论文_幂级数求和的方法
安阳师范学院本科学生毕业论文----级数求和的若干方法
安阳师范学院本科学生毕业论文级数求和的若干方法作者 XXX系（院） XXX学院专业数学与应用数学年级 2016学号 164942087指导老师 XXX论文成绩日期2020年4月20日诚信承诺书郑重承诺：所呈交的论文是作者个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.与作者一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.作者签名：日期：导师签名：日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文.保密论文在解密后遵守此规定.作者签名：导师签名：日期：关于级数求和的若干方法XXX（安阳师范学院 XXX 学院，河南 安阳 455002）摘 要：在本文中，我总结了一些数学中级数求和的常用方法.在级数求和中我们经常会用到定义法、裂项法、并项法、待定常数法、错位相减法、子序列法、逐项微分法、逐项积分法、方程式法等等常用的方法.本文从级数的性质和应用上出发进而对求和进行详细的讲解和研究.关键词：级数求和；裂项法；逐项积分法；待定常数法 1 绪论 1.1 引言级数是数学分析的基本内容之一，它是表示函数，研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具.它包含常数项级数与函数项级数.常数项级数与数列之间有着一一对应的关系.而在函数项级数中，幂级数是常见的.谈到级数便不能不谈级数求和的问题，凡是收敛的级数都是可求和的，问题就在于我们应该采取什么样的方法来简化级数的求和问题，我们将在本文里系统的介绍数项级数求和的方法和技巧. 1.2 课题的背景和目的关于数项级数的求和，已有许多专家和学者对此产生了浓厚的兴趣，他们对某些具体的科目做出了具体的解法，像定义法、微分方程法、拆项法等等.虽然方法很多，但是都是对一些特殊的数项级数求和，而对一般普通的数项级数的求和方法问题很少学者提及，因此在这方面我们有研究的必要，并且有很大的研究空间.数项级数不仅在自然科学和工程技术中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原因是很多函数能用数项级数表示，同时又能借助于数项级数来研究函数逼近和近视计数的问题.因此数项级数理论在数学分析或者实际应用中是研究函数的一种必要的数学工具，因而数项级数的求和问题非常重要，我们必须掌握它，因此数项级数的求和问题就成为实际应用中亟待解决的课题. 2 级数求和的方法求级数求和的方法有很多，其中我们经常会用到裂项法、并项法、待定常数法、错位相减法、子序列法、逐项微分法、逐项积分法、方程式法等等常用的方法，对不是同一类型的级数求和的方法不一样，有的可以用一种方法求解，有的不可以，因此了解各种方法求级数的和显得尤为重要. 2.1 利用定义求级数的和定义： 给定一个数列{n u }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 ΛΛ++++n u u u 21 （1）称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数的（1）的通项或一般项.数项级数（1）也常写作∑∞=1n n u 或简单写作∑n u .数项级数（1）的前n 项之和，记为,211n nk k n u u u u S +++==∑=Λ称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和.利用定义求级数的和就是求级数部分和数列的极限，由于当∞→n 时，部分和,211n nk k n u u u u S +++==∑=Λ的项数无限增多，因此为了求n S 的极限，必须设法把n S 加以简化直至解出极限，但是如何加以简化n S 并没有一般的方法，下面我们通过例题加以介绍.例1 求ΛΛ+++++++)3121()3121()3121(22n n解：根据级数的前n 和公式得)313131()212121(22n n n S +++++++=ΛΛ=311)311(31211)211(21--+--n n =)311(21)211(n n -+-=)3121(23n n +-因此 ))3121(23(lim lim n n n n n S +-=+∞→+∞→=232.2 利用裂项法求级数的和裂项法：裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.裂项法求和公式： （1）111)1(1+-=+n n n n .（2）)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n .（3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n .利用裂项相消法求级数的和，关键是怎样将级数的通项拆成前后有抵消部分的形式 通常经过变形，有理化分子或分母，三角函数恒等变形等处理可达到裂项相消的目的，以下用具体例子来进行说明. 例2 计算()ΛΛ++⨯++⨯+⨯+⨯11431321211n n . 解 由于()11431321211+⨯++⨯+⨯+⨯=n n S n Λ, 而()11111+-=+n n n n , 所 以11141313121211+-++-+-+-=n n S n Λ,n+-=111.故原级数的和 1111lim =+-==∞→n S S n n . 如果一个级数的通项是一个三角函数式，则可考虑利用三角函数公式，将其化简为两式之差以便运用裂项相消.例3 若321,,b b b 为等差数列，公差为d ,且对一切自然数0,≠i b i ，如果极限Lnbn n =∞→lim 存在，且0≠L ，则级数ΛΛΛ++++++21432321111n n n b b b b b b b b b 必有和数存在，且其和2212Lb b dS =. 证明:因为21432321111+++++=n n n n b b b b b b b b b S Λ ，n b b b Λ21,是公差为d 的等差数列，所以有d b b nd b b n n n 2,211+=+=++从而]11[2121121121221++++++++-=-⋅=n n n n n n n n n n n n b b b b d b b b b b d b b b ]111111[2121143323221+++-++-+-=n n n n n b b b b b b b b b b b b d S Λ =21212121212121]11[21++++++-=-n n n n n n b b b b b b b b d b b b b d =212122212121212121))(21++++++=-++n n n n b b b b d n nd b nd b d b b b b b b nd b nd b d （ =nb n b b b dn b n b n n 21212121++⋅⋅⋅++⋅. 又.,,0,02121L nb L n b n bn b n n n →→→→+∞→++时所以 2212lim L b b d S S n n ==∞→. 例4 在级数ΛΛΛ+++++⋅⋅+⋅⋅)2)(1(143213211n n n 中，11=b ，412,1lim,22212=====∞→L b b d S n b L b n n 所以级数的和. 注：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项，余下的项前后的位置是对称的，前后的正负性是相反的.2.3 利用待定常数法求级数的和命题 如果20>b ，且对一切正整数n 有221-=-n n b b ，则级数ΛΛΛΛ++++-1210100111n b b b b b b b 必有和数存在，且其和24200--=b b S .为了便于证明，我先从命题的条件出发导出两个有用的结论.引理1 如果20>b ，且对一切正整数n 有221-=-n n b b ，则{n b }是严格单调递增数列. 证明：因为20>b 所以20-b ，010>+b 从而0)1)(2(00>+-b b ，即,02020>--b b 亦即,2020b b >-而,2120b b =-，这就证明了01b b >，依此类推，如果21>>-n n b b ，则同样可由01,02>+>-n n b b ，推得n n b b >+1所以，对于一切的ΛΛ2,1,0=n 都有 ΛΛ<<<<<<+1210n n b b b b b 这无异于证明了∞=∞→n n b lim .引理2 如果20>b ，且对一切正整数n 有221-=-n n b b ，则4lim20110-=-∞→b b b b b n n n Λ.证明：因为44)2(21212212+-=-=---n n n n b b b b所以对于一切正整数n 应有)4(421212-=---n n n b b b（2) 今对（1)式右边括号内的式子，重复应用（1)式，立即可以导出⋅=--2224n n b b )4(202022-⋅⋅-b b b n Λ亦即 44202212120--=⋅⋅⋅-b b bb b n n Λ 从而有 44)4(lim lim 2022*********-=--=⋅∞→-∞→b b b b b b b b nn n n n n Λ 所以 4lim20110-=-∞→b b b b b n n n Λ.下面据此证明该命题证明：由引理1可知ΛΛΛ<<<<<n b b b 102，所以对一切正整数n 应有n n b b b 211110<-Λ，而级数121121211=-=∑∞=n n 是收敛的，所以正项级数ΛΛΛΛ++++-110100111n a a a a a a 应当收敛，设其和数为S ,即ΛΛΛΛ+++++=-12102101001111n b b b b b b b b b b S 为了求得S 的数值，特引入待定常数A ，使得S Ab =-20.因为ΛΛΛ+++++=--1210210100011112n b b b b b b b b b b A bΛΛΛ++++=---1210210100011112n b b b b b b b b b b A b 等式两边同乘以0b ，并应用公式2201-=b b ，可得ΛΛΛΛ++++=--121211011112n b b b b b b Ab b 今将以上作法继续下去，并重复使用公式221-=-n n b b ，很容易得到ΛΛΛ++=-+-1110112n n n n n b b b b b Ab b亦即 ΛΛΛΛΛ++=-+--110110110112n n n n n nb b b b b b b b Ab b b b又因为原级数ΛΛΛΛ++++-110100111n b b b b b b 是收敛的，故其余项 )(011110110+∞→→++=+-n b b b b b b b b R n n n n n ΛΛ由此推得A b b b b A b b b b n nn n n n ==--∞→-∞→110110lim ,0)(lim ΛΛ即所以，有引理22422000--=-=b b A b S 得证. 