浙江省省一级重点中学自主招生考试数学模拟试卷

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学年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（十）

2020学年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（十）一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1．（5分）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．82．（5分）某个样本的频数分布直方图中一共有4组，从左到右的组中值依次为5，8，11，14，频数依次为5，4，6，5，则频率为0.2的一组为（）A．6.5﹣9.5B．9.5﹣12.5C．8﹣11D．5﹣83．（5分）已知a＜0，那么=（）A．a B．﹣a C．3a D．﹣3a4．（5分）观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x+y的值为（）表一0123…1357…25811…371115……………表二1519x表三152317yA．45B．46C．48D．495．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE过BC的中点，则平行四边形ABCD 的面积等于（）A．48B．10C．12D．246．（5分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤7．（5分）如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形，则a，b，c满足的关系式是（）A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2D．b=2a=2c8．（5分）如图（1），A，B，C，D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C ﹣E﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为x（秒），∠APB=y（度），图（2）表示y与x之间的函数关系图，则点M的横坐标应为（）A．2B．πC．π+1D．π+2二、填空题（共8题，每题3分，共24分）9．（3分）如果关于x的二次三项式x2+mx+m是一个完全平方式，则m=．10．（3分）一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图，左视图如图所示要摆成这样的图形，至少需用块小正方体．11．（3分）如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF=15°，则∠COF=°．12．（3分）若，则=．13．（3分）m是方程x2﹣2010x+1=0的一个解，则值是．14．（3分）将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是．15．（3分）如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，依次下去，则点B7的坐标是．16．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=10，AD=2，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．三、解答题（共4题，共56分）17．（14分）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点p）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A'与点A关于I对称，A′B与l交于点P．观察计算：（1）在方案一中，d1=km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=km（用含a的式子表示）．探索归纳（1）①当a=4时，比较大小：d1（）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d1（）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？18．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．19．（14分）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？20．（14分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共8题，每题5分，共40分）1．（5分）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570°，那么这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【考点】多边形内角与外角．【分析】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．本题既可用整式方程求解，也可用不等式确定范围后求解．【解答】解法1：设边数为n，这个外角为x度，则0＜x＜180°根据题意，得（n﹣2）•180°+x=570°解之，得n=．∵n为正整数，∴930﹣x必为180的倍数，又∵0＜x＜180，∴n=5．解法2：∵0＜x＜180．∴570﹣180＜570﹣x＜570，即390＜570﹣x＜570．又∵（n﹣2）•180°=570﹣x，∴390＜（n﹣2）•180°＜570，解之得4.2＜n＜5.2．∵边数n为正整数，∴n=5．故选A．【点评】此题较难，考查比较新颖，涉及到整式方程，不等式的应用．2．（5分）某个样本的频数分布直方图中一共有4组，从左到右的组中值依次为5，8，11，14，频数依次为5，4，6，5，则频率为0.2的一组为（）A．6.5﹣9.5B．9.5﹣12.5C．8﹣11D．5﹣8【考点】频数（率）分布直方图．【分析】首先根据各组的频数即可确定频率是0.2的是哪一组，然后根据组中值的大小即可确定组距，则频率为0.2的一组的范围即可确定．【解答】解：各组的频数是5，4，6，5则第一组的频率是：=0.25，则第四组的频率也是0.25，第二组的频率是：=0.2，则频率为0.2的一组为第二组；组距是8﹣5=3，第二组的组中值是8，则第二组的范围是：6.5﹣9.5．故选A．【点评】本题考查了频数分布图，正确理解组中值的含义是关键．3．（5分）已知a＜0，那么=（）A．a B．﹣a C．3a D．﹣3a【考点】二次根式的性质与化简；绝对值．【分析】根据绝对值，开平方的性质，=|a|进行计算．【解答】解：∵a＜0，∴﹣a＞0，原式===|3a|=﹣3a．故选D．【点评】本题考查了二次根式的化简，注意算术平方根的结果为非负数．4．（5分）观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则x+y的值为（）表一0123…1357…25811…371115……………表二1519x表三152317yA．45B．46C．48D．49【考点】规律型：数字的变化类．【分析】观察表一可得，第一列上面的一个数比下面的一个数小1，第二列上面的一个数比下面的一个数小2，第三列上面的一个数比下面的一个数小3，依此类推，则表二是第4列，表三是第二和第三列，由规律写出x即可．【解答】解：∵表二的上面的一个数比下面的一个数小4，∴表二是第4列，∴x=19+4=23，∵表三的上面的一个数比下面的一个数小2，∴表二是第2列，∴y=23+3=26，∴x+y=23+26=49，故选D．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．规律是：第一列上面的一个数比下面的一个数小1，第二列上面的一个数比下面的一个数小2，第三列上面的一个数比下面的一个数小3，依此类推．5．（5分）在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC 折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE过BC的中点，则平行四边形ABCD 的面积等于（）A．48B．10C．12D．24【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．【分析】利用折叠知识，得到全等三角形，即△ABO≌△CEO，再进一步证得∠ACD是直角，然后利用勾股定理得到平行四边形的底边及底边上的高，进而求得面积．【解答】解：设AE与BC交于O点，O点是BC的中点．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D．AB∥CD，又由折叠的性质推知∠D=∠E，CE=CD∴∠B=∠E．CE=AB∴△ABO和△ECO中，，所以△ABO≌△CEO（AAS），所以AO=CO=4，OE=OB=4．∴AE=AD=8．∴△AED为等腰三角形，又C为底边中点，故三线合一可知∠ACE=90°，从而由勾股定理求得AC=．平行四边形ABCD的面积=AC×CD=12．故选C．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和面积的计算，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a 边与其对边的距离，即对应的高．6．（5分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】解此题的关键在于判断△DEF 是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF ．所以△DEF 是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF 是等腰直角三角形DE=DF ，当DF 与BC 垂直，即DF 最小时，DE 取最小值4，故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．【解答】解：连接CF ；∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB ；∵AD=CE ，∴△ADF ≌△CEF （SAS ）；∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ；∵∠AFD +∠CFD=90°，∴∠CFE +∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF 是等腰直角三角形（故①正确）．当D 、E 分别为AC 、BC 中点时，四边形CDFE 是正方形（故②错误）．∵△ADF ≌△CEF ，∴S △CEF =S △ADF ∴S 四边形CEFD =S △AFC ，（故④正确）．由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时，DF 也最小；即当DF ⊥AC 时，DE 最小，此时DF=BC=4．∴DE=DF=4（故③错误）．当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DEF 的面积最小．此时S △CDE =S 四边形CEFD ﹣S △DEF =S △AFC ﹣S △DEF =16﹣8=8（故⑤正确）．故选：B ．【点评】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些．7．（5分）如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形，则a ，b ，c 满足的关系式是（）A．b=a+c B．b=ac C．b2=a2+c2D．b=2a=2c【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】因为Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与a、b、c关系密切的是△DHE和△GQF，只要它们相似即可得出所求的结论．【解答】解：∵DH∥AB∥QF∴∠EDH=∠A，∠GFQ=∠B；又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°；∴∠EDH=∠FGQ，∠DEH=∠GFQ；∴△DHE∽△GQF，∴=∴=∴ac=（b﹣c）（b﹣a）∴b2=ab+bc=b（a+c），∴b=a+c．故选A．【点评】此题考查了相似三角形的判定，同时还考查观察能力和分辨能力．8．（5分）如图（1），A，B，C，D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C ﹣E﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为x（秒），∠APB=y（度），图（2）表示y与x之间的函数关系图，则点M的横坐标应为（）A．2B．πC．π+1D．π+2【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据速度=路程÷时间求出点P在CD弧上运动的时间，再根据图（2），加上2即可得解．【解答】解：设点P在弧CD上运动的时间为t，∵A，B，C，D为圆O的四等分点，点P作匀速运动，∴÷t=OC÷2，解得t=π，∴点P在半径OC与弧CD运动的时间之和是π+2，∴点M的横坐标为π+2．故选D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据速度、路程、时间的关系求出点P在CD弧上运动的时间是解题的关键．二、填空题（共8题，每题3分，共24分）9．（3分）如果关于x的二次三项式x2+mx+m是一个完全平方式，则m=4．【考点】完全平方式．【分析】根据已知求出第一个数是x，第二个数是±，根据已知式子中的第三项得出（±）2=m，求出m=0或m=4，最后看看是否符合题意即可．【解答】解：∵关于x的二次三项式x2+mx+m是一个完全平方式，∴第一个数是x，∵±2•x•=mx，∴第二个数是±，即（±）2=m，m=0或m=4，∵x2+mx+m是二次三项式，∴m=0舍去，故答案为：4．【点评】本题考查了对完全平方公式的理解和运用，注意：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2都是完全平方公式．10．（3分）一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，其主视图，左视图如图所示要摆成这样的图形，至少需用5块小正方体．【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形；从正面看到的是3列，左边一列是2个正方形，中间一列是1个正方形，右边一列是2个正方形；要使小正方体最少，则把中间的一个正方体向后移动一行，把右边的一列2个正方体向后移动2行；由此即可解答．【解答】解：根据题干分析可得，摆出如图所示的图形，至少要2+1+2=5个小正方体．故答案为：5．【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．11．（3分）如图，O为矩形ABCD的对角线交点，DF平分∠ADC交AC于点E，交BC于点F，∠BDF=15°，则∠COF=75°．【考点】矩形的性质．【分析】根据DF平分∠ADC与∠BDF=15°可以计算出∠CDO=60°，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得OD=OC，从而得到△OCD是等边三角形，再证明△COF是等腰三角形，然后根据三角形内角和定理解答即可．【解答】解：∵DF平分∠ADC，∴∠CDF=45°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴CD=CF，∵∠BDF=15°，∴∠CDO=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°，在矩形ABCD中，OD=OC，∴△OCD是等边三角形，∴OC=CD，∠OCD=60°，∴OC=CF，∠OCF=90°﹣∠OCD=90°﹣60°=30°，在△COF中，∠COF=（180°﹣30°）=75°．故答案为：75．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，熟记各性质并判断出△OCD是等边三角形是解决本题的关键．12．（3分）若，则=﹣．【考点】二次根式的化简求值；完全平方公式．【分析】将已知等式左右两边平方，利用二次根式的化简公式化简，整理后求出x+的值，将所求式子平方并利用完全平方公式化简，把x+的值代入，开方即可求出值．【解答】解：将已知的等式左右两边平方得：x+2+=6，即x+=4，∴（﹣）2=x﹣2+=4﹣2=2，∵0＜x＜1，∴＜，即﹣＜0，则﹣=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二次根式的化简求值，以及完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．（3分）m是方程x2﹣2010x+1=0的一个解，则值是2009．【考点】一元二次方程的解；代数式求值．【分析】把m代入方程有m2﹣2010m+1=0，得m2+1=2010m，m2=2010m﹣1，=2010代入代数式可以求出结果．【解答】解：∵m是方程的一个根，∴有：m2﹣2010m+1=0，得：m2=2010m﹣1，①=，②∴代数式m2﹣2009m+=2010m﹣1﹣2009m+=m+﹣1=﹣1=2010﹣1=2009．故答案为：2009．【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的式子，代入代数式化简求值．14．（3分）将红、白、黄三种小球，装入红、白、黄三个盒子中，每个盒子中装有相同颜色的小球．已知：（1）黄盒中的小球比黄球多；（2）红盒中的小球与白球不一样多；（3）白球比白盒中的球少．则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是黄，红，白．【考点】容斥原理．【分析】由（2）可以判断出，红盒不装白球，由（3）判断出，白盒不装白球，从而推得黄盒装白球；假设白盒装黄球，由（3）知白球比黄球少，而（1）中，白球比黄球多，矛盾，从而得出白盒装红球，红盒装黄球．【解答】解：由条件（2）知红盒不装白球，由条件（3）知白盒不装白球，故黄盒装白球．假设白盒装黄球，由条件（3）知白球比黄球少，这与条件（1）矛盾，故白盒装红球，红盒装黄球．故答案为：黄、红、白．【点评】本题考查了容斥原理，根据（2）（3）推出其中一个结论，又利用反证法进行证明．15．（3分）如图，点O（0，0），B（0，1）是正方形OBB1C的两个顶点，以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，依次下去，则点B7的坐标是（﹣8，8）．【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，所以可求出从B到B7的后变化的坐标．【解答】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以，∵从B到B7经过了7次变化，∵45°×7=315°，1×（）7=8．∴点B7所在的正方形的边长为8，点B7位置在第二象限．∴点B7的坐标是（﹣8，8）．故答案为：（﹣8，8）．【点评】本题考查正方形的性质，正方形的四边相等，四个角都是直角，对角线平分每一组对角，解答本题的关键是总结规律，难度一般．16．（3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=10，AD=2，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于3或2或10﹣4．【考点】等腰梯形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质．【分析】过D作DH⊥BC于H，①当AE=BE时，根据等腰梯形的性质求出BE和CH，由勾股定理求出AB，进一步求出CE，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出CF=EF，根据勾股定理求出即可；②当AB=AE=4时，由勾股定理求出BE，进一步求出CE，根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理求出EF=CE，由勾股定理求出CF即可；根据三角形的内角和定理求出∠AEB、∠FEC，进一步求出∠CFE=∠FEC，求出CF=CE即可．【解答】解：过D作DH⊥BC于H，有三种情况：如图所示：①当AE=BE时，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴BE=CH=（BC﹣AD）=4，由勾股定理得：AB=4，∴CE=BC﹣BE=6，∵∠B=∠BAE=45°，∴∠AEB=90°，∴∠FEC=180°﹣90°﹣45°=45°=∠C，∴∠EFC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴由勾股定理得：CF=EF=3，②当AB=AE=4时，由勾股定理求得：BE=8，∴CE=BC﹣BE=2，同法可求出∠FEC=90°，∠EFC=45°=∠C，由勾股定理得：CF==2，③如图当AB=BE=4时，∠AEB=∠BAE=（180°﹣∠B ）=67.5°，∴∠FEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°，∵∠C=45°，∴∠CFE=180°﹣∠C ﹣∠FEC=67.5°=∠FEC ，∴CF=CE=BC ﹣BE=10﹣4，故答案为：3或2或10﹣4．【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰梯形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行四边形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出CE 的长是解此题的关键．三、解答题（共4题，共56分）17．（14分）在一平直河岸l 同侧有A ，B 两个村庄，A ，B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB=akm （a ＞1）．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d 1，且d 1=PB +BA （km ）（其中BP ⊥l 于点p ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2，且d 2=PA +PB （km ）（其中点A'与点A 关于I 对称，A ′B 与l 交于点P ．观察计算：（1）在方案一中，d 1=a +2km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2=km （用含a 的式子表示）．探索归纳（1）①当a=4时，比较大小：d 1（）d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d 1（）d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a （当a ＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？【考点】作图—应用与设计作图．【分析】运用勾股定理和轴对称求出d2，根据方法指导，先求d12﹣d22，再根据差进行分类讨论选取合理方案．【解答】解：（1）∵A和A'关于直线l对称，∴PA=PA'，d1=PB+BA=PB+PA'=a+2；故答案为：a+2；（2）因为BK2=a2﹣1，A'B2=BK2+A'K2=a2﹣1+52=a2+24所以d2=．探索归纳：（1）①当a=4时，d1=6，d2=，d1＜d2；②当a=6时，d1=8，d2=，d1＞d2；（2）=4a﹣20．①当4a﹣20＞0，即a＞5时，d12﹣d22＞0，∴d1﹣d2＞0，∴d1＞d2；②当4a﹣20=0，即a=5时，d12﹣d22=0，∴d1﹣d2=0，∴d1=d2③当4a﹣20＜0，即a＜5时，d12﹣d22＜0，∴d1﹣d2＜0，∴d1＜d2综上可知：当a＞5时，选方案二；当a=5时，选方案一或方案二；当1＜a＜5（缺a＞1不扣分）时，选方案一．【点评】本题为方案设计题，综合考查了学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力，以及观察探究和分类讨论的数学思想方法．18．（14分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）要证明直线DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．（2）作OH⊥AC于点H，由tan∠ACO=OH：HC，分别求得OH，HC的值可找出其关系即可得到tan∠ACO的值．【解答】（1）证明：连接OD、OE、BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠CDB=∠ADB=90°，∵E点是BC的中点，∴DE=CE=BE．∵OD=OB，OE=OE，∴△ODE≌△OBE（SSS），∴∠ODE=∠OBE=90°，∵OD是圆的半径，∴直线DE是⊙O的切线．（2）解：作OH⊥AC于点H，∵OA=OB，∴OE∥AC，且OE=AC，∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF；∵CF=OF，∴△DCF≌△EOF（AAS），∴DC=OE=AD，∴四边形CEOD为平行四边形，∴CE=OD=OA=AB，∴BA=BC，∴∠A=45°；∵OH⊥AD，∴OH=AH=DH，∴CH=3OH，∴tan∠ACO=．【点评】此题考查了学生对全等三角形的判定方法及切线的判定等知识的掌握情况．19．（14分）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【分析】（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨，得到一个二元一次方程组，求解即可．（2）根据题意得到一元二次不等式，再找符合条件的整数值即可．（3）求出总费用的函数表达式，利用函数性质可求出最多的总费用．【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．（1分）由题意，得（2分）解得（3分）答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨．（4分）（2）由题意，得（5分）解得即40＜x≤45．∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．（6分）则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．方案二：A地的赈灾物资运往D县42吨，运往E县58吨；B地的赈灾物资运往D县78吨，运往E县22吨．方案三：A地的赈灾物资运往D县43吨，运往E县57吨；B地的赈灾物资运往D县77吨，运往E县23吨．方案四：A地的赈灾物资运往D县44吨，运往E县56吨；B地的赈灾物资运往D县76吨，运往E县24吨．方案五：A地的赈灾物资运往D县45吨，运往E县55吨；B地的赈灾物资运往D县75吨，运往E县25吨．（7分）（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元．由题意，得w=220x+250（100﹣x）+200（120﹣x）+220（x﹣20）+200×60+210×20=﹣10x+60800．（9分）因为w随x的增大而减小，且40＜x≤45，x为整数．所以，当x=41时，w有最大值．则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w=60390（元）．（10分）【点评】解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答．正确找出题中的等量或不等关系是解题的关键．本题利用一次函数的增减性确定了总费用的最大值．20．（14分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．【解答】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）③以A为直角顶点的等腰Rt△ACP的顶点P有两种情况．即过点A作直线L⊥AC，在直线L上截取AP=AC时，点P可能在y轴右侧，即现在解答情况②的点P2；点P也可能在y轴左侧，即还有第③种情况的点P3．因此，然后过P3作P3G⊥y轴于G，同理：△AGP3≌△CAO，∴GP3=OA=2，AG=OC=1，∴P3为（﹣2，3）；经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上，点P3（﹣2，3）分）不在抛物线上．（16【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．第21页（共21页）。

