元法降次解决问题；（2）模仿例题解决问题即可；（3）令21m =a ，-n =b ，则2a +a -7=0，2b +b =0，再模仿例题解决问题． （1）解：令y =2x ，则有2y -5y +6=0，①（y -2）（y -3）=0，①1y =2，2y =3，①2x =2或3，①1x =2x =3x =4x =故答案为：1x =，2x =3x 4x =。
中考数学一元二次方程(大题培优)附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 【答案】（1）28（2）①76%②75，84% 【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）； （2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%； ②设润滑用油量是x 千克，则 x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12， 整理得：x 2﹣65x ﹣750=0， （x ﹣75）（x+10）=0， 解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%． 考点：一元二次方程的应用2．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，234x =. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.3．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a-±=41222-=-±⨯∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－14，y 2＝32.4．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ﹣2＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x﹣2)＝0．∴x1＝0，x2＝2．符合题意．综上所述，m＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．5．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．9．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣，x2=﹣1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba，x1•x2=ca，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1，x210．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。
一元二次方程综合提高训练卷(20大题)
一元二次方程综合提高训练卷（20大题）1．先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2，其中a是方程x2−x−72=0的解．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根．（2）当矩形的对角线长为√5时，求m的值．4．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0；（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．5．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．6．每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A 、B 两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A 、B 两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．（1）若选择购买B 种巧克力的人数不超过购买A 种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A 种巧克力？（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A 种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A 种巧克力的人数最少时相比，A 种巧克力每上涨3元，购买A 种巧克力的人数会下降5人，同时购买B 种巧克力的人数也下降3人，但是B 种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A 种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A 种巧克力的售价．7．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A 、B 两种材料，已知A 种材料单价32元/套，B 种材料单价24元/套，活动需要A 、B 两种材料共50套计划购买A 、B 两种材料总费用不超过1392元． （1）若按计划采购，最多能购买A 种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A 种材料的计划相比，实际采购A 种材料数量的增加了34a %，B 种材料的数量减少413a %（A 、B 材料的数量均为整数），实际采购A 种材料的单价减少了38a %，B 种材料的单价增加112a %，且实际总费用比按（1）中最多购买A 种材料的总费用多了16元，求a ．8．已知关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣m ＝0有实数根． （1）求m 的取值范围（2）若两实数根分别为x 1和x 2，且x 12+x 22=11，求m 的值．9．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE 的周长是6√2，求△ABC面积．10．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2√3，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．11．阅读下列材料：求函数y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y−3)x2+(y−2)x+14y=0．∵x为实数，∴△=(y−2)2−4(y−3)×14y=−y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．12．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？13．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．14．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？15．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．【研究速算】提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）．【研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？几何建模：（1）变形：x（x+2）＝35．（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22∵x（x+2）＝35∴（x+x+2）2＝4×35+22∴（2x+2）2＝144∵x＞0∴x＝5归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割（2）变形：2y+5＝（y+3）+（y+2）（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5归纳提炼：当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）16．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x−274=0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．“关爱留守儿童，关注农民工子弟教育”已逐渐成为政府以及社会关心的一大民生问题，下表是某电视台2011年一民生栏目组调查的数据：类别现状户数比例A父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾200B父母常年在外打工，孩子带在身边10%C父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子25%D父母在家务农，并照顾孩子15%（1）请将统计表中的空缺数据填写完整；（2）若2013年此电视台民生栏目组再次抽查，样本容量不变，但B类所占比例提高到了12.1%，求B类户数平均每年的增长率．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．。