例5 在级数 ΛΛ+⋅⋅+⋅+5272351235151中，因为,,2,2,52122010ΛΛ-=-==b b b b b 所以级数的和22152425524200-=--=--=b b S 例6 在级数ΛΛ+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+25717516421754252中，因为ΛΛ,2,252010-==b b b ，所以级数的和21244252524200=--=--=b b S 2.4 利用错位相减法利用一些常见数列的求和公式，如等差数列、等比数列等求和公式，结合其四则运算性质求出级数的和.当1,1na s q ==；当q q a s q n --=≠1)1(,11，其中1a 为首项，q 为公比.证明：1,1na s q ==易得当， 当1≠q ，① ,1111-+++=n q a q a a s Λ ② ,1211n q a q a aq qs +++=Λ ①-②得.)1(11n q a a s q -=-可以导出一种方法“错位相减”，此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比q ，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.例6 计算ΛΛ+-++++n n 21225232132.解 由于n n n s 21225232132-++++=Λ （3）143221225232121+-++++=n n n s Λ （4）()()43-式得143222222222222121+-++++=n n n s Λ=)212212111(212n n n --++++-Λ=]2122112111[21n n n ----+ 故原级数的和 321111lim =-+==∞→s n n S .点评：如果数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的例7 求()∑∞=+12211n n n 的和解：首先注意，因为()()()()∞→→+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++=∑∑∞==n n k kk k k S k nk n 11111111122122122， 所以 ()1112122=++∑∞=n n n n ，同理可得()1111=+∑∞=n n n .又61212π=∑∞=n n，于是，根据收敛级数可以逐项加减等性质，可知()()()()∑∑∑∞=∞=∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++12121222211121211112n n n n n nn n n n n n n()2312621121222112-=⨯-⨯=+-=∑∑∞=∞=ππn n n n n所以()()()()∑∑∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+12222221221121111211n n n n n n n n n n n n1232--=π332-=π.2.5 利用子序列法求级数的和我们知道，若}{}{122+n n S S 与有相同极限s 则s S n n =∞→lim .因此对于级数∑∞=1n n a ，若通项0→n a (当+∞→n 时)，则部分和的子序列}{2n S 收敛于s ，意味着}{12+n S 也收敛于s ，从而s a n n =∑∞=1.我们把}{2n S 与}{12+n S 称为互补子序列.这个原理可推广到一般：若∑∞=1n n a 的通项0→n a (当+∞→n 时)，}{n S 的子序列s S n pn →∞=1}{（p 是某个正整数），则s a n n =∑∞=1.我们把这种方法称为子序列法.例8 计算 Λ+-++-++-+2716413219116181314121解 此级数的通项趋近于零，所以只求n S 的极限即可⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n n s 313131212121212323ΛΛ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--3113113121121121112n n 21311131211121lim 3=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==∞→s n n s 例9 计算 Λ+⎪⎭⎫⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++3191817121615141131211 解 此级数的通项趋近于零，所以只求n S 的极限，注意公式 n n C nε++=++++ln 131211Λ， 其中C 为Euler 常数，0→n ε（当∞→n 时）.因此，对原级数，3ln ln 3ln 1211313121133→-+-=----++++=n n n n n n n S εεΛΛ故原级数和 3ln =s .注：调和级数ΛΛ+++++n131211 调和级数是发散的.下面我们证明一下调和级数的发散性证明 设调和级数∑∞=11n n的n 项部分和是n S ，即=n S n 131211++++Λ.由于）（Λ,3,2,11)11ln(=<+n nn于是调和级数的前n 项部分和满足=n S n 131211++++Λ)11ln()311ln()211ln()11ln(n++++++++>Λ)134232ln()1ln(34ln 23ln 2ln nn n n +⋅⋅=+++++=ΛΛ）（)1ln(+=n由于时，即当∞→+∞=+≥∞→∞→n n S n n n ,)1ln(lim lim 调和级数的部分和=n S n 131211++++Λ与n ln 是等价无穷大，即调和级数∑∞=11n n发散.所以n S 的极限不存在，调和级数发散.2.6 利用逐项积分法求和幂级数nn n x a ∑∞=0和函数性质：设幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径为)0(>R R ,则和函数)(x s 在区间),(R R -内是可积的，且有逐项积分公式：1101][)(+∞=∞=∞=∑∑⎰⎰∑⎰+===n n n n xnn xn nn xx n a dx x a dx x a dx x s 其中R x <，逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例10 求数项级数∑∞=121n nn 的和. 解 构造幂级数nn n x n ∑∞=121，求得收敛半径2=r ，收敛区间是()2,2-.设它的和函数是()x s ，即()()2,2,211-∈=∑∞=x x n x s n n n .由幂级数可逐项可导，有 ()()2,2,212221221212211-∈-=-⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=='∑∞=-x x x x x x x s n n n Λ. )2,2(-∈x 任意，有()()()xs x s t dt dt t s xx -=--='⎰⎰22ln 0,20即.因为()00=s ，所以()xx s -=22ln .即()2,2,2122ln1-∈=-∑∞=x x n x n n n . 令1=x ，有Λ+⨯=⨯+==∑∞=32123122121212ln n n n 例11 计算()ΛΛ+-++-+-nn 114131211 解 由于()()()1111ln 11<<--=+∑∞=-x x nx n n n而()nn n xn∑∞=--111的收敛半径为1，且在1=x 收敛，令01-→x ，在等式两端取极限，有 ()()()n n x n nn n x x x nxnx ∑∑∞=-→-∞=--→-→-=-=+111110101lim 11lim1ln lim ()nn n 1111⋅-=∑∞=- 即()()2ln 1ln lim 10111=+=--→∞=-∑x nx n n .所以()2ln 114131211=+-++-+-ΛΛnn . 2.7 利用傅里叶级数求级数的和傅里叶级数求和就是将函数展开成正弦级数或余弦级数，然后再求和.例4 求级数()的和121111---∞=∑n n n 解 设)(x f 是周期为4的周期函数，它在[-2,2]上的表达式为：⎩⎨⎧≤≤≤≤-=)201)020)(x x x f （（（5）将)(x f 展开成傅里叶级数，由傅里叶级数展开式知： 2=T ，按公式有 0022sin 12cos 2120===⎰x n n dx x n a n πππ )0(≠n 112102120200=+=⎰⎰dx dx a⎪⎩⎪⎨⎧===-=-==⎰6,4,2,05,3,1,2)cos 1(1022cos 12sin 2120n n n n n x n n dx x n b n ππππππ 将求的系数代入n n b a a ,,0：∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛++=10sin cos 2)(n n n T x n b T x n a a x f ππ得：⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=Λ25sin 5123sin 312sin 221)(x x x x f ππππ 2)12(sin 1212211xn n n ππ--+=∑∞= )6(其中Λ,4,2,0;±±≠+∞<<∞-x x又由)5(式知：式，则代入将且处连续在)6(1,1)1(,1)(===x f x x f+==211)1(f 2)12(sin 12121ππ--∑∞=n n n所以42)12(sin 1211ππ=--∑∞=n n n总结以上方法是在高等数学和初等数学里求级数的和的重要方法.在做求解级数的和的题目时，仅仅掌握以上方法而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不行的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法.这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果.这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门.达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1991.[2]徐利治.数学分析的方法及例题选讲[M].北京：高等教育出版社，1986.[3]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001.[4]陈守义.数学分析选讲[M].北京：科学出版社，2009.[5]李永乐，王式安.数学复习全书：数学三[M].