浙江省省一级重点中学自主招生考试数学模拟试卷

浙江省省一级重点中学自主招生考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）1．（5分）方程实数根的情况是（）A．仅有三个不同实根B．仅有两个不同实根C．仅有一个不同实根D．无实根考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．专题：计算题．分析：原方程有意义，则x≠0，把方程去分母、整理可得，x3﹣2x2+2x﹣1=0，分解因式得（x﹣1）（x2﹣x+1）=0，讨论其根的情况，即可解答．解答：解：原方程整理得，x3﹣2x2+2x﹣1=0，∴（x﹣1）（x2﹣x+1）=0，∵方程x2﹣x+1=0，其△＜0，无解，∴x2﹣x+1≠0，∴x﹣1=0，即x=1．故选C．点评：本题考查了二次函数、反比例函数的性质，主要应用了一元二次方程的根与判别式△的关系．2．（5分）将矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，再把点B叠在折痕MN上，得折痕AE，若AB=，则折痕AE的长为（）A．B．2C．D．2考点：翻折变换（折叠问题）．分析：首先由矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，推出∠BMN=∠AMN=90°，∠CNM=∠DNM=90°，M为AB的中点，然后根据矩形的性质推出∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，即可推出AD∥MN∥BC，H点为AE的中点，根据翻折变换的性质，结合题意推出AB=AB′=，∠BAE=∠B′AE，∠B=∠EB′A=90°，那么在Rt△AEB′中，AH=EH=B′H，得出∠EAB′=∠HB′A，根据平行线的性质推出∠DAB′=∠HB′A，通过等量代换可推出∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°，最后根据特殊角的三角函数值即可推出AE的长度．解答：解：如图，设MN和AE交于点H，∵矩形ABCD，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，∵矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，∴∠BMN=∠AMN=90°，∠CNM=∠DNM=90°，M为AB的中点，∴AD∥MN∥BC，H点为AE的中点，∵点B叠在折痕MN上，得折痕AE，AB=，∴AB=AB′=，∠BAE=∠B′AE，∠B=∠EB′A=90°，∴在Rt△AEB′中，AH=EH=B′H，∴∠EAB′=∠HB′A，∵AD∥MN∥BC，∴∠DAB′=∠HB′A，∴∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°，∵在Rt△BAE中，AB=，∠BAE=30°，∴AE=2．故选择B．点评：本题运用的知识点较多，主要考查翻折变换的性质，平行线的判定及性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，矩形的性质，中点的性质，特殊角的三角函数值等知识点的综合运用，关键在于熟练运用相关的性质定理推出AH=EH=B′H，∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°，运用特殊角的三角函数值认真的进行求解即可．3．（5分）在半径为1的圆O中，弦AB、AC的长分别为、，则∠BAC的度数为（）A．60°B．75°C．60°或45°D．15°或75°考点：垂径定理；解直角三角形．专题：分类讨论．分析：先根据题意画出图形，分别作AC、AB的垂线，连接OA，再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．解答：解：①如图1，两弦在圆心的异侧时，过O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连接OA，∵AB=，AC=，∴AD=，AE=，根据直角三角形中三角函数的值可知：sin∠AOD=，∴∠AOD=45°，∵sin∠AOE=，∴∠AOE=60°，∴∠OAD=90°﹣∠AOD=45°，∠OAC=90°﹣∠AOE=30°∴∠BAC=∠OAD+∠OAC=45°+30°=75°；②如图2，当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD=45°，∠AOE=60°，∴∠AOE=60°，∴∠OAC=90°﹣∠AOE=90°﹣60°=30°，∠OAB=90°﹣∠AOD=90°﹣45°=45°．∴∠BAC=∠OAB﹣∠OAC=45°﹣30°=15°．故选D．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，解直角三角形，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．4．（5分）如图，一个半径为3的圆O1的圆心经过一个半径为3的圆O2，则图中阴影部分的面积为（）A．B．9C．D．考点：扇形面积的计算；勾股定理；相交两圆的性质．专题：计算题．分析：连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B，由勾股定理的逆定理得∠O2CA=∠AO2B=90°，则点A、O1、B在同一条直线上，则AB是圆O1的直径，从的得出阴影部分的面积S阴影=S⊙1﹣S弓=S⊙1﹣（S扇形AO2B﹣S△AO2B）．形AO1B解答：解：连接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B，∵CO2=CA=3，O2A=，∴CO22+CA2=O2A2，∴∠O2CA=90°，同理∠O2CB=90°，∴点A、C、B在同一条直线上，并且∠AO2B=90°，∴AB是圆O1的直径，∴S阴影=S⊙1﹣S弓形AO1B=S⊙1﹣（S扇形AO2B﹣S△AO2B）==9．故选B．点评：本题考查了扇形面积的计算、勾股定理和相交两圆的性质．5．（5分）已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（）A．B．C．1D．考点：根与系数的关系；同角三角函数的关系．专题：计算题．分析：根据公式sin2α+cos2α=1列出关于未知数t的一元二次方程，然后根据根与系数的关系解答．解答：解：根据已知，得，即2=，∴3t2+5t﹣8=0，∴解得t1=1，t2=﹣，又∵＞0，即t＞0，∴t2=﹣不符合题意舍去，∴t所有可能值的和为1．故选C．点评：本题主要考查了同角三角函数的关系及根与系数的关系．解答此题的关键是熟练掌握同角三角函数的关系：sin2α+cos2α=1．6．（5分）满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：一元二次方程的解；零指数幂．专题：计算题．分析：因为1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，所以应分三种情况讨论n 的值．解答：解：（1）n2﹣n﹣1=1，解得：n=2或n=﹣1；（2），解得：n=0；（3），解得：n=﹣2．故选A．点评：本题比较复杂，解答此题时要注意1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，三种情况，不要漏解．7．（5分）如图，双曲线y=（x＞0）与矩形OABC的边BC，BA分别交于点E，F，且AF=BF，连接EF，则△OEF的面积为（）A．1.5 B．2C．2.5 D．3考点：反比例函数综合题．分析：设B（a，b），根据题意得F，由点F在双曲线上，得a×=2，即ab=4，E、B两点纵坐标相等，且E点在双曲线上，则E（，b），再根据S△OEF=S梯形OFBC﹣S△OEC ﹣S△FBE求解．解答：解：如图，设点B的坐标为（a，b），则点F的坐标为．∵点F在双曲线上，∴a×=2，解得ab=4，又∵点E在双曲线上，且纵坐标为b，所以点E的坐标为（，b），则S△OEF=S梯形OFBC﹣S△OEC﹣S△FBE，=×（+b）a﹣×b×﹣××（a﹣）=（ab+1﹣2）=．故选：A．点评：本题考查了反比例函数图象上点的性质，直角坐标系中三角形面积的表示方法．注意双曲线上点的横坐标与纵坐标的积为常数．8．（5分）若实数a，b满足，则a的取值范围是（）A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤4考点：根的判别式．分析：把看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可．解答：解：把看作是关于b的一元二次方程，因为b是实数，所以关于b的一元二次方程的判别式△≥0，即a2﹣4（a+2）≥0，a2﹣2a﹣8≥0，（a﹣4）（a+2）≥0，解得a≤﹣2或a≥4．故选C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）若关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m的取值范围是3＜m≤4．考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：计算题．分析：根据原方程可知x﹣2=0，和x2﹣4x+m=0，因为关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，所以x2﹣4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围．解答：解：∵关于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）=0有三个根，∴①x﹣2=0，解得x1=2；②x2﹣4x+m=0，∴△=16﹣4m≥0，即m≤4，∴x 2=2+，x 3=2﹣，又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x2，∴x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∴m的取值范围是3＜m≤4．故答案为：3＜m≤4．点评：本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系．解答此题时，需注意，三角形任意两边和大于第三边．10．（4分）已知：sinα﹣cosα=，则sinαcosα=（0＜α＜90°）考点：同角三角函数的关系．分析：对sinα﹣cosα=两边平方，然后根据sin2α+cos2α=1即可求解．解答：解：∵sinα﹣cosα=，∴（sinα﹣cosα）2=，∴sin2α﹣2sinαcosα+cos2α=，∵sin2α+cos2α=1∴2sinαcosα=1﹣=．∴sinαcosα=．点评：本题主要考查了同角的三角函数的关系，正确理解sin2α+cos2α=1是关键．11．（4分）双曲线y=（x＞0）与直线y=x在坐标系中的图象如图所示，点A、B在直线上AC、BD分别平行y轴，交曲线于C、D两点，若BD=2AC 则4OC2﹣OD2的值为6．考点：反比例函数综合题．分析：根据A，B两点在直线y=x上，分别设A，B两点的坐标为（a，a），（b，b），得到点C的坐标为（a，），点D的坐标为（b，），线段AC=a﹣，线段BD=b﹣，根据BD=2AC，有b﹣=2（a﹣），然后利用勾股定理进行计算求出4OC2﹣OD2的值．解答：解：设A（a，a），B（b，b），则C（a，），D（b，），AC=a﹣，BD=b﹣，∵BD=2AC，∴b﹣=2（a﹣），4OC2﹣OD2=4（a2+）﹣（b2+）=4[+2]﹣[+2]=4+8﹣4﹣2=6．故答案为：6．点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据直线与反比例函数的解析式，设出点A，B的坐标后可以得到点C，D的坐标，运用勾股定理进行计算求出代数式的值．12．（4分）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，∠CAO=30°，则c=．考点：二次函数综合题．分析：首先利用根与系数的关系求得A，B两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把两点横坐标用c表示，由此联立方程解决问题．解答：解：如图，由题意知，点C的坐标为（0，c），OC=c．设A，B两点的坐标分别为（x1，0），（x2，0），则x1，x2是方程x2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系得x1+x2=﹣b，x1x2=c，又∠CAO=30°，则；于是，，．由x1x2=9c2=c，得．故答案为：．点评：本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系解答问题．13．（4分）如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是cm．考点：轴对称-最短路线问题；圆心角、弧、弦的关系．专题：计算题．分析：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长．解答：解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，∴∠MOB==60°，∠BON′==30°，∴∠MON′=90°，∵AB=10cm，∴OM=ON′=5cm，∴MN′===5cm，即MP+NP的最小值是cm．故答案为：5．点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出∠MON′=90°是解答此题的关键．14．（4分）函数y=x+（x＞0）的最小值为2．考点：函数最值问题．专题：计算题．分析：注意到两项的积为定值，且为正数，故考虑利用基本不等式即可解决．解答：解：∵y=x+≥2=2，当且仅当x=，即x=1时，取等号．故函数y=x+（x＞0）的最小值为2．故答案为：2．点评：此题考查了函数的最值问题，解答本题的关键是掌握不等式的基本性质，及a+b≥2，难度一般．三、解答题（本大题共5小题，共56分，解答应写出必要的过程或演算步骤）15．（10分）已知△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=32°，若AD2=BD•CD，求∠ABC的度数．考点：相似三角形的判定与性质．专题：分类讨论．分析：根据已知可得到△BDA∽△ADC，注意∠C可以是锐角也可是钝角，故应该分情况进行分析，从而确定∠BCA度数．解答：解：分两种情况：（1）当B、C分别位于点D的两侧时（如图1），∵AD2=BD•DC，AD是BC边上的高得，∴△ABD∽△CAD，∴∠B=∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣32°=58°；（2）当B、C分别位于点D的同侧时（如图2），∵AD2=BD•DC，AD是BC边上的高得，∴△ABD∽△CAD，∴∠BAD=∠C=32°，∴∠ABC=∠BAD+∠ADB=32°+90°=122°．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．16．（10分）如图，身高1.5米的小亮AB在路灯CD下的影长为1米，当小亮向远离路灯的方向走出1米后，影长变成了2米．求路灯CD的高．考点：相似三角形的应用．专题：计算题．分析：运用已知条件得出AB∥CD，A′B′∥CD，进而得出相应比例式，得出关于BD，CD的方程，进而求出CD．解答：解：根据题意可得：AB∥CD，A′B′∥CD，∵AB=1.5米，BB′=1米，B′E=2米，∴，∴，①∴，∴，②由①得：2CD﹣1.5BD=4.5，③由②得：CD﹣1.5BD=1.5，④③﹣④得：CD=3米，答：路灯CD的高为3米．点评：此题主要考查了相似三角形的性质，利用对应变成比例得出比例式，进而求出方程的解是解决问题的关键．17．（10分）如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．求证：（1）M为BD的中点；（2）．考点：圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；（2）欲证，可以通过平行线的性质证明，需要延长AM交圆于点P，连接CP，证明PC∥BD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可．解答：证明：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM．∴△BAM∽△CBM，∴，即BM2=AM•CM．①又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，∴△DAM∽△CDM，则，即DM2=AM•CM．②由式①、②得BM=DM，即M为BD的中点．（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP．∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC．∵PC∥BD，∴．③又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，∴∠ABC=∠MCP．而∠ABC=∠APC，则∠APC=∠MCP，有MP=CM．④由式③、④得．点评：本题考查了相似三角形的性质，圆周角的性质，是一道较难的题目．18．（12分）已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK 是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示）．那么，在上述旋转过程中：（1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；（2）连接HK，设BH=x．①当△CHK的面积为时，求出x的值．②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．考点：旋转的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）连接OC，可以证得：△COK≌△BOH，根据S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=S△ABC即可证得：四边形CHOK的面积始终保持不变；（2）①BC=4，CH=4﹣x，三角形的面积公式可以得到：CH•CK=，即（4﹣x）x=3，从而求得x的值；②设△OKH的面积为S，根据三角形的面积公式，即可得到关于x的函数关系式，然后根据函数的性质即可求解．解答：解：（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半．理由如下：连接OC∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB，又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，∴∠COK=∠BOH=α∴△COK≌△BOH∴BH=CK，S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=S△ABC=4．（2）①由（1）知CK=BH=x，∵BC=4，∴CH=4﹣x，根据题意，得CH•CK=，即（4﹣x）x=3，解这个方程得x1=1，x2=3，此两根满足条件：0＜x＜4所以当△CKH的面积为时，x的取值是1或3；②设△OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为4，于是得关系式：S=4﹣S△CKH=4﹣x（4﹣x）=（x2﹣4x）+4=（x﹣2）2+2当x=2时，函数S有最小值2，∵x=2时，满足条件0＜x＜4，∴△OKH的面积存在最小值，此时x的值是2．点评：本题考查了三角形全等的判定与性质，以及二次函数的性质，正确列出函数解析式是解题的关键．19．（14分）已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象经过两点P（1，a），Q（2，10a）．（1）如果a，b，c都是整数，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．（2）设二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C．如果关于x的方程x2+bx﹣c=0的两个根都是整数，求△ABC的面积．考点：二次函数综合题．分析：（1）代入两点坐标，求得b、c（用a表示），再由已知c＜b＜8a，联立不等式组求得a、b、c的值；（2）设出程x2+bx﹣c=0的两个根，根据根与系数的关系与因式分解求得两根，得出函数解析式，进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题．解答：解：点P（1，a）、Q（2，10a）在二次函数y=x2+bx﹣c的图象上，故1+b﹣c=a，4+2b﹣c=10a，解得b=9a﹣3，c=8a﹣2；（1）由c＜b＜8a知，解得1＜a＜3，又a为整数，所以a=2，b=9a﹣3=15，c=8a﹣2=14；（2）设m，n是方程的两个整数根，且m≤n．由根与系数的关系可得m+n=﹣b=3﹣9a，mn=﹣c=2﹣8a，消去a，得9mn﹣8（m+n）=﹣6，两边同时乘以9，得81mn﹣72（m+n）=﹣54，分解因式，得（9m﹣8）（9n﹣8）=10．所以或或或，解得或或或；又∵m，n是整数，所以后面三组解舍去，故m=1，n=2．因此，b=﹣（m+n）=﹣3，c=﹣mn=﹣2，二次函数的解析式为y=x2﹣3x+2．易求得点A、B的坐标为（1，0）和（2，0），点C的坐标为（0，2），所以△ABC的面积为．点评：此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式．。