解一元二次方程100题(提升练)--初中数学专项训练
解一元二次方程100题(提升练)1解方程：(1)3x-1．2=22-x 2=6(2)3x-22解下列一元二次方程：(1)x2-16=0(直接开平方法)；(2)x2-4x+7=10(配方法)．(3)2x2-3x-5=0(公式法)；(4)3x2+5x-2=0(因式分解法)．3解方程：(1)x2-2x-3=0．(2)x x-2=x-2．4解下列一元二次方程：(1)x2-3x=4；(2)2x-1．2=3x-15解方程：(1)x2-2x-1=0(2)x5x+2=65x+2(3)(2x-1)2-3=0(4)2x2+x-6=0．6解方程．(1)3x x+1；(2)2x2-3x-5=0． =2x+17解下列方程：(1)用配方法解方程：3x2-2x-1=0；(2)2y-1+4(因式分解法)．2=31-2y8选择合适的方法解下列方程：(1)x2-4x-2=0；(2)2x x+3．=6x+39解下列方程：(1)x x+1(2)2x2-3x-1=0．=x+110解方程：(1)x x-2+x-2=0；(2)4x2-8x+1=0．11请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)(x-2)2-9=0(2)x2+2x=3(3)2x 2+4x -1=0(4)x -5 2=2x -1 5-x12解方程：(1)2x 2+4x -1=0；(2)2x x -1 =2x -1．13解方程：(1)x -2 2=1．(2)x x -3 +x =3．14用适当的方法解下列方程：(1)7x 2=21x ；(2)x 2-6x =-8：(3)2x 2-6x -1=0；(4)9x -2 2=4x +1 2.15解下列一元二次方程：(1)x 2-4x =1；(2)x -5 2-2x x -5 =0．16解方程：(1)(x -5)(3x -2)=10；(2)x 2+3x +1=0．17解方程：(1)3x2-2=4x(2)4x-32+x x-3=0 (3)x x-3=6-2x(4)2x2-7x+3=0 18解方程(1)x2-5x-1=0(2)xx-3-4x=119解下列方程：(1)3x-12=x+12(2)3x-52=10-2x (3)x-2x+5=18(4)-3x2-4x+4=020解下列方程：(1)3x2-7x=0(2)x2+3x-4=0(3)x-52=2x-5(4)(3-x)2+x2=521计算：(1)x2+2x+1=9；(2)2x2-x-6=0．22解分式方程：(1)2xx+3+1=72x+6(2)6x+1x-1-3x-1=123解方程(1)x2-2x-5=0(用配方法解)(2)2x x+1=x+124用适当的方法解下列一元二次方程(1)3x-12-27=0；(2)x2-8x-9=0(配方法)．25解方程：(1)4x2=12x；(2)34x2-2x-12=026解方程：(1)3x2-5x-2=0；(2)x+42=5x+4．27用恰当的方法解方程．(1)-x2+3x+4=0；(2)3x2x-1=4x-2．28解下列方程：(1)(x+5)2=2x+34；(2)3t2-2t-1=0(用配方法)．29用适当的方法解下列方程：(1)x x-1=x(2)x2+2x-2=030用适当的方法解下列方程：(1)x2+5x-1=0；(2)7x5x+2；=65x+2(3)3x2+2x=0；(4)x2-2x-8=0．31解方程：(1)x2-4x+3=0；(2)x-3+8=0．2-6x-332解方程：(1)x-52=16；(2)x2-4x+1=0．33解方程：(1)x2-2x-3=0．(2)(x+2)(3x-1)=10．34解方程(1)x(x-1)=2(x-1)；(2)x2+4x+2=035用指定的方法解方程：(1)1x2-2x-5=0(用配方法)(2)x2=8x+20(用公式法)2(3)x-3=10(用适当的方法)3x-12+4x x-3=0(用因式分解法)(4)x+236用适当的方法解方程．(1)2x2+1=3x(2)x-322=3x-137解方程：(1)x x-2=x-2.(2)x2-2x-5=0；38解方程：(1)x2-8x=0．(2)2x-32+x2-9=0．(3)x+1=4x-10． 2=2x-1．(4)x2x-539用适当的方法解方程．(1)2x2+4x-3=0；(2)x x-2=4-x240用适当的方法解方程：(1)x2+x-6=0；(2)m2+5m+7=3m+11．41解方程：(1)x-3=x x-3(2)2x2-4x-5=042解方程：(1)x2+x-12=0；(2)x-1-6=0．2-5x-143用适当的方法解下列方程：(1)2x-2． 2-4=0．(2)x-32=2x3-x 44(1)解方程(用公式法)：x+2=3x+2．2x-3(2)解方程(用因式分解法)：2x-22=x-245解方程：(1)x2+3x-1=0；(2)3(x-1)2=x(x-1)46解方程(1)x2-2x-24=0(2)2x-3=3x x-3 47(1)x-3=0 (2)2x2+4x-6=0；(用配方法)2+4x x-348解下列一元二次方程：(1)x2+5x-24=0(2)3x2=22-x49解方程：(1)x2-4x=4；(2)x+2=12．x+150解方程：(1)x2+8x-1=0(2)x x-2+x-2=051用合适的方法解一元二次方程；(1)x2+8x=9(2)2x+6=(x+3)2=0(4)x2-22x+2=0(3)2x2-7x-1252解下列方程．(1)x(x+4)=-3(x+4)(2)2x2-5x+2=0(公式法)53解方程：(1)x2-4x-3=0；(2)3x x-2=0．-x-254用适当的方法解一元二次方程：(1)x2-2x-8=0；(2)3x x-2．=22-x 55(1)解方程：x2-6x+8=0．(2)解方程：3x2-5x+1=056(1)用配方法解方程：-x2+4x=3(2)解方程：4x2=9x57解方程：(1)2x2-3x+1=0；(2)2x-3+3x+3=6x2-9．58解下列方程：(1)(x-2)2=16；(2)y2-3y+2=0；(3)-2x2+4x+12=0；(4)3x2+6x+15=0．59按要求解下列方程：(1)x-62=16(直接开平方法)；(2)x2-4x+2=0(配方法)；(3)x2+3x-4=0(公式法)；(4)2x+4=x+22(因式分解法)．60解下列一元二次方程：(1)x2-2x-3=0；(2)x x+2=x+2．61用适当的方法解下列方程：(1)4x2x+3=82x+3(2)x2-2x-5=0(3)3x2+x-5=0(4)x2+6x+1-13=062解方程：(1)x²-2x-5=0；(2)x+4；2=2x+4 (3)x-1=6． 2-9=0；(4)x x+563计算(1)x-52=16(2)2x2-7x+6=064解方程：(1)x2-4x-4=0(2)x(x+4)=-3(x+4)65解下列方程：(1)x2-3x=0(2)x2+2x-1=066解方程：(1)x-12-25=0；(2)x2-4x-1=0．67解方程：(1)x2-2x+1=0；(2)x2-7x-8=0﹒68解方程(1)x2-1=0(2)2x2-5x+3=069用适当的方法解下列方程(1)x2-2x=2x+1；(2)x2x+3=2x+3．70(1)解方程2x x+1=0(2)解方程：3x2-2x-4=0+3x+171计算：(1)5x2-3x=0；(2)x2-4x+1=0．72解方程：(1)2x2-4x+1=0；(2)x2+2x-3=0．73用适当的方法解方程(1)72x-32=28(2)2x2-x-15=0(3)2x2+4x-5=0(4)2x+12+32x+1+2=074解方程(1)2x+12=121；(2)x2-12x+27=0；(3)2x+12=x2+2；(4)4x2-4=1x-2-1．75用适当的方法解下列方程．(1)x2-4x-1=0；(2)x-32=53-x．76解方程：(1)3x-52=x2-25；(2)x2-1=3x．77解方程：(1)y y-2=3y-2(2)x2+8x-9=078解方程：(1)x2-4x+1=0(用配方法)(2)3(x-2)2=x(x-2)(3)2x2-22x-5=0(4)(y+2)2=(3y-1)279解方程：(1)2x2-4x=1(配方法)；(2)x x+4=3x+12．80解方程(1)x-2=82-5=0(2)x x+4(3)2x2-7x=4(4)2x-32=02-x+181解方程：(1)x+82-5x+8+6=0(2)3x(2x+1)=4x+2 82(1)x2-6x+5=0；(2)3x2-2x-1=0．83请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)2x2x+5；(2)x2+2x-5=0． 2x+5=x-1(1)2x+32-25=0．(2)2x2-7x-2=0．(3)x+2．(4)x2-2x-3=0． 2=3x+285解方程(1)x2-4x+1=0(2)5x-32+23-5x=086选择适当的方法解下列一元二次方程：(1)3x-4；(2)2x2+4x-3=0． 2=54-x87用配方法解下列方程(1)3x2-4x-2=0；(2)6x2-2x-1=0；(3)2x2+1=3x；(4)x-3=-5．2x+188解下列方程：(1)x2+25x+10=0(2)42y-522=93y-1(1)x2-4x=0；(2)x2+4x-4=0．90解下列分式方程.(1)x+14x2-4-xx-2=1-2xx+2.(2)13x-4-10x-3=4x-5-1x-1.91解方程：(1)x2-4x-7=0；(2)3x x-1=2x-2．