西安：西安交通大学出版社，2012.[6]尤正书，马军，赵国石.高等数学：下[M].武汉：华中师范大学出版社，2009.Several methods about the summationDi Xiaowei(School of Humanities and Economic Management, Anyang Normal University,Anyang,455000)Abstract：In this paper, I summarizes usual methods of some mathematical intermediate numbersummation. We often use crack items in the series summation method, and study method, the method of undetermined constants, dislocation phase subtraction, subsequence, differentiation, item by item, commonly used methods for integral method, the formula method and so on.This article embarks from the series on the properties and applications of and the detailed explanation and study on the sum.Key words：summation of series;splitting method;integral method;method of undetermined coefficients。
求幂级数的和函数步骤
通常求幂级数的收敛半径和收敛区间如果幂级数有n，（n+1）和其他系数，则必须先逐项积分级数，将这些系数约化，然后将它们转换为几何级数，然后计算和。
当然，对于积分，你必须记住在将来计算级数和的导数。
同理，如果幂级数有1/N，1/（N+1）等系数，则必须先逐项导出级数项，这还需要将这些系数减去并转换成几何级数，然后用计算。
只有在将来，我们将对级数的和进行积分。
简言之，如果有导数，它将对应于将来的积分，反之亦然。
因为我们可以用微分和积分作为逆运算，这是为了恢复级数。
幂级数及其函数的计算是幂级数运算的重点和难点，具有一定的技巧。
结合多年的教学实践，介绍了求幂级数和函数的最基本方法。
关键词：幂级数；和函数积分；逐项推导收敛面积。
中图分类号：o173文献号：文献号：1008-6714（2009）02-0005-02受理日期：2008年11月27日河南内黄，讲师，高等数学及其在各专业的应用。
幂级数与函数的基本思想是：通过加、减、乘、逐项求导或逐项积分运算，将幂级数转化为已知幂级数（如几何级数求原幂级数）和函数。
下面的例子说明了求幂级数和函数的最基本方法。
首先需要求和函数的域，即幂级数的收敛区域。
很容易得到幂级数的收敛面积[这是X的公比，散度的几何级数。
注：逐项扣除后，收敛区间终点的收敛性可能发生变化。
终点需要讨论。
注：逐项积分后，收敛区间结束时的收敛性可能会发生变化。
目前，它们是发散的，因此收敛区域与收敛区间相同。
导言：这个问题可以得到一个想法。
这是串联连接。
利用几何级数的求和公式，可以求出原始幂级数的和。
当输入1时，级数是发散的，因此幂级数的收敛区域是（-上一个幂级数。
如果你想使它成为一个与X有关的常数，你可以用项积分法。
设s11如果幂级数发散，则幂级数的收敛区域为（-2n）X2N-2nx2n-。
求幂级数的和函数
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。
求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。
三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。
因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
幂级数求和函数的方法探究
2021年3月第3期总第171期海峡科学Straits ScienceMarch2021No.3,Total171st 幂级数求和函数的方法探究李瑞瑞㊀孙铭娟(信息工程大学基础部,河南㊀郑州㊀450001)[摘要]该文探究幂级数和函数在收敛区间内可逐项求导和逐项求积的分析性质,深入挖掘性质中蕴含的结论,利用和函数分析性质中收敛半径不变的特点, 由因导果 求幂级数的和函数,较之于常规解法 由果索因 ,简化了求解收敛域的步骤,也使求和函数的过程得以简化㊂同时指出两种方法的本质是分析法和综合法,通过两种方法的对比,以期使初学者的学习思路更加清晰㊂[关键词]幂级数㊀和函数㊀逐项求导㊀逐项积分[中图分类号]O173;G642.0[文献标识码]A[文章编号]1673-8683(2021)03-0080-03㊀㊀幂级数是高等数学的重要概念之一,它形式简单,但应用广泛㊂对幂级数,我们研究的问题之一就是求其和函数问题㊂高等数学教学中要处理的是一些简单幂级数求和函数问题,常见求法有两种,一是根据定义,二是利用和函数的分析性质(逐项求导㊁逐项积分)㊂用定义求和函数,即在收敛域内,求出其部分和函数列{s n(x)},则lim nң덟s n(x)=s(x)即为和函数㊂这种方法因为需要求出前n项和s n(x),使得该方法处理的幂级数ð덟n=0a n(x-x0)n结构相对比较单一,一般要求对应的函数列{a n(x-x0)n}具有等比㊁等差或者可以裂项为两项差的形式㊂大多数幂级数求和是用第二种方法 借助和函数的分析性质㊂通过逐项求导,逐项求积,与等比级数或者几个常见函数的级数展开建立联系或者建立和函数相关的微分方程㊂陆宜清[1]和罗东[2]等分别总结了求幂级数和函数的几种常用解法㊂幂级数是在收敛域内才有和函数,所以求和函数问题,一定是和收敛域相对应㊂本文通过挖掘和函数的分析性质,分析其性质中蕴含的结论,发现对某些问题, 由因导果 ,由 已知到未知 ,可以简化求和函数过程㊂1㊀和函数的分析性质性质1[3]:幂级数ð덟n=0a n x n的和函数s(x)在其收敛域I上可积᷼并且有逐项积分公式:ʏx0s(x)d x=ʏx0(ð덟n=0a n x n)d x=ð덟n=0ʏx0a n x n d x=ð덟n=0a n n+1x n+1㊀㊀(xɪI)逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径㊂性质2[3]:幂级数ð덟n=0a n x n的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导᷼并且有逐项求导公式:sᶄ(x)=(ð덟n=0a n x n)ᶄ=ð덟n=0(a n x n)ᶄ=ð덟n=1na n x n-1㊀(x<R)逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径㊂Abel定理[4]:设幂级数ð덟n=0a n x n的收敛半径为R,并在x=R处,级数收敛,则其和函数s(x)在x=R处左连续,即:limxңR-s(x)=ð덟n=0a n R n同样,如果ð덟n=0a n x n在x=-R处收敛,则其和函数在x=-R处右连续,即:limxң-R+s(x)=ð덟n=0a n(-R)n以上性质告诉我们,幂级数的和函数在收敛区间内,可以逐项积分和逐项求导,并且逐项积分与逐项求㊃08㊃2021年第3期海峡科学HAI XIA KEXUE导不改变幂级数的收敛半径㊂在利用该性质求和函数时,我们往往关注性质的前半部分㊂借助分析性质求和函数常见步骤如下图所示:也就是说,要求ð덟n=0a n x n的和函数S(x),第一步,求出其收敛域;第二步,若直接定义法求ð덟n=0a n x n不易处理,则考虑对其逐项求导或逐项积分,得到新级数ð덟n=0 a∗n x n,该级数一般来说易求出和函数S∗(x);第三步,则是第二步的逆过程,对和式S∗(x)积分或求导㊂注意这一过程中,第二步逐项积分或者逐项求导,有时需要进行多次,或者需要结合级数的代数运算进行㊂该过程通过分析法,化未知为已知,条理清晰㊂但是,没有充分挖掘性质中蕴含的结论 逐项积分与逐项求导不改变幂级数的收敛半径(注意:收敛域可能变化)㊂事实上,对于等比级数及简单初等函数的幂级数,收敛域是已知的,本文从已知到未知,简化上述过程㊂2 典型例题例1㊀求幂级数ð덟n=1nx n-1的和函数㊂常规解法:先求收敛域㊂记a n=n,则R=lim nң덟a n a n+1=lim nң덟n n+1=1,故收敛区间为(-1,1)㊂当x=1时,级数ð덟n=1n发散;当x=-1时,级数ð덟n=1n(-1)n-1发散㊂故ð덟n=1nx n-1的收敛域为(-1,1)㊂再求和函数:记S(x)=ð덟n=1nx n-1,xɪ(-1,1),则ʏx0S(t)d t=ʏx0(ð덟n=1nt n-1)d t,xɪ(-1,1),由和函数在收敛区间内逐项可积的性质,得:ʏx0S(t)d t=ð덟n=1ʏx0nt n-1d t=ð덟n=1x n=x1-x两边求导,则S(x)=(x1-x)ᶄ=1(1-x)2,xɪ(-1,1)㊂简化解法:(分析)求解难点在于通项中幂函数前有系数n,而幂函数求导可以产生系数,因此ð덟n=1nx n-1 =ð덟n=1(x n)ᶄ,故考查ð덟n=1x n㊂解:因为ð덟n=1x n=x1-x,x<1,则(ð덟n=1x n)ᶄ= (x1-x)ᶄ=1(1-x)2,x<1㊂由和函数在收敛区间内逐项可导的性质,得ð덟n=1(x n)ᶄ=(ð덟n=1x n)ᶄ,x<1即ð덟n=1nx n-1=(ð덟n=1x n)ᶄ=1(1-x)2,x<1例2㊀求幂级数ð덟n=12n-12n x2(n-1)的和函数㊂常规解法:先求收敛域㊂记u n(x)=2n-12n x2(n-1),则lim nң덟u n+1(x)u n(x)=lim nң덟2(n+1)-12n+1x2n㊃2n(2n-1)x2(n-1)=x22,㊀xʂ0当x22<1,即0<x<2时收敛;当x22>1,即x>2时发散㊂当x22=1,即x=ʃ2,级数ð덟n=12n-12n(ʃ2)2(n-1)=ð덟n=12n-12发散㊂当x=0时,级数显然收敛㊂综上,ð덟n=12n-12n x2(n-1)的收敛域为x<2㊂再求和函数:记S(x)=ð덟n=12n-12n x2(n-1),x<2两边积分,ʏx0S(t)d t=ʏx0ð덟n=12n-12n t2(n-1)d t,㊃18㊃HAI XIA KE XUE 海峡科学2021年第3期x <2㊂再利用和函数的逐项可积性质ʏxS (t )d t =ð덟n =1ʏx02n -12nt 2(n-1)d t =ð덟n =1x 2n-12n=1x ð덟n =1(x 22)n=1xx 221-x 22,x ʂ0因此S (x )=(1xx 221-x 22)ᶄ=2+x 2(2-x 2)2,0<x <2x =0时也成立,因此S (x )=2+x 2(2-x 2)2,x <2㊂简化解法:解:㊀ð덟n =12n -12nx 2(n -1)=ð덟n =112n(x 2n -1)ᶄ=(1x ð덟n =1(x 22)n)ᶄ=(1x