学年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（九）

2020学年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（九）一、选择题1．（4分）点P（a+1，a﹣1）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）已知M=62007+72009，N=62009+72007，那么M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定3．（4分）实数a，b，c中，a＞0，且4a+2b+c=0，a﹣b+c=0．则a+2b+4c的值是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定4．（4分）若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．m≥C．＜m≤1D．≤m≤15．（4分）有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球．比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（）A．4个B．3个C．1个D．0个6．（4分）如图，一圆柱体的底面圆周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是（）A．4B．4C．D．π+7．（4分）方程x3+6x2+5x=y3﹣y+2的整数解（x，y）的个数是（）A．0B．1C．3D．无穷多二、填空题8．（4分）若∠A是锐角三角形的一个内角，则在二次根式中∠A的取值范围是．9．（4分）如图，▱ABCD的A、B、D三点在弧BD上，过A的直线PA交CB的延长线于P，若∠PAB=∠DBC，BC=2AB，▱ABCD的面积为8，则△APB的面积为．10．（4分）已知直线y=﹣x+5与双曲线y=的交点坐标为（m，n），则的值为．11．（4分）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围为．12．（4分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是同学．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB=BD=DA=AC，则四边形ABCD中，最大内角的度数是度．14．（4分）一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有家订户．15．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4cm，E是AD中点，F是EC中点，BD是对角线，那么△BDF的面积为cm．16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，BC=a，AC=b，∠A﹣∠B=90°，则⊙O的面积为．17．（4分）已知n个数x1，x2，x3，…，x n，它们每一个数只能取0，1，﹣2这三个数中的一个，且，则x13+x23+…+x n3=．三、解答题18．（10分）某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x，y，z．求的值．19．（10分）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN．20．（10分）某体育彩票经销商计划用45000元，从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票每张2.5元．（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你设计进票方案．21．（10分）如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE ∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．（1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒，①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．（2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP∽△PAQ∽CBQ？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）点P（a+1，a﹣1）不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】根据四个象限的符号特点列出不等式组，根据不等式组解的情况进行判断即可．【解答】解：根据题意可列出方程组：（1），解得a＞1，故a+1＞0，a﹣1＞0，点在第一象限；（2），解得﹣1＜a＜1，故a+1＞0，a﹣1＜0，点在第四象限；（3），解得a＜﹣1，故a+1＜0，a﹣1＜0，点在第三象限；（4），无解，故点不可能在第二象限．故选B．【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点及解不等式组，可根据各象限点的特点来判断所给的未知字母解的情况即可．2．（4分）已知M=62007+72009，N=62009+72007，那么M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定【考点】因式分解的应用；有理数大小比较．【分析】先用作差法，再根据同底数的幂分别提取公因式，整理计算后判断出正负情况即可得到M、N的大小关系．【解答】解：∵M﹣N=62007+72009﹣62009﹣72007，=62007（1﹣62）+72007（72﹣1），=48×72007﹣35×62007＞0，∴M＞N，故选A．【点评】本题考查了提公因式法、分组分解法分解因式，比较两个数的大小，求差法是常用的方法之一．3．（4分）实数a，b，c中，a＞0，且4a+2b+c=0，a﹣b+c=0．则a+2b+4c的值是（）A．正数B．负数C．零D．不能确定【考点】代数式求值．【分析】由题意可列出方程组，把a当做已知，然后把其它未知数表示出来，代入所求代数式，判断其正负．【解答】由题意得，解得，代入a+2b+4c得原式=﹣b+2b+8b=9b，∵a＞0，a=﹣b，∴b＜0，原式=﹣b+2b+8b=9b＜0，故选B．【点评】本题考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．4．（4分）若方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤1B．m≥C．＜m≤1D．≤m≤1【考点】根与系数的关系；完全平方公式；三角形三边关系．【分析】方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2﹣2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2﹣2x+m=0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2﹣x3|＜1＜x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．【解答】解：方程（x﹣1）（x2﹣2x+m）=0的有三根，∴x1=1，x2﹣2x+m=0有根，方程x2﹣2x+m=0的△=4﹣4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3＞x1=1，|x2﹣x3|＜x1=1，而x2+x3=2＞1已成立；当|x2﹣x3|＜1时，两边平方得：（x2+x3）2﹣4x2x3＜1．即：4﹣4m＜1．解得，m＞．∴＜m≤1．故选C．【点评】本题利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．5．（4分）有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少进1个球．比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对的，你能知道，校队踢进球的个数是（）A．4个B．3个C．1个D．0个【考点】推理与论证．【分析】若A的估计是正确的，则C也是正确的，所以A的估计错误；若C的估计是正确的，则A、B中，必有一人的估计是正确的，所以C的估计是错误的．所以校队踢进球的个数只能够是0个．【解答】解：若A真，则C真，显然不符合题意的要求；若C真，则A、B必有一个是真命题，显然也不符合题意；因此只有一种情况，即：B真，A、C为假命题，那么此时球队踢进求的个数是0个．故选D．【点评】此题可以先假设其中的一个人的估计是正确的，然后根据3个人中，只有1个人的估计是对的，进行分析．6．（4分）如图，一圆柱体的底面圆周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是（）A．4B．4C．D．π+【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．【解答】解：将将圆柱体展开，连接A、C，根据两点之间线段最短，AC==4．若从AB﹣BC，则可得路程为：4+＜4．故选C．【点评】本题是一道趣味题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．7．（4分）方程x3+6x2+5x=y3﹣y+2的整数解（x，y）的个数是（）A．0B．1C．3D．无穷多【考点】非一次不定方程（组）．【分析】先把方程左边化为3的倍数的形式，再根据方程右边不可能是3的倍数判断出方程无整数解即可．【解答】解：原方程可化为x（x+1）（x+2）+3（x2+x）=y（y﹣1）（y+1）+2，∵三个连续整数的乘积是3的倍数，∴上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．∴原方程无整数解．故选A．【点评】本题考查的是非一次不定方程的解，熟知三个连续整数的乘积是3的倍数是解答此题的关键．二、填空题8．（4分）若∠A是锐角三角形的一个内角，则在二次根式中∠A的取值范围是60°≤∠A＜90°．【考点】锐角三角函数的定义；二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，再根据∠A是锐角三角形的一个内角即可求解．【解答】解：根据题意得：2sinA﹣≥0，解得sinA≥．∵sin60°=，∠A是锐角三角形的一个内角，在0°到90°之间正弦值是单调递增的，∴∠A的取值范围是60°≤A＜90°．【点评】此题考查二次根式有意义的条件及函数值的增减性、特殊角的三角函数值，涉及面较广，但难度适中．9．（4分）如图，▱ABCD的A、B、D三点在弧BD上，过A的直线PA交CB的延长线于P，若∠PAB=∠DBC，BC=2AB，▱ABCD的面积为8，则△APB的面积为1．【考点】圆周角定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】利用平行四边形的性质及相似三角形的判定定理可证昨△APB∽△BDC，再利用相似三角形的对应边成比例推出PB与BC间的等量关系，在△APB与△BCD中，高相等，面积之比等于底边PB与BC之比，而△BCD是▱ABCD面积的一半，则△APB的面积可求．【解答】解：∵▱ABCD∴AB∥CD，AB=CD∴∠PBA=∠C∵∠PAB=∠DBC∴△APB∽△BDC∴AB：BC=PB：DC∵BC=2AB∴PB=DC=BC∵BD是▱ABCD的对角线=S▱ABCD=×8=4∴S△BCD在△APB与△BCD中，分别以PB、BC为底边时，高相等=S△BCD=1．∴S△APB【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定定理及性质，三角形的面积的求法．10．（4分）已知直线y=﹣x+5与双曲线y=的交点坐标为（m，n），则的值为3．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】由于（m，n）在直线y=﹣x+5与双曲线y=上，只好把交点坐标代入两个函数式中，看能得到什么已知条件．【解答】解：依题意可得，又可得到，故===3．故答案为：3．【点评】本题运用了方程组和整体代入的思想．同学们要掌握这种方法．11．（4分）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围为﹣≤a＜﹣．【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【解答】解：不等式组得解集为8＜x＜，因为关于x的不等式组有四个整数解为9，10，11，12，则12＜≤13，解得a的取值范围为﹣≤a＜﹣．【点评】本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．12．（4分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有10种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是丙同学．【考点】可能性的大小．【分析】列举出所有情况，看谁得到D的机会多即可．【解答】解：甲乙丙丁戊取礼物的顺序有10种，为：①A、B、C、D、E；②A、C、D、E、B；③A、C、D、B、E；④A、C、B、D、E；⑤C、D、E、A、B；⑥C、D、A、B、E；⑦C、D、A、E、B；⑧C、A、B、D、E；⑨C、A、D、B、E；⑩C、A、D、E、B．取得礼物D的概率分别为：P（乙）=0.3，P（丙）=0.4，P（丁）=0.3，取得礼物D可能性最大的是丙同学．【点评】解决本题的关键得到取礼物的所有情况．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，AB=BD=DA=AC，则四边形ABCD中，最大内角的度数是150度．【考点】等边三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】因为AB=BD=DA=AC，所以∠BAD=60°，所以四边形中最大的角是∠BCD，再根据四边形的内角和定理，得2∠BCD=360°﹣60°=300°，则∠BCD=150°．【解答】解：∵AB=BD=DA=AC，∴∠BAD=60°，∠ABC=∠ACB，∠ACD=∠ADC∴四边形中最大的角是∠BCD，∵四边形的内角和是360°，∴2∠BCD=360°﹣60°=300°∴∠BCD=150°．故填150°．【点评】此题主要是根据等腰三角形的性质得到角之间的等量关系，再根据四边形的内角和定理列方程求解．14．（4分）一幢楼房内住有六家住户，分别姓赵，钱，孙，李，周，吴，这幢楼住户共订有A，B，C，D，E，F六种报纸，每户至少订了一种报纸，已知赵，钱，孙，李，周分别订了其中2，2，4，3，5种报纸，而A，B，C，D，E五种报纸在这幢楼里分别有1，4，2，2，2家订户，则报纸F在这幢楼里有6家订户．【考点】推理与论证．【分析】在题目中，缺少吴家订的报纸种数和报纸F 的订户，可将它们设为未知数，然后根据报纸的总数相同来列等量关系；可得出关于两个未知数的等量关系式，然后根据每户至少订一种报纸，可求出报纸F 的订户数．【解答】解：缺少吴家订的报纸种数，设为x ；缺少报纸F 的订户，设为y ，那么报纸总种数应相同，得：1+4+2+2+2+y=2+2+4+3+5+x ，解得y=x +5，由题意得吴家至少订一种报纸，那么y 至少等于6．因此报纸F 共有6家订户．【点评】解决本题的关键是找到等量关系：报纸被订的总份数应该和六户人家订的总数相同．15．（4分）如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，E 是AD 中点，F 是EC 中点，BD 是对角线，那么△BDF 的面积为2cm ．【考点】正方形的性质；解直角三角形．【分析】△BDF 的面积为Rt △BCD 的面积减去△BCF 和△DCF 的面积之和．根据已知条件可求∠BCE 和∠ECD 的三角函数值，根据面积公式S=ab ×sinC ，可求△BCF 和△DCF 的面积．【解答】解：在Rt △CDE 中，CD=4，E 为AD 的中点，∴CE==2，CF=CE=，tan ∠CED==2，tan ∠DCE==；∵∠BCE=∠CED ，∴sin ∠BCE=，sin ∠DCE=．∴S △BCF =BC ×CF ×sin ∠BCE=×4××=4．∴S △DCF =CF ×CD ×sin ∠DCE=××4×=2．∵S △BCD =BC ×CD=×4×4=8，∴S △BDF =S △BCD ﹣S △BCF ﹣S △DCF =8﹣4﹣2=2．【点评】求三角形的面积既可根据三角形的面积公式求解，也可用几个图形面积相加或相减求得．16．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，BC=a，AC=b，∠A﹣∠B=90°，则⊙O的面积为π（a2+b2）．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】先构造直角三角形，再根据直径所对的圆周角是90°和圆内接四边形的性质，找出弧AC=弧CE，最后利用勾股定理求出圆的直径，面积可求．【解答】解：过点B作圆的直径BE交圆于点E，则∠ECB=90°，∴∠E+∠EBC=90°，又圆内接四边形的对角互补，即∠E+∠A=180°，∵∠A﹣∠ABC=90°，∴∠CBA=∠CBE，弧AC=弧CE，CE=AC=b，由勾股定理得，BE=，∴⊙O的半径=，∴圆的面积=π（a2+b2）．【点评】本题利用了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆面积公式求解．17．（4分）已知n个数x1，x2，x3，…，x n，它们每一个数只能取0，1，﹣2这三个数中的一个，且，则x13+x23+…+x n3=﹣29．【考点】代数式求值．【分析】由题可知，在x1，x2，x3，…，x n中，要想保证和为﹣5，平方和为19，在取值受限得情况下，可设各式中有a个1和b个﹣2，则可将两式变为：，求出方程组的解．【解答】解：设各式中有a个1和b个﹣2，则可将两式变为：，那么x13+x23+…+x n3=（﹣2）3×4+13×3=﹣29．故答案为：﹣29．【点评】解此题时，关键要找准在n个数中到底有几个1、﹣2、0，这就需要对原题中两个式子进行分析，比较难．三、解答题18．（10分）某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x，y，z．求的值．【考点】平面镶嵌（密铺）．【分析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360°．【解答】解：由题意可知：++=360°，∴1﹣+1﹣+1﹣=2，∴++=．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条件是：一个顶点处的内角和等于一个周角．19．（10分）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【分析】根据已知的平行线，可以通过延长已知线段构造平行四边形．根据平行四边形的性质得到比例线段，再根据等式的性质即可得出等量关系．【解答】证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且．∵AB∥CD，∴．∵AD∥CE，∴==．又∵=，∴OQ=3DN．∴CQ=OQ﹣OC=3DN﹣OC=3DN﹣AD，AN=AD﹣DN．∴AN+CQ=2DN．∴==2．即MN+PQ=2PN．【点评】综合运用了平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理．20．（10分）某体育彩票经销商计划用45000元，从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每张1.5元，B彩票每张2元，C彩票每张2.5元．（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你设计进票方案．【考点】二元一次方程组的应用．【分析】（1）本题的等量关系是：两种彩票的数量和=20扎，买两种彩票的费用和=45000元，然后分AB，AC，BC这三种购票方式进行讨论，分别列出方程组，求解．然后便可得出买彩票的方案．（2）可设两种彩票的购进数量为未知数，然后根据三种彩票的总数量20扎，表示出另一种彩票的数量，然后根据三种彩票的数量和=45000元，得出两个未知数的关系式，然后根据自变量的取值范围得出合理的购票方案．【解答】解：（1）设购进A，B，C种彩票分别为x，y，z扎，则①得．（不合）②得．③得．答：共有两种方案可行，一种是A种彩票5扎，C种彩票15扎；或B种彩票、C种彩票各式各10扎．（2）设购进A，B，C种彩票分别为x，y，20﹣x﹣y扎，则有1.5×1000×x+2×1000×y+2.5×1000×（20﹣x﹣y）=45000化简得：y=﹣2x+10．∵y＞0，∴﹣2x+10＞0，∴1≤x＜5，因x为整数所以共有四种方案：即A种1扎，B种8扎，C种11扎；A种2扎，B种6扎，C种12扎；A种3扎，B种4扎，C种13扎A种4扎，B种2扎，C种14扎．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：两种彩票的数量和=20扎，买两种彩票的费用和=45000元，列出方程组，再求解．要注意题中自变量的取值必须符合实际意义．21．（10分）如图1，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a，b，k的值；（2）如图2，过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△COE ∽△BOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据点A的坐标，易求得k的值，进而可确定双曲线的解析式；可根据双曲线的解析式设出点B的坐标，根据A、B的坐标，可得到直线AB的解析式，进而可得到此直线与y轴交点（设为M）坐标，以OM为底，A、B纵坐标差的绝对值为高，即可表示出△BOA的面积，已知此面积为3，即可求得点B的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式，即可得到a、b、k的值．（2）易求得B（﹣2，﹣2），C（﹣4，﹣4），若设抛物线与x轴负半轴的交点为D，那么∠COD=∠BOD=45°，即∠COB=90°，由于两个三角形无法发生直接联系，可用旋转的方法来作辅助线；①将△BOA绕点O顺时针旋转90°，此时B1（B点的对应点）位于OC的中点位置上，可延长OA至E1，使得OE=2OA1，那么根据三角形中位线定理即可得到B1A1∥CE，那么E1就是符合条件的点E，A1的坐标易求得，即可得到点E1的坐标；②参照①的方法，可以OC为对称轴，作△B1OA1的对称图形△B1OA2，然后按照①的思路延长OA2至E2，即可求得点E2的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数经过A（1，4），∵k=1×4=4，即y=；设B（m，），已知A（1，4），可求得直线AB：y=﹣x+4+；=×（4+）×（1﹣m）=3，∵S△BOA∴2m2+3m﹣2=0，即m=﹣2（正值舍去）；∴B（﹣2，﹣2）．由于抛物线经过A、B两点，则有：，解得；∴y=x2+3x．故a=1，b=3，k=4．（2）设抛物线与x轴负半轴的交点为D；∵直线AC∥x轴，且A（1，4），∴C（﹣4，4）；已求得B（﹣2，﹣2），则有：∠COD=∠BOD=45°，即∠BOC=90°；①将△BOA绕点O顺时针旋转90°得到△B1OA1，作AM⊥x轴于M，作A1N⊥x轴于N．∵A的坐标是（1，4），即AM=4，OM=1，∵∠AOM+∠NOA1=90°，∠OAM+∠AOM=90°∴∠OAM=∠NOA1，又∵OA=OA1，∠AMO=∠A1NO∴△AOM≌△OA1N，∴A1N=OM=1，ON=AM=4∴A1的坐标是（4，﹣1），此时B1是OC的中点，延长OA1至E1，使得OE=2OA1，则△COE1∽△B1OA1∽△BOA；则E1（8，﹣2）；②以OC所在直线为对称轴，作△B1OA1的对称图形△B1OA2，延长OA2至E2，使得OE2=2OA2，则△COE2≌△COE1∽△BOA；易知A2（1，﹣4），则E2（2，﹣8）；故存在两个符合条件的E点，且坐标为E1（8，﹣2），E2（2，﹣8）．【点评】此题考查了反比例函数、二次函数解析式的确定，图形面积的求法，相似三角形的判定等知识．难点在于（2）题的辅助线作法，能够发现∠BOC=90°，并能通过旋转作出相似三角形是解决问题的关键．22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA=10厘米，OC=6厘米，现有两动点P，Q分别从O，A同时出发，点P在线段OA上沿OA方向作匀速运动，点Q在线段AB上沿AB方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1厘米/秒．（1）设点Q的运动速度为0.5厘米/秒，运动时间为t秒，①当△CPQ的面积最小时，求点Q的坐标；②当△COP和△PAQ相似时，求点Q的坐标．（2）设点Q的运动速度为a厘米/秒，问是否存在a的值，使得△OCP∽△PAQ∽CBQ？若存在，请求出a的值，并写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题；矩形的性质；相似三角形的性质．【分析】（1）因为无法直接求△CPQ的面积，只好用梯形的面积减去两个三角形的面积，得到关于t的二次函数，求最小值就可以了，从而得到t的值，就可求出Q的坐标．利用三角形的相似，可以得到比例线段，求出t的值，就可以求出Q点的坐标．（2）利用三角形的相似，得到比例线段，解关于a、t的二元一次方程即可，那么Q点的坐标就可求．【解答】解：（1）①先设两点运动的时间是t时，△CPQ面积最小．S△CPQ=S梯形QCOA﹣S△COP﹣S△APQ=（AQ+OC）×OA﹣AP•AQ﹣OC•OP=（0.5t+6）×10﹣×0.5t×（10﹣t）﹣×6×t=（t﹣6）2+21∵a=＞0，∴当t=6时，S△CPQ 有最小值，那么AQ=0.5t=0.5×6=3，∴Q点的坐标是（10，3）．②△COP和△PAQ相似，有△COP∽△PAQ和△COP∽△QAP两种情况：（i）当△COP∽△PAQ时：∴=，∴=，即t2﹣7t=0，解得，t1=0（不合题意，舍去），t2=7．∴t=7，∴AQ=0.5t=0.5×7=3.5．∴Q点的坐标是（10，3.5）．（ii）当△COP∽△QAP时：=，∴=，即t2+12t﹣120=0解得：t1=﹣6+2，t2=﹣6﹣2（不合题意，舍去）∴AQ=0.5t=﹣3+．∴Q点的坐标是（10，﹣3+）；（2）∵△COP∽△PAQ∽△CBQ，∴，即，解得，t1=2，t2=18，又∵0＜t＜10，∴t=2．代入任何一个式子，可求a=．∴AQ=at=∴Q点的坐标是（10，）．【点评】本题利用了梯形、三角形的面积公式，相似三角形的性质，关键要会用含t的代数式表示线段的长，还用到了二次函数求最小值的知识（当a＞0时，二次函数有最小值），矩形的性质以及路程等于速度乘以时间等知识．。