92用适当的方法解下列方程：(1)x2-2x+1=0(2)x2-3x+2=093用适当的方法解下列方程：(1)3x2-2x=0；(2)x2-x-1=0．94解方程：(1)4x-32=x-3(2)2x2-4x-1=095解下列方程：(1)x2+2x-3=0(用配方法)(2)2x2+5x-1=0(用公式法)(3)2x-3=12 2=x2-9(4)x+1x-396用适当的方法解下列方程：(1)x x-2=2-x(2)2x2+3x-1=097解方程：(1)x2-5x-6=0；(2)3x x-1=4x-4．98解方程(1)x2-3x-9=0(2)x x+4=2x+899解方程：(1)x+22-4=0；(2)x2+5x+6=0．100解方程(1)x2-2x+2=0；(2)x2-3x-4=0．参考答案1(1)x 1=1+63，x 2=1-63；(2)x 1=43，x 2=2【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵3x -1 2=6，∴3x -1=±6，解得x 1=1+63，x 2=1-63；(2)解：∵3x -2 2=22-x ，∴3x -2 2+2x -2 =0，∴3x -2 +2 x -2 =0，即3x -4 x -2 =0，∴3x -4=0或x -2=0，解得x 1=43，x 2=2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．2(1)x 1=4,x 2=-4；(2)x 1=2+7，x 2=2-7；(3)x 1=52，x 2=-1；(4)x 1=13,x 2=-2【分析】按要求解一元二次方程即可．(1)解：x 2-16=0，x 2=16，解得x 1=4,x 2=-4；(2)解：x 2-4x +7=10，x 2-4x =3，x 2-4x +4=7，x -22=7，解得x 1=2+7，x 2=2-7；(3)解：2x 2-3x -5=0，a =2，b =-3，c =-5，∴x 1,2=--3 ±-32-4×2×-52×2，解得x 1=52，x 2=-1；(4)解：3x 2+5x -2=0，3x -1 x +2 =0，解得x 1=13,x 2=-2．【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的运算．3(1)x 1=-1,x 2=3；(2)x 1=1,x 2=2【分析】(1)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可(1)解：x2-2x-3=0，x+1x-3=0，x+1=0,x-3=0，∴x1=-1,x2=3；(2)解：x x-2=x-2，x x-2-x-2=0，x-1x-2=0，x-1=0,x-2=0，x1=1,x2=2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等.4(1)x1=4，x2=-1；(2)x1=1，x2=2+3 2【分析】(1)采用因式分解法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．(1)解：由原方程得：x2-3x-4=0，得x-4x+1=0，故x-4=0或x+1=0，解得x1=4，x2=-1，所以，原方程的解为x1=4，x2=-1；(2)解：由原方程得：2x-12-3x-1=0，得x-12x-1-3=0，故x-1=0或2x-2-3=0，解得x1=1，x2=2+3 2，所以，原方程的解为x1=1，x2=2+3 2．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决本题的关键．5(1)x1=1+2,x2=1-2；(2)x1=6,x2=-25；(3)x1=1+32,x2=1-32；(4)x1=32,x2=-2【分析】(1)方程运用配方法求解即可；(2)方程移项后运用因式分解法求解即可；(3)方程移项后运用直接开平方法求解即可；(4)方程运用因式分解法求解即可．解：(1)x2-2x-1=0x2-2x=1，x2-2x+1=2，x-12=2，x-1=±2，∴x1=1+2,x2=1-2；(2)x5x+2=65x+2x5x+2-65x+2=0，x-65x+2=0，x-6=0,5x+2=0，∴x1=6,x2=-25；(3)(2x-1)2-3=0 (2x-1)2=3，2x-1=±3，2x=1±3，∴x1=1+32,x2=1-32；(4)2x2+x-6=02x-3x+2=0，2x-3=0,x+2=0，x1=32,x2=-2．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法，配方法和直接开平方法是解答本题的关键．6(1)x1=-1，x2=23；(2)x1=-1，x2=52【分析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵3x x+1=2x+1，∴3x x+1-2x+1=0，则x+13x-2=0，∴x+1=0或3x-2=0，解得x1=-1，x2=2 3；(2)解：∵2x2-3x-5=0，∴x+12x-5=0，∴x+1=0或2x-5=0，解得x1=-1，x2=5 2．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．7(1)x1=1，x2=-13；(2)y1=-32，y2=1【分析】(1)直接利用配方法解方程得出答案；(2)直接利用十字相乘法解方程得出答案．(1)解：∵3x2-2x-1=0，∴x2-23x-13=0，∴x2-23x=13，∴x2-23x+19=49，∴x-132=49，∴x -13=±23，解得x 1=1，x 2=-13；(2)解：∵2y -1 2=31-2y +4，∴2y -1 2+32y -1 -4=0，∴2y -1 -1 2y -1 +4 =0，∴2y -1 -1=0或2y -1 +4=0，解得y 1=-32，y 2=1．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确掌握相关解一元二次方程的解法是解题关键．8(1)x 1=2+6,x 2=2-6；(2)x 1=-3,x 2=3【分析】(1)利用配方法得到(x -2)2=6，然后用直接开平方法解方程；(2)先移项，再利用因式分解法把方程转化为x +3=0或2x -6=0，然后解两个一次方程即可．解：(1)x 2-4x -2=0，x 2-4x =2，x 2-4x +4=6，(x -2)2=6，x -2=±6，所以x 1=2+6，x 2=2-6；(2)2x x +3 =6x +3 ，2x x +3 -6x +3 =0，x +3 2x -6 =0，x +3=0或2x -6=0，所以x 1=-3，x 2=3．【点拨】本题考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握其方法步骤是解决此题的关键，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．9(1)x 1=-1，x 2=1；(2)x 1=3+174，x 2=3-174【分析】(1)移项后，利用因式分解法求解即可；(2)直接利用公式法求解即可．(1)解：x x +1 =x +1 ，x x +1 -x +1 =0，∴x +1 x -1 =0，∴x +1=0或x -1=0，解得：x 1=-1，x 2=1；(2)解：2x 2-3x -1=0，∴a =2，b =-3，c =-1，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =--3 ±-3 2-4×2×-1 2×2=3±174，∴x 1=3+174，x 2=3-174．【点拨】本题考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．10(1)x 1=2，x 2=-1；(2)x 1=2+32，x 2=2-32【分析】(1)采用因式分解法解此方程，即可求解；(2)采用公式法解此方程，即可求解．(1)解：由原方程得：x -2 x +1 =0，∴x -2=0或x +1=0，解得x 1=2，x 2=-1，所以，原方程的解为x 1=2，x 2=-1；(2)解：∵a =4，b =-8，c =1，∴Δ=-8 2-4×4×1=64-16=48>0，∴x =8±432×4=2±32，解得x 1=2+32，x 2=2-32，所以，原方程的解为x 1=2+32，x 2=2-32．【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键．11(1)x 1=5，x 2=-1；(2)x 1=-3，x 2=1；(3)x 1=-2+62，x 2=-2-62；(4)x 1=5，x 2=2【分析】(1)利用直接开方法求解即可；(2)利用因式分解法求解即可；(3)利用公式法求解求解即可；(4)利用因式分解法求解即可．(1)解：(x -2)2-9=0∴(x -2)2=9直接开方得：x -2=3或x -2=-3，解得：x 1=5，x 2=-1；(2)x 2+2x =3x 2+2x -3=0，∴x +3 x -1 =0，解得：x 1=-3，x 2=1；(3)2x 2+4x -1=0，其中a =2,b =4,c =-1，∴Δ=b 2-4ac =24>0，∴x =-4±242×2=-2±62,，∴x 1=-2+62，x 2=-2-62；(4)x -5 2=2x -1 5-x移项得：x -5 2+2x -1 x -5 =0，∴x -5 (x -5+2x -1)=0，整理得：x -5 (3x -6)=0，解得：x 1=5，x 2=2．