x 221-x 22)ᶄ,0<x 22<1即ð덟n =12n -12nx 2(n -1)=2+x 2(2-x 2)2,0<x <2上式x =0时也成立,且x =ʃ2时级数发散,故ð덟n =12n -12n x 2(n -1)=2+x2(2-x 2)2,x <2㊂例3㊀求幂级数ð덟n =0(-1)nx2n +12n +1的和函数㊂简化解法:(分析)求解难点在于通项系数中的分母2n +1, 由果索因 ((-1)nx 2n+12n +1)ᶄ=(-1)n x 2n ,反过来, 由因导果 ,则(-1)nx 2n+12n +1=ʏx(-1)n x 2nd x ,故考查ð덟n =0(-1)n x2n =ð덟n =0(-x 2)n㊂解:因为ð덟n =0(-x 2)n =11+x 2,x <1,则ʏx0ð덟n =0(-x 2)nd x =ʏx011+x2d x =arctan x ,x <1㊂由和函数在收敛域内逐项可积的性质,得:ð덟n =0ʏx0(-x 2)nd x =ʏx0ð덟n =0(-x 2)nd x =arctan x ,x<1即ð덟n =0(-1)nx 2n +12n +1=arctan x ,x <1又因为x =1时,ð덟n =0(-1)n12n +1为莱布尼茨级数收敛,x =-1时,ð덟n =0(-1)n +12n +1也收敛,故由Abel 定理知:ð덟n =0(-1)n 2n +1=arctan1,ð덟n =0(-1)n +12n +1=arctan(-1)故ð덟n =0(-1)nx 2n +12n +1=arctan x ,x ɤ1㊂3 结论通过逐项求导或逐项积分求幂级数的和函数,是求幂级数和函数的一种常用方法,本文利用和函数分析性质中收敛半径不变的特点,由已知到未知,简化求解过程㊂另一方面,常规解法是 由果索因 的过程,是用分析法处理问题,而上述方法则是 由因导果 ,是综合法,两者是可以相互转化的㊂但是教辅中经常是两种解法灵活运用,对初次接触这类问题的学生来说容易产生困惑,本文通过 由果索因 和 由因导果 区分两种方法,以期使学生的解题思路更加清晰㊂参考文献:[1]陆宜清,杨松华.浅谈幂级数的和函数的求法及其应用[J ].南阳师范学院学报,2013,12(12):68-71.[2]罗东.不同函数项级数和函数的求法[J ].宁夏师范学院学报,2019,40(7):9-16.[3]同济大学数学系.高等数学(第七版)(下册)[M ].北京:高等教育出版社,2007.[4]龚昇.简明微积分[M ].4版.北京:高等教育出版社,2005.㊃28㊃。
幂级数和函数的求法
幂级数和函数的求法
幂级数和函数是数学中常见的一类函数，其求法涉及到数学分析、微积分等多个领域。
一般来说，幂级数和函数的求法可以分为以下几个步骤：
1. 确定幂级数的收敛域：幂级数的收敛域是指该函数在哪些点
上收敛，在哪些点上发散。
一般可以使用收敛定理、比值测试、根值测试等方法来确定幂级数的收敛域。
2. 求幂级数的和函数：如果幂级数在某个点上收敛，那么可以
使用求和公式来求出该点处的和函数。
对于一些特殊的幂级数，可以使用换元、分部求和等方法来求解。
3. 讨论和函数的性质：求出幂级数的和函数之后，需要进一步
讨论其在收敛域内的性质，比如连续性、可导性、可积性等等。
总之，幂级数和函数的求法是一个比较复杂的过程，需要灵活运用数学知识和方法，才能得到准确的结果。
- 1 -。
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求幂级数的和函数在数学分析中是一个常见的问题，而求解和函数的方法与技巧也是学习数学的关键之一。
在求幂级数的和函数时，我们需要考虑到级数的收敛性、展开式、导数运算等方面，下面将介绍一些常用的方法与技巧。
一、使用对数或幂级数的性质在求解幂级数的和函数时，可以利用对数或幂级数的性质进行简化。
对幂级数进行对数运算，可以将幂级数转化为常数级数，然后利用级数性质求解。
利用级数的加法性质和乘法性质，可以将不同的级数相加或相乘，进一步简化求解过程。
二、利用级数收敛性判断在求解幂级数的和函数时，首先需要判断级数是否收敛。
常用的收敛判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
根据级数的收敛性，可以确定求幂级数的和函数的适用范围，避免在不收敛的情况下进行求解。
三、展开式与递推关系在求解幂级数的和函数时，可以利用展开式与递推关系简化求解过程。
通过展开级数，可以将级数转化为有限项求和的形式，进而求解和函数。
利用递推关系可以根据前一项的求和结果来求解后一项，从而加快求解速度。
四、使用导数运算五、利用变元替换在求解幂级数的和函数时，可以通过变元替换简化求解过程。
通过对级数的变元进行替换，可以将原级数转化为新的级数形式，从而简化求解过程。
利用变元替换的方法可以将级数转化为更容易求解的形式，提高求解效率。
求幂级数的和函数通常需要结合数学分析的知识和技巧进行求解。
在实际求解过程中，可以根据具体情况选择合适的方法与技巧，避免繁琐的计算过程，提高求解效率。
希望以上介绍的方法与技巧对您有所帮助，帮助您更好地理解和应用求幂级数的和函数的知识。
第二篇示例：求幂级数的和是数学分析中一个重要的问题，具有广泛的应用和理论意义。
通常来说，求幂级数的和需要使用一些方法和技巧来进行求解。
下面我们将介绍一些常用的方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决这个问题。
1. 泰勒级数展开法泰勒级数是一种将一个函数在某点附近用一个多项式来近似表示的方法。
例谈一类幂级数和函数的求法
例谈一类幂级数和函数的求法
本文将对幂级数和函数的求法进行详细介绍。
首先介绍幂级数，它是一种数学和科学里很重要的元素，具有迭代形式的数列，但可以通过多项式方程求得。
它具有一定的总结性规律，根据不同种类的存在要求求出不同结果。
例如，无穷幂级数的求法为：将有限次项与有限次幂的乘积拿掉，剩下的无穷次项相加得答案。
其次，函数的求法也是很重要的一项知识点，它能够根据理论换成数据，从而
更好地描述问题，可以利用不同的函数求法来求解问题，比如可以利用自然对数函数，双曲函数，牛顿法，梯度下降法等等来求出相关结果。
可以利用这些很多求函数法来解决一些复杂的函数形式，从而得出精确的结果。
总而言之，幂级数和函数的求法都包含着丰富的技术和工具，可以用来解决复
杂的问题，得出精确的结果，而且这些知识点在数学，物理，甚至工程信息科学等多个领域都同样有用，能够为各领域同样有贡献。
幂级数求和函数
幂级数求和函数
幂级数求和函数问题的四种常见类型：
一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x)计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法
1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法
1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉
S(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数。
幂级数求和法的归纳总结与推广
幂级数求和法的归纳总结与推广幂级数求和法的归纳总结与推广摘要：本文研究的是如何对幂级数进行求和，主要从数学专业中的三个学科（常微分方程、初等数学、高等代数），分别通过微分方程法、初等数学中的杨辉三角法以及矩阵法对幂级数进行求和。
对那些能用这三种方法进行求和的幂级数进行了一定的归纳和总结，并展开了一定的推广。
通过对这三类方法的典型例题的求解，加深对方法的了解和运用，完善级数求和的知识体系。
关键词：级数求和，微分方程，矩阵，杨辉三角引言级数是高等数学的一个重要组成部分, 其理论是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元263 年创立了“割圆术”, 其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆, 从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已建立了级数的思想方法, 即无限多个数的累加问题。
而今, 级数的理论已发展的相当丰富和完整, 在工程实践中有着广泛的应用, 可用来表示函数、研究函数的性质, 也是其进行数值计算的一种工具。
同时级数也是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数。
在各种有力的解析工具中按其简单.灵活.明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。
这个最重要的解析工具的思想很简单：我们想要研究的函数可以表示为其它的更为简单的。
容易研究的函数的系列（即表示此函数为级数的部分和的极限。
如果这个部分和在整个所研究的区间上完全趋近于所研究的函数，则我们就有理由从整个近似的部分和的性质来估计所研究函数的一些性质——尽管只是近似的研究。
特别地，会对自变量的某个值近似计算这些部分和的值，我们同时也有办法近似计算所研究函数的相应的值。
用什么样的函数作为我们的展开式的元素最方便.最适合呢？即选什么函数作为表示所研究函数级数的项，最便于帮助我们研究函数？对此问题，当然不指望有唯一的答案适用于所有情形。
幂级数求和函数的类型与解法
本文总结了求幂级数和函数的四种方法.一种方法是将待求级数分解成己知和函数的级数的运算(一般是加减)表达形式,然后逐一求和新的级数;第二种方法是"先求导,再积分"或 "先积分,再求导";第三种方法是把待求级数用基本初等函数的幂级数展开式表示出来;第四种方法是列写出和函数满足的微分方程,解此微分方程得到和函数.
3.期刊论文 周正迁 关于求幂级数的和函数 -科技信息2010(15)
在函数项级教中,幂级数占有重要的地位,而求幂级数的和函数又是其中不可或缺的内容.本文通过一些典型的例题介绍了求幂级数和函数的一般方法.
4.期刊论文 张锦来.ZHANG Jin-lai 幂级数∞∑n=1x2n/(2n)k和函数的递推公式及其应用 -延边大学学报（自然科学版）2008,34(2)
7.期刊论文 张雪梅.封功能 求函数极限方法研究 -科技信息2009(27)
求极限是高等数学中最基本的运算之一,由于题型多变,所以方法灵活,技巧性强,本文结合教学实践,讨论了求函数极限的几种常用方法,揭示了极限理论广泛而深刻的内涵.
8.期刊论文 桂曙光.GUI Shu-guang 利用差分法求一类幂级数的和函数 -安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(4)
参考文献(2条) 1.同济大学教学系 高等数学 2007 2.朱来义 微积分 2004
相似文献(10条)
1.期刊论文 解烈军 求幂级数和函数的微分方程方法 -高等数学研究2009,12(3)
按照通常求幂级数和函数的思路,对一些幂级数并不能奏效.在某些情况下,可以引入求幂级数和函数的微分方程方法.其主要思路是通过建立和函数的微分方程,将幂级数求和函 数问题化为微分方程初值问题来求解.