学年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（八）

2020学年浙江省一级重点中学自主招生考试数学仿真试卷（八）一、选择题（共8题，每题4分，共32分）1．（4分）太阳光透过一个矩形玻璃窗户，照射在地面上，影子的形状不可能是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形2．（4分）有4个一次函数，甲：y=5﹣2x，乙：y=2x﹣1，丙：y=﹣2x+3，丁：y=2（3﹣x），则下列叙述中正确的是（）A．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合B．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙，丁的图形重合C．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合D．甲，乙，丙，丁4个图形经过适当的平行移动后，都可以相互重合3．（4分）下列命题中真命题是（）A．任意两个等边三角形必相似B．对角线相等的四边形是矩形C．以40°角为内角的两个等腰三角形必相似D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形4．（4分）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切5．（4分）如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（）A．4B．5C．6D．86．（4分）如图所示，已知直线l的解析式是，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，则该圆运动的时间为（）A．6秒或10秒B．6秒或16秒C．3秒或16秒D．3秒或6秒7．（4分）如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于O，延长AC，使AC=CE，连接BE、DE，如果S1，S2，S3分别表示△BCD，△ABD，△BDE的面积，则下面正确的结论是（）A．B．S1=S3﹣S2C．D．8．（4分）若，则x2+y2+z2可取得的最小值为（）A．3B．C．D．6二、填空题（共8题，每题4分，共32分）9．（4分）如图，是根据某区2003年至2007年工业总产值绘制的条形统计图，观察统计图可知：增长幅度最大的一年比前一年增长%（精确到1%）．10．（4分）从﹣1，1，2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y=kx+b的系数k，b，则一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率是．11．（4分）若有意义，则x的取值范围为．12．（4分）如图所示，在▱ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于E，∠CEM=40°，则∠DME是．13．（4分）如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．14．（4分）如图，已知反比例函数的图象上有点P，过P点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，使四边形OAPB为正方形，又在反比例函数图象上有点P1，过点P1分别作BP和y轴的垂线，垂足分别为A1、B1，使四边形B A1P1B1为正方形，则点P1的坐标是．15．（4分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB的面积为S 1，△COD的面积为S2，则=．16．（4分）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．三、解答题（共5题，共56分）17．（8分）如图，有一长方形的地，该地块长为x米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙为正方形．现计划甲建设住宅区，乙建设商场，丙开辟成公司．若已知丙地的面积为3200平方米，你能算出x的值吗？18．（10分）在一个不透明的箱子中装有大小相同、材质相同的三个小球，一个小球上标着数字1，一个小球上标着数字2，一个小球上标着数字3，从中随机地摸出一个小球，并记下该球上所标注的数字x后，放回原箱子；再从箱子中又随机地摸出一个小球，也记下该球上所标注的数字y．以先后记下的两个数字（x，y）作为点M的坐标．（1）求点M的横坐标与纵坐标的和为4的概率；（2）在平面直角坐标系中，求点M落在以坐标原点为圆心、以为半径的圆的内部的概率．19．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，点P从点A出发沿线路AB﹣BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC﹣CB作匀速运动逐步靠近点P，设P，Q两点运动的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它们在t秒后于BC边上的某一点相遇．（1）求出AC与BC的长度；（2）试问两点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？（3）若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出a与t的值．（=1.732，结果精确到0.1）20．（10分）如图，双曲线在第一象限的一支上有一点C（1，5），过点C的直线y=﹣kx+b（k＞0）与x轴交于点A（a，0）、与y轴交于点B．（1）求点A的横坐标a与k之间的函数关系式；（2）当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D的横坐标是9时，求△COD的面积．21．（14分）如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离；（3）如果圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的圆P也相切，求BP：PD的值．参考答案与试题解析一、选择题（共8题，每题4分，共32分）1．（4分）太阳光透过一个矩形玻璃窗户，照射在地面上，影子的形状不可能是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．矩形D．正方形【考点】平行投影．【分析】根据平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例可知．【解答】解：矩形在阳光下的投影对边应该是相等的，所以不会成为梯形．故选A．【点评】本题综合考查了平行投影的特点和规律．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．2．（4分）有4个一次函数，甲：y=5﹣2x，乙：y=2x﹣1，丙：y=﹣2x+3，丁：y=2（3﹣x），则下列叙述中正确的是（）A．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合B．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙，丁的图形重合C．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合D．甲，乙，丙，丁4个图形经过适当的平行移动后，都可以相互重合【考点】一次函数图象与几何变换．【分析】解决本题的关键是理解若干条直线平行的前提是这几条直线的解析式中的k的值相等．【解答】解：丁整理后解析式为：y=﹣2x+6，那么甲丙丁三个函数的k的值是相等．可得到这3个函数图象在同一直角坐标系中是平行的，可以经过适当的平移得到．故选B．【点评】掌握平移的性质是关键，b的值不同可通过平移改变，但平移不会改变k的值．3．（4分）下列命题中真命题是（）A．任意两个等边三角形必相似B．对角线相等的四边形是矩形C．以40°角为内角的两个等腰三角形必相似D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【考点】命题与定理．【分析】根据相似三角形的判定、矩形和平行四边形的判定即可作出判断．【解答】解：A，正确；B，错误，等腰梯形的对角线相等，但不是矩形；C，错误，没有说明这个40度角是顶角还是底角；D，错误，等腰梯形也满足此条件，但不是平行四边形．故选A．【点评】本题考查了特殊四边形的判定和全等三角形的判定和性质．4．（4分）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】本题应将该点的横纵坐标分别与半径对比，大于半径的相离，等于半径的相切．【解答】解：∵是以点（2，3）为圆心，2为半径的圆，如图所示：∴这个圆与y轴相切，与x轴相离．故选A．【点评】直线与圆相切，直线到圆的距离等于半径；与圆相离，直线到圆的距离大于半径．5．（4分）如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（）A．4B．5C．6D．8【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】根据∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，可得∠APO=∠COD，进而可以证明△APO≌△COD，进而可以证明AP=CO，即可解题．【解答】解：∵∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，∴∠APO=∠COD．在△APO和△COD中，，∴△APO≌△COD（AAS），∴AP=CO，∵CO=AC﹣AO=6，∴AP=6．故选C．【点评】本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△APO≌△COD是解题的关键．6．（4分）如图所示，已知直线l的解析式是，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，则该圆运动的时间为（）A．6秒或10秒B．6秒或16秒C．3秒或16秒D．3秒或6秒【考点】切线的性质；一次函数图象与几何变换．【分析】先求得AB两点的坐标，再分两种情况：圆心C在点B上方和下方，可证出△BDE ∽△BOA，△BFG∽△BAO，根据相似三角形的性质，求得BE，BF，再根据圆的移动速度，求出移动的时间．【解答】解：令x=0，得y=﹣4；令y=0，解得x=3；∴A（3，0），B（0，﹣4），∴AB=5，∵DE⊥l，GF⊥l，∴△BDE∽△BOA，△BFG∽△BAO，∴=，=，即=，=，解得BE=2.5，BF=2.5，∴圆移动的距离为3或8，∵圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，∴移动的时间为6s或16s．故选B．【点评】本题是一道关于一次函数的综合题，考查了切线的性质和一次函数的图象与几何变换，掌握分类讨论思想是解此题的关键．7．（4分）如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，延长AC ，使AC=CE ，连接BE 、DE ，如果S 1，S 2，S 3分别表示△BCD ，△ABD ，△BDE 的面积，则下面正确的结论是（）A ．B ．S 1=S 3﹣S 2C ．D ．【考点】面积及等积变换．【分析】利用图形得到S 1=S △BOC +S △DOC ，S 2=S △BOA +S △DOA ，S 3=S △BOC +S △DOC +S △BCE +S △DCE ，根据等底同高的两个三角形的面积相等，则由AC=CE 得到S △BOA +S △BOC =S △BCE ，S △DOA +S △DOC =S △DCE ，于是S 3=S △BOC +S △DOC +S △BCE +S △DCE =S △BOC +S △DOC +S △BOA +S △BOC +S △DOA +S △DOC =S 1+S 2+S 1，然后变形即可得答案．【解答】解：∵S 1=S △BOC +S △DOC ，S 2=S △BOA +S △DOA ，S 3=S △BOC +S △DOC +S △BCE +S △DCE ，而AC=CE ，∴S △BOA +S △BOC =S △BCE ，S △DOA +S △DOC =S △DCE ，∴S 3=S △BOC +S △DOC +S △BCE +S △DCE=S △BOC +S △DOC +S △BOA +S △BOC +S △DOA +S △DOC=S 1+S 2+S 1，∴S 1=（S 3﹣S 2）．故选C ．【点评】本题考查了面积及等积变换：等底同高的两个三角形的面积相等．8．（4分）若，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（）A．3B．C．D．6【考点】完全平方公式．【分析】设，把x，y，z用k的代数式表示，则x2+y2+z2转化为关于k的二次三项式，运用配方法求其最小值．【解答】解：设，则x2+y2+z2=14k2+10k+6，=14+．故最小值为：．故选B．【点评】本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是设．二、填空题（共8题，每题4分，共32分）9．（4分）如图，是根据某区2003年至2007年工业总产值绘制的条形统计图，观察统计图可知：增长幅度最大的一年比前一年增长67%（精确到1%）．【考点】条形统计图．【分析】首先要找出增长幅度最大的一年，然后计算其增长率．【解答】解：增长幅度最大的一年是2007年，比前一年增长：（100﹣60）÷60≈67%．故填：67．【点评】从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．此题还需掌握增长率的计算．10．（4分）从﹣1，1，2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y=kx+b的系数k，b，则一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率是．【考点】概率公式；一次函数的性质．【分析】从三个数中选出两个数的可能有6种．要使图象不经过第四象限，则k＞0，b＞0，由此可找出满足条件的个数除以总的个数即可．【解答】解：列表，如图，k、b的取值共有6种等可能的结果；满足条件的为k＞0，b＞0，即k=1，b=2或k=2，b=1两种情况，∴概率为．故答案为：．【点评】本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，再找出某事件发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率=．也考查了一次函数的性质．11．（4分）若有意义，则x的取值范围为x≤且x≠﹣1．【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．