【点拨】题目主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法步骤是解题关键．12(1)x1=-1+62，x2=-1-62；(2)x1=1+22，x2=1-22【分析】(1)利用配方法解一元二次方程即可得；(2)先去括号，再利用配方法解一元二次方程即可得．(1)解：2x2+4x-1=0，2x2+4x=1，x2+2x=12，x2+2x+1=12+1，即x+12=32，x+1=±62，x=-1±62，所以方程的解为x1=-1+62，x2=-1-62．(2)解：2x x-1=2x-1，2x2-2x=2x-1，2x2-4x=-1，x2-2x=-12，x2-2x+1=-12+1，即x-12=12，x-1=±22，x=1±22，所以方程的解为x1=1+22，x2=1-22．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法、换元法等)是解题关键．13(1)x1=3，x2=1；(2)x1=3，x2=-1【分析】(1)利用直接开平方法解方程即可；(2)先移项，再利用因式分解法解方程即可．(1)解：x-22=1∴x-2=±1，当x-2=1时，x=3，当x-2=-1时，x=1，∴x1=3，x2=1；(2)解：x x-3+x=3移项得：x x-3+x-3=0，∴x-3x+1=0，∴x-3=0，x+1=0，∴x1=3，x2=-1．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和因式分解法是解题的关键．14(1)x1=0，x2=3；(2)x1=2，x2=4；(3)x1=3+112，x2=3-112；(4)x1=8，x2=45【分析】(1)将原方程转化为7x 2-21x =0，再利用因式分解法求解即可；(2)将原方程转化为x 2-6x +8=0，再利用因式分解法求解即可；(3)直接利用公式法求解即可；(4)两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可．(1)解：将原方程转化为7x 2-21x =0，∴7x x -3 =0，∴7x =0或x -3=0，解得：x 1=0，x 2=3；(2)解：将原方程转化为x 2-6x +8=0，∴x -2 x -4 =0，∴x -2=0或x -4=0，解得：x 1=2，x 2=4；(3)解：∵a =2，b =-6，c =-1，∴b 2-4ac =-6 2-4×2×-1 =36+8=44，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =--6 ±442×2=6±2114，∴x 1=3+112，x 2=3-112；(4)解：将方程转化为3x -2 =±2x +1 ，∴3x -2 =2x +1 或3x -2 =-2x +1 ，解得：x 1=8，x 2=45．【点拨】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．15(1)x 1=2+5，x 2=2-5；(2)x 1=5，x 2=-5【分析】(1)用配方法求解即可；(2)用因式分解法求解即可．(1)解：x 2-4x =1，x 2-4x +4=1+4，x -2 2=5，x -2=±5，∴x 1=2+5，x 2=2-5；(2)解：x -5 2-2x x -5 =0，x -5 x -5-2x =0，x -5=0或x -5-2x =0，x 1=5，x 2=-5．【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法是解题的关键．16(1)x 1=0，x 2=173；(2)x 1=-3+52，x 2=-3-52【分析】(1)先化成一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解即可；(2)用公式法求解即可．(1)解：(x -5)(3x -2)=10，去括号得：3x2-2x-15x+10=10移项合并同类项得：3x2-17x=0，分解因式得：x(3x-17)=0，∴x=0或3x-17=0，解得：x1=0x2=17 3；(2)解：x2+3x+1=0，a=1，b=3，c=1，解得x=-3±32-42，∴x1=-3+52，x2=-3-52；【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于对解一元二次方程方法的熟练掌握．17(1)x1=2+103，x2=2-103；(2)x1=125，x2=3；(3)x1=-2，x2=3；(4)x1=12，x2=3．【分析】(1)根据公式法求解即可；(2)根据因式分解法求解即可；(3)根据因式分解法求解即可；(4)根据因式分解法求解即可；(1)解：3x2-2=4x，3x2-4x-2=0，∴a=3，b=-4，c=-2，∴Δ=b2-4ac=-42-4×3×-2=40，∴x=-b±Δ2a =--4±402×3=2±103，∴x1=2+103，x2=2-103；(2)解：4x-32+x x-3=0，4x-3+xx-3=0，5x-12x-3=0，∴5x-12=0或x-3=0，∴x1=125，x2=3；(3)解：x x-3=6-2x，x x-3=-2x-3，x x-3+2x-3=0，x+2x-3=0，∴x+2=0或x-3=0，∴x1=-2，x2=3；(4)解：2x2-7x+3=0，2x-1x-3=0，∴2x-1=0或x-3=0，∴x1=12，x2=3．【点拨】本题考查解一元二次方程．根据方程的特点选择合适的方法解方程是解题关键．18(1)x 1=5+292,x 2=5-292；(2)x =12【分析】(1)公式法解一元二次方程；(2)将分式方程化为整式方程，再进行验根，即可得解．(1)解：∵x 2-5x -1=0，∴a =1,b =-5,c =-1，∴△=b 2-4ac =25+4=29>0，∴x =5±292，∴x 1=5+292,x 2=5-292；(2)解：去分母，得：x 2-4x -3 =x x -3 ，去括号，得：x 2-4x +12=x 2-3x ，移项，合并得：-x =-12，系数化1：x =12；检验：把x =12代入x x -3 ≠0，∴x =12是原方程的解．【点拨】本题考查解一元二次方程和分式方程．熟练掌握公式法解一元二次方程，以及解分式方程的步骤，是解题的关键．19(1)x 1=0,x 2=12；(2)x 1=5,x 2=133；(3)x 1=-7,x 2=4；(4)x 1=23,x 2=-2【分析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)移项后利用分解因式法求解即可；(3)原方程化为一般形式后再利用分解因式法求解；(4)原方程化为一般形式后再利用分解因式法求解.(1)解：∵3x -1 2=x +1 2，∴3x -1=±x -1 ，∴3x -1=x -1或3x -1=-x -1 ，解得x 1=0,x 2=12；(2)解：移项，得3x -5 2-10-2x =0，即3x -5 2+2x -5 =0，进一步可变形为x -5 3x -5 +2 =0，∴x -5=0或3x -5 +2=0，解得：x 1=5,x 2=133；(3)解：原方程可变形为x 2+3x -28=0，即为x +7 x -4 =0，∴x +7=0或x -4=0，解得：x 1=-7,x 2=4；(4)解：原方程即为3x 2+4x -4=0，∴3x -2 x +2 =0，∴3x -2=0或x +2=0，解得：x1=23,x2=-2.【点拨】本题考查了一元二次方程的求解，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.20(1)x1=0，x2=73；(2)x1=1，x2=-4；(3)x1=5，x2=7；(4)x1=1，x2=2【分析】(1)提公因式因式分解，解方程即可；(2)因式分解法解方程即可；(3)先移项然后提公因式解方程即可；(4)先化成一元二次方程的一般式，然后进行因式分解，计算求解即可．(1)解：3x2-7x=0，x3x-7=0，解得，x1=0，x2=7 3；(2)解：x2+3x-4=0，x-1x+4=0，解得，x1=1，x2=-4；(3)解：x-52=2x-5，x-5x-5-2=0，解得，x1=5，x2=7；(4)解：(3-x)2+x2=5，9-6x+x2+x2=5，x2-3x+2=0，x-1x-2=0，解得，x1=1，x2=2；【点拨】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于选用合适的方法解方程．21(1)x1=2,x2=-4；(2)x1=2,x2=-3 2【分析】(1)用配方法解方程即可；(2)利用因式分解法解方程即可．(1)解：x2+2x+1=9x+12=9，x+1=±3∴x1=2,x2=-4；(2)解：2x2-x-6=0，2x+3x-2=0∴x1=2,x2=-32.【点拨】此题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键．22(1)x=16；(2)x=-4【分析】先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可．(1)解：2xx+3+1=72x+6去分母得：4x+2x+6=7，去括号得；4x+2x+6=7，移项得：4x+2x=7-6，合并同类项得：6x=1，系数化为1得：x=1 6，经检验，x=16是原方程的解，∴原方程的解为x=16；(2)解：6x+1x-1-3x-1=1去分母得：6-3x+1=x+1x-1，去括号得；6-3x-3=x2-1，移项，合并同类项得：x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4，经检验，x=-4是原方程的解，x=1不是原方程的解，∴原方程的解为x=-4．