幂级数求和的八个公式
幂级数求和的八个公式
求幂级数求和公式是在数学中求解级数和的一种重要方法。
通过求幂级数求和公式，我们能够准确、快速地求解级数和。
由于幂级数种类繁多，我们将其分为8种类型的求和公式，即：
1.一般级数的求和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an；
2.指数级数的求和公式：Sn=a1+a1.q+a1.q2+…+a1.qn-1；
3.等比数列求和公式：Sn=a1.（1-qn）/（1-q）；
4.等差数列求和公式：Sn=n（a1+an）/2；
5.平方数级数求和公式：Sn=（2a1+（n-1）d）（n/2）；
6.立方数级数求和公式：Sn=（2a1+（n-1）d）（n/2）；
7.求和前n项的二次方成比数列的和的公式：Sn=n（2a1+（n-1）d）/2；
8.求和前n项的立方方成比数列的和的公式：Sn=n2（2a1+（n-1）d）/6；
上述代表着不同的求幂级数求和公式，主要包括了一般级数求和公式、指数级数求和公式、等比数列求和公式、等比数列求和公式、等差数列求和公式，以及各种反比数列级数求和公式，这些公式都有自身的特定使用场合，当然，为了使自身学习成果前台更灵活，我们还需要本质上对各种求和公式有深入的了解。
浅谈幂级数的和函数的求法
S ( x) =x −
x 2 n −1 x3 x5 x7 x − + − + = 2n − 1 3 5 7 n =1 该 级 数 的 收 敛 区 间 是［-1,1］。 设 ，根据此式的特点，对等式两边同 x3 x5 x7
∑ (−1)
5 − 7
∞
n
3
+
+
时求导后，得 S ′( x) = 1 − x 2 + x 4 − x 6 + ，等式右边是一
n =1 ∞
∫
x
0
1− x x2 S ( x)dx = ， 等 式 两 边 同 时 求 导 数 1 − x2
1 − 1) x 2 n 的和函数。 2n + 1
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科技经济导刊
2016.27 期
产学研理论与实践
该 幂 级 数 的 收 敛 区 间 是 (-1,1)。 =
∑ 2n + 1 x
n =1
林展开式可以得到
1 x 2 n ，设 ∑ = f ( x) n =1 2n + 1
产学研理论与实践
科技经济导刊
2016.27 期
浅谈幂级数的和函数的求法
褚青涛 孙水玲
（广州工商学院 广东 广州 510000）
摘 要：幂级数是函数项级数中十分重要的一类，幂级数的和函数的求法又是其中一大难点和重点。本 文主要给出了几种常用的求幂级数和函数的方法，意在对广大数学教育工作者在教学上有所帮助。 关键词：幂级数 ; 和函数 ; 收敛 文献标识码：C 文章编号：2096-1995(2016)27-0096-02 中图分类号：O1-645
在微积分课程中，级数是重要的组成部分，幂级数 更是重中之重。相对于求幂级数的收敛半径和收敛区间 而言，如何求幂级数在收敛区间内的和函数，对大多数 学生来说是一个难点。要想求和函数，首先要弄明白和 函数的概念。幂级数
幂级数收敛与求和
幂级数收敛与求和在数学分析领域中，幂级数是一种重要的数学工具。
幂级数可以表示为以下形式：\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \]其中，\( a_n \) 是系数序列，而 \( x \) 是变量。
在本文中，我们将详细探讨幂级数的收敛性与求和方法。
一、幂级数的收敛性幂级数的收敛性是指当 \( x \) 取某个特定值时，级数是否收敛。
有三种常见的方法用于判断幂级数的收敛性，分别是比值判别法、根值判别法和收敛半径法。
1. 比值判别法比值判别法使用序列极限的概念来判断幂级数的收敛性。
具体步骤如下：(1) 计算 \( \lim_{n \to \infty} \lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \rvert \) 的值，若该极限存在，则记为 \( L \)。
(2) 若 \( L < 1 \)，则级数绝对收敛。
(3) 若 \( L > 1 \)，则级数发散。
(4) 当 \( L = 1 \) 时，比值判别法无法确定级数的收敛性。
2. 根值判别法根值判别法同样使用序列极限的概念来判断幂级数的收敛性。
具体步骤如下：(1) 计算 \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \) 的值，若该极限存在，则记为 \( L \)。
(2) 若 \( L < 1 \)，则级数绝对收敛。
(3) 若 \( L > 1 \)，则级数发散。
(4) 当 \( L = 1 \) 时，根值判别法无法确定级数的收敛性。
3. 收敛半径法收敛半径法是一种更为常用的判别法。
它给出了一个幂级数的收敛半径，即级数在哪个范围内是绝对收敛的。
收敛半径 \( R \) 可以通过以下公式计算：\[ R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \]其中，若极限值为 0，则 \( R = +\infty \)；若极限值为正无穷，则\( R = 0 \)。
幂级数的收敛半径与求和方法
幂级数的收敛半径与求和方法幂级数是数学中的重要概念，描述了一系列项按照幂次递增的级数。
幂级数的收敛性及其求和方法是幂级数理论的核心内容。
本文将介绍幂级数的收敛半径以及几种常见的求和方法。
一、收敛半径幂级数的收敛性与其收敛半径相关。
收敛半径定义如下：设给定幂级数为\[ \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n \]其中，\(c_n\) 为常数系数，\(x\) 为待定变量。
则该幂级数的收敛半径 \(R\) 定义为：\[ R = \frac{1}{{\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}}} \]对于\(\limsup\) 的概念不再赘述，它表示序列的上极限。
当幂级数的收敛半径 \(R\) 存在有限值时，该幂级数在以原点为中心、收敛半径为 \(R\) 的圆内收敛；在圆外则发散；当 \(R = 0\) 时，幂级数只在 \(x =0\) 处收敛；当 \(R = +\infty\) 时，幂级数在整个实数轴上都收敛。
因此，收敛半径是判断幂级数收敛性的关键指标。
二、求和方法在已知幂级数的收敛半径后，可以通过不同的求和方法计算幂级数的和。
下面介绍几种常见的求和方法。
1. 直接求和法如果幂级数的每一项都是明确的数学表达式，可以直接将幂级数的所有项相加得到和。
但是，这种方法只适用于部分特殊的级数，因为大多数幂级数的项并没有明确的表达式，因此需要其他方法计算。
2. 函数展开法幂级数可以看作函数的展开形式，因此可以利用函数的性质来求和。
例如，通过代数运算、逐项积分或逐项求导等方法，将幂级数转化为已知函数的形式，然后计算函数在给定点的函数值。
3. 微分方程法有些幂级数满足特定的微分方程，通过求解微分方程可以得到幂级数的和。
这种方法通常适用于由实际问题建立的幂级数。
4. 解析延拓法解析延拓法是一种通过分析幂级数的特殊性质来计算和的方法。
通过对幂级数进行换元或变形，将其转化为已知级数或函数的形式，从而求得和。
幂级数求和问题
当 时，级数可能绝对收敛,可能条件收敛，也可能发散.
二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R :
再讨论
• 非标准形式幂级数
通过换元转化为标准形式
直接用比值法或根值法
处的敛散性 .
注:
求幂级数的收敛域,应先求出收敛半径和收敛区间,再考虑区间端点的敛散性,而区间端点的敛散性可转化为数项级数敛散性的判别.
３. 利用幂级数的性质,可以求一些幂级数的和函数.
注:
• 求部分和式极限
三、幂级数和函数的求法
求和
• 映射变换法
逐项求导或求积分
对和函数求积或求导
难
直接求和: 直接变换,
间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
求部分和等
• 初等变换法: 分解、套用公式
（在收敛区间内）
• 数项级数 求和
将所给函数展开成 幂级数.
2. 间接展开法
(2) 展成 的幂级数,也就是在点 处展开.
将g (t) 展成t的幂级数,
然后将展开式中的t再换成
例8.
解:
定理2.
若 f (x) 能展成 x 的幂级数,
唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
设 f (x) 所展成的幂级数为
即是此种情形.
的情形, 即
称
收敛
发散
定理 1. ( Abel定理 )
若幂级数
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当
的一切 x , 该幂级数也发散 .
时该幂级数发散 ,
则对满足不等式
发 散
发 散
收 敛
幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
求幂级数的和函数步骤
一、函数项级数的基本概念与收敛域的求解方法1、函数项级数相关的基本概念设函数u n(x)在集合D⊂R上有定义，称为D上的函数序列(或函数列). 称为定义在集合D上的函数项级数.如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得则称函数序列{ u n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u n(x)}收敛域.如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.若用S n(x)表示函数项级数前n项的和，即则称S n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称为收敛域上的余项函数，并且有如果对于任一点x∈I⊂D，级数发散，则为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.2、函数项级数收敛域求解思路与步骤因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就发散区间+发散的端点=发散域 .二、幂级数的基本概念与收敛域的求解方法1、幂级数相关的基本概念幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为特别令，则有其中a0,a1,…,a k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x0=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式. 对于该级数也称为麦克劳林级数.2、求一般幂级数收敛域的基本步骤幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤.一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域3、阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．4、求标准幂级数收敛域的一般步骤标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后形式的级数，对于这样的级数由如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：(1) 收敛半径：(2) 收敛区间即为(-R,R).(3) 判断端点x=±R的收敛性，收敛区间+收敛的端点=收敛域，发散区间+发散的端点=发散域 .【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.三、幂级数的运算性质1、幂级数的加减运算性质2、幂级数逐项可导，逐项可积性质（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．3、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域四、求幂级数和函数的基本步骤第一步：求收敛域.【注1】这一步也可以放在第二步后.第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。