【分析】本题考查了代数式有意义的x的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．【解答】解：根据题意得：1﹣2x≥0且x+1≠0，解得：x≤，且x≠﹣1．【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．12．（4分）如图所示，在▱ABCD中，AD=2AB，M是AD的中点，CE⊥AB于E，∠CEM=40°，则∠DME是150°．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】添加辅助线，构造△MDF，利用角边角证明△AME与△FMD全等，得到M为EF 的中点，根据平行四边形的对边平行，得到∠BEC等于∠ECF都为直角，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出ME和MC相等，根据等比对等角，得到∠MEC等于∠MCE都等于40°，从而得出∠EMC和∠MCD的度数，再根据AD等于AB的二倍，AD 等于MD的二倍，所以MD等于AB，根据平行四边形的性质得AB=CD，即MD=CD，根据等边对等角求出∠DMC的度数，而要求的角等于上边求出的∠EMC和∠DMC的和，从而求出答案．【解答】解：延长EM与CD的延长线交于点F，连接CM，∵M是AD的中点，∴AM=DM，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，CE⊥AB，∴∠ECF=∠BEC=90°，∠A=∠MDF，在△AEM和△DFM中，，∴△AEM≌△DFM（ASA），∴EM=FM，∴CM=EM=EF，∴∠MEC=∠MCE=40°，∴∠EMC=100°，∠MCD=50°，又∵M为AD中点，AD=2DC，∴MD=CD=AD，∴∠DMC=∠DCM=50°，∴∠DME=∠EMC+∠DMC=100°+50°=150°．故答案为：150°．【点评】此题考查了学生平行四边形的性质以及直角三角形的性质，同时还要注意等腰三角形的性质在做题中的灵活运用，这道题往往会作为中考时填空题或选择题方面的压轴题．13．（4分）如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为2．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；勾股定理．【分析】设EF=x，根据题意，易知三角形AEF是等边三角形．连接OA，则OA⊥EF，在直角三角形AOE中，得OE=1，则EF=2．【解答】解：连接OA，设EF=x∵△ABC是⊙O的内接等边三角形∵EF∥BC∴∠AEF=∠AFE=60°∴△AEF为等边三角形∴AO⊥EF∴OF==1∴EF=2OF=2．【点评】此题注意圆的轴对称性，能够发现等边三角形和特殊的直角三角形．14．（4分）如图，已知反比例函数的图象上有点P，过P点分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，使四边形OAPB为正方形，又在反比例函数图象上有点P1，过点P1分别作BP和y轴的垂线，垂足分别为A1、B1，使四边形B A1P1B1为正方形，则点P1的坐标是（，）．【考点】反比例函数综合题．【分析】由于四边形OAPB为正方形，则P的纵横坐标相等；且P的反比例函数图象上，由此可以得到P的坐标为（1，1），然后设四边形B A1P1B1的边长为t；又有四边形B A1P1B1为正方形，则点P1的坐标是（t，1+t），代入反比例函数解析式即可求得t，从而求出点P1的坐标．【解答】解：∵四边形OAPB为正方形，∴P的纵、横坐标相等，又∵P的反比例函数的图象上，∴P的坐标为（1，1），设四边形B A1P1B1的边长为t，又∵四边形B A1P1B1为正方形，则点P1的坐标是（t，1+t），且其也在反比例函数图象上，将其坐标代入解析式可得：t=，故点P 1的坐标是（，）．【点评】此题综合考查了反比例函数，正方形的性质等多个知识点，此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．15．（4分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 、BD 相交于点O ，若AC=5，BD=12，中位线长为，△AOB 的面积为S 1，△COD 的面积为S 2，则=．【考点】梯形中位线定理．【分析】作BE ∥AC ，从而得到平行四边形ACEB ，根据平行四边形的性质及中位线定理可求得DE 的长，根据勾股定理的逆定理可得到△DBE 为直角三角形，根据面积公式可求得梯形的高，从而不难求解．【解答】解：作BE ∥AC ，∵AB ∥CE ，∴CE=AB ，∵梯形中位线为6.5，∴AB +CD=13，∴DE=CE +CD=AB +CD=13，∵BE=AC=5，BD=12，由勾股定理的逆定理，得△BDE 为直角三角形，即∠EBD=∠COD=90°，设S △EBD =S则S 2：S=DO 2：DB 2S 1：S=OB 2：BD 2∴=∵S=12×5×=30∴=．故本题答案为：．【点评】此题主要考查梯形的性质及中位线定理的综合运用．16．（4分）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．【考点】矩形的性质；三角形的面积；勾股定理．【分析】AM=EF=AP，所以当AP最小时，AM最小，根据垂线段最短解答．【解答】解：由题意知，四边形AFPE是矩形，∵点M是矩形对角线EF的中点，则延长AM应过点P，∴当AP为直角三角形ABC的斜边上的高时，即AP⊥BC时，AM有最小值，此时AM=AP，由勾股定理知BC==5，=AB•AC=BC•AP，∵S△ABC∴AP==，∴AM=AP=．【点评】本题利用了矩形的性质、勾股定理、垂线段最短求解．三、解答题（共5题，共56分）17．（8分）如图，有一长方形的地，该地块长为x米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：甲、乙、丙．甲和乙为正方形．现计划甲建设住宅区，乙建设商场，丙开辟成公司．若已知丙地的面积为3200平方米，你能算出x的值吗？【考点】一元二次方程的应用．【分析】根据叙述可以得到甲，是边长是120米的正方形，乙是边长是（x﹣120）米的正方形，丙的长是（x﹣120）米，宽是[120﹣（x﹣120）]米，根据矩形的面积公式即可列方程求解．【解答】解：根据题意，得（x﹣120）[120﹣（x﹣120）]=3200，即x2﹣360x+32000=0，解得x1=200，x2=160．答：x的值为200米或160米．【点评】考查目的：利用一元二次方程解决生活中实际的问题．试题的特点：本题情景能贴近学生生活，很好的考查了学生要善于将实际问题转化为数学问题，根据等量关系推导公式进而解决问题．讲评意见：引导学生理解题意，求解时关键是等量关系要找对．18．（10分）在一个不透明的箱子中装有大小相同、材质相同的三个小球，一个小球上标着数字1，一个小球上标着数字2，一个小球上标着数字3，从中随机地摸出一个小球，并记下该球上所标注的数字x后，放回原箱子；再从箱子中又随机地摸出一个小球，也记下该球上所标注的数字y．以先后记下的两个数字（x，y）作为点M的坐标．（1）求点M的横坐标与纵坐标的和为4的概率；（2）在平面直角坐标系中，求点M落在以坐标原点为圆心、以为半径的圆的内部的概率．【考点】概率公式．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：（1）以先后记下的两个数字（x，y）作为点M的坐标有如下9种形式：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3），其中，x+y=4有3种形式：（1，3）、（2，2）、（3，1），由于每一种形式都等可能出现，（4分）所以点M的横坐标与纵坐标的和为4的概率；（5分）（2）因为点M在以坐标原点为圆心，以为半径的圆的内部，所以x2+y2＜10，这样的点M有4种形式：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2），（9分）所以点M在以坐标原点为圆心，以为半径的圆的内部的概率．（10分）【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．关键是得到所求的情况数．19．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，点P从点A出发沿线路AB﹣BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC﹣CB作匀速运动逐步靠近点P，设P，Q两点运动的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它们在t秒后于BC边上的某一点相遇．（1）求出AC与BC的长度；（2）试问两点相遇时所在的E点会是BC的中点吗？为什么？（3）若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，试分别求出a与t的值．（=1.732，结果精确到0.1）【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件和三角函数就可以得出AC与BC的长度；（2）在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么，BE=t﹣12，CE=at﹣12，这两个式子相等的t的值不存在；（3）以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，根据对应边的不同可以分几种情况进行讨论．当过D点作DE1∥AB时，△DCE1∽△ACB，根据相似三角形的对应边的比相等就可以解出．当过D点作DE2⊥AC，交CB于E2，则△DCE2∽△ABC，根据相似三角形的性质易得结论．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，∴AC=2AB=24（厘米）．BC=AB=12（厘米）．（2）E点不会是BC的中点．在t秒后，点Q运动的路程为at，点P运动的路程为t，那么BE=t﹣12，CE=at﹣12，∵a＞1，∴at﹣12＞t﹣12．∴E点不会是BC的中点．（3）若以D，E，C为顶点的三角形与△ABC相似，当过D点作DE1∥AB，交CB于E1则△DCE1∽△ACB时，==∴E点是BC的中点．但CE1=at﹣12，BE1=t﹣12，∵a＞1，故at﹣12＞t﹣12，即CE1＞BE1，与E点是BC的中点矛盾，当过D点作DE2⊥AC，交CB于E2则△DCE2∽△ABC===，∴CE2=24×=8，依题意得，，解得．∴t=18.9秒，a=1.4厘米/秒．【点评】本题是一个综合题，有一定的难度，主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定等知识．20．（10分）如图，双曲线在第一象限的一支上有一点C（1，5），过点C的直线y=﹣kx+b（k＞0）与x轴交于点A（a，0）、与y轴交于点B．（1）求点A的横坐标a与k之间的函数关系式；（2）当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D的横坐标是9时，求△COD的面积．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）由于点A（a，0）、点C（1，5）在直线y=﹣kx+b上，所以可组成关于a、k、b的方程组，解之可得a与k之间的函数关系式；（2）先根据D点的横坐标9得出纵坐标，再加上C（1，5）求出直线y=﹣kx+b的解析式，从而求出点A、B的坐标，再计算S△AOB ﹣S△BOC﹣S△AOD即可．【解答】解：（1）∵点C（1，5）在直线y=﹣kx+b（k＞0）上，∴5=﹣k•1+b∴b=k+5∴y=﹣kx+k+5∵点A（a，0）在直线y=﹣kx+k+5上∴0=﹣ka+k+5∴；（2）∵直线与双曲线在第一象限的另一交点D的横坐标是9，设点D（9，y）代入得：∴∴点D（9，）代入y=﹣kx+k+5可解得：，可得：点A（10，0），点B（0，）=S△AOB﹣S△AOD﹣S△BOC∴S△COD===．【点评】此题难度中等，考查反比例函数、一次函数的图象和性质．同时要注意求面积的时候要能熟练地运用割补法．21．（14分）如图，已知AB⊥MN，垂足为点B，P是射线BN上的一个动点，AC⊥AP，∠ACP=∠BAP，AB=4，BP=x，CP=y，点C到MN的距离为线段CD的长．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在点P的运动过程中，点C到MN的距离是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示这段距离；如果不发生变化，请求出这段距离；（3）如果圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的圆P也相切，求BP：PD的值．【考点】直线与圆的位置关系；平行线的性质；圆与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）求y关于x的函数解析式，可以证明△ABP∽△CAP，根据相似比得出；（2）C到MN的距离，即CD的长，可以延长CA交直线MN于点E，证明AB∥CD，由平行线的性质得出；（3）圆C与直线MN相切，且与以BP为半径的圆P也相切，根据圆与圆的位置关系有（i）当圆C与圆P外切时，CP=PB+CD，即y=x+8，（ii）当圆C与圆P内切时，CP=|PB﹣CD|，即y=|x﹣8|，结合（1），（2）求出BP：PD的值．【解答】解：（1）∵AB⊥MN，AC⊥AP，∴∠ABP=∠CAP=90°．又∵∠ACP=∠BAP，∴△ABP∽△CAP．（1分）∴．即．（1分）∴所求的函数解析式为（x＞0）．（1分）（2）CD的长不会发生变化．（1分）延长CA交直线MN于点E．（1分）∵AC⊥AP，∴∠PAE=∠PAC=90°．∵∠ACP=∠BAP，∴∠APC=∠APE．∴∠AEP=∠ACP．∴PE=PC．∴AE=AC．（1分）∵AB⊥MN，CD⊥MN，∴AB∥CD．∴．（1分）∵AB=4，∴CD=8．（1分）（3）∵圆C与直线MN相切，∴圆C的半径为8．（1分）（i）当圆C与圆P外切时，CP=PB+CD，即y=x+8，∴，∴x=2，（1分）∴BP=2，∴CP=y=2+8=10，根据勾股定理得PD=6∴BP：PD=．（1分）（ii）当圆C与圆P内切时，CP=|PB﹣CD|，即y=|x﹣8|，∴．∴或．∴x=﹣2（不合题意，舍去）或无实数解．（1分）∴综上所述BP：PD=．【点评】本题难度较大，考查相似三角形的判定和性质．切线的性质及圆与圆的位置关系．参与本试卷答题和审题的老师有：算术；蓝月梦；hbxglhl；lanchong；hnaylzhyk；郝老师；cook2360；HJJ；bjy；gsls；mrlin；lf2-9；心若在；zhjh；CJX；zcx；mmll852；Liuzhx；自由人；zxw；智波；csiya；wenming；sch；ln_86；HLing（排名不分先后）菁优网2016年12月14日。