【点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．23(1)x1=1+6，x2=1-6；(2)x1=-1，x2=1 2【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵x2-2x-5=0，∴x2-2x=5，∴x2-2x+1=6，即x-12=6，∴x-1=±6，解得x1=1+6，x2=1-6；(2)解：∵2x x+1=x+1，∴2x x+1-x+1=0，∴2x-1x+1=0，∴2x-1=0或x+1=0，解得x1=-1，x2=1 2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．24(1)x1=4，x2=-2；(2)x1=9，x2=-1【分析】(1)利用直接开平方的方法解方程即可；(2)利用配方法解方程即可．(1)解：∵3x-12-27=0，∴3x-12=27，∴x-12=9，∴x-1=±3，解得x1=4，x2=-2；(2)解：∵x2-8x-9=0，∴x2-8x=9，∴x2-8x+16=25，即x-42=25，∴x-4=±5，解得x1=9，x2=-1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．25(1)x1=0，x2=3；(2)x1=4+223，x2=4-223【分析】(1)移项后提公因式求解即可；(2)去分母后用求根公式计算求解即可．(1)解：4x2=12x，4x x-3=0令x=0，x-3=0，解得x1=0，x2=3；(2)解：34x2-2x-12=0，3x2-8x-2=0，解得x=8±-82-4×3×-22×3=4±223，∴x1=4+223，x2=4-223【点拨】本题考查了因式分解法、公式法解一元二次方程．解题的关键在于掌握解一元二次方程的解法．26(1)x1=2，x2=-13；(2)x1=-4，x2=1【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可；(2)先移项，然后再用因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：由题意得，a=3，b=-5，c=-2，Δ=b2-4ac=-52-4×3×-2=49，∴x=5±72×3，∴x1=2，x2=-13；(2)解：移项得：x+42-5x+4=0，提公因式得：x+4x+4-5=0，∴x+4x-1=0，∴x+4=0或x-1=0，∴x1=-4，x2=1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．27(1)x1=4,x2=-1；(2)x1=23,x2=12【分析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可得；(2)利用因式分解法解一元二次方程即可得．(1)解：-x2+3x+4=0，即x2-3x-4=0，x-4x+1=0，x-4=0或x+1=0，x=4或x=-1，故方程的解为x1=4,x2=-1．(2)解：3x2x-1=4x-2，3x2x-1-22x-1=0，3x-22x-1=0，3x-2=0或2x-1=0，x=23或x=1 2，故方程的解为x1=23,x2=12．【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法(直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等)是解题关键．28(1)x1=-9，x2=1；(2)t1=1，t2=-1 3【分析】(1)整理后，利用因式分解法求解即可；(2)利用配方法求解即可．(1)解：(x+5)2=2x+34x2+8x-9=0，(x+9)(x-1)=0，∴x1=-9，x2=1；(2)3t2-2t-1=0，t2-23t=13，t2-23t+19=13+19，即t-132=49，∴t-13=±23，∴t1=1，t2=-13．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．29(1)x1=0,x2=2；(2)x1=-1+3,x2=-1-3【分析】(1)方程移项后，利用因式分解法求出解即可；(2)方程运用配方支求解即可解：(1)x x-1=xx x-1-x=0x x-1-1=0x=0,x-1-1=0∴x1=0,x2=2(2)x2+2x-2=0x2+2x=2x2+2x+1=2+1x+12=3x+1=±3x1=-1+3,x2=-1-3【点拨】此题考查了解一元二次方程-因式分解法和配方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．30(1)x1=-5+292，x2=-5-292；(2)x1=-25，x2=67；(3)x1=-23，x2=0；(4)x1=-2，x2=4【分析】(1)利用公式法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵x2+5x-1=0，∴a=1，b=5，c=-1，∴Δ=b2-4ac=52-4×1×-1=29>0，∴x=-b±b2-4ac2a =-5±292，解得x1=-5+292，x2=-5-292；(2)解：∵7x5x+2=65x+2，∴7x5x+2-65x+2=0，∴7x-65x+2=0，∴7x-6=0或5x+2=0，解得x1=-25，x2=67；(3)解：∵3x2+2x=0，∴x3x+2=0，∴x=0或3x+2=0，解得x1=-23，x2=0；(4)解：∵x2-2x-8=0，∴x-4x+2=0，∴x+2=0或x-4=0，解得x1=-2，x2=4．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．31(1)x1=1，x2=3；(2)x1=5，x2=7【分析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)将x-3看做整体，利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．(1)解：∵x2-4x+3=0，∴x-1x-3=0，∴x-1=0或x-3=0，解得x1=1，x2=3；(2)解：∵x-32-6x-3+8=0，∴x-3-2x-3-4=0，即x-5x-7=0，∴x-5=0或x-7=0，解得x1=5，x2=7．【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．32(1)x1=9，x2=1；(2)x1=2+3，x2=2-3【分析】(1)利用一元二次方程直接开平方法即可求解．(2)利用一元二次方程公式法x=-b±b2-4ac2a即可求解．(1)解：x-52=16x-5=±4x=5±4∴x1=9，x2=1．(2)解：x2-4x+1=0x=--4±-42-4×1×12×1=2±3∴x1=2+3，x2=2-3．【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、公式法是解题的关键．33(1)x1=-1，x2=3；(2)x1=43，x2=-3【分析】(1)直接因式分解解方程即可；(2)先化成一般式的形式，然后因式分解解方程即可．(1)解：x2-2x-3=0，x+1x-3=0，x+1=0，x-3=0，解得，x1=-1，x2=3；(2)解：x+23x-1=10，3x2+5x-12=0，3x-4x+3=0，3x-4=0，x+3=0，解得，x1=43，x2=-3．【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于正确的进行因式分解．34(1)x1=1，x2=2；(2)x1=-2+2，x2=-2-2【分析】(1)先移项得到x(x-1)-2(x-1)=0，利用因式分解法把方程转化为x-2=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可．(2)原方程运用配方法求解即可．解：(1)x(x-1)=2(x-1)，x(x-1)-2(x-1)=0，(x-1)(x-2)=0，x-2=0或x-1=0，∴x1=1，x2=2(2)x2+4x+2=0x2+4x+4=2x+22=2x +2=±2∴x 1=-2+2，x 2=-2-2【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了用配方法解一元二次方程．35(1)x 1=2+14,x 2=2-14；(2)x 1=10,x 2=-2；(3)x 1=3,x 2=0.6；(4)x 1=-3,x 2=43【分析】(1)利用配方法解方程即可；(2)利用公式法解方程即可；(3)利用因式分解法解方程即可；(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．