级数求和的若干种方法
本科生毕业论文( 2013 届 )题目：级数求和的若干种方法学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学学生姓名：学号：指导教师：职称（学位）：副教授合作导师：职称（学位）：完成时间：2013 年 5 月 20 日成绩：学位论文原创性声明兹呈交的学位论文，是本人在指导老师指导下独立完成的研究成果。
本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明。
本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。
声明人（签名）：年月日目录中文摘要 (1)外文摘要 (2)1.引言 (3)2．关于级数问题的介绍 (3)2.1常数项级数的概念及基本性质 (3)2.2收敛判别法 (4)2.2.1 利用收敛定义判别 (4)2.2.2 特殊级数收敛判别 (4)2.2.3 利用绝对收敛定理判别 (5)2.3幂级数的收敛域 (5)2.3.1幂级数及其相关概念 (5)2.3.2幂级数的收敛半径及收敛域的求法 (6)2.4幂级数的性质 (6)3.级数求和的方法 (6)3.1利用级数定义求和的几种方法 (7)3.1.1利用等差数列求和公式求级数和 (7)3.1.2利用等比数列求和公式求级数和 (7)3.1.3 利用错位相减法求级数和 (8)3.1.4利用裂项相消法求级数和 (9)3.1.5利用待定系数法求级数和 (10)3.2 幂级数求和的几种方法 (11)3.2.1利用幂级数的性质求级数和 (11)3.2.2利用微分方程的转化求级数和 (13)3.3利用幂级数求和的几种方法 (14)3.3.1构造级数再利用一致收敛级数的性质求级数和 (14)3.3.2利用傅里叶级数求级数和 (14)3.4 利用概率方法求级数和 (16)4．结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)级数求和的若干方法数学与统计学院数学与应用数学张欣欣（20905011054）指导老师：谢歆（副教授）摘要: 本文通过介绍级数的相关概念，从常数项级数和函数项级数两个方面讨论了级数求和的几种常用方法.关键词：常数项级数；函数项级数；收敛；求和The Methods for Summing SeriesSchool of Mathematics and Statistics Mathematics and Applied MathematicsZhang Xinxin（20905011054）Director: Xie XinAbstract: This paper discusses some common methods of series summation from the infinite series and function series by introducing the concept of introducing the series.Key words: infinite series；function series；convergence；sum1 引言级数是高等数学的一个重要部分，它在研究函数的性质﹑函数的表达﹑求函数值以及求解微分方程等方面都起到了重要作用，用它也可以表示出了很多初等函数.而级数求和问题又都包含在这些问题之中，所以级数求和这一部分算是一个非常重要的内容.级数又因通项不同可分为常数项级数与函数项级数.所以，本文主要涉及两个方面的内容.一：用定义法对常数项级数求和的几种常用方法，二：对于函数项级数本文主要考虑特殊的幂级数，通过利用幂级数的有关知识来以及幂级数的求和方法来求一些特殊类型级数的和.此外联系到我们接触过的概率论课程，针对于一些特殊的级数求和问题，我们也可以从概率学角度去解决它. 2 关于极数问题的几点介绍2.1 常数项级数的概念及基本性质定义2.1.1无穷多个数⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,321n a a a a ，记作为⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n a a a 21的表达式，称为数项级数或无穷级数（常简称级数）.其中n a 也就是第n 项被称作为数项级数的通项.并且我们常常记a a a a S n nk k n +⋅⋅⋅++=∑==211为它的部分和数列{}n S ，若lim n n S S →∞=极限存在，那么就称级数收敛，和是S ，假如极限不存在，那么称级数发散【1】.根据上述理解及常数项级数的相关概念我们可以得到它的一些最基本的性质【2】.（1）假设C 为非零常数，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n cu 同敛散；而且当∑∞=1n n u 收敛时，有∑=∑∞=∞=11n n n n u C u C .（2）如果级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同时收敛，则()∑±∞=1n v u n n 收敛，且其和为()∑±∞=1n v u n n =∑∞=1n n u +∑∞=1n n v .（3）级数∑∞=1n n u 收敛的必要而非充分条件是0lim =∞→u n n .其中，我们应该注意性质（3）.我们不能从这条性质判断一个级数是否收敛，但是如果一个级数不满足这个性质，则可以判断该级数是发散的.2.2 收敛判别法从定义 2.1.1中我们不难看出，只有收敛时的无穷级数才存在和，如果是级数发散就没有和.因此对于无穷级数的求和问题，我们应该首先判断这个级数是否收敛，因此我们还需要了解关于级数收敛的判别方法.2.2.1 利用收敛定义判别定义2.2.1 假定级数∑u n 的部分和数列{}n S 收敛于S (即lim n n S S →∞=)，则称级数∑u n 收敛，称S 为级数∑u n 的和，记作∑=u S n .同理若{}n S 为发散数列，则称级数∑u n 发散.2.2.2 特殊级数收敛判别针对一些比较特殊的级数，如果单纯的只是用定义2.2.1来判断，可能会比较困难.所以对于像等比级数、p 级数以及交错级数，我们可以采用以下的判别方法来方便计算.（1）对于等比级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n aq aq aq a 2，则 ①若1q ≥时，则级数发散； ②若1<q 时，则级数收敛，其和为1a q - . （2）对于p 级数∑p n 1，①当1p ≤时发散；②当1>p 时收敛.（3）我们可以运用莱布尼茨判别法对交错级数的收敛发散性质进行判断. 当0n a ≥时，若级数∑-+a n n 1)1(收敛，则交错级数∑-+a n n 1)1(必定满足以下两个条件：①数列{}n a 单调递减，②lim 0n n a →∞=.2.2.3 利用绝对收敛定理判别定理2.2.2 若级数∑n a 收敛，则级数∑n a 一定收敛，此时称∑n a 绝对收敛；若级数∑n a 发散，但是∑n a 收敛，此时称∑n a 条件收敛.在利用绝对收敛定理判断一个级数是否收敛或发散时，我们要特别注意，对于∑n a ，只要可以判断出∑n a 收敛，则立即得到∑n a 一定收敛.即绝对收敛的级数一定收敛.所以我们可以把判断一些级数收敛的问题转化为判断正项级数收敛的问题，从而方便最终计算.2.3 幂级数的收敛域2.3.1 幂级数及其相关概念定义 2.3.1 通常被称为幂级数的级数是幂级数列(){}0n n a x x -所产生的函数项级数⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑+-+=-∞=n n n n n x x a x x a a x x a )()()(000100.这里我们着重讨论00x =，即⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑+++=∞=n n n n n x a x a x a a x a 02210的情形.我们都知道，幂级数是一种特殊的函数项级数，而求函数项级数的和，要先确定其收敛域，因为只有在收敛域上才能求和.首先，我们要知道什么是收敛点和发散点.若存在00≠x 使常数项级数n n n x a ∑∞=0收敛，那么我们称幂级数n n n x a ∑∞=0在x 0处收敛，且此点为收敛点，反之称为发散点.若幂级数n n n x a ∑∞=0既存在非零的发散点，又存在收敛点，那么必定存在正数R)0(+∞<<R ，使得当∈x （-R ，R ）时，该级数绝对收敛；而级数在),(),(+∞⋃--∞∈R R x 时发散，则称R 为幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径，其收敛区间.为（-R ，R ）.（1）规定其收敛半径R=0的情况，幂级数n n n x a ∑∞=0只在0=x 点处收敛.例如：n n x n !0∑∞=.（2）规定其收敛半径+∞=R ，如果幂级数n n n x a ∑∞=0满足在整个数轴上收敛.例如：∑∞=0!n nn x .（3）设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径R 是正数，则称其收敛半径（-R ，R ）与使幂级数收敛的端点R x -=或R x =一起构成的集合为该幂级数的收敛域D.在这里我们需要注意的是，若幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径R=0，则其收敛域由一个点0=x 构成；若幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径+∞=R ，则其收敛区间和收敛域同为),(+∞-∞.2.3.2 幂级数的收敛半径及收敛域的求法 若1lim n n n a a ρ+→∞=存在，并且设幂级数n n n x a ∑∞=0的收敛半径为R ，则: ①当+∞<<ρ0时，幂级数的收敛半径为1R ρ=，此时收敛域为()R R -，；②当0ρ=时，幂级数的收敛半径为R =+∞，此时收敛域为0；③当ρ=+∞时，幂级数的收敛半径为0R =，此时收敛域为()-∞+∞，.2.4 幂级数的性质每个幂级数在各自的收敛域上有许多性质，其中最常见得就是逐项微分、逐项积分、连续性.3 级数求和的方法3.1 利用级数定义求和的几种方法3.1.1 利用等差数列求和公式求级数和等差级数是一种简单的级数类型，它通过比较相邻两项的差，然后运用公式来求和.11((1)22n n a a n n s na d +-=+=），其中1a 为首项，d 为公差. 证明：n a a a s +⋅⋅⋅++=21 (1)12a a a s n ++⋅⋅⋅+= (2)(1)+(2)得：)()()(21121a a a a a a s n n n ++⋅⋅⋅++++=-，因为等差级数11a a a a n n +=⋅⋅⋅=+，所以1(2n n a a s +=）. 例1． 求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 321的和【3】.解：由等差数列求和的公式，可知前n 项和()1=2n n n S +. (1)lim lim 2n n n n n S →∞→∞+=→∞. 所以该级数发散. 3.1.2 利用等比数列求和公式求级数和[4] 通过比较相邻项从而得到公比，然后运用公式再来求和，所以说等比级数也是一种简单的级数类型.当q =1，1s na =；当q ≠1，1(1)1n a q s q-=-，其中1a 为首项，q 为公比. 证明：当q =1，易得1s na =.当q ≠1，11111-+⋅⋅⋅++=n q a q a a s (1)n q a q a q a qs 1211+⋅⋅⋅++= (2)(1)-(2)得：11(1)n q s a a q -=-， 所以1(1)1n n a q S q-=-. 例2． 求∑+n n 3)1(1.解：只考虑∑n31时，它是等比级数，而1110+=⎰n dx x n ， 所以⎰∑=∑+10313)1(1dx x n nnn .