杭州1重点中学初一数学自主招生试卷模拟试题(5套带答案)

杭州 1重点中学初一数学自主招生试卷模拟试题( 5 套带答案 )初一自主招生数学考试卷、直接写出得数。

510.75 － 2.5 ＝× 32 ＝16 8÷ 20 ＝21 1532、计算题，能简算的要简算11 5 11 3 1 3 ÷1 1) ()(2)＋18 9 187610 76 ÷9四、计算题8 11 2 2 3) ( ×＋ )÷11 40 5 314)【 62.8 －( 12.8-4.6 )】×5) 75 × 4.67 ＋17.9 ×2.56)89 × 【 34 －( 176 － 41)】、解比例。

1)30 ：72 ＝ x: :2)15＝ : x:亿。

1.八十亿六千零九万下作，省略“亿”后面的尾数约是2.我国大约有12.5 亿人，每人节约一分钱，一共可以节约万元。

3.一个比的比值是1.6 亿，这个比化成最简整数比是。

4.分母不大于 5 的真分数中，所有最简分数的和是。

5.正方体的棱长 6 厘米，它的面积是平方厘米，体积是立方厘米。

6.四个数的平均数是18，若每个整数增加x:，这四个数的和为。

7.某工人计划10 小时完成的工作，8 小时就全部完成了，他的工作效率比计划提8.有两个圆柱，它们的底面半径是 2 ：3，体积比 2 ：5，那么它们高之比是9.筐里有96 个苹果，如果不一次全拿走，也不一个一个的拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时正好不多不少，则有种不同的拿法。

10.甲乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒，如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖粒数就是乙糖粒数的 2 倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖粒数就是乙糖粒数的 3 倍。

那么甲乙两个小朋友共有粒。

1111.右图中，AE=1AC，BD=1BC，图中阴影与34空白面积的比是12.取一张长方形纸，沿相对角的顶点将纸对折，重叠部分是一个三角形。

浙教版2019-2020学年重点高中自主招生数学模拟试卷(解析版)