解：(1)移项，得：12x 2-2x =5，系数化1，得：x 2-4x =10，配方，得：x 2-4x +4=14，(x -2)2=14，x -2=±14，∴x 1=2+14，x 2=2-14；(2)原方程可变形为x 2-8x -20=0，a =1，b =-8，c =-20，Δ=-8 2-4×1×-20 =64+80=144>0，原方程有两个不相等的实数根，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =8±1442=8±122，∴x 1=10，x 2=-2；(3)原方程可变形为：x -3 x -3+4x =0，整理得：x -3 5x -3 =0，解得x 1=3，x 2=0.6；(4)原方程可变形为：3x 2+5x -2-10=0，整理得：3x 2+5x -12=0，3x -4 x +3 =0，∴x 1=-3，x 2=43【点拨】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．36(1)x 1=1，x 2=12；(2)x 1=-1，x 2=1【分析】(1)利用求根公式直接求解即可；(2)先移项，然后利用平方差公式分解因式求解即可；(1)解：原方程可化为：2x 2-3x +1=0∴a =2，b =-3，c =1∴△=b 2-4ac =-3 2-4×2×1=1>0方程有两个不相等的实数根x =-b ±b 2-4ac 2a =3±12×2=3±14 ∴x 1=1，x 2=12(2)解：原方程移项，得x-32-3x-12=0因式分解，得-2x-24x-4=0于是得-2x-2=0或4x-4=0∴x1=-1，x2=1【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．37(1)x1=1，x2=2；(2)x1=1+6，x2=1-6；【分析】(1)移项，因式分解即可得到答案；(2)移项，配方，直接开平方即可得到答案；(1)解：移项得，x(x-2)-(x-2)=0，因式分解得，(x-2)(x-1)=0，∴x-1=0或x-2=0，解得：x1=1，x2=2，∴原方程的解是：x1=1，x2=2；(2)解：移项得，x2-2x=5，配方得，x2-2x+1=5+1，即(x-1)2=6，x-1=±6，∴x1=1+6，x2=1-6；【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程及配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法，选择适当的方法求解．38(1)x1=0，x2=8；(2)x1=3，x2=1；(3)方程无实数根；(4)x1=52，x2=2．【分析】(1)利用因式分解法即可解方程；(2)利用因式分解法即可解方程；(3)依次去括号，移项，合并同类项，得到x2=-2，根据平方的非负性可知，方程无解；(4)利用因式分解法即可解方程．(1)解：x2-8x=0，x x-8=0，令x=0或x-8=0，解得：x1=0，x2=8；(2)解：2x-32+x2-9=0，2x-32+x+3x-3=0，x-32x-3+x+3=0，x-33x-3=0，令x-3=0或3x-3=0，解得：x1=3，x2=1；(3)解：x+12=2x-1，x2+2x+1=2x-1，x2+2x+1-2x+1=0，x2+2=0，x2=-2，∵x2≥0，故原方程无实数根；(4)解：x2x-5=4x-10，x2x-5=22x-5，x2x-5-22x-5=0，2x-5x-2=0，令2x-5=0或x-2=0，解得：x1=52，x2=2．【点拨】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法和步骤是解题关键．39(1)x1=-2+102，x2=-2-102；(2)x1=-1，x2=2【分析】(1)利用公式法解方程即可；(2)先移项，然后利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵2x2+4x-3=0，∴a=2，b=4，c=-3，∴Δ=b2-4ac=42-4×2×-3=40>0，∴x=-b±b2-4ac2a =-4±2104=-2±102，解得x1=-2+102，x2=-2-102；(2)解：∵x x-2=4-x2，∴x x-2=x+22-x，∴x x-2+x+2x-2=0∴x+x+2x-2=0，∴x+x+2=0或x-2=0，解得x1=-1，x2=2．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．40(1)x1=2，x2=-3；(2)m1=5-1，m2=-5-1【分析】(1)利用因式分解法解方程即可；(2)先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程即可．(1)解：∵x2+x-6=0，∴x+3x-2=0，∴x+3=0或x-2=0，解得x1=2，x2=-3；(2)解：∵m2+5m+7=3m+11，∴m2+2m-4=0，∴a=1，b=2，c=-4，∴Δ=b2-4ac=22-4×1×-4=20>0，∴m=-b±b2-4ac2a =-2±252，解得m1=5-1，m2=-5-1．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．41(1)x1=3，x2=1；(2)x1=2+142，x2=2-142【分析】(1)先移项，再把方程的左边提公因式分解因式，化为两个一次方程，解一次方程即可；(2)先求出根的判别式的值，再代入求根公式，用公式法解答．(1)解：∵x-3=x x-3，移项得：x-3-x x-3=0，∴x-31-x=0，∴x-3=0或1-x=0，解得：x1=3，x2=1；(2)解：∵2x2-4x-5=0，∴Δ=-42-4×2×-5=56，∴x=--4±562×2=2±142，x1=2+142，x2=2-142．【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握利用因式分解法解一元二次方程和运用公式法解一元二次方程，是解本题的关键．42(1)x1=3，x2=-4；(2)x1=0，x2=7【分析】(1)利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案；(2)先换元，令m=x-1，将x-12-5x-1-6=0转化为m2-5m-6=0，利用十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案．(1)解：x2+x-12=0，∴x+4x-3=0，解得x1=3，x2=-4；(2)解：x-12-5x-1-6=0，令m=x-1，则m2-5m-6=0，∴m-6m+1=0，解得m=6或m=-1，∴x-1=-1或x-1=6，解得x1=0，x2=7．【点拨】本题考查解一元二次方程，根据具体的方程结构特征熟练运用一元二次方程的解法求解是解决问题的关键．43(1)x1=2+2，x2=-2+2；(2)x1=1，x2=3【分析】(1)利用直接开平方法求解即可．(2)利用因式分解法求解即可．(1)解：∵2x-22-4=0，∴x-22=2，即：x-2=±2解得：x1=2+2，x2=-2+2．(2)∵x-32=2x3-x，∴x-32+2x3-x=0，∴x-3+2xx-3=0，即3x-3x-3=0，【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．44(1)x1=1+172，x2=1-172；(2)x1=2，x2=52【分析】(1)先整理成一般式，再利用公式求解即可；(2)先整理成一般式，再利用因式分解求解即可．解：(1)整理，得：x2-x-4=0，∵a=1，b=-1，c=-4，∴Δ=-12-4×1×-4=17>0，则x=-b±b2-4ac2a=1±172，∴x1=1+172，x2=1-172．(2)方程化为：2x2-9x+10=0因式分解得，x-22x-5=0于是得2x-5=0或x-2=0即x1=2或x2=5 2．【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的方法，如公式法、因式分解法，是解题的关键．45(1)x1=-3+132，x2=-3-132；(2)x1=1或x2=32【分析】(1)原方程已经是一般形式，利用根的判别式判断根的情况，再利用求根公式求解即可；(2)找出公因式，利用提取公因式法分解因式，降次后再分别求解即可．解：(1)x2+3x-1=0解：由题意的：a=1，b=3，c=-1∵Δ=b2-4ac=32-4×1×-1=9+4=13∴x1=-b+b2-4ac2a =-3+132，x2=-b-b2-4ac2a=-3-132(2)3(x-1)2=x(x-1)解：移项因式分解得：x-13x-1-x=0化简得：x-12x-3=0∴x-1=0或2x-3=0∴x=1或x=32【点拨】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握求根公式和因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．46(1)x1=-4，x2=6；(2)x1=3，x2=2 3【分析】(1)利用十字相乘法将原方程化为两个一元一次方程求解即可解方程；(2)利用因式分解法求解即可解方程．(1)解：x2-2x-24=0，x+4x-6=0，x+4=0或x-6=0，(2)解：2x-3-3x x-3=0，x-32-3x=0，x-3=0或2-3x=0，解得：x1=3，x2=2 3．【点拨】本题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法是解题关键．47(1)x1=3，x2=35；(2)x1=1，x2=-3．【分析】(1)利用提公因式法解方程；(2)利用配方法解方程．解：(1)(x-3)2+4x(x-3)=0，(x-3)(x-3+4x)=0，∴x-3=0或5x-3=0，∴x1=3，x2=35；(2)2x2+4x-6=0，x2+2x=3，x2+2x+1=3+1，即(x+1)2=4，∴x+1=±2，∴x1=1，x2=-3．