则dx x dx x S nt n n t n n n ⎰∑=⎰∑===101101)3(31=dx x x x t⎰--1031])3(1[3 =dx x xdx x x t ⎰--⎰-+1011031)3(313.又因为13ln 331310-=⎰-dx x x ，t t t dx dx x x )31(31)31(31)3(0101101<⎰<⎰-<++，而0)31(lim =∞→t t ， 故031)3(lim 101=⎰-+∞→dx xx t t . 所以13ln 3lim 3)1(1-==∑+∞→n t nS n . 3.1.3 利用错位相减法求级数和等比与等差级数混合的题目使用这种方法比较简便.设{}n u 为等差数列， 公差为d ，{}n v 为等比数列， 公比为q ，先乘上等比级数的公比，然后通过四则运算与原级数进行比较，把原题目转化为等比或等差级数求和.证明：设原级数的部分和为112233n n S u v u v u v u v n =+++⋅⋅⋅+ (1) 两边同乘以公比q ，得：112233n n n qS u v q u v q u v q u v =+++⋅⋅⋅+，即：12233411n n n n n qS u v u v u v u v u v -+=+++⋅⋅⋅++ (2)(1)式减去(2)式得：11231(1)()n n n n q S u v d v v v u v +-=+++⋅⋅⋅+-，因此,112311lim lim[]1()n n n n n n S S qu v d v v v u v +→∞→∞+++⋅⋅⋅+-==-.例3. 求∑-12n n 【5】解：前n 项和12223221-+⋅⋅⋅+++=n n nS (1) n n n nn S 22123222121132+-+⋅⋅⋅+++=- (2)(2)- (1)得：n n n n n nS S S 22121211212112-+⋅⋅⋅+++==-- ，所以114(1)22n n n nS -=--.因为lim 4n n S →∞=，所以∑-12n n =4 .例4. 计算∑-n n 212. 解： 前n 项和n n n S 21225232132-+⋅⋅⋅+++=(1) 12212252312--+⋅⋅⋅+++=n n n S (2)(2)- (1)得：n n k k n k k nk k n n n n k k S S S 212221212212121121--+=---+==-∑∑∑===-=111121121213122212n n n n n n -----+-=---. 因为3lim =∞→n n S ，所以∑-n n 212=3 . 3.1.4 利用裂项相消法求级数和如果收敛级数∑n a 的通项n a 可以分解成1n n n a b b +=-，那么它的部分和)()()()()(112312111n n n n n i ni i i i n b b b b b b b b b b a S -=-+⋅⋅⋅+-+-=∑∑-==-+==+，如果1lim n n b b +→∞=，则有1lim =n n S b b →∞-，因此1b b a n -=∑.例5. 求∑+)2(1n n .解：因为1111()(2)22n n n n =-++，所以∑+-=∑+)211(21)2(1n n n n .)]211()4121()311[(21)211(211+-+⋅⋅⋅+-+-∑=+-==n n i i S n i n=)211123(21+-+-n n . 又因为3lim 4n n S →∞=，所以43lim )2(1==∑+∞→n n S n n . 例6． 求和∑+++∞=1)1()1(1n n n n n .解：将通项公式的分母有理化， 可得：111)1(1)1()1(1+-=+-+=+++n n n n n n n n n n ，故， 有：(1n S =++⋅⋅⋅++ 1=-.因此 ，1)111(lim lim )1()1(11=+-==∑+++∞→∞→∞=n S n n n n n n n n .3.1.5 利用待定系数法求级数和在求一些级数的部分合时，可以综合使用待定系数法和拆项相消法.先把级数的通项拆为两项之差或两项以上的和，然后对级数的部分和求极限，就可以得到原级数和【6】.例7．求级数∑22arctan k的和. 解：令B arctan A arctan k 21arctan2-=（A ，B 是待定系数）， 所以AB 1BA arctan k21arctan 2+-=.继而可得方程组：⎩⎨⎧∈=+=-)R m (m k 2AB 1mB A 2.当m=2时，解得：⎩⎨⎧-=+=1k 2B 1k 2A ，所以)1k 2arctan()1k 2arctan(k 21arctan2--+=. 因此，可以得到级数的前n 项部分和数列为：()[]∑--+=∑=)1k 2arctan(1k 2arctan k21arctanS 2n 4)1n 2arctan(1arctan )1n 2arctan(π-+=-+=.所以442]4)1n 2[arctan(lim S lim S n n n π=π-π=π-+==∞→∞→ .3.2 幂级数求和的几种方法3.2.1 利用幂级数的性质求级数和根据幂级数的相关性质我们可以知道，若一个幂级数可以通过一次或多次的逐项积分或逐项微分转化成等比级数，对于这类情况通常的做法是可以先求该等比级数的和，再对等比级数的进行求和，再做有必要的一次或多次的微分或积分，那么幂级数的和()S x 就可以求出来了.例8.要有相应的说明求下面级数的和：（1）求11111(1)3521n n --+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-的和.（2）∑+∞=+01414n n n x ，)11(<<-x [9].解：（1）可令35121111(1)3521n n x x x x x n --=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-S()， 由上式逐项求导有：2412321'()1(1)1n n S x x x x x --=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅=+.故，⎰⎰=+='=x xx dx xdx x S x S 002arctan 1)()(. 又知级数12111(1)21n n n x n -∞-=-∑-在1x =处收敛， 故，(1)arctan14S π==.因此，11111(1)35214n n π--+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅=-. （2）因为∑+∞=+01414n n n x 的收敛区间为()11-，， 所以4040141114x x n x n nn n -=∑='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑+∞=∞=+，)11(<<-x . 故⎰+-+=-=∑+∞=+x n n x x x dt tn x 04014arctan 2111ln 411114，)11(<<-x . 例9.求下列级数的和：（1）234234(1)x x x x x ++++⋅⋅⋅<； （2）∑+∞=-11)2(n n x n n [7].解：（1）可令234()234F x x x x x =++++⋅⋅⋅， 已知它的收敛域为(1,1)-. 又因在该收敛域内原函数可以逐项积分，故有：⋅⋅⋅+++=⎰4320433221)(x x x dtt F x⋅⋅⋅+-+-+-=432)411()311()211(x x x)413121()(432432⋅⋅⋅++++-⋅⋅⋅++++=x x x x x x x x)1ln(1x xx -+-=. 其中1x <， 故：21'()[ln(1)],11(1)n n x xF x nx x x x x ∞===+-=<∑-- )11(<<-x .（2）因为11)2(-∞=∑+n n x n n 的收敛区间为()11-，，故：⋅⋅⋅+++432433221x x x ∑∑∑=+=+∑⎰=+⎰∑=+--n n n xn x n x x n x n dt t n n dt tn n )1()2()2()2(0101，且)11(<<-x ， 又因为∑-=∑⎰=+⎰∑=++xx xdt t ndtt nn x n x n1)1()1(2100，)11(<<-x ， 所以2221)1(21)1(x x x x x x n nn --='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+∞=. x xx x x dtt n n x n -+--⎰∑=+-1)1(2)2(2201. 所以32211)1(31)1(2)2(x xx x x x x x n n n n --='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=∑+-∞=，)11(<<-x .如果要用这种方法求其他级数的和，我们只需要把它构造成幂级数的形式再进计算.3.2.2利用微分方程的转化求级数和对于有些级数的求和，我们先写出()S x 的表达式，然后分析()S x 的导函数与()S x 之间的关系，如果刚好满足某个微分方程及其定解条件，那么通过求解微分方程即可求出该级数的和.但是该方法需要具备较好的微分方程的知识和解方程的能力【8】.例10． 求∑+∞=+012)!12(n n n x .解：通过计算可知原级数的收敛区间是()-∞+∞，.令⋅⋅⋅+++=∑+=∞=+!5!3)!12()(53012x x x n x x S n n .两边求导则⋅⋅⋅+++=∑='∞=!4!21)!2()(4202x x n x x S n n ，所以x e x x x x S x S =⋅⋅⋅++++='+!3!21)()(32.即可得()()x S x S x '+=e 是一阶线性微分方程.通解：()12x x S x e ce -=+，又因为()00S =，所以12c =-.所以)(21)!12(012x x n n e e n x -∞=+-=∑+.3.3 利用幂级数求和的几种方法3.3.1 构造级数再利用一致收敛级数的性质求级数和构造一个适当的幂级数求其和，然后将x 定义为某个具体数a ，则()lim x aS S x →=.若级数一致收敛，那么可以根据一致收敛级数的可逐项求导或逐项求积的相应的性质进行求和，接着对构造级数的和来求积分或微分，那么就可得到原级数的和【9】.例11． 求131)1(1-∑--n n . 解：利用相关的判别法可判断出131)1(1-∑--n n 是收敛的. 设其和为⋅⋅⋅+-+-=111815121S ，构造131131)1()(---∑-=n n x n x S 可求得收敛区间为(]11-，.再通过阿贝尔第二定理可知()1lim x S S x -→=但()00S =, 所以⎰'=-=xdt t S S x S x S 0)()0()()(，)11(<<-x .利用逐项微分得32311)1()(xxx x S n n +=∑-='--， ⎰+=xdt ttx S 031)( =31arctan31)21(32arctan 31)1ln(61)1ln(312+-++-++-x x x x ， 所以()11lim ln 23x S S x -→==-. 3.3.2 利用傅里叶级数求级数和如果三角级数∑++∞=10)sin cos (2n n n nx b nx a a 于[]ππ-，上一致收敛于()f x ，则任取[]x ππ∈-，， 均∑++=∞=10)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f 成立，并且此时有nxdx x f a n cos )(1⎰π=ππ- ),2,1,0(⋅⋅⋅=n ，nxdx x f b nsin )(1⎰π=ππ- ),2,1(⋅⋅⋅=n ，我们就称n a ，n b 是函数()f x 的傅里叶系数，称三角级数∑++∞=10)sin cos (2n n n nx b nx a a 是函数()f x 的傅里叶级数，它的和函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧π±=-π++π-π<<π-=x f f x x f x S ,2)0()0(,)()( 【10】. 例12． 求∑--21)1(nn . 