浙教版2019-2020学年重点高中自主招生数学模拟试卷一、选择题：（共15个小题，每小题4分，共60分，将所选答案填在机读卡上）1．（4分）在3.14，，，，，sin60°这6个数中，无理数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（4分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．18cm2B．20cm2C．（18+2）cm2D．（18+4）cm23．（4分）当0＜x＜1时，x，，x2的大小顺序是（）A．＜x＜x2B．x＜x2＜C．x2＜x＜D．＜x2＜x4．（4分）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：编号12345方差平均成绩得分3834■3740■37那么被遮盖的两个数据依次是（）A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，35．（4分）若代数式y2+y﹣2＝0，则代数式y3+4y2+y+2014的值为（）A．2020 B．2025 C．2014 D．20156．（4分）下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧D．三点确定一个圆7．（4分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2＝b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形8．（4分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠09．（4分）阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米B．3.8米C．3.6米D．3.4米10．（4分）如图，三角形ABC和DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B＝∠DEF ＝90°，点B，C，E，F在同一直线上，现从点C，E重合的位置出发，让三角形ABC在直线EF 上向右作匀速运动，而DEF的位置不动，设两个三角形重合部分的面积为y，运动的距离为x，下面表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是（）A．4 B．C．D．12．（4分）如图，AB是圆O的直径，弦AC，BD相交于点E，AC＝BD，若∠BEC＝60°，C是的中点，则tan∠ACD值是（）A．B．C．D．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．314．（4分）已知函数y＝，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．315．（4分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝GF×AF；④当AG＝6，EG＝2时，BE的长为，其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案直接写在横线上）16．（4分）已知关于x的方程﹣2＝有一个正数解，则m的取值范围．17．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．18．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，E、F是垂足，则EF的最小值等于．19．（4分）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：（1）对81只需进行次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．20．（4分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN＝3，则的值为．21．（4分）当n＝1，2，3，…，2017时．则所有二次函数y＝（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1的图象被x轴所截得的线段长度之和为．三、解答题（共6个小题，共66分，解答时需写出必要的步骤和文字说明）22．（10分）（1）计算：﹣22﹣+|1﹣4sin45°|+（1﹣）0+（2）先化简，再求值：÷（a+）•（+），其中a，b是方程x2﹣2﹣1＝0的两个根．23．（10分）两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能情况？请你列举出来．（2）你认为甲、乙两采用的方案，哪一种方案使自己乘坐舒适程度为上等的车的可能性大？为什么？24．（10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？25．（10分）已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，﹣n）作NC∥x 轴交双曲线于点E，交BD于点C．（1）若点D坐标是（﹣8，0），求A、B两点坐标及k的值．（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．26．（12分）如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，P A 与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．（1）求证：CD是小半圆M的切线；（2）若AB＝8，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），设PD＝x，CD2＝y．①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当y＝3时，求P，M两点之间的距离．27．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP＝2∠ABC时，求点P的横坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK＝KF，∠KAH＝∠FKH，PF＝4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．参考答案与试题解析一、选择题：（共15个小题，每小题4分，共60分，将所选答案填在机读卡上）1．（4分）在3.14，，，，，sin60°这6个数中，无理数的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．【解答】解：在3.14，，，，，sin60°这6个数中，无理数有：，，sin60°，共3个．故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义．解决问题的关键是会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2．（4分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．18cm2B．20cm2C．（18+2）cm2D．（18+4）cm2【分析】根据三视图判断出该几何体是底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：根据三视图判断，该几何体是正三棱柱，底边边长为2cm，侧棱长是3cm，所以侧面积是：（3×2）×3＝6×3＝18cm2．故选：A．【点评】本题考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三棱柱的三视图，然后判断出该几何体是三棱柱是解本题的关键．3．（4分）当0＜x＜1时，x，，x2的大小顺序是（）A．＜x＜x2B．x＜x2＜C．x2＜x＜D．＜x2＜x【分析】采取取特殊值法，取x＝，求出x2和的值，再比较即可．【解答】解：∵0＜x＜1，∴取x＝，∴＝2，x2＝，∴x2＜x＜，故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，有理数的大小比较的应用，能选择适当的方法比较整式的大小是解此题的关键．4．（4分）初三体育素质测试，某小组5名同学成绩如下所示，有两个数据被遮盖，如图：编号12345方差平均成绩得分3834■3740■37那么被遮盖的两个数据依次是（）A．35，2 B．36，4 C．35，3 D．36，3【分析】根据平均数的计算公式先求出编号3的得分，再根据方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵这组数据的平均数是37，∴编号3的得分是：37×5﹣（38+34+37+40）＝36；被遮盖的方差是：[（38﹣37）2+（34﹣37）2+（36﹣37）2+（37﹣37）2+（40﹣37）2]＝4；故选：B．【点评】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．5．（4分）若代数式y2+y﹣2＝0，则代数式y3+4y2+y+2014的值为（）A．2020 B．2025 C．2014 D．2015【分析】由代数式y2+y﹣2＝0，求得y的值，带入后即可．【解答】解，∵y2+y﹣2＝0，∴y＝1或﹣2将y值代入y3+4y2+y+2014得2020，故选：A．【点评】本题主要考查一元二次方程的求解方法．熟练掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键6．（4分）下列命题正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧D．三点确定一个圆【分析】根据矩形、平行四边形、垂径定理、过三点的圆的有关知识即可作出判断．【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形；B、正确；符合平行四边形的判定定理；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；D、不在同一直线上的三点确定一个圆；故选：B．【点评】要明确命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．7．（4分）已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足a3+ab2+bc2＝b3+a2b+ac2，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【分析】把所给的等式a3+ab2+bc2＝b3+a2b+ac2能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．【解答】解：∵a3+ab2+bc2＝b3+a2b+ac2，∴a3﹣b3﹣a2b+ab2﹣ac2+bc2＝0，（a3﹣a2b）+（ab2﹣b3）﹣（ac2﹣bc2）＝0，a2（a﹣b）+b2（a﹣b）﹣c2（a﹣b）＝0，（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，所以a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0．所以a＝b或a2+b2＝c2．故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形．故选：C．【点评】本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键．8．（4分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【分析】根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△＝2k+1﹣4k＞0，∴≤k＜，且k≠0．故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次不等式的解法．9．（4分）阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米B．3.8米C．3.6米D．3.4米【分析】作辅助线，连接AE和BD，根据题意知：＝，可将窗口底边离地面的高BC求出．【解答】解：连接AE、BD，∵光是沿直线传播的，∴AE∥BD，∴△BCD∽△ACE，∴＝即＝解得：BC＝4．故选：A．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可．10．（4分）如图，三角形ABC和DEF是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，∠B＝∠DEF ＝90°，点B，C，E，F在同一直线上，现从点C，E重合的位置出发，让三角形ABC在直线EF 上向右作匀速运动，而DEF的位置不动，设两个三角形重合部分的面积为y，运动的距离为x，下面表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：本题的运动过程应分两部分，从开始到两三角形重合，另一部分是从重合到分离；在第一部分，三角形ABC在直线EF上向右作匀速运动，则重合部分面积的增加速度不断变快；而另一部分面积的减小速度越来越小．故选：C．【点评】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．11．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连结BM，则BM的长是（）A．4 B．C．D．【分析】如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM为等边三角形根据AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，最终得到答案BM＝BO+OM＝1+．【解答】解：如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，∴△ACM为等边三角形，∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴AC＝2＝CM＝2，∵AB＝BC，CM＝AM，∴BM垂直平分AC，∴BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，∴BM＝BO+OM＝1+，故选：B．【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．12．（4分）如图，AB是圆O的直径，弦AC，BD相交于点E，AC＝BD，若∠BEC＝60°，C是的中点，则tan∠ACD值是（）A．B．C．D．【分析】连接AD、BC，根据圆周角定理，三角函数的定义即可得到结果．【解答】解：连接AD、BC．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°．在Rt△ADB与Rt△BCA中，AB＝AB，AC＝BD，∴Rt△ADB≌Rt△BCA，（HL）∴AD＝BC，＝．故∠BDC＝∠BAC＝∠3＝∠4，△DEC是等腰三角形，∵∠BEC＝60°是△DEC的外角，∴∠BDC+∠3＝∠BEC＝60°，∴∠3＝30°，∴tan∠ACD＝tan∠3＝tan30°＝．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理即同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角及解直角三角形的知识．13．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2 B．C．D．3【分析】连接AC，过B作EF的垂线，利用勾股定理可得AC，易得△ABC的面积，可得BG和△ADC的面积，三角形ABC与三角形ACD同底，利用面积比可得它们高的比，而GH又是△ACD 以AC为底的高的一半，可得GH，易得BH，由中位线的性质可得EF的长，利用三角形的面积公式可得结果．【解答】解：连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝＝4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG＝BG＝2∵S△ABC＝•AB•BC＝×2×2＝4，∴S△ADC＝2，∵＝2，∵△DEF∽△DAC，∴GH＝BG＝，∴BH＝，又∵EF＝AC＝2，∴S△BEF＝•EF•BH＝×2×＝，故选C．方法二：S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，易知S△ABE+S△BCF＝S四边形ABCD＝3，S△EDF＝，∴S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED＝6﹣3﹣＝．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键．14．（4分）已知函数y＝，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】大致画出两抛物线，注意取值范围，可得到它们的交点为（3，3），所以直线y＝3与两抛物线有三个交点，则得到k＝3．【解答】解：如图，当y＝k成立的x值恰好有三个，即直线y＝k与两抛物线有三个交点，而当x＝3，两函数的函数值都为3，即它们的交点为（3，3），所以k＝3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y 随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．15．（4分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝GF×AF；④当AG＝6，EG＝2时，BE的长为，其中正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF＝∠DFG，从而得到GD＝DF，接下来依据翻折的性质可证明DG＝GE＝DF＝EF，连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG＝OF＝GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2＝FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG ＝4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△F AD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE＝AD﹣GH求解即可．【解答】解：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DFG．∴GD＝DF．故①正确；∴DG＝GE＝DF＝EF．∴四边形EFDG为菱形，故②正确；如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DF A，∴△DOF∽△ADF．∴＝，即DF2＝FO•AF．∵FO＝GF，DF＝EG，∴EG2＝GF•AF．故③正确；如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2＝GF•AF，AG＝6，EG＝2，∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）．∵DF＝GE＝2，AF＝10，∴AD＝＝4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△F AD．∴＝，即＝，∴GH＝，∴BE＝AD﹣GH＝4﹣＝．故④正确．故选：D．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2＝FO•AF是解题答问题②的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题④的关键．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分，将答案直接写在横线上）16．（4分）已知关于x的方程﹣2＝有一个正数解，则m的取值范围m＜6且m≠3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，确定出m的范围即可．【解答】解：去分母得：x﹣2x+6＝m，解得：x＝6﹣m，由分式方程有一个正数解，得到6﹣m＞0，且6﹣m≠3，解得：m＜6且m≠3，故答案为：m＜6且m≠3【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．17．（4分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为﹣．【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH＝S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴DC＝AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝．则扇形FDE的面积是：＝．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN，在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝．则阴影部分的面积是：﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DMG≌△DNH，得到S四边形DGCH＝S四边形DMCN是关键．18．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A＝，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，E、F是垂足，则EF的最小值等于 4.8．【分析】连接EF，CP，由题意可得EF＝CP，AC＝8，BC＝6，根据垂线段最短可得当CP⊥AB 时，CP的长度最小，即可求EF的最小值．【解答】解：如图：连接EF，CP∵∠ACB＝90°，AB＝10，tan A＝，∴＝，BC2+AC2＝AB2＝100∴BC＝6，AC＝8∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB＝90°∴四边形ECFP是矩形∴EF＝CP∴当CP⊥AB时，CP的长度最小，即EF的长度最小．即此时，S△ABC＝AC×BC＝×AB×CP∴CP＝4.8∴EF最小值为4.8故答案为：4.8【点评】本题考查了矩形的性质和判定，垂线段最短，锐角三角函数，熟练运用矩形的性质是本题的关键．19．（4分）任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1，现对72进行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：（1）对81只需进行3次操作后变为1；（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．【分析】（1）根据运算过程得出[]＝9，[]＝3，[]＝1，即可得出答案．（2）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．【解答】解：（1）∵[]＝9，[]＝3，[]＝1，∴对81只需进行3次操作后变为1，故答案为：3．（2）最大的正整数是255，理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，∴对255只需进行3次操作后变为1，∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，∴对256只需进行4次操作后变为1，∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，故答案为：255．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．20．（4分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN，点C为线段OP上任意一点，CD∥ON交PM、PN分别为D、E．若MN＝3，则的值为．【分析】过P作PQ垂直于MN，利用三线合一得到Q为MN中点，求出MQ的长，在直角三角形OPQ中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OQ的长，由OQ﹣MQ求出OM的长，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论．【解答】解：过P作PQ⊥MN，∵PM＝PN，∴MQ＝NQ＝，在Rt△OPQ中，OP＝10，∠AOB＝60°，∴∠OPQ＝30°，∴OQ＝5，则OM＝OQ﹣QM＝，∵CD∥ON，∴，∴＝＝，故答案为；．【点评】此题考查了平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．21．（4分）当n＝1，2，3，…，2017时．则所有二次函数y＝（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1的图象被x轴所截得的线段长度之和为．【分析】由题意可求抛物线与x轴交点（，0），（，0），即可求二次函数y＝（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1的图象被x轴所截得的线段长度＝﹣，则可求线段和．【解答】解：∵y＝（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1＝（nx﹣1）[（n+1）x﹣1]∴抛物线与x轴交点（，0），（，0）∴二次函数y＝（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1的图象被x轴所截得的线段长度＝﹣当n＝1，2，3，…，2017时，所有二次函数y＝（n2+n）x2﹣（2n+1）x+1的图象被x轴所截得的线段长度之和＝+…+＝1﹣＝故答案为：【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，找出图象被x轴所截得的线段长度的规律是本题的关键．三、解答题（共6个小题，共66分，解答时需写出必要的步骤和文字说明）22．（10分）（1）计算：﹣22﹣+|1﹣4sin45°|+（1﹣）0+（2）先化简，再求值：÷（a+）•（+），其中a，b是方程x2﹣2﹣1＝0的两个根．【分析】（1）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由根与系数的关系得出ab＝﹣1，代入计算可得．【解答】解：（1）原式＝﹣4﹣+|1﹣4×|+1++1＝﹣4﹣+2﹣1+1++1＝﹣3+；（2）原式＝÷•＝﹣••＝﹣，∵a，b是方程x2﹣2﹣1＝0的两个根，∴ab＝﹣1，则原式＝1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的混合运算顺序和运算法则，一元二次方程根与系数的关系．23．（10分）两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人采用了不同的乘车方案：甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能情况？请你列举出来．（2）你认为甲、乙两采用的方案，哪一种方案使自己乘坐舒适程度为上等的车的可能性大？为什么？【分析】（1）利用列举法整数展示所有6种可能的结果；（3）利用列表法展示甲乙乘车的所有结果，然后计算他们乘坐上等车的概率，再比较概率的大小．【解答】解：（1）三辆车开来的先后顺序有6种可能：（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）；（2）列表如下：顺序甲乙上、中、下上下上、下、中上中中、上、下中上中、下、上中上下、上、中下上下、中、上下中甲乘上、中、下三辆车的概率都是；而乙乘上等车的概率＝＝，所以乙乘坐舒适程度为上等的车的可能性大．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．24．（10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x﹣20）元，月销售量为（230﹣10x），然后根据月销售利润＝一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．（2）把y＝2520时代入y＝﹣10x2+130x+2300中，求出x的值即可．（3）把y＝﹣10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x＝6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x 为正整数，分别计算出当x＝6和x＝7时y的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）当x＝2时，30+x＝32（元）答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．（3）根据题意得：y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，∵a＝﹣10＜0，∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．25．（10分）已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A 点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，﹣n）作NC∥x 轴交双曲线于点E，交BD于点C．（1）若点D坐标是（﹣8，0），求A、B两点坐标及k的值．（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．【分析】（1）根据B点的横坐标为﹣8，代入中，得y＝﹣2，得出B点的坐标，即可得出A点的坐标，再根据k＝xy求出即可；（2）根据S矩形DCNO＝2mn＝2k，S△DBO＝，S△OEN＝，即可得出k的值，进而得出B，C点的坐标，再求出解析式即可．【解答】解：（1）∵D（﹣8，0），∴B点的横坐标为﹣8，代入中，得y＝﹣2．∴B点坐标为（﹣8，﹣2）．∵A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．∴k＝xy＝8×2＝16；（2）∵N（0，﹣n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，∴mn＝k，B（﹣2m，﹣），C（﹣2m，﹣n），E（﹣m，﹣n）．S矩形DCNO＝2mn＝2k，S△DBO＝，S△OEN＝，∴S四边形OBCE＝S矩形DCNO﹣S△DBO﹣S△OEN＝k＝4．∴k＝4．∵B（﹣2m，﹣）在双曲线与直线上∴得（舍去）∴C（﹣4，﹣2），M（2，2）．设直线CM的解析式是y＝ax+b，把C（﹣4，﹣2）和M（2，2）代入得：解得．∴直线CM的解析式是．【点评】此题主要考查了待定系数法函数解析式以及一次函数与反比例函数交点的性质，根据四边形OBCE的面积为4得出k的值是解决问题的关键．26．（12分）如图，AB是大半圆O的直径，AO是小半圆M的直径，点P是大半圆O上一点，P A 与小半圆M交于点C，过点C作CD⊥OP于点D．（1）求证：CD是小半圆M的切线；（2）若AB＝8，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），设PD＝x，CD2＝y．①求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当y＝3时，求P，M两点之间的距离．【分析】（1）连接CO、CM，只需证到CD⊥CM．由于CD⊥OP，只需证到CM∥OP，只需证到CM是△AOP的中位线即可．（2）①易证△ODC∽△CDP，从而得到CD2＝DP•OD，进而得到y与x之间的函数关系式．由于当点P与点A重合时x＝0，当点P与点B重合时x＝4，点P在大半圆O上运动（点P不与A，B两点重合），因此自变量x的取值范围为0＜x＜4．②当y＝3时，得到﹣x2+4x＝3，求出x．根据x的值可求出CD、PD的值，从而求出∠CPD，运用勾股定理等知识就可求出P，M两点之间的距离．【解答】解：（1）连接CO、CM，如图1所示．∵AO是小半圆M的直径，∴∠ACO＝90°即CO⊥AP．∵OA＝OP，∴AC＝PC．∵AM＝OM，。

浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷2

浙教版重点高中自主招生数学模拟试卷2注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）A．21 B．22 C．23 D．242．如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1•k2D．3．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，如果任意安排四位同学的跑步顺序，那么恰好由甲将接力棒交给乙的概率是（）A．B．C．D．4．一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm，里面空心△DEF的各边与△ABC的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm，那么△DEF的周长是（）A．5cm B．6cm C．（）cm D．（）cm5．如图，⊙O沿凸n边形的外侧（圆和边相切）无滑动地滚动一周回到原来的位置，当⊙O和凸n边形的周长相等时，那么⊙O自身转动了（）圈．A．1 B．2 C．3 D．46．已知α为锐角，那么α的正弦值与余弦值的和（）A．比1小B．比1大C．等于1 D．不小于17．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A．B．C．D．8．如图，在梯形ABCD中，∠D=90°，M是AB的中点，若CM=6.5，BC+CD+DA=17，则梯形ABCD的面积为（）A．20 B．30 C．40 D．509．已知函数y=（a﹣2）x﹣3a﹣1，当自变量x的取值范围是3≤x≤5时，y既能达到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞5 C．a＞8 D．任意实数10．在打靶中，某运动员每发子弹都是命中8、9、10环，他打了多于11发子弹，共得100环，那么，他命中10环的次数是（）A．0 B．1 C．2 D．不能确定第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．a 、b 为实数，且满足ab +a +b ﹣8=0，a 2b +ab 2﹣15=0，则（a ﹣b ）2= ．12．已知：定点A （3，2），动点M 在函数y=x 的图象上运动，动点N 在x 轴上运动，则△AMN 的周长的最小值为．13．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=a ，CA=b ，且∠A ﹣∠B=90°．则⊙O 的半径为．14．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为R ．则R 的最小值是．15．如图，E 、F 分别是▱ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2，则阴影部分的面积为．16．如果正数x 、y 、z 可以是一个三角形的三边长，那么称（x ，y ，z ）是三角形数．若（a ，b ，c ）和均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则的取值范围是．评卷人得分三．解答题（共5小题，共46分）17．（8分）已知a ，b ，c 是三角形的三边，求证：．18．（8分）已知25x =2000，80y =2000，求的值． 19．（10分）已知二次函数y=x 2+2（m +1）x ﹣m +1．（1）随着m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．（2）如果直线y=x +1经过二次函数y=x 2+2（m +1）x ﹣m +1图象的顶点P ，求此时m 的值．20．（10分）如图，已知⊙O 是锐角△ABC 的外接圆，BE ，CF 分别是AC ，AB 边上的高，自垂足E，F分别作AB，AC的垂线，垂足为G，H，设EG与FH相交于K．（1）证明：A，K，O三点共线．（2）若AK=OK，求∠A．21．（10分）先阅读下面一段材料，再完成后面的问题：材料：过抛物线y=ax2（a＞0）的对称轴上一点（0，﹣）作对称轴的垂线l，则抛物线上任意一点P到点F（0，）的距离与P到l的距离一定相等，我们将点F与直线l 分别称作这抛物线的焦点和准线，如y=x2的焦点为（0，）．问题：若直线y=kx+b交抛物线y=x2于A、B、AC、BD垂直于抛物线的准线l，垂直足分别为C、D（如图）．①求抛物线y=x2的焦点F的坐标；②求证：直线AB过焦点时，CF⊥DF；③当直线AB过点（﹣1，0），且以线段AB为直径的圆与准线l相切时，求这条直线对应的函数解析式．参考答案与试题解析1．解：∵5个相异自然数的平均数为12∴5个相异自然数的和为60；∵中位数为17，∴这5个数中有2个数比17小，有两个数比17大；又∵求这5个数中的最大一个的可能值的最大值，∴设这5个数中两个最小的数为0和1，而比17大的最小的自然数是18，∴剩下的第5个数是：60﹣0﹣1﹣17﹣18=24，即第5个数是24，∴这5个数为0，1，17，18，24．∴这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是24；故选：D．2．解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣S OBD﹣S OAC，由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．故选：B．3．解：根据题意，画树状图得：∴一共有24种跑步顺序，而恰好由甲将接力棒交给乙的有6种，∴恰好由甲将接力棒交给乙的概率是：=．故选：A．4．解：∵斜边AB=8cm，∠A=30°，∴BC=4cm，AC=4cm，周长是12+4cm，连接BE，过E作EM⊥BC于M，∵点E到边AB，BC的距离均为1，∴∠ABE=∠EBC=∠ABC=30°（在角内部，到角两边距离相等的点在角平分线上），EM=1cm，∴BM=cm．则EF=4﹣1﹣=3﹣cm．∴△ABC∽△DEF，相似比是=，相似三角形周长的比等于相似比，因而=，解得△DEF的周长是6cm．故选：B．5．解：根据运动方式不同，分两种情况考虑：（i）当一个圆沿着线段的一个端点无滑动地滚动到另一个端点，圆自身转动的圈数=（线段的长度÷圆的周长），若不考虑⊙O滚动经过n个顶点的情况，可得⊙O自身恰好转动了一圈；（ii）当⊙O在某边的一端，滚动经过该端点（即顶点）时，⊙O自身转动的角度恰好等于n边形在这个顶点的一个外角，∵凸n边形的外角和为360°∴⊙O滚动经过n个顶点自身又转动一圈，综上，当⊙O和凸n边形的周长相等时，⊙O自身转动了2圈．故选：B．6．解：由题意得，α为锐角，故可得sinα＞0，cosα＞0，又sin2α+cos2α=1，故可得（sinα+cosα）2=2sinαcosα+sin2α+cos2α＞1，故sinα+cosα＞1．故选：B．7．解：余弦定理：a，a，b中最小内角为边b所对，cosx=b，b，a中最小内角为边b所对，cosy=∵x=y，∴=解方程得：=．故选：B．8．解：延长CM、DA交于点E．∵AD∥BC，∴∠MAE=∠B，∠E=∠BCM．又AM=BM，∴△AME≌△BMC．∴ME=MC=6.5，AE=BC．又BC+CD+DA=17，∠D=90°，∴DE+DC=17①，DE2+DC2=CE2=169②．∴DE•CD=[（DE+DC）2﹣DE2﹣DC2]=60．∴梯形ABCD的面积为DE•CD=30．故选：B．9．解：若a﹣2＞0即a＞2时，函数为增函数，由题意可知，x=5时y＞5，即（a﹣2）×5﹣3a﹣1＞5，解得a＞8；当x=3时y＜3，即（a﹣2）×3﹣3a﹣1＜3，此时a无论为何实数不等式恒成立；故a＞8；若a=2，y=﹣7，不合题意；若a﹣2＜0，即a＜2时，此函数为减函数，当x=3时y＞5，即（a﹣2）×3﹣3a﹣1＞5，此不等式不成立．故种情况不存在．故选：C．10．解：设环数为8，9，10的次数分别为x，y，z，∴x+y+z＞11，8x+9y+10z=100，∵若x+y+z≥13，则8x+9y+10z≥8×13＞100，故x+y+z=12．∴该运动员打靶的次数为：12．当x=10时，y=0，z=2，当x=9时，y=2，z=1，当x=8时，y=4，z=0．故他命中10环的次数分别为：0，1，2．故选：D．11．解：∵a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，∴ab+（a+b）=8，ab•（a+b）=15，∴ab、a+b是方程x2﹣8x+15=0，即（x﹣3）（x﹣5）=0的两个根，∴x=3或x=5；①当ab=3，a+b=5时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=25﹣12=13，即（a﹣b）2=13；②当ab=5，a+b=3时，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=9﹣20=﹣11＜0，即（a﹣b）2＜0，不合题意；综上所述，（a﹣b）2=13；故答案是：13．12．解：根据题意画出图形，如图所示：定点A（3，2），关于函数y=x的对称点A′（2，3），A关于x轴的对称点A′′（3，﹣2），A′A′′==．故答案为：13．解：作直径BD，连接AD，CD，则∠DAB=∠DCB=90°，∵∠CAB﹣∠ABC=90°，∠CAB﹣∠CAD=90°，∴∠CAD=∠ABC，∴=，∴CD=AC=b，∵BC=a，∴BD==，∴⊙O的半径为：．故答案为：．14．解：分两种情况：①如果△ABC是锐角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆，连接BO，并延长交△ABC的外接圆O于点E，并连接AE，则∠ACB=∠AEB，∵∠BAE=∠ADC=90°，∴△BAE∽△ADC，∴，即==，又∵BE是⊙O的直径，∴BO=BE=；②如果△ABC是钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆为最长边AB的一半，故R==7.5．故答案为：7.5或．15．解：连接E 、F 两点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等， ∴S △EFC =S △BCF ，∴S △EFQ =S △BCQ ，同理：S △EFD =S △ADF ，∴S △EFP =S △ADP ，∵S △APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2，∴S 四边形EPFQ =30cm 2，故阴影部分的面积为30cm 2．16．解：方法一、∵（a ，b ，c ）为三角形数， ∴a +b ＞c ．∴b ＞c ﹣a ， ∴， ∵为三角形数，∴，∴，两边同时乘以a（a＞0），得，，即，化简得，a2﹣3ac+c2＜0，两边除以c2得，，∴∵a≤b≤c，∴，∴；故答案为：＜≤1．方法二、设，∵（a，b，c）为三角形数，∴a+b＞c，∴b＞c﹣a，∴b＞（1﹣k）c，∴，∵为三角形数，∴，∴，∴，化简得，k2﹣3k+1＜0，解得，∴k≤1，∴，故答案为：．17．解：由“三角形两边之和大于第三边”可知，，是正分数，再利用不等式的性质：，同理．∴．18．解：由已知得=25，=80，两式相乘，得×==25×80=2000，所以=1．19．解：（1）该二次函数图象的顶点P是在某条抛物线上求该抛物线的函数表达式如下：利用配方，得y=（x+m+1）2﹣m2﹣3m，顶点坐标是P（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m）．方法一：分别取m=0，﹣1，1，得到三个顶点坐标是P1（﹣1，0）、P2（0，2）、P3（﹣2，﹣4），过这三个顶点的二次函数的表达式是y=﹣x2+x+2．将顶点坐标P（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m）代入y=﹣x2+x+2的左右两边，左边=﹣m2﹣3m，右边=﹣（﹣m﹣1）2+（﹣m﹣1）+2=﹣m2﹣3m，∴左边=右边．即无论m取何值，顶点P都在抛物线y=﹣x2+x+2上．即所求抛物线的函数表达式是y=﹣x2+x+2．方法二：令﹣m﹣1=x，则m=﹣x﹣1，将其代入﹣m2﹣3m，得﹣（﹣x﹣1）2﹣3（﹣x﹣1）=﹣x2+x+2．即所求抛物线的函数表达式是y=﹣x2+x+2上．（2）如果顶点P（﹣m﹣1，﹣m2﹣3m）在直线y=x+1上，则﹣m2﹣3m=﹣m﹣1+1，即m2=﹣2m，∴m=0或m=﹣2，∴当直线y=x+1经过二次函数y=x2+2（m+1）x﹣m+1图象的顶点P时，m的值是﹣2或0．20．解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于点P，连接BP，设BE、CF交于点L，连接AL并延长交BC于点J，连接EF，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∠BFC=∠BEC=90°，∴B、F、E、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACB，∵∠ACB=∠APB，∴∠AFE=∠APB，∵AP是直径，∴∠ABP=90°，∴∠APB+∠BAP=90°，∴∠AFE+∠BAP=90°，∴AO⊥EF，∵FH⊥AE，EG⊥AF，EG与AF交于点K，∴K为△AEF的垂心，∴A、K、O三点共线；（2）如图2，设BE、CF交于点L，则L为△ABC的垂心，连接AL，则AL⊥BC，连接BO 并延长交⊙O于点M，连接CM、AM，过点O作ON⊥BC于N，∵BM是直径，∴MA⊥AB，∵CF⊥AB，∴CF∥MA，同理AL∥CM，∴四边形ALCM是平行四边形，∴AL=CM，∵ON⊥BC，BO=OM，∴ON=CM=AL，∵AL⊥BC，∴∠LAC+∠ACB=90°，∵∠BAP+∠APB=90，∠APB=∠ACB，∴∠BAP=∠CAL，∵∠AFH+∠BAC=∠ACF+∠BAC=90°，∴AFH=∠ACF，∴△AFK∽△ACL，∴=，①∵∠BON=∠BOC=∠BAC，∴△BON∽△CAF，∴=，∵ON=CM=AL，AO=BO=2AK，∴=，②①、②两式相乘可得：（）2=，∴=，即cos∠BAC=，∴∠BAC=60°．21．①解：F（0，1）②证明：∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC又∵AC∥OF，∴∠ACF=∠CFO，∴CF平分∠AFO，同理DF平分∠BFO；而∠AFO+∠BFO=180°∴∠CFO+∠DFO=（∠AFO+∠BFO）=90°；∴CF⊥DF．③解：设圆心为M，且与l的切点为N，连接MN；∴MN=AB在直角梯形ACDB中，M是AB的中点．∴MN=（AC+BD），而AC=AF，BD=BF．∴MN=（AF+BF）∴AF+BF=AB∴AB过焦点F（0，1）．又AB过点（﹣1，0）∴解得∴AB对应的函数解析式为y=x+1．。