【点拨】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．48(1)x1=-8，x2=3；(2)x1=-1+133，x2=-1-133．【分析】(1)利用因式分解法求解即可得到答案；(2)将原方程化为一般式根据求根公式求解即可得到答案；(1)解：因式分解可得，(x+8)(x-3)=0，即x-3=0或x+8=0，解得：x1=-8，x2=3；(2)解：原方程变形得，3x2+2x-4=0，即a=3，b=2，c=-4，∴Δ=b2-4ac=22-4×3×(-4)=52>0∴原方程有两个不相等的实数根，∴x=-b±Δ2a =-2±522×3=-2±2136，∴x1=-1+133，x2=-1-133．【点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握各种解法及选择适当的方法．49(1)x1=2+22，x2=2-22；(2)x1=2，x2=-5【分析】(1)配方法解方程；(2)因式分解法解方程．∴x2-4x+4=4+4，∴x-22=8，∴x-2=±22，解得：x1=2+22，x2=2-22；(2)解：x+2x+1=12，整理的：x2+3x-10=0，∴x-2x+5=0，解得：x1=2，x2=-5．【点拨】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．50(1)x1=-4+17，x2=-4-17；(2)x1=2，x2=-1【分析】(1)先利用配方法得到x+42=17，然后利用直接开平方法解方程．(2)利用因式分解法把原方程转化为x-2=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．(1)解：x2+8x-1=0，x2+8x=1，x2+8x+16=1+16，x+42=17，x+4=±17，x1=-4+17，x2=-4-17；(2)解：x x-2+x-2=0，x-2x+1=0，x-2=0或x+1=0，x1=2，x2=-1．【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．51(1)x1=-9或x2=1；(2)x1=-3或x2=-1；；(3)x1=7+534或x2=7-534；(4)x=2【分析】(1)先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程一因式分解法,进行计算即可解答；(2)利用解一元二次方程一因式分解法，进行计算即可解答；(3)利用解一元二次方程一公式法，进行计算即可解答；(4)利用解一元二次方程一因式分解法，进行计算即可解答．(1)解：x2+8x=9x2+8x-9=0x+9x-1=0x+9=0或x-1=0x1=-9或x2=1；(2)解：2x+6=(x+3)22x+6-(x+3)2=02x+3-(x+3)2=0x+32-x-3=0x+3-1-x=0x+3=0或-x-1=0x 1=-3或x 2=-1；(3)解：2x 2-7x -12=0∵Δ=-7 2-4×2×-12 =49+4=53>0，∴x =7±534，∴x 1=7+534或x 2=7-534；(4)解：x 2-22x +2=0x -2 2=0x -2=0x =2．【点拨】本题考查了解一元二次方程一因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程一因式分解法是解题的关键．52(1)x 1=-3，x 2=-4；(2)x 1=12，x 2=2【分析】(1)原方程整理后，利用因式分解法解该一元二次方程即可；(2)直接用公式法解该一元二次方程即可．(1)解：x (x +4)=-3(x +4)，x (x +4)+3(x +4)=0，(x +3)(x +4)=0，∴x 1=-3，x 2=-4；(2)解：2x 2-5x +2=0，∵a =2，b =-5，c =2，∴Δ=b 2-4ac =(-5)2-4×2×2=9>0，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =-(-5)±92×2=5±34，∴x 1=12，x 2=2．【点拨】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法及求根公式是解题的关键．53(1)x 1=2+7，x 1=2-7；(2)x 1=2，x 2=13【分析】(1)采用公式法解此方程，即可求解；(2)采用因式分解法解此方程，即可求解．(1)解：x 2-4x -3=0，∵a =1，b =-4，c =-3，∴Δ=b 2-4ac =16-4×1×-3 =16+12=28，∴x =-b ±b 2-4ac 2a =4±272=2±7，∴x 1=2+7，x 1=2-7，所以，原方程的解为x 1=2+7，x 1=2-7；(2)解：由原方程得：x -2 3x -1 =0，故x -2=0或3x -1=0，。
一元二次方程综合培优(难度大-含参考答案)
一元二次方程拓展提高题1、已知0200052=--x x，则()()211223-+---x x x 的值是 .2、已知0120042=+-a a ，则_________120044007222=++-a a a . 3、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=b a.4、已知方程043222=-+-a ax x 没有实数根，则代数式_____21682=-++-a a a .5、已知x x y -+=62，则y 的最大值为 .6、已知0=++c b a ，2=abc ，0 c ，则（ ）A 、0 abB 、2-≤+b aC 、3-≤+b aD 、4-≤+b a 7、已知8=-b a ，0162=++c ab ，则________=++c b a . 8、已知012=-+m m ，则________2006223=-+m m . 9、已知4=-b a ，042=++c ab ，则________=+b a .10、若方程02=-+q px x 的二根为1x ，2x ，且11 x ，03 ++q p ，则2x ( ) A 、小于1 B 、等于1 C 、大于1 D 、不能确定11、已知α是方程0412=-+x x 的一个根，则ααα--331的值为 .12、若132=-x x ，则=+--+200872129234x x x x （ ）A 、2011B 、2010C 、2009D 、2008 13、方程22323=--+x x 的解为 . 14、已知06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是（ ）A 、14B 、15C 、16D 、18 15、方程m x x =+-2||22恰有3个实根，则=m （ ）A 、1B 、1.5C 、2D 16、方程9733322=-+-+x x x x 的全体实数根之积为（ ）A 、60B 、60-C 、10D 、10-17、关于x 的一元二次方程0522=--a x x （a 为常数）的两根之比3:2:21=x x ，则=-12x x （ ）A 、1B 、2C 、21 D 、23 18、已知是α、β方程012=-+x x 的两个实根，则_______34=-βα. 19、若关于x 的方程xax x x x x a 1122++-=-只有一解，求a 的值。
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(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是 2,这样的③整式方 程就是一元二次方程。
(2) 一般表达式：ax 2 +bx + c = 0(a 工 0) ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2 ”： ① 该项系数不为“ 0” ； ② 未知数指数为“ 2” ；③ 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以 讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是() 」 2 」 1 1 A3(x+1 2 =2(x+1 )B飞+--2=0x x2C ax bx c = 0时，关于x 的方程kx 2 2^ = x 2 3是一元二次方程。
例2、方程 m ' 2 x i m ' 3mx • 1 = 0是关于x 的一元二次方程，则 m 的值为 ______________________________ 针对练习：2★ 1、方程8x =7的一次项系数是 ___________________ ，常数项是 ______________ 。
★ 2、若方程 m-2x m °=0是关于x 的一元一次方程,⑴求m 的值；⑵写出关于 x 的一元一次方程。
★★ 3、若方程 m -1 x 2 • m ・x = 1是关于x 的一元二次方程，则 m ★★★ 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是(A.m=n=2B.m=2, n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解使利用根的概念求代数式的值； 、关于x 的一元二次方程 a-2x 2 •x ・a 2-4=0的一个根为0，贝U a 的值为 _______例说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制例3、已知关于x 的一元二次方程ax 2 • bx • c = 0 a = 0的系数满足ab ，则此方程必有一根为 ___________ 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1 ”巧解代数式的值。