解：先表示出()2f x x =的傅里叶级数的相关项，220321π=⎰π=ππ-dx x a ， ⎰-=π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π=⎰π=ππ-ππ-ππ-2224)1(sin 21sin 1cos 1n dx n nx x n nx x nxdx x a n n),2,1(⋅⋅⋅=n ，0sin 12=⎰π=ππ-nxdx x b n ),2,1(⋅⋅⋅=n ， 所以∑-+π=nx nx ncos )1(431222()x ππ-≤≤.因为()f x 在0x =处连续，即()00f =，所以∑-∑-π=-+π=-21222)1(431)1(4310n n n n .所以12)1(221π=∑--nn . 利用傅里叶级数求级数和必须先构造一个函数()f x ，且()f x 的傅里叶级数中含有与通项n u 相似的部分.3.4 利用概率方法求级数和除了以上的一些常用方法外，对于一些特殊的级数求和问题，我们还可以从概率的角度去思考，利用概率方法求得级数和.例14．求级数⋅⋅⋅+++32313131的和.解：设桶中装有n 个黑色玻璃球，m 个白色玻璃球，c 个绿色玻璃球.有放回 的从中一个个取球，求取出的黑色玻璃球比白色玻璃球早的概率. 设A 为取出的黑色玻璃球比白色玻璃球早；B 为取出的白色玻璃球比黑色玻璃球早；0A 第一次就取到黑色玻璃球； 0B 第一次就取到黑色玻璃球；i A 第一次到第i 次都取到绿色玻璃球，但第i+1次取到黑色玻璃球； i B 第一次到第i 次都取到绿色玻璃球，但第i+1次取到白色玻璃球.那么有⋅⋅⋅⋃⋃⋃=210A A A A ，且0A ，1A ，⋅⋅⋅2A 两两互斥，⋅⋅⋅⋃⋃⋃=210B B B B ，且0B ，1B ，⋅⋅⋅2B 两两互斥，故⋅⋅⋅+++=)()()()(310A A A A P P P P⋅⋅⋅+++++++++=322)()(c n m nc l n m cn c n m n ， ⋅⋅⋅+++=)()()()(310B B B B P P P P⋅⋅⋅+++++++++=322)()(c n m m c l n m cm c n m m ， 因此有)()(A B P n m P =，又因1)()(=+B A P P ，故nm n P A +=)(. 故若1===c n m 时，那么就容易得到⋅⋅⋅+++32313131=21.4 结束语以上我们介绍了高等数学中关于级数求和的一些常用方法，同时也补充了一些特殊的级数求和的方法.而在这些级数求和的不同方法中我们应该注意的是，如果是求无穷级数的和，首先我们要判断该级数的收敛发散的性质.因为只有在级数收敛时才能求它的和.而函数项级数也是在求收敛域时才有和.以上介绍的都是一些级数求和的基本方法，当然求级数和的方法还有很多.这就要求我们要在学习中善于发现和及时总结，并且结合级数在一些领域的应用和其他学科的知识总结出新的方法，并将级数的和运用到其他学科中实现它的价值.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].下册.第3版.北京：高等教育出版社，2001.6．[2] 李永乐.数学复习全书（经济类数学三）[M].国家行政学院出版社，2012版.[3] 华腾教育教学与研究中心.数学分析同步辅导及习题全解[M].华东师大版.中国矿业大学出版社.[4] 吴坚. 关于无穷级数求和的几种方法[J]. 天津市财贸管理干部学院学报，2001，(02)，31-32.[5] 李永乐.数学基础过关660题(数学三)[M].西安交通大学出版社，2011.[6] 金涛.级数求和的若干方法研究[J]. 中国矿业大学银川学院学报， 2011（02），100-101.[7] 陈文灯. 2011版考研数学复习高分指南[M].世界图书出版公司，2011.[8] 欧伯群.漫谈收敛级数求和的方法[J]. 钦州师专钦州教院学报，1997，(03)，93-98.[9] 刘宁. 无穷级数求和法[J]. 重庆职业技术学院学报， 2004，(04) ，118-119.[10] 钱吉林.钱吉林数学分析题解精粹（第二版）[M].湖北：长江出版集团，2009.黄山学院本科毕业论文致谢本文的研究及工作是在导师谢歆副教授的关怀和悉心指导下完成的. 在此篇毕业论文划上句号之际，在这里我郑重地向我的指导教师--谢老师，表达我最诚挚的感谢！感谢谢歆老师在学习和工作中的教导和支持，从他身上我获得了许多宝贵的知识和经验，同时也学到了更多为人处事的道理.在一个多学期的论文写作中，导师以其严谨、求实的治学态度，敏锐深邃的洞察力，高度的责任心和敬业精神，平易近人的工作作风，一直深深地影响和激励着我，使我在学习上和生活上受益匪浅.最后还要感谢我的同学和朋友四年来对我的关心和帮助．18 18。
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长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练
幂级数求和的方法
系（部）：信息与计算科学系
专业：数学与应用数学
学号： 2009031110
学生姓名：范庆勇
成绩：
2012年 6月
幂级数求和的方法
范庆勇
长沙学院 信息与计算科学系 湖南长沙 410022
摘要：幂级数是无穷级数中的一种．本文主要总结了幂级数的多种求和方法．主要有逐项微分与逐项积分法，代数方程法，公式法等．同时通过举例说明了不同方法在解题中的应用．
关键词：幂级数，和函数，微分，积分
１ 引言
幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,因此是有必要对这类问题进行研究和探讨．求解幂级数的和函数时,我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决．也可以利用幂级数的有关公式求解．
本文通过具体例子介绍了幂级数求和的几种方法．文献［１］主要介绍了利用逐项积分与逐项微分的思想，计算部分和的极限以及转化为微分方程求幂级数的和．文献［２］主要是讲述了裂项组合法，逐项积分与逐项微分法，有限递推法，代数方程法，微分方程法求幂级数的和，同时还介绍了化归思想在幂级数求和中的应用．文献［３］主要是介绍通过逐项微分推导出几种公式，利用公式求和函数．
本文主要介绍逐项积分与逐项微分法，代数方程法，公式法求幂级数的和．
２ 幂级数求和的几种方法
２．１ 逐项微分［１］ 幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的，且有逐项求导公式
)x ('s ＝（n
n n x
a ∑∞
=）＇＝
x a n
n n
）（∑
∞
=＝1
-n 1
n n x
na ∑∞
=，
通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数，再积分即可．
例１
［１］
在区间（－１，１）内求幂级数n
1
n x
n
1n ∑
∞
=+的和函数，并由此计算级数
∑
+n
n n 2
*1的和 ．
解：设和函数为）（x s ，则
）（x s ＝n
1n x
n
1n ∑
∞
=+＝n 1
n 1
n n
x n
1
x ∑∑∞
=∞=+，
又
∑
∞
=1
n n
x
＝
x
-1x ，
设 ）（ｓ１
x ＝n 1
n x n
1
∑∞
=，
逐项求导得
）（ｓ１
x '=∑∞
=1
n 1
-n x ，
两边积分
⎰
x
1x 's ）（dx ＝⎰
x
x
11－dx
＝－x)ln(1－＝)x (s 1，
所以
）（x s ＝
x
1x
－－）－（x 1ln ．
令ｘ＝2
1
，得
∑+n
2
*n 1
n ＝）（2
1
s ＝2
112
1
-
－）－（2
1
1ln ＝１＋ln2．
２．２ 逐项积分［１］ 幂级数在其收敛区间内和函数是可积的，且有逐项积分公式．
dx x s x
⎰
）（＝dx x a x
0n n n ⎰
∑⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∞=＝dx
x a n
n x
n ∑
⎰
∞
=＝1
n 0
n n x
1
n a +∞
=∑
+，
通过对幂级数的逐项积分将其转化成能求出和函数的幂级数，再求导即可．
例２
［１］
求幂级数∑∞
=+0
n n
2x 1n ）（（｜x ｜＜１）的和函数．
解：设
）（x s ＝∑∞
=+0n n
2x
1n ）（，
两边积分
dx x s x
⎰
）（＝()dx x 1n x
0n n 2⎰
∑⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+∞=＝()
dx
x 1n n
2
n x
∑
⎰∞
=+＝()1
n 0
n x
1n +∞
=∑+＝x
()∑∞
+ｎ＝０
1
n x
＇＝
x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑∞=+0n 1n x ＇＝ｘ⎪⎭⎫
⎝⎛-x 1x ＇＝
()2x 1x -，
即
dx x s x
⎰
）（＝
()
2
x 1x
-．
２．３ 代数方程法［２］
建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从
而使幂级数和函数问题转化为代数方程问题，并最终实现幂级数和函数问题的求解．这
里将给予重点介绍．
例３
［２］
计算0
(21)n n n x ∞
=+∑的收敛域与和函数．
解：收敛域为(1,1)-．令
1
()(21)1(21)n
n
n n s x n x
n x ∞
∞
===+=+
+∑∑，
则
1
1
()(21)(21)n n
n n xs x n x
n x ∞∞
+===+=
-∑∑，
于是
1
1()()121n n x s x xs x x x
∞
=+-=+=
-∑，
即
1()()1x s x xs x x
+-=
- （1），
因此
2
1()(1)
x s x x +=
-，(1,1)x ∈-．
２．４ 一些比较基本的公式［３］ 对于比较难的但又能较容易推到出求和公式的求和，掌握一些基本的公式可以降低题目的的难度。
本方法是巧用2.1中幂级数逐项微分定理，给出几类求和公式
公式１
［３］
()()()ｎ－x 1m n 2n 1n n 1
n +++∑∞
= ＝
()
1
m x 1x
m +－！， ()1x <｜｜
公式２
［３］
()∑∞
=+0n n
x nd a ＝x
1a －+
)
2
x 1x d －∙ ， ()1|x |<
证明1 由x
11x 1
n 1-n －＝
∑∞
= ()1|x |<及幂级数逐项微分定理，有
m
x 11⎪⎭
⎫
⎝⎛－＝
()()()1
-m -x
m n 2n 1n ｎｎ＝ｍ＋１－－－ ∑∞
＝()()1-n x 1m n 1n n ∑++－ ，
()()n
1
n x 1m n 1n n ∑∞
=++－ ＝x m
x 11⎪
⎭⎫
⎝⎛－ ()1|x |<，
而
m
x 11⎪⎭
⎫
⎝⎛－＝
()
1
m x 1m +－！
，
所以
()()()ｎ
－x
1m n 2n 1n n 1
n +++∑
∞
= ＝
()1
m x 1x
m +－！()1|x |<．
证毕．
证明 2 ()∑∞
=+0
n n
x nd a =a ∑∞
=0
n n
x +d ∑∞
=1
n n
nx =
x
1a －+d ∑∞
=1
n n nx ()1|x |<，
由公式1
∑
∞
=1
n n
nx
=
()2
x 1x
－，
所以
()∑∞
=+0n n
x nd a =x
1a －+
()
2
x 1x
d －∙()1|x |<．
证毕．
例４
［３］
求()()n 1
n x 2n 1n n ++∑∞
=的和函数．
解： 由公式1，m=3时，
()()n
1
n x
2n 1n n ++∑
∞
==
()
4
x 1x
3－！ ， |x|<1
例５
［３］
求∑
∞
=+0
n n
2
1n 2的和．
解：由公式2，a=1，d=2，x=2
1时，
∑
∞
=+0
n n
2
1n 2=
2
111－
+2
2112
12⎪
⎭⎫ ⎝
⎛∙
－=2+4=6
参考文献
［１］李道渊．幂级数的求和方法［Ａ］．价值工程，2010（26-0202-01）． ［２］陈晓龙，施庆生．高等数学学习指导［Ｍ］．北京：化学工业出版社，2006，238-243． ［３］彭培让．几类幂级数的求和公式［Ｎ］．周口师专学报，1996,13（2）．。