2 2例4、已知a, b 是方程x -4x • m =0的两个根，b,c 是方程y -8y ・5m =0的两个根,贝U m 的值为 _________ 。
变式：当k的取值范围是已知2y 23的值为2，则4y 2 2y 1的值为例 1针对练习：2★1、已知方程x kx -10 =0的一根是2，贝y k为________________________ ，另一根是_____________ 。
★2、已知关于x的方程x2• kx - 2 =0的一个解与方程3的解相同。
x —1⑴求k的值；⑵方程的另一个解。
2 2★3、已知m是方程x —x-1=：0的一个根，则代数式m -m= ________________ 。
2 2★★ 4、已知a 是x - 3x • 1 = 0 的根，则2a - 6a =______________ 。
2 工★★ 5、方程a-bx 亠i.b-cx，c-a=0 的一个根为( )AT B 1 C b「c D - a★★★ 6、若2x 5y -3 =0,则4x・32y=考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：x2二m m _ 0 , ： x -二、、mq 2 , 2※※对于(x + a y = m , (ax + m ) = (bx + n )等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：(12x2—8=0; (2 25—16X2=0; (3(1—x f—9 = 0;例2、解关于x的方程：ax2 -b =0例3、若9 x -1 2-16 x 2 2，则x的值为_______________________ 。
针对练习：下列方程无解的是( )A.X2+3=2X2-1B. (x-2f=0C.2x+3 = 1-xD.x2+9 = 0类型二、因式分解法：X-X1 X-X2 = 0= X=X1,或X = X2※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0 ”，※方程形式：女口(ax + m f = (bx + n f , (x + a l x + b )= (x + a l x + c ),x2 2ax a2 = 0典型例题：例1、2x x —3 = 5 x —^3的根为(5 小 5 2A xB x=3C X i ,X2=3D X =2 2 5例2、若4x ■ y $ 3 4x y -4=0，则4x+y 的值为________________________ 。
变式 1 : a2• b2I -：a2- b21-6 =0,则a2- b2二____________ 。
… 2 2 一，‘变式 2 :若x xy y = 14 , y • xy • x = 28，则x+y 的值为_____________________________ 。
例3、方程x x 0的解为( )A. x1= -3,x2= 2B. x1= 3,x2 = -2C. x^ = 3,x2 = -3D. x1 = 2,x2 = -2例4、解方程：x2 2.3 1 x 2 3 = 02 2x+y例5、已知2x -3xy-2y = 0,则的值为______________ 。
x — y2 2x + y变式：已知2x -3xy-2y =0,且x 0, y 0,则的值为______________________________________ 。
x_y针对练习：★1、下列说法中：2 2①方程x px ^0 的二根为捲，X2，贝U x • px • q =(x-X1)(x-X2)②- x2 6x-8 =(x-2)(x-4).③a2 -5ab 6b2二(a -2)(a -3)④x2_ y2= (x y)(... x y)(、x - ... y)⑤方程(3x 1)2 -7 =0可变形为(3x 1 、7)(3x 1- 一7) =0正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个★2、以17与1 - 7为根的一元二次方程是()2 2A. x -2x-6=0B. x -2x 6=0C. y2 2y -6 =0D. y2 2y 6 =0★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： __________________⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：________________________★★ 4、若实数x、y满足x ^3 x y '2=0，则x+y的值为( )A 、-1 或-2 215、方程：X 2 •冷=2的解是x⑸ 3 x-1 3x 1 二 x -1 2x 5B 、-1 或 2C 、1 或-2类型三、配方法2ax bx c = 0 a = 0 =. .2b x 2ab 2 —4ac 4a 2※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。
典型例题：例1、试用配方法说明x 2 -2x 3的值恒大于0。
例2、已知x 、y 为实数，求代数式 x y • 2x -4y • 7的最小值。
例3、已知x 2 y 2 4x -6y • 13 =0, x 、y 为实数，求x y 的值。
例4、分解因式：4x 12x 3 针对练习:★★ 1、试用配方法说明 -10x 2，7x-4的值恒小于0。
—八21 1 , c1 ★★2、已知 x4=0，则 x xxx★★★ 3、若t 二2 -』-3x 2 • 12x -9，则t 的最大值为，最小值为2 _关于x 的方程x px 0的两根同为负数，则(p> 0且q> 0 B .p>°且q<0p< 0且q> oD .p <且q <02如果方程x 2x^有两个同号的实数根，则m的取值范围是类型四、公式法⑴条件：a = 0,且b 2 -4ac 亠0⑵公式:x 二卫亡込‘丸,且b 2-4ac_02a典型例题：例1、选择适当方法解下列方程:⑴ 31 x 2 =6.⑵ x 3 x 6 一 -8.说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式 法；一般不选择配方法。
例2、在实数范围内分解因式：2 2 2(2) - 4x 8x -1. ⑶ 2x - 4xy-5yax 2 bx c 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,般情况要用求根公式，这种方法首先令ax 2 bx c =0，求出两根，再写成2ax bx c = a(x 「x j (x 「x 2) •②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
典型例题：例2、如果x 2 • x -1 = 0，那么代数式x 3 2x^7的值。
说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对已知式进 行灵活的变形；②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幕化为低次 幕，最后求解。
例4、用两种不同的方法解方程组；2x_y = 6,(1) x 2-5xy+6y 2 =0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。
但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.根的判别式的作用: ① 定根的个数； ② 求待定系数的值; ③ 应用于其它。
典型例题：例1、若关于x 的方程x 2 • 2、kx -1 =0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 __________例2、关于x 的方程 m -1 x 2 • 2mx m = 0有实数根，则 m 的取值范围是（）B. m - 0(1)X 2 - 2、-2x -3 ；说明：①对于二次三项式例1、已知x 2 -3x • 2 = 0，求代数式(X _1 $ _x 2 +1X —1的值。
例3、已知a 是一元二次方程2x _3x . 1 =0 的一根，求a 3 -2a 2 -5a 1a 2+1的值。
D. m 1例3、已知关于x 的方程x 2 - k • 2 x • 2k = 0(1) 求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰厶ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求■: ABC 的周长。
2例4、已知二次三项式9x _(m 6)x m-2是一个完全平方式，试求 m 的值. 说明：若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式...-0即：若b 2-4ac=0，则二次三项式 ax 2 bx c (^^ 0)为完全平方式；反之，若2 2ax bx c (^-= 0)为完全平方式，则 b 「4ac =0.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?针对练习:时，关于x 的二次三项式 x 